2017-2018广西桂林市、崇左市、百色市高三年级第一次模拟考试理科数学(word版附答案)
广西桂林市、崇左市、百色市2017届高三下学期第一次联合模拟(一模)考试理数试卷含答案
广西桂林市、崇左市、百色市2017届高三下学期第一次联合模拟(一模）考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷(共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1。
已知集合}04|{2<-=x x M ，},821|{Z x x N x ∈≤≤=，则=M N ( ） A ．)2,0[ B ．}1,0{ C ．}2,1,0{ D ．}3,2,1,0{2。
若R a ∈，i 为虚数单位,则“1=a ”是“复数i a a a )3()2)(1(+++-为纯虚数”的（ ） A ．充要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分非必要条件 D ．既非充分又非必要条件3。
已知数列}{n a 满足021=-+n n a a ,若212=a ，则数列}{n a 的前11项和为（ ） A ．256 B ．41023 C ．10242047 D ．204840954.在区间]1,0[上随机取两个数，则这两个数之和小于23的概率是( )A ．81B ．83 C. 85 D ．875. 如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S 不可能是（ ）A ．7.0B ．75.0 C. 8.0 D ．9.0 6。
设实数2log 3=a ,2ln =b ，⎰=πsin 1xdxc ,则( ）A ．c a b >>B ．a c b >> C. c b a >> D ．b c a >>7.如图所示,某货场有两堆集装箱,一堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是（ ）A ．6B ．10 C. 12 D ．248。
某四棱锥的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形，则该四棱锥的表面积是（ ）A ．23222++B ．33223++C 。
2322++D ．3323++ 9。
若函数)0(cos )(>=ωωx x f 在区间)4,3(ππ-上有且只有两个极值点,则ω的取值范围是（ ) A ．)3,2[ B ．]3,2( C. )4,3[ D ．]4,3(10。
广西桂林市、崇左市2017届高三下学期联合调研考试理科
2017年高考桂林市、崇左市联合调研考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合2{||1log }A x x N x k =∈<<，集合中A 至少有2个元素，则 A ．4k ≥ B ．4k > C ．8k ≥ D ．8k >2、 复数212ii +-的虚部是 A ．35- B ．35i - C ．1 D ．i3、等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，且945672S a a a =+++，则37a a += A ．22 B ．24 C ．25 D ．264、在两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了四个不同的模型，它们的相关指数2R 如下，其中拟合效果最好的为A ．模型①的相关指数为0.976B ．模型②的相关指数为0.776C ．模型③的相关指数为0.076D ．模型④的相关指数为0.3565、一个简单的几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图可能为： ①长、宽不相等的长方形；②正方形；③圆；④椭圆，其中正确的是 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④6、若函数()f x 在R 上可导，且满足()()f x xf x <，则下列关系成立的是A ．()()212f f <B ．()()212f f >C ．()()212f f =D ．()()12f f = 7、在矩形ABCD 中，2,1,AB ADE ==为线段BC 上的点，则AE DE ⋅的最小值为 A ．2 B ．154 C ．174D ．4 8、若正整数N 除以正整数m 的余数为n ，则记为(mod )N n m =，例如114(mod 7)=，如图所示的程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出的n =A ．14B ．15C ．16D ．179、已知0w >，在函数sin y wx =与cos y wx =的图象的交点中， 相邻两个交点的横坐标之差为1，则w = A ．1 B ．2 C ．π D ．2π10、过正方体1111ABCD A BC D -的顶点A 的平面α与平面11CB D 平行， 设α平面,ABCD m α=平面11ABB A n = ，那么,m n 所成角的余弦值为 A．2 B．2C ．12D ．1311、已知函数24y x =-的图象与曲线22:4C x y λ+=恰有两个不同的公共点，则实数λ 的取值范围是 A ．11[,)44-B ．11[,]44-C ．11(,](0,)44-∞-D ．11(,][,)44-∞-+∞ 12、已知点(1,0)M ，若点N 是曲线()y f x =上的点，且线段MN 的中点在曲线()y g x =上，则称点N 是函数()y f x =关于函数()y g x =的一个相关点，已知()()21log ,()2x f x x g x ==，则函数()f x 关于函数()g x 的相关点的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分，第13题—第21题为必考题，每个考生都必须作答，第22题—第23题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13、若满足,x y 约束条件10304x y x y y -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3z x y =+的最小值为14、在567(1)(1)(1)x x x +++++的展开式中，4x 的系数等于 15、如果直线10ax by ++=被圆2225x y +=截得的弦长等于8，那么2212a b+的最小值等于16、在一个空心球里面射击一个棱长为4的内接正四面体，过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面，则该截面圆的面积是三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知223cos cos 222A B b a c +=. （1）求证：,,a c b 成等差数列；（2）若,3C ABC π=∆的面积为c .18、（本小题满分12分）某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：（1）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级公国的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？（2）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关？并说明理由.19、（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中011,,60CA CB AB AA BAA ==∠=.（1）证明：1AB AC ⊥ （2）若平面ABC ⊥平面11,AA B A AB CB =，求直线1AC 与平面11BB C C 所成角的正弦值.20、（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3(1,)2P ，离心率为32.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设12,F F 分别为椭圆C 的左右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ， 记1F MN ∆的内切圆的面积为S ，求当S 取最大值时直线l 的方程，并求出最大值.21、（本小题满分12分）设函数()()ln ,ln 2f x x g x x x ==-+. （1）求函数()g x 的极大值； （2）若关于x 的不等式()11x mf x x -≥+在[1,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围； （3）已知(0,)2πα∈，试比较(tan )f α与cos 2α-的大小，并说明理由.请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22、（本小题满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程已知极坐标的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的非负半轴重合，直线的参数方程为：1(12x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）曲线C 的极坐标方程为：4cos ρθ=. （1）写出C 的直角坐标方程和直线的普通方程； （2）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点，求PQ 的值.24、（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲 已知函数()13f x x x =-++. （1）解不等式()8f x ≥；（2）若关于x 的不等式()23f x a a <-的解集不是空集，求实数a 的取值范围.。
广西百所示范性中学联考2017-2018学年高三上学期第一次模拟数学(理)试卷 Word版含解析
广西百所示范性中学联考2017-2018学年高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是答合题目要求的．）1．复数等于( )A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i2．已知全集U=R，N={x|x（x+3）＜0}，M={x|x＜﹣1}则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|﹣3＜x＜﹣1} B．{x|﹣3＜x＜0} C．{x|﹣1≤x＜0} D．{x＜﹣3}3．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.4 4．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A．f（x）=x2+1 B．f（x）=cosx C．f（x）=e x D．f（x）=5．已知直线l1：3x+4y﹣2=0，l2：mx+2y+1+2m=0，当l1∥l2时，两条直线的距离是( ) A．B．1 C．2 D．6．数列{a n}中，a1=3，a2=7，当n≥1时，a n+2等于a n a n+1的个位数，则该数列的第2015项是( )A．1 B．3 C．7 D．97．已知向量，且，若变量x，y满足约束条件则z的最大值为( )A．1 B．2 C．3 D．48．将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是( )A．B．x=C．x=D．x=﹣9．如图，F1，F2是双曲线C1：x2﹣=1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点．若|F1F2|=|F1A|，则C2的离心率是( )A．B．C．D．10．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为60°的扇形，则该几何体的侧面积为( )A．12+πB．6+πC．12+2πD．6+4π11．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为( )A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）12．设O是△ABC的三边中垂线的交点，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，已知b2﹣2b+c2=0，则•的范围是( )A．[0，+∞）B．[0，2）C．[﹣，+∞）D．[﹣，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若将一个圆锥的侧面沿着一条母线剪开，其展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为__________．14．的展开式中，常数项为15，则n=__________．15．正方形的四个顶点A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）分别在抛物线y=﹣x2和y=x2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是__________．16．设函数f（x）=，若{a n}是公比大于0的等比数列，且a3a4a5=1，若f（a1）+f（a2）+…+f（a6）=2a1，则a1=__________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b=c，且满足=．（1）求∠A的大小；（2）若点O是△ABC外一点，∠AOB=θ（0＜θ＜π），OA=2OB=2，求平面四边形OACB 面积的最大值．18．交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T．其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10）严重拥堵．在晚高峰时段（T≥2），从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示．（1）在这20个路段中，轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？（2）从这20个路段中随机抽出3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X 的分布列及期望．19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB=CC1=2，∠ACB=90°，E、F分别是BA、BC的中点，G是AA1上一点，且AC1⊥EG．（Ⅰ）确定点G的位置；（Ⅱ）求直线AC1与平面EFG所成角θ的大小．20．已知点H（﹣3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足，．（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（2）过定点D（m，0）（m＞0）作直线l交轨迹C于A、B两点，E是D点关于坐标原点O的对称点，试问∠AED=∠BED吗？