11勾股定理
勾股定理
第1讲勾股定理第一部分知识梳理1．勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
若直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，则a²+b²=c²。
2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。
3．满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。
若a，b，c是一组勾股数，则ak，bk，ck（k为正整数）也必然是一组勾股数。
常用的几组勾股数有3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9,40,41等。
4．勾股定理的应用:①圆柱形物体表面上的两点间的最短距离；②长方体或正方体表面上两点间的最短距离问题。
5．直角三角形的判别：①定义，判断一个三角形中有一个角是直角；②根据勾股定理的逆定理，三角形一边的平方等于另外两边的平方和，则该三角形是直角三角形。
6．勾股定理中的方程思想：勾股定理三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范．对于一些几何问题，往往借助于勾股定理，利用代数方法来解决．把一条边的长设为未知数，根据勾股定理列出方程，解方程求出未知数的值，即使有时出现了二次方程，大多可通过抵消而去掉二次项。
7．勾股定理中的转化思想：在利用勾股定理计算时，常先利用转化的数学思想构造出直角三角形，比如立体图形上两点之间的最短距离的求解，解答时先把立体图形转化为平面图形，在平面图形中构造直角三角形求解。
8．拓展：特殊角的直角三角形相关性质定理。
第二部分精讲点拨考点1. 勾股定理【例1】在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为变式1 等腰三角形的两边长为10和12，则周长为______，底边上的高是________，面积是_________。
变式2 等边三角形的边长为6，则它的高是________变式3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，（1）已知c＝4，b＝3，求a；（2）若a:b=3:4，c=10cm，求a、b。
勾股定理十种证明
勾股定理十种证明欧几里德是古典数学的代表人物，他提出的勾股定理被认为是数学史上最重要的定理之一。
勾股定理，即给定直角三角形的两条直角边a，b，其斜边的平方等于两边的平方和，即：a2+b2=c2。
今天，我们将为读者介绍十种证明勾股定理的方法。
第一种是利用重心法证明。
当定义等腰三角形ABC时，在线段AB上定义重心G。
将线段AG视为一直角三角形，AG和BG就构成直角三角形。
易知三角形AGC也是直角三角形，三角形ABC也就是一个等腰直角三角形，AG和BC就是一组等腰三角形。
易得：a2+b2=AC2+BC2，即：a2+b2=c2。
第二种是利用反证法证明。
假设勾股定理不成立，即a2+b2≠c2，那么，就会得到一条不等式：a2+b2>c2或a2+b2<c2。
因为a、b都是非负的，再加上c也是非负的，所以，有：a2>0、b2>0、c2>0，从而：a2+b2>0，由此可以得出矛盾：a2+b2>c2，但是c2>0。
这与原假设矛盾，则勾股定理成立。
第三是利用余弦定理证明。
设等腰三角形ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，则有：a2=b2+c2-2bc cosA，b2=a2+c2-2ac cosB，c2=a2+b2-2ab cosC，将三式相加，可得到：2a2+2b2=2c2，从而证明勾股定理。
第四是利用边缘法证明。
由边缘定理可知，在等腰三角形ABC 中：a2=b2=c2=2S2，其中S为ABC的面积。
令α、β、γ分别为三角形ABC的内角，及对应的外接圆的半径，令ΔO为三角形ABC的外切圆，则有：α+β+γ=180°，易知：a2+b2+c2=2(α2+β2+γ2)=2R2=c2，可以证明出勾股定理。
第五种是利用角和弧法证明。
在等腰三角形ABC中，用圆弧a 表示两边a和b的连接的圆弧，一条弧的长度是直径乘以圆心角的度数，即可推得：c2=a2+2aR-b2，将c2的左边加上b2，右边减去b2，即可得到：c2=a2+b2，从而证明出勾股定理。
勾股定理常用11个公式
勾股定理常用11个公式勾股定理也叫毕达哥拉斯定理，指的是直角三角形中，任意一条直角边的平方等于另外两条边的平方之和。
勾股定理是数学中非常重要的一条定理，广泛应用于各个领域。
