普通高等学校招生全国统一考试数学预测试卷(江苏卷)
2020年普通高等学校全国统一招生考试(江苏卷)预测卷数学试题(解析)
合计 43000
（第 3 题）
【答案】180
【解析】设高中生人数为
x
，则
x 320
9000 16000
，所以
x
180
.
【解题探究】本题考查的是抽样方法，重点考查了分层抽样，属于简单题.认真梳理统计学的基础理
论，特别是层抽样、频率分布直方图、方差，平均数等，针对训练近几年的江苏高考类似考题，直
观了解本考点的考查方式，强化相关计算能力.
4
r2h
2r 2
h ，所以
h h
4
4
．
【解题探究】本题是考查了圆柱和棱柱的体积运算，属于中档题.利用等量关系正四棱柱的体积减去
实心圆柱的体积等于水的体积．
12.如图，△ABC 中，M 为 AB 中点，AB=5，CM=3，EF 为圆心为 C ，半径为 1 的圆的动直径，则 BE AF
的取值范围是 ▲ ．
【解题探究】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，注意交集与并集的差异，属 于基本题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确江苏高考对 于集合题的考查立足于列举法，强调对集合运算有关概念及法则的理解.
2.已知复数 z 满足 z 1 i （ i 是虚数单位），则复数 z 的共轭复数为 ▲ .
9 【答案】1
【解析】如图，设 PQO1 ,则 PQN 2 ,
QP QN
QP
QN
cos 2
2
QP
1 2sin2
QO12 4
1
8 QO12
5 9
,
整理得 9QO12 32 QO12 9 0 ,
则 QO12
32 9
或 QO12
江苏省南京市(新版)2024高考数学统编版模拟(预测卷)完整试卷
江苏省南京市（新版）2024高考数学统编版模拟(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知圆锥的底面半径为，高为，当其内接正四棱柱的体积最大时，该正四棱柱的外接球的表面积（单位：）为（）A．B．C．D．第(2)题设函数，若，，，则（）A．B．C．D．第(3)题已知复数z满足，则（）A．1B．C．D．2第(4)题已知是上的偶函数，且当时，．若，则（）A．B．C．D．第(5)题在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q第(6)题若集合，，则（）A．B．C．D．第(7)题已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，，，点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P，则下列结论错误的是（）A．B．P的坐标为C．B的坐标为D．在方向上的投影向量为第(8)题已知是定义在R上的奇函数，且当时，单调递增，要确保的零点唯一，则的值可以为（）A．B．0C．D．5二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知直线：和抛物线：交于，两点，直线，（为坐标原点）的斜率分别为，，若，则（）A．B．C．D．第(2)题椭圆：的左右焦点分别为，，过，分别作两条平行的射线，交椭圆C于A，B两点，（A，B均在x轴上方），则（）A．当时，B．的最小值为3C．当时，四边形的面积为D．四边形面积的最大值为3第(3)题已知函数，则（）A ．函数的图像可由的图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到B．函数的一个对称中心为C．函数的最小值为D ．函数在区间单调递减三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，其表面积为，则圆台的体积为___________.第(2)题已知是等比数列，且公比为，为其前项和，若是、的等差中项，，则___________，___________.第(3)题已知，若为奇函数，则___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示．年份产量万台销量万台记年工业机器人产量的中位数为，销量的中位数为．定义产销率为“”．(1)从年中随机取年，求工业机器人的产销率大于的概率；(2)从年这年中随机取年，这年中有年工业机器人的产量不小于，有年工业机器人的销量不小于．记，求的分布列和数学期望；(3)从哪年开始的连续年中随机取年，工业机器人的产销率超过的概率最小．结论不要求证明第(2)题已知椭圆C：的右焦点为F，离心率为，点在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点（2，0）且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于A，B两点，过点F且与x轴垂直的直线与直线l相交于点M.证明：第(3)题已知正项数列的首项，其前项和为，且.数列满足：(b1+ b2.(1)求数列的通项公式；(2)记，证明：.第(4)题随机抽取某中学甲乙两个班各名同学，测量他们的身高（单位：），获得身高数据的茎叶图（中间的数字表示身高的百位、十位，旁边的数字分别表示身高的个位数）如图所示（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（2）计算甲班的样本方差；（3）现从乙班这名同学中随机抽取两名身高不低于的同学，求身高为的同学被抽中的概率.第(5)题如图所示，在四棱锥中，底面，，底面为直角梯形，，，，N是PB的中点，点M，Q分别在线段PD与AP上，且，.(1)当时，求平面MDN与平面DNC的夹角大小；(2)若平面PBC，证明：.。
江苏省苏州市2024年数学(高考)统编版真题(预测卷)模拟试卷
江苏省苏州市2024年数学（高考）统编版真题(预测卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题若复数，且，则实数（）A．或3B．或C．3D．第(2)题集合，，则（）A．B．C．D．第(3)题已知对任意实数，有，且时，，则时A．B．C．D．第(4)题已知变量满足约束条件则的最大值为（）A．B．C．D．第(5)题已知（），（），（），则（）A．B．C．D．第(6)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(7)题设球的半径是1，，，是球面上三点，已知到，两点的球面距离都是，且二面角的大小是，则从点沿球面经，两点再回到点的最短距离是（ ）A．B．C．D．第(8)题组合数恒等于（）A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题函数的部分图像如图所示，则下列说法中正确的有（）A．f(x)的周期为πB ．f(x)的单调递减区间是(k∈Z)C ．f(x)的图像的对称轴方程为(k∈Z)D．f(2020)+f(2021)=0第(2)题圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥的内切球和外接球的球心重合，且圆锥的底面直径为6，则（）A．设圆锥的轴截面三角形为，则其为等边三角形B．设内切球的半径为，外接球的半径为，则C．设圆锥的体积为，内切球的体积为，则D．设是圆锥底面圆上的两点，且，则平面截内切球所得截面的面积为第(3)题已知，，则下列说法正确的是（）A．若，两圆的公切线过点B．若，两圆的相交弦长为C．若两圆的一个交点为，分别过点的两圆的切线相互垂直，则D．若时，两圆的位置关系为内含三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
2020届全国普通高等学校招生统一考试(江苏卷)模拟预测卷数学试题及答案解析
2020届全国普通高等学校招生统一考试模拟预测卷数学试题一、填空题1．现有7名数理化成绩优秀者，分别用1A ，2A ，3A ，1B ，2B ，1C ，2C 表示，其中1A ，2A ，3A 的数学成绩优秀，1B ，2B 的物理成绩优秀，1C ，2C 的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则1A 和1B 不全被选中的概率为______________.2．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是________3cm ．3．求值：()00sin 50180=______________.4．已知数列{}n a 成等差数列，且17134a a a π++=，则()212tan a a +＝5．已知向量,a b 满足22b a ==，a 与b 的夹角为120，则4a b -=________.6．若曲线x y e =上点P 处的切线平行于直线210x y -+=，则点P 的坐标为______．7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i = ．8．抛物线212y x =-的准线与双曲线22162x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等 于 ．9．已知一组数据6，7，8，9，m 的平均数是8，则这组数据的方差是_________.10．波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有ABC ∆，4,sin 2sin AC C A ==，则当ABC ∆的面积最大时，AC 边上的高为_______________. 11．设集合{1,2,3}A =，{2,4,6}B =，则A B =__________．12．如图，三个相同的正方形相接，则tan ABC ∠的值为__________．13．下列四个命题中，正确命题的个数是___________.①0比i 小②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数③1x yi i +=+的充要条件为1x y ==④如果实数a 与ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应14．已知函数()2ln 3a f x x x =+-，()322332g x x x x =-+-，对任意的1,23m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在1,23n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()g m f n ≤成立，则实数a 的取值范围是______.二、解答题15．已知α，β为锐角，()12cos 13αβ+=，()3cos 25αβ+=，求cos α的值. 16．某单位科技活动纪念章的结构如图所示，O 是半径分别为1cm ，2cm 的两个同心圆的圆心，等腰△ABC 的顶点A 在外圆上，底边BC 的两个端点都在内圆上，点O ，A 在直线BC 的同侧．若线段BC 与劣弧BC 所围成的弓形面积为S 1，△OAB 与△OAC 的面积之和为S 2， 设∠BOC ＝2θ．（1）当3πθ=时，求S 2﹣S 1的值；（2）经研究发现当S 2﹣S 1的值最大时，纪念章最美观，求当纪念章最美观时，cos θ的值．（求导参考公式：(sin 2x )'＝2cos 2x ，(cos 2x )'＝﹣2sin 2x ）17．已知四点12341112(3,),),(),(2223P P P P --中只有三点在椭圆C ：22221x y a b +=上. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 的斜率为1，直线l 与圆221x y +=相切，且与椭圆C 交于点,A B ，求线段AB 的长.18．已知正项等差数列{}n a 满足：233312n n S a a a =+++，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()()()1412121n n n n n b a a -=--+，证明：122221n n b b b n ++++≤+. 19．现有6名奥运会志愿者，其中志愿者12,A A 通晓日语，12,B B 通晓俄语，12,C C 通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组.（1）求1A 被选中的概率；（2）求1B 和1C 不全被选中的概率；（3）若6名奥运会志愿者每小时派两人值班，现有两名只会日语的运动员到来，求恰好遇到12,A A 的概率.20．在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝3，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P （如图），光线QR 经过ABC 的重心，若以点A 为坐标原点，射线AB ，AC 分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴，建立平面直角坐标系．（1）AP 等于多少？（2）D （x ，y ）是RPQ 内（不含边界）任意一点，求x ，y 所满足的不等式组，并求出D （x ，y ）到直线2x +4y +1＝0距离的取值范围．21．已知函数()2121f x x x =-++．（1）求函数()f x 的最小值m ；（2）若正实数,a b满足11a b +=，求证：2212m a b +≥． 22．已知曲线11:C y x=绕原点逆时针旋转45︒后可得到曲线222:2C y x -=， （I ）求由曲线1C 变换到曲线2C 对应的矩阵1M ；.（II ）若矩阵22003M ⎛⎫=⎪⎝⎭，求曲线1C 依次经过矩阵12,M M 对应的变换12,T T 变换后得到的曲线方程. 23．已知数列{}n a 满足22,2,n n n a n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数，且*12,1,2n N a a ∈==. (1)求 {}n a 的通项公式；(2)设*1,n n n b a a n N +=⋅∈，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ；(3)设()2121n n n n c a a -=⋅+-，证明：123111154n c c c c ++++< 24．