若相等，请给出证明，若不相等，说明理由．21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a＞0，e为自然对数的底数）．（1）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，证明：（）n+（）n+…+（）n+（）n＜（n∈N*）四、选做题（请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．）【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB是⊙O的直径，BE为⊙O的切线，点C为⊙O上不同于A，B的一点，AD 为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与⊙O交于D，与BE交于E，连接BD，CD．（1）求证：BD平分∠CBE；（2）求证：AH•BH=AE•HC．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为，（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求圆C在直角坐标系中的方程；（Ⅱ）若圆C与直线l相切，求实数a的值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣2|x﹣1|．（1）当m=3时，求f（x）的最大值；（2）解关于x的不等式f（x）≥0．广西百所示范性中学联考2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是答合题目要求的．）1．复数等于( )A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：先在分式的分、分母上同时乘以分母的共扼复数1﹣i，然后再进行化简可求．解答：解：==1+i故选D点评：本题主要考查了复数的乘除运算的综合，属于基础试题．2．已知全集U=R，N={x|x（x+3）＜0}，M={x|x＜﹣1}则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|﹣3＜x＜﹣1} B．{x|﹣3＜x＜0} C．{x|﹣1≤x＜0} D．{x＜﹣3}考点：Venn图表达集合的关系及运算．专题：集合．分析：首先化简集合N，然后由Venn图可知阴影部分表示N∩（C U M），即可得出答案．解答：解：N={x|x（x+3）＜0}={x|﹣3＜x＜0}由图象知，图中阴影部分所表示的集合是N∩（C U M），又M={x|x＜﹣1}，∴C U M={x|x≥﹣1}∴N∩（C U M）=[﹣1，0）故选：C．点评：本题考查venn表示的集合的运算，一般采用数形结合的方法解决问题，属于基础题．3．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.4考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程．解答：解：∵变量x与y正相关，∴可以排除C，D；样本平均数=3，=3.5，代入A符合，B不符合，故选：A．点评：本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．4．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A．f（x）=x2+1 B．f（x）=cosx C．f（x）=e x D．f（x）=考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件①f（x）+f（﹣x）=0，即函数f（x）为奇函数②f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点．逐一分析四个答案中给出的函数的性质，不难得到正确答案．解答：解：A：f（x）=x2+1不是奇函数，故不满足条件①f（x）+f（﹣x）=0B：f（x）=cosx符合输出的条件．C：f（x）=e x，不是奇函数，故不满足条件①f（x）+f（﹣x）=0，D：f（x）=的函数图象与x轴没有交点，故不满足条件②故选：B．点评：根据程序框图的流程能够判断出框图的功能，根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型．5．已知直线l1：3x+4y﹣2=0，l2：mx+2y+1+2m=0，当l1∥l2时，两条直线的距离是( ) A．B．1 C．2 D．考点：两条平行直线间的距离．专题：直线与圆．分析：利用平行线的斜率之间的关系可得m，再利用平行线之间的距离公式即可得出．解答：解：∵l1∥l2时，，解得m=，∴直线l2的方程为：3x+4y+8=0，∴d===2，故选：C．点评：本题考查了平行线的斜率之间的关系、平行线之间的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．6．数列{a n}中，a1=3，a2=7，当n≥1时，a n+2等于a n a n+1的个位数，则该数列的第2015项是( )A．1 B．3 C．7 D．9考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件，利用递推公式依次求出数列的前8项，从而得到数列{a n}循环周期为6，由此能求出该数列的第2015项．解答：解：∵数列{a n}中，a1=3，a2=7，当n≥1时，a n+2等于a n a n+1的个位数，∴由题意得a1=3，a2=7，a3=1，a4=7，a5=7，a6=9，a7=3，a8=7，∴数列{a n}循环周期为6，∵2015÷6=335…5，∴a2015=a5=7．故选：C．点评：本题考查数列的该数列的第2015项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意递推思想的合理运用．7．已知向量，且，若变量x，y满足约束条件则z的最大值为( )A．1 B．2 C．3 D．4考点：简单线性规划；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题．分析：画出不等式组表示的平面区域；将目标函数变形，画出其相应的图象；结合图，得到直线平移至（1，1）时，纵截距最大，z最大，求出z的最大值．解答：解：由，可得∴z=2x+y将目标函数变形为y=﹣2x+z，作出其对应的直线L：y=﹣2x，当其平移至B（1，1）时，直线的纵截距最大，此时z最大z的最大值为3故选C点评：本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．8．将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是( )A．B．x=C．x=D．x=﹣考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，可求得变换后的函数的解析式为y=sin（8x ﹣），利用正弦函数的对称性即可求得答案．解答：解：将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数解析式为：g（x）=sin（2x﹣），再将g（x）=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位（纵坐标不变）得到y=g（x+）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+﹣）=sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z），得：x=+，k∈Z．∴当k=0时，x=，即x=是变化后的函数图象的一条对称轴的方程，故选：A．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，求得变换后的函数的解析式是关键，考查正弦函数的对称性的应用，属于中档题．9．如图，F1，F2是双曲线C1：x2﹣=1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点．若|F1F2|=|F1A|，则C2的离心率是( )A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的定义，可求出|F2A|=2，|F1F2|=4，进而有|F1A|+|F2A|=6，由此可求C2的离心率．解答：解：由题意知，|F1F2|=|F1A|=4，∵|F1A|﹣|F2A|=2，∴|F2A|=2，∴|F1A|+|F2A|=6，∵|F1F2|=4，∴C2的离心率是=．故选B．点评：本题考查椭圆、双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，正确运用椭圆、双曲线的几何性质是关键．10．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为60°的扇形，则该几何体的侧面积为( )A．12+πB．6+πC．12+2πD．6+4π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：根据俯视图是中心角为60°的扇形，知几何体是圆柱体，由正视图知母线长为3，底面半径为2，求出底面弧长，代入侧面积公式计算．解答：解：由三视图知几何体是圆柱体，且母线长为3，底面半径为2，∴弧长为×2=，∴几何体的侧面积S=（+2×2）×3=12+2π．故选：C．点评：本题考查了由三视图求几何体的侧面积，关键是判断三视图的数据所对应的几何量．11．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为( )A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解解答：解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．12．设O是△ABC的三边中垂线的交点，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，已知b2﹣2b+c2=0，则•的范围是( )A．[0，+∞）B．[0，2）C．[﹣，+∞）D．[﹣，2）考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件知O是△ABC外接圆的圆心，可画出△ABC及其外接圆，连接AO并延长，交外接圆于D．所以便得到，，所以=b2﹣b=，而根据c2=2b﹣b2可求得b的范围0＜b＜2，所以求出二次函数在（0，2）上的范围即可．解答：解：O是△ABC的三边中垂线的交点，故O是三角形外接圆的圆心，如图所示，连接AO并延长交外接圆于D，AD是⊙O的直径，并连接BD，CD；则∠ABD=∠ACD=90°，cos∠BAD=，cos∠CAD=；∴===；∵c2=2b﹣b2＞0；∴0＜b＜2；设f（b）=；∴b=时，f（b）取最小值，又f（2）=2；∴；∴的范围是[）．故选：D．点评：考查三角形垂心的概念，圆的直径所对的圆周角为90°，用直角三角形的边表示余弦值，以及二次函数值域的求法．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若将一个圆锥的侧面沿着一条母线剪开，其展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：半径为2的半圆的弧长是2π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是2π，利用弧长公式计算底面半径后利用勾股定理求圆锥的高即可求解圆锥的体积．解答：解：一个圆锥的母线长为2，它的侧面展开图为半圆，圆的弧长为：2π，即圆锥的底面周长为：2π，设圆锥的底面半径是r，则得到2πr=2π，解得：r=1，这个圆锥的底面半径是1，∴圆锥的高为=．∴圆锥的体积为：πr2h=．故答案为：．点评：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．14．的展开式中，常数项为15，则n=6．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：首先分析题目已知的展开式中，常数项为15，求n的值．显然想到应用二项式定理列出式子的第k+1项，然后使含x的部分为1，系数为15，解出n和k即可得到答案．解答：解：由二项式定理（a+b）n=C n0a n+C n1a（n﹣1）b+C n2a（n﹣2）b2+…+C n n b n容易得到的展开式中，第k+1项为常数项为15则必有：，解得故答案为6．点评：此题主要考查二项式定理的应用问题，列出式子的展开式中的一般项求解是题目的关键，题目计算量小，属于基础题目．15．正方形的四个顶点A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）分别在抛物线y=﹣x2和y=x2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论．解答：解：∵A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1），∴正方体的ABCD的面积S=2×2=4，根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积S=2=2=2[（1﹣）﹣（﹣1+）]=2×=，则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是．故答案为：．点评：本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键．16．设函数f（x）=，若{a n}是公比大于0的等比数列，且a3a4a5=1，若f （a1）+f（a2）+…+f（a6）=2a1，则a1=e2．考点：分段函数的应用；等比数列的性质．专题：计算题；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：由题意可得f（x）+f（）=0；故f（a2）+…+f（a6）=f（a2）+f（a6）+f（a3）+f（a5）+f（a4）=0，从而化f（a1）+f（a2）+…+f（a6）=f（a1）=2a1，从而解得．解答：解：若x＞1，则0＜＜1；则f（x）=xlnx，f（）==﹣xlnx；故f（x）+f（）=0；又∵{a n}是公比大于0的等比数列，且a3a4a5=1，∴a4=1；故a6a2=a3a5=a4=1；故f（a2）+…+f（a6）=f（a2）+f（a6）+f（a3）+f（a5）+f（a4）=0+0+0=0；故f（a1）+f（a2）+…+f（a6）=f（a1）=2a1，若a1＞1，则a1lna1=2a1，则a1=e2；若0＜a1＜1，则＜0，故无解；故答案为：e2．点评：本题考查了等比数列的定义及分段函数的应用，属于中档题．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b=c，且满足=．（1）求∠A的大小；（2）若点O是△ABC外一点，∠AOB=θ（0＜θ＜π），OA=2OB=2，求平面四边形OACB 面积的最大值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由=，化为sinBcosA=sinA﹣sinAcosB，即sinC=sinA，又b=c，可得△ABC是等边三角形，即可得出A．