第15章 分式章节复习 人教版数学八年级上册课件(共37张PPT)
【人教版】八年级数学上册 第十五章《分式方程及其应用》(讲义+习题+随堂测试及答案)
分式方程及其应用（讲义）
➢ 课前预习
1. 请回顾相关知识，填空：
名
称 定义要点 变形依据 求解思路
一
元
一
次
方
程 ①一元一次
②整式方程 等式的基本性质 转化成x=a的形式
二
元
一
次
方
程
组 ①__元__次
②两个一组 ______的
基本性质 通过______转化为一元一次方程求解
不
等
式
（组） 用_______
连接 ______的
基本性质 类比一元一次方程，转化为x>a的形式
2. 回忆并背诵应用题的处理思路，回答下列问题：
（1）理解题意，梳理信息．
梳理信息的主要手段有_______________________________．
（2）建立数学模型．
建立数学模型要结合不同特征判断对应模型，如：
①共需.同时.刚好.恰好.相同……，考虑___________； ②不超过.不多于.少于.至少……，考虑_____________．
（3）求解验证，回归实际．
主要是看结果是否_________________．
➢ 知识点睛
1. 分式方程的定义：__________________的方程叫做分式方程．
2. 解分式方程：
根据________________，把分式方程转化为__________求解，结果必须_______，因为解方程的过程中有可能产生______．
增根产生的原因是方程两边同乘了一个_________________．
3. 列分式方程解应用题，也要进行___________．
➢ 精讲精练
1. 下列关于x的方程是分式方程的有__________．（填写序号）
①315x；②xx；③11123xy；④1152xx；
⑤11xab．
2. 已知方程2512kxx的解为1x，则k_________．
3. 解分式方程：
（1）2115225xxx； （2）100602020xx；
八年级数学上册第十五章分式知识点总结(新版)新人教版
1 八年级数学下册：
第十五章 分式
一、知识框架 ：
二、知识清单：
1.分式：形如AB，AB、是整式，B中含有字母且B不等于0的整式叫做分式.其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.
2.分式有意义的条件：分母不等于0.
3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.
4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.
5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.
6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.
7.分式的四则运算： 2 ⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：ababccc
⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： acadcbbdbd
⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：acacbdbd
⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：acadadbdbcbc
⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：nnnaabb
8.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
9.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②解整式方程的步骤求出未知数的值;③检验(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根)；④写出分式方程的解.
11.列分式方程解应用题：①审题，弄清题意；②设未知数，根据题意，设未知数；③根据题意列方程④解方程求出未知数的值⑤检验，看未知数的值是否符合题意，是否符合方程⑥下结论，写出方程的解.
八上第15章 分式-中考数学知识导图(人教版)
现走的路程=后走的路程前走的路程+两地距离=追者的路程负数的偶次方结果为正负数的奇次方结果为负正数的奇偶次方结果都得正两地距离=甲的路程+乙的路程同地不同时同时不同地一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子判断式子是不是分式是从原始形式上去看，而不是从化简后的结果上去看，如A>0且B>0A<0且B<0A>0且B<0A<0且B>0A=BA+B=0提分子、分母公因式约去公因式观察结果，是否是最简分式或整式约分前后分式的值要相等约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式确定最简公分母两个分母的系数最小公倍数作为最简公分母的系数相同底数的，取次数最高次幂单独出现的字母或者多项式都要算入最简公分母中分式乘方要把分子、分母分别乘方分式乘方时先把除法统一成乘法运算分子、分母中能分解因式的多项式分解因式确定分式的符号，然后约分结果应是最简分式n是正整数，n等于原数中左边第一个不为0的数字前面所有的0的个数(包括小数点前面的0）若最简公分母为0 ，则结果不是分式方程的解若最简公分母不为0，则结果是分式方程的解整式方程无解整式方程有解，但这个解使分式方程的分母为0，是增根相遇问题追击问题工作量=工作效率×工作时间利润=售价-成本利润率=利润÷进价×100%现售价 = 标价×折扣售价 = 进价×（1+利润率）较大量= 较小量+多余量总量= 一份量×倍数几何图形的性质图形周长、面积公式船在顺水中的速度=船在静水中的速度+水流速度船在逆水中的速度=船在静水中的速度—水流速度概念注意事项分式有意义分式无意义分式值为0分式值为正或大于0分式值为负或小于0分式值为1分式值为-1拓展分式约分的步骤约分的注意事项分式通分的关键确定最简公分母的方法注意事项同分母分式异分母分式运算顺序概念：小于1的正数可以用科学记数法表示，即注意事项去分母(两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程)解整式方程(去括号-移项/合并同类项-系数化为1)检验(把整式方程的解代入最简公分母写出答案把分式方程化成整式方程路程问题工程问题销售问题和差倍分问题几何问题航行问题分式与分式有关的条件基本性质约分通分乘法运算除法运算分式的乘方分式的加减运算分式混合运算整数的指数幂科学记数法解分式方程的基本步骤分式方程无解的情况利用分式方程求解的常见问题分式的基础分式运算分式方程第十五章 分式
初二数学八上第十五章分式知识点总结复习和常考题型练习
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范文 第十五章 分式
一、知识框架 ：
二、知识概念：
1.分式：形如AB，AB、是整式，B中含有字母且B不等于0的整式叫做分式.其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.
