电路原理相量法共58页
合集下载
电路(第八章)相量法
t
t1
解 i(t ) = 100cos(103 t +θ )
0
t = 0 →50 = 100cosθ
由于最大值发生在计时起点之后
i(t ) = 100cos(103 t − ) 3
当 10 t1 = π 3 有最大值
3
π
θ = ±π 3 π θ =−
3
t1＝ 3 ＝ .047ms 1 10
π 3
3. 同频率正弦量的相位差 (phase difference)。 。
称为旋转因子。 除以旋转因子时， 故把 ejθ 称为旋转因子。当A除以旋转因子时， 除以旋转因子时 相当于A顺时针旋转一个角度 模不变。 相当于 顺时针旋转一个角度θ ，模不变。
几种不同θ 几种不同θ值时的旋转因子
Im
θ=
e
j
π
2
& + jI
0
& I
,
π
2
= cos
π
2
+ j sin
π 2
π
2
Re
8.2 正 弦 量
正弦量 正弦电流电路 电路中按正弦规律变化的电压或电流。 电路中按正弦规律变化的电压或电流。 激励和响应均为正弦量的电路称 为正弦电路或交流电路。 为正弦电路或交流电路。 i T 波形： 波形：
1. 正弦量
瞬时值表达式： 瞬时值表达式：
i(t)=Imcos(ω t+ψ)
ψ/ω
O
t
周期T 和频率f 周期 (period)和频率 (frequency) : 和频率
1 f = T
单位： ， 兹 单位：Hz，赫(兹)
周期T 重复变化一次所需的时间。 单位： ， 周期 ：重复变化一次所需的时间。 单位：s，秒 频率f 每秒重复变化的次数。 频率 ：每秒重复变化的次数。
电路原理(上)_ 相量法_
2U 2
e
j t
)
Re(
2U1
e
j t
2U
2
e
j
t
)
Re[
2(U1U 2) e
j t ]
相量关系为：
U
U U1 U2
结论： 同频正弦量的加减运算变为对应相量的加减运算。
8
相量法的基础
电路 原理
i1 i2= i3
I1 I2 I3
例3 u1(t) 6 2cos(314t 30 ) V
u2(t) 4 2cos(314t 60 o) V
u 311.1cos(314t 67) V
试用相量表示i, u。
解
I 100 50A, U 220 67V
例2 已知I 60 30 A , f 50Hz , 试写出电流的瞬时值表达式。
解
i 60 2cos(314t 30) A
6
相量法的基础
相量图
在复平面上用矢量表示相量的图。
u(t) 2Ucos( t θ) U U
j t
Re 2Ie dt Re 2
I j t e
j
dij
dt
IIi
+π
2
II idt j
i 2
11
相量法的基础
电路 原理
例4 用相量运算：
i(t)
+R
u(t)
L
-
C
i(t) 2I cos( t i)
u(t) Ri L di 1 idt dt C
| F |
a2 b2
b
或
θ
arctan( ) a
二. 复数运算
Im
b
F
电路原理-相量法
周期电流、电压有效值(effective value)定义
物 理 意 义
直流I
Rห้องสมุดไป่ตู้
交流i
R
W RI T
2
W Ri (t )dt
2 0
T
电流有效 值定义为
1 T 2 I i (t )dt T 0
def
有效值也称均方根值 (root-mean-square)
1 同样，可定义电压有效值： U T
8.1 复数
1. 复数的表示形式
Im b 向量 0 a Re 0 F
F=a+jb
( j 1 为虚单位）
Im b F |F|
①代数形式 ②三角形式
F a jb F | F | (cos j sin )
F | F | e j
F | F |
a
Re
③指数形式
④极坐标形式
除法：模相除，角相减
(3.41 j3.657) (9.063 j 4.226)
12.47 j 0.569 12.48 2.61
③ 旋转因子
Im
复数 ejθ =cosθ +jsinθ =1∠θ
F• e j 相当于F逆时针旋转一个角度θ ， ejθ 称为旋转因子。
j >0， u超前i，或i 落后u ，u 比i先到达最大值。 u, i u i
u i
j
O
t
j <0， i 超前 u，或u 滞后 i ，i 比 u 先到达最大值。
特殊相位关系：
①j ＝ 0， 同相 u, i u i ②j = (180 ) ，反相 u, i u 0 u, i u i 0 i t
物 理 意 义
直流I
Rห้องสมุดไป่ตู้
交流i
R
W RI T
2
W Ri (t )dt
2 0
T
电流有效 值定义为
1 T 2 I i (t )dt T 0
def
有效值也称均方根值 (root-mean-square)
1 同样，可定义电压有效值： U T
8.1 复数
1. 复数的表示形式
Im b 向量 0 a Re 0 F
F=a+jb
( j 1 为虚单位）
Im b F |F|
