Jensen不等式在数学上的应用
jensen不等式证明均值不等式
Jensen不等式是数学中的一个重要不等式，它描述了凸函数的性质，并应用于众多领域，如概率论、统计学和信息论等。
Jensen不等式在均值不等式中具有重要作用。
本文将从Jensen不等式的数学定义入手，展开对其在均值不等式中的证明，并讨论其在实际问题中的应用。
一、Jensen不等式的定义1.1 凸函数的定义凸函数是指对于定义域内的任意两点，连接这两点的线段位于函数图像的上方。
具体而言，若对于定义域内的任意两点x1和x2，以及任意0≤λ≤1，有f(λx1 + (1-λ)x2) ≤ λf(x1) + (1-λ)f(x2)，则函数f(x)为凸函数。
1.2 Jensen不等式的表述设f(x)为凸函数，X为随机变量，则有E[f(X)] ≥ f(E[X])，其中E[·]表示随机变量的期望值。
此即Jensen不等式的常见表述形式。
二、Jensen不等式在均值不等式中的应用2.1 均值不等式的概念均值不等式是指描述一组数的平均值与其它某些特定数之间的大小关系的不等式。
常见的均值不等式包括算术平均数-几何平均数不等式、柯西-施瓦兹不等式等。
2.2 Jensen不等式与均值不等式的关系通过Jensen不等式，我们可以推导出许多均值不等式。
具体而言，对于凸函数f(x)和非负权重λi（∑λi=1），有f(∑λiXi) ≤ ∑λif(Xi)，其中Xi为实数。
这一不等式即表明了均值不等式的一种形式。
三、Jensen不等式在实际问题中的应用3.1 概率论中的应用在概率论中，Jensen不等式常常用于证明随机变量的期望值与函数的值之间的大小关系。
对于凸函数f(x)和随机变量X，有E[f(X)] ≥f(E[X])。
这一性质在风险管理、金融工程等领域有重要应用。
3.2 统计学中的应用在统计学中，Jensen不等式被广泛应用于证明估计量的不偏性、有效性等性质。
通过Jensen不等式，可以建立统计量与其期望值之间的关系，从而为统计推断提供理论基础。
利用詹森不等式(Jensen)证明不等式问题
利用詹森不等式（Jensen）证明不等式问题作者：吴方跃来源：《速读·上旬》2016年第09期摘要：研究不等式的方法可谓众多，本文利用詹森（Jensen）不等式这个高等数学中比较重要的证明不等式方法着手.首先简明扼要地介绍詹森（Jensen）不等式定义，证明詹森（Jensen）不等式和用詹森（Jensen）不等式定义如何解决不等式证明问题，由于詹森（Jensen）不等式的重要性，文章中将詹森（Jensen）不等式作为基础不等式，推出高等数学中其它几个常见且极其重要的不等式。
关键词：不等式；詹森不等式不等式是高等数学中非常重要的课题之一，在高等数学中占有极其重要的地位。
因此，对不等式作一些必要的研究具有重大的意义，同时，也为我们如何证明不等式问题提供了必要的理论指导。
研究不等式问题，方法众多，本文将着重以高等数学中詹森（Jensen）不等式为理论基础，探讨如何解决不等式问题。
1Jensen不等式定理1若f为[a，b]上凸函数（凹函数），则对任意[xi∈[a，b]]，[λi>0（i=1，2…，n）]，[i=1n=1]有[fi=1nλixi≤（或≥）i=1nλif（xi）]。
证明：在这里只证明f为凸函数的情况.下面让我们应用数学归纳法来证明。
当n=2时，则由凸函数定义知命题显然成立。
设n=k时命题成立，即对任意[x1，x2…xk∈[a，b]]及[ai>0]，[i=1，2…，k，i=1kai=1]都有[f（i=1kaixi）≤i=1kaif（xi）]现设[x1，x2…xk，xk+1∈[a，b]]及[λi>0（i=1，2…，k+1）]，[i=1k+1λi=1]令[ai=λiλk+1]，[i=1，2…，k]，则[i=1kai=1]，由数学归纳假设可推得[f（λ1x1+λ2x2+…+λkxk+λk+1xk+1）]=[f[（1-λk+1）λ1x1+λ2x2+…+λkxk1-λk+1+λk+1xk+1]]≤[（1-λk+1）fa1x1+a2x2+…+akxk+λk+1f（xk+1）]≤[（1-λk+1）a1fx1+a2fx2+…+akfxk+λk+1f（xk+1）]=[（1-λk+1）λ11-λk+1fx1+λ21-λk+1fx2+…+λk1-λk+1fxk+λk+1f（xk+1）] =[i=1k+1λifxi]故命题成立。
