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02一元二次方程、二次函数知识复习

一元二次方程、二次函数知识复习一元二次方程、不等式与二次函数间的关系一．一元二次方程的解法方法：公式法、配方法、分解因式法二．根与系数的关系（韦达定理）已知一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=b a -，x 1x 2=c a 例1 已知关于x 的一元二次方程x m x m )23(122-=+的两个不等实根的倒数和为S ，求S 的范围.分析题中方程的一般形式为01)32(22=+-+x m x m ，因此隐含了二次项系数不为零和判别式大于零的条件，挖掘这两个条件求出m 的取值范围，就能求两根倒数和S 的范围.解：整理原方程，得依题意，有 ⎪⎩⎪⎨⎧>--=∆≠=+-+.04)32(,001)32(22222m m m x m x m解得 43<m 且0≠m . 设方程的两根为21,x x ，则 .1,23221221m x x m m x x =⋅-=+ ,3232323,043.2311212121≠->-∴≠<-=⋅+=+=m m m m m x x x x x x S 且且即 323≠>S S 且. 三．二次函数及其性质1．二次函数的基本形式：（1）一般式：f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)（2）顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a ≠0) 顶点：（h ，k ）（3）两根式：f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)( a ≠0，x 1，x 2是对应方程的两根)2．二次函数的图象：对二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)，顶点为（2b a -，244ac b a -），当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下，对称轴为直线x=2b a-。

思考：其单调性怎样？例2 已知二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴相交于点)0,6(A ，顶点B 的纵坐标是-3。

（1）求此二次函数的解析式；（2）若一次函数m kx y +=的图像与x 的轴相交于)0,(1x D ，且经过此二次函数的图像的顶点B ，当623≤≤m 时，（ⅰ）求1x 的取值范围；（ⅱ）求BOD ∆（O 为坐标原点）面积的最小值与最大值.分析：（1）由已知条件可知，抛物线的顶点坐标是（3，－3），所以可设出抛物线的顶点式，再把已知点的坐标代入解析式，即可求得。

《二次函数与一元二次方程、不等式》专题复习与训练

《2.3 二次函数与一元二次方程、不等式》专题复习与训练第1课时一元二次不等式及其解法【新课导入】1．一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2．一元二次不等式的一般形式 (1)ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)． (2)ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)． (3)ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)． (4)ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)．思考1：不等式x 2－y 2>0是一元二次不等式吗？提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．3．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．思考2：类比“方程x 2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x 2>1的解集及其含义是什么？提示：不等式x 2>1的解集为{x |x <－1或x >1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．4．三个“二次”的关系条件？提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则⎩⎨⎧a>0，1＋4a<0，解得a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R.1．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪x＞3或x＜－12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪－12≤x≤3C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪x≥3或x≤－12D．RC[3＋5x－2x2≤0⇒2x2－5x－3≥0⇒(x－3)(2x＋1)≥0⇒x≥3或x≤－12.]2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜1 C ．∅D ．RD [因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x 2－2x ＋1＞0的解集为R .]3．不等式x 2－2x －5>2x 的解集是________．{x |x >5或x <－1} [由x 2－2x －5>2x ，得x 2－4x －5>0，因为x 2－4x －5＝0的两根为－1,5，故x 2－4x －5>0的解集为{x |x <－1或x >5}．] 4．不等式－3x 2＋5x －4>0的解集为________．∅ [原不等式变形为3x 2－5x ＋4<0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以3x 2－5x ＋4＝0无解．由函数y ＝3x 2－5x ＋4的图象可知，3x 2－5x ＋4<0的解集为∅.]【合作探究】一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式： (1)2x 2＋7x ＋3>0； (2)－4x 2＋18x －814≥0； (3)－2x 2＋3x －2<0.[解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12.又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >－12或x <－3. (2)原不等式可化为⎝⎛⎭⎪⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝94. (3)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R .解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.