已知函数12()4-=+x f x e ax ，曲线()y fx =在1x =处的切线方程为1y bx =+.（1）求实数a b 、的值；（2）0x >且1x ≠时，证明：曲线()y f x =的图象恒在切线1y bx =+的上方；（3）证明：不等式：12432ln 0----x xe x x x .25．如图所示，平面ABCD ⊥平面BCE ，四边形ABCD 为矩形， BC CE =，点F 为CE 的中点.(1)证明： //AE 平面BDF .(2)点M 为CD 上任意一点，在线段AE 上是否存在点P ，使得PM BE ⊥？若存在，确定点P 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.【答案与解析】1．56列出从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名所有样本点，求出满足事件的样本点个数，即可求出结论.从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个样本点为()111,,A B C ，()112,,A B C ，()121,,A B C ，()122,,A B C ，()211,,A B C ，()212,,A B C ，()221,,A B C ，()222,,A B C ，()311,,A B C ，()312,,A B C ，()321,,A B C ，()322,,A B C .“1A 和1B 全被选中”有2个样本点()111,,A B C ，()112,,A B C ，“1A 和1B 不全被选中”为事件N 共有10个样本点，概率为105126=. 故答案为:56. 本题考查古典概型的概率，列举样本点是解题的关键，属于基础题.2．144由三视图可知：该几何体是由一个长方体和正四棱台组成.其中长方体的长为4，宽为4，高为2，正四棱台的上底边长为4，下底边长为8，高为3，分别求得体积求和即可.由三视图可知：该几何体是由一个长方体和正四棱台组成.长方体的长为4，宽为4，高为2，所以V 长方体44232=⨯⨯= ；正四棱台的上底边长为4，下底边长为8，高为3，所以V 正四棱台()()1211166411233S S =++=++=. 所以该几何体的体积是144.故答案为：144本题主要考查三视图的应用以及几何体体积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于基础题.3．1先利用同角基本关系将原式切化弦，再利用两角和的正弦公式，结合二倍角的正弦公式化简分子，进而再利用诱导公式变形，约分后即可得到结果．因为()()00sin501sin501︒=︒+＝sin501︒+（1010sin cos ︒︒） ＝sin50︒＝sin50︒•1210102210cos sin cos ⎛⎫︒+︒ ⎪⎝⎭︒＝sin50︒•24010sin cos ︒︒ 2404010sin cos cos ︒︒=︒ 8010sin cos ︒=︒ 1010cos cos ︒=︒＝1．故答案为1.本题考查了三角函数的化简求值问题，考查了两角和的正弦公式、同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的运用，熟练掌握公式是解本题的关键．4．先根据等差数列的等差中项的性质利用1713a a a ++的值求得7a 的值,进而利用等差中项的性质求得212a a +的值,代入()212tan a a +答案可得.1713734a a a a π++==743a π∴= ()212782tan tan 2tan tan 33a a a ππ∴+====故答案为本题主要考查了等差数列的性质、等差中项.作为等差数列的常用性质,在高考中常以填空和选择题出现. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）.5结合数量积的运算律可求得24a b -，进而求得结果. 2222248168cos12016186473a b a a b b a a b b -=-⋅+=-⋅+=++=， 473a b ∴-=.本题考查平面向量模长的求解问题，关键是熟练应用平面向量数量积的运算律求得模长的平方. 6．(ln 2,2)先设P （x ，y ），求出函数的导数，利用x e ＝2，求出x 并代入解析式求出y 可得P 的坐标． 设P （x ，y ），由题意得x y e =，∵'x y e =在点P 处的切线与直线210x y -+=平行，∴x e ＝2，解得x ＝ln 2，∴2x ln y e e ==＝2，故P （ln 2，2）．故答案为：（ln 2，2）．本题考查了导数的几何意义，即曲线在某点处切线的斜率是该点处的导数值，属于基础题． 7．5框图首先给变量a 和变量i 赋值，4a =，1i =．判断104=不成立，判断10是奇数不成立，执行1052a ==，112i =+=； 判断54=不成立，判断5是奇数成立，执行35116a =⨯+=，213i =+=；判断164=不成立，判断16是奇数不成立，执行1682a ==，314i =+=； 判断84=不成立，判断8是奇数不成立，执行842a ==，415i =+=； 判断44=成立，跳出循环，输出i 的值为5．8．试题分析：抛物线的准线方程为3x =，双曲线的渐近线方程为y x =，所以所要求的三角形的面积为132⨯⨯=；考点：1．抛物线的几何性质；2．双曲线的几何性质；9．2由平均数求得m ，根据方差计算公式求得结果. 由题意得：678985m ++++=，解得：10m = ∴方差()()()()()222222116878889810810255s ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-=⨯=⎣⎦ 故答案为：2本题考查平均数与方差的计算方法，属于基础题.10．83ABC ∆，4,sin 2sin AC C A ==,即2c a=．根据阿波罗尼斯圆可得：点B 的轨迹为圆, 以线段AC 中点为原点，AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系,求出B 的轨迹方程，进而得出结论． 解：||sin sin 2sin ,2||sin AB C C A CB A=∴==为非零常数， 根据阿波罗尼斯圆可得：点B 的轨迹是圆.以线段AC 中点为原点，AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系则(2,0),(2,0)A C -，设(,)B x y ，∵2AB CB ==223320120x y x +-+=，整理得22210833x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因此，当ABC ∆面积最大时，BC 边上的高为圆的半径83. 本题考查了阿波罗尼斯圆的应用、正弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．{2}{}{1,2,3}2,4,6A B ⋂=⋂={}212．17由两角差的正切公式可得，321tan 1327ABC -∠==+⨯，故答案为17.。
江苏省苏州市(新版)2024高考数学统编版模拟(预测卷)完整试卷
江苏省苏州市（新版）2024高考数学统编版模拟(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题2022年3月15日国家统计局发布了截止到2022年前两个月的主要经济数据，其中按消费类型分零售额同比增速折线图如图所示，下列说法中错误的是（）A．2022年1-2月份，餐饮收入同比增速为8.9%B．2022年1-2月份，商品零售同比增速为6.5%C．2021年每月的餐饮收入的同比增速为正D．2021年每月的商品零售的同比增速为正第(2)题欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”.1735年，他提出公式：复数是虚数单位.已知复数，设，则的值可能是（）A．B．C．D．第(3)题《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（）A．B．C．D．第(4)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(5)题已知是正项等比数列的前n项和，若，，则（）A．4B．8C．6D．10第(6)题已知双曲线为坐标原点，为双曲线的两个焦点，点为双曲线上一点，若，则双曲线的方程可以为（）A．B．C．D．第(7)题已知执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A．B．C．D．2第(8)题下列残差满足一元线性回归模型中对随机误差的假定的是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题下列命题的否定中，是真命题的有（）A．某些平行四边形是菱形B．C．D．有实数解第(2)题已知函数，则下列说法正确的有（）A．是偶函数B．是周期函数C．在区间上，有且只有一个极值点D．过作y=的切线，有无数条第(3)题下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：）的正四面体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）．A．直径为的球体B．底面边长为、高为的正三棱柱C．底面直径为、高为的圆柱体D．底面直径为、高为的圆柱体三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知的内角所对的边分别为，，，,分别为线段上的动点，，则的最小值为__________.第(2)题在等比数列中，，则的公比______．第(3)题已知数列的通项公式为（表示不超过的最大整数），为数列的前项和，若存在满足，则的值为__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知数列有递推关系(1)记若数列的递推式形如且，也即分子中不再含有常数项，求实数的值；(2)求的通项公式.第(2)题已知圆．点在圆上，延长到，使，点在线段上，满足．(1)求点的轨迹的方程；(2)设点在直线上运动，．直线与轨迹分别交于两点，求证：所在直线恒过定点．第(3)题如图，已知抛物线的焦点为.若点为抛物线上异于原点的任一点，过点作抛物线的切线交轴于点，证明：.，是抛物线上两点，线段的垂直平分线交轴于点 (不与轴平行)，且.过轴上一点作直线轴，且被以为直径的圆截得的弦长为定值，求面积的最大值.第(4)题已知函数（，为自然对数的底数）．（1）若有两个零点，求实数的取值范围；（2）当有两个零点，，且，求证：．第(5)题等差数列的前项和为，（且），．(1)求的通项公式与前项和；(2)记，当，时，试比较与的大小；(3)若，正项等比数列中，首项，数列是公比为4的等比数列，且，求的通项公式与．。
江苏省南京市(新版)2024高考数学部编版考试(预测卷)完整试卷
江苏省南京市（新版）2024高考数学部编版考试(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题学校举行德育知识竞赛，甲､乙､丙､丁､戊5位同学晋级到了决赛环节，通过笔试决出了第1名到第5名.甲､乙两名参赛者去询问成绩，回答者对他们说：“决赛5人的成绩各不相同，但你们俩的名次是相邻的”，丙､丁两名参赛者也去询问成绩，回答者对丙说：“很遗憾，你和丁都未拿到冠军”，又对丁说：“你当然不会是最差的”.从这个回答分析，5人的名次排列共有（）种不同的可能情况.A．14B．16C．18D．20第(2)题设集合，集合，则（）A．B．C．D．第(3)题由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（）A．60个B．48个C．36个D．24个第(4)题设复数z1=1+i，z2=x+2i(x∈R)，若z1z2∈R，则x等于（）A．-2B．-1C．1D．2第(5)题已知函数，那么（）A．B．C．D．第(6)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(7)题已知集合，集合，则=（）A．B．或C．D．第(8)题已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题法国数学家柯西(A.Cauchy，研究了函数的相关性质，并证明了在处的各阶导数均为对于函数，有如下判断，其中正确的有（）A．是偶函数B．在是上单调递减C．D．若恒成立，则的最小值为1第(2)题下列命题中，真命题的是（）A．样本数据与样本数据，为非零常数，两组样本数据的样本平均数相同B．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高C．的二项展开式中，第项的二项式系数是D．在线性回归模型中，相关指数越接近于，说明回归的效果越好第(3)题朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天比前一天多派7人，官府向修筑堤坝的每人每天发放大米3升.”则下列结论正确的有（ ）A ．将这1864人派谴完需要16天B ．第十天派往筑堤的人数为134C ．官府前6天共发放1467升大米D ．官府前6天比后6天少发放1260升大米三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为__________.第(2)题过氧化氢（）是一种重要的化学品，工业用途广泛，通过催化和直接合成目前被认为是一种最有潜力替代现有生产方法的绿色环保生产途径.在自然界中，已知氧的同位素有17种，氢的同位素有3种，现有由，及，，五种原子中的几种构成的过氧化氢分子，则分子种数最多为______________.第(3)题已知向量，满足，，若，则与的夹角为______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．（1）设，判断在上是否为有界函数，若是，请说明理由，并写出的所有上界的集合；若不是，也请说明理由；（2）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围．第(2)题已知函数.(1)若在区间上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)设的导数的图象为曲线C ，曲线C 上的不同两点，所在直线的斜率为k ，求证：当时，.第(3)题已知函数．(1)若，恒成立，求实数的取值范围；(2)若的最小值为5，且正数a ，b ，c 满足．求证：．第(4)题已知，，直线l ：，动点P 到l 的距离为d ，满足，设点P 的轨迹为C ，过点F 作直线，交C 于G ，H 两点，过点F 作与垂直的直线，直线l 与交于点K ，连接AG ，AH ，分别交直线l 于M ，N 两点.(1)求C 的方程；(2)证明：；(3)记，的面积分别为，，四边形AGKH 的面积为，求的范围.第(5)题如图，在三棱柱中，平面，，．(1)求证：平面；(2)记和的交点为M，点N在线段上，满足平面，求直线与平面所成角的正弦值．。