（2）设该三角形的边长为a，则S OACB=，利用余弦定理、两角和差的正弦公式及其单调性即可得出．解答：解：（1）由=，化为sinBcosA=sinA﹣sinAcosB，∴sin（A+B）=sinA，∴sinC=sinA，A，C∈（0，π）．∴C=A，又b=c，∴△ABC是等边三角形，∴．（2）设该三角形的边长为a，a2=12+22﹣2×2×cosθ．则S OACB==sinθ+=+，当时，S OACB取得最大值．点评：本题考查了两角和差的正弦公式及其单调性、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T．其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10）严重拥堵．在晚高峰时段（T≥2），从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示．（1）在这20个路段中，轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？（2）从这20个路段中随机抽出3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X 的分布列及期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；分层抽样方法．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）由频率分布直方图可知底×高=频率，频率×20为路段个数；（2）由题意知X为0，1，2，3，求出相应的概率，由此求出X的分布列及期望．解答：解：（1）由直方图得：轻度拥堵的路段个数是（0.1+0.2）×1×20=6个，中度拥堵的路段个数是（0.25+0.2）×1×20=9个．（2）X的可能取值为0，1，2，3.，，，，∴X的分布列为X 0 1 2 3P∴．点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查超几何分布，考查离散型随机变量的分布列的求法及数学期望，是中档题．19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB=CC1=2，∠ACB=90°，E、F分别是BA、BC的中点，G是AA1上一点，且AC1⊥EG．（Ⅰ）确定点G的位置；（Ⅱ）求直线AC1与平面EFG所成角θ的大小．考点：直线与平面所成的角．专题：计算题；综合题．分析：解法一：（Ⅰ）以C为原点，分别以CB、CA、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标，利用向量数量积为零即可求得结果；（Ⅱ）求出平面EFG的法向量的一个法向量，利用直线的方向向量与法向量的夹角与直线与平面所成角之间的关系即可求得结果；解法二：（Ⅰ）取AC的中点D，连接DE、DG，则ED∥BC，利用线面垂直的判定和性质定理即可求得结果；（Ⅱ）取CC1的中点M，连接GM、FM，则EF∥GM，找出直线与平面所成的角，解三角形即可求得结果．解答：解法一：（Ⅰ）以C为原点，分别以CB、CA、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则F（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），C1（0，0，2），设G（0，2，h），则．∵AC1⊥EG，∴．∴﹣1×0+1×（﹣2）+2h=0．∴h=1，即G是AA1的中点．（Ⅱ）设是平面EFG的法向量，则．所以平面EFG的一个法向量m=（1，0，1）∵，∴，即AC1与平面EFG所成角θ为解法二：（Ⅰ）取AC的中点D，连接DE、DG，则ED∥BC∵BC⊥AC，∴ED⊥AC．又CC1⊥平面ABC，而ED⊂平面ABC，∴CC1⊥ED．∵CC1∩AC=C，∴ED⊥平面A1ACC1．又∵AC1⊥EG，∴AC1⊥DG．连接A1C，∵AC1⊥A1C，∴A1C∥DG．∵D是AC的中点，∴G是AA1的中点．（Ⅱ）取CC1的中点M，连接GM、FM，则EF∥GM，∴E、F、M、G共面．作C1H⊥FM，交FM的延长线于H，∵AC⊥平面BB1C1C，C1H⊂平面BB1C1C，∴AC⊥G1H，又AC∥GM，∴GM⊥C1H．∵GM∩FM=M，∴C1H⊥平面EFG，设AC1与MG相交于N点，所以∠C1NH为直线AC1与平面EFG所成角θ．因为，∴，∴．点评：本小题主要考查直线与平面垂直的判定，以及直线与平面平行的判定和直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．属中档题．20．已知点H（﹣3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足，．（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（2）过定点D（m，0）（m＞0）作直线l交轨迹C于A、B两点，E是D点关于坐标原点O的对称点，试问∠AED=∠BED吗？若相等，请给出证明，若不相等，说明理由．考点：平面向量的综合题．分析：（1）设M（x，y），P（0，y'），Q（x'，0）则可得，，由代入整理可求点M的轨迹C；（2）根据直线的倾斜角与斜率的关系，可证K AE=﹣K BE即可；分两种情况讨论：（1）当直线l垂直于x轴时，根据抛物线的对称性，有∠AED=∠BED；（2）当直线l与x轴不垂直时，利用直线的斜率进行转换可得∠AED=∠BED解答：解：（1）设M（x，y），P（0，y'），Q（x'，0）（x'＞0），∵，．∴且（3，y'）•（x，y﹣y'）=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴．∴y2=4x（x＞0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴动点M的轨迹C是以O（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线（除去原点）﹣（2）①当直线l垂直于x轴时，根据抛物线的对称性，有∠AED=∠BED；﹣②当直线l与x轴不垂直时，依题意，可设直线l的方程为y=k（x﹣m）（k≠0，m＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点的坐标满足方程组消去x并整理，得ky2﹣4y﹣4km=0，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设直线AE和BE的斜率分别为k1、k2，则：k1+k2=====．﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴tan∠AED+tan（180°﹣∠BED）=0，∴tan∠AED=tan∠BED，∵，∴∠AED=∠BED．综合①、②可知∠AED=∠BED．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题以向量得数量积的坐标表示为载体，考查了圆锥曲线得求解及直线与圆、圆锥曲线的位置关系得求解．属于综合试题．21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a＞0，e为自然对数的底数）．（1）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，证明：（）n+（）n+…+（）n+（）n＜（n∈N*）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；证明题；导数的综合应用．分析：（1）f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f（x）min≥0．构造函数g（a）=a ﹣alna﹣1，所以g（a）≥0，确定函数的单调性，即可求得实数a的值；（2）由（1）知，当x＞0时，e x＞x+1，即e x＞x，则1＞ln2，，＞ln（1），…，＞ln（1），累加再由对数的运算法则，即可得证．解答：（1）解：f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f（x）min≥0．由题意a＞0，f′（x）=e x﹣a，由f′（x）=e x﹣a=0，得x=lna．当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0．则f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．设g（a）=a﹣alna﹣1，所以g（a）≥0．由g′（a）=1﹣lna﹣1=﹣lna=0得a=1．则g（a）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，∴g（a）在a=1处取得最大值，而g（1）=0．因此g（a）≥0的解为a=1，故a=1；（2）证明：由（1）可知：当x＞0时，e x＞x+1，即e x＞x，即有e nx＞x n．则（）n＜e，（）n＜e2，（）n＜e3，…，（）n＜e n，则（）n+（）n+…+（）n+（）n＜e+e2+e3+…+e n=＜故（）n+（）n+…+（）n+（）n＜成立．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，同时考查不等式的证明，解题的关键是正确求导数，确定函数的单调性．四、选做题（请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．）【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB是⊙O的直径，BE为⊙O的切线，点C为⊙O上不同于A，B的一点，AD 为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与⊙O交于D，与BE交于E，连接BD，CD．（1）求证：BD平分∠CBE；（2）求证：AH•BH=AE•HC．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；立体几何．分析：（1）由AD为∠BAC的平分线得=，得出∠DBC=∠BCD，再由弦切角定理得到∠DBE=∠BCD，可得∠DBE=∠DBC；（2）证明△ABE∽△ACH，得出AH•BE=AE•HC即可．解答：证明：（1）∵AD为∠BAC的平分线，即∠DAB=∠DAC，∴=，可得∠DBC=∠BCD，又∵BE与圆O相切于点B，∴∠DBE=∠BCD，可得∠DBE=∠DBC，∴BD平分∠CBE；（2）由（1）可知BE=BH，所以AH•BH=AH•BE因为∠DAB=∠DAC，∠ACB=∠ABE，所以△ABE∽△ACH，所以，即AH•BE=AE•HC，即：AH•BH=AE•HC．点评：本题给出圆的直径与切线，考查圆的几何性质，弦切角定理，三角形相似，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为，（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求圆C在直角坐标系中的方程；（Ⅱ）若圆C与直线l相切，求实数a的值．考点：参数方程化成普通方程．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：（I）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可将圆C的极坐标方程ρ=4cosθ化为普通方程；（II）据点到直线的距离公式即可求出答案．解答：解：（Ⅰ）由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ，…结合极坐标与直角坐标的互化公式得x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4 …（Ⅱ）由直线l的参数方程为，化为普通方程，得x﹣y﹣a=0．结合圆C与直线l相切，得=2，解得a=﹣2或6．…点评：本题考查极坐标方程化为普通方程、直线与圆相切，理解极坐标方程与普通方程的互化公式和点到直线的距离公式是解决问题的关键．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣2|x﹣1|．（1）当m=3时，求f（x）的最大值；（2）解关于x的不等式f（x）≥0．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）当m=3时，函数f（x）=|x﹣3|﹣2|x﹣1|=，再根据函数的单调性求得函数f（x）的最大值．（2）关于x的不等式即（x﹣m）2≥4（x﹣1）2，化简可得3x2+（2m﹣8）x+4﹣m2≤0．计算△=16（m﹣1）2≥0，由此求得一元二次不等式的解集．解答：解：（1）当m=3时，函数f（x）=|x﹣3|﹣2|x﹣1|=，故当x=1时，函数f（x）取得最大值为2．（2）关于x的不等式f（x）≥0，即|x﹣m|≥2|x﹣1|，即（x﹣m）2≥4（x﹣1）2，化简可得3x2+（2m﹣8）x+4﹣m2≤0．由于△=16（m﹣1）2≥0，求得≤x≤．点评：本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．。
2017年广西高考数学模拟试卷(理科)(解析版)
2017年广西高考数学模拟试卷（理科)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列集合中,是集合A=｛x｜x2＜5x｝的真子集的是()A．{2,5｝B．（6,+∞）C．（0，5) D．（1,5）2．复数的实部与虚部分别为()A．7，﹣3 B．7，﹣3i C．﹣7，3 D．﹣7,3i3．设a=log25，b=log26，，则（）A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c4．设向量=(1，2）,=（﹣3，5），=（4,x），若+=λ(λ∈R），则λ+x的值是（）A．﹣B．C．﹣D．5．已知tanα=3,则等于()A．B．C．D．26．设x，y满足约束条件，则的最大值为(）A．B．2 C．D．07．将函数y=cos(2x+)的图象向左平移个单位后，得到f（x）的图象，则（）A．f（x）=﹣sin2x B．f（x）的图象关于x=﹣对称C．f(）=D．f(x）的图象关于(，0)对称8．执行如图所示的程序框图，若输入的x=2，n=4,则输出的s等于（）A．94 B．99 C．45 D．2039．直线y=2b与双曲线﹣=1（a＞0,b＞0）的左支、右支分别交于B,C两点，A为右顶点,O为坐标原点,若∠AOC=∠BOC,则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．2015年年岁史诗大剧《芈月传》风靡大江南北，影响力不亚于以前的《甄嬛传》．某记者调查了大量《芈月传》的观众，发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在［10,14]，[15，19］，［20，24],［25，29]，[30，34]的爱看比例分别为10％,18%，20%,30％，t%．现用这5个年龄段的中间值x 代表年龄段,如12代表［10，14],17代表［15，19]，根据前四个数据求得x关于爱看比例y的线性回归方程为，由此可推测t的值为(）A．33 B．35 C．37 D．3911．某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（)A．+8πB．+8πC．16+8πD．+16π12．已知定义在R上的偶函数f（x）在［0，+∞)上递减，若不等式f(﹣ax+lnx+1）+f（ax﹣lnx﹣1）≥2f（1）对x∈[1，3］恒成立,则实数a的取值范围是（）A．［2,e］B．［，+∞) C．［,e]D．［,］二、填空题（每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13．（x﹣1）7的展开式中x2的系数为．14．已知曲线C由抛物线y2=8x及其准线组成,则曲线C与圆（x+3)2+y2=16的交点的个数为．15．若体积为4的长方体的一个面的面积为1，且这个长方体8个顶点都在球O 的球面上，则球O表面积的最小值为．16．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算,则该沙田的面积为平万千米．三、解答题（本大题共5小题，共70分。