根据图象写出不等式的解集.1．解下列不等式 (1)2x 2－3x －2>0； (2)x 2－4x ＋4>0； (3)－x 2＋2x －3<0； (4)－3x 2＋5x －2>0.[解] (1)∵Δ>0，方程2x 2－3x －2＝0的根是x 1＝－12，x 2＝2，∴不等式2x 2－3x －2>0的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－12或x >2. (2)∵Δ＝0，方程x 2－4x ＋4＝0的根是x 1＝x 2＝2， ∴不等式x 2－4x ＋4>0的解集为{}x |x ≠2. (3)原不等式可化为x 2－2x ＋3>0，由于Δ<0，方程x 2－2x ＋3＝0无解， ∴不等式－x 2＋2x －3<0的解集为R . (4)原不等式可化为3x 2－5x ＋2<0，由于Δ>0，方程3x 2－5x ＋2＝0的两根为x 1＝23，x 2＝1，∴不等式－3x 2＋5x －2>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪23<x <1.含参数的一元二次不等式的解法【例2】解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.[思路点拨] ①对于二次项的系数a 是否分a ＝0，a <0，a >0三类进行讨论？②当a ≠0时，是否还要比较两根的大小？[解] 当a ＝0时，原不等式可化为x >1. 当a ≠0时，原不等式可化为(ax －1)(x －1)<0. 当a <0时，不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，∵1a <1，∴x <1a或x >1.当a >0时，原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.若1a <1，即a >1，则1a<x <1；若1a ＝1，即a ＝1，则x ∈∅；若1a >1，即0<a <1，则1<x <1a.综上所述，当a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <1a或x >1；当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >1}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 1<x <1a ；当a ＝1时，原不等式的解集为∅；当a >1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a<x <1.解含参数的一元二次不等式的一般步骤提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．2．解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a <0)． [解] 原不等式移项得ax 2＋(a －2)x －2≥0，化简为(x ＋1)(ax －2)≥0. ∵a <0，∴(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ≤0.当－2<a <0时，2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，x ＝－1；当a <－2时，－1≤x ≤2a.综上所述，当－2<a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，解集为{x |x ＝－1}；当a <－2时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤2a . 三个“二次”的关系[探究问题]1．利用函数y ＝x 2－2x －3的图象说明当y >0、y <0、y ＝0时x 的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？提示：y ＝x 2－2x －3的图象如图所示．函数y ＝x 2－2x －3的值满足y >0时自变量x 组成的集合，亦即二次函数y ＝x 2－2x －3的图象在x 轴上方时点的横坐标x 的集合{x |x <－1或x >3}；同理，满足y <0时x 的取值集合为{x |－1<x <3}，满足y ＝0时x 的取值集合，亦即y ＝x 2－2x －3图象与x 轴交点横坐标组成的集合{－1,3}．这说明：方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)是函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y ＝0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)就转化为方程，当y >0或y <0时，就转化为一元二次不等式．2．方程x 2－2x －3＝0与不等式x 2－2x －3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？提示：方程x 2－2x －3＝0的解集为{－1,3}．不等式x 2－2x －3>0的解集为{x |x <－1或x >3}，观察发现不等式x 2－2x －3>0解集的端点值恰好是方程x 2－2x －3＝0的根．3．设一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)和ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集分别为{x |x <x 1或x >x 2}，{x |x 1<x <x 2}(x 1<x 2)，则x 1＋x 2，x 1x 2为何值？提示：一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)和ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集分别为{x |x <x 1或x >x 2}，{x |x 1<x <x 2}(x 1<x 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－ba，x 1x 2＝ca ，即不等式的解集的端点值是相应方程的根．【例3】已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．[思路点拨]由给定不等式的解集形式→确定a <0及关于a ，b ，c 的方程组→用a 表示b ，c→代入所求不等式→求解cx 2＋bx ＋a <0的解集[解] 法一：由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系可知ba ＝－5，c a＝6.由a <0知c <0，b c ＝－56，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即x 2＋b c x ＋a c >0，即x 2－56x ＋16>0，解得x <13或x >12，所以不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞12. 