凸函数与琴生不等式
2(x y)( y z)
(x y)( y z)
2 x yz
同理 sin B 2
y
xz xz
， sin
C 2
xy z xy
由 y sin x 为 (0, ) 上的上凸函数，得
6
sin
A 2
sin
B 2
sin
C 2
sin
A
BC
sin
3
6
6
即 yz xz xy sin A sin B sin C 3sin 3
只须构造 (0,) 上的上凸函数 y ln x ，则有
2
ln a1 ln a2 ln an ln(a1 a2 an )
n
n
ln n
a1a2 an
ln( a1 a2
an ) n
n
a1a2 an
( a1 a2
an ) （证毕） n
例
4. xi
(0,
2
), (i
1,2n)
cos x1 cosx2 cos xn (cos
构造 (0, ) 上的辅助函数 y
x1 ln
求证：
x2 n
cos x
xn
)
n
2
函数 y ln cos x 在 (0, ) 上是否是凸函数，可看其二阶导数：y sec2x 0
2
所以， y ln cos x 在 (0, ) 上是上凸函数， 2
22
提示：构造 R+上的辅助函数 f (x) x ，则
tan B tan C tan C tan A tan A tan B
22
22
22
3 1 tan B tan C tan C tan A tan A tan B
数学分析中几类证明不等式的方法
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１５２㊀数学分析中几类证明不等式的方法数学分析中几类证明不等式的方法Һ郭㊀鑫㊀（天津师范大学，天津㊀３００２２２）㊀㊀ʌ摘要ɔ在学习数学分析时我们常会见到一些不等式，当然，其中有一些著名的不等式无论是在解题还是在实际应用中都有重要的作用．笔者认为解决这些不等式的证明应该先找到对应的数学分析知识点，所以，本文中结合数学分析的知识点列举了四种常用的证明不等式的思路．本文中在每一种方法后附加了例题及解答，一些题目是选择了教材上的典型例题，还有一些是考研题目及其改编．不等式的证明往往有多种证明方法，还望读者多思考出更多不同的证明方法．ʌ关键词ɔ不等式；数学分析；积分；证明为了加深对数学分析中不等式证明的理解和掌握，本文在数学分析的基础上研究并整理了几种证明不等式的方法，也节选了典型例题辅助讲解．本文属于综述型论文，归纳总结了前人的理论成果并加上自己的理解与补充，希望本文可以帮助读者对于不等式问题有初步的解题思路，并借此探索更多的关于不等式的证明方法．一㊁几个著名不等式（一）Ｊｅｎｓｅｎ不等式如果ｆ（ｘ）为［ａ，ｂ］上的凸函数，那么对任何ｘｉɪ［ａ，ｂ］，λｉ＞０（ｉ＝１，２， ，ｎ），ðｎｉ＝１λｉ＝１有ｆ（ðｎｉ＝１λｉｘｉ）ɤðｎｉ＝１λｉｆｘｉ()．证明㊀当ｎ＝１时，结论显然成立；当ｎ＝２时，由凸函数的定义可以知道ｆ（λ１ｘ１＋λ２ｘ２）ɤλ１ｆ（ｘ１）＋λ２ｆ（ｘ２）成立．假设ｎ－１时命题成立，则对任意ｘ１，ｘ２， ，ｘｎɪ［ａ，ｂ］，以及λｉ＞０，ðｎｉ＝１λｉ＝１，令μｉ＝λｉ１－λｎ＞０（ｉ＝１，２， ，ｎ－１），可以得到μ１＋μ２＋ ＋μｎ－１＝１，由归纳假设得ｆðｎ－１ｉ＝１μｉｘｉ()ɤðｎ－１ｉ＝１μｉｆ（ｘｉ），所以ðｎｉ＝１λｉｘｉ()＝ｆ(（１－λｎ）㊃λ１ｘ１＋λ２ｘ２＋ ＋λｎ－１ｘｎ－１１－λｎ＋λｎｘｎ)ɤ（１－λｎ）㊃ｆλ１ｘ１＋λ２ｘ２＋ ＋λｎ－１ｘｎ－１１－λｎæèçöø÷＋λｎｆ（ｘｎ）ɤ（１－λｎ）㊃［μ１ｆ（ｘ１）＋μ２ｆ（ｘ２）＋ ＋μｎ－１ｆ（ｘｎ－１）］＋λｎｆ（ｘｎ）＝λ１ｆ（ｘ１）＋λ２ｆ（ｘ２）＋ ＋λｎｆ（ｘｎ）．由数学归纳法可知原命题成立．