2017-2018学年高中毕业班第一次统测数学(理科)答案 (校对版)
肇庆市中小学教学质量评估 2018届高中毕业班第一次统一检测题理科数学参考答案及评分标准一、选择题二、填空题13． 0.8413 14． 120- 15． 22π+ 16． 1700三、解答题（17）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ） 满意度评分的众数=6070652+= （2分） 因为()()0.010.02100.30.5,0.010.020.03100.60.5+⨯=<++⨯=>，所以满意度评分的中位数在[60,70)之间，设中位数为a ，则()600.030.50.3a -⨯=-，得66.7a ≈ （5分） （Ⅱ）（9分）()22802430101610.03 6.63540403446K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， （11分）所以有99.9%的把握认为用户满意度与地区有关. （12分）（18）（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图，取VD 的中点F ，连接,EF AF . （1分）在VCD ∆中，EF 是中位线，所以1//2EF CD ， （2分）又1//2AB CD ，所以//EF AB ， （3分） 所以四边形ABEF 是平行四边形，所以//BE AF . （4分） 又,BE VAD AF VAD ⊄⊂面面，所以//BE VAD 面. （6分） （Ⅱ）因为//,AB CD CD VD ⊥，所以AB VD ⊥， （8分） 又因为AB VA ⊥，VA VD V =，,VA VD 都在VAD 面内，所以AB VAD ⊥面. （10分） 又AB ABCD ⊂面，所以面ABCD ⊥VAD 面. （12分）（19）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设“小王恰好抽奖3次停止”为事件A ，则()1123223515C C A P A A ==. （4分） （2）X 可取200，300，400，500 （5分）()2225120010A P X A ===，()()1123223513005C C A P X P A A ====， （7分） ()21332345340010C C A P A ==，()3143245525005C C A P A ==. （9分） X 的分布列如下表200300400500400105105EX =⨯+⨯+⨯+⨯= （12分）（20）（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图，取AD 的中点E ，连接,SE BE . （1分） 因为SA SD =，所以AD SE ⊥. （2分） 在菱形ABCD 中，060DAB ∠=，所以ABD ∆是等边三角形，所以AD BE ⊥. （3分） 又因为,,SEBE E SE SBE BE SBE =⊂⊂面面，所以AD SBE ⊥面. （5分）因为BS SBE ⊂面，所以AD BS ⊥. （6分）（Ⅱ）因为ABD ∆和ASD ∆是等边三角形，经计算，22SE BE ==. （7分） 由（Ⅰ）知，SEB ∠是二面角S AD B --的平面角， （8分）222cos 27SE BE SB SEB SE SB +-∠==-， （11分） 所以二面角S AD B --的余弦值为. （12分）（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在Rt BEC ∆中，03cos302CE CB ==，12AE AC CE =-=，03sin 30BE CB ==由tan BEBAC AE∠==，得060BAC ∠= 0000180603090ABC ∠=--=，即BC AB ⊥. （1分）又因为PAB ABC ⊥面面，PABABC AB =面面，BC ABC ⊂面所以BC PAB ⊥面，所以BC PA ⊥ （3分） 由BE AC ⊥，同理可得BE PA ⊥，又BEBC B =，所以PA ABC ⊥面. （4分）（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，则10,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，1,02B ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,2,0C ，()0,0,1P，3,,022BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,1CP =-. （5分） 设(),,n x y z =是面PBC 的一个法向量，则00BC n PC n ⎧=⎪⎨=⎪⎩即30220y y z ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，方程组的一组解为12x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即()3,1,2n = （7分）设()01CF CP λλ=≤≤则AF AC AP AC λλ-=-， 即()1AF AP AC λλ=+-=()022,λλ-，，30,2,2EF AF AE λλ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭（8分）依题意有385cos ,68EF n EF n EF n==，得1=10λ或11=10λ（舍去） （10分）则有410,,510F ⎛⎫⎪⎝⎭，即三棱锥F CBE -的高为110，（11分） 113132210F CBE V -=⨯⨯=（12分）（22）（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）24cos ,4cos ρθρρθ=∴=， （1分）由222,cos x y x ρρθ=+=,得224x y x +=. （3分）所以曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=. （4分）（Ⅱ）把 1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入224x y x +=，整理得26cos 50t t α-+= （5分）设其两根分别为 12,t t ，则12126cos ,5,t t t t α+==（6分）12PQ t t ∴=-===（7分）得cos 2α=±，566ππα=或，（9分）所以直线l 的斜率为 （10分）（23）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）当2x ≥时，125,x x ++-≤ ∴3x ≤，∴23x ≤≤； （1分） 当12x -<<时，125,x x +-+≤∴12x -<<； （2分） 当1x ≤-时，125,x x ---+≤∴2x ≥-，∴21x -≤≤- （3分） 综上所述，23x -≤≤，即不等式()5f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤. （4分） （Ⅱ）当[]0,2x ∈时，()123f x x x =+-+=， （5分）()22f x x x m ≥-++ ，即232x x m ≥-++，即2230x x m --+≥. （6分）也就是 ()2120x m --+≥，在[]0,2x ∈恒成立， （7分） 当1x =时，()212x m --+取得最小值2m -， （8分） 由20m -≥，得2m ≤，即m 的取值范围是{|2}m m ≤. （10分）。
广西桂林市、崇左市届高三联合调研考试理科数学试卷含答案
广西桂林市、崇左市届高三联合调研考试理科数学试卷含答案2017年高考桂林市、崇左市联合调研考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合2{||1log }A x x N x k =∈<<，集合中A 至少有2个元素，则A ．4k ≥B ．4k >C ．8k ≥D ．8k >2、 复数212i i +-的虚部是A ．35-B ．35i -C ．1D ．i3、等差数列{}n a 中，nS 为其前n 项和，且945672S a a a =+++，则37a a +=A ．22B ．24C ．25D ．264、在两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了四个不同的模型，它们的相关指数2R 如下，其中拟合效果最好的为A ．模型①的相关指数为0.976B ．模型②的相关指数为0.776C ．模型③的相关指数为0.076D ．模型④的相关指数为0.3565、一个简单的几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图可能为：①长、宽不相等的长方形；②正方形；③圆；④椭圆，其中正确的是A．①② B．②③ C．③④D．①④6、若函数()f x在R上可导，且满足()()f x xf x<，则下列关系成立的是A．()()212f f< B．()()212f f> C．()()212f f=D．()()12f f=7、在矩形ABCD中，2,1,AB AD E==为线段BC上的点，则AE DE⋅的最小值为A．2 B．154 C．174D．48、若正整数N除以正整数m的余数为n，则记为(mod)N n m=，例如114(mod7)=，如图所示的程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出的n=A．14B．15C．16D．179、已知0w >，在函数sin y wx =与cos y wx =的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差为1，则w =A ．1B ．2C ．πD ．2π10、过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 的平面α与平面11CB D 平行，设α平面,ABCD m α=平面11ABB A n = ，那么,m n 所成角的余弦值为A ．32 B ．22 C ．12 D ．1311、已知函数24y x =-的图象与曲线22:4C x y λ+=恰有两个不同的公共点，则实数λ 的取值范围是 A ．11[,)44- B ．11[,]44- C ．11(,](0,)44-∞-D ．11(,][,)44-∞-+∞12、已知点(1,0)M ，若点N 是曲线()y f x =上的点，且线段MN 的中点在曲线()y g x =上，则称点N 是函数()y f x =关于函数()y g x =的一个相关点，已知()()21log ,()2xf x xg x ==，则函数()f x 关于函数()g x 的相关点的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分，第13题—第21题为必考题，每个考生都必须作答，第22题—第23题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13、若满足,x y 约束条件10304x y x y y -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3z x y =+的最小值为14、在567(1)(1)(1)x x x +++++的展开式中，4x 的系数等于 15、如果直线10ax by ++=被圆2225xy +=截得的弦长等于8，那么2212a b +的最小值等于16、在一个空心球里面射击一个棱长为4的内接正四面体，过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面，则该截面圆的面积是三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知223cos cos 222A B b a c +=.（1）求证：,,a c b 成等差数列；（2）若,3C ABC π=∆的面积为23，求c .18、（本小题满分12分）某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：（1）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级公国的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？（2）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关？并说明理由.19、（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中011,,60CA CB AB AA BAA ==∠=. （1）证明：1AB A C ⊥ （2）若平面ABC ⊥平面11,AA B A AB CB =，求直线1A C 与平面11BB C C 所成角的正弦值.20、（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点3(1,)2P ，离心率为32. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设12,F F 分别为椭圆C 的左右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ，记1F MN ∆的内切圆的面积为S ，求当S 取最大值时直线l 的方程，并求出最大值.21、（本小题满分12分）设函数()()ln ,ln 2f x x g x x x ==-+.（1）求函数()g x 的极大值；（2）若关于x 的不等式()11x mf x x -≥+在[1,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知(0,)2πα∈，试比较(tan )f α与cos2α-的大小，并说明理由.请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22、（本小题满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程已知极坐标的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的非负半轴重合，直线的参数方程为： 31(12x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）曲线C 的极坐标方程为：4cos ρθ=.（1）写出C的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）设直线l与曲线C相交于,P Q两点，求PQ的值.24、（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲已知函数()13=-++.f x x x（1）解不等式()8f x≥；（2）若关于x的不等式()23f x a a<-的解集不是空集，求实数a的取值范围.。