2.分式有意义的条件：分母不等于0.
3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.
4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.
5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.
6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.
7.分式的四则运算：
⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：ababccc
⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： acadcbbdbd
⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：acacbdbd
⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：acadadbdbcbc
⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：nnnaabb
8.整数指数幂：
⑴mnmnaaa（mn、是正整数）
⑵nmmnaa（mn、是正整数） .
范文 ⑶nnnabab（n是正整数）
⑷mnmnaaa（0a，mn、是正整数，mn）
⑸nnnaabb（n是正整数）
⑹1nnaa（0a，n是正整数）
9.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).
人教版数学八年级上册第十五章《分式》复习教案
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下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。 第15章 分式
单元要点分析
教材内容
本单元教学的主要内容：
本单元主要内容是分式的概念、根本性质、分式运算以及分式方程的应用．
本单元知识构造图．
本单元教材分析：
本单元是继整式之后对代数式的进一步研究，主要从三个方面展开讨论：
1．密切分式与现实生活的联系，突出分式、分式方程的模型作用，•分式也是表示具体问题情境中数量关系的工具；分式方程那么是将具体问题“数学化〞的重要模型．本单元首先通过从分数到分式，以适移的手法引入分式概念，在分式的运算中安排了丰富的实际问题，让学生在这些实际问题中，学习法那么、应用法那么，感受分式运算的意义，理解算理．在学习分式方程时，教材设置了现实中的速度问题、工程问题等，让学生经历“建立分式方程模型〞这一数学化的过程，体会分式方程的意义与使用，培养抽象、概括能力．在分式方程应用方面，力求使应用问题贴近学生生活实际，增强学生解决问题的能力，激发学生的学习兴趣．
2．注意数学思想方法的应用，突出培养学生的合情推理能力．•教材十分重视观察、类比、归纳、猜测等思维方法的应用．在分式根本性质的探索过程中，采用观察、类比的方法，让学生在讨论、交流中获得结论，在分式加减乘除运算法那么的探索中，与分数进展类比，得到有关结论；分式方程的概念也是通过抽象、概括获得的．这样，既渗透了常用的数学思维方法，又培养了学生的合情推.
下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。 理能力．
3．适当降低分式运算的难度，注重对算理的理解、分式的化简、求值、•运算，是代数运算的根底，但它与分数非常类似．因此，适当控制难度、注意对算理的理解是本单元的特点．在分式运算方面，教材的例、习题难度都不大，运算步骤不多，注意一题多解，对分式方程，注重对解的合理性的讨论．
三维目标
1．知识与技能
八年级数学上册第十五章分式15.2分式的运算15.2.2分式的加减15.2.2.2分式的混合运算教案新版新人教版2
每个人都有潜在的能量，只是很容易：被习惯所掩盖，被时间所迷离，被惰性所消磨。
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前有阻碍，奋力把它冲开，运用炙热的激情，转动心中的期待，血在澎湃，吃苦流汗算什么。 第2课时 分式混合运算
◇教学目标◇
【知识与技能】
明确分式混合运算的顺序.
【过程与方法】
经历探索分式混合运算步骤的过程,能熟练地进行分式的混合运算.
【情感、态度与价值观】
结合已有的数学经验解决新问题,获得成就感和克服困难的方法和勇气.
◇教学重难点◇
【教学重点】
分式混合运算的顺序.
【教学难点】
分式的混合运算.
◇教学过程◇
一、情境导入
我们学习了分式的加减乘除、乘方运算,你能解决下面的问题吗?
化简:.