例１㊀求证：（ａｂｃ）ａ＋ｂ＋ｃ３ɤａａｂｂｃｃ，其中ａ，ｂ，ｃ均为正数．提示㊀令ｆ（ｘ）＝ｘｌｎｘ，运用Ｊｅｎｓｅｎ不等式即证．（二）平均值不等式任意ａｉ＞０（ｉ＝１，２， ，ｎ），有ｎ１ａ１＋１ａ２＋ ＋１ａｎɤｎａ１ ａｎɤａ１＋ａ２＋ ＋ａｎｎ．证明㊀设ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ，则ｆᵡ（ｘ）＜０，从而ｆ（ｘ）为凹函数，所以由Ｊｅｎｓｅｎ不等式可得ｆａ１＋ａ２＋ ＋ａｎｎæèçöø÷ȡｆ（ａ１）＋ｆ（ａ２）＋ ＋ｆ（ａｎ）ｎ，即ｌｎｎａ１ａ２ ａｎ＝１ｎ（ｌｎａ１＋ｌｎａ２＋ ＋ｌｎａｎ）ɤｌｎａ１＋ａ２＋ ＋ａｎｎ．因为ｆ（ｘ）为增函数，所以ｎａ１ａ２ ａｎɤａ１＋ａ２＋ ＋ａｎｎ，同理ｎ１ａ１㊃１ａ２㊃ ㊃１ａｎȡ１ａ１＋１ａ２＋ ＋１ａｎｎ，即得结论．注：此题还可运用条件极值证明．（三）Ｓｃｈｗａｒｚ不等式若ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积，则ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ()２ɤʏｂａｆ２（ｘ）ｄｘ㊃ʏｂａｇ２（ｘ）ｄｘ．证明㊀因为ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积，所以ｆ（ｘ）＋ｔｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积，从而ʏｂａ（ｆ（ｘ）＋ｔｇ（ｘ））２ｄｘ＝ʏｂａｆ２（ｘ）ｄｘ＋ʏｂａ２ｔｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＋ʏｂａｔ２ｇ２（ｘ）ｄｘȡ０，（∗）将（∗）式看作自变量ｔ的一元二次函数，则Δ＝４ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ()２－４ʏｂａｆ２（ｘ）ｄｘ㊃ʏｂａｇ２（ｘ）ｄｘɤ０，结论得证．推论㊀（柯西不等式）对任意ａｉ，ｂｉ有ðｎｉ＝１ａｉｂｉ()２ɤðｎｉ＝１ａｉ２㊃ðｎｉ＝１ｂｉ２．例２㊀若ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）都在［ａ，ｂ］上可积，则有闵可夫斯基（Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ）不等式：ʏｂａ（ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ））２ｄｘ[]１２ɤʏｂａｆ２（ｘ）ｄｘ[]１２＋ʏｂａｇ２（ｘ）ｄｘ[]１２．提示㊀不等式两边平方，化简，利用Ｓｃｈｗａｒｚ不等式．（四）Ｈａｄａｍａｒｄ不等式设ｆ（ｘ）为［ａ，ｂ］上的连续凸函数．求证：ｆａ＋ｂ２()ɤ１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘɤｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）２．提示㊀利用凸函数的性质，证明详细过程见下页．二㊁利用函数单调性与极值解决不等式问题（一）利用单调性解决不等式问题函数的单调性是较为简单直接的证明不等式的方法，对于可导函数ｆ（ｘ）可以通过ｆᶄ（ｘ）的正负判断ｆ（ｘ）的增减性，从而利用具体自变量的取值得到不等式．此类题目的关键在于构建合适的ｆ（ｘ）．（例题中涉及几类常用的构造函数的方法）㊀㊀㊀解题技巧与方法１５３㊀㊀例３㊀（若尔当不等式）设０＜ｘɤπ２，则２πɤｓｉｎｘｘ＜１．证明㊀设ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘｘ，则ｆᶄ（ｘ）＝ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘｘ２；再令ｇ（ｘ）＝ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ，则ｇᶄ（ｘ）＝－ｘｓｉｎｘ＜０，从而ｇ（ｘ）递减．