足球射门数学模型ppt课件
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lecture_足球射门2015
i =1
2
2
｝ ｝
a*=(a1*, a2*)
* * * u 2 ( a1 , a2 ) ≥ u 2 (a1 , a2 ), ∀a2 ∈ {L, R}.
| 0 ≤ qi ≤ 1, ∑ qi = 1
i =1
2 2 2 i =1 j =1
不存在(纯)NE 如果(完全虚拟的Payoff矩阵) 0.58 0.65 (纯)NE: a =(a , a M ' = {m } = 0.93 0.70
p∈S1
*
1
*
* 2 )
=(R, R)
min pMq
q∈S 2
T
完全信息 静态博弈 有限博弈 矩阵博弈 (2人) 零和博弈 常数和博弈
模型求解
max pMq T min pMqT
p∈S1
q∈S 2
0.58 0.95 y pMqT = ( x,1 − x) p1=x, q1=y 0.93 0.70 1 − y = 0.58 xy + 0.95 x(1 − y ) + 0.93(1 − x ) y + 0.70(1 − x)(1 − y )
点球大战（ 点球大战（Penalty kicks in soccer）
•
•
统计(基于重大比 向左 向右 赛中的459次实际 罚球队员 40% 60% 罚球的数据): 守门员 42% 58% 为什么不是50%？ 进球概率是完全对称的吗？ 进球概率是完全对称的吗？ 有无关系？ 有无关系？ 需要收集实际数据（ 需要收集实际数据（可能因人而异） 可能因人而异） 守门员 扑向 扑向 统计(基于重大比 左侧 右侧 赛中的约1400次实 罚球队员 罚球队员 际罚球的数据) 踢向左侧 0.58 0.95 踢向右侧 0.93 0.70
2
2
｝ ｝
a*=(a1*, a2*)
* * * u 2 ( a1 , a2 ) ≥ u 2 (a1 , a2 ), ∀a2 ∈ {L, R}.
| 0 ≤ qi ≤ 1, ∑ qi = 1
i =1
2 2 2 i =1 j =1
不存在(纯)NE 如果(完全虚拟的Payoff矩阵) 0.58 0.65 (纯)NE: a =(a , a M ' = {m } = 0.93 0.70
p∈S1
*
1
*
* 2 )
=(R, R)
min pMq
q∈S 2
T
完全信息 静态博弈 有限博弈 矩阵博弈 (2人) 零和博弈 常数和博弈
模型求解
max pMq T min pMqT
p∈S1
q∈S 2
0.58 0.95 y pMqT = ( x,1 − x) p1=x, q1=y 0.93 0.70 1 − y = 0.58 xy + 0.95 x(1 − y ) + 0.93(1 − x ) y + 0.70(1 − x)(1 − y )
点球大战（ 点球大战（Penalty kicks in soccer）
•
•
统计(基于重大比 向左 向右 赛中的459次实际 罚球队员 40% 60% 罚球的数据): 守门员 42% 58% 为什么不是50%？ 进球概率是完全对称的吗？ 进球概率是完全对称的吗？ 有无关系？ 有无关系？ 需要收集实际数据（ 需要收集实际数据（可能因人而异） 可能因人而异） 守门员 扑向 扑向 统计(基于重大比 左侧 右侧 赛中的约1400次实 罚球队员 罚球队员 际罚球的数据) 踢向左侧 0.58 0.95 踢向右侧 0.93 0.70
足球射门说课ppt
课堂教学效果预计： 1.心理状况预测：根据本课特点，学生积极主动参与学习，学生学习情 绪高涨，并能在练习中获得愉悦的心理体验和情感交流。 2.生理状况预测：练习密度在45-50﹪左右，平均心率在130次／分左右。
活动之一，其特点是集体性和竞争性强，锻炼身体的综合效果好，是树立群体意 识、培养应变能力、团结合作精神的有效手段。三年级的小足球教学应让学生多 熟悉球性，提高控球能力。其教学手段以游戏的形式，培养学生学习的兴趣，充 分体现小足球集体性和趣味性强的特点。
学情分析 本课的教学对象是三年级的学生，他们正处在生长发育的关键时期，对足球
教法与学法
教法 小学生的理解力、自制力相对较差，但模仿能力较强，
