【数学】3.2《二倍角的三角函数》课件(北师大版必修4)
合集下载
高中数 二倍角的三角函数课件 北师大必修
选择题
已知$costheta = frac{1}{3}$， 且$theta in (0,frac{pi}{2})$， 则$sin2theta =$？
填空题
已知$tantheቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa = frac{1}{2}$， 则$cos2theta =$？
解答题
已知$sintheta = frac{3}{5}$， 求$cos2theta$的值。
图像的变换
平移变换
翻转变换
通过平移二倍角三角函数的图像，可 以得到其他三角函数的图像。
通过翻转二倍角三角函数的图像，可 以得到其他形式的三角函数图像。
伸缩变换
通过伸缩二倍角三角函数的图像，可 以得到其他形式的三角函数图像。
05
习题与解答
习题
判断题
若$sin2theta = frac{1}{3}$， 则$cos^2theta = frac{1}{3}$。
答案与解析
• 判断题解析：若$\sin2\theta = \frac{1}{3}$，则根据二倍角公式，我们有 $2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{3}$。平方两边得到${(2\sin\theta)}^{2} + {(2\cos\theta)}^{2} - 2 \times 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{9}$，化 简得到$4 - 4\sin2\theta = \frac{1}{9}$，解得$\sin^2\theta = \frac{10}{9}$，所以$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = \frac{1}{9}$，故 判断题错误。
在研究函数性质中的应用
利用二倍角公式研究函数的周期性
已知$costheta = frac{1}{3}$， 且$theta in (0,frac{pi}{2})$， 则$sin2theta =$？
填空题
已知$tantheቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa = frac{1}{2}$， 则$cos2theta =$？
解答题
已知$sintheta = frac{3}{5}$， 求$cos2theta$的值。
图像的变换
平移变换
翻转变换
通过平移二倍角三角函数的图像，可 以得到其他三角函数的图像。
通过翻转二倍角三角函数的图像，可 以得到其他形式的三角函数图像。
伸缩变换
通过伸缩二倍角三角函数的图像，可 以得到其他形式的三角函数图像。
05
习题与解答
习题
判断题
若$sin2theta = frac{1}{3}$， 则$cos^2theta = frac{1}{3}$。
答案与解析
• 判断题解析：若$\sin2\theta = \frac{1}{3}$，则根据二倍角公式，我们有 $2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{3}$。平方两边得到${(2\sin\theta)}^{2} + {(2\cos\theta)}^{2} - 2 \times 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{9}$，化 简得到$4 - 4\sin2\theta = \frac{1}{9}$，解得$\sin^2\theta = \frac{10}{9}$，所以$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = \frac{1}{9}$，故 判断题错误。
在研究函数性质中的应用
利用二倍角公式研究函数的周期性
高中数学 第三章 三角恒等变形 3 二倍角的三角函数 第2课时 半角公式及其应用课件 北师大版必修4
θ
sin 2 ，
θθ
cos 2 ，tan 2 的值分别为( B )
A．－255， 55，2
B．－255，－ 55，2
2 C.
5
5，－
55，2
D．－255，－ 55，－2
(2)若 cosα＝－45，α 是第三象限的角，则11＋ －ttaannαα22＝( A )
A．－12
1 B.2
C．2
D．－2
(3)若1－sincoαs α＝2，则 cosα－sinα＝_－__75_____.
探究点一 给值求值
已知 α 为钝角，β 为锐角，且 sinα＝45，sinβ＝1123，求 cosα－2 β的值． (链接教材 P127 例 6，例 7) [解]因为 α 为钝角，β 为锐角，sinα＝45，sinβ＝1123， 所以 cosα＝－35，cosβ＝153，
所以 cosα＝－35，cosβ＝153，
(4)若 α 是第一象限角，则 tanα2＝
1－cos α 1＋cos α.(
√
)
解析：(1)错误．只有当－π2 ＋2kπ≤α2≤π2 ＋2kπ(k∈Z)，即－π＋4kπ
≤α≤π＋4kπ(k∈Z)时，cosα2＝
1＋cos α 2.
(2)正确．当 cosα＝－ 3＋1 时，上式成立，但一般情况下不成立．
(3)选公式．涉及半角公式的正切值时，常用
tanα2＝1＋sincoαs
＝ α
1－cos sin α
α，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问
题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用 siα计算．
(4)下结论．结合(2)求值.