2020年普通高等学校全国统一招生考试(江苏卷)预测卷数学试题
2020年普通高等学校全国统一招生考试 (江苏卷)预测卷数学I参考公式:1. 样本数据12,,,n c x x L 的方差2211()n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑; 2.圆柱的体积V=Sh,其中S 是圆柱的底面圆面积,h 是高.一､填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.已知集合A={x|x<0}, B={-2,-1, 0, 2},则A ∩B=___2.已知复数z 满足112z i i=++(i 是虚数单位),则复数z 的共轭复数为___ 3.某地区有小学生､初中生､高中生的人数见下表.采用分层抽样的方法调查学生的眼睛视力状况,在抽取的样本中初中生有320人,则该样本中的高中生人数为_____类别小学生 初中生 高中生 合计 人数 18000 1 6000 9000 430004.5.函数2()ln )(9f x x =-的定义域为____6.有3名学生甲､乙､丙,在分发数学作业时,从他们3人作业中各随机取出1份作业,则这3名学生恰好都拿到自己作业的概率为_____7.已知等比数列{}n a 满足11,2a =且2434(1),a a a =-则5a =____ 8.已知f(x)是定义在R 上的奇函数,当x> 0时,2()log 3f x x =-,则f(f(-16))的值为_____9.某品牌汽车4S 店一年销售汽车4000辆,每次从汽车公司购置x 辆,运费为4万元/次,一年的总储存费用为0.4x 万元.要使一年的总运费与总储存费用之和最小的,则x 的值为_____.10.在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线220y px p =>的准线1与双曲线2221x y a a-=>0的两条渐近线围成等边三角形,且面积为3,则p+a=_____. 11.如图,在正四棱柱形容器内盛有水和相同高度的实心圆柱(其中圆柱底面内切于正四棱柱底面,水面恰与正四棱柱上底面齐平),将实心圆柱拿去后,则水面高度与正四棱高度比为____. (不计水的损耗)12.如图,△ABC 中, M 为AB 中点, AB=5, CM=3, EF 为圆心为C,半径为1的圆的动直径,则BE AF ⋅u u u r u u u r 的取值范围是_____13.在平面直角坐标系xOy 中,圆221:4O x y +=与圆2222:(4)(0)O x y r r -+=>,在圆2O 上存在点Q,过点Q 作圆1O 的切线,切点为P, N,使得5,9QP QN ⋅=u u u r u u u r 则实数r 的最小值为___. 14.已知函数3,1,(),1,x a x f x x ax x -≥⎧=⎨-<⎩若函数y=f[f(x)]恰有5个不同零点,则实数a 的取值范围是____.二､解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中,以x 轴正半轴为始边作两个钝角α,β,它们的终边分别与单位圆交于A,B 两点.已知A,B 的横坐标分别为3102,.1010-- 求: (1) cos( α-β )的值;(2) 2α-β的值.16. (本小题满分14分)如图,三棱锥P- ABC 中,已知PA ⊥底面ABC,AC ⊥BC,且PA= AC,点E, F 分别是棱PC,PB 的中点.(1)求证:AE ⊥BC ;(2)点G 为棱AB 上一点,满足2,GB GA =求证:AE //平面CFG .17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆22221(0),x y a b a b +=>>圆C:222().4b x y b +-=A, B 分别为椭圆的左､右顶点,直线AC 交圆C 于D, P 两点(D 在线段AC 上),且2.AD DC =u u u r u u u r(1)求椭圆的离心率;(2)直线BP 与椭圆相交于点Q, 直线AQ 被圆C 截得弦长为6,求椭圆的标准方程.18. (本小题满分16分)如图为某野生动物园一角,∠MOK 内区域为陆地动物活动区,∠NOK 内区域为水上动物活动区.为满足游客游览需要,现欲在OM,ON 上分别选一处A,B,修建一条贯穿两区域的直路AB, AB 与KO 相交于点P.若PA 段,PB 段每百米修路费用分别为1万元和2万元,已知∠NOK=30°,OM ⊥OK, OP=2 百米,设∠PAO=α.(1)试将修路费用表示为α的函数()S α(2)求修路费用()S α的最小值.19. (本小题满分16分)设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且7146,54.a a S == (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)是否存在正整数m, k,使得31,1,1m m k a a a +---依次成等比数列?并说明理由; (3)设数列{}n b 满足2*1()(),5n n a b n -=∈N 将{}n a 和{}n b 中相同的项按照从小到大的顺序依次排列,得到数列{},n c 求数列{}n c 的通项公式.20. (本小题满分16分)已知函数y= f(x) 的定义域为D,若满足∀x ∈D,(x-1)f(x)≥0,则称函数f(x)为“L 型函数”.(1)判断函数xy e =和y=lnx 是否为“L 型函数”,并说明理由;(2)设函数f(x)=(x+1)lnx-(x-1)lna (a>0 ),记()().g x f x '=①若函数g(x)的最小值为1,求a 的值;②若函数f(x)为“L 型函数”,求a 的取值范围.21. [选做题]本题包括A ､B ､C 三小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.A.选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10分) 已知矩阵记1040,10102A B ⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦记M=AB,求1.MB.选修4 -4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线1,12x l y l =-+⎧⎨=-+⎩(l 为参数)与曲线cos ,cos 2x y θθ=⎧⎨=-⎩(θ为参数)的交点为A,B,求线段AB 的长.C.选修4-5:不等式选讲(本小题满分10分)已知x, y, z 均是正实数,且2229436.x y z ++=,求证: x+y+z ≤7.[必做题]第22､23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.22. (本小题满分10分)如图1,某电视台一档综艺节目的游戏挑战项目“蜂巢迷宫”的道具,游戏规定挑战者必须“蒙眼”进行现简化模型如图2所示,共有A,B,C,D, E, F 六个房间组成,每个房间各有六扇门分别与相邻房间或与外部相通,假设打开每扇门都是等可能的.现挑战者从房间A 出发,要求到达房间E.(1)求挑战者“打开两扇门完成挑战”的概率;(2)一次游戏中规定“只要走出道具外部或打开超过四扇门(含四扇)挑战失败”,得0分;“打开三扇门完成挑战”,得1分,“打开两扇门完成挑战”,得2分.挑战者共挑战1次,得分设为X,求随机变量X 的概率分布和数学期望E(X).23. (本小题满分10分)(1)用数学归纳法证明二项式定理:011()n n n n n a b C a C a b -+=++222*,.n r n r r n n n n n C a b C a b C b n --++++∈L L N(2)利用二项式定理求证: 220()n k n n n k CC ==∑。
2020年全国普通高等学校招生统一考试(江苏卷)模拟预测卷数学试题(解析版)
2020年全国普通高等学校招生统一考试（江苏卷）模拟预测卷数学试题一、填空题1．已知集合{}1A x x =>，{}1,2,3B =，则A B =______.【答案】{}2,3【分析】根据集合交集的定义和运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{}1A x x =>，{}1,2,3B =， 根据集合交集的定义和运算，可得{}2,3A B ⋂=. 故答案为：{}2,3.【点睛】本题主要考查了集合交集的定义及运算，其中熟记集合交集的定义是解答的关键，属于容易题.2．已知复数2z i =+（其中i 为虚数单位），若(),za bi ab R i=+∈，则ab 的值为______. 【答案】－2【分析】根据已知求出,a b ，即得解. 【详解】由题得2z ai b i =-=+， 所以2,1b a -==， 所以1a =，2b =-， 所以2ab =-. 故答案为：－2【点睛】本题主要考查复数的运算和复数相等的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．已知一组数据是4，a ，7，5，8的平均数为6，则该组数据的标准差是______.【分析】首先根据平均数公式计算得到a ，再根据标准差公式计算结果. 【详解】由平均数公式475865a ++++=得6a =，所以()()()()2222146076568625s ⎡⎤=-++-+-+-=⎣⎦. 故答案为：2【点睛】本题考查样本平均数和标准差，属于基础题型.4．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线1C ：()2210x y m m-=>的一条准线与抛物线2C ：22x y =的准线重合，则正数m 的值是___.【答案】3【分析】由已知可得双曲线的准线方程及其抛物线的准线方程，即可得出正数m ． 【详解】抛物线2C ：22x y =的准线方程为12y，双曲线1C ：221x y m-=的一条准线方程为1y m =-+，根据题意得121m =+，解得3m =. 故答案为：3【点睛】本题考查了双曲线与抛物线的标准方程及其准线方程，属于基础题． 5．运行如图的程序框图，则输出的结果是______.【答案】13【分析】根据流程图的循环结构，计算输出结果. 【详解】根据流程图可知当1i =时进入循环，12a =，当2i =时，进入循环，1121312a ==+，当3i =时退出循环，输出13a =.故答案为：13.【点睛】本题考查循环结构，重点考查理性流程图，属于基础题型.6．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源.河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为______.【答案】15【分析】根据阳数为1，3，5，7，9；阴数为2，4，6，8，10，利用古典概型的概率求法求解.【详解】∵阳数为1，3，5，7，9；阴数为2，4，6，8，10， ∴从阳数和阴数中各取一数的所有组合共有5×5=25个， 满足差的绝对值为5的有(1,6)，(3,8)，(5,10)，(7,2)，(9,4)共5个， 则其差的绝对值为5的概率为51255P == 故答案为：15【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.7．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若2552a a +=，则15S 的值是______. 【答案】75【分析】由已知条件可解得85a =，再利用等差数列的性质即可求出.【详解】设等差数列的公差为d ，由2552a a +=，得()11524a d a d ++=+，即175a d +=，所以85a =， 则()1511581515752S a a a =+==. 故答案为：75.【点睛】本题考查等差数列性质的应用，属于基础题.8．圆柱形容器的内壁底半径是10cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为______2cm ． 【答案】100π【分析】容器的水面下降部分的容积即为球的体积，由此计算出球的半径，再根据球的表面积公式即可求解．【详解】设实心铁球的半径为R ，则32451033R ππ=⨯⨯，得5R =， 故这个铁球的表面积为224100S R cm ππ==． 故填：100π．【点睛】本小题是立体几何的应用题，涉及圆柱的体积和球的表面积、体积的计算，考查考生理解、解决实际问题的能力． 9．若直线1y kx =+与曲线y =k 的值为______.【答案】14【分析】先求函数的导数，则0|x x k y ='==，写出切线方程与结合条件可得1,k =⎨⎪=⎪⎩，从而得出答案.【详解】y ''==,设切点为()00,x y，0y =则切线的斜率为0|x x k y ='==曲线y =()00,x y处的切线方程为y x =所以1,k =⎨⎪=⎪⎩解得14k =.故答案为：14【点睛】本题考查根据切线方程求参数的值，属于基础题. 104cos 122sin12=︒-︒______. 【答案】4-【分析】根据三角函数的基本关系式和两角和差的正弦函数公式，进行化简、运算，即可求解.