又因为ｇ（０）＝０，所以ｇ（ｘ）＜０，则有ｆᶄ（ｘ）＜０，即ｆ（ｘ）递减．又因为ｌｉｍｘң０ｆ（ｘ）＝１，且ｆπ２()＝π２，所以，由ｆ（ｘ）的单调性可得２πɤｓｉｎｘｘ＜１．（二）利用极值与最值解决不等式问题对于在定义域内不单调的函数，极值和最值是解决这类函数不等式的一个突破口，构造合适的函数利用极值的定义来证明．例４㊀（利用条件极值）任意ａｉ＞０（ｉ＝１，２， ，ｎ），有ｎ１ａ１＋１ａ２＋ ＋１ａｎɤｎａ１ａ２ ａｎɤａ１＋ａ２＋ ＋ａｎｎ．证明㊀下面只证明ｎａ１ａ２ ａｎɤａ１＋ａ２＋ ＋ａｎｎ（另一不等号的证明见上一页）．设ｘ１＋ｘ２＋ ＋ｘｎ＝ａ（∗），ｆ（ｘ１，ｘ２， ，ｘｎ）＝ｘ１ｘ２ ｘｎ，则只需证在条件（∗）下ｆ（ｘ）的最大值为ａｎｎｎ．令Ｌ（ｘ１，ｘ２， ，ｘｎ，λ）＝ｘ１ｘ２ ｘｎ＋λ（ｘ１＋ｘ２＋ ＋ｘｎ－ａ），则Ｌｘｉ＝ｘ１ ｘｉ－１ｘｉ＋１ ｘｎ＋λ＝０，Ｌλ＝ｘ１＋ｘ２＋ ＋ｘｎ－ａ＝０，{解得λ＝－ｎａ（ｘ１ｘ２ ｘｎ）；ｘｉ＝ａｎ．又因为ｆ（ｘ）有上界，所以所求点为最大值点，即最大值为ａｎｎｎ，结论得证．三㊁利用微分中值定理和泰勒公式解决不等式问题（一）利用拉格朗日定理解决不等式问题拉格朗日定理可以将函数在区间端点的函数值与导函数在某一点的值联系起来，从而利用单调性或已知条件得到不等式．例５㊀求证：ｂ－ａｂ＜ｌｎｂａ＜ｂ－ａａ，其中０＜ａ＜ｂ．证明㊀原不等式等价于１ｂ＜ｌｎｂ－ｌｎａｂ－ａ＜１ａ，由拉格朗日定理，得ｌｎｂ－ｌｎａｂ－ａ＝１ξ，其中ξɪ（ａ，ｂ）．因为１ｂ＜１ξ＜１ａ，所以１ｂ＜ｌｎｂ－ｌｎａｂ－ａ＜１ａ．（二）利用柯西定理解决不等式问题对于已知两个函数的端点函数值问题可利用柯西定理转换成导数比值形式，从而化简不等式．例６㊀设ｘ＞０，求证：２ａｒｃｔａｎｘ＜３ｌｎ（１＋ｘ）．证明㊀原不等式等价于ａｒｃｔａｎｘｌｎ（１＋ｘ）＜３２；∀ｘ＞０，在［０，ｘ］上由柯西中值定理，得∃ξɪ（０，ｘ），使得ａｒｃｔａｎｘｌｎ（１＋ｘ）＝ａｒｃｔａｎｘ－ａｒｃｔａｎ０ｌｎ（１＋ｘ）－ｌｎ（１＋０）＝１＋ξ１＋ξ２，设ｆ（ｘ）＝１＋ｘ１＋ｘ２，则ｆᶄ（ｘ）＝１－２ｘ－ｘ２（１＋ｘ２）２，所以ｆ（ｘ）在ｘ＝２－１时取极大值（最大值），２＋１２＜３２，所以１＋ξ１＋ξ２＜３２，即ａｒｃｔａｎｘｌｎ（１＋ｘ）＜３２，结论得证．（三）利用泰勒公式解决不等式问题对于一些不等式中涉及高阶导数及其范围的问题，可尝试利用泰勒公式的近似展开式，而利用泰勒公式的重点在于找到一个合适的点展开．四㊁函数凹凸性（一）函数凹凸性的简单推论推论１㊀ｆ（ｘ）为凸函数的充要条件为：对于定义域上，任意ｘ１＜ｘ２＜ｘ３，则有ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１）ｘ２－ｘ１ɤｆ（ｘ３）－ｆ（ｘ１）ｘ３－ｘ１ɤｆ（ｘ３）－ｆ（ｘ２）ｘ３－ｘ２．推论２㊀（此推论及其变形适用于许多涉及一阶导数的不等式证明）可导函数为凸（凹）函数当且仅当任意ｘ１，ｘ２有ｆ（ｘ２）ȡｆ（ｘ１）＋ｆᶄ（ｘ１）（ｘ２－ｘ１）（ｆ（ｘ２）ɤｆ（ｘ１）＋ｆᶄ（ｘ１）（ｘ２－ｘ１））．推论３㊀若ｆ（ｘ）为二阶可导函数，则ｆ（ｘ）是凸函数的充分必要条件为ｆᵡ（ｘ）ȡ０．（此命题适用于涉及二阶导数的不等式证明）推论４㊀ｆ（ｘ）为［ａ，ｂ］上的凸函数，则ｆ（ｘ）ȡ２ｆａ＋ｂ２()－ｆ（ａ）－ｆ（ｂ）．（二）运用函数凹凸性证明不等式例７㊀证明Ｈａｄａｍａｒｄ不等式．证明㊀设ｘ＝（１－ｔ）ａ＋ｔｂ＝（ｂ－ａ）ｔ＋ａ，则１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ʏ１０ｆ［（１－ｔ）ａ＋ｔｂ］ｄｔ．同理可得１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ʏ１０ｆ［ｔａ＋（１－ｔ）ｂ］ｄｔ．