广西名校2017届高三上学期第一次摸底考试数学(理)试题(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集{}123456U =，，，，，，若{}12345A B =，，，，，{}345AB =，，，则U A ð不可能是（ ）A ．{}126，，B ．{}26，C ．{}6D ．∅ 【答案】D 【解析】试题分析：由已知得A 可能为{}3,4,5，故选D. 考点：集合的元素及交并补运算.2.=（ ）A ．iB ．i -C ．i -D ．i -+ 【答案】B考点：复数的运算.3.在等差数列{}n a 中，()()1479112324a a a a a ++++=，则此数列前13项的和13S =（ ）A ．13B ．26C ．52D ．156 【答案】B 【解析】试题分析：由1479112()3()24a a a a a ++++=，得4104a a +=，于是1134101313()13()2622a a a a S ++===，故选B.考点：等差数列的性质，等差数列求和.4.已知()162a b a b a ==-=，，，则向量a 与向量b 的夹角是（ ） A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π【答案】C考点：向量的数量积运算.5.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．48+B ．32+ C.48 D ．80 【答案】A 【解析】试题分析：由三视图可知几何体是底面为正方形，侧面为等腰梯形的棱台，等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，另两个侧面为矩形，所以两等腰梯形面积和为244424⨯+⨯=，其余四面的面积为(24)4242242+⨯⨯+=+，所以几何体的表面积为48+，故选A ．考点：空间几何体四棱台的特征.6.动点P 与定点()()1010A B -，，，的连线的斜率之积为1-，则点P 的轨迹方程是（ ） A ．221x y +=B ．()2210x y x +=≠C ．()2211x y x +=≠±D ．y =【答案】C考点：直接法求轨迹.【思路点晴】本题主要考察直接法求轨迹的方法，根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简，即把这种关系“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程了.设出点(,)P x y ,表示出两线的斜率,利用其乘积为1-建立方程化简即可得到点P 的轨迹方程.7.某程序框图如图所示，若输出的57S =，则判断框内应填写（ ）A ．4?k >B ．5?k > C.6?k > D ．7?k > 【答案】A 【解析】试题分析：当2,4;3,11;4,26;5,57.k S k S k S k S ========即当5k =退出循环，所以判断框内应填“4?k >”.故本题正确答案为A. 考点：算法的含义和程序框图.8.已知cot 33πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．13B ．13-C ．43D ．34-【答案】D 【解析】试题分析：由cot()33πα+=-，得tan()36πα-=，所以3tan(2)tan 2()364ππαα-=-=-,故选D ． 考点：诱导公式；二倍角的正切公式. 9.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且3122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，当[]23x ∈，时，()f x x =， 则当()20x ∈-，时，()f x =（ ）A ．21x ++B ．31x -+C ．2x -D ．4x + 【答案】B考点：函数的奇偶性；周期性；求函数的解析式.10.在ABC △中，已知1tan cos 2A B ==，，若ABC △，则最短边长为（ ）A B D ． 【答案】A 【解析】试题分析：由1tan 02A =>，得cos A A ==，由cos B =，cos 0B =>，得sinB =cos cos()cos cos sin sin 0C A B A B A B =-+=-+=<，即C ∠为最大角，故有c =，又sin sin ,B A b a <∴<，最短边为b ，于是由正弦定理sin sin b cB C=，求得b =，故选A.考点：正弦定理；同角三角函数间的基本关系.【方法点晴】根据cos B 的值及B 的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin B 的值，由tan A 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin ,cos A A 的值，根据三角形的内角和定理及诱导公式表示出cos C ，由cos C 的值为负数及C 的范围得到C 为钝角即最大角，即c =，又sin sin ,B A b a <∴<，∴b 为最小边，根据正弦定理，由sin ,sin B C 及c 的值即可求出b 的值．11.点P 是椭圆221259y x +=上一点，F 是椭圆的右焦点，()142OQ OP OF OQ =+=，，则点P 到抛物线215y x =的准线的距离为（ ） A ．154 B ．152C.15 D ．10 【答案】B考点：抛物线的定义；椭圆的参数方程.12.用4种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，同一条棱的两个顶点涂不同的颜色，则符合条件的所 有涂法共有（ ）A ．24种B ．48种 C.64种 D ．72种 【答案】D 【解析】试题分析：法一：假设四种颜色为红、黑、白、黄，先考虑三点S A B 、、的涂色方法，有432⨯⨯种方法，若C 点与A 不同色，则C 、D 点只有1种涂色的方法，有24种涂法，若C 点与A 同色，则D 点有2种涂色的方法，共48种涂法，所以不同的涂法共有72种．法二：用3种颜色涂色时，即AC BD 、同色，共有3424A =种涂色的方法，用4种颜色时，有AD 和BC 同色2种情况，共有44248A =，故共有72种,故选D ．考点：分类计数原理，排列组合.【方法点晴】排列组合中的涂色问题是高考的一个难点，解决这类问题大致有两种方法：一是直接法，一个区域一个区域的来解决，但要考虑先从哪个区域入手，往往是与其他区域都相邻的区域首先考虑，同时要注意这类题往往要求相邻区域不同色，所以在涂色的过程需要分类讨论；二是从颜色入手，条件中的颜色种数可能大于区域块数，也可能小于区域块数，但是不是所有颜色都用上，因此可以从颜色入手，分类讨论.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.计算：()()sin15cos15sin15cos15︒+︒︒-︒= ．【答案】【解析】试题分析：2330cos )15cos 15)(sin 15cos 15(sin -=-=-+ ． 考点：二倍角公式.14.已知变量x y ，满足约束条件22221010x y x y x y ⎧+--+≤⎪⎨--≤⎪⎩，则2z x y =+的最大值为 .【答案】3+考点：线性规划，数形结合.15.正三棱柱的底面边长为2，高为2，则它的外接球的表面积为 . 【答案】283π考点：棱柱的几何特征，球的表面积，空间位置关系和距离.【方法点晴】解决本题的关键是确定球心的位置，进而确定半径.因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以过三角形的外心且垂直于此三角形的所在平面的垂线上的任意一点到次三角形三个顶点的距离相等，所以过该三角形的三个顶点的球的球心必在垂线上.所以本题中球心必在上下底面外心的连线上，进而利用球心距，截面圆半径，球半径构成的直角三角形，即可算出.16.已知函数()22sin cos 44f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 在02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上的最大值与最小值之差为 ． 【答案】3 【解析】试题分析：()2sin 22cos 22sin(2)26f x x x x x x ππ⎛⎫=++=+=+⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故1sin(2),162x π⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，即函数()f x 的值域为[]1,2-，故答案为3． 考点：二倍角公式，两角和公式，正弦函数的值域.【方法点晴】本题中主要考察了学生三角化简能力，涉及有二倍角公式和两角和公式，()2sin 22cos 22sin(2)26f x x x x x x ππ⎛⎫=++=+=+ ⎪⎝⎭，进而利用02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，的范围得到72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即为换元思想，把26x π+看作一个整体，利用sin y x =的单调性即可得出最值，这是解决sin sin y a x b x =+的常用做法.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. (本小题满分12分)数列{}n a 满足下列条件：()*11221122n n n a a a a a n +++===∈N ，，，．（1）设1n n n b a a +=-，求数列{}n b 的通项公式； （2）若2log n n n c b b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 【答案】（1）n n n q b b )21(11-==-；（2）212121[1()]()9232n n n S+=--+⋅-．（2）由已知有nn n n n b b c )21(log 2--=⋅=， 即nn n n n S )21()21()1()21(3)21(2)21(11321-⋅--⋅----⋅--⋅--⋅-=- ………………① 于是1432)21()21()1()21(3)21(2)21(121+-⋅--⋅----⋅--⋅--⋅-=-n n n n n S …………②-①②得1321)21()21()21()21()21(23+-+---------=n n n 1)21()21(1])21(1)[21-(+-⋅+----=n n n12)21(32])21(1[92+-⋅+--=∴n n n S ．…………………………………………12分考点：数列递推求通项公式；数列求和. 18.（本小题满分12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录 了12月1日至12月5日的每天昼夜温度与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下数据：该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被 选取的2组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；（Ⅱ）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求y 关于x 的 线性回归方程y bx a =+；（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回 归方程是可靠的，试问（Ⅱ）中所得的线性回归方程是否可靠？（注：()()()1122211nni iiii i nniiii x yn x y xxyyb a y bx xn xxx====---===---∑∑∑∑，）【答案】（Ⅰ）53；（Ⅱ）325-=∧x y ；（Ⅲ）可靠．3,254324349729773312231-=-==--=-=∧∧==∧∑∑x b y a xx yx b i i i i i ．所以y 关于x 的线性回归方程为325-=∧x y ．……………………………………………………8分（Ⅲ）当10=x 时，22322,22325<-=-=∧x y ，同样地，当8=x 时，21617,173825<-=-⨯=∧y ，所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．……………………………………………………12分 考点：回归分析的初步应用；等可能事件的概率.【方法点晴】（1）考察了等可能事件的概率，根据组合的思想，从5组数据中选取2组数据共有10种情况，用正难则反的思想找到4种相邻的情况，根据等可能事件的概率得出结果；（2）利用题中所给出的回归方程系数的公式，用第一个（第二个也可以）得到回归方程系数，写出线性回归方程；（3）根据题意，用检验数据利用回归方程算出估计值，判断误差即可. 19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知21AB CD PA AB AD DC AD AB PD PB ====⊥==∥，，，，， 点M 是PB 的中点.（Ⅰ）证明：CM PAD ∥平面；（Ⅱ）求直线CM 与平面PDC 所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；试题解析：（Ⅰ）证明：取PA 的中点N ，连接MN ，有MN 平行且等于AB21，于是MN 平行且等于DC ，所以四边形MNCD 是平行四边形，即DN CM //，又⊆DN 平面PAD ，故//CM 平面PAD ．………………………………………………6分考点：线面平行的判定，直线和平面所成角. 20.（本小题满分12分）如图，过抛物线()220y px p =>上一点()12P ，，作两条直线分别交抛物线于()11A x y ，，()22B x y ，， 当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时：（Ⅰ）求12y y +的值；（Ⅱ）若直线AB 在y 轴上的截距[]13b ∈-，时，求ABP △面积ABP S △的最大值．【答案】（I ）421-=+y y ；（Ⅱ）9616.