【详解】原式()sin122sin 1260sin122sin 48cos12412cos 24sin122cos 24sin12cos12cos 24sin 24sin 482︒︒-︒︒︒-︒︒=====-︒︒︒︒︒︒︒︒.故答案为：4-【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及两角和与差的正弦公式的化简、求值，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.11．已知向量,a b ，满足3b =，a b a ⋅=，则a b -的最小值为______.【答案】【分析】利用222()2a b a b a b a b -=-=+-⋅化为数量积的运算，再代入已知条件可求得最小值．【详解】()222229218a ba b a b a a a -=+-⋅=+-=-+≥，当且仅当1a =时，等号成立，故a b -的最小值为故答案为：【点睛】本题考查求向量的模，解题关键是把向量的模转化向量数量积，然后结合函数知识得最小值．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：()()2224-+-=x m y 上两个动点，且AB =若直线:2l y x =-上存在点P ，使得OC PA PB =+，则实数m 的取值范围为______.【答案】11⎡--+⎣【分析】根据题意求出AB 的中点Q 的轨迹，由2OC PA PB PQ =+=，设()00,P x y ，()11,Q x y ，进而求出点P 在以1,12D m ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，1为半径的圆D 上，根据点P 在直线l ：2y x =-上，利用直线与圆的位置关系即可求解. 【详解】由题意知圆C 的圆心(),2C m ，半径2r .取AB 的中点Q ，连结CQ ，则CQ AB ⊥.所以1CQ ===， 所以点Q 在圆()()2221x m y -+-=上. 因为2OC PA PB PQ =+=，设()00,P x y ，()11,Q x y ，则()1010,PQ x x y y =--，(),2OC m =，所以()()10102,22,m x x y y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩则1010,21,m x x y y ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩因为()11,Q x y 在圆()()2221x m y -+-=上， 所以()2200112m x m y ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭， 即()2200112m x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，所以点P 在以1,12D m ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，1为半径的圆D 上， 又点P 在直线l ：2y x =-上，所以直线l 与圆D 有公共点，1≤，解得11m -≤-.故答案为：11⎡--⎣【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、轨迹问题，考查了基本知识以及知识的灵活应用，属于中档题.13．已知函数()31111,1,3442111,0,362x x x f x x x ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩()()2x g x e ax a R =+-∈，若存在[]12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是______.【答案】[)2,e -+∞【分析】先利用导数求出()f x 的值域，设为集合A ，设()g x 的值域为B ，则本题等价于BA ≠∅，再求出()g x 的导数，讨论a 的范围结合()g x 的单调性和最值即可求出a 的范围.【详解】当102x ≤≤时，()f x 单调递减，()106f x ≤≤；当112x <≤时，()2104f x x '=-≥成立，()f x 单调递增，()1163f x <≤，所以()f x 的值域为10,3A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 设()g x 的值域为B ，因为存在1x ，[]20,1x ∈使得()()12f x g x =成立，所以B A ≠∅.()2x g x e ax =+-，()x g x e a '=+.①1a ≥-，任意[]0,1x ∈，()0g x '≥成立，()g x 在[]0,1单调递增， 所以()()min 01g x g ==-，()()max 12g x g e a ==+-，[]1,2B e a =-+-. 因为BA ≠∅，所以20e a +-≥，2a e ≥-；②a e ≤-，任意[]0,1x ∈，()0g x '≤成立，()g x 在[]0,1单调递减， 所以()()min 12g x g e a ==+-，()()max 01g x g ==-，[]2,1B e a =+--， 则B A ⋂=∅，不合题意； ③1e a -<<-，令()0x g x e a '=+=，()ln x a =-，()g x 在()()0,ln a -递减，()()ln ,1a -递增，所以()()()()min ln 2ln g x g a a a a =-=--+-，()()(){}max max 0,1g x g g =. 又()010g =-<，()120g e a =+-<，则B A ⋂=∅，不合题意. 综上所述，2a e ≥-.【点睛】本题考查利用导数解决能成立问题，属于较难题. 14．已知在锐角三角形ABC 中，AH BC ⊥于点H ，且()229449BA CA AH CA BA -=⋅-，若2BC =，则sin sin sin B CA的取值范围是______.【答案】5⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】由向量数量积的概念化简可得23BH CH =，BC 边上的高为h ，由tan ,tan B C 表示tan C ，结合三角形为锐角三角形，得h 的范围，由三角形面积公式和正弦定理结合可得2sin sin R B C h =，进而得出sin sin sin 2B C hA =，即可结果.【详解】由()229449BA CA AH CA BA -=⋅-，得229944BA AH BA CA CA AH +⋅=+⋅，所以94BA BH CA CH ⋅=⋅，即2294BH CH =，23BH CH =. 设BC 边上的高为h ，由2BC =，45BH =，6=5CH ， 则5tan 4h B =，5tan 6hC =， 所以()2555046tan tan 0552524146h hh A B C h h h +=-+=-=>--⋅，所以h >因为ABC 的面积11sin 22S bc A ah ==，所以2sin sin R B C h =，所以sin sin sin 2B C h A =>.故答案为：⎫+∞⎪⎪⎝⎭.二、解答题15．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3B π=.（1）若b =2a =，求c 的值； （2）若cos A ，求cos C 的值. 【答案】（1）4c =；（2）626-.【分析】（1）根据题中所给的条件，两边一角，利用余弦定理建立等量关系式，求得c 的值；（2）根据题中所给的条件13cos A =，利用同角三角函数关系式求得23sin A =，利用诱导公式和余弦和角公式求得结果. 【详解】（1）在ABC 中，3B π=，23b =，2a =，由余弦定理得2222cos b c a ac B =+-， 得21242c c =+-，即2280c c --=， 解之得4c =或2c =-（舍去）. （2）由13cos 013A =>，得02A π<<， 所以221323sin 1cos 113A A ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 又因为3B π=，所以()()cos cos cos C A B A B π=--=-+cos cos sin sin A B A B =-+ 1312336132-=-⨯+⨯=. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理解三角形，诱导公式和余弦和角公式，属于简单题目.16．已知直三棱柱111ABC A B C -，E ，F 分别是BC ，1AA 的中点，1CB CC =，AC BC ⊥.求证：（1）//EF 平面11BA C ； （2）1EF B C ⊥.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）设11,B C BC 交于O 点，连接1A O ，OE ，在1BB C △中，证得1//EF A O ，结合线面平行的判定定理，即可证得//EF 平面11BA C ；（2）由直三棱柱111ABC A B C -，所以1CC ⊥平面ABC ，得到1CC AC ⊥，再由AC ⊥平面11BCC B ，得到1AC B C ⊥，证得111AC B C ⊥，进而的得到1B C ⊥平面11BA C ，即可证得1EF B C ⊥.【详解】（1）设1B C ，1BC 交于O 点，连接1A O ，OE ， 在1BB C △中，点O ，E 分别是1B C ，BC 中点， 所以1//OE B B 且112OE B B =， 因为直三棱柱111ABC A B C -，所以11//B B AA ，11B B AA =，又因为F 是1AA 中点，所以1OE FA =，1//OE FA ，所以1//EF A O ，因为1AO ⊂平面11BA C ，EF ⊄平面11BA C ，所以//EF 平面11BA C . （2）因为直三棱柱111ABC A B C -，所以侧面11BCC B 是矩形， 又因为1BC CC =，所以四边形1BCC B 是正方形，所以11B C BC ⊥， 因为直三棱柱111ABC A B C -，所以1CC ⊥平面ABC ， 因为AC ⊂平面ABC ，所以1CC AC ⊥， 又因为BC AC ⊥，1BCCC C =，1CC ，BC ⊂平面11BCC B ，所以AC ⊥平面11BCC B ，因为1B C ⊂平面11BCC B ，所以1AC B C ⊥，因为直三棱柱111ABC A B C -，所以11//AC A C ，所以111AC B C ⊥， 因为1111BC AC C ⋂=，1BC ，11A C ⊂平面11BAC ，所以1B C ⊥平面11BA C ， 因为1AO ⊂平面11BA C ，所以11A O B C ⊥， 因为1//EF A O ，所以1EF B C ⊥.【点睛】本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及直线与平面垂直的性质的应用，其中解答中熟记空间几何体的结构特征，以及熟练应用线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查推理与论证能力，属于中档试题.17．如图，已知边长为2的正方形材料ABCD ，截去如图所示的阴影部分后，可焊接成一个正四棱锥的封闭容器.设FCB θ∠=.（1）用θ表示此容器的体积；（2）当此容器的体积最大时，求tan θ的值. 【答案】（1）)2221tan tan V θθ=-，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）1tan 5θ=. 【分析】（1）取BC 的中点M ，连接FM ，连接AC 交GF 于N ，根据题意可求出正方形EFGH 的边长，进而求出底面积和高，即可求出体积； （2）令tan t θ=求出()V t 的导数，利用导数判断其单调性，从而可求出其最大值，即得解.【详解】（1）取BC 的中点M ，连接FM ，连接AC 交GF 于N ，如图.由题意知FM BC ⊥，在直角三角形CFM 中，1cos CF θ=. 在直角三角形CFN 中，sin 4NF CF πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以22NF θ=-，所以22GF θ=. 因为cos 4CN CF πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以22tan CN θ=+. 从而)222GFEH S θ=，正四棱锥高2222CO CN NO CN NF =-=-222222tan tan 2tan 2222θθθ⎛⎫⎛⎫=+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以正四棱锥的体积)211222tan 33GFEHV S CO θθ=⋅=⋅)2221tan tan θθ=-0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（2）令tan t θ=()0,1t ∈，则()))2253221233V t t t t t t =-=-+， ())()()4222222256151133V t t t t t '=-+=--. 令()0V t '=，得5t =. t50,5⎛⎫ ⎪⎝⎭555,15⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭()V t '+－()V t↗ 极大值↘所以()V t 在50,⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，在5,1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减， 所以()V t 在5t =时取到最大值，此时1tan 5θ=.【点睛】本题考查棱锥体积的求法，考查利用导数求最值，属于中档题.18．