学习动作技能应以第一信号为主，教学中要精讲多练，多做 示范。要充分发挥游戏活动的作用，激发学生的运动兴趣， 让学生在竞赛活动中大胆向其他同学展示，增强其信心、体 验成功的喜悦。在教学中我采用了启发式教学法、激励法、 评价法、竞赛法等手段，激发学生的学习动机。 学法
教学环节与意图
游戏： “小袋鼠”接力 活动形式：把学生分成四个小组进行练习。 教师引导：（1）讲明游戏规则， 并提出要求； （2）先让学生自行练习一次。 （3）引导各小组讨论。 （4） 组织学生进行比赛。 （5）评出最后的获胜小组。 设计意图：让学生在愉快与紧张的气氛中积极参与活动，获得最佳活动效果。
在学法上主要采用了自主探究学习法、游戏竞赛法、合 作练习法、相互评价法。充分发挥学生在教学中的主体地位， 培养学生的团结协作能力和体育骨干的组织能力。本课以小 足球为主，一物多用。并根据学生的心理和生理特征，采用 学生最喜爱的游戏方式进行教学，通过多种多样的练习和游 戏来培养学生的创新思维，激发学生的学习兴趣，从而达到 本课的教学目标。
活动之一，其特点是集体性和竞争性强，锻炼身体的综合效果好，是树立群体意 识、培养应变能力、团结合作精神的有效手段。三年级的小足球教学应让学生多 熟悉球性，提高控球能力。其教学手段以游戏的形式，培养学生学习的兴趣，充 分体现小足球集体性和趣味性强的特点。
学情分析 本课的教学对象是三年级的学生，他们正处在生长发育的关键时期，对足球
教法与学法
教法 小学生的理解力、自制力相对较差，但模仿能力较强，
学习动作技能应以第一信号为主，教学中要精讲多练，多做 示范。要充分发挥游戏活动的作用，激发学生的运动兴趣， 让学生在竞赛活动中大胆向其他同学展示，增强其信心、体 验成功的喜悦。在教学中我采用了启发式教学法、激励法、 评价法、竞赛法等手段，激发学生的学习动机。 学法
教学环节与意图
游戏： “小袋鼠”接力 活动形式：把学生分成四个小组进行练习。 教师引导：（1）讲明游戏规则， 并提出要求； （2）先让学生自行练习一次。 （3）引导各小组讨论。 （4） 组织学生进行比赛。 （5）评出最后的获胜小组。 设计意图：让学生在愉快与紧张的气氛中积极参与活动，获得最佳活动效果。
在学法上主要采用了自主探究学习法、游戏竞赛法、合 作练习法、相互评价法。充分发挥学生在教学中的主体地位， 培养学生的团结协作能力和体育骨干的组织能力。本课以小 足球为主，一物多用。并根据学生的心理和生理特征，采用 学生最喜爱的游戏方式进行教学，通过多种多样的练习和游 戏来培养学生的创新思维，激发学生的学习兴趣，从而达到 本课的教学目标。
足球《定位球射门》课件
通过练习和比赛，培养学生勇敢顽强、积极主动、相互合作 的精神，增强学生的集体荣誉感，使学生体验成功的快乐和 喜悦。
4
课程结构
开始部分
1
2
准备部分
结束部分
4
3
基本部分
5
课堂常规 1. 整队集合 2. 清点人数
队形组织示意图：
3. 检查服装
4. 宣布课内容 5. 安排见习生
6
热身跑、徒手操
1.热身跑 队形组织示意图： 2.徒手操
（1）扩胸运动 （2）振臂运动 （3）肩绕环 （4）腹背运动 （5）体转运动 （6）前后弓步压腿
队形组织示意图：
（7）绕膝运动
（8）手腕、踝关节运动
7
定位球射门
2.定位球射门练习
9
游戏 ：“定位球射门”比赛
10
整理放松
● 整队集合
● 放松练习
1.慢走抖腿。 2.原地坐下拍、揉腿，并播放音乐。 ● 课堂总结 ● 收器材
通过本节课的学习，能够培养学生合作意识、拼搏进取、勇敢 顽强的精神。
2
教学重难点 教学 重点
正确掌握支撑脚的位置、脚触球的部 位及射门时的力度。
教学 难点
触球的部位和用力方向。
3
教学目标
通过教学，使学生能够基本掌握定位球射门的技术动作要领， 能够明白在比赛中熟练运用这项技术的重要性。
通过教学和练习，进一步提高学生的足球水平，发展学生的灵 敏性和协调性，提高个人的运定位球射门能力。
定位球射门
教材分析
1
2
足球是学生特别喜欢的体育运动项目之一。其特点是：集体性 强、竞争激烈、锻炼身体效果明显，对培养团结合作精神和快 速反应能力具有积极地推动和促进的作用。 本课通过教材内容的搭配，能充分激发学生的活动欲望，养成 学生自主合作学习的良好习惯。