试题解析：解（Ⅰ）由抛物线)0(22>=p px y 过点)2,1(P ，得2=p ， 设直线PA 的斜率为PA k ，直线PB 的斜率为PB k ，由PA 、PB 倾斜角互补可知PB PA k k -=，即12122211--=--x y x y ， 将2221214,4x y x y ==，代入得421-=+y y ．…………………………………………5分（Ⅱ）设直线AB 的斜率为AB k ，由2221214,4x y x y ==，令()()])3,1[(31)(2-∈-+=x x x x f ，则由3103)(2'+-=x x x f ，令0)('=x f ，得31=x 或3=x ．当)31,1(-∈x 时，0)('>x f ，所以)(x f 单调递增，当)3,31(∈x 时，0)('<x f ，所以)(x f 单调递减，故)(x f 的最大值为27256)31(=f ，故ABP ∆面积ABP S ∆的最大值为9616)312=f ．…………………………………………12分（附：332)38(3)3()3(1(2)3)(1(2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++≤-+b b b b b ），当且仅当31=b 时取等号，此求解方法亦得分）考点：直线与抛物线的位置关系；面积公式；函数的最值. 21.（本小题满分12分）已知函数()2ln R f x x ax x a =+-∈，．（Ⅰ）若函数()f x 在[]12，上是减函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）令()()2g x f x x =-，当(0]x e ∈，（e 是自然数）时，函数()g x 的最小值是3，求出a 的值；（Ⅲ）当(0]x e ∈，时，证明：()2251ln 2e x x x x ->+． 【答案】（Ⅰ）72a ≤-；（Ⅱ）2a e =；（Ⅲ）证明见解析.（Ⅱ）由],0(,ln )(e x x ax x g ∈-=，得x ax x a x g 11)('-=-=，①当0≤a 时，)(x g 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e g x g ，e a 4=（舍去），②当e a <<10时，)(x g 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a 上单调递增，∴3ln 1)1()(min =+==a a g x g ,2e a =，满足条件．③当e a ≥1时，)(x g 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e g x g ,e a 4=（舍去），综上，有2e a =．…………………………………………………………8分 （Ⅲ）令x x e x F ln )(2-=，由（Ⅱ）知，3)(min =x F ，令2'ln 1)(,25ln )(x xx x x x -=+=ϕϕ，考点：利用导函数研究函数的单调性，求函数的最值，利用单调性证明不等式.【方法点晴】本题是函数导数的一个综合考察，既有函数的单调性，也考察了分情况讨论在区间上找最值，也用到了构造函数证明不等式，第一问中给出函数单调减，转成'()0f x ≤在区间[]1,2上恒成立，等号是一个易错点，进而转成二次函数的恒成立，本题中二次函数开口向上，在闭区间恒小于等于0，故只需保证两个端点即可；第二问中常规的讨论，需讨论在(0,]e 单调性研究最值即可；第三问中先分析不等式结构，发现同时除以x 后，左右两个函数有max 1515()()3222x e e φφ==+<+=，易得结果. 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲：如图，在ABC △中，作平行于BC 的直线交AB 于D ，交AC 于E ，如果BE 和CD 相交于点O ，AO 和DE 相交于点F ，AO 的延长线和BC 相交于G ．证明：（Ⅰ）DF EFBG GC =； （Ⅱ）DF FE =【答案】（I ）证明见解析；（II ）证明见解析. 【解析】试题分析：（I ）利用三角形相似易得；（II ）由DFO ∆∽CGO ∆，即DF FO GC GO =，同理FE FOBG GO=，易得DF FE =．试题解析：解（Ⅰ）BC DF // ∵，ADC ∴∽ABG ∆，即AG AF BGDF =，同理GC FE AG AF =，于是GC FEBG DF =．…………………………………………5分（Ⅱ）BC DF // ，∴DFO ∆∽CGO ，即GO FO GC DF =，同理GO FO BG FE =， 所以BG GCFE DF BG FE GCDF =⇒=， 又由（Ⅰ）有DF FEBG GC GCFE BG DF =⇒=， 所以DF FEFEDF =，即FE DF =．…………………………………………10分 考点：三角形相似判定和性质.23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲．已知曲线M 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），曲线N 的极方程为sin 83πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（Ⅰ）分别求曲线M 和曲线N 的普通方程； （Ⅱ）若点A M B N ∈∈，，求AB 的最小值．【答案】（Ⅰ）曲线M 的普通方程为22(2)4x y +-=，曲线N 160y +-=（Ⅱ）5.考点：参数方程，极坐标方程，普通方程的互化；直线与圆的位置关系. 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲． 已知函数()f x x a =-．（Ⅰ）若不等式()3f x ≤的解集为{}15x x -≤≤，求实数a 的值；（Ⅱ）当1a =时，若()()5f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）2=a ；（Ⅱ）5m ≤. 【解析】试题分析：（I ）由()3f x ≤得3x a -≤，解得33a x a -≤≤+，可得出2a =；（II ）对23,4()|1||4|5,4123,1x x g x x x x x x --≤⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩，分段解不等式即可.试题解析：解：（Ⅰ）由3)(≤x f 得3≤-a x ，解得33+≤≤-a x a ，又已知不等式3)(≤x f 的解集为{}51|≤≤-x x ，所以⎩⎨⎧=+-=-5313a a ，解得2=a ．…………5分 （Ⅱ）当1=a 时，1)(-=x x f ，设)5()()(++=x f x f x g ，于是， ⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤-≤--=++-=1,3214,54,32|4||1|)(x x x x x x x x g ，故当1-<x 时，5)(>x g ，当14≤≤-x 时，5)(=x g ，当1>x 时，5)(>x g ， 所以实数m 的取值范围为5m ≤．…………………………………………10分 考点：绝对值不等式的解法.：。
2017-2018学年全国统一高考数学模拟试卷(理科)(新课标i) Word版含解析
2017-2018学年全国统一高考数学模拟试卷（理科）（新课标I）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x|x≤2}，，则A∩B=（）A．[1，2]B．[0，2]C．（1，2]D．[﹣1，0）2．“m=1”是“复数z=m2+mi﹣1为纯虚数”的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知函数f（x）=sinx的图象向右平移m个单位后得到函数g（x）的图象，h（x）=cos（x+），g（x）与h（x）图象的零点重合，则m不可能的值为（）A．B．C． D．﹣4．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A．150 B．180 C．200 D．2805．已知函数g（x）是定义在区间[﹣3﹣m，m2﹣m]上的偶函数（m＞0），且f（x）=，则fA．1 B．2 C．9 D．106．如图为某几何体的三视图，求该几何体的内切球的表面积为（）A．B．3πC．4πD．7．若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10 C．150 D．508．执行如图所示的程序框图，若输出的S值为﹣4，则条件框内应填写（）A．i＞3？B．i＜5？C．i＞4？D．i＜4？9．已知直线：y=kx﹣k+1与曲线C：x2+2y2=m有公共点，则m的取值范围是（）A．m≥3 B．m≤3 C．m＞3 D．m＜310．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是正三角形，三棱往的高为，若P是△A1B1C1中心，且三棱柱的体积为，则PA与平面ABC所成的角大小是（）A．B．C．D．11．如图，已知F1、F2为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在第一象限，且满足=，（）•=0，线段PF2与双曲线C交于点Q，若=5，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±B．y=±C．y=±D．y=±12．已知函数f（x）=x2﹣ax﹣alnx（a∈R），g（x）=﹣x3+x2+2x﹣6，g（x）在[1，4]上的最大值为b，当x∈[1，+∞）时，f（x）≥b恒成立，则a的取值范围（）A．a≤2 B．a≤1 C．a≤﹣1 D．a≤0二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设某总体是由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号是．14．在四边形ABCD中，AB∥CD，=0，AB=2BC=2CD=2，则在上的投影为．=，n∈N*，则b2016=．15．已知数列{a n}，{b n}满足a1=，a n+b n=1，b n+116．过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为原点，若，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）=2a n﹣n+1，n∈N*，17．设数列{a n}满足a1=2，a n+1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．某课题组对春晚参加“咻一咻”抢红包活动的同学进行调查，按照使用手机系统不同（安卓系统和IOS系统）分别随机抽取5名同学进行问卷调查，发现他们咻得红包总金额数如咻得红包总金额的多少是否有关？（2）要从5名使用安卓系统的同学中随机选出2名参加一项活动，以X表示选中的同学中咻得红包总金额超过6元的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．独立性检验统计量，其中n=a+b+c+d．19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点．（Ⅰ）求证：AN∥平面MEC；（Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AP 的长h；若不存在，请说明理由．20．在平面直角坐标系xOy中，E′F′两点的坐标分别为（0，），（0，﹣），动点G满足：直线E′G与直线F′G的斜率之积为﹣．（1）求动点G的轨迹方程；（2）过点O作两条互相垂直的射线，与（1）中的轨迹分别交于A，B两点，求△OAB面积的最小值．21．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R（1）若函数g（x）=+ax﹣f（x），求g（x）在区间[，e]上的最大值；（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g （x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC 相交于点D，AE=2BD=2．（1）求证：EA=ED；（2）求DC•BE的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）23．在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线：（t为参数）与曲线C：（θ为参数）相交于不同的两点A，B．（1）若α=，求线段AB的长度；（2）若直线的斜率为，且有已知点P（2，），求证：|PA|•|PB|=|OP|2．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（a＞1）（1）若不等式f（x）≥2的解集为{x|x≤或x}，求a的值；（2）∀x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，求实数a的取值范围．2016年全国统一高考数学模拟试卷（理科）（新课标I）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x|x≤2}，，则A∩B=（）A．[1，2]B．[0，2]C．（1，2]D．[﹣1，0）【考点】交集及其运算．【分析】求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中y=，得到，即x＞1，∴B=（1，+∞），∵A=（﹣∞，2]，∴A∩B=（1，2]，故选：C．2．“m=1”是“复数z=m2+mi﹣1为纯虚数”的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】复数z=m2+mi﹣1为纯虚数，m为实数⇔，解得m即可判断出结论．【解答】解：复数z=m2+mi﹣1为纯虚数，m为实数⇔，解得m=±1．∴“m=1”是“复数z=m2+mi﹣1为纯虚数”的充分不必要条件．故选：A．3．已知函数f（x）=sinx的图象向右平移m个单位后得到函数g（x）的图象，h（x）=cos（x+），g（x）与h（x）图象的零点重合，则m不可能的值为（）A．B．C． D．﹣【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式，求得m，可得结论．【解答】解：∵函数f（x）=sinx的图象向右平移m个单位后得到g（x）=sin（x﹣m）=cos（﹣x+m）=cos（x﹣m﹣）的图象．又h（x）=cos（x+）的图象，g（x）与h（x）图象的零点重合，故g（x）=cos（x﹣m﹣）和h（x）=cos（x+）的图象相差半个周期，∴=kπ﹣﹣m，即m=kπ﹣，k∈Z，故m的值不会是，故选：B．4．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A．150 B．180 C．200 D．280【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，分析可得人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3，分别计算两种情况下的情况数目，相加可得答案．【解答】解：人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3．