同济大学高等数学第六上册洛必达法则
高等数学(同济大学版)第三章练习(含答案)
第三章 微分中值定理与导数的应用
一、要求：
1、罗尔定理，拉格朗日定理应用；
2、洛必达法则；
3、函数单调性、极值、最值、凹凸性、拐点的判断，函数图形的描绘；
4、简单不等式证明；
5、最值在实际问题中的应用。
二、练习
1. 在区间 [ 1,1] 上满足罗尔定理条件的函数是 ( ).
A. 1
B. f ( x ) | x |
C. f ( x) 1 x 2
D.f ( x ) x 2 2 x 1
. f ( x)
x 2
2. 函数 f ( x) arctan x 在 [ 0 ,1] 上满足拉格郎日中值定理的 值是 ( ).
A. 4 B. 4
1 C. 1 D. 4 . 1 1
3. 4
设函数 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3) ，则方程 f ( x ) 0 有 个零点，这些零点
所在的范围是 ；.
3. 设函数 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3) ，则方程 f ( x ) 0 有 个零点，这些零点所在
的范围是 .
4. 函数 f ( x ) ln x x 2在(0, ) 内的零点的个数为 .
e
5. 曲线
6. 函数
y xe x 的拐点 ，凹区间 ，凸区间 .
y ln x 1 x 2 的单调 区间 .
7. 曲线 f ( x) e x 的渐近线为 .
x 1
8. 计算：
5 x 4 x 1 1 (1 2
（2） lim ( cos x ) （1） lim
x 1
x x ) （3） lim
tan 2 x
洛必达法则的积分应用
洛必达法则的积分应用
洛必达法则是高等数学中一个重要的概念，它可以用来求解一些特殊的函数极限，也可以应用到某些积分中。在本文中，我将会详细介绍洛必达法则的积分应用。
一、洛必达法则简介
洛必达法则最常见的形式是：
当函数的分子和分母都趋于零或趋于无穷大时，如果极限值存在，那么极限值等于分子和分母的导数的极限值的商。
例如，对于函数 lim x→0(sin x)/x，使用洛必达法则可以得出：
lim x→0(sin x)/x = lim x→0(cos x)/1 = cos 0/1 = 1
这个结论是非常重要的，它意味着我们可以通过求导数来求解某些函数极限。
二、积分应用
除了在极限求解中，洛必达法则还可以用在某些积分的求解中。我们来看一个例子：
∫ 0^∞ e^(-x^2) dx
这个积分叫做高斯积分，它在概率论、统计学、物理学等领域都有应用。直接对这个积分求解是非常困难的，但是我们可以使用洛必达法则来简化它。
具体来说，我们将这个积分表示为两个积分的和：
∫ 0^∞ e^(-x^2) dx = ∫ 0^∞ e^(-x^2) (2x) / (2x) dx
我们将这个积分拆成两个积分的和，并将一个分子和分母加入到 e^(-x^2) 中。这样我们就得到了：
∫ 0^∞ e^(-x^2) (2x) / (2x) dx = 1/2 ∫ 0^∞ e^(-x^2) d(x^2)
现在我们需要对这个积分做一些代数变形：
∫ 0^∞ e^(-x^2) d(x^2) = ∫ 0^∞ e^(-u) du
其中，我们使用了变量替换 u = x^2。现在这个积分变得非常简单，我们可以使用洛必达法则来求解它：
∫ 0^∞ e^(-u) du = lim t→∞∫ 0^t e^(-u) du
= lim t→∞[-e^(-t)+1]
= 1
所以我们得到了：
∫ 0^∞ e^(-x^2) dx = 1/2 ∫ 0^∞ e^(-x^2) d(x^2) = 1/2 ∫ 0^∞ e^(-u) du
高等数学-第3章 3.1 洛必达法则
第3章 导数的应用
本章介绍导数的一些应用，利用导数求未定式的极限，利用导数研究函数的性态：判断函数的单调性和凹凸性，求函数的极值、最大值、最小值，并解决实际工作中的一些简单最优化问题。
§3.1 洛必达法则
如果当0xx（或x）时，函数()fx与()gx都趋于零或都趋于无穷大，则极限0()lim()xxfxgx（或()lim()xfxgx）可能存在，也可能不存在，通常称这种极限为未定式，并分别记为00或。
例如，极限0sinlimxxx是00型未定式，极限221lim23xxx是型未定式。
在第1章中，我们曾计算过这种极限，由于不能直接利用极限运算法则，通常需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则的形式进行计算，这种变形没有一般方法，需视具体问题而定。下面介绍利用导数计算未定式极限的一般方法——洛必达法则。
一、 00型与型未定式
定理3.1 设函数()fx、()gx满足：
（1）0lim()0xxfx，0lim()0xxgx；
（2）在点0x的某去心邻域内，()fx及()gx都存在，且()0gx；
（3）0()lim()xxfxgx存在（或为）；
则 xgxfxx0limxgxfxx0lim。
证明从略.