因为ｆ（ｘ）为凸函数，所以１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ʏ１０ｆ［（１－ｔ）ａ＋ｔｂ］ｄｔɤʏ１０（１－ｔ）ｆ（ａ）＋ｔｆ（ｂ）ｄｔ＝ｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）２，且１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝１２ʏ１０ｆ［（１－ｔ）ａ＋ｔｂ］ｄｔ＋１２ʏ１０ｆ［ｔａ＋（１－ｔ）ｂ］ｄｔ＝ʏ１０１２ｆ［（１－ｔ）ａ＋ｔｂ］＋１２ｆ［ｔａ＋（１－ｔ）ｂ］ｄｔȡʏ１０ｆ[１２（１－ｔ）ａ＋ｔ２ｂ＋ｔ２ａ＋１２（１－ｔ）ｂ]ｄｔ＝ｆａ＋ｂ２()，所以ｆａ＋ｂ２()ɤ１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘɤｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）２．不等式的解法有许多，以上几种方法需要在数学分析的基础上研究不等式．在学习过程中抓住每种方法的要点并掌握相应的数学分析的基础知识才是关键．ʌ参考文献ɔ［１］华东师范大学数学系．数学分析（上册）：第４版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１０．［２］陈守信．考研数学分析总复习：精选名校真题：第５版［Ｍ］．北京：机械工业出版社，２０１８．［３］徐利治，王兴华．数学分析的方法及例题选讲：第２版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１５．［４］蒙诗德．数学分析中证明不等式的常用方法［Ｎ］．赤峰学院学报（自然科学版），２００９（０９）：２０－２２．［５］舒斯会．数学分析选讲［Ｍ］．北京：北京大学出版社，２００７．［６］林源渠，方企勤．数学分析解题指南［Ｍ］．北京：北京大学出版社，２００３．。
凹凸函数与Jensen不等式
n n Thrye凹凸函数与Jensen 不等式(Jensen Inequality )i :凹凸函数的定义设函数f (x )为定义在区间(a , b )的函数 (1)若对∀x 1，x 2 ∈ (a , b )，有: f ( x 1 + x2 ) ≥ 2f (x 1 ) + 2 f (x 2 )当且仅当x 1 = x 2时，等号成立 则称f (x )在(a , b )上为凸函数. (2)若对∀x 1，x 2 ∈ (a , b )，有: f ( x 1 + x 2 ) ≤ 2f (x 1 ) + 2 f (x 2 )当且仅当x 1 = x 2时，等号成立 则称f (x )在(a , b )上为凹函数. ii : 判定定理若f (x )在[a , b ]上连续，在(a , b )内具有一阶和二阶导数， 若在(a , b )内,(1) f ''(x ) > 0，则f (x )在[a , b ]上为凹函数 (2) f ''(x ) < 0，则f (x )在[a , b ]上为凸函数 iii : Jensen 不等式(1)若f (x )在区间I 上为凸函数，则对∀x 1 , x 2 , x 3 , , x n ∈ I1 n 1 n有不等式：f ( ∑ x i ) ≥ i =1 ∑ i =1 f (x i )当且仅当x 1 = x 2 = x 3 = = x n 时，等号成立(2)若f (x )在区间I 上为凹函数，则对∀x 1 , x 2 , x 3 , , x n ∈ I 1 n 1 n有不等式：f ( ∑ x i ) ≤ i =1 ∑ i =1 f (x i )当且仅当x 1 = x 2 = x 3 = = x n 时，等号成立n nn n n n 凹凸函数与Jensen 不等式Jensen 不等式(Jensen Inequality )推广形式的证明若f (x )在区间I 上为凸函数，求证：nn对于∀1, x 2 , x 3 , , x n ∈ I ，有不等式：f (ϕ∑ x i ) ≥ϕ∑ f (x i )证明：令t =ϕ∑ x ii =1由泰勒展开式得：i =1(x - t )2 i =1f (x 1 ) = f (t ) + f '(t )(x 1 - t ) + f ''(t )1≤ 2f (t ) + f '(t )(x 1 - t ) 从而有：ϕf (x 1 ) ≤ϕ[f (t ) + ϕf (x 2 ) ≤ϕ[f (t ) + ϕf (x 3 ) ≤ϕ[f (t ) +ϕf (x n ) ≤ϕ[f (t ) + 所以：nf '(t )(x 1 - t )] f '(t )(x 2 - t )] f '(t )(x 3 - t )]f '(t )(x n - t )]nϕ∑ f (x i) ≤ϕf (t ) + ∑ϕx if '(t ) -ϕf '(t ) ⋅ t = f (t )i =1i =1 nn所以：f (ϕ∑ x i ) ≥ϕ∑ f (x i ).......①i =1i =1当且仅当x 1 = x 2 = x 3 = = x n 时，等号成立证毕同理可证：若f (x )在区间I 上为凹函数，∀1, x 2 , x 3 , , x n ∈ I ，nn有不等式：f (ϕ∑ x i ) ≤ϕ∑ f (x i ).......②i =1i =1当ϕ= 1时，不等式①②可化为： n f ( 1 ∑ x ) ≥ 1 ∑f (x ).......n i =1 ③n i =1f ( 1 ∑ x ) ≤ 1 ∑f (x ).......i i n iini=1④ni=1不等式③④即为Jensen不等式的一般形式a b a b c a ： ， 凹凸函数与Jensen 不等式Jensen 不等式(Jensen Inequality )的应用Jensen 不等式需要先构造函数再与凹凸函数的性质结合使用，判断一个函数在(a , b )上是否为凹函数或凸函数，需要用到凹凸函数的判定定理。
不等式之母——Jensen不等式
不等式之母——Jensen不等式作者：***来源：《赤峰学院学报·自然科学版》2021年第07期摘要：Jensen不等式是一个特别重要而且应用广泛的不等式，本文展示了诸多著名不等式与Jensen不等式的内在联系。
关键词：Jensen不等式;H？觟lder不等式;Cauchy不等式;Minkowski不等式;Young不等式;Liapounov不等式中图分类号：O122.3 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2021）07-0005-041 引言Jensen不等式是一个极其重要的不等式。
它在凸分析、概率论、运筹学、物理学以及现代金融理论等众多领域都有广泛应用。
而且，尽管Jensen不等式与很多不等式形式不同，但卻存在着缜密地联系;许多著名不等式都可以统一在Jensen不等式之中。
这里将一些著名不等式与Jensen不等式的内在联系展现给大家。
参考文献：〔1〕陈宇航.从著名不等式谈数学历史[J].EduMath.2004，19（12）：85-94.〔2〕林琦焜.Cauchy-Schwarz不等式之本质与意义[J].数学传播，民89，24（01）：26-42.〔3〕Needham T. A visual explanation of Jensen's inequality[J]. American Math.1993，Monthly 100：768-771.〔4〕Hardy G H， Littlewood J E and Pólya G. Inequalities[M]. Cambridge University Press，Cambridge， UK， 1988：236-312.〔5〕夏道行，等.实变函数论与泛函分析（下册）[M].北京：高等教育出版社，1979.26-29.〔6〕周概容.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，1984.274-278.〔7〕林琦焜.凸函数，Jensen不等式与Legendre变换[J].数学传播，民84，19（04）：51-57.。
