Jensen不等式在数学上的应用

ｎ
ｎ
#ｘｉ
# 对&ｘｉ∈Ｒ
取
ｐ（ξ＝ｘｉ）＝
１ ｎ
，
则
Ｅ（ξ）＝
ｉ
＝
ｘｉ
１
１ ｎ
＝
ｉ
＝１
ｎ
，
ｎ
#ｘｉ
ｉ＝１
ｘ１＋ｘ２＋∧＋ｘｎ
ｆ（Ｅ（ξ））＝ｅ ｎ ＝ｅ ｎ ，
#ｎ
Ｅ（ｆ（ξ））＝
１
ｘｉ
ｅ＝
ｅｘ１＋ｅｘ２＋∧＋ｅｘｎ
ｉ＝１ｎ
ｎ
由 延 森（
Ｊｅｎｓｅｎ）
ｘ１＋ｘ２＋∧＋ｘｎ
不等式可得： ｅ ｎ ≤
１
文章编号： １６７２－ ７８９４（ ２００８） ０３－ １８５－ ０１
凸函数： 设 ｆ（ｘ）是定义于区间（ ａ， ｂ） 上的函数， 若对任意的 ｘ１ｘ２
∈（ａ，ｂ）和 ０≤λ≤１， 有：
ｆ（λｘ１＋（１－ λ）ｘ２）≤λｆ（ｘ１）＋（１－ λ）ｆ（ｘ２）
则称 ｆ（ｘ）是区间（ ａ， ｂ） 上的凸函数。
#ｂ ｋ－ １ ｉ
ｉ＝１
ｉ＝１
ｋ
’ｎ
*
# ( ａｉｂｉ
+
(ｉ ＝ １
ｎ
ｋ
+
# (
ｂ ｋ－ １ ｉ
+
)ｉ ＝ １
,
ｎ ’ ａｉ
# Ｅ（ｆ（ξ））＝ ｉ
＝
１
(( )
１
ｂ ｋ－ １ ｉ
ｋ
ｎ
ｋ
ｋ
* #ａ ｋ－ １
ｂｉ
++ ＝ ｎ
ｋ
ｉ ｉ＝１
ｎ
ｋ
# # , ｂ ｋ－ １ ｉ
ｂ ｋ－ １ ｉ
ｉ＝１
ｉ＝１
由 延 森 （ Ｊｅｎｓｅｎ）
延森（ Ｊｅｎｓｅｎ） 不等式：
设函数 ｆ （ｘ），ｘ∈（ａ，ｂ） 是一个连续的凸函数， ξ 是取值于集合
ｘ＝ !ｘ１，ｘ２，∧，ｘｎ "的离散型随机变量， 则：
Ｅ（ｆ（ξ））≥ｆ（Ｅ（ξ））
证明： 我们用数学归纳法对此定理加以证明：
记 ｐ（ξ＝ｘｉ）＝ｐ（ｘｉ）（ｉ＝１，２，∧，ｎ）注意 到 ｐ（ｘ１）＋ｐ（ｘ２）＋∧＋ｐ（ｘｎ）＝１
不等式可Βιβλιοθήκη Baidu：
’ｎ
# ( ａｉｂｉ
(ｉ ＝ １
ｎ
ｋ
# ( ｂ ｋ－ １ ｉ
)ｉ ＝ １
ｋ
* + +≤ +
,
ｎ
#ｋ ａｉ
ｉ＝１
ｎ
ｋ
#ｂ ｋ－ １ ｉ ｉ＝１
# $# ｎ
即： ａｉｂｉ≤
ｎ ｋ
ａｉ
ｉ＝１
ｉ＝１
１
% $ｋ
ｎ
ｋ
# ·
ｂ ｋ－ １ ｉ
ｉ＝１
ｋ－ １
%ｋ 。
参考文献： ［１］华 东 师 范 大 学 数 学 系 ．数 学 分 析 ．北 京 ：高 等 教 育 出 版 社 ，２００３：１４８． ［２］ 姜丹． 信息 论 与 编 码 ． 合 肥 ： 中 国 科 学 技 术 大 学 出 版 社 ，２００４：２０－ ２５．
