第十七章《勾股定理》

第十七章《勾股定理》本章主要内容是勾股定理及其逆定理。

首先让学生通过观察得出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理，然后运用勾股定理解决问题。

在此基础上，引入勾股定理的逆定理，并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念。

本章安排了两个小节和两个选学内容，教学时间约需8 课时，大体分配如下（供参考）17． 1 勾股定理 4 课时17． 2 勾股定理的逆定理 3 课时小结 1 课时、教科书内容和本章学习目标本章知识结构框图：直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。

本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是一条非常重要的性质。

勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大。

它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用。

目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。

据说我国著名数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种“语言”的。

这个事实可以说明勾股定理的重大意义，发现勾股定理，尤其在2000 多年前，是非常了不起的成就。

在第一节中，教科书让学生通过观察计算一些直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积，从而发现勾股定理。

勾股定理的证明方法很多，教科书正文中介绍的是一种面积证法。

其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。

在教科书中，图18.1 －3（1）中的图形经过割补拼接后得到图18.1 －3（3）中的图形。

由此就证明了勾股定理。

由勾股定理可知，已知两条直角边的长a,b ，就可以求出斜边 c 的长。

由勾股定理可得或，由此可知，已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长。

也就是说，在直角三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长。

教科书相应安排了三个探究栏目，让学生运用勾股定理解决问题。

在第二节中，教科书让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形是直角三角形。

从而猜想如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

这个猜想可以利用全等三角形证明，得到勾股定理的逆定理。

勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法。

教科书安排了两个例题，让学生学会运用这种方法。

这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它通过代数运算“算” 出来。

实际上利用计算证明几何问题学生已经见过，计算在几何里也是很重要的。

从这个意义上讲，勾股定理的逆定理的学习，对开阔学生眼界，进一步体会数学中的各种方法有很大的意义。

几何中有许多互逆的命题，互逆的定理，它们从正反两个方面揭示了图形的特征性质，所以互逆命题和互逆定理是几何中的重要概念。

学生已见过一些互逆命题（定理），例如：“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”；“全等三角形的对应边相等”与“对应边相等的三角形是全等三角形”等，都是互逆命题。

勾股定理与勾股定理的逆定理也是互逆的命题，而且这两个命题的题设和结论都比较简单。

因此，教科书在前面已有感性认识的基础上，在第二节中，结合勾股定理的逆定理的内容的展开，穿插介绍了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立。

为巩固这些内容，相应配备了一些练习与习题。

本章学习目标如下：1. 体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；2. 会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；3．通过具体的例子，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成二、教学中需要注意的几个问题（一）让学生体验勾股定理的探索和运用过程勾股定理的发现从传说故事讲起，从故事中可以发现等腰直角三角形有这样的性质：以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。

再看一些其他直角三角形，发现也有上述性质。

因而猜想所有直角三角形都有这个性质，即如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么（教科书把这个猜想记作命题1，把下节“如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形”记作命题2，便于引出互逆命题）。

教科书让学生用勾股定理探究三个问题。

探究 1 是木板进门问题。

按照已知数据，木板横着、竖着都不能进门，只能斜着试试。

由此想到求长方形门框的对角线的长，而这个问题可以用勾股定理解决。

探究 2 是梯子滑动问题：梯子顶端滑动一段距离，梯子的底端是否也滑动相同的距离。

这个问题可以转化为已知斜边与一条直角边的长求另一条直角边的长的问题，这也可以用勾股定理解决。

探究 3 是在数轴上画出表示的点。

分以下四步引导学生：（1）将在数轴上画出表示的点的问题转化为画出长为的线段的问题。

（2）由长为的线段是直角边都为 1 的直角三角形的斜边，联想到长为的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边。

（3）通过尝试发现，长为的线段是直角边为2,3 的直角三角形的斜边。

（4）画出长为的线段，从而在数轴上画出表示的点。

（二）结合具体例子介绍抽象概念在本章中，结合勾股定理、勾股定理的逆定理介绍了逆命题、逆定理的内容。

在勾股定理的逆定理一节中，从古埃及人画直角的方法谈起，然后让学生画一些三角形（已知三边，并且两边的平方和等于第三边的平方），可以发现画出的三角形是直角三角形。

因而猜想如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形，即教科书中的命题2。

把命题 2 的条件、结论与上节命题 1 的条件、结论作比较，引出逆命题的概念。

接着探究证明命题 2 的思路。

用三角形全等证明命题2后，顺势引出逆定理的概念。

命题1，命题 2 属于原命题成立，逆命题也成立的情况。

为了防止学生由此误以为原命题成立，逆命题一定成立，教科书特别举例说明有的原命题成立，逆命题不成立。

（三）注重介绍数学文化我国古代的学者们对勾股定理的研究有许多重要成就，不仅在很久以前独立地发现了勾股定理，而且使用了许多巧妙的方法证明了它，尤其在勾股定理的应用方面，对其他国家的影响很大，这些都是我国人民对人类的重要贡献。