法二：由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以ax 2＋bx ＋c ＝a (x －2)(x －3)＝ax 2－5ax ＋6a ⇒b ＝－5a ，c ＝6a ，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即6ax 2－5ax ＋a <0⇒6a ⎝⎛⎭⎪⎫x －13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪x ＜13或x ＞12.1．(变结论)本例中的条件不变，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c＞0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：(1)根据解集来判断二次项系数的符号；(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；(3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.1．解一元二次不等式的常见方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；③由图象得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．当m<n时，若(x－m)(x－n)＞0，则可得{x|x＞n或x＜m}；若(x－m)(x－n)＜0，则可得{x|m＜x＜n}．有口诀如下：大于取两边，小于取中间．2．含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x＝x2，x1＜x2.13．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标.【课堂达标】1．思考辨析(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．( )(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．( )(3)若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，则一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x 1<x <x 2}．( )(4)不等式x 2－2x ＋3>0的解集为R .( )[提示] (1)错误．当m ＝0时，是一元一次不等式；当m ≠0时，是一元二次不等式．(2)错误．因为a >0，所以不等式ax 2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R . (3)错误．当a >0时，ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x 1<x <x 2}，否则不成立． (4)正确．因为Δ＝(－2)2－12<0，所以不等式x 2－2x ＋3>0的解集为R . [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0的解集为________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <a 或x >1a [因为a <－1，所以a (x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0⇔(x －a )·⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0.又a <－1，所以1a >a ，所以x >1a 或x <a .]3．已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－2或x >－12，则ax 2－bx ＋c >0的解集为________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x <2 [由题意，－2，－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根且a <0，故⎩⎪⎨⎪⎧－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－b a ，(－2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝c a，解得a ＝c ，b ＝52a .所以不等式ax 2－bx ＋c >0，即为2x 2－5x ＋2<0，解得12<x <2，即不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x <2.] 4．解下列不等式： (1)x (7－x )≥12； (2)x 2>2(x －1)．[解] (1)原不等式可化为x 2－7x ＋12≤0，因为方程x 2－7x ＋12＝0的两根为x 1＝3，x 2＝4，所以原不等式的解集为{x |3≤x ≤4}． (2)原不等式可以化为x 2－2x ＋2>0，因为判别式Δ＝4－8＝－4<0，方程x 2－2x ＋2＝0无实根，而抛物线y ＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R .《一元二次不等式及其解法》专题训练[合格基础练]一、选择题1．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤13 C ．∅D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝－13 D [(3x ＋1)2≤0， ∴3x ＋1＝0，∴x ＝－13.]2．若集合A ＝{x |(2x ＋1)(x －3)<0}，B ＝{x |x ∈N *，x ≤5}，则A ∩B 等于( )A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．{4,5}D ．{1,2,3,4,5}B [(2x ＋1)(x －3)<0，∴－12<x <3，又x ∈N *且x ≤5，则x ＝1,2.]3．若0<t <1，则不等式(x －t )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1t<x <t B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >1t或x <tC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <1t或x >t D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ t <x <1t D [0＜t ＜1时，t <1t ，∴解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪t <x <1t .] 4．