①代数形式 ②三角形式
F a jb F | F | (cos j sin )
F | F | e j
F | F |
a
Re
③指数形式
④极坐标形式
除法：模相除，角相减
(3.41 j3.657) (9.063 j 4.226)
12.47 j 0.569 12.48 2.61
③ 旋转因子
Im
复数 ejθ =cosθ +jsinθ =1∠θ
F• e j 相当于F逆时针旋转一个角度θ ， ejθ 称为旋转因子。
j >0， u超前i，或i 落后u ，u 比i先到达最大值。 u, i u i
u i
j
O
t
j <0， i 超前 u，或u 滞后 i ，i 比 u 先到达最大值。
特殊相位关系：
①j ＝ 0， 同相 u, i u i ②j = (180 ) ，反相 u, i u 0 u, i u i 0 i t
电路原理 第八章_相量法
复数 复数
—
孙惠英 shy@
上页
下页
返回
第8章
4、正弦量的相量表示法(续）
—
已知正弦量 220√ 2 cos ( ω t－35° ) 有效值相量 最大值相量 220/ －35° — 220√ 2 /－35°
已知 相量 10/45° and 正弦量的角频率ω 相应的正弦量 — 10 √ 2 cos( ωt + 45° )
0 ωt1
ωt2
ωt
φ
图8-5 用旋转矢量表示的正弦量
孙惠英 shy@
上页
下页
返回
第8章
4、正弦量的相量表示法 F = ⎪F⎪e j(ω t + ϕ )
ejθ = cosθ + jsinθ
设：有一复数
欧拉公式
F = ⎪F⎪ej(ωt + ϕ ) = ⎪F⎪cos(ωt + ϕ) + j⎪F⎪sin(ωt +ϕ) Re [F] = ⎪F⎪cos(ωt + ϕ ) Im [F] = ⎪F⎪sin(ωt + ϕ )
返回
第8章
三、旋转因子
/ϕ 旋转因子: e jϕ = 1 — A = ⎪A⎪ejα Aejϕ = ⎪A⎪ejαejϕ = ⎪A⎪ej(α+ϕ ) ejπ/2 = j1 e－jπ/2 = − j1
+j
Aejϕ
ϕ α
0
A
+1
e－jπ = − 1
孙惠英 shy@
上页
下页
返回
第8章
ϕ 12 = ϕ 1－ ϕ 2 —— u1 超前于 u2 的相角 ϕ 21 = ϕ 2－ ϕ 1 —— u2 超前于 u1 的相角
相量法
ω = 0(直流), X L = 0, 短路 ; ; ω → ∞, X L → ∞, 开路
ω
相量表达式: 相量表达式
& & & U = jX L I = jωLI ,
& = jB U = j − 1 U = 1 U & & & I L jωL ωL
返 回 上 页 下 页
波形图及相量图： 波形图及相量图：
返 回 上 页 下 页
电感元件VCR的相量形式 2. 电感元件 的相量形式
时域形式： 时域形式：
已知 i(t ) = 2I cos(ω t +ψi )
i(t) + uL(t) •
则
L
di(t ) uL (t ) = L = − 2ωL I sin(ω t +Ψ ) i dt π = 2ω L I cos(ω t +Ψ + ) i 2
uL O
pL i
2π π
& UL
电压超前电 流900
& I
ωt
Ψi
功率： 功率：
pL = uLi = ULm Im cos(ωt +Ψ ) sin(ω t +Ψ ) i i = UL I sin 2(ω t +Ψ ) i
瞬时功率以2ω交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消 瞬时功率以 ω交变，有正有负，
返 回 上 页 下 页
波形图及相量图： 波形图及相量图： pR uR i
& UR
URI
& I
Ψu=Ψi
同 相 位
O
ωt
瞬时功率： 瞬时功率：
pR = uRi = 2UR 2I cos2 (ω t +Ψ i )
电路PPT-相量法
I IΨi UL w LI Ψi π 2
jw L
相量關係：
U L
jwL I jXLI
相量模型
有效值關係： U=w L I 相位關係： u=i +90°
返回 上頁 下頁
感抗和感納
XL=wL=2fL，稱為感抗，單位為 (歐姆) BL=-1/w L =-1/2fL， 稱為感納，單位為 S
返回 上頁 下頁
I 0
u的所有正弦電流用相量表示
時仍滿足KCL；而任一回路所有支路正弦電壓用
相量表示時仍滿足KVL。
返回 上頁 下頁
例2 已知電流錶讀數： A1 ＝8A A2 ＝6A
週期性電流、電壓的暫態值隨時間而變，為 了衡量其平均效果工程上採用有效值來表示。
週期電流、電壓有效值定義
物 直流I R 理 意
義 W RI2T
交流 i R
W
T
0
Ri2 (t )dt
返回 上頁 下頁
均方根值
def
I
定義電壓有效值：
1 T
T
0
i2
(t )dt
def
U
1 T u2 (t)dt
T0
正弦電流、電壓的有效值
試用相量表示i, u .