如图，点F 为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左焦点，点A ，B 分别为椭圆C的右顶点和上顶点，点62,P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且满足//OP AB .（1）求椭圆C 的方程； （2）过定点(),0T m ()2m <且与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线4x =分别交直线AM ，AN 于点D ，E ，求证：以DE 为直径的圆经过x 轴上的两定点（用m 表示）.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【分析】（1）由62,2P ⎛ ⎝⎭在椭圆上，可得222312a b +=，由//OP AB ，可得3ba=-，从而解出,a b 的值，得到答案. （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，()00,Q x y 是以DE 为直径的圆上的任意一点，设出直线AM 的方程，得到点D 的纵坐标，同理得到点E 的纵坐标,由条件可得0DQ EQ ⋅=，得到()()()2120124422y y x x x -=---，设直线l 的方程为x ty m =+，与椭圆C 的方程22143x y +=联立，将韦达定理代入上述式子，可得答案.【详解】解：（1）由P ⎛ ⎝⎭在椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上得222312a b +=①， 如图，由A 为C 的右顶点，B 为C 的上顶点可知(),0A a ，()0,B b ， 因OPAB ，所以OP AB k k =，则b a=-②.联立①②得方程组22231,2,2a bb a ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩故所求椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，又()2,0A ， 所以直线AM 的方程为()1122y y x x =--，令4x =，得1122D yy x =-， 所以1124,2y D x ⎛⎫⎪-⎝⎭.同理2224,2y E x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 设()00,Q x y 是以DE 为直径的圆上的任意一点，则0DQ EQ ⋅=，所以()21200012224022y y x y y x x ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，令00y =，得()()()2120124422y y x x x -=---.设直线l 的方程为x ty m =+，与椭圆C 的方程22143x y+=联立，消去x 得()2223463120ty tmy m +++-=，所以122634tm y y t +=-+，212231234m y y t -=+， 所以()()()()12122222x x ty m ty m --=+-+-()()()()22212122422234m t y y t m y y m t -=+-++-=+.所以()()()()()()222212022122312432412334422242234m m y y m t x x x m m m t -+-+-=-=-==-----+， 因为22m -<<，所以04x =所以以DE 为直径的圆经过x 轴上两定点，其坐标分别为4⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭和4⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查求椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查圆过定点问题,属于难题.19．若数列{}n c 满足：存在实数t ，使得()2212112m n m n c c c t m n --+-+=+-对任意m 、*n N ∈都成立，则称数列{}n c 为“t 倍等阶差数列”.已知数列{}n a 为“t 倍等阶差数列”.（1）若10a =，212a =-，31a =，求实数t 的值； （2）在（1）的条件下，设()*2121n n n b a a n N +-=-∈.①求数列{}n b 的通项公式；②设数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，是否存在正整数p 、q ，且1p q <<，使得1S 、p S 、q S 成等比数列？若存在，求出p 、q 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）2t =；（2）①87n b n =-；②存在2p =，36q =.【分析】（1）由题中定义可得出关于实数t 的等式，由此可解得实数t 的值； （2）①根据题中定义可推导出数列{}n b 为等差数列，确定该数列的首项和公差，由此可求得数列{}n b 的通项公式；②利用裂项相消法可求得n S ，由题意可得出2161988p p q+=+>，可得出关于正整数p的不等式，解出p 的取值范围，可求得正整数p 的值，进而可求得q 的值，由此可得出结论.【详解】（1）由数列{}n a 为“t 倍等阶差数列”， 令2m =，1n =，得()2312221a a a t +=+-，所以11022t ⎛⎫+=⨯-+ ⎪⎝⎭，解得2t =；（2）①以2n +代替m ，得23212128n nn a a a .则()()()21212112118n n n n a a a a +-+++-⎡⎤---=⎣⎦，即18n nb b +-=. 所以数列{}n b 是以8为公差的等差数列.又1311b a a =-=，所以()18187n b n n =+-=-.②因为()()111111878188781n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以111111111189917878188181n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 则119S =，81p p S p =+，81q q S q =+. 假设1S 、p S 、q S 成等比数列，则2181981p qp q ⎛⎫=⋅⎪++⎝⎭， 因为216189988p q p q q ++==+>，所以281610p p --<， p <<又因为p 为大于1的整数，所以2p =，36q =， 所以存在2p =，36q =，使得1S 、p S 、q S 成等比数列.【点睛】本题考查数列的新定义，考查了等差数列的通项公式的求解、裂项相消法与数列的存在性问题的求解，考查计算能力，属于难题. 20．已知函数()()ln 0af x x x x=+>. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在定义域内有两个零点，求a 的取值范围；（3）若对任意()0,x ∈+∞，不等式()()()2ln 112xm x x e x x x e++-≥-恒成立，求m的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（3）[)1,m ∈+∞. 【分析】（1）求导得()()20x af x x x -'=>，按0a ≤，0a >分类讨论得结果； （2）由题意得ln a x x -=在()0,∞+上有2个交点，令()ln h x x x =，则()'1ln h x x =+，得函数()h x 的单调性，最小值和最大值极限，即可得a 的取值范围；（3）由题意得()()1ln 12xm x e x e x ⎛⎫++-≥- ⎪⎝⎭，令()()1ln 21x F x m x x e e x ⎛⎫=++-+- ⎪⎝⎭，求导得()()21x m F x x e x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，按0m ≥，0m <分类讨论得结果.【详解】（1）()()20x af x x x -'=>. 当0a ≤时，0x，得()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+上单调增；当0a >时，令()0f x '>得x a >，所以()f x 在(),a +∞上单调增，令()0f x '<得0x a <<，所以()f x 在()0,a 上单调减.综上，当0a ≤时，()f x 的增区间为()0,∞+，无减区间； 当0a >时，()f x 的增区间为(),a +∞，减区间为()0,a . （2）令()ln 0af x x x=+=，得ln a x x -=，令()ln h x x x =，则()'1ln h x x =+， 0x，得()'0h x =的根为1=x e ，()h x ∴在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，11h e e ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，()0,0x h x →→，且(),x h x →+∞→+∞，要使函数()f x 有2个零点，则10a e -<-<，即10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（3）0x，由()()()2ln 112xm x x e x x x e ++-≥-可得()()1ln 12x m x e x e x ⎛⎫++-≥- ⎪⎝⎭.令()()1ln 21xF x m x x e e x ⎛⎫=++-+- ⎪⎝⎭，()()()()22111x x m x m F x x e x e x x -⎛⎫'=+-=-+ ⎪⎝⎭. 当0m ≥时，20xme x+>，令()0F x '>得1x >，所以()f x 在()1,+∞上单调增； 令()0F x '<得01x <<，所以()f x 在()0,1上单调减.所以()()min 110F x F m ==-≥，得m 1≥.当0m <时，因为()()141774ln 414ln 41444F m e e m e ⎛⎫=--+-<--+- ⎪⎝⎭，即()1114ln 4044F m e ⎛⎫⎛⎫<---<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()0F x ≥在()0,x ∈+∞上不恒成立，则0m <舍去.综上可知，[)1,m ∈+∞.【点睛】本题主要考查了利用求导求原函数的单调性问题，同时也考查了参变分离求函数单调性与最值，进而求得参数的取值范围等，属于中档题．21．已知矩阵1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1201B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若直线l 依次经过变换A T ，B T 后得到直线l '：220x y +-=，求直线l 的方程.【答案】510x y +-=.【分析】本题可先设出直线l 上的任意一点(),P x y ，再设出这点经过变换T A ，T B 后得到的对应点(),P x y '''．然后根据变换对应的矩阵找到两个点的坐标的关系表达式，再根据点(),P x y '''在直线l '上，将两个点的坐标的关系表达式代入直线l '的方程即可得到直线l 的方程．【详解】解：设点(),P x y 是l 上的任意一点，其依次经过变换A T ，B T 后得到点(),P x y '''.则12100102x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得42x x y y y '+⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦，即4,2.x x y y y ''=+⎧⎨=⎩又点P '在直线l '上，所以220x y ''+-=，故()24220x y y ++-=，即510x y +-=， 所以直线的方程为：510x y +-=【点睛】本题主要考查一条直线经过一定的变换得到对应的直线，已知其中一条直线方程求另一条直线方程，本题可通过设对应点和变换对应的矩阵找到两个点的坐标的关系表达式来求出．本题属基础题．22．已知直线l的参数方程为1222x t y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），点P (1，2)在直线l 上．（1）求m 的值；（2）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：ρ=4与直线l 交于两点A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值． 【答案】（1）2m =；（2）11.【分析】（1）根据点P (1，2)在直线l 上，将点的坐标代入直线的参数方程求解. （2）将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程，然后与直线的参数方程联立，再结合韦达定理利用参数的几何意义求解. 【详解】（1）因为()1,2P ，在直线l 上，所以112,22,t m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2m =+．（2）因为曲线C ：ρ=4，所以曲线C 的直角坐标方程为2216x y +=，将直线l的参数方程1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入C的方程得(21110t t ++-=，设A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ，则1211t t =-， 故1211PA PB t t ==⋅．【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的转化直线与圆的位置关系以及参数的几何意义的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．