jeson inequality 积分形式
jeson inequality 积分形式
詹森不等式是以丹麦数学家约翰·詹森（Johan Jensen）的名字命名的。
它给出了积分的凸函数值和凸函数的积分值之间的关系。
其积分形式在1859年被布尼亚克夫斯基提出，而积分形式的现代证明则由施瓦兹于1888年给出。
假设$X$是一个实值随机变量，$g$是一个凸函数。
詹森不等式的积分形式可以表示为：$\int_{\Omega}g(X)\,d\mu\leq g(\int_{\Omega}Xd\mu)$，其中$\mu$是概率测度。
这个不等式表示，如果$g$是凸函数，那么$g(X)$的期望值不大于$g(\int_{\Omega}Xd\mu)$。
詹森不等式在数学、统计学和经济学等领域中都有广泛的应用。
它可以用于证明不等式、估计随机变量的期望值，以及设计优化算法等。
考研七个基本不等式公式
考研七个基本不等式公式考研数学中，不等式经常出现，而其中7个基本不等式公式更是考研必须要掌握的。
以下是这7个公式及其应用的详细介绍：1. AM-GM不等式：对于任意非负实数a1,a2,...,an，有(a1+a2++an)/n≥(a1a2...an)1/n。
这个公式可以用于证明一些题目的最小值，例如在面积一定的情况下，长方形的长和宽的乘积最大。
2. Cauchy-Schwarz不等式：设有两组实数a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn，则(a1b1+a2b2++anbn)2≤(a12+a22++a2n)(b12+b22++b2n)。
这个公式可以用于证明向量的内积的绝对值不超过向量的模长之积。
3. 乘积和差、和差的平方不等式：(1) (a+b)2≥4ab;(2) (a-b)2≥0;(3) (a+b)(a-b)≤a2+b2;(4) (a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)。
这个公式可以用于证明类似于不等式(a+b)2≥4ab的问题。
4. 三角函数的不等式：(1) sinx≤x≤tanx，其中0<x<π/2；(2) cosx≤(2/π)x，其中0<x<π/2。
这个公式可以用于证明某些三角函数的值的大小关系。
5. Schur不等式：设有非负实数a,b,c和正整数k，则有a^k(a-b)(a-c)+b^k(b-a)(b-c)+c^k(c-a)(c-b)≥0。
这个公式可以用于证明某些不等式，例如对于非负实数a,b,c有a^3+b^3+c^3+3abc≥ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)。
6. 杨辉不等式：对于任意实数a1,a2,...,an、b1,b2,...,bn，有(a1^2+b1^2)(a2^2+b2^2)...(an^2+bn^2)≥(a1a2...an+b1b2...bn)^2。
这个公式可以用于证明某些不等式，例如对于任意实数a,b,c有(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)≥8a^2b^2c^2。
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延森（ Ｊｅｎｓｅｎ） 不等式：
设函数 ｆ （ｘ），ｘ∈（ａ，ｂ） 是一个连续的凸函数， ξ 是取值于集合
ｘ＝ !ｘ１，ｘ２，∧，ｘｎ "的离散型随机变量， 则：
Ｅ（ｆ（ξ））≥ｆ（Ｅ（ξ））
证明： 我们用数学归纳法对此定理加以证明：
记 ｐ（ξ＝ｘｉ）＝ｐ（ｘｉ）（ｉ＝１，２，∧，ｎ）注意 到 ｐ（ｘ１）＋ｐ（ｘ２）＋∧＋ｐ（ｘｎ）＝１
凸函数。设 ｃｉ＝ｂｉｋ－ １ ， ｘｉ＝
ａｉ
１
并取 ｐ（ξ＝ｘｉ）＝
ｃｉ
ｎ
＝
ｂ ｋ－ １ ｉ
ｎ
ｋ
ｂ ｋ－ １ ｉ
# # ｃｉ
ｂ ｋ－ １ ｉ
ｉ＝１
ｉ＝１
ｎ
ｎ
# # 则 Ｅ （ξ）＝
ａｉ · １
ｋ
ｂ ｋ－ １ ｉ
ｎ
ｋ
ａｉｂｉ
＝ ｉ＝１