1.(1)已知|cosθ|＝35，且5π 2 <θ<3π，则
3-3 二倍角的三角函数(一) 课件(北师大版必修4)
课前探究学习 课堂讲练互动
规律方法 (1)化简三角函数式的常用方法： ①切化弦．②异名化同名．③异角化同角．④高次化低次． (2)化简三角函数式的常用技巧： ①注意特殊角的三角函数与特殊值的互化． ②对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因 式的提取公因式后进行约分． ③对于二次根式，注意倍角公式的逆用． ④注意利用角与角之间的隐含关系． ⑤注意利用“1”的恒等变形．
2 2α 2α
π 2kπ＋2＝tan(π
第②组称做升幂公式，第③组称做降幂公式．
课前探究学习 课堂讲练互动
题型一 利用倍角公式求值 3 【例 1】 已知 α 为第二象限的角， sin α＝5， β 为第三象限的角， 4 tan β＝3. (1)求 tan(α＋β)的值； (2)求 cos(2α－β)的值． [思路探索] (1)求出 tan α 和 tan β，运用两角和的正切公式；(2) 求出 cos 2α，sin 2α 及 cos β，sin β，运用两角差的余弦公式．
2cos ＋sin θ－1 2 的值． π 2cosθ＋4
2θ
解
3 ∵tan 2θ＝4，
2tan θ 3 1 ∴tan 2θ＝ ＝ ，即 tan θ＝3或 tan θ＝－3. 1－tan2 θ 4 π ∵2＜θ＜π，∴tan θ＝－3， 2cos 2＋sin θ－1 cos θ＋sin θ ∴ π ＝cos θ－sin θ 2cosθ＋4 1＋tan θ 1 ＝ ＝－ . 2 1－tan θ
∴原方程可化为 1－2cos 解得
π cosα＋4＝1，或
2
π π α＋ ＝－cosα＋ ， 4 4
π 1 cosα＋4＝－2.
课前探究学习
规律方法 (1)化简三角函数式的常用方法： ①切化弦．②异名化同名．③异角化同角．④高次化低次． (2)化简三角函数式的常用技巧： ①注意特殊角的三角函数与特殊值的互化． ②对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因 式的提取公因式后进行约分． ③对于二次根式，注意倍角公式的逆用． ④注意利用角与角之间的隐含关系． ⑤注意利用“1”的恒等变形．
2 2α 2α
π 2kπ＋2＝tan(π
第②组称做升幂公式，第③组称做降幂公式．
课前探究学习 课堂讲练互动
题型一 利用倍角公式求值 3 【例 1】 已知 α 为第二象限的角， sin α＝5， β 为第三象限的角， 4 tan β＝3. (1)求 tan(α＋β)的值； (2)求 cos(2α－β)的值． [思路探索] (1)求出 tan α 和 tan β，运用两角和的正切公式；(2) 求出 cos 2α，sin 2α 及 cos β，sin β，运用两角差的余弦公式．
2cos ＋sin θ－1 2 的值． π 2cosθ＋4
2θ
解
3 ∵tan 2θ＝4，
2tan θ 3 1 ∴tan 2θ＝ ＝ ，即 tan θ＝3或 tan θ＝－3. 1－tan2 θ 4 π ∵2＜θ＜π，∴tan θ＝－3， 2cos 2＋sin θ－1 cos θ＋sin θ ∴ π ＝cos θ－sin θ 2cosθ＋4 1＋tan θ 1 ＝ ＝－ . 2 1－tan θ
∴原方程可化为 1－2cos 解得
π cosα＋4＝1，或
2
π π α＋ ＝－cosα＋ ， 4 4
π 1 cosα＋4＝－2.
课前探究学习
高中数学北师大版必修4第3章3《二倍角的三角函数》ppt课件
(5)原式＝coss1in01°－0°co3ss1i0n°10°＝212cossin1100°－°co2s31s0i°n10° ＝4sin30°c2ossin1100°－°cocso1s03°0°sin10°＝4ssiinn320×°－101°0°＝4ssiinn2200°° ＝4. [规律总结] 解答此类题目一方面要注意角的倍数关系， 另一方面要注意函数名称的转化方法，同角三角函数的关系及 诱导公式是常用的方法．
42－12＝
2 4.