设,,a b c 都是正数，求证：222()()()4()+++++≥++b c c a a b a b c a b c.【答案】见解析【分析】利用柯西不等式证明即可； 【详解】证明：因为a ，b ，c 都是正数，所以()()()()222b c c a a b a b c a b c ⎡⎤+++++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦222222⎡⎤⎡⎤=++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦2⎡⎤≥++⎢⎥⎣⎦()()()2b c c a a b =+++++⎡⎤⎣⎦ ()24a b c =++，所以()()()()2224b c c a a b a b c abc+++++≥++.【点睛】本题考查柯西不等式的应用，属于基础题.24．某商场准备在今年的“五一假”期间对顾客举行抽奖活动，举办方设置了,A B 两种抽奖方案，方案A 的中奖率为23，中奖可以获得2分;方案B 的中奖率为()0001P P <<,中奖可以获得3分；未中奖则不得分，每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，并凭分数兑换奖品，（1）若顾客甲选择方案A 抽奖，顾客乙选择方案B 抽奖，记他们的累计得分为X ，若3≤X 的概率为79，求0P （2）若顾客甲、顾客乙两人都选择方案A 或都选择方案B 进行抽奖，问:他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大? 【答案】（1）013P =（2）当0409P <<时，他们都选择A 方案进行抽奖时，累计得分的均值较大；当0419P <<时，他们都选择B 方案进行抽奖时，累计得分的均值较大；当049P =时，他们都选择A 方案或都选择B 方案进行抽奖时，累计得分的均值相等 【分析】（1）首先求解出对立事件“5X =”的概率，再根据对立事件概率公式求得结果；（2）利用二项分布均值公式求解出()1E X 和()2E X ，根据均值的性质求得两人全选A 方案或B 方案的均值，比较两个均值的大小，得到0P 不同取值的情况下应选取的方案.【详解】（1）由已知得，甲中奖的概率为23，乙中奖的概率为0P ，且两人中奖与否互不影响记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为C ，则事件C 的对立事件为“5X =” ()0253P X P ==()()02715139P C P X P ∴=-==-= 013P ∴= （2）设甲、乙都选择A 方案抽奖的中奖次数为1X ，都选择B 方案抽奖的中奖次数为2X 则这两人选择A 方案抽奖累计得分的均值为()12E X ，选择B 方案抽奖累计得分的均值为()23E X 由已知可得：122,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()202,X B P()124233E X ∴=⨯=，()202E X P = ()()118223E X E X ∴==，()()220336E X E X P == 若()()1223E X E X >，则0863P > 0409P ∴<< 若()()1223E X E X <，则0863P < 0419P ∴<< 若()()1223E X E X =，则0863P = 049P ∴= 综上所述：当0409P <<时，他们都选择A 方案进行抽奖时，累计得分的均值较大 当0419P <<时，他们都选择B 方案进行抽奖时，累计得分的均值较大 当049P =时，他们都选择A 方案或都选择B 方案进行抽奖时，累计得分的均值相等 【点睛】本题考查对立事件概率的求解、二项分布均值求解及均值性质的应用问题，利用均值来解决实际问题，属于常规题型.25．已知2020220200122020(1)....x a a x a x a x -=++++（1）求122020...a a a +++的值；（2）求01220201111...a a a a ++++的值.【答案】（1）1-；（2）20211011. 【分析】（1）根据已知条件，令0x =，求得0a ，令1x =，即可求得122020...a a a +++的值；（2）由二项式定理可得()20201k k k a C=-，求得1k n C ，由120202021202112021112022k k k C C C +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而求得202001k ka =∑，即可求得答案. 【详解】（1）()20202202001220201x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+——①.在①中，令0x =，得01a =.在①中，令1x =，得01220200a a a a +++⋅⋅⋅+=，∴1220201a a a ++⋅⋅⋅+=-.（2）2020220200122020(1)....x a a x a x a x -=++++由二项式定理可得()20201k k k a C =-，0k =，1，2，⋅⋅⋅，2020.()()()()()()()!!!!2!!11111!21!21!k n k n k k n k n k n k k n k n n C n n n n n --+-+++-++==⋅=⋅++++ ()()()()()111!1!1!!111121!1!2k k n n k n k k n k n n n n n n C C +++⎡⎤+-+-⎛⎫++=+=+⎢⎥ ⎪++++⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴202020202000002020202011(1)(1)kk k k k k k k a C C ===-==-∑∑∑ ()20200122020202020202020202011111C C C C =-+-⋅⋅⋅+-.120202021202112021112022k k k C C C +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴20202020011220202021020212021202120212021202112021111111(1)2022k k a C C C C C C =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ 0202120212021202111202120221011C C ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题解题关键是掌握组合数计算方法和根据二项式定理求各项系数和步骤，考查了分析能力和计算能力，属于难题.。
2024年普通高等学校招生全国统一考试数学(新高考I卷)押题密卷(含答案)
试卷类型：A2024年普通高等学校招生全国统一考试 押题密卷2数学 新高考I 卷注意事项：1． 答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2． 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3． 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4． 考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 设集合A ＝{3,2a }，B ＝{a ,b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝A ．{1,2,3}B ．{2,3,4}C ．{1,2,4}D ．{2,3,5}2． 设复数z 的共轭复数为 z ，则下列一定为纯虚数的是A ．z ＋zB ．z －zC ．z ·zD ．zz̅3． 设α，β是两个不同平面，直线m ⊂α，直线n ⊂β，则A ．m ⊥β是m ⊥n 的充分条件B ．m //n 是α//β的必要条件C ．m ⊥β是m ⊥n 的必要条件D ．m ⊥n 是α⊥β的必要条件4． 已知随机变量ξi 的分布列如表所示（i ＝1,2）．若0＜p 1＜12＜p 2＜23，则A ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2)B ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2)C ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2)D ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2)5． 已知sin(θ＋π)＜0，cos(θ－π)＞0，则A ．tan θ2＜cot θ2B ．tan θ2＞cot θ2C ．sin θ2＜cos θ2D ．sin θ2＞cos θ26． 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对于任意n ∈N *，都有a n a n +1＜0，a n S n 恒为定值c（c ＞0），则A ．|a 2|＜|a 3|＜|a 4|B ．|a 3|＜|a 2|＜|a 4|C ．|a 3|＜|a 4|＜|a 2|D ．|a 4|＜|a 3|＜|a 2|7． 设非负实数x ,y ，2x ＝3y ，则A ．2x ＝3yB ．2x ＞3yC ．2x ＜3yD ．无法比较2x 与3y 的大小8． 已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|＜|PF 2|，PF 1的垂直平分线经过点F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则 e 12－2e 2的最小值是 A ．2 B ．－2 C ．6D ．－6二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9． 掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据这5次的统计结果，下列选项中有可能出现点数1的是 A ．中位数：3，众数：2 B ．平均数：4，中位数：5 C ．极差：4，平均数：2D ．平均数：4，众数：510．已知函数f (x )＝x 4－x 2＋x －1，则A ．f(x)有两个零点B ．f(x)有唯一极值C ．过坐标原点可作曲线y ＝f (x )的一条切线D ．曲线y ＝f (x )上存在三条互相平行的切线11．如图，与圆柱底面成60°的平面α截此圆柱，其截面图形为椭圆．已知该圆柱底面半径为2，则 A ．椭圆的离心率为√32B ．椭圆的长轴长为 8√33C ．椭圆的面积为32πD ．椭圆内接三角形面积的最大值为 6√3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在△ABC 中，C ≠π2，若cos A ＝sin B ，则A 的取值范围是_________．13．已知a ，b ，c 成等差数列，点P （－1,0）到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的距离为 2√2 ，则直线l 的倾斜角是_________．14．设点P 是边长为2的正△ABC 的三边上的动点，则 P A ⃗⃗⃗⃗ ·（PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ ）的取值范围是_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（满分13分）已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，a ＝6，b ＋12cos B ＝2c ． （1）求A 的大小；（2）请在下列三个条件中选择一个作为已知条件，使△ABC 存在，并解决问题： M 为△ABC 内一点，AM 的延长线交BC 于点D ，求△ABC 的面积.①M 为△ABC 的外心，AM ＝4； ②M 为△ABC 的垂心，MD ＝√3 ； ③M 为△ABC 的内心，AD ＝3√3 ．16．（满分15分）图形的被覆盖率是指，图形被覆盖部分的面积与图形的原面积之比．通常用字母C 表示．如图所示，边长为1的正三角形被n （n ∈N *）层半径相等的圆覆盖，最下面一层与正三角形底边均相切，每一层相邻两圆外切，层与层相邻的圆相外切，且每一层两侧的圆与正三角形两边相切．记覆盖的等圆层数为n 时，等圆的半径为a n ．图中已给出n 等于1，2，10时的覆盖情形．（1）写出a 1，a 2的值，并求数列{a n }的通项公式；（2）证明：此正三角形的被覆盖率低于91%．（参考数据：π≈3.14，√3≈1.73）17．（满分15分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1．（1）求概率P(ξ＝0)；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．18．（满分17分）如图，已知抛物线E：y2＝x与圆M：(x－4)2＋y2＝r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（1）求r的取值范围；（2）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．19．（满分17分）已知函数f(x)＝(x－a)(e x－a)，a≥0．（1）当a＝0时，讨论f(x)的单调性；（2）证明：f(x)有唯一极小值点x0，并求f(x0)的最大值．2024年普通高等学校招生全国统一考试 押题密卷2数学 参考答案单项选择题 1．A 2．B 3．A 4．D 5．B6．C7．C8．B多项选择题 9．BCD对于A ，中位数是3，则这5个数从小到大排列后，第3个数是3，第1、2个数是2才能使众数为2，故第1个数不是1，故A 不正确，对于B ，有可能出现点数1，例如1,2,5,6,6； 对于C ，有可能出现点数1，例如1,1,1,2,5； 对于D ，有可能出现点数1，例如1,4,5,5,5； 故选BCD.10．