二、合作探究
探究点1 分式乘除混合运算
典例1 化简:.
[解析] 原式=-=-.
探究点2 分式混合运算 每个人都有潜在的能量，只是很容易：被习惯所掩盖，被时间所迷离，被惰性所消磨。
第 2 页 共 2 页
前有阻碍，奋力把它冲开，运用炙热的激情，转动心中的期待，血在澎湃，吃苦流汗算什么。 典例2 先化简,再求值:,其中x=5.
[解析] 原式=
=
=-(x-2)
=-x+2.
当x=5时,原式=-5+2=-3.
探究点3 化简求值
典例3 先化简,再求值:.其中x的值从不等式组的整数解中选取.
[解析] 由不等式组可解得-1
∵x是整数,
∴x=0或1或2.
∴原式==(x+2)·,
当x=0时,原式=0.
当x=2时,原式=.
当x=1时,原式=.
三、板书设计
分式混合运算
分式混合运算
◇教学反思◇
本节是一节习题课,内容是分式的混合运算,要把握运算顺序.不少学生在分式运算中出错,就是因为不重视审题,题没看完就动笔计算,或者受题中部分算式的特殊结构的影响而不遵循运算顺序,如化简,就常出现乱约分而不遵循运算顺序的典型错误,要同学通过练习、板演充分暴露问题所在,纠正,最后总结出容易忽视和出错的地方,提醒自己.
八年级数学上册第十五章《分式》知识点总结(2)
一、选择题
1．使分式21xx有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≠0
C．x≠±1 D．x为任意实数C
解析：C
【分析】
分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得x的取值范围．
【详解】
由题意，得x2−1≠0，
解得：x≠±1，
故选：C．
【点睛】
此题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
2．已知分式24xx的值是正数，那么x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x＞-4
C．x≠0 D．x＞-4且x≠0D
解析：D
【分析】
若24xx的值是正数，只有在分子分母同号下才能成立，即x＋4＞0，且x≠0，因而能求出x的取值范围．
【详解】
解：∵24xx＞0，
∴x＋4＞0，x≠0，
∴x＞−4且x≠0．
故选：D．
【点睛】
本题考查分式值的正负性问题，若对于分式ab（b≠0）＞0时，说明分子分母同号；分式ab（b≠0）＜0时，分子分母异号，也考查了解一元一次不等式．
3．关于x的一元一次不等式组31,224xmxxx的解集为4x，且关于y的分式方程13122myyyy有整数解，则符合条件的所有整数m的和为（ ）
A．9 B．10 C．13 D．14A
解析：A
【分析】
不等式组整理后，根据已知解集确定出m的范围，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有整数解确定出整数m的值，进而求出之和即可．
【详解】
解：31224xmxxx①②，
解①得
x≤2m+2，
解②得
x≤4，
∵不等式组31224xmxxx的解集为4x，
∴2m+2≥4，
∴m≥1．
13122myyyy，
两边都乘以y-2，得
my-1+y-2=3y，
∴32ym，
∵m≥1，分式方程13122myyyy有整数解，
初中数学八年级上册第十五章《整式的乘除与因式分解》简介
1 / 6 新课标人教版初中数学八年级上册第十五章《整式的乘除与因式分解》简介
人教版《义务教育课程标准实验教科书?数学》第十五章是“整式的乘除与因式分解”。本章的主要内容是整式的乘除运算、乘法公式以及因式分解。本章内容建立在已经学习了的有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减运算等知识的基础上。整式的乘除运算和因式分解是基本而重要的代数初步知识，这些知识是以后学习分式和根式运算、函数等知识的基础，在后续的数学学习中具有重要意义，同时，这些知识也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学基础知识.