以下是勾股定理常用的11个公式：1. 勾股定理的一般形式在直角三角形 ABC 中，设 AB、AC 为直角边，BC 为斜边，则有：BC² = AB² + AC²2. 勾股定理的两个常见形式a. 已知直角边和斜边设直角边 AB = a，AC = b，BC = c，则有：c² = a² + b²b. 已知两条直角边设直角边 AB = a，BC = b，AC = c，则有：c² = a² + b²3. 勾股定理的逆定理如果在一个三角形中，某一边的平方等于另外两边的平方之和，那么这个三角形肯定是直角三角形，即有：若 c² = a² + b²，则三角形 ABC 是直角三角形。
4. 勾股数指满足勾股定理的整数三元组 (a, b, c)，其中 a、b、c 都是正整数，称为勾股数。
例如：(3, 4, 5)、(5, 12, 13)。
5. 勾股数的生成公式生成勾股数的公式称为勾股数生成公式。
其中，m 和 n 是正整数，且 m > n，gcd(m, n) = 1，k 是任意正整数，则有：a = k × (m² - n²)，b = k × (2mn)，c = k × (m² + n²)6. 勾股数的性质a. 勾股数只存在于原始勾股数列中。
b. 勾股数之间不存在公因数。
c. 每个奇数都可以表示为两个勾股数之和。
d. 每个正整数都可以表示为不超过四个勾股数之和。
7. 勾股数的应用a. 构造直角三角形。
b. 计算斜线长度。
c. 解决一些证明问题。
d. 在几何光学中，勾股数用于计算光路长度。
勾股定理20种证明方法
勾股定理20种证明方法1. 最常见的勾股定理证明是基于三角形面积公式的。
利用三角形的底边与高的关系，可以将直角三角形分成两个三角形，然后应用面积公式进行计算得出勾股定理。
2. 通过向直角三角形内部引入一个圆形，利用圆的性质可以得到勾股定理。
3. 将直角三角形中的一条直角边平移到非直角边上，形成一个平行四边形，再利用平行四边形对角线的关系即可得到勾股定理。
4. 利用正弦定理和余弦定理进行推导，可以得出勾股定理。
5. 通过三角形内部的相似三角形进行推导得出勾股定理。
将直角三角形分成两个相似三角形，利用相似三角形的性质进行推导得出勾股定理。
6. 通过归纳法进行证明，即证明勾股定理对于所有自然数n都成立。
7. 利用勾股定理推导其他几何定理，例如正弦定理、余弦定理等，进而证明勾股定理。
8. 利用数学归纳法，可证勾股定理对于所有正整数n都成立。
9. 利用勾股定理证明勾股三角形的存在性，也就是存在一组自然数a、b、c，使得a²+b²=c²。
这可以通过暴力算法或递推算法来实现。
10. 利用反证法证明勾股定理。
假设勾股定理不成立，即假设存在一个直角三角形，其两条直角边的平方和不等于斜边的平方。
通过假设的前提，推导出矛盾的结论，从而证明勾股定理成立。
11. 利用勾股定理证明三角形的周长和面积公式。
将直角三角形分成两个直角三角形，利用勾股定理计算出直角边的长度，然后应用周长和面积公式。
12. 利用勾股定理证明三角形的内心与垂心之间的关系。
将直角三角形分成两个相似三角形，利用勾股定理计算出内心与垂心之间的距离。
13. 利用勾股定理证明三角形的外心与垂心之间的关系。
通过三角形的外接圆，证明外心与垂心之间的距离等于直角边之间距离的一半。
14. 利用圆的性质证明勾股定理。
将三角形中的一条直角边作为直径，表示成圆上的弦长，利用圆的定理得到勾股定理。
15. 通过三角形的相似性质，证明勾股定理。
将直角三角形分成两个与之相似的三角形，利用相似三角形的性质得到勾股定理。
勾股定理常用个公式
勾股定理常用个公式勾股定理是数学中一个非常重要的定理，它是平面几何中的基础定理，常用来求解直角三角形的边长和角度。
根据勾股定理，我们可以推导出多个相关的公式来解决各种问题。
在本篇文章中，我将介绍11个常用的勾股定理公式，每个公式都会附带一个解析和一个示例。
1.三角形斜边的长度(已知两边长度)：c=√(a²+b²)，其中a和b分别是直角三角形的两条直角边的长度，c是斜边的长度。
示例：已知一个直角三角形的两条直角边的长度分别为3和4，求斜边的长度。
解析：根据公式，c=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5、因此，斜边的长度为52.直角三角形的直角边长度(已知斜边长度和另一直角边长度)：a=√(c²-b²)，其中b是已知直角边的长度，c是斜边的长度。
示例：已知一个直角三角形的斜边长度为5，另一直角边的长度为4，求第二个直角边的长度。
解析：根据公式，a=√(5²-4²)=√(25-16)=√9=3、因此，第二个直角边的长度为33.直角三角形的直角边长度(已知斜边长度和另一直角边长度)：b=√(c²-a²)，其中a是已知直角边的长度，c是斜边的长度。
示例：已知一个直角三角形的斜边长度为5，另一直角边的长度为3，求第二个直角边的长度。
解析：根据公式，b=√(5²-3²)=√(25-9)=√16=4、因此，第二个直角边的长度为44.直角三角形的面积(已知两个直角边的长度)：A=1/2*a*b，其中a和b为直角三角形的两个直角边的长度。
示例：已知一个直角三角形的两个直角边的长度分别为3和4，求其面积。