本章介绍了我国古代的有关研究成果。

在引言中介绍我国古算书《周髀算经》的记载“如果勾是三、股是四、那么弦是五”。

有很多方法可以证明勾股定理。

教科书为了弘扬我国古代数学成就，介绍了我国古人赵爽的证法。

首先介绍赵爽弦图，然后介绍赵爽利用弦图证明命题 1 的基本思路。

“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲。

正因为此，这个图案被选为2002 年在北京召开的世界数学家大会的会徽。

还在习题中安排我国古代数学著作《九章算术》中的问题，展现我国古人在勾股定理应用研究方面的成果。

本章也介绍了国外的有关研究成果。

如勾股定理的发现是从与毕达哥拉斯有关传说故事引入的。

又如勾股定理的逆定理从古埃及人画直角的方法引入。

再如介绍古希腊哲学家柏拉图关于勾股数的结论。

三、对教学的几个建议（一）让学生获得更多与勾股定理有关的背景知识与勾股定理有关的背景知识丰富，除正文介绍的有关内容外，教科书在“阅读与思考勾股定理的证明” 中介绍了另外几种证明勾股定理的方法，还安排了一个数学活动，让学生收集一些证明勾股定理的方法，并与同学交流。

在教学中，应注意展现与勾股定理有关的背景知识，使学生对勾股定理的发展过程有所了解，感受勾股定理的丰富文化内涵，激发学生的学习兴趣。

特别应通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感，同时教育学生发奋图强，努力学习，为将来担负起振兴中华的重任打下基础。

（二）通过教学提高学生分析问题解决问题的能力本章内容虽然不多，但教学内涵却很丰富。

勾股定理及其逆定理不仅在数学中有重要的地位，定理本身也有重要的实际应用。

本章还结合两个定理引入了逆命题、逆定理等比较抽象的概念。

这些知识本身易混易错，学习有一定的难度。

应该对本章的教学引起重视，使本章的教学对培养学生逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力发挥应有的作用。

在勾股定理的教学中，一方面要重视学生观察、猜想能力的培养，也要重视从特殊结论到一般结论的严密思维能力的培养。

从勾股定理到它的逆定理，学生往往会从直觉出发想当然地认为勾股定理的逆命题也一定成立，而从这种直觉上升到逻辑严密地思考和证明，认识到两个结论有联系但却并不相同，认识到新的结论仍需要经过严格地证明，这是思维能力提高的重要体现，这在教学中是应该引起重视的。

另外，逆命题概念的教学也是一个教学难点，怎样写出一个命题的逆命题，原命题和逆命题真假的多种可能性，怎样的命题可以称为逆定理，这些都是学生容易出错的知识点。

勾股定理及其逆定理在解决实际问题中有广泛的应用价值，在证明几何结论中也起着非常重要的作用，在教学中也要引起充分的重视。

教学中可以适当把一些中外数学史中的材料充实到课堂中，使本章的教学更加充实，取得更好的效果。

（三）围绕证明勾股定理培养学生数学学习的自信心一个缺乏自信的人是不可能成就一番事业的。

自信就是不示弱，自信就是自强不息，相信自己的能力，相信自己行，勇于同困难作斗争。

数学课往往是初中学生最想学好又不容易学好的一门课，而在数学学习中所培养起来的自信心往往成为学生今后成长的重要力量，所以在数学教学中要特别重视培养学生数学学习的自信心，进而培养更广泛的自信心。

勾股定理被公认是初等几何中的最重要的定理之一，定理结论奇异、形式优美，寻找勾股定理的新证法成为古今中外名家百姓都热衷研究的问题，而勾股定理的赵爽证法被认为是极其优美简洁的证明方法。

了解、理解甚至独立发现一个重要定理的证明方法对于树立数学学习的自信心往往能起到特别的作用。

勾股定理的证明方法相当多，让学生从定理条件和结论去分析找到一个新的证明方法并非高不可攀，所以，在本定理的教学中，除正文介绍的有关内容外，可以根据实际教学情况，对于学生提出不同的教学要求，可以让学生自主探究定理的证明，既可以让学生根据图形分析自主得到证法，也可以安排收集定理多种证法的数学课外活动，通过这些活动，使学生对勾股定理有较好的理解，从而培养他们学好数学的信心。

（四）适当总结与定理、逆定理有关的内容本章中给出了逆定理的概念，可以在小结中回顾已学的一些结论。

例如，在第十一章“全等三角形”中，利用三角形全等证明了“角的平分线上的点到角的两边的距离相等” “角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上” ，前一个结论也称为角的平分线的性质定理，而后一个结论是角的平分线的性质定理的逆定理。