•
•
解 I 10030o A, U 220 60o V
•
例2 已知 I 5015 A, f 50Hz .
試寫出電流的暫態值運算式。
解 i 50 2cos(314t 15) A
返回 上頁 下頁
相量圖
相量是一個複數，它在複平面上的
圖形稱為相量的圖。
i(t) 2Icos(ω t Ψ ) I IΨ
•
i(t) 2I cos(w t Ψ ) I IΨ
电路分析相量法
量的相量乘以 jω ，即表示di/dt 的相量为
j I I( i 90o )
该相量的模为ωI ，辐角则超前原相量π/2 。
对 i 的高阶导数 dni/dtn ，其相量为 ( j )。n I
3)正弦量的积分
设 i 2I cos( t i )，则
idt Re[ 2Ie j t ] dt Re[ (
F1F2 | F1 | 1 | F2 | 2 | F1 || F2 | (1 2 )
可见复数的乘法运算使用指数形式或极坐标形式较为简便。
3)除法运算
a)代数形式
F1 F2
a1 a2
jb1 jb2
(a1 (a2
jb1 )(a2 jb2 )(a2
jb2 ) jb2 )
(a1a2
b1b2 ) j(a2b1 a22 b22
设 F1 a1 jb1 ， F2 a2 jb2 ，则
F1 F2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j(b1 b2 )
平行四边形法则：
+j F1 +F2 F1
F2 o
+1
+j F1
F2 o
F1－F2 +1
2)乘法运算 a)代数形式
F1F2 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) (a1a2 b1b2 ) j(a1b2 a2b1 )
di d Re[ 2Ie j t ] Re[ d ( 2Ie j t )] Re[ 2( j I)e j t ]
dt dt
dt
Re[ 2 Ie ] j( ti 90o ) 2 I cos( t i 90o )
上式表明：
复指数函数实部的导数等于复指数函数导数的实部；
电路原理课件 第8章 相量法
三. 相位差 ：
两个同频率正弦量相位角之差。
i(t) 0
Im um
设 u(t)=Umcos(w t+ u)
2
i(t)=Imcos(w t+ i)
0
wt
则 相位差j : j = (w t+ u)- (w t+ i)
u- i
同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差。 不同频率的两个正弦量之间的相位差不再是一个常数，而是 随时间变动。
j u与i正交; j u与i反相;
2
§8 - 3相量法的基础
1. 正弦量的相量表示
复函数 F F ej(wt)
没有物理意义
F cos(wt ) j F sin(wt Ψ )
若对F取实部：
Re[F] F cos(ωt Ψ ) 是一个正弦量，有物理意义。
对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的 复指数函数：
F e j
4、极坐标形式：
F F ej
=|F|
二 复数运算
(1)加减运算——代数形式
+j F2
若 F1=a1+jb1
F2=a2+jb2 O
则 F1±F2= (a1±a2) +j (b1±b2)
F= F1 +F1
F1 +1
+j
O - F2
F2 F1
F= F1 - F2 +1
(2) 乘除运算——指数形式或极坐标形式
⑶∫i2dt。
解： ⑴设 i i1 i2 2I cos(wt i ), 其相量为 I=I/Ψi
I I1 I2 10/600A+22/-1500A=（5+j8.66）A+（-19.05-j11）A