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，a <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( )A ．{x |x >3或x <－2}B ．{x |x >2或x <－3}C ．{x |－2<x <3}D ．{x |－3<x <2}C [由题意知，－2＋3＝－b a ，－2×3＝c a，∴b ＝－a ，c ＝－6a ， ∴ax 2＋bx ＋c ＝ax 2－ax －6a >0， ∵a <0，∴x 2－x －6<0，∴(x －3)(x ＋2)<0，∴－2<x <3.]5．在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．0＜x ＜2B ．－2＜x ＜1C ．x ＜－2或x ＞1D ．－1＜x ＜2B [根据给出的定义得，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)<0，则(x ＋2)(x －1)<0，故不等式的解集是－2＜x ＜1.]二、填空题6．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．{x |－4＜x ＜1} [由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1.] 7．若关于x 的不等式－12x 2＋2x ＞mx 的解集是{x |0＜x ＜2}，则实数m 的值是________．1 [将原不等式化为12x 2＋(m －2)x ＜0，即x (x ＋2m －4)＜0，故0,2是对应方程x (x ＋2m －4)＝0的两个根，代入得m ＝1.]8．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2<0}，B ＝{x |x －a <0}，且B ⊆A ，则a 的取值范围为________．{a|a≤1}[A＝{x|3x－2－x2<0}＝{x|x2－3x＋2>0}＝{x|x<1或x>2}，B＝{x|x<a}．若B⊆A，如图，则a≤1.]三、解答题9．求下列不等式的解集：(1)x2－5x＋6>0；(2)－12x2＋3x－5>0.[解] (1)方程x2－5x＋6＝0有两个不等实数根x1＝2，x2＝3，又因为函数y＝x2－5x＋6的图象是开口向上的抛物线，且抛物线与x轴有两个交点，分别为(2,0)和(3,0)，其图象如图(1)．根据图象可得不等式的解集为{x|x>3或x<2}．(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，对于方程x2－6x＋10＝0，因为Δ＝(－6)2－40<0，所以方程无解，又因为函数y＝x2－6x＋10的图象是开口向上的抛物线，且与x轴没有交点，其图象如图(2)．根据图象可得不等式的解集为∅.10．解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0.[解] 原不等式可化为[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0，讨论a＋1与2(a－1)的大小(1)当a＋1>2(a－1)，即a<3时，x>a＋1或x<2(a－1)．(2)当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，x≠4.(3)当a＋1<2(a－1)，即a>3时，x>2(a－1)或x<a＋1，综上：当a<3时，解集为{x|x>a＋1或x<2(a－1)}，当a＝3时，解集为{x|x≠4}，当a >3时，解集为{x |x >2(a －1)或x <a ＋1}．[等级过关练]1．不等式mx 2－ax －1>0(m >0)的解集可能是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >14 B ．RC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－13<x <32 D ．∅A [因为Δ＝a 2＋4m >0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图象与x 轴有两个交点，又m >0，所以原不等式的解集不可能是B 、C 、D ，故选A.]2．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则关于x 的不等式bx 2－ax －2>0的解集为( )A ．{x |－2<x <1}B ．{x |x >2或x <－1}C ．{x |x >1或x <－2}D ．{x |x <－1或x >1}C [∵ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝－2，－b a ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1，∴bx 2－ax －2>0，即x 2＋x －2>0，解得x >1或x <－2.]3．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12≤x ≤－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是________．{x |2＜x ＜3} [由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，且a ＜0，由根与系数的关系，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得a ＝－6，b ＝5，∴不等式x 2－bx －a ＜0，即为x 2－5x ＋6＜0的解集为{x |2＜x ＜3}．]4．设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，若A ⊆{x |1≤x ≤3}，则a 的取值范围为________．－1＜a ≤115 [设y ＝x 2－2ax ＋a ＋2，因为不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，且A ⊆{x |1≤x ≤3}，所以对于方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0. 若A ＝∅，则Δ＝4a 2－4(a ＋2)＜0，即a 2－a －2＜0，解得－1＜a ＜2. 若A ≠∅，则⎩⎨⎧Δ＝4a 2－4(a ＋2)≥0，12－2a ＋a ＋2≥0，32－3×2a ＋a ＋2≥0，1≤a ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－1，a ≤3，a ≤115，1≤a ≤3，所以2≤a ≤115.综上，a 的取值范围为－1＜a ≤115.]5．已知M 是关于x 的不等式2x 2＋(3a －7)x ＋3＋a －2a 2<0的解集，且M 中的一个元素是0，求实数a 的取值范围，并用a 表示出该不等式的解集．[解] 原不等式可化为(2x －a －1)(x ＋2a －3)<0，由x ＝0适合不等式得(a ＋1)(2a －3)>0，所以a <－1或a >32.