足球射门数学模型
( 2）若x保持不变，显然，P(x,y)越靠近ox 轴， APB
越大，射门命中率越高。
综上所述，在区域 DADA 内与边线平行位置射门, 在曲线
x y 3.66
2 2
2
上较好，在与底线平行位置射门，越居中越好。这就打破
了人们传统上离球门越近越好的错误想法。比如，M点与 N点比较，较远的点N处射门较好，K点与H点比较，K点 射门较好。
体的方法如下：
根据一般职业球员的情况，我们认为一个球员在球
门的正前方（θ=/2） 距离球门10米处（d=10）向球门
内的目标点劲射，标准差应该在1米以内，即取σ=1，由 d 公式 (cot 1) 得 k=10。于是，当球员的基本素质 k
k=10时，求解该模型可以得到球场上任意一点对球门的威
数学建模
第五讲
足球射门的数学模型
一、问题的提出
足球运动已成为一种世界性的运动，也是我们大家
喜欢欣赏的一种体育活动。在比赛的过程中，运动员在
对方球门前不同的位置起脚射门对球门的威胁是不相同
的。在球门的正前方的威胁要大于在球门两侧的射门； 近距离射门对球门的威胁要远大于远距离的射门。在实 际中，球员之间的基本素质可能有所差异，但对于职业 球员来讲一般可以认为这种差异不大。请你结合球场和
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 某点对球门的威胁程度，根据威胁程度的大小来确定球门
的危险区域。
三、模型假设
为解决上述问题，我们对足球运动进行必要、合理、 适当的假设： 1．足球相对于足球场所占的空间可以忽略不计，即 将足球看成一个质点。
2．不考虑球员射门后空气、地面对球速的影响，根
据统计资料，射门时球的速度为v0=10米/秒。
足球射门教学课件
足球射门教学课件
足球射门技巧教学
1、内脚背射门
踢任意球常用的脚法。
射门时,踢球队员用脚兜住球的侧下部,用力将球踢出,球在空中画出一道弧线,活像香蕉的形状,故又称香蕉球。
2、外脚背射门
射门时,球员用脚的外侧用力踢球的侧底部,射出的球会带有很强的弧线,守门员对这种球很难判别,但这种射门有个丧命缺点,即是球员很难精确操控球的方向,因而射门成功率不是很高。
3 脚弓射门最常见的射门方法,也最简单掌握精确度。
射门时,踢球队员用脚弓推球的中下部即可。
通常球员在射门掌握比拟大或面临空门时,大多项选择用这种射门方法,但这种射门射出的球力气有限,假设是视点不行刁,那么很简单被守门员扑到。
4、正脚背射门
射门时,踢球的正中。
正脚背射门力气大、精确性高,运用最广,是射门脚法的根底脚法。
如射正面、斜侧、转身等地滚球;又如横扫、摆、弹、抽、倒勾等射腾空球。
5、脚尖射门
俗称“捅射〞,射门时用脚尖刹那间一捅,没有摆腿的动作。
脚尖射门疾速、俄然,在门前抢夺剧烈时,用脚尖“捅球〞射门能出其不意。
但有时精确性差。
不规那么射门这儿不做介绍,别的头球窍门我会单开一篇具体解说。
足球射门的标准步骤
1、助跑
是指运发动在踢球前的几步跑动。
它的作用是使身体获得一定的前移速度并能调整人与球的位置、关系,以利于支持脚处于正确的位置和增加击球力量。
助跑最后一步,步幅应适当加大。
为增大踢球的摆幅、制动身体前冲和提高踢球的准确性创造了有利条件。
助跑分直线和斜线两种,助跑方向和出球方向相同的称直线助跑;助跑方向和出球方向成交叉的称斜线助跑。
足球射门说课ppt
03
教学环节与意图
教师引导：（1）引导学生随音乐一起充分放松。 （2）师生共同小结、评价。
指导学生收器材。
设计意图：使学生在优美的音乐声中充分放松。
师生一起在音乐的伴奏下，各小组在老师的指导下，调整呼吸、放松身心。
放松活动：
教学环节与意图
足球场，小足球35个，标志同4个，音响一套
快乐足球
教师 王雪林
———水平二 （三年级）
教材与学情分析
01
我对本科的思考
02
教学目标与重难点
03
教法与学法
04
教学环节与意图
05
场地器材和效果预计
06
教材与学情分析
足球能培养学生的应变能力，团结合作精神。
球类运动需要学生多练，所以课堂设计要精讲多练。
一堂有意思的体育课还需加入孩子们喜欢的游戏。
教学目标
02
教学重点 培养学生体验、探究足球的射门动作。 学难点 掌握脚与球的触球部位和用力方向。
