高数4.2洛必达法则
4-2洛必达法则
(在x与x0之间 )
f ( ) f ( x ) im A, 当x x0时, x0 , lim A, l x 0 g' ( ) x x0 g' ( x )
f ( x) f ( ) lim lim A. x x0 g ( x ) x0 g' ( )
3
x sin x 原式 lim 3 x 0 x ( 1 x 1 sin x )
lim x sin x 2x3 1 . 12
x 0
例14 (洛必达法则失效的例题)
x cos x 求 lim . x x
1 sin x lim(1 sin x ). 解 原式 lim x x 1 极限不存在 洛必达法则失效。
例3
求 lim 2
x
arctan x 1 x .
0 型 0
1 2 x2 解 原式 lim 1 x lim 1. 2 x 1 x 1 x 2 x
例4
e e 2 求 lim . x 0 1 cos x
x x
0 型 0
x
e e 解： 原式＝ l i m x0 sin x
cos x 1 3x2
x 0
sin x 1 lim . x 0 6 x 6
洛必达法则 II
若函数 f ( x) 和 g ( x) 满足：
型
(1) lim f ( x) lim g ( x)
x x0 x x0
(2) 在点 x0 的某去心邻域内均可导， g '( x) 0 且
0 型 0
型
未定式的变形(1)
设 lim f ( x ) 0, lim g( x )
《高等数学B》第四章中值定理及导数的应用第2节洛必达法则
《高等数学B》第四章中值定理及导数的应用第2节洛必达法则洛必达法则（L'Hôpital's rule）是一种常用于求解极限的方法，该方法是由法国数学家Guillaume de l'Hôpital在1696年提出的。
洛必达法则适用于形如$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$的极限。
具体来说，如果对于函数$f(x)$和$g(x)$，当$x \to a$时，$f(x)$和$g(x)$分别趋于0或无穷大，且$f'(x)$和$g'(x)$都存在（其中$f'(x)$和$g'(x)$分别表示$f(x)$和$g(x)$的导数），则有：$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$其中，等式右边的极限表示对$\frac{f'(x)}{g'(x)}$求导后再取$x \to a$的极限。
这个法则的推导基于泰勒展开的思想。
我们知道，对于充分光滑（即具有连续的导数）的函数，它在其中一点周围可以用泰勒级数展开。
假设$f(x)$和$g(x)$在$a$的邻域内都可展开，则有：$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2 +\cdots$$$$g(x) = g(a) + g'(a)(x-a) + \frac{1}{2}g''(a)(x-a)^2 +\cdots$$根据极限的定义，我们希望求解的极限是$x \to a$时的极限，因此可以将$x-a$看作一个无穷小量。
我们忽略展开式中的高阶无穷小量，得到：$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} \approx \lim_{x \to a}\frac{f(a) + f'(a)(x-a)}{g(a) + g'(a)(x-a)}$$将$a$代入极限中，我们可以得到：$$\lim_{x \to a} \frac{f(a)}{g(a)}$$上述结果是前提条件$f(a)=g(a)=0$下的结果，而当$f(a) \neq 0$或$g(a) \neq 0$时，我们可以对$\frac{f(x)}{g(x)}$做除法的等价变形，具体来说，我们可以将除法变化为乘法，然后再求极限。
洛必达法则
00∞∞)(x f )(x F )()(lim )(x F x f x a x ∞→→00∞∞x x x tan lim 0→00bx ax x sin ln sin ln lim 0+→∞∞)(x f )(x F a)(x f ')(x F '0)(≠'x F )()(lim x F x f a x ''→)()(lim )()(lim x F x f x F x f a x a x ''=→→)()(x F x f ''00∞∞)(x f ')(x F '.)()(lim )()(lim )()(lim =''''=''=→→→x F x f x F x f x F x f a x a x a x .)()(lim )()(lim x F x f x F x f x x ''=∞→∞→∞∞x x x tan lim 0→第二节 洛必达法则一、 型及 型未定式解法：洛必达法则定义：如果当（或）时，两个函数 和 都趋于零或都趋于无穷 大，那么极限 可能存在、也可能不存在。