本章共安排了4个小节，教学时间约需13课时（供参考）：
15.1 整式的乘法
4课时
15.2 乘法公式
2课时
15.3 整式的除法
2课时
15.4 因式分解
3课时
数学活动
小结
2课时
一、教科书内容和课程学习目标
（一）本章知识结构框图
（二）教科书内容 2 / 6 本章共包括4节
15.1 整式的乘法
整式的乘法是整式四则运算的重要组成部分。本节分为四个小节，主要内容是整式的乘法，这些内容是在学生掌握了有理数运算、整式加减运算等知识的基础上学习的。其中，幂的运算性质，即同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是整式乘法的基础，教科书把它们依次安排在前三个小节中，教学中应适当复习幂、指数、底数等概念，特别要弄清正整数指数幂的意义。
在学生掌握了幂的运算性质后，作为它们的一个直接应用，教科书在第四小节安排一般整式乘法的教学内容。首先是单项式与单项式相乘，由于进行单项式与多项式、多项式与多项式相乘的前提是熟练地进行单项式与单项式相乘，因此，对于单项式与单项式相乘的教学应该予以充分重视。在学生掌握了单项式与单项式相乘的基础上，教科书利用分配律等进一步引入单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘，这样使整式乘法运算的教学从简到繁，由易到难，层层递进。
人教版初中数学八年级上册上册第十五章《分式》第一节《分式》教案
人教版初中数学八年级上册上册第十五章《分式》 第一节《分式》教案
一、教学内容
人教版初中数学八年级上册第十五章《分式》第一节《分式》教案，本节课将围绕以下内容展开：
1. 分式的定义与基本性质；
2. 分式的分子、分母的约分与通分；
3. 分式的乘法、除法、加法与减法法则；
4. 分式的简单应用，解决实际问题。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括：
1. 培养学生的数学抽象能力，通过引入分式的概念，让学生理解数学表达形式的简洁性与严谨性；
2. 提高学生的逻辑推理能力，在学习分式的性质与运算法则中，使学生掌握逻辑推理方法，形成严密的数学思维；
3. 培养学生的数学建模素养，让学生在实际问题中运用分式知识建立数学模型，提高解决实际问题的能力；
4. 增强学生的数学运算能力，通过分式的运算练习，使学生熟练掌握分式的四则运算法则，提高计算速度和准确度；
5. 培养学生的数学应用意识，使学生能够运用分式知识解决生活中的实际问题，感受数学与生活的紧密联系。
三、教学难点与重点
1. 教学重点
- 分式的定义：理解分式表示两个整式的比，分子、分母的意义，以及分式的基本性质。
- 分式的约分与通分：掌握约分与通分的方法，明确最简分式的概念。
- 分式的四则运算法则：熟练掌握分式的乘法、除法、加法与减法法则，并能正确运用。
- 分式的应用：能够运用分式解决简单的实际问题，体会数学的应用价值。
举例：重点讲解分式的乘法法则，通过具体的例题演示，使学生理解分式乘法的过程和原理。
2. 教学难点
- 分式的概念理解：学生容易混淆分式与整式的区别，需要通过实例和直观图形帮助学生理解。
- 约分与通分的技巧：学生在约分和通分时，往往不能找到最简公分母，需要教授寻找公分母的技巧和方法。
- 分式的混合运算：学生在面对分式的混合运算时，难以掌握运算顺序和法则，需要通过典型例题和练习逐步突破。
- 分式在实际问题中的应用：学生可能不知道如何将实际问题转化为分式问题，需要通过案例分析，引导学生建立数学模型。
人教版 八年级数学上册 第15章 分式 复习题(含答案)
人教版 八年级数学 第15章 分式 复习题
一、选择题
1. 若1=-4x，则x的值是
（
）
A.4
B.41 C.41 D.﹣4
2. 若把分式3xyx－y(x，y均不为0)中的x和y的值都扩大为原来的3倍，则分式的值( )
A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的13
C．不变 D．扩大为原来的6倍
3.
若关于x的方程x＋mx－3＋3m3－x＝3的解为正数，则m的取值范围是( )
A. m<92
B. m<92且m≠32
C. m>－94 D. m>－94且m≠－34
4. 有旅客m人，若每n个人住一间客房，还有一个人无房间住，则客房的间数为 ( )
A. B. C.-1 D.+1
5. 把通分后，各分式的分子之和为 ( )
A.2a2+7a+11 B.a2+8a+10
C.2a2+4a+4 D.4a2+11a+13
6. （2020·宜宾）学校为了丰富学生知识，需要购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元，已知学校用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学类图书的本数相等．设文学类图书平均每本x元，则列方程正确的是（ ）
A．150008x＝12000x B．150008x＝12000x C．15000x＝120008x D． 15000x＝12000x+8
二、填空题
7. 方程
12x＝2x－3的解是________．
8. 分式方程5y－2＝3y的解为________．
9. （2020·扬州）代数式23x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 .
10. 若关于x的分式方程=a无解，则a的值为 .
11. 如果=成立，那么a的取值范围是 .
12. 已知a≠0，S1=-3a，S2=，S3=，S4=，…，S2020=，则S2020= .