重难点
教学目标意图
教学流程 本课以学生喜欢的小足球贯穿课堂，从“热身运动-----足球射门-----“小袋鼠”游戏”的这样一个流程，内容密切联系，达到提高学生的协调、灵敏、柔韧等身体素质。 流程图：
教学环节与意图
教学环节与意图
主体部分 小足球“射门” 这一部分是课的主体部分，是解决教学重点与难点的关键，应充分发挥学生的主体地位，给学生充分的学习空间，从而达到提高动作技术能力的目的。 采用启发式教学手段，引导学生摸索足球射门的基本技术，使学生逐渐了解射门技术在足球比赛中的作用与地位，诱发学生学习的积极性。通过出示技术平价标准、学生之间相互评，使学生初步掌握小足球射门的动作要领，在轻松、愉快的气氛中进行锻炼。 设计意图： 培养学生自主学习、创造性思维的能力，加深了对足球的了解。从而达到预期的教学目标。
足球《射门》课件
3 下肢力量以及灵敏、协调等素质，培养学生敏锐的观察 力和果断坚定的品质。
2
教学重难点
教学 重点
射门的基本动作。
教学
难点 射门时脚的力量、方向 的掌握。
3
教学目标
通过教学，激发学生学习足球的兴趣，了解足球 射门的技术要领。
通过练习与游戏，使学生熟悉和和掌握足球射门 的基本技术，发展学生的下肢力量，提高身体的 爆发力，培养学生灵敏、协调等素质。
运动量：中等
练习密度： 40～45%
运动强度：大
14
课后小结
预计 脉搏 曲线
15
谢谢观赏！
通过练习和游戏活动，培养学生勇敢果断、团结 协作的精神品质和集体主义精神。
4
课程结构 开始部分 1 结束部分 4
2 准备部分 3 基本部分
5
课堂常规
1. 整队集合 2. 清点人数 3. 检查服装 4. 宣布课内容 5. 安排见习生
队形组织示意图：
ห้องสมุดไป่ตู้
6
热身跑、专项热身运动
1.热身跑 队形组织示意图：
2.专项热身运动
7
复习运球技术
8
复习运球技术
9
学习运球绕杆射门
10
学习运球绕杆射门
11
游戏：“运球绕杆后传接球射门比赛”
12
整理放松
● 整队集合 ● 放松练习 1.慢走抖腿。 2.原地坐下拍、揉腿，并播放音乐。 ● 课堂总结 ● 收器材 ● 下课
13
课后小结
平均心率： 90～130次/分
射门
教材分析
1 足球射门是队员在比赛中有意识地将球踢或顶入对方球 门的行动。射门是一切进攻战术配合的最终目的，是各 种进攻战术的期望和归宿，也是进攻得分的唯一手段。
2
教学重难点
教学 重点
射门的基本动作。
教学
难点 射门时脚的力量、方向 的掌握。
3
教学目标
通过教学，激发学生学习足球的兴趣，了解足球 射门的技术要领。
通过练习与游戏，使学生熟悉和和掌握足球射门 的基本技术，发展学生的下肢力量，提高身体的 爆发力，培养学生灵敏、协调等素质。
运动量：中等
练习密度： 40～45%
运动强度：大
14
课后小结
预计 脉搏 曲线
15
谢谢观赏！
通过练习和游戏活动，培养学生勇敢果断、团结 协作的精神品质和集体主义精神。
4
课程结构 开始部分 1 结束部分 4
2 准备部分 3 基本部分
5
课堂常规
1. 整队集合 2. 清点人数 3. 检查服装 4. 宣布课内容 5. 安排见习生
队形组织示意图：
ห้องสมุดไป่ตู้
6
热身跑、专项热身运动
1.热身跑 队形组织示意图：
2.专项热身运动
7
复习运球技术
8
复习运球技术
9
学习运球绕杆射门
10
学习运球绕杆射门
11
游戏：“运球绕杆后传接球射门比赛”
12
整理放松
● 整队集合 ● 放松练习 1.慢走抖腿。 2.原地坐下拍、揉腿，并播放音乐。 ● 课堂总结 ● 收器材 ● 下课
13
课后小结
平均心率： 90～130次/分
射门
教材分析
1 足球射门是队员在比赛中有意识地将球踢或顶入对方球 门的行动。射门是一切进攻战术配合的最终目的，是各 种进攻战术的期望和归宿，也是进攻得分的唯一手段。
足球射门数学模型[内容充实]
![足球射门数学模型[内容充实]](https://img.taocdn.com/s3/m/4a458218cc22bcd127ff0c43.png)
数学建模
高等课件
1
第五讲 足球射门的数学模型
一、问题的提出