若是1，1，3，则有C53×A33=60种，若是1，2，2，则有×A33=90种所以共有150种不同的方法．故选：A．5．已知函数g（x）是定义在区间[﹣3﹣m，m2﹣m]上的偶函数（m＞0），且f（x）=，则fA．1 B．2 C．9 D．10【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的定义域的对称性求出m，利用函数的周期性进行转化求解即可．【解答】解：∵函数g（x）是定义在区间[﹣3﹣m，m2﹣m]上的偶函数（m＞0），∴﹣3﹣m+m2﹣m=0，即m2﹣2m﹣3=0，得m=3或m=﹣1，∵m＞0，∴m=3，则当x≥0时，f（x）=f（x﹣3），则f=f（0）=f（﹣3）=（﹣3）2+1=9+1=10，故选：D．6．如图为某几何体的三视图，求该几何体的内切球的表面积为（）A ．B ．3πC ．4πD ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】球心到棱锥各表面的距离等于球的半径，求出棱锥的各面面积，使用体积法求出内切球半径．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示： 其中SA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为3的正方形，SA=4．∴SB=SD==5，∴S △SAB =S △SAD =，S △SBC =S △SCD =．S 底面=32=9．V 棱锥==12．S 表面积=6×2+7.5×2+9=36．设内切球半径为r ，则球心到棱锥各面的距离均为r ．∴S 表面积•r=V 棱锥．∴r=1． ∴内切球的表面积为4πr 2=4π． 故选C ．7．若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10 C．150 D．50【考点】几何概型；简单线性规划．【分析】作出两平面区域，计算两区域的公共面积，得出芝麻落在区域Γ内的概率．==．【解答】解：作出平面区域Ω如图：则区域Ω的面积为S△ABC区域Γ表示以D（）为圆心，以为半径的圆，则区域Ω和Γ的公共面积为S′=+=．∴芝麻落入区域Γ的概率为=．∴落在区域Γ中芝麻数约为360×=30π+20≈114．故选A．8．执行如图所示的程序框图，若输出的S值为﹣4，则条件框内应填写（）A．i＞3？B．i＜5？C．i＞4？D．i＜4？【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=10满足判断框内的条件，第1次执行循环体，s=10﹣21=8，i=2，满足判断框内的条件，第2次执行循环体，s=8﹣22=4，i=3，满足判断框内的条件，第3次执行循环体，s=4﹣23=﹣4，i=4，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出的S值为﹣4，则条件框内应填写：i＜4，故选：D．9．已知直线：y=kx﹣k+1与曲线C：x2+2y2=m有公共点，则m的取值范围是（）A．m≥3 B．m≤3 C．m＞3 D．m＜3【考点】曲线与方程．【分析】直线：y=kx﹣k+1恒过定点（1，1），利用直线：y=kx﹣k+1与曲线C：x2+2y2=m 有公共点，定点在圆内或圆上，即可得出m的取值范围．【解答】解：直线：y=kx﹣k+1恒过定点（1，1），∵直线：y=kx﹣k+1与曲线C：x2+2y2=m有公共点，∴12+2×12≤m，∴m≥3．故选：A．10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是正三角形，三棱往的高为，若P是△A1B1C1中心，且三棱柱的体积为，则PA与平面ABC所成的角大小是（）A．B．C．D．【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意设底面正△ABC的边长为a，过P作PO⊥平面ABC，垂足为O，则点O 为底面△ABC的中心，故∠PAO即为PA与平面ABC所成角，由此能求出PA与平面ABC 所成的角．【解答】解：由题意设底面正△ABC的边长为a，过P作PO⊥平面ABC，垂足为O，则点O为底面△ABC的中心，故∠PAO即为PA与平面ABC所成角，∵|OA|==，|OP|=，又∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中体积为，∴由直棱柱体积公式得V==，解得a=，∴tan∠PAO==，∴，∴PA与平面ABC所成的角为．故选：C．11．如图，已知F1、F2为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在第一象限，且满足=，（）•=0，线段PF2与双曲线C交于点Q，若=5，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±B．y=±C．y=±D．y=±【考点】双曲线的标准方程．【分析】由题意，|PF1|=|F1F2|2c，|QF1|=a，|QF2|=a，由余弦定理可得=，确定a，b的关系，即可求出双曲线C的渐近线方程．【解答】解：由题意，（）•=0，∴|PF1|=|F1F2|=2c，|QF1|=a，|QF2|=a，∴由余弦定理可得=，∴c=a，∴b=a，∴双曲线C的渐近线方程为y=x．故选：B．12．已知函数f（x）=x2﹣ax﹣alnx（a∈R），g（x）=﹣x3+x2+2x﹣6，g（x）在[1，4]上的最大值为b，当x∈[1，+∞）时，f（x）≥b恒成立，则a的取值范围（）A．a≤2 B．a≤1 C．a≤﹣1 D．a≤0【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的最值及其几何意义．【分析】利用导数与函数的单调性关系判断g（x）的单调性求出g（x）在[1，4]上的最大值b，对a进行讨论判断f（x）在[1，+∞）上的单调性，令f min（x）≥b解出a的范围．【解答】解：g′（x）=﹣3x2+5x+2，令g′（x）=0得x=2或x=﹣．当1≤x＜2时，g′（x）＞0，当2＜x＜4时，g′（x）＜0，∴g（x）在[1，2）上单调递增，在（2，4]上单调递减，∴b=g（2）=0．∴f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，f′（x）=2x﹣a﹣=，令h（x）=2x2﹣ax﹣a，△=a2+8a．（1）若△=a2+8a≤0，即﹣8≤a≤0，则h（x）≥0恒成立，∴f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在[1，+∞）上是增函数，∴f min（x）=f（1）=1﹣a≥0，解得a≤1，∴﹣8≤a≤0．（2）若△=a2+8a＞0，即a＜﹣8或a＞0．令f′（x）=0得h（x）=0，解得x=（舍）或x=．若a＜﹣8，则＜0，则h（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，∴f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在[1，+∞）上是增函数，∴f min （x ）=f （1）=1﹣a ≥0，解得a ≤1， ∴a ＜﹣8．若0＜≤1，即0＜a ≤1，则h （x ）＞0在[1，+∞）上恒成立，∴f ′（x ）≥0恒成立，∴f （x ）在[1，+∞）上是增函数， ∴f min （x ）=f （1）=1﹣a ≥0，解得a ≤1， ∴0＜a ≤1．若＞1，即a ＞1时，则1≤x ＜时，h （x ）＜0，当x ＞时，h （x ）＞0．∴1≤x ＜时，f ′（x ）＜0，当x ＞时，f ′（x ）＞0．∴f （x ）在[1，]上单调递减，在（，+∞）上单调递增．此时f min （x ）＜f （1）=1﹣a ＜0，不符合题意． 综上，a 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：B ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设某总体是由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号是 10 ．【考点】简单随机抽样．【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论． 【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，07，02，10，．其中第二个和第四个都是02，重复． 可知对应的数值为08，02，14，07，10， 则第5个个体的编号为10． 故答案为：1014．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，=0，AB=2BC=2CD=2，则在上的投影为﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先建立坐标系，根据坐标的运算和向量的投影即可求出．【解答】解：∵AB ∥CD ，=0，AB=2BC=2CD=2， 以B 为坐标原点，以BA 为x 轴，BC 为y 轴，建立如图所示的坐标系， ∴A （2，0），C （0，1），D （1，1），∴=（﹣1，1），=（﹣2，1），∴•=﹣1×（﹣2）+1×1=3，||=，∴在上的投影为=﹣=﹣，故答案为：﹣．15．已知数列{a n}，{b n}满足a1=，a n+b n=1，b n=，n∈N*，则b2016=．+1【考点】数列递推式．=，n∈N*，可得b1=1﹣a1=，【分析】数列{a n}，{b n}满足a1=，a n+b n=1，b n+1b n==．求出b2，b3，b4，…，猜想：b n=，即可得出．+1=，n∈N*，【解答】解：∵数列{a n}，{b n}满足a1=，a n+b n=1，b n+1==．∴b1=1﹣a1=，b n+1∴b2=，b3=，b4=，…，猜想：b n=，=成立．经过验证：b n+1则b2016=．故答案为：．16．过双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点F （﹣c ，0）作圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线y 2=4cx 于点P ，O 为原点，若，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题设知|EF |=b ，|PF |=2b ，|PF ′|=2a ，过F 点作x 轴的垂线l ，过P 点作PD ⊥l ，则l 为抛物线的准线，据此可求出P 点的横坐标，后在Rt △PDF 中根据勾股定理建立等式，由此能求出双曲线的离心率．【解答】解：∵|OF |=c ，|OE |=a ，OE ⊥EF ∴|EF |=b ，∵，∴E 为PF 的中点，|PF |=2b ， 又∵O 为FF ′的中点， ∴PF ′∥EO ， ∴|PF ′|=2a ，∵抛物线方程为y 2=4cx ，∴抛物线的焦点坐标为（c ，0），即抛物线和双曲线右支焦点相同，过F 点作x 轴的垂线l ，过P 点作PD ⊥l ，则l 为抛物线的准线， ∴PD=PF ′=2a ，∴P 点横坐标为2a ﹣c ，设P （x ，y ），在Rt △PDF 中，PD 2+DF 2=PF 2，即4a 2+y 2=4b 2，4a 2+4c （2a ﹣c ）=4（c 2﹣b 2），解得e=故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．设数列{a n }满足a 1=2，a n +1=2a n ﹣n +1，n ∈N *， （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列b n =，求数列{b n }的前n 项和S n ．【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）由数列{a n }满足a 1=2，a n +1=2a n ﹣n +1，n ∈N *，变形为a n +1﹣（n +1）=2（a n ﹣n ），利用等比数列的通项公式即可得出．（2）b n==，利用“裂项求和”即可得出．=2a n﹣n+1，n∈N*，【解答】解：（1）∵数列{a n}满足a1=2，a n+1﹣（n+1）=2（a n﹣n），∴a n+1∴数列{a n﹣n}是等比数列，首项为1，公比为2．∴a n﹣n=2n﹣1，即a n=n+2n﹣1．（2）b n===，∴数列{b n}的前n项和S n=++…++==﹣．18．某课题组对春晚参加“咻一咻”抢红包活动的同学进行调查，按照使用手机系统不同（安卓系统和IOS系统）分别随机抽取5名同学进行问卷调查，发现他们咻得红包总金额数如咻得红包总金额的多少是否有关？（2）要从5名使用安卓系统的同学中随机选出2名参加一项活动，以X表示选中的同学中咻得红包总金额超过6元的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．独立性检验统计量，其中n=a+b+c+d．【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据题意列出2×2列联表，根据2×2列联表，代入求临界值的公式，求出观测值，利用观测值同临界值表进行比较，K2=0.4＜2.706，可得到没有足够的理由认为手机系统与咻得红包总金额的多少有关；（2）由题意求得X的取值0，1，2，运用排列组合的知识，可得各自的概率，求得X的分布列，由期望公式计算即可得到（X）．；K2==0.4＜2.706，所以没有足够的理由认为手机系统与咻得红包总金额的多少有关．（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，P（X=0）==；P（X=1）==；P（X=2）==X∴数学期望E（X），E（X）=0×+1×+2×=0.8．19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点．（Ⅰ）求证：AN∥平面MEC；（Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）利用CM与BN交于F，连接EF．证明AN∥EF，通过直线与平面平行的判定定理证明AN∥平面MEC；（II）对于存在性问题，可先假设存在，即假设x在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为．再通过建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用坐标法进行求解判断．【解答】解：（I）CM与BN交于F，连接EF．由已知可得四边形BCNM是平行四边形，所以F是BN的中点．因为E是AB的中点，所以AN∥EF．…又EF⊂平面MEC，AN⊄平面MEC，所以AN∥平面MEC．…（II）由于四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，可得DE⊥AB．又四边形ADNM是矩形，面ADNM⊥面ABCD，∴DN⊥面ABCD，如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），E（，0，0），C（0，2，0），P（，﹣1，h），=（，﹣2，0），=（0，﹣1，h），设平面PEC的法向量为=（x，y，z）．则，∴，令y=h，∴=（2h，h，），又平面ADE的法向量=（0，0，1），∴cos＜，＞===，解得h=，∴在线段AM上是否存在点P，当h=时使二面角P﹣EC﹣D的大小为．