解析：根据公式，A=1/2*3*4=6、因此，直角三角形的面积为65.直角三角形的周长(已知两个直角边的长度)：P=a+b+c，其中a和b分别为直角三角形的两个直角边的长度，c为斜边的长度。
[数学]-专题11 勾股定理中的蕴含数学思想的典型试题(原版)
![[数学]-专题11 勾股定理中的蕴含数学思想的典型试题(原版)](https://img.taocdn.com/s3/m/96f95c62905f804d2b160b4e767f5acfa1c783d4.png)
专题11 勾股定理中的蕴含数学思想的典型试题（原卷版）第一部分典例剖析类型一方程思想（1）单勾股列方程1．（2022秋•泰兴市期末）如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线AB横渡，由于受水流的影响，实际沿着BC航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现BC比河宽AB多10米，求该河的宽度AB．（两岸可近似看作平行）2．（2021春•全南县期中）小明将一副三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知CD＝3，求AC的长．3．（2022秋•运城期末）如图，∠AOB=90°，OA＝18cm，OB＝6cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C 处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？二、双勾股方程4．（2022秋•仪征市期中）我们规定：三角形任意一条边的“线高差”等于这条边与这条边上高的差．如图1，△ABC中，CD为BA边上高，边BA的“线高差”等于BA﹣CD，记为h（BA）．（1）如图2，若△ABC中AB＝AC，AD⊥BC垂足为D，AD＝6，BD＝4，则h（BC）＝；（2）若△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，则h（AC）＝；（3）如图3，△ABC中，AB＝21，AC＝20，BC＝13，求h（AB）的值．5．（2020秋•金台区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE 翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，（1）求∠ECF的度数；（2）若CE＝4，B′F＝1，求线段BC的长和△ABC的面积．6．如图①，现有一张三角形ABC纸片，沿BC边上的高AE所在的直线翻折，使得点C与BC边上的点D重合．（1）填空：△ADC是三角形；（2）若AB＝15，AC＝13，BC＝14，求BC边上的高AE的长；（3）如图②，若∠DAC＝90°，试猜想：BC、BD、AE之间的数量关系，并加以证明．类型二数形结合思想7．（2022•锡山区）如图，数轴上点A，B分别对应2，4，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C；以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（）A．4√2B．2√5C．5D．3√28．（2022春•雁塔区校级期末）为比较√13+√6与√13+6的大小，小亮进行了如下分析后作一个直角三角形，使其两直角边的长分别为√13与√6，则由勾股定理可求得其斜边长为√(√13)2+(√6)2=√13+6．根据“三角形三边关系”，可得√13+√6＞√13+6．小亮的这一做法体现的数学思想是（）A．分类讨论思想B．方程思想C．类比思想D．数形结合思想9．（2019秋•海州区校级月考）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．（1）探究√x2+y2的几何意义：如图①，在直角坐标系中，设点M的坐标为（x，y），过M作MP⊥x轴于P，作MQ⊥y轴于Q，则P点坐标为（x，0），Q点坐标为（0，y），即OP＝|x|，OQ＝|y|，在△OPM中，PM＝OQ＝|y|，则MO=√OP2+PM2=√|x|2+|y|2=√x2+y2，因此，√x2+y2的几何意义可以理解为点M（x，y）与点O（0，0）之间的距离OM．①√(−2)2+32的几何意义可以理解为点N1（填写坐标）与点O（0，0）之间的距离N1O；②点N2（5，﹣1）与点O（0，0）之间的距离ON2为．（2）探究√(x−1)2+(y−5)2的几何意义：如图②，在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x﹣1，y﹣5），由探究（1）可知，A′O=√(x−1)2+(y−5)2，将线段A′O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段AB，此时点A的坐标为（x，y），点B的坐标为（1，5），因为AB＝A′O，所以AB=√(x−1)2+(y−5)2，因此√(x−1)2+(y−5)2的几何意义可以理解为点A（x，y）与点B（1，5）之间的距离．