ACD对于A ，()32()(1)1f x x x x =−++，对于函数322()1,()32g x x x g x x x +=′=++， 令gg ′(xx )<0⇒−23<xx <0，令gg ′(xx )>0⇒xx <−23或xx >0，所以函数gg (xx )在(−23,0)上单调递减，在(−∞,−23)和(0,+∞)上单调递增，则函数gg (xx )在xx =−23，xx =0处分别取极大值和极小值， 由gg (0)>0，知gg (xx )只有一个零点，所以ff (xx )有两个零点，故A 正确；对于B ，假设B 成立，设切点坐标为�xx 0,ff (xx 0)�，切线方程为()()342000004211y xx x x x x x =−+−+−+−，即()34200042131y xx x x x =−+−+−，∴4200310x x −+−=，但显然4200310x x −+−<，故B 错误； 对于C ，32()421,()122f x x x f x x ′=′+′=−−， 令ff ″(xx )<0⇒−√66√6，令ff ″(xx )>0⇒xx <−√66或xx >√66，所以函数()f x ′在(上单调递减，在(−∞,−√66)和(√66,+∞)上单调递增，∴函数()f x ′在x =处分别取到极大值和极小值，由0f >′知()f x ′只有一个零点，ff (xx )有一个极值点，故C 正确； 对于D ，若D 正确，则存在实数m 使得3()421f x x x m ′=−+=有三个不同的根， 即函数yy =4xx 3−2xx +1mm 3个交点，由选项C 可知，,m f f∈ ′′，故D 正确.故选ACD. 11．AD对于A ，bb =rr =2，aa =rrcccccc 60°=2124，所以cc =√aa 2−bb 2=√16−4=2√3，所以离心率ee =ccaa =2√34=√32，所以A 正确；对于B ，长轴长2248a =×=，所以B 不正确；对于C ，椭圆的面积SS =ππaabb =2×4ππ=8ππ，所以C 不正确； 对于D ，椭圆方程为xx 2aa 2+yy 2bb 2=1，椭圆内接三角形一个顶点在长轴左顶点，另两点在直线xx =mm (mm >0)上，此时另两点的距离为：2bb �1−mm 2aa2，三角形的面积为：12(aa +mm )⋅2bb �1−mm 2aa 2=bb ⋅�(aa +mm )(aa +mm )�1−mm aa ��1−mm aa�=aabb √3⋅��1+mmaa��1+mm aa ��3−3mm aa ��1+mm aa � ≤aabb √3��1+mm aa +1+mm aa +3−3mm aa +1+mm aa 4�4=aabb√3×94=3√3bbcc4 当且仅当1+mm aa=3−3mm aa，即mm =aa2时，取等号．∴SS3√3aabb 43√3×4×24√3△mmaaxx，所以D 正确，故选AD ． 填空题 12．�0,ππ4�因为ssss ss BB >0，ccccss AA =ssss ss BB ，所以ccccss AA >0，所以AA <ππ2. 若BB <ππ2，由ccccss AA =ssss ss BB ，可得ssss ss (ππ2−AA )=ssss ss BB ，由正弦函数在(0,ππ2)的单调性可得，BB =ππ2−AA ，则CC =ππ2，原题设不成立； 若π2B >，同理可得BB =AA +ππ2，由AA +BB <ππ，解得π(0,)4A ∈．故答案为(0,ππ4)．13．ππ4∵a ，bb ，cc 成等差数列，2b a ∴=+，即cc =2bb −aa ，点PP (−1,0)到直线ll :aaxx +bbyy +cc =0，=，两边平方化简可得(aa +bb )2=0，即bb =−aa ，则直线ll 的斜率为1ab−=，故直线的倾斜角是ππ4，故答案为ππ4．14．�−98,2�根据题意，以AABB 中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标： 正三角形AABBCC 的边长为2，则AA (−1,0),BB (1,0),CC�0,√3�，点PP 是AABBCC 三边上的动点，�����⃗=(−1−tt,0),PPBB�����⃗=(1−tt,0),PPCC�����⃗=�−tt,√3�则PPAA�����⃗⋅�PPBB�����⃗+PPCC�����⃗�所PPAA=(−1−tt,0)⋅�(1−tt,0)+�−tt,√3��=(−1−tt)⋅(1−2tt)=2�tt+14�2−98,(−1≤tt≤1)所以当tt=−14时取得最小值为−98；当tt=1时取得最大值为2. ②，当PP在线段CCBB上时，直线CCBB的方程为yy=−√3xx+√3，设PP�mm,−√3mm+√3�,(0≤mm≤1)，�����⃗=�−1−mm,√3mm−√3�,PPBB�����⃗=�1−mm,√3mm−√3�,PPCC�����⃗=�−mm,√3mm�，则PPAA�����⃗⋅�PPBB�����⃗+PPCC�����⃗�所PPAA=�−1−mm,√3mm−√3�⋅��1−mm,√3mm−√3�+�−mm,√3mm��=�−1−mm,√3mm−√3�⋅�1−2mm,2√3mm−√3�=8�mm−12�2,(0≤mm≤1)所以当mm=12时取得最小值为0；当mm=1或mm=0时取得最大值为2. ③，当PP在线段AACC上时，直线AACC的方程为yy=√3xx+√3，设PP�ss,√3ss+√3�,(−1≤ss≤0)，�����⃗=�−1−ss,−√3ss−√3�,PPBB�����⃗=�1−ss,−√3ss−√3�,PPCC�����⃗=�−ss,−√3ss�，则PPAA�����⃗⋅�PPBB�����⃗+PPCC�����⃗�，所PPAA=�−1−ss,−√3ss−√3�⋅��1−ss,−√3ss−√3�+�−ss,−√3ss��，=�−1−ss,−√3ss−√3�⋅�1−2ss,−2√3ss−√3�，=8�ss+58�2−98,(−1≤ss≤0)，所以当ss=−58时取得最小值为−98；当ss=0时取得最大值为2.�����⃗⋅�PPBB�����⃗+PPCC�����⃗�的取值范围为�−98,2�，综上可知，PPAA解答题15．（1）在△AABBCC 中，由余弦定理得ccccss BB =aa 2+cc 2−bb 22aacc，又因为aa =6，12cos 2b B c +=， 所以2221222a c b b c ac+−+⋅=，整理得2236b c bc +−=.在△AABBCC 中，由余弦定理得22362cos b c bc A +−=，所以bbcc =2bbcc ccccss AA ， 即ccccss AA =12又因为AA ∈(0,ππ)，所以AA =ππ3.（2）选①，设△AABBCC 的外接圆半径为R ，则在△AABBCC 中，由正弦定理得62sin sin 3BCR A π===，即R =因为MM 为外心，所以AAMM =2√3，与AAMM =4盾，故不能选①. 选②，因为MM 为△AABBCC 的垂心，所以222BMDMBD ACB ACB πππ∠=−∠=−−∠=∠， 又MMMM =√3，所以在△MMBBMM中，tan BD MD BMD ACB =⋅∠=∠，同理可得CDABC =∠，又因为6BD CD +=6ABC ACB ∠∠=，即tan tan ABC ACB ∠+∠又因为在△AABBCC中，tan()tan ABC ACB BAC ∠+∠=−∠=所以tan tan 1tan tan ABC ACBABC ACB∠+∠=−∠∠tan tan 3ABC ACB ∠∠=，故ttaass ∠AABBCC ，tan ACB ∠为方程xx 2−2√3xx +3=0两根，即tan tan ABC ACB ∠=∠因为∠AABBCC ，∠AACCBB ∈(0,ππ)，所以3ABC ACB π∠=∠=，所以△AABBCC 为等边三角形， 所以SS △AAAAAA =12×62×√32=9√3.选③，因为MM 为△AABBCC 的内心，所以∠BBAAMM =∠CCAAMM =12∠BBAACC =ππ6， 由SS △AAAAAA =SS △AAAAAA +SS △AAAAAA ， 得111sin sin sin 232626bc c AD b ADπππ=⋅+⋅， 因为AAMM =3√3，所以1()2b c =+，即3bc b c +=，由（1）可得2236b c bc +−=，即(bb +cc )2−3bbcc =36，所以2()33609bc bc −−=， 即(9)409bc bc+−=， 又因为bbcc >0，所以bbcc =36，所以SS ΔΔAAAAAA =12bbcc ssss ss ππ3=12×36×√32=9√3.16．（1）由题意得，1a =，2a =当覆盖的等圆有ss 层时，最下面一层的圆有ss 个，相邻两圆的圆心距为2aa nn ，最左边与最右边的两圆的圆心距为()21n n a −．又最左边与最右边的两圆的圆心在三角形底边上投影与底边最近顶点距离之和为n ，则()211n n n a −+=，∴n a =．（2）证明：被覆盖面积()211π2n n n S a +==2S =．被覆盖率120.9050.91S C S =<≈<， ∴对任意的层数ss ，此正三角形的被覆盖率CC 低于91%．17．（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C 32对相交棱，因此P(ξ＝0)＝232128C C ＝8×366＝411.（2）若两条棱平行，则它们的距离为1或√2，其中距离为√2的共有6对，故P(ξ＝√2)＝2126C ＝111， 于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝√2)＝1－411－111＝611， 所以随机变量ξ的分布列是 ξ1√2P(ξ)411611111因此E(ξ)＝1×611＋√2×111＝6+√211.18．（1）联立方程组与，可得，所以方程由两个不等式正根由此得到解得，所以r的范围为（2）不妨设E与M的四个交点坐标分别为设直线AC,BD的方程分别为，解得点p的坐标为设t=，由t=及（1）可知由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积将代入上式，并令，得求导数，令，解得当时，，当，；当时，当且仅当时，由最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为（）19．（1）当aa=0时，()e x=，f x x则ff′xx，令ff ′(xx )=0，得xx =−1， 则ff (xx )在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,+∞)上单调递增.（2）由ff (xx )=(xx −aa )(ee xx −aa )，得()f x ′=e ()e (1)e x x x a x a x a a −+−=−+−， 令()(1)e x G x x a a =−+−，得()G x ′=(2)e x x a −+. 令()0G x ′=，则xx =aa −2， 所以()f x ′在(−∞,aa −2)上单调递减，在(aa −2,+∞)上单调递增， 易知()e a f a a ′=−，设函数()e x H x x =−， 令()e 10x H x ′−，可得xx =0，则()e x H x x =−在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增， 又HH (0)=1>0，故()e 0x H x x =−>在RR 上恒成立，故()e 0a f a a ′=−>，又2(2)e 0a f a a −′−=−−<， 所以存在0(2,)x a a ∈−，使得()00f x ′=. 又当(,2)x a ∈−∞−时，易知()0f x ′<，故ff (xx )有且仅有一个极小值点xx 0.因为()00f x ′=，所以()0001e 0e 1x x x a +≥+，即xx 0≥−1， 则ff (xx 0)=�xx 0−(xx 0+1)ee xx 0ee xx 0+1��ee xx 0−(xx 0+1)ee xx 0ee xx 0+1�=−ee xx 0(ee xx 0−xx 0)2(ee xx 0+1)2设()()22e e ()e 1x x x x g x −=−+，求导得()g x ′=()()23e e e (1)e 2e 1x x x x x x x x −++−− −+. 设2()e (1)e 2x x h x x x =++−−，求导得2()2e (2)e 1x x h x x ′=++−，注意到ℎ′(xx )在[−1,+∞)上单调递增，且�ℎ′(−1)=2ee −2+ee −1−1<0ℎ′(0)=3>0， 所以存在cc ∈(−1,0)，使得()0h c ′=，从而()h x 在(−1,cc )上单调递减，在(,)c +∞上单调递增， 又(0)0h =，2(1)e 10h −−=−<，ee xx −xx >0，所以当−1≤xx <0时，gg′(xx )>0；当xx >0时，()0g x ′<. 所以gg (xx )在(−1,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，则()01(0)4f x g ≤=−， 即ff (xx 0)的最大值为−14.。
2025届江苏省扬州市高考全国统考预测密卷数学试卷含解析2