3．若sinα2＝ 33，则cosα＝( )
A．－23
B．－13
C．13 [答案] C
D．23
[解析]
本题考查了余弦的二倍角公式．因为sin
α 2
＝
3 3
，
所以cosα＝1－2sin2α2＝1－2( 33)2＝13.
4．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是________，最大值
(1)化简2sicno2sxx·(1＋tanx·tan2x)．
(2)求证：33－ ＋44ccooss22AA＋ ＋ccooss44AA＝tan4A．
[解析] (1)原式＝2s2incxocsoxsx(1＋csoinsxx·1－sincoxsx) ＝sinx(1＋1－cocsoxsx)＝csoinsxx＝tanx.
[规范解答] (1)原式＝sin2×1π2＝sinπ6＝12. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(60°＋4×360°)＝ cos60°＝12. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－ tan60°＝－ 3. (4)原式＝cos1π2cosπ2－1π2＝cos1π2sin1π2 ＝12·2sin1π2cos1π2＝12sinπ6＝12×12＝14.
《二倍角的三角函数》示范公开课教学PPT课件【高中数学必修4(北师大版)】
北师大版·统编教材高中数学必修4
二倍角的三角函数
一、知识梳理
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan tan
1 tan tan
当α＝β时
cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin tan tan tan
2
44
cos x cos2 x sin2 x 1 2sin2 x 2cos2 x １
2
4
4
4
4
一、知识梳理
理解公式的推导方法
S(α-β) C(α-β) 作 商
T(α-β)
以－β代β
S(α+β) C(α+β)
以－β代β
作 商 T(α+β)
β＝α
S2α
C2α
作 商
β＝α
T2α
一、知识梳理
例1 已知sin 3 ,是第三象限角,求sin 2 , cos 2 ,tan 2 .
2
2tan x 2 cos x
2sin x cos x
sin x
22
sin2 2
x cos2
x
4
sin x cos x sin 2x
总结：注in 2 2sin cos
cos 2 cos2 sin2 1 2sin2
2cos2 1
tan 2
2 tan 1 tan2
24 7
注意：1、符号法则；2、灵活运用公式 。
1 2sin2 2cos2 1
一、知识梳理
例2 不查表求值： （1）2cos105 cos15 ；
（3）1
tan15 tan2 15
二倍角的三角函数
一、知识梳理
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan tan
1 tan tan
当α＝β时
cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin tan tan tan
2
44
cos x cos2 x sin2 x 1 2sin2 x 2cos2 x １
2
4
4
4
4
一、知识梳理
理解公式的推导方法
S(α-β) C(α-β) 作 商
T(α-β)
以－β代β
S(α+β) C(α+β)
以－β代β
作 商 T(α+β)
β＝α
S2α
C2α
作 商
β＝α
T2α
一、知识梳理
例1 已知sin 3 ,是第三象限角,求sin 2 , cos 2 ,tan 2 .
2
2tan x 2 cos x
2sin x cos x
sin x
22
sin2 2
x cos2
x
4
sin x cos x sin 2x
总结：注in 2 2sin cos
cos 2 cos2 sin2 1 2sin2
2cos2 1
tan 2
2 tan 1 tan2
24 7
注意：1、符号法则；2、灵活运用公式 。
1 2sin2 2cos2 1
一、知识梳理
例2 不查表求值： （1）2cos105 cos15 ；
（3）1
tan15 tan2 15
【数学】3.2《二倍角的三角函数》课件(北师大版必修4)
1 = 2sin cos = sin = 12 12 6 2
π
π
π
例2.化简 2.化简
5π 5π 5π 5π ①． (sin + cos )(sin − cos ) 12 12 12 12 5π 3 2 5π 2 5π = − cos = 解 : 原式 = sin − cos 6 2 12 12
②． cos
1 + cos 2 x 1 y= + sin 2 x 2 2
2 π 1 = sin(2 x + ) + 2 4 2
Q sin(2 x + ) ∈ [ −1,1] 4
2 1 2 1 ∴ y ∈ [− + , + ] 2 2 2 2
π
课堂小结
.二倍角公式 1 .二倍角公式
sin 2α = 2 sin α cos α , cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − sin 2 α , 2 tan α tan 2α = . 2 1 − tan α
解 : 原式 = 1 + 2 cos 2 θ − 2 cos 2 θ + 1 = 2
例3、已知
12 π sin α = , α ∈ ( , π ) 13 2
:sin2α cos2α tan2α的值. 求:sin2α，cos2α，tan2α的值.