（3）探究√(x+2)2+(y−3)2的几何意义：请仿照探究二（2）的方法，在图③中画出图形，那么√(x+2)2+(y−3)2的几何意义可以理解为点C（填写坐标）与点D（x，y）之间的距离．（4）拓展应用：①√(x−1)2+(y+4)2+√(x+2)2+(y+3)2的几何意义可以理解为：点A（x，y）与点E（1，﹣4）的距离与点A（x，y）与点F（填写坐标）的距离之和．②√(x−1)2+(y+4)2+√(x+2)2+(y+3)2的最小值为（直接写出结果）类型三分类讨论思想10．（2019春•自贡期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2√2，AD＝2，AB⊥BC，CD⊥AD，连接AC，点P是在四边形ABCD边上的一点；若点P到AC的距离为√3，这样的点P有（）A．0个B．1个C．2个D．3个11．（如皋市期末）已知∠MAN＝30°，点B在射线AN上，点C在射线AM上，且AB＝12．（1）若△ABC是直角三角形，求AC的长；（2）若BC＝8，求AC的长；（3）要使满足条件的△ABC唯一确定，直接写出BC的长度x的取值范围．12．（2022秋•南关区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A出发，沿A→B方向运动，速度为每秒2cm；点Q从点B出发，沿B→C→A方向运动，速度为每秒4cm；两点同时开始运动，设运动时间为t秒．（1）①Rt△ABC斜边AC上的高为；②当t＝3时，PQ的长为；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△BPQ是等腰三角形？（3）当点Q在边AC上运动时，直接写出所有能使△BCQ成为等腰三角形的t的值．类型四转化思想13．（2022秋•卧龙区校级期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝．14．（2019•柯桥区模拟）如图，已知在Rt△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，AE=13AB，AF=13AC，分别以BE、EF、FC为直径作半圆，面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（）A．S1+S3＝2S2 B．S1+S3＝4S2C．S1＝S3＝S2 D．S2=13（S1+S3）第二部分专题提升训练1．（2020春•长春期末）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，点B在EF上，S1＝140，S2＝124，EB的长为．2．（2021春•东昌府区期末）如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′D＝6，则BN的长是．3．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝25cm，D是腰AB上一点，连接CD，且CD＝24cm，BD＝7cm．（1）求证：△BDC是直角三角形；（2）求AB的长．4．如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝2√6，点E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点．（1）求证：DF＝GF；（2）求DF的长度．5．（2022•岳池县模拟）在劳技课上，老师请同学们在一张长为9cm，宽为8cm的长方形纸板上，剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边长上）．请你帮助同学们画出图形并计算出剪下的等腰三角形的面积．（求出所有可能的情况）6．设计师要用四条线段CA，AB，BD，DC首尾相接组成如图所示的两个直角三角形图案，∠C与∠D为直角，已知其中三条线段的长度分别为1cm，9cm，5cm，第四条长为xcm，试求出所有符合条件的x的值．7．（2022秋•南关区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求BC的长．（2）斜边AB上的高是．（3）若点P在∠BAC的角平分线上，则t的值为．（4）在整个运动过程中，直接写出△PBC是等腰三角形时t的值．。
(完整版)勾股定理知识点+对应类型
第二章勾股定理、平方根专题第一节勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。