足球运动已成为一种世界性的运动，也是我们大家喜 欢欣赏的一种体育活动。在比赛的过程中，运动员在对 方球门前不同的位置起脚射门对球门的威胁是不相同的。 在球门的正前方的威胁要大于在球门两侧的射门；近距 离射门对球门的威胁要远大于远距离的射门。在实际中， 球员之间的基本素质可能有所差异，但对于职业球员来 讲一般可以认为这种差异不大。请你结合球场和 足球比赛的实际情况建模分析，并回答以下几个问题：
某一球员在球门前某点向球门内某目标点射门时，该 球员的素质和球员到目标点的距离决定了球到达目标点的
高等课件
4
概率，即命中球门的概率。事实上，当上述两个因素确定 时，球飞向球门所在平面上的落点呈现一个固定的概率分 布。我们稍作分析，容易判定，该分布应当是一个二维正 态分布，这是我们解决问题的关键所在。
球员从球场上某点射门时，首先必须在球门所在平面 上确定一个目标，射门后球以该概率分布落在球门所在的 平面内。将球门视为所在平面的一个区域，在区域内对该 分布进行积分，即可得到这次射门命中的概率。然而，球 员在球场上选择射门的目标点是任意的，而命中球门的概 率对目标点的选择有很强的依赖性。这样，我们遍历球门 区域内的所有点，对命中概率做积分，将其定义为球场上
高等课件
5
某点对球门的威胁程度，根据威胁程度的大小来确定球门 的危险区域。
高等课件
6
三、模型假设
为解决上述问题，我们对足球运动进行必要、合理、 适当的假设：
1．足球相对于足球场所占的空间可以忽略不计，即将 足球看成一个质点。
2．不考虑球员射门后空气、地面对球速的影响，根据 统计资料，射门时球的速度为v0=10米/秒。
高等课件
1
第五讲 足球射门的数学模型
一、问题的提出
足球运动已成为一种世界性的运动，也是我们大家喜 欢欣赏的一种体育活动。在比赛的过程中，运动员在对 方球门前不同的位置起脚射门对球门的威胁是不相同的。 在球门的正前方的威胁要大于在球门两侧的射门；近距 离射门对球门的威胁要远大于远距离的射门。在实际中， 球员之间的基本素质可能有所差异，但对于职业球员来 讲一般可以认为这种差异不大。请你结合球场和 足球比赛的实际情况建模分析，并回答以下几个问题：
某一球员在球门前某点向球门内某目标点射门时，该 球员的素质和球员到目标点的距离决定了球到达目标点的
高等课件
4
概率，即命中球门的概率。事实上，当上述两个因素确定 时，球飞向球门所在平面上的落点呈现一个固定的概率分 布。我们稍作分析，容易判定，该分布应当是一个二维正 态分布，这是我们解决问题的关键所在。
球员从球场上某点射门时，首先必须在球门所在平面 上确定一个目标，射门后球以该概率分布落在球门所在的 平面内。将球门视为所在平面的一个区域，在区域内对该 分布进行积分，即可得到这次射门命中的概率。然而，球 员在球场上选择射门的目标点是任意的，而命中球门的概 率对目标点的选择有很强的依赖性。这样，我们遍历球门 区域内的所有点，对命中概率做积分，将其定义为球场上
高等课件
5
某点对球门的威胁程度，根据威胁程度的大小来确定球门 的危险区域。
高等课件
6
三、模型假设
为解决上述问题，我们对足球运动进行必要、合理、 适当的假设：
1．足球相对于足球场所占的空间可以忽略不计，即将 足球看成一个质点。
2．不考虑球员射门后空气、地面对球速的影响，根据 统计资料，射门时球的速度为v0=10米/秒。
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数学建模
1
第五讲 足球射门的数学模型
一、问题的提出
足球运动已成为一种世界性的运动，也是我们大家喜 欢欣赏的一种体育活动。在比赛的过程中，运动员在对 方球门前不同的位置起脚射门对球门的威胁是不相同的。 在球门的正前方的威胁要大于在球门两侧的射门；近距 离射门对球门的威胁要远大于远距离的射门。在实际中， 球员之间的基本素质可能有所差异，但对于职业球员来 讲一般可以认为这种差异不大。请你结合球场和 足球比赛的实际情况建模分析，并回答以下几个问题：
2
1. 足球场上哪些位置射门命中率高？哪些位置射门 命中率相同？
2. 针对球员在不同位置射门的威胁程度进行研究， 并绘制出球门的危险区域；
3. 在有一名守门员 的情况下，对于球员射门 威胁程度和威胁区域作进 一步研究.