解: ∵ sin α =
12 π , α ∈ ( ,π ) 13 2
于是 sin4α = 2sin2α cos2α = 2×
；
5 12 120 × − = − 13 13 169
2
5 119 cos 4α = 1 − 2sin2 2α = 1 − 2 × = 13 169
北师大版数学必修四课件：第3章§3 二倍角的三角函数(1)
公式的特征与记忆
（1）左边角是右边角的二倍； （2）左边是2a的三角函数的一次式，右边是a 二次式. 由左到右：升幂缩角；由右到左：降幂扩角； （3）二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式， 正切是分式.
关于公式的几个说明：
1.公式S2a和C2b对任意角均成立，对于公式T2a k a + k , a + ( k Z ).
= 2cos2a - 1
= 1 - 2sin2a .
二倍角公式
sin 2a 2sin a cos a S2 α cos 2a cos 2 a - sin 2 a cos 2a 2cos a - 1
2
C 2α
cos 2a 1 - 2sin a
2
2tan a tan 2a T2 α 2 1 - tan a
A
B
sin 2 A sin( A + A) sin A cos A + cos A sin A 4 3 24 2sin A cos A 2 . 5 5 25
思考 3 两角和的正弦、余弦和正切公式都是恒等式，特别 地，当b＝a时，这三个公式分别变为什么形式？
二倍角公式的推导 sin 2a = sin(a + a) = sin a cos a + cos a sin a = 2sin a cos a cos 2a = cos(a + a) = cos a cos a – sin a sin a = cos2a – sin2a
例2
求下列各式的值：
(1)sin15 cos15 ; (2)cos 2
8
- sin 2
8
;
2tan 22.5 2 (3) ; (4)1 2sin 75 . 2 1 - tan 22.5
高中数学北师大版必修四 二倍角的三角函数(一)ppt课件(50张)
§3
二倍角的三角函数(一)
二倍角公式及其变形
2sinα cosα
sinα cosβ+cosα sinβ
2cos2α -1 cosα cosβ-sinα sinβ 1-2sin2α
tan tan 1 tan tan
1．判一判 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin 2α =2sin α .( ) ) )
【探究提示】1.利用降幂公式得 cos 2 ( ) 1 sin 2 . 2.由已知求得tan α后用正切二倍角公式求解. 3.cos 2x=
4
2
sin( 2x) 2sin( x)cos( x), 2 4 4 cos( x) sin[ ( x)] sin( x). 4 2 4 4
【解析】(1)原式= sin sin( ) sin cos
12
2 12
12
12
= 2sin
答案：
sin cos 12 12 6 1 . 2 2 4
1 (2)原式＝ 4 cos(2〓750°)＝cos 1 500°＝cos(4〓360°＋
60°)＝cos 60°＝ 答案： .
3 3
【题型示范】
类型一
用二倍角公式解决给值求值问题
【典例1】 (1)(2013·新课标全国Ⅱ)已知sin 2α = =( )
2 ， cos 2 ( ) 3 4
则
1 A. 6
1 B. 3
1 C. 2
2 D. 3
(2)(2013·四川高考)设sin 2α =-sin α ，α ∈ ( , )，则 tan 2α 的值是_________． (3)已知
二倍角的三角函数(一)
二倍角公式及其变形
2sinα cosα
sinα cosβ+cosα sinβ
2cos2α -1 cosα cosβ-sinα sinβ 1-2sin2α
tan tan 1 tan tan
1．判一判 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin 2α =2sin α .( ) ) )
【探究提示】1.利用降幂公式得 cos 2 ( ) 1 sin 2 . 2.由已知求得tan α后用正切二倍角公式求解. 3.cos 2x=
4
2
sin( 2x) 2sin( x)cos( x), 2 4 4 cos( x) sin[ ( x)] sin( x). 4 2 4 4
【解析】(1)原式= sin sin( ) sin cos
12
2 12
12
12
= 2sin
答案：
sin cos 12 12 6 1 . 2 2 4
1 (2)原式＝ 4 cos(2〓750°)＝cos 1 500°＝cos(4〓360°＋
60°)＝cos 60°＝ 答案： .