2025届江苏省扬州市高考全国统考预测密卷数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC ∆中，AB AC AB AC +=-，4AB =，3AC =，则BC 在CA 方向上的投影是（ ） A ．4B ．3C ．-4D ．-32．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（ ）A ．3?i ≤B ．4?i ≤C ．5?i ≤D ．6?i ≤3．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（ ）A ．8B ．83C ．82+D ．842+4．设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[0,2]π上有且仅有5个零点，则ω的取值范围为（ ） A ．1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．1229,510⎛⎤⎥⎝⎦ C ．1229,510⎛⎫⎪⎝⎭ D ．1229,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 5．已知正四面体的内切球体积为v ，外接球的体积为V ，则Vv=（ ） A ．4B ．8C ．9D ．276．若22nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数n 的值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．47．已知向量,a b 满足||1,||3a b ==,且a 与b 的夹角为6π,则()(2)a b a b +⋅-=( ) A ．12B ．32-C ．12-D ．328．在ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数x ，y 满足0PA xPB yPC ++=，设ABC ∆、PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记ii S Sλ=（1,2,3i =），则23λλ⋅取到最大值时，2x y +的值为（ ）A ．－1B ．1C ．32-D ．329．下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数N 除以正整数m 所得的余数是n ”记为“(mod )N n m ≡”，例如71(mod 2)≡.执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．16B ．17C ．18D ．1910．已知集合{}{}22(,)4,(,)2xA x y x yB x y y =+===，则AB 元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．411．如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试（满分100分）中得分情况的茎叶图，则下列说法错误．．的是（ ）A ．甲得分的平均数比乙大B ．甲得分的极差比乙大C ．甲得分的方差比乙小D ．甲得分的中位数和乙相等12．设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点若双曲线上存在点P ，使1260F PF ∠=︒，且122PF PF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．3B ．2C ．5D ．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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★启封前绝密★2006年普通高等学校招生全国统一考试数学预测试卷（江苏卷）注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、考试证号等填写清楚，并认真核准答题卡表头及答题纸密封线内规定填写或填涂的项目。
2．第I 卷选择题部分必须使用2B 铅笔填涂在答题卡上；II 卷非选择题部分必须使用0.5mm 黑色签字笔书写在答题纸上，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，书写不能超出横线或方格，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面和答题纸清洁，不折叠、不破损。
本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：(本大10题小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。
) 1．设集合M=｛x x ＜5＝，N=｛x x ＞3｝，那么“x ∈｛x x ∈M 或x ∈N ｝是“x MN ∈”的 AA. 必要非充分条件B. 充分非必要条件C.充要条件D.既非充分条件又非必要条件2 ．已知数列{a n }是等差数列，且a 3+a 11=50,又a 4=13,则a 2等于 C A.1 B.4 C.5 D.63．若钝角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边和最小边长度比为m ，则m 的范围是BA ．(1,2)B ．(2,)+∞C ．[)3,+∞D ．(3,)+∞4．若ΔABC 中，三个内角A <B <C 成等差数列，则C A cos cos 的取值范围是 D A ．]41,21(-B ．]41,43[-C ．)41,43(-D ．)41,21(- 5.已知直线m,n 和平面α,则m ∥n 的一个必要非充分条件是DA. m ∥α、n ∥αB.m ⊥α、n ⊥αC.m ∥α、n ⊂αD.m 、n 与α成等角6、在直角坐标系中,函数223ax a y +=)0(为常数>a 所表示的曲线叫箕舌线，则箕舌线可能是下列图形中的 A7．设函数()y f x =满足(1)()1f x f x +=+，则方程()f x x =的根的个数是CA ．无穷个B ．有限个C ．没有或者无穷个D ．没有或者有限个8．一个正方体，它的表面涂满了红色。
在它的每个面上切三刀，可得64个小立方块，从中任取2个，其中恰有1个一面涂有红色，1个两面涂有红色的概率为 AA.27B.839C.11716D.3916 9.设a ，b 是两个非零向量，若8a-kb 与-ka+b 共线，则实数k 值为 B A.22B. ±22C. -22D.810.直线l ：A x +B y +C =0过一、二、四象限，坐标原点O (0，0)与点M (m,n )同在直线l 的左下方，则A m +B n +C 的值 CA.与A 同号，与B 同号B.与A 同号，与B 异号C.与A 异号，与B 异号D. 与A 异号，与B 同号二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.11．在数列{}n a 中，2111,10n n a a a +=--=，则此数列的前2006项之和为-100112、有6根细木棒,其中较长的两根分别为 3 a , 2 a,其余4根均为a ,用它们搭成三棱锥,则其中两条较长的棱所在的直线所成的角的余弦值为 . （36） 13．设4821201212(1)(4)(3)(3)(3)x x a a x a x a x ++=+++++++，则2412a a a +++＝。
11214．设A ，B 是两个独立事件，“A 和B 同时不发生”的概率为19， “A 发生且B 不发生”的概率与“B发生且A 不发生”的概率相等，则事件A 发生的概率为____________（23）15．坐标平面内有一个质点从点(1,0)A 出发，沿单位圆221x y +=的圆弧移动，每次向逆时针方向或顺时针方向移动所经过的弧长为6π，经过5次移动后质点落在点()0,1处（允许重复过此点），则质点不同的运动方法共有__________________种（用数字作答）.516、有一公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一个时刻，有n 个人正在使用电话或等待使用的概率为)(n P ，且)(n P 与时刻t 无关，统计得到⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤⋅=6,051,)0()21()(n n P n P n，那么在某一时刻这个公用电话亭里一个人也没有的概率P (0)的值是．（3263） 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、已知向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),(6sin ,cos )a b c αααααα===-，[,]2παπ∈,a b a c ⋅=⋅,（Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求sin(2)3πα+的值。
解：（I ）由a b a c ⋅=⋅得，226sin sin cos 2cos 0αααα-⋅-=，∵[,]2παπ∈,∴1tan 2α=-………………………6分 （Ⅱ）∵1t a n 2α=-，∴2222s i n c o s 2t a n 4s i n 2s i n c o s 1t a n 5ααααααα⋅===-++，3cos 25α=，∴s i n (2)s i n 2c o s c o s333πππααα+=⋅+⋅=……………………12分18.（本题满分14分）如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面是矩形，PA ⊥底面，E 、F 分别是AB 、PD 的中点。
（1）求证：AF ∥平面PCE ；（2）若二面角P-CD-B 为450，求证：平面PCE ⊥平面PCD ；（3）在（2）的条件下，若AD=2，CD=22，求F 到平面PCE 的距离。
解 （1）设PC 的中点为M ，连EM 、FM ，则FM 平行且等于21CD. 又AE 平行且等于CD 21。
……………………………………………………2分∴四边形AFME 为平行四边形， ∴AF//FM ∴AF//平面PCE 。
……4分 （2）∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ，又CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD 。
∴∠PDA 是二面角P —CD —B 的平面角，且CD ⊥AF 。
即∠PDA=45°。
………………………………………………………………6分 在等腰Rt △PAD ，AF ⊥PD ， ∴AF ⊥平面PCD 又EM//AF ， ∴EM ⊥平面PCD 。
∴平面PCE ⊥平面PCD ……………………………………………………8分 （3）作FH ⊥PC 于H 。
∵平面PCE ⊥平面PCD ，∴FH 的长为F 到平面PCE 的距离。
……………………………………10分由△PHF ∽△PCD ，得PCPFDC FH =∴FH=4222⨯=⋅PC PF DC =1…………12分 19．（本小题满分14分）已知某公司生产品牌服装的年固定成本为10万元，每生产千件，须另投入2．7万元．设该公司年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且22110.8(010)30()1081000(10)3x x R x x xx ⎧-<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩． （1）写出年利润W （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？（注：年利润＝年销售收入－年总成本）解：（1）当0≤x <10时，3()(10 2.7)8.11030x W xR x x x =-+=--；……………3分 当x >10时，100()(10 2.7)98 2.73W xR x x x x=-+=--．∴38.110(010)30100098 2.7(10)3x x x W x x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩． ………………6分（2）①当0≤x <10时，由28.1010x W '=-=，得9x =， 且当(0,9)x ∈时，0W '<；当(9,10)x ∈时，0W '>，≤∴当9x =时，W 取最大值，且3max 18.1991038.630W =⋅-⋅-=．…………9分 ②当10x >时，100098( 2.7)98383W x x =-+≤-， 当且仅当1000 2.73x x =，即10009x =时，38W =， ……………12分 故当1009x =时，W 取最大值38．综合①②知当9x =时，W 取最大值．所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．…14分 20．（本题满分15分）已知函数)0(,2213141)(234≠+++=a x bx ax x x f ，在2-=x 时取极值，在2-=x 以外还存在c ，使得0)(='c f ，但函数)(x f 在c x =处无极值。
（1）求a 、b 的值；解：（1）2)(23+++='bx ax x x f ，)(x f 在2-=x 时取极值，在2-=x 以外还存在c ，使得0)(='c f ，但函数在c x =处无极值。
0)(,0)2(='=-'∴c f f ，且在2-=x 的左右)(x f '改变符号，但在c x =的左右)(x f '不改变符号。
∴可将)(x f '表示为222322)2()22())(2()(c x c c x c x c x x x f +-+-+=++=' ⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧=-==-===⇔==-=-∴1301542222222c b a c b a c b c c a c 或，又0≠a ，故⎩⎨⎧==54b a （2）254)1)(2()(232+++=++='x x x x x x f令0)1)(53(583)(2=++=++=''x x x x x f ，则35-=x 或1-=x∴当35-<x 时，0)(>''x f ；当135-<<-x 时，0)(<''x f ；当1->x 时，0)(>''x f 。
)(x f '∴在)0,1(),35,(---∞上是增函数，在)1,53(--上减函数。
且274)35(,0)1(,0)2(,2)0(=-'=-'='='f f f f∴导函数)(x f '在[]0,2-上，有0)1()2()(,2)0()(min max =-'=-'='='='f f x f f x f ∴当)0,2(,21-∈x x 时，2|02||)()(||)()(|min 2max 121=-<'-'≤'-'x f x f x f x f 。