通常把这种极限称为 型及型未定式。
例如： 型 型定理1：设：（1）当时，函数 及 都趋于零；（2）在 点的某去心邻域内， 及 都存在，且 ； （3） 存在（或为无穷大）； 那么这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则。
注：（1）如果 仍属 型及 型，且 及 满足定理条件，可以继续使用法则，即（2）当时，该法则仍然成立。
（定理2）（3）当，时的未定式 也有相应的法则。
a x →∞→x a x →∞→x a x →∞→x)()(tan lim 0''=→x x x 原式1sec lim 20x x →=123lim 2331+--+-→x x x x x x 求12333lim 221---=→x x x x 266lim 1-=→x x x 23=266lim 1-→x x x bxax x sin ln sin ln lim 0+→求22111lim xx x -+-=+∞→原式221lim x x x +=+∞→xx x 3tan tan lim 2π→求x x x 3sec 3sec lim 222π→=原式x x x 222cos 3cos lim 31π→=x x x x x sin cos 23sin 3cos 6lim 312--→πx x x 2sin 6sin lim 2π→=x x x 2cos 26cos 6lim 2π→=)0 ( lim >+∞→λλ为正整数，求n e xx n x x n x x n x e nx e x λλλ1lim lim -+∞→+∞→=xn x e x n λλ0!lim ⋅==+∞→ )0( ln lim >+∞→n x x n x 求例1：求解： =1例2： 解：原式注意：（1）上式中 不是未定式，不能使用洛必达法则，否则导致错误的结果。
高数洛必达法则
与夹逼定理（Squeeze Theorem）结合使用，可以 求解一些复杂的不定式极限
问题。
与单调有界定理（Monotone Bounded Theorem）相关联， 可用于判断数列或函数的收敛
性。
02
洛必达法则证明过程
构造函数法证明
构造函数
01
通过构造一个与原函数在某点处切线斜率相同的辅助函数，将
适用范围及条件
适用于0/0型和∞/∞型的不定式极限。
使用条件：当x趋向于某一值时（可以是无穷大），函数f(x)与g(x)都趋向于0或者无穷大，且两者的导函数存在且比值为常（Taylor's Theorem）有密切关系，洛必 达法则是泰勒公式在求解极限
时的特殊应用。
变量替换法
在某些情况下，通过变量替换可以简化极限的计算过程。
05
洛必达法则拓展与延伸
多元函数洛必达法则
多元函数洛必达法则的定 义
对于多元函数，当其在某点的偏导数存在且 连续时，该点处的极限值可以通过洛必达法 则求解。
多元函数洛必达法则的应用 条件
要求函数在考察点处偏导数存在且连续，同时需要 满足一定的限制条件，如分母不为零等。
高数洛必达法则
• 洛必达法则基本概念 • 洛必达法则证明过程 • 洛必达法则应用举例 • 洛必达法则注意事项 • 洛必达法则拓展与延伸
01
洛必达法则基本概念
洛必达法则定义
洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是微 积分学中的一个重要定理，用于求解 不定式极限。
该法则以法国数学家纪尧姆·弗朗索瓦· 安托万·德·洛必达命名。
解不等式
将不等式转化为函数值比较问题，利用洛必 达法则求解函数的极值点，进而确定不等式 的解集。
4.2 洛必达法则 课件 《高等数学》(高教版)
(2)在点的某(去心)邻域内可导，且
；
(3)
存在（或无穷大）.
则
例2 求下列函数的极限. 解：
随堂练习
计算下列函数的极限.
4.2 洛必达法则 二、其它未定式的极限
除了上述“ ”和“ ”型未定式外，还有“ ”，“ ”,“ ”,“ ”,“ ”等五种未定式型．一般总可将其化 为“ ”型或“ ”型未定式，然后再应用洛必达法则．
例1 求下列函数的极限. 解：
解：
解：(5)对
两边同时取对数，得
4.2 洛必达法则 一、“ ”型与“ ”型未定式的极限
定理1 如果函数 与 满足条件：
(2)在点的某(去心)邻域内可导，且
；
(3)
存在（或无穷大）.
则
例1 求下列函数的极限. 解：
随堂练习
计算下列函数的极限.
4.2 洛必达法则 一、“ ”型与“ ”型未定式的极限
定理2 如果函数 与 满足条件：
4.2 洛必达法则
4.2 洛必达法则
在学习无穷小量阶的比较时，我们已经遇到过两个无穷小 量之比的极限，这种极限可能存在，也可能不存在，通常把两 个无穷小量之比或两个无穷大量之比统称为未定式，分别简记 为“ ”型或“ ”型.未定式的极限不能直接利用“商的极限 等于极限的商”这一运算法则来求.洛必达(L' Hospital)法则 是以导数为工具来研究未定式极限的重要方法.