3 3
【题型示范】
类型一
用二倍角公式解决给值求值问题
【典例1】 (1)(2013·新课标全国Ⅱ)已知sin 2α = =( )
2 ， cos 2 ( ) 3 4
则
1 A. 6
1 B. 3
1 C. 2
2 D. 3
(2)(2013·四川高考)设sin 2α =-sin α ，α ∈ ( , )，则 tan 2α 的值是_________． (3)已知
二倍角的三角函数(2)》课件北师大版必修4
•解法2：
•6.求证：
• 证明:左边
•所以，原式成立.
•右边,
33《二倍角的三角函数（2 ）》课件北师大版必修4
•2.二倍角公式
•这些公式是否还有其他的变形，请进入本节课的 学习！
•1.能够由倍角公式推导出半角公式.（重点） •2.能较熟练地运用半角公式进行化简、求值、证明, 了解公式的各种变形，并能够熟练应用.（重点） •3.能够运用半角公式解决一些实际问题.（难点）
•例1 利用二倍角公式证明：
•又根据正切函数的定义，可得：
•这样我们就得到另外两个公式：
•以上我们得到的五个有关半角三角函数的公式 ，称之为半角公式.
•1.半角公式的特征与记忆：
•2.半角公式的作用：
•（1）半角公式的作用在于用单倍角的三角 函数来表达半角的三角函数，它适用于单倍 角与半角的三角函数之间的互化问题. •（2）半角公式是从二倍角公式中，将 用 代替推导出来的，记忆时可联想相应的二倍 角公式.
•变式练习：证明
•证明:（1）左边 •右等式成立.
•右边,
•C
•A.
B.
C.
D.
•B
•3.(2013·新课标全国高考)
• 已知
，则
（ •A ）
• A.
B.
C.
D.
•解:•因为 •所以
•4.化简：（1） •（2）
•解:（1）原式
•（2）原式
•解法1： •例4的结论
•3、关于公式的几个说明：
•（1）正弦和余弦函数的半角公式对任意角均 成立，对于正切的半角公式
•点评：看清角的取值范围，记住公式的结构形式 .
•引申：公式变形 ： •1.降幂升角公式
3.3.1二倍角的正弦、余弦和正切公式 课件(北师大版必修4)
倍角公式Βιβλιοθήκη 1．sin15°cos15° · 的值为( 1 A. 2 1 C. 4
答案： C
) 1 B. 3 D．1
π 4π 2．sin －cos 等于( 12 12 1 A．－ 2 1 C. 2
4
) 3 B．－ 2 3 D. 2
答案：
B
3．若tanα＝2，则tan2α＝________.
答案：
1 2.cos α－sin α－cos 2α＝－ sin 2αsin 4α. 4
8 8
解析： 左边＝(cos4α＋sin4α)(cos4α－sin4α)－cos 2α ＝[(cos2α＋sin2α)2－2cos2αsin2α]· 2α－cos 2α cos 1 2 1 ＝－ sin 2α· 2α＝－ sin 2αsin 4α. cos 2 4 ∴原式得证．
1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如： 8α 是 4α 的二倍；6α 是 3α 的二倍；4α 是 2α 的二 3 α α α α 倍； 是 α 的二倍； 是 的二倍； 是 的二倍； 3α 2 2 4 3 6 α α n＝2·n＋1(n∈N＋)． 2 2
2．二倍角余弦公式的运用 在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多 样，应用广泛．二倍角的常用形式：①1＋cos 2α 1＋cos 2α 2 2 ＝2cos α，②cos α＝ ，③1－cos 2α＝ 2 1－cos 2α 2 2 2sin α，④sin α＝ . 2
4 － 3
1 4．已知 cos 2α＝－ ，则 sin2α＝________. 9 5 答案： 9
化简求值 求下列各式的值： π π π π (1)(cos －sin )(cos ＋sin )； 12 12 12 12 1 2π (2) －cos ； 2 8 π 2π (3)cos cos . 5 5