）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段二、平方根：（11——19的平方）1、平方根定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。
专题11 勾股定理的实际应用模型(原卷版)
专题11勾股定理的实际应用模型勾股定理将图形与数量关系有机结合起来，在解决实际问题和几何应用中有着广泛的应用。
运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）从实际问题中抽象出几何图形（建模）；（2）确定要求的线段所在的直角三角形；（3）确定三边，找准直角边和斜边：①若已知两边,则根据勾股定理直接计算第3边；②若已知一边,则根据勾股定理列方程间接求解。
（挖掘两个未知边之间的数量关系，设出一边为未知数，把另一边用含有未知数的式子表示出来）。
模型1、梯子滑动模型相关模型背景：梯子滑动、绳子移动等。
解题关键：梯子的长度为不变量、墙与地面垂直。
梯子滑动模型解题步骤：1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离；2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离；3）两者相减即可求出梯子在墙上或者地面上滑动的距离。
例1．（2023春·安徽亳州·八年级校考期中）风华中学八年级（2班）小明同学和他的好朋友小亮一起利用所学知识完成下面的操作，如图，梯子AB斜靠在墙角MON处，4mAB=，梯子底端离墙角的距离 2.4mBO=．(1)求这个梯子顶端A距地面有多高；(2)上下移动梯子的过程中，小明发现梯子上总有一个定点到墙角O的距离始终是不变，你能说出这个点并说明其中的道理吗？(3)若梯子顶端A下滑的距离为m a，底端B向左滑b，小亮认为a与b的值始终相等，小明认为b可能比a的值大，也可能比a的值小，也有可动的距离为m能相等．你认为他们两个谁说的正确，请说明理由．A．2m B．2.5m例3．（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）图中的两个滑块平的滑道上滑动．开始时，滑块A时，滑块B滑动了厘米．例4．（2023春·重庆·八年级专题练习）位于沈阳周边的红河峡谷漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A子拉船移动，开始时绳子AC的长为D的位置，问此时游船移动的距离模型2、轮船航行模型相关模型背景：轮船航行等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
勾股定理
一、勾股定理
在直角三角形中，三边长为a、b、c，其中c为斜边，则a2＋b2=c2．
如：已知Rt△ABC中，三边长为a、b、c，其中a=3，b=4，则c=__________．
答案：.
二、直角三角形的性质
（1）两锐角互余；
（2）Rt△ABC中，c为斜边，则a2＋b2=c2．
（3）如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，三边长为a，，2a．（4）等腰直角三角形三边长分别为a，a，．
例1、如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，若AB=5，，∠BCD=30°，求AC的长．
解：
设BD=x，∵CD⊥AB，∠BCD=30°.
∴BC=2BD=2x.
在Rt△BCD中，根据勾股定理得BD2＋CD2=BC2.
即.
解得x=2.
∴BD=2，∵AB=5，∴AD=3.
在Rt△ACD中，由勾股定理有
例2、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD、BE是中线，，AD=5，求AB的长．
解：
设CE=x，CD=y，则AC=2x，BC=2y.
在Rt△ACD和Rt△BCE中，由勾股定理得
例3、如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，求MN．
解：
连接AM，
∵AB=AC，M为BC的中点．
∴AM⊥BC．BM=MC=BC=3.
在Rt△AMB中，由勾股定理得．
设CN=x，则AN=5－x
在Rt△ANM中，MN2=AM2－AN2=42－（5－x）2．
在Rt△CNM中，MN2=MC2－CN2=32－x2．
∴32－x2=42－（5－x）2，解得．
．
方法2：由面积法得：AM·MC=MN·AC.
例4、如图，在△ABC中，∠A=90°，P是AC的中点，PD⊥BC于D，BC=9，DC=3，求AB的长．
解：
连结PB，BD=BC－DC=6．
在Rt△BDP和Rt△PDC中
PD2=BP2－BD2，PD2=PC2－DC2．
∴BP2－BD2=PC2－DC2．
∴BP2－PC2=BD2－DC2=36－9=27．
在Rt△ABP中，AB2=BP2－AP2.