洛必达法则详解
洛必达法则详解洛必达法则（Lotka's law）是由美国图书馆学家洛思会(Losethere A. Guadognini)在1926年首次提出的。
该定律描述了科学研究者的成果发表数量与其发表文章数量之间的关系。
洛必达法则的核心理论依据是假设文章发表数量与研究者的科研能力和资源有关。
在科研领域，存在着很大的不平等性和差异性，少数顶尖研究者拥有更多的资源和机会，因此他们可以发表更多的文章。
而大多数研究者则受限于多种因素，如时间、经费、实验设备等，因此他们的发表数量相对较少。
洛必达法则对科研界具有重要的启示意义。
首先，它提醒我们少数顶尖研究者的重要作用。
即使在科研活动中，存在着“20/80原则”，即20%的人贡献了80%的成果。
其次，洛必达法则也指出了科研资源的分配不平等问题。
少数研究者能够获得更多的资源和机会，使得他们能够取得更多的发表成果。
这也意味着大多数研究者应该寻求更好的资源分配和机会，以提高自己的发表数量。
然而，洛必达法则也存在一些争议。
一些学者指出，洛必达法则忽略了一些重要的因素，如学术背景、经验和个体能力等。
他们认为科研成果的发表数量受到多种因素的影响，而不仅仅是发表文章的数量。
此外，洛必达法则假设发表数量与排名存在的确定关系，忽视了研究者之间的差异性和复杂性。
总的来说，洛必达法则是科研领域的一个重要理论，揭示了科研发表数量的分布规律。
它提醒我们发现并重视那些少数取得多数成果的顶尖研究者，同时也需要关注并提供更多的资源和机会给大多数研究者，以推动整个科研领域的发展。
然而，洛必达法则也需要进一步的研究和探讨，以更好地理解科研成果发表数量的形成机制。
4-2洛必达法则1211
例
tan x ∞ . ( ) 求 lim π ∞ x → tan 3 x
2
sin x ⋅ cos 3 x 原式 = lim π x → cos x ⋅ sin 3 x
2
sec2 x 解 原式 = lim π 3 sec 2 3 x x→
2
cos 3 x 0 = −lim ( ) π cos x 0 x→
15
二、其它未定式
1. 0 ⋅ ∞, ∞ − ∞型未定式
0 ∞ 型 关键 将其化为洛必达法则可解决的 , 0 ∞ ∞ 1 0⋅ ∞ 型 0⋅ ∞ ⇒ ⋅ ∞ ⇒ 或 0⋅ ∞ ⇒0⋅ 1 ⇒ 0 ⋅ 0 ∞ ∞ 0
求 lim x − 2e x . ( 0 ⋅ ∞ ) 例
x → +∞
ex ∞ ex ∞ 解 原式 = lim 2 ( ) = lim ( ) x → +∞ 2 x ∞ x → +∞ x ∞ ex = lim = +∞ . x → +∞ 2 16
例 求 lim x(
x → +∞
π
2
− arctan x ). ( ∞⋅ 0 )
π
解 原式 = lim 2
x → +∞
− arctan x
1 x 1 − 2 2 x = lim 1 + x = lim 2 =1 x → +∞ 1 x → +∞ 1 + x − 2 x
0 ( ) 0
17
∞−∞ 型
1 1 0 0− 0 ∞− ∞⇒ − ⇒ ⇒ 0 0 0⋅ 0 0
∞ ln sin ax 例 求 lim ( ) . x→0 ln sin bx → ∞ a cos ax ⋅ sin bx a sin bx 解 原式 = lim = lim x →0 b cos bx ⋅ sin ax x →0 b sin ax
(参考资料)洛必达法则详解
sec x
1
正解：
lim lim 1 x tan x x sin x
2
2
18
信息学院 罗捍东
4.2.3 其它型未定式
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则 可解决的类型 ( 0 ),( ) .
0
1. 0 型
步骤:
0 0 0,
1
0
或
0
1
0
.
19
信息学院 罗捍东
例11: 求 lim x2e x . x
3. 1 ,00 ,0 型
步骤:
1
ln1
00
取对数
0 ln 0
0
0 ln
0 .
23
信息学院 罗捍东
1
例13: 求 lim x1 x . x1
( 1 )
e 1
1 ln x
解: lim x1x lim e1x
x1
x1
limln x x11 x
1
e
lim x
x1 1 e1 .
24
罗捍东
洛必达法则
型
f g 1 g1 f 1 g1 f
0型 0 型
00 ,1 , 0 型
令y f g 取对数
0型
f g f 1g
29
其它型的未定式还有： 0 , ,1 ,00,0
1
信息学院 罗捍东
4.2.1 0 型未定式 0
定理：洛必达法则 设:(1) lim f (x) lim g(x) 0;
xa
xa
(2) f (x), g(x)在a点的某去心邻域内可导,且g(x) 0;
(3) lim f (x) 存在(或); xa g(x)
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00
1
0
例5. 求 lim x n ln x (n 0).