１８５
当 ｎ＝２ 时， Ｅ（ｆ（ξ））＝ｐ（ｘ１）ｆ（ｘ１）＋ｐ（ｘ２）ｆ（ｘ２）
≥ｆ（ｐ（ｘ１）ｘ１＋ｐ（ｘ２）ｘ２）＝ｆ（Ｅ（ξ））成 立
设当 ｎ＝ｋ 时不等式成立， 则 ｎ＝ｋ＋１ 当时：
Ｅ（ｆ（ξ））＝ｐ（ｘ１）＋ｆ（ｘ１）＋ｐ（ｘ２）ｆ（ｘ２）＋∧＋ｐ（ｘｋ＋１）ｆ（ｘｋ＋１）
# ＝（１－
ｐ（ｘｋ＋１））
凸函数。设 ｃｉ＝ｂｉｋ－ １ ， ｘｉ＝
ａｉ
１
并取 ｐ（ξ＝ｘｉ）＝
ｃｉ
ｎ
＝
ｂ ｋ－ １ ｉ
ｎ
ｋ
ｂ ｋ－ １ ｉ
# # ｃｉ
ｂ ｋ－ １ ｉ
ｉ＝１
ｉ＝１
ｎ
ｎ
# # 则 Ｅ （ξ）＝
ａｉ · １
ｋ
ｂ ｋ－ １ ｉ
ｎ
ｋ
ａｉｂｉ
＝ ｉ＝１
ｎ
ｋ
，ｆ （Ｅ （ξ））＝
ｂ ｉ ＝ １ ｋ－ １ ｉ
#ｂ ｋ－ １ ｉ
（ｅｘ１＋ｅｘ２＋∧＋ｅｘｎ）。
ｎ
例 ２ 设 ａｉ＞ ０，ｂｉ＞ ０，ｋ＞ １ 试证明：
１
ｋ－ １
$ ｎ
ｎ
# #ｋ
ａｉｂｉ≤
ａｉ
ｋ
%$ｎ
ｋ
# ·
ｂ ｋ－ １ ｉ
%ｋ
ｉ＝１
ｉ＝１
ｉ＝１
ｋ
ｋ－ ２
证明： 设 ｆ（ｘ）＝ｘ （ｘ＞ ０）， 则由 ｆ”（ｘ）＝ｋ·（ｋ－ １）ｘ ＞ ０ 可知 ｆ（ｘ）为
ｋ
ｋ
%
$ｋ＋１
# ＝ｆ
ｐ（ｘｉ）ｘｉ
ｉ＝１
%＝ｆ（Ｅ（ξ））成立
综合上述可知， 结论成立。
利用延森（ Ｊｅｎｓｅｎ） 不等式可以证明 数 学 上 一 系 列 重 要 的 基 本
不等式， 现举例如下：
ｘ１＋ｘ２＋∧＋ｘｎ
例 １ 证明： ｅ ｎ ≤ １ （ｅｘ１＋ｅｘ２＋∧＋ｅｘｎ） ｎ
ｘ
证明： 设 ｆ（ｘ）＝ｅ ， 由 ｆ”（ｘ）＞ ０ 可知 ｆ（ｘ）为凸函数。
ｉ
ｋ ＝
１
１－
ｐ（ｘｉ） ｐ（ｘｋ＋１）
ｆ（ｘｉ）＋ｐ（ｘｋ＋１）ｆ（ｘｋ＋１）
$# ≥（ １－ ｐ（ｘｋ＋１））ｆ
ｉ
ｋ ＝
１
ｐ（ｘｉ） １－ ｐ（ｘｋ＋１）
ｘｉ
%＋ｐ （ｘｋ＋１ ）ｆ（ｘ
ｋ＋１）
$ # ≥ｆ
（１－ ｐ（ｘｋ＋１））
ｉ
ｋ ＝
１
ｐ（ｘｉ） １－ ｐ（ｘｋ＋１）
ｘｉ＋ｐ（ｘｋ＋１）ｘｋ＋１
２００８．０３ （ 上旬刊）
理工科研
Ｊ ｅ ｎ ｓ ｅ ｎ 不等式在数学上的应用
□ 刘小琼 刘新乐
（ 河南理工大学数学与信息科学学院 河南·焦作 ４５４０００）
摘 要 本文主要是利用延森不等式证明了数学上的一些重要不等式。
关键词 凸函数 随机变量 延森不等式 数学不等式
中图分类号： Ｏ１２４
文献标识码： Ａ