若a <－1，则－2a ＋3－a ＋12＝52(－a ＋1)>5，所以3－2a >a ＋12，此时不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a ＋12<x <3－2a ；若a >32，由－2a ＋3－a ＋12＝52(－a ＋1)<－54，所以3－2a <a ＋12，此时不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪3－2a <x <a ＋12. 综上，当a <－1时，原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12，3－2a ，当a >32时，原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫3－2a ，a ＋12.第2课时一元二次不等式的应用【新课导入】1．分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式思考1：x＋2>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？将x＋2>0变形为(x－3)(x＋2)>0，有什么好处？提示：等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式．2．(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件设二次函数y＝ax2＋bx ＋c若ax2＋bx＋c≤k恒成立⇔y max≤k若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔y min≥k3.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系．(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)．(3)解不等式(或求函数最值)．(4)回扣实际问题．思考2：解一元二次不等式应用题的关键是什么？提示：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪x－2x≤0，则A∩B等于( ) A．{x|－1≤x<0} B．{x|0<x≤1}C．{x|0≤x<2} D．{x|0≤x≤1}B[∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤2}，∴A∩B＝{x|0<x≤1}．]2．不等式x＋1x≥5的解集是________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪0<x≤14[原不等式⇔x＋1x≥5xx⇔4x－1x≤0⇔⎩⎨⎧x(4x－1)≤0，x≠0，解得0<x≤14.]3．不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．a＞4或a＜－4 [∵x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4＜0有解，∴Δ＝a2－4×1×4＞0，解得，a＞4或a＜－4.]4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是________．{x |10≤x ≤30} [设矩形高为y ，由三角形相似得：x 40＝40－y40，且x >0，y >0，x <40，y <40，xy ≥300，整理得y ＋x ＝40，将y ＝40－x 代入xy ≥300，整理得x 2－40x ＋300≤0，解得10≤x ≤30.]【合作探究】分式不等式的解法【例1】解下列不等式： (1)x －3x ＋2<0； (2)x ＋12x －3≤1. [解] (1)x －3x ＋2<0⇔(x －3)(x ＋2)<0⇔－2<x <3， ∴原不等式的解集为{x |－2<x <3}．(2)∵x ＋12x －3≤1，∴x ＋12x －3－1≤0， ∴－x ＋42x －3≤0，即x －4x －32≥0.此不等式等价于(x －4)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32≥0且x －32≠0，解得x <32或x ≥4，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32或x ≥4.1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．1．解下列不等式：(1)x ＋1x －3≥0；(2)5x ＋1x ＋1<3. [解] (1)根据商的符号法则，不等式x ＋1x －3≥0可转化成不等式组⎩⎨⎧(x ＋1)(x －3)≥0，x ≠3.解这个不等式组，可得x ≤－1或x >3. 即知原不等式的解集为{x |x ≤－1或x >3}． (2)不等式5x ＋1x ＋1<3可改写为5x ＋1x ＋1－3<0，即2(x －1)x ＋1<0. 可将这个不等式转化成2(x －1)(x ＋1)<0，解得－1<x <1.所以，原不等式的解集为{x |－1<x <1}．一元二次不等式的应用【例2】国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m 吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x 个百分点，收购量能增加2x 个百分点．试确定x 的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.[思路点拨] 将文字语言转换成数学语言：“税率降低x 个百分点”即调节后税率为(8－x )%；“收购量能增加2x 个百分点”，此时总收购量为m (1＋2x %)吨，“原计划的78%”即为2 400m ×8%×78%.[解] 设税率调低后“税收总收入”为y元．y＝2 400m(1＋2x%)·(8－x)%＝－1225m(x2＋42x－400)(0<x≤8)．依题意，得y≥2 400m×8%×78%，即－1225m(x2＋42x－400)≥2 400m×8%×78%，整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2.根据x的实际意义，知x的范围为0<x≤2.求解一元二次不等式应用问题的步骤2．某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．[解] 设花卉带的宽度为x m(0<x<600)，则中间草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m.根据题意可得(800－2x)(600－2x)≥12×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即(x－600)(x－100)≥0，所以0<x≤100或x≥600，x≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为0＜x≤100.不等式恒成立问题[探究问题]1．若函数y ＝ax 2＋2x ＋2对一切x ∈R ，f (x )>0恒成立，如何求实数a 的取值范围？