3
二、问题分析
根据这个问题,要确定球门的危险区域, 也就是要确定 球员射门最容易进球的区域。球员无论从哪个地方射门， 都有进与不进两种可能，这本身就是一个随机事件，无非 是那些地方进球的可能性大一些，哪些地方进球的可能性 小一些。我们把进球可能性大的区域称为危险区域。同样 球员无论从哪个地方射门，都有一个确定的射门角度，不 同的射门地点，其射门角度不尽相同，射门的角度与球场 上的最大射门角度之比称为命中率。
某一球员在球门前某点向球门内某目标点射门时，该 球员的素质和球员到目标点的距离决定了球到达目标点的
4
概率，即命中球门的概率。事实上，当上述两个因素确定 时，球飞向球门所在平面上的落点呈现一个固定的概率分 布。我们稍作分析，容易判定，该分布应当是一个二维正 态分布，这是我们解决问题的关键所在。
球员从球场上某点射门时，首先必须在球门所在平面 上确定一个目标，射门后球以该概率分布落在球门所在的 平面内。将球门视为所在平面的一个区域，在区域内对该 分布进行积分，即可得到这次射门命中的概率。然而，球 员在球场上选择射门的目标点是任意的，而命中球门的概 率对目标点的选择有很强的依赖性。这样，我们遍历球门 区域内的所有点，对命中概率做积分，将其定义为球场上
罚球区： 在比赛场地两端距球门柱内侧16.50米处的 球门线上，向场内各画一条长16.50米与球门线垂直的线, 一端与球门线相接,另一端画一条连接线与球门线平行,这 三条线与球门线范围内的地区叫罚球区，在两球门线中点
8
垂直向场内量11米处各做一个清晰的标记，叫罚球点。 以罚球点为圆心，以9.15米为半径,在罚球区外画一段弧 线,叫罚球弧。这里仅需讨论一个球门的情形。如示图1
图1
9
1. 问题1的讨论
由平面几何知识知:沿边线 D总D可以找到一点使得
∠APB 最大。 大家知道， 球员水平一定的情况下，角
∠APB越大，在P点射门的命中率就越大，因此我们称使
得∠APB最大的点P为足球场射门的最佳点。那么在足球
场内，哪些点属于足 球射门的最佳点呢？ 为研究方便，我们把 足球场地划分为三条
17
区域 DAD内A射门最佳轨迹方程 x2 y2 3.662 (3.66 y 34.5, x 0)
(1) 若y保持不变，则动点P只能在线段 EE’上移动。连 接PA，PB。
12
1)在区域 DAD内A射 门最佳点的轨迹方程在区域 DADA 内任取一点 P( x, y).
(1) 若y保持不变，则动点P只能在线段 EE’上移动。连 接PA，PB。
Q APB EPB EPA
tanAPB tan(EPB EPA) tanEPB tanEPB 1 tanEPB tanEPB
15
又因为 APB， 所 以当
2 射门点，此时
x 时E，A取 E最B大值, P 是最佳
x ( y 3.66)( y 3.66（) 1(）3.66 y 45)
于是，对于区域 DAD内A每 一个确定y ，都存在相应的 ，
使得点P(x,yx)是 最(佳y 射3门.66点)(，y 故 3方.6程6)（1）是区域
带型区域：ABAB,
BCBC, DADA.