这种在一定条件下通过对分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称
为洛必达法则。 1 注：（1）在定理3.1中,把“0xx”换成“x”（或其他情形）时，结论也成立。
（2）定理3.1中的条件(1)，若改为
0limxx)(xf＝∞,
0limxx)(xg＝∞，
则定理仍成立.
（3）如果0()lim'()xxfxgx仍是00型或型未定式，并且函数)(xf、'()gx满足定理3.1中的条件，则可以继续利用洛必达法则，即有
0limxxfxgx0()lim'()xxfxgx0''()lim''()xxfxgx.
洛必达法则教学的几点思考
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洛必达法则教学的几点思考
作者：高燕
来源：《科教导刊·电子版》2018年第29期
摘 要 两个无穷小（大）之比的极限可能存在，也可能不存在。如果极限存在，其极限值也不尽相同。因此，通常把这种极限叫做未定式。而洛必达法则，就是以导数为工具，研究未定式的极限的一种方法。
关键词 型未定式 洛必达法则
中图分类号：O171 文献标识码：A
在高等数学中，极限的计算是非常重要的，求解方法多样。其中洛必达法则是求未定式极限的一种重要方法。一般未定式基本类型有型。在使用洛必达法则时，一定要注意使用的前提条件。本文结合学生在使用洛必达法则时较多出现的错误，做出分析，并给出正确的解法。这对我们学习洛必达法则是非常有帮助的。
预备知识：
定理1.（型洛必达法则）
设（1）时，函数及都趋于零；（2）在点a的某去心邻域内，及都存在且；（3）存在（或为无穷大）则。
注意：（1）此两个定理中将全部换成（或）也成立；
（2）此两个定理中将全部换成（或；或）也成立；
（3）型洛必达法则类似。
在使用洛必达法则，应该注意以下几点：
（1）使用洛必达法则时必须检验是否是未定式。若不是未定式，就不能使用洛必达法则。
（2）当不存在（无穷人除外）时，不能使用洛必达法则。
（3）检查函数式中是否存在非零极限的乘积因子，如果有先将其分离出来。 龙源期刊网
（4）只要符合定理1中的所有条件，洛必达法则可多次使用。
（5）其它形如型也可通过代数运算或对数运算把其化成未定式，再用洛必达法则来计算。
下面从4个例题出发，先给出学生的常见错误解法，并对其错误进行分析，最后给出了正确的解法。
洛必达法则例题
洛必达法则例题
在高等数学中，洛必达法则是求未定式极限的一种非常有效的方法。它能够在一定条件下，将复杂的未定式极限转化为相对简单的形式，从而更方便地求出极限值。接下来，让我们通过一些具体的例题来深入理解洛必达法则的应用。
例 1：求极限 ＄＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x}＄
这是一个典型的“＄＼frac{0}｛0}＄”型未定式。根据洛必达法则，对分子分母分别求导：
＄（＼sin x)＇ ＝ ＼cos x$，＄x' ＝ 1$
所以，＄＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x} ＝ ＼lim_{x ＼to 0}
＼frac{＼cos x}｛1} ＝ ＼cos 0 ＝ 1$
例 2：求极限 ＄＼lim_{x ＼to ＋＼infty} ＼frac{x^2}｛e^x}＄
这是一个“＄＼frac{＼infty}｛＼infty}＄”型未定式。应用洛必达法则，对分子分母求导：
＄（x^2)＇ ＝ 2x$，＄（e^x)＇ ＝ e^x$
得到：＄＼lim_{x ＼to ＋＼infty} ＼frac{2x}｛e^x}＄
这仍然是“＄＼frac{＼infty}｛＼infty}＄”型，继续使用洛必达法则求导： ＄（2x)＇ ＝ 2$，＄（e^x)＇ ＝ e^x$
所以，＄＼lim_{x ＼to ＋＼infty} ＼frac{2x}｛e^x} ＝ ＼lim_{x ＼to ＋＼infty} ＼frac{2}｛e^x} ＝ 0$
例 3：求极限 ＄＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{1 ＼cos x}｛x^2}＄
这也是“＄＼frac{0}｛0}＄”型未定式。先对分子分母求导：
＄（1 ＼cos x)＇ ＝ ＼sin x$，＄（x^2)＇ ＝ 2x$
则有：＄＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛2x}＄
此时还是“＄＼frac{0}｛0}＄”型，再用一次洛必达法则：
高等数学第六版(上册)第三章课后习题答案
1
高等数学第六版（上册）第三章课后习题答案及解析
习题31
1验证罗尔定理对函数yln sin x在区间]65 ,6[上的正确性
解因为yln sin x在区间]65 ,6[上连续在)65 ,6(内可导且)65()6(yy, 所以由罗尔定理知至少存在一点)65 ,6(使得y()cot 0
由y(x)cot x0得)65 ,6(2
因此确有)65 ,6(2使y()cot 0
2验证拉格朗日中值定理对函数y4x35x2x2在区间[0 1]上的正确性
解因为y4x35x2x2在区间[0 1]上连续在(0 1)内可导由拉格朗日中值定理知至少存在一点(0 1)使001)0()1()(yyy
由y(x)12x210x10得)1 ,0(12135x
因此确有)1 ,0(12135使01)0()1()(yyy
3对函数f(x)sin x及F(x)xcos x在区间]2 ,0[上验证柯西中值定理的正确性
解因为f(x)sin x及F(x)xcos x在区间]2 ,0[上连续在)2 ,0(可导且F(x)1sin x在)2 ,0(内不为0所以由柯西中值定理知至少存在一点)2 ,0(使得
)()()0()2()0()2(FfFFff
令)0()2()0()2()()(FFffxFxf即22sin1cosxx
化简得14)2(8sin2x易证114)2(802所以14)2(8sin2x在
2 )2 ,0(内有解即确实存在)2 ,0(, 使得
)()()0()2()0()2(FfFFff
高等数学3.2----洛比达法则习题带答案
高等数学(1)标准化作业题参考答案13班级姓名学号
40第二节洛必达法则
一、填空题1.