ｎ
ｋ
，ｆ （Ｅ （ξ））＝
ｂ ｉ ＝ １ ｋ－ １ ｉ
#ｂ ｋ－ １ ｉ
#ｂ ｋ－ １ ｉ
ｉ＝１
ｉ＝１
ｋ
’ｎ
*
# ( ａｉｂｉ
+
(ｉ ＝ １
ｎ
ｋ
+
# (
ｂ ｋ－ １ ｉ
+
)ｉ ＝ １
,
ｎ ’ ａｉ
# Ｅ（ｆ（ξ））＝ ｉ
＝
１
(( )
１
ｂ ｋ－ １ ｉ
ｋ
ｎ
ｋ
ｋ
* #ａ ｋ－ １
ｂｉ
++ ＝ ｎ
ｋ
ｉ ｉ＝１
ｎ
ｋ
# # , ｂ ｋ－ １ ｉ
ｂ ｋ－ １ ｉ
ｉ＝１
ｉ＝１
由 延 森 （ Ｊｅｎｓｅｎ）
不等式可得：
’ｎ
# ( ａｉｂｉ
(ｉ ＝ １
ｎ
ｋ
# ( ｂ ｋ－ １ ｉ
)ｉ ＝ １
ｋ
* + +≤ +
,
ｎ
#ｋ ａｉ
ｉ＝１
ｎ
ｋ
#ｂ ｋ－ １ ｉ ｉ＝１
# $# ｎ
即： ａｉｂｉ≤
ｎ ｋ
ａｉ
ｉ＝１
ｉ＝１
１
% $ｋ
ｎ
ｋ
# ·
ｂ ｋ－ １ ｉ
ｉ＝１
ｋ－ １
%ｋ 。
参考文献： ［１］华 东 师 范 大 学 数 学 系 ．数 学 分 析 ．北 京 ：高 等 教 育 出 版 社 ，２００３：１４８． ［２］ 姜丹． 信息 论 与 编 码 ． 合 肥 ： 中 国 科 学 技 术 大 学 出 版 社 ，２００４：２０－ ２５．
（ｅｘ１＋ｅｘ２＋∧＋ｅｘｎ）。
ｎ
例 ２ 设 ａｉ＞ ０，ｂｉ＞ ０，ｋ＞ １ 试证明：
１
ｋ－ １
$ ｎ
ｎ
# #ｋ
ａｉｂｉ≤
ａｉ
ｋ
%$ｎ
ｋ
# ·
ｂ ｋ－ １ ｉ
%ｋ
ｉ＝１
ｉ＝１
ｉ＝１
ｋ
ｋ－ ２
证明： 设 ｆ（ｘ）＝ｘ （ｘ＞ ０）， 则由 ｆ”（ｘ）＝ｋ·（ｋ－ １）ｘ ＞ ０ 可知 ｆ（ｘ）为
ｋ
ｋ
ｎ
ｎ
#ｘｉ
# 对&ｘｉ∈Ｒ
取
ｐ（ξ＝ｘｉ）＝
１ ｎ
，
则
Ｅ（ξ）＝
ｉ
＝
ｘｉ
１
１ ｎ
＝
ｉ
＝１
ｎ
，
ｎ
#ｘｉ
ｉ＝１
ｘ１＋ｘ２＋∧＋ｘｎ
ｆ（Ｅ（ξ））＝ｅ ｎ ＝ｅ ｎ ，
#ｎ
Ｅ（ｆ（ξ））＝
１
ｘｉ
ｅ＝
ｅｘ１＋ｅｘ２＋∧＋ｅｘｎ
ｉ＝１ｎ
ｎ
由 延 森（
Ｊｅｎｓｅｎ）
ｘ１＋ｘ２＋∧＋ｘｎ
不等式可得： ｅ ｎ ≤
１
１８５
ｉ
ｋ ＝
１
１－
ｐ（ｘｉ） ｐ（ｘｋ＋１）
ｆ（ｘｉ）＋ｐ（ｘｋ＋１）ｆ（ｘｋ＋１）
$# ≥（ １－ ｐ（ｘｋ＋１））ｆ
ｉ
ｋ ＝
１
ｐ（ｘｉ） １－ ｐ（ｘｋ＋１）
ｘｉ
%＋ｐ （ｘｋ＋１ ）ｆ（ｘ
ｋ＋１）
$ # ≥ｆ
（１－ ｐ（ｘｋ＋１））
ｉ
ｋ ＝
１
ｐ（ｘｉ） １－ ｐ（ｘｋ＋１）
ｘｉ＋ｐ（ｘｋ＋１）ｘｋ＋１
文章编号： １６７２－ ７８９４（ ２００８） ０３－ １８５－ ０１
凸函数： 设 ｆ（ｘ）是定义于区间（ ａ， ｂ） 上的函数， 若对任意的 ｘ１ｘ２
∈（ａ，ｂ）和 ０≤λ≤１， 有：
ｆ（λｘ１＋（１－ λ）ｘ２）≤λｆ（ｘ１）＋（１－ λ）ｆ（ｘ２）
则称 ｆ（ｘ）是区间（ ａ， ｂ） 上的凸函数。
２００８．０３ （ 上旬刊）
理工科研
Ｊ ｅ ｎ ｓ ｅ ｎ 不等式在数学上的应用
□ 刘小琼 刘新乐
（ 河南理工大学数学与信息科学学院 河南·焦作 ４５４０００）
摘 要 本文主要是利用延森不等式证明了数学上的一些重要不等式。
关键词 凸函数 随机变量 延森不等式 数学不等式
中图分类号： Ｏ１２４
文献标识码： Ａ
当 ｎ＝２ 时， Ｅ（ｆ（ξ））＝ｐ（ｘ１）ｆ（ｘ１）＋ｐ（ｘ２）ｆ（ｘ２）
≥ｆ（ｐ（ｘ１）ｘ１＋ｐ（ｘ２）ｘ２）＝ｆ（Ｅ（ξ））成 立
设当 ｎ＝ｋ 时不等式成立， 则 ｎ＝ｋ＋１ 当时：
Ｅ（ｆ（ξ））＝ｐ（ｘ１）＋ｆ（ｘ１）＋ｐ（ｘ２）ｆ（ｘ２）＋∧＋ｐ（ｘｋ＋１）ｆ（ｘｋ＋１）
# ＝（１－
ｐ（ｘｆ
ｐ（ｘｉ）ｘｉ
ｉ＝１
%＝ｆ（Ｅ（ξ））成立
综合上述可知， 结论成立。
利用延森（ Ｊｅｎｓｅｎ） 不等式可以证明 数 学 上 一 系 列 重 要 的 基 本
不等式， 现举例如下：
ｘ１＋ｘ２＋∧＋ｘｎ
例 １ 证明： ｅ ｎ ≤ １ （ｅｘ１＋ｅｘ２＋∧＋ｅｘｎ） ｎ
ｘ
证明： 设 ｆ（ｘ）＝ｅ ， 由 ｆ”（ｘ）＞ ０ 可知 ｆ（ｘ）为凸函数。