10
并以AB所在的直线为oy轴，以垂直于AB平分线为ox轴,
建立平面直角坐标系如图 2，因此可求得 A(0, 3.66),
B(0, 3.66), C(0, 34.5), D(0, 34.5)
图2
11
1)在区域 DAD内A射 门最佳点的轨迹方程在区域 DADA 内任取一点 P( x, y).
内射门最佳轨迹方程，整理为
DADA
即为等轴双曲x2线的y2一部3分.6。62 (3.66 y 45, x 0)
16
( 2）若x保持不变，显然，P(x,y)越靠近ox 轴，APB
越大，射门命中率越高。
综上所述，在区域 DAD内A与 边线平行位置射门,在曲
线
x2 y2 3.662
上较好，在与底线平行位置射门，越居中越好。这就打破 了人们传统上离球门越近越好的错误想法。比如，M点与 N点比较，较远的点N处射门较好，K点与H点比较，K点 射门较好。
3．射门时无对手进行有效的防守。 4．不考虑球员之间的个体差异及球员的心理、技术等 因素。 5．足球场地是国际上的标准场地。
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ห้องสมุดไป่ตู้、模型建立与求解
根据我们调查，国际标准足球场地的规格为：长104米、 宽69米，足球门宽7.32米，中圈半径9.15米 。
球门区：在比赛场地两端距球门柱内侧5.50米处的球 门线上，向场内各画一条长5.50米与球门线垂直的线，一 端与球门线相接，另一端画一条连接线与球门线平行，这 三条线与球门线范围内的地区叫球门区。
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某点对球门的威胁程度，根据威胁程度的大小来确定球门 的危险区域。
6
三、模型假设
为解决上述问题，我们对足球运动进行必要、合理、 适当的假设：
1．足球相对于足球场所占的空间可以忽略不计，即将 足球看成一个质点。
2．不考虑球员射门后空气、地面对球速的影响，根据 统计资料，射门时球的速度为v0=10米/秒。
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EB EA
x x
AB
EB EA
EB EA
1 x2
x x
14
即
tan APB
x
AB EB EA
x
由于y不变， x与 EB积 E为A常数。也就是 x
x EB EA 2 EA EB x
当且仅当 x EB， E即A x
x 时 取E等A号 E。B所以
tan APB AB 2 EB EA
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第五讲 足球射门的数学模型
一、问题的提出
足球运动已成为一种世界性的运动，也是我们大家喜 欢欣赏的一种体育活动。在比赛的过程中，运动员在对 方球门前不同的位置起脚射门对球门的威胁是不相同的。 在球门的正前方的威胁要大于在球门两侧的射门；近距 离射门对球门的威胁要远大于远距离的射门。在实际中， 球员之间的基本素质可能有所差异，但对于职业球员来 讲一般可以认为这种差异不大。请你结合球场和 足球比赛的实际情况建模分析，并回答以下几个问题：
2
1. 足球场上哪些位置射门命中率高？哪些位置射门 命中率相同？
2. 针对球员在不同位置射门的威胁程度进行研究， 并绘制出球门的危险区域；
3. 在有一名守门员 的情况下，对于球员射门 威胁程度和威胁区域作进 一步研究.