0ee
lim
sinxx
xx
=2，是00型未定式.提示：
00eeee
limlim2
sincosxxxx
xxxx
.
2.
0limcot2
xxx
=12，是0型未定式.提示:200011
limcot2limlim
tan22sec2xxxx
xx
xx.3.1lime1x
xx
=1，是0型未定式.4.2
lim1x
xx
=2e，是1型未定式.
二、单项选择题1.设
0()
lim
()xxfx
gx为未定型，则
0()
lim
()xxfx
gx
存在是
0()
lim
()xxfx
gx也存在的B.
A．必要条件B.充分条件
C.充分必要条件D.非充分也非必要条件2.求2
01
sin
lim
sinxx
x
x时，下列各种解法，正确的是C.
A.用洛比达法则后，求得极限为零
B.因为不能使用洛比达法则，所以极限不存在C.原式
01
limsin0
sinxx
x
xx
D.因为
01
limsin
xx不存在，所以上述极限不存在
3.下列求极限的问题中，能够使用洛比达法则的是B.高等数学(1)标准化作业题参考答案13班级姓名学号
41A.
1ln
lim
1xxx
x
B.
0sin
lim
sinxxx
xxC.cos
lim
cosxxx
xx
D.21
lim
xx
x
三、求下列函数的极限.1.30sincos
lim
sinxxxx
x解：3320000sincossincossinsin1
limlimlimlim
sin333xxxxxxxxxxxxx
xxxx
．2.
π
2π
ln
2lim
tan
xx
x
解：2
2ππππ
22221
ππln
cos22limlimlimlim2cossin0
πtansec
2xxxxxxx
xx
xxx
高等数学：洛必达法则
77 洛必达法则
一、基本内容
洛必达法则：设函数)(xf和)(xg
（1）在0x的某去心邻域（或Mx||，0M）内可导且0)(xg；
（2）当0xx（或x）时，)(xf和)(xg都趋于零（或都是无穷大）；
（3）)()(lim)(0xgxfxxx存在（或为无穷大），则)()(lim)(0xgxfxxx存在（或为无穷大），且
)()(lim)()(lim)()(00xgxfxgxfxxxxxx
洛必达法则以导数为工具，给出了计算未定式极限的一般方法。
二、学习要求
熟练掌握用洛必达法则求未定型极限的方法。
三、基本题型及解题方法
题型1 利用洛必达法则求“00”与“”型极限
解题方法：在验证了是这两种类型极限后，首先应该想到第一章中提到的各种方法，如约掉零因子，等价无穷小替换等等，然后再结合洛必达法则一起解题。在应用该法则时要注意，分子分母同时取导数，当取导之后仍为“00”或“”，可以再次利用洛必达法则，而且当洛必达法则失败时，也不代表极限不存在，要重新研究。
【例1】 求下列极限：
（1）22)2(sinlnlimxxx； （2）xxxxxtantanlim20
（3）eexxxxln1lim31； (4) xxxexxarctan1)1ln(lim0
解：（1）所给极限为00型，由洛必达法则，有 78 22)2(sinlnlimxxx)2(4cotlim2/xxx
仍为00型，再利用洛必达法则，得
原式81sin1lim818csclim22/22/xxxx
（2）所给极限为00型，且因为当 0x时，xx~tan，则
xxxxxtantanlim2030tanlimxxxx)()(tanlim30xxxx22031seclimxxx
同济大学数学系《高等数学》(第6版)上册笔记和课后习题(含考研真题)详解-微分中值定理与导数的应用(
1 / 84 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 第3章 微分中值定理与导数的应用 3.1 复习笔记 一、微分中值定理 1．罗尔定理 首先我们引入费马引理： 【费马引理】设函数f（x）在点的某邻域U（）内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的x∈U（x0），有f（x）≤f（x0）（或f（x）≥f（x0）），那么f＇（x0）＝0。 相关证明在此就不做过多介绍，感兴趣的同学可以参照相关的高等数学或数学分析教材。 通常称导数等于0的点为函数的驻点。 【罗尔定理】如果函数f（x）满足： （1）在闭区间[a，b]上连续； （2）在开区间（a，b）内可导； （3）在区间端点处的函数值相等，即f（a）＝f（b）， 那么在（a，b）内至少有一点ε（a