∵AP=PC．
∴AB2=BP2－PC2=27.
．
例5、如图，已知∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求BC和AD的长．
解：
如图，延长AD、BC交于点E．
∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=30°.
∴AE=2AB=4.
在Rt△ABE中，由勾股定理得.
同步测试
一、选择题
1、如图，矩形纸片ABCD中，AB=8cm，把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E
处，AE交DC于点F，若，则AD的长为（）
A．4cm B．5cm
C．6cm D．7cm
二、填空题
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对应的边分别是a、b、c．
（1）若a=3cm，b=5cm，则c=__________．
（2）若a=8cm，c=17cm，则b=__________．
（3）若a︰b=3︰4，c=10cm，则a=__________，b=__________．
3、分别以直角三角形的三边为边向形外作正方形，如图中所示的正方形A的面积
是__________，B的面积是__________．
4、在Rt△ABC中，斜边AB=2cm，则AB2＋BC2＋CA2=__________cm2．
5、一个直角三角形的两边长分别为3cm和4cm，则它的第三边长为__________．
6、已知：直角三角形的两条直角边长分别为6cm、8cm，那么斜边上的高为
__________．
7、矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B和点D重合，
折痕为EF，则DE=__________cm．
8、如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB、CD分别是两底面的直径，
AD、BC是母线．若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是__________（结果保留根式）．
三、解答题
9、如图所示，铁路上有A、B两点（看做直线上两点）相距40千米，C、D为两村
庄（看做两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD=24千米，BC=16千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？
10、如图所示，地面上有一个长方体，一只蜘蛛在这个长方体的顶点A处，一滴
水珠在这个长方体的顶点C′处，已知长方体的长为6m，宽为5m，高为3m，蜘蛛
要沿着长方体的表面从A处爬到C′处，沿着怎样的路线爬行的距离最短？你能求
出这个最短距离吗？
答案：1、C 2、（1）；（2）15cm；（3）6cm，8cm 3、25；256 4、8 5、5cm或
6、4.8cm 点拨：设斜边上的高为h，．
7、点拨：设DE=BE=x cm，则AE=（10－x）cm，∴（10－x）2＋42=x2． 8、
9、AE2＋242=（40－AE）2＋162，解得AE=16（千米） 10、将长方体上面展开并和前面在同一平面上，则蜘蛛沿对角线AC′爬行距离最短，最短距离是
课外拓展
例、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进
行电网改造，莲花村六组有四个村庄，A、B、C、D正好位于一个正方形的四个顶点，
现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图中的实线部
分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．（以下数据可供参考：
）
解：
不妨设正方形的边长为1（也可以设为a），则图（1）、（2）中的总线路长分别为
AD＋AB＋BC=3，AB＋BC＋CD=3．
图（3）中，总线路长为AC＋BD==2.828．
图（4）中，延长EF交BC于点H，则FH⊥BC，BH=HC．
由∠FBH=30°，BH=及勾股定理，得
EA=ED=FB=FC=，FH=．
∴EF=1－2FH=1－．
此时，总线路长为4EA＋EF=．
显然，3>2.828>2.732，
∴图（4）的连结线路最短，即图（4）的架设方案最省电线．
点评：
这里是逐一计算四条线路的长度，并加以比较，选出最短的方案．在方案（4）中注意作铺助线，构成直角三角形，再运用勾股定理．
中考分析
例1、如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是，斜边长为c和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
（1）画出拼成的这个图形的示意图．
（2）证明勾股定理．
分析：
方法一、（1）如图①
（2）证明：大正方形的面积表示为,
大正方形的面积也可表示为,
，，
．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
方法二、（1）如图②
（2）证明：大正方形的面积表示为：，
又可以表示为：,
，，
．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
例2、有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．
分析：
在中，
由勾股定理有：，扩充部分为扩充成等腰应分以下三种情况．
①如图1，当时，可求
得的周长为32m．
②如图2，当时，可求
由勾股定理得：，得的周长为
③如图3，当为底时，设则由勾股定理得：，得的周长为。