3
二、问题分析
根据这个问题,要确定球门的危险区域, 也就是要确定 球员射门最容易进球的区域。球员无论从哪个地方射门， 都有进与不进两种可能，这本身就是一个随机事件，无非 是那些地方进球的可能性大一些，哪些地方进球的可能性 小一些。我们把进球可能性大的区域称为危险区域。同样 球员无论从哪个地方射门，都有一个确定的射门角度，不 同的射门地点，其射门角度不尽相同，射门的角度与球场 上的最大射门角度之比称为命中率。
某一球员在球门前某点向球门内某目标点射门时，该 球员的素质和球员到目标点的距离决定了球到达目标点的
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概率，即命中球门的概率。事实上，当上述两个因素确定 时，球飞向球门所在平面上的落点呈现一个固定的概率分 布。我们稍作分析，容易判定，该分布应当是一个二维正 态分布，这是我们解决问题的关键所在。
球员从球场上某点射门时，首先必须在球门所在平面 上确定一个目标，射门后球以该概率分布落在球门所在的 平面内。将球门视为所在平面的一个区域，在区域内对该 分布进行积分，即可得到这次射门命中的概率。然而，球 员在球场上选择射门的目标点是任意的，而命中球门的概 率对目标点的选择有很强的依赖性。这样，我们遍历球门 区域内的所有点，对命中概率做积分，将其定义为球场上
罚球区： 在比赛场地两端距球门柱内侧16.50米处的 球门线上，向场内各画一条长16.50米与球门线垂直的线, 一端与球门线相接,另一端画一条连接线与球门线平行,这 三条线与球门线范围内的地区叫罚球区，在两球门线中点
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垂直向场内量11米处各做一个清晰的标记，叫罚球点。 以罚球点为圆心，以9.15米为半径,在罚球区外画一段弧 线,叫罚球弧。这里仅需讨论一个球门的情形。如示图1
图1
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1. 问题1的讨论
由平面几何知识知:沿边线 D总D可以找到一点使得
∠APB 最大。 大家知道， 球员水平一定的情况下，角
∠APB越大，在P点射门的命中率就越大，因此我们称使
得∠APB最大的点P为足球场射门的最佳点。那么在足球
场内，哪些点属于足 球射门的最佳点呢？ 为研究方便，我们把 足球场地划分为三条
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区域 DAD内A射门最佳轨迹方程 x2 y2 3.662 (3.66 y 34.5, x 0)
(1) 若y保持不变，则动点P只能在线段 EE’上移动。连 接PA，PB。
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1)在区域 DAD内A射 门最佳点的轨迹方程在区域 DADA 内任取一点 P( x, y).
(1) 若y保持不变，则动点P只能在线段 EE’上移动。连 接PA，PB。
Q APB EPB EPA
tanAPB tan(EPB EPA) tanEPB tanEPB 1 tanEPB tanEPB
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又因为 APB， 所 以当
2 射门点，此时
x 时E，A取 E最B大值, P 是最佳
x ( y 3.66)( y 3.66（) 1(）3.66 y 45)
于是，对于区域 DAD内A每 一个确定y ，都存在相应的 ，
使得点P(x,yx)是 最(佳y 射3门.66点)(，y 故 3方.6程6)（1）是区域
带型区域：ABAB,
BCBC, DADA.
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并以AB所在的直线为oy轴，以垂直于AB平分线为ox轴,
建立平面直角坐标系如图 2，因此可求得 A(0, 3.66),
B(0, 3.66), C(0, 34.5), D(0, 34.5)
图2
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1)在区域 DAD内A射 门最佳点的轨迹方程在区域 DADA 内任取一点 P( x, y).
内射门最佳轨迹方程，整理为
DADA
即为等轴双曲x2线的y2一部3分.6。62 (3.66 y 45, x 0)
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( 2）若x保持不变，显然，P(x,y)越靠近ox 轴，APB
越大，射门命中率越高。
综上所述，在区域 DAD内A与 边线平行位置射门,在曲
线
x2 y2 3.662
上较好，在与底线平行位置射门，越居中越好。这就打破 了人们传统上离球门越近越好的错误想法。比如，M点与 N点比较，较远的点N处射门较好，K点与H点比较，K点 射门较好。
3．射门时无对手进行有效的防守。 4．不考虑球员之间的个体差异及球员的心理、技术等 因素。 5．足球场地是国际上的标准场地。
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ห้องสมุดไป่ตู้、模型建立与求解
根据我们调查，国际标准足球场地的规格为：长104米、 宽69米，足球门宽7.32米，中圈半径9.15米 。
球门区：在比赛场地两端距球门柱内侧5.50米处的球 门线上，向场内各画一条长5.50米与球门线垂直的线，一 端与球门线相接，另一端画一条连接线与球门线平行，这 三条线与球门线范围内的地区叫球门区。
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某点对球门的威胁程度，根据威胁程度的大小来确定球门 的危险区域。
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三、模型假设
为解决上述问题，我们对足球运动进行必要、合理、 适当的假设：
1．足球相对于足球场所占的空间可以忽略不计，即将 足球看成一个质点。
2．不考虑球员射门后空气、地面对球速的影响，根据 统计资料，射门时球的速度为v0=10米/秒。
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EB EA
x x
AB
EB EA
EB EA
1 x2
x x
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即
tan APB
x
AB EB EA
x
由于y不变， x与 EB积 E为A常数。也就是 x
x EB EA 2 EA EB x
当且仅当 x EB， E即A x
x 时 取E等A号 E。B所以
tan APB AB 2 EB EA