2 / 84 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 那么在（a，b）内至少有一点ε（a
3 / 84 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 那么在（a，b）内至少有一点ε，使等式成立。 拉格朗日中值公式是柯西中值公式的特殊形式。 二、洛必达法则 洛必达法则在求函数极限过程中，有重要作用，在考研试题中也经常出现。一般，洛必达法则针对或形式的极限公式。下面我们主要介绍相关定理及引入一些例题，方便读者更进一步理解洛必达法则的应用。 1．x→a 【定理】设 （1）当x→a时，函数f（x）及F（x）都趋于零； （2）在点a的某去心邻域内，f＇（x）及F＇（x）都存在且F＇（x）≠0； （3）存在（或为无穷大）， 那么。 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达（L’hospital）法则。 注意，在使用洛必达法则时，分子分母的表达式必须同时是未定式，即单独的极限同时趋于0或。 2．x→∞
4 / 84 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 【定理】设 （1）当x→∞时，函数f（x）及F（x）都趋于零； （2）当｜x｜>N时f＇（x）与F＇（x）都存在，且F＇（x）≠0； （3）存在（或为无穷大）， 那么。 三、泰勒公式 对于一些比较复杂的函数，为了方便研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达，譬如多项式、三角函数等函数。泰勒公式就是一种用多项式来逼近复杂函数的表达公式。 【定理】如果函数f（x）在含有x0的某个开区间（a，ｂ）内具有直到n＋1阶的导数，则对任意x∈（a，ｂ），有 其中。这里ε是x0与x之间的某个值。 1．拉格朗日余项 称为函数f（x）按（x－x0）的幂展开的n次泰勒多项式，公式 称为f（x）按（x－x0）的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式，而
洛必达法则的理解及其应用
摘 要：
对洛必达法则的内涵进行剖析、引申及扩展, 通过实例探讨其应用技巧。
关键词：
洛必达法则; 内涵剖析; 应用技巧;
洛比达法则内涵丰富, 是高等数学中求函数未定型极限的一种有力工具。本文将对洛必达法则的内涵进行深入剖析, 引领学生窥其“庐山真面目”。然后循序渐进地讲解其应用, 从而帮助学生系统、深入地掌握洛必达法则内容。
1洛比达法则[1]
定理1: 若函数f ( x) 和g ( x) 满足:
( 2) 在点x0的某空心邻域内两者都可导, 且g' ( x0) ≠0;
定理2: 若函数f ( x) 和g ( x) 满足:
( 2) 在点x0的某空心邻域内两者都可导, 且g' ( x0) ≠0;
二、内涵剖析
1. 涵的数学思想方法
洛必达法则依据柯西中值定理, 利用求导的方法, 化难为易的数学思想, 将f ( x) /g ( x) 的极限问题转化为f 'x/g' (x) 的极限问题。
2. 几何解释[2]
对于定理1, 补充定义
, 则参数方
程是平面上过原点O的曲线, 记为L, 如图,
则表
示曲线上割线OA的斜率,
而为割线斜率的极限, 又割线的极限位置是
切线,
即为O点处切线斜率, 另一方面A点处切线的斜率利用参数方程求导为f 'x/g' (x) , 而A处所得切线T随着x→x0的极限位置就是O处的切
线OC, 由此表示出OC
斜率为
从而, 在几何上, 定理1实质上表达了切线的概念, 曲线L的割线OA的极限位置就是过原点的切线OC。
类似可得洛必达法则定理2实质上表达了曲线L上的点A趋于无穷远时, OA的极限位置就是A点处切线的极限位置。
3. 运用法则的关键
关键是寻找判断所求极限是否满足三个条件, 有些较难的极限利用洛必达法则可能比较简单, 但若不符合条件时滥用法则, 容易造成错误。
4. 运用法则的一般步骤
( 1) 判断所求极限是否可化为法则中的0/0型或∞/∞型, 如0, ∞ - ∞等;