x0
0 型
解: 原式
洛
0 0
0、、00、1、0
小结与作业
思考与练习
备用题
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三、其它未定式
解决方法:
通分 转化
0 0
00
取倒数 转化
0
取对数 转化
1
0
例6. 求
如果 B A 0
四则运算法则不能用！
洛必达法则
0 一、 0
型未定式
定理 1
2) f ( x) 与F ( x) 在U (a)内可导,
f ( x) 3) lim 存在 (或为 x a F ( x ) f ( x) f ( x) lim lim x a F ( x ) x a F ( x )
0 0
0、、00、1、0
小结与作业
思考与练习
备用题
目录 上页 下页 返回 结束来自 二、 型未定式
型
例3.求 解: 原式
xn 例4. 求极限 lim x x e
n
0
(n N )
n 1 nx x 解: lim x lim x e x x e
解:原式
洛
0 0
型
0、、00、1、0
小结与作业
思考与练习
备用题
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三、其它未定式
解决方法:
通分 转化
0 0
00
取倒数 转化
0
取对数 转化
1
0
【00,1∞,∞0】
型——幂指函数类
00 0 ln 0 【步骤】 取对数 1 ln 1 0 . 0 ln 0
例2. 求
洛 解: 原式
型
思考: 如何求 lim
0 0
π 2
arctan n
1 n
思考与练习
n
小结与作业
( n 为正整数) ?
备用题
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0、、00、1、0
x 2x 1 练习(1) 求极限 lim 2 x 1 x 1
2
x sin x (2) 求极限 lim 3 x 0 x
0 0
0、、00、1、0
小结与作业
思考与练习
备用题
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二、
型未定式
定理 2.
存在 (或为∞) (洛必达法则)
说明: 定理中x a 换为 x a , x a ,
x , x , x 之一, 定理仍然成立.
e 1.
0
【实质】 先化为复合函数： uv e vln u 利用复合函数的外层函数的连续性： 极限符号与函数符号交换位置，结合 洛必达法则求极限.
x 例8 求 lim x 1
1 1 x
.
( 1 )
1 ln x 1 x
解:
原式 lim e
x 1
e x 1
lim
ln x 1 x
0 0
0、、00、1、0
小结与作业
思考与练习
备用题
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0 一、 0
型未定式
0 型 0
洛
例1. 求
解: 原式
3x 3 2 3x 2 x 1
2
洛
3 2
注意:
不是未定式不能用洛必达法则 !
0 0
0、、00、1、0
小结与作业
型
n( n 1) x n 2 n！ lim lim 0 x x x x e e
0 0
0、、00、1、0
小结与作业
思考与练习
备用题
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三、其它未定式
解决方法:
通分 转化
0 0
取倒数 转化
0
取对数 转化
0 0
0、、00、1、0
小结与作业
思考与练习
备用题
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例7 求 lim x x .
x 0
00 型
x ln x
解: 原式 lim e
x 0
e
x 0
lim x ln x
e
ln x lim x 0 1 x
e
1 lim x x 0 1 x2
思考与练习
备用题
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6x 【注意】 （1） 上式中 lim 已不是未定式， x 1 6 x 2 不能再使用洛必达法则，否则导致 错误的结果.
（2） 由此可见，在使用罗必达法则时应 步步整理、步步判别。如果不是未定式就 坚决不能用洛必达法则。
0 一、 0
型未定式
0 型 0
0 0
)
(洛必达法则)
备用题
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0、、00、1、0
小结与作业
思考与练习
0 一、 0
型未定式
推论1 定理 1 中 x a 换为下列过程之一: 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.
f ( x) 推论 2. 若 lim F ( x) 理1条件, 则
0、、00、1、0
小结与作业 思考与练习 备用题
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0
－
0 0
回忆极限的四则运算法则:
如果 lim f ( x ) A, lim g( x ) B 且 B 0
f ( x) A 则 lim g( x ) B f ( x) 如果B 0, A 0, 则 lim 不存在 g( x )
e
1 lim x x 1 1
e 1 .
例9 求 lim (cot x )
x 0
1 ln x
.
( 0 )
1 ln x
解:
取对数得 (cot x )
e
1 ln(cot x ) ln x
,
1 1 2 1 lim ln(cot x ) lim cot x sin x 1 x 0 ln x x 0 x x 原式 e 1 . 1, lim x 0 cos x sin x
§4.2 洛必达法则
0 一、 型未定式 0
二、 型未定式 三、其它未定式
0 0
0、、00、1、0
小结与作业
思考与练习
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上节主题:
微分中值定理
函数的性态 导数的性态
本节主题:
函数之商的极限 转化 未定式:
(
或
型)
洛必达法则 求极限.
导数之商的极限
在函数商的极限中 如果分子和分母同是无穷小或同是无穷大 那 0 么极限可能存在 也可能不存在这种限称为未定式 记为 －或 还有其它类型的未定式 0、、00、1、0