20．在平面直角坐标系xOy中，E′F′两点的坐标分别为（0，），（0，﹣），动点G满足：直线E′G与直线F′G的斜率之积为﹣．（1）求动点G的轨迹方程；（2）过点O作两条互相垂直的射线，与（1）中的轨迹分别交于A，B两点，求△OAB面积的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【分析】（1）设动点G的坐标（x，y），直线E'G的斜率，直线F'G的斜率（x≠0），由直线E′G与直线F′G的斜率之积为﹣，能求出求动点G的轨迹方程；（2）设直线AB的方程为y=kx+m，联立，得3x2+4（k2x2+2kmx+m2）﹣12=0，由此利用韦达定理、点到直线距离公式、椭圆性质，结合已知能求出△OAB面积的最小值．【解答】解：（1）∵，设动点G的坐标（x，y），∴直线E'G的斜率，直线F'G的斜率（x≠0），又，∴，∴动点G的轨迹方程为．（4分）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+m，联立，消去y，得3x2+4（k2x2+2kmx+m2）﹣12=0，，，∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，即，把，代入，得，整理得7m2=12（k2+1），∴O到直线AB的距离d===，∵OA⊥OB，∴OA2+OB2=AB2≥2OA•OB，当且仅当OA=OB时取“=”号．由d•AB=OA•OB，得d，∴AB≥2d=，即弦AB的长度的最小值是，∴△OAB面积的最小值为．21．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R（1）若函数g（x）=+ax﹣f（x），求g（x）在区间[，e]上的最大值；（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g （x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）令g′（x）=0得出g（x）的极值点，判断g（x）在[，e]上的单调性，根据单调性得出最大值；（2）对a进行讨论，判断g（x）在（0，e]上的单调性，求出最小值，令最小值为3解出a．【解答】解：（1）g（x）=﹣+lnx，g′（x）=﹣x+=．∴当≤x＜1时，g′（x）＞0，当1＜x≤e时，g′（x）＜0．∴g（x）在[，1]上单调递增，在（1，e]上单调递减，∴当x=1时，g（x）在[，e]上取得最大值g（1）=﹣．（2）g（x）=ax﹣lnx，g′（x）=a﹣．当a≤0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，e]上是减函数，∴g min（x）=g（e）=ae﹣1=3，解得a=（舍）．当a＞0时，令g′（x）=0得x=．∴当0＜x＜时，g′（x）＜0，当x＞时，g′（x）＞0．当0＜＜e即a＞时，g（x）在（0，]上单调递减，在（，e]上单调递增，∴g min（x）=g（）=1﹣ln=3，解得a=e2．当≥e即0＜a≤时，g（x）在（0，e]上是减函数，∴g min（x）=g（e）=ae﹣1=3，解得a=（舍）．综上，a=e2．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC 相交于点D，AE=2BD=2．（1）求证：EA=ED；（2）求DC•BE的值．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定；相似三角形的性质．【分析】（1）由圆的弦切角定理和内角平分线的性质，可得∠DAE=∠ADE，即可得证；（2）由对应角相等，可得△ABE∽△CAE，由相似三角形的性质和内角平分线定理，可得DB•DE=DC•BE，代入计算即可得到所求值．【解答】解：（1）证明：∠ADE=∠ABD+∠BAD，∠DAE=∠DAC+∠EAC，由AE为△ABC的外接圆的切线，由弦切角定理可得∠ABD=∠EAC，①由AD为∠BAC的平分线，可得∠BAD=∠DAC，②①②相加可得∠DAE=∠ADE，则EA=ED．（2）∵∴△ABE∽△CAE，∴，又∵，∴，即DB•AE=DC•BE，由（1）知EA=ED，∴DB•DE=DC•BE．根据已知条件AE=2BD=2．可得BD=1，EA=ED=2，所以DB•DE=DC•BE=2．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）23．在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线：（t为参数）与曲线C：（θ为参数）相交于不同的两点A，B．（1）若α=，求线段AB的长度；（2）若直线的斜率为，且有已知点P（2，），求证：|PA|•|PB|=|OP|2．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由曲线C：（θ为参数），利用平方关系可得C的普通方程．当时，直线方程为：（t为参数），代入代入曲线C的普通方程，得13t2+56t+48=0，利用一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式即可得出．（2）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，化为：（cos2α+4sin2α）t2+（8sinα+4cosα）t+12=0，利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：（1）由曲线C：（θ为参数），可得C的普通方程是=1．当时，直线方程为：（t为参数），代入曲线C的普通方程，得13t2+56t+48=0，则线段AB的长度为．（2）证明：将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，化为：（cos2α+4sin2α）t2+（8sinα+4cosα）t+12=0，∵，而直线的斜率为，则代入上式求得|PA|•|PB|=7．又，∴|PA|•|PB|=|OP|2．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（a＞1）（1）若不等式f（x）≥2的解集为{x|x≤或x}，求a的值；（2）∀x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集，根据对应关系求出a的值即可；（2）问题转化为：2|x﹣1|+|x﹣a|≥1．通过讨论x的范围，求出不等式的解集，从而确定出a的范围即可．【解答】解：（1），x≥a时，2x﹣a﹣1≥2得，x＜1时，﹣2x+a+1≥2得综上得：a=2．（2）由x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1可得2|x﹣1|+|x﹣a|≥1．当x≥a时，只要3x﹣2﹣a≥1恒成立即可，此时只要；当1＜x≤a时，只要x﹣2+a≥1恒成立即可，此时只要1﹣2+a≥1⇒a≥2；当x＜1时，只要﹣3x+2+a≥1恒成立即可，此时只要﹣3+2+a≥1⇒a≥2，综上a∈[2，+∞）．2016年10月16日。
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2017-2018广西桂林市、崇左市、百色市高三年级
第一次模拟考试理科数学
第I 卷：选择题共60分
一 选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）
1、已知集合2{|40},{|128,}x M x x N x x Z =-<=≤≤∈，则N M = A ．[0,2)
B ．{}0,1
C ．{}0,1,2
D ．{}0,1,2,3
2、若,a R i ∈为虚数单位，则“1a =”是“复数(1)(2)(3)a a a i -+++ ”为纯虚数的 A ．充要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要
条件
3、已知数列{}n a 满足120n n a a +-=，若21
2
a =
，则数列{}n a 的前11项的和为 A ．256 B ．10234 C ．20472014 D ．4095
2048
4、在区间[]0,1上随机取两个数，则这两个数之和小于3
2
的概率是
A ．18
B ．38
C ．58
D ．78
5、如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S 不可能是 A ．0.7
B ．0.75
C ．0.8
D ．0.9
6、设实数1
2
213
1
log 3,log ,sin a b c xdx
π
===
⎰
，则
A ．b a c >>
B ．b c a >>
C ．a b c >>
D ．a c b >>
7、如图所示，某货场有两堆集装箱，一堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同的取法的种数是 A ．6 B ．10 C ．12
D ．24
8、某四棱锥的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形，则该四棱锥的表面积是 A
．2
B
．3
C
．2
D
．3
9、若函数()cos (0)f x wx w =>在区间(,)34
ππ
-上有且只有两个极值点，则w 的取值范围是
A ．[2,3)
B ．(2,3]
C ．(3,4]
D ．[3,4)
10、若函数()1sin sin 23
f x x a x x =+-在R 上单调递增，则a 的取值范围是 A ．[]1,1-
B ．1[1,]3
-
C ．11[,]33
-
D ．1[1,]3
--
11、设12,F F 分别是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左右焦点，P 是C 的右支上的点，
射线PT 平分12F PF ∠，过原点O 作PT 的平行线交1PF 于点M ，若121
3
MF F F =，则C 的离心率等于
A ．
3
2
B ．3
C D
12、在菱形ABCD 中，060,A AB ==ABD ∆沿BD 折起到PBD ∆的位置，若二面角P BD C --的大小为0
120，三棱锥P BCD - 的外接球球心为,O BD 的中点为E ，则OE =
A ．1
B ．2
C
D ．
第II 卷：非选择题共90分
二 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、若二项式(n
x
的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 14、函数(1)2y f x =++是定义域为R 上的奇函数，则()(2)f e f e +-=
15、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若函数()sin ()f x x x x R =+∈的最大值为1a ，
其满足1
12
n n n n n a a a S a S +-=
-，则数列{}n a 前2017项之积2017A = 16、在ABC ∆中，,4
C O π
∠=为外心，且有OC mOA nOB =+ ，则m n +的取值范围是
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17、（本小题满分12分）
四边形ABCD 如图所示，已知2,AB BC CD AD ====.
（1cos A C -的值；
（2）记ABD ∆与BCD ∆的面积分别是1S 与2S ，求2212S S +的最大值.
18、（本小题满分12分）
为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机出抽取100件零件，作为样本，测量其直径后，整理得到如下表：
经计算，样本的平均值65μ=，标准差 2.2σ=，以频率作为概率的估计值.
（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记起直径为X ，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的概率）； ①()0.6826;P X μσμσ-<≤+≥
②(22)0.9544;P X μσμσ-<≤+≥ ③(33)0.9974P X μσμσ-<≤+≥
评判规则：若同时满足上述三个不等式，则设备定价为甲；仅满足其中两个，则顶级为乙；若仅满足其中一个，则顶级为丙；若全部不满足，则顶级为丁，试判断设备M 的性能等级； （2）将直径小于2μσ-或直径大于2μσ+的零件认为是次品.
①从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其次品个数Y 的数学期望E(Y)； ②从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z 的数学E(Z).
19、（本小题满分12分）
如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，0
60BAD ∠=，四边形
BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD .
（1）在图中画出过点B 、D 的平面α，使得平面//α平面AEF （必须说明画法，不需要证明）；
（2）若二面角BD C α--是0
45，求FB 与平面α所成角的正弦值.
20、（本小题满分12分）
如图，过椭圆2
2:14
x C y +=的左右焦点12,F F 分别作直线12,l l 交椭圆于,A B 与,C D ，且12//l l .
（1）求证：当直线1l 的斜率1k 与直线BC 的斜率2k 都存在时，12k k 为定值； （2）求四边形ABCD 面积的最大值
.
21、（本小题满分12分） 已知函数()1
ln 1()2
m f x x m R x =
+-∈的两个零点为1212,()x x x x <. （1）求实数m 的取值范围； （2）求证：12112x x e
+>.
请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22、（本小题满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是8y =，圆的参数方程是2cos (22sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=+⎩
为参
数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l 和圆的极坐标方程； （2）射线:OM θα=（其中02
π
α<<）与圆C 交于,O P 两点，与直线交于点M ，
射线:2
ON π
θα=+与圆C 交于,O Q 两点，与直线l 交于点N ，求
OP OQ OM
ON
⋅
的最大值.
23、（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲
设不等式2120x x -<--+<的解集为M ，且,a b M ∈.
（1）证明：
111
364
a b +<； （2）比较14ab -与2a b -的大小，并说明理由.
2017-2018广西桂林市、崇左市、百色市高三年级第一次模拟考试（一模）试卷
理科数学答案。