提示：若a ＝0，显然y >0不能对一切x ∈R 都成立．所以a ≠0，此时只有二次函数y ＝ax 2＋2x ＋2的图象与直角坐标系中的x 轴无交点且抛物线开口向上时，才满足题意，则⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝4－8a <0，解得a >12.2．若函数y ＝x 2－ax －3对－3≤x ≤－1上恒有x 2－ax －3<0成立，如何求a 的范围？提示：要使x 2－ax －3<0在－3≤x ≤－1上恒成立，则必使函数y ＝x 2－ax －3在－3≤x ≤－1上的图象在x 轴的下方，由y 的图象可知，此时a 应满足⎩⎨⎧(－3)2＋3a －3＜0，(－1)2＋a －3＜0，即⎩⎨⎧3a ＋6<0，a －2<0，解得a <－2.故当a ＜－2时，有f (x )<0在－3≤x ≤－1上恒成立．3．若函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4对任意－3≤a ≤1时，y <0恒成立，如何求x 的取值范围？提示：由于本题中已知a 的取值范围求x ，所以我们可以把函数f (x )转化为关于自变量是a 的函数，求参数x 的取值问题，则令y ＝2x ·a ＋x 2－4x ＋4.要使对任意－3≤a ≤1，y <0恒成立，只需满足⎩⎨⎧2x ＋x 2－4x ＋4＜0(－3)×2x ＋x 2－4x ＋4＜0，即⎩⎨⎧x 2－2x ＋4<0，x 2－10x ＋4<0.因为x 2－2x ＋4<0的解集是空集，所以不存在实数x ，使函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4对任意－3≤a ≤1，y <0恒成立．【例3】已知y ＝x 2＋ax ＋3－a ，若－2≤x ≤2，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，求a 的取值范围．[思路点拨] 对于含参数的函数在某一范围上的函数值恒大于等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解．[解] 设函数y＝x2＋ax＋3－a在－2≤x≤2时的最小值为关于a的一次函数，设为g(a)，则(1)当对称轴x＝－a2<－2，即a>4时，g(a)＝(－2)2＋(－2)a＋3－a＝7－3a≥0，解得a≤73，与a>4矛盾，不符合题意．(2)当－2≤－a2≤2，即－4≤a≤4时，g(a)＝3－a－a24≥0，解得－6≤a≤2，此时－4≤a≤2.(3)当－a2>2，即a<－4时，g(a)＝22＋2a＋3－a＝7＋a≥0，解得a≥－7，此时－7≤a<－4.综上，a的取值范围为－7≤a≤2.1．(变结论)本例条件不变，若y＝x2＋ax＋3－a≥2恒成立，求a的取值范1．不等式ax 2＋bx ＋c >0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a ＝0时，b ＝0，c >0；当a ≠0时，⎩⎨⎧ a >0，Δ<0.2．不等式ax 2＋bx ＋c <0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a ＝0时，b ＝0，c <0；当a ≠0时，⎩⎨⎧a <0，Δ<0.3．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．当不等式含有等号时，分母不为零．2．对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然，这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到以下简单结论：(1)若f (x )有最大值f (x )max ，则a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；(2)若f (x )有最小值f (x )min ，则a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .3．在某集合A 中恒成立问题设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)若ax 2＋bx ＋c ＞0在集合A 中恒成立，则集合A 是不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的取值(范围).【课堂达标】 1．思考辨析(1)不等式1x>1的解集为x <1.( )(2)求解m >ax 2＋bx ＋c (a ＜0)恒成立时，可转化为求解y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小值，从而求出m 的范围．( )[提示] (1)1x >1⇒1x －1>0⇒x －1x<0⇒{x |0<x <1}．故(1)错．(2)m >ax 2＋bx ＋c (a ＜0)恒成立转化为m >y max ，故(2)错． [答案] (1)× (2)×2．不等式(x ＋1)(x ＋2)2(x ＋3)x ＋4>0的解集为________．{x |－4<x <－3或x >－1} [原式可转化为(x ＋1)(x ＋2)2(x ＋3)(x ＋4)>0，根据数轴穿根法，解集为－4<x <－3或x >－1.]3．对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4＜0恒成立，则实数a 的取值范围是________．－2＜a ≤2 [当a －2＝0，即a ＝2时，－4＜0恒成立；当a －2≠0，即a ≠2时，则有⎩⎨⎧a －2＜0，Δ＝[－2(a －2)]2－4×(a －2)×(－4)＜0，解得－2＜a ＜2.综上，实数a 的取值范围是－2＜a ≤2.]4．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？[解] 设每盏台灯售价x 元，则x ≥15，并且日销售收入为x [30－2(x －15)]，由题意知，当x ≥15时，有x [30－2(x －15)]>400，解得：15≤x <20.所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为15≤x ＜20.《一元二次不等式的应用》专题训练[合格基础练]一、选择题 1．不等式1＋x1－x≥0的解集为( ) A ．{x |－1<x ≤1} B ．{x |－1≤x <1} C ．{x |－1≤x ≤1}D ．{x |－1<x <1}B [原不等式⇔⎩⎨⎧(x ＋1)(x －1)≤0，x －1≠0，∴－1≤x <1.]2．不等式(x －2)2(x －3)x ＋1<0的解集为( )A ．{x |－1<x <2或2<x <3}B ．{x |1<x <3}C ．{x |2<x <3}D ．{x |－1<x <2}A [原不等式⇔⎩⎨⎧(x ＋1)(x －3)<0，x －2≠0，∴－1<x <3且x ≠2.] 3．不等式组⎩⎨⎧x －1>a 2，x －4<2a 有解，则实数a 的取值范围是( )A ．－1＜a ＜3B ．a ＜－1或a ＞3C ．－3＜a ＜1D ．a ＜－3或a ＞1A [由题意得，a 2＋1<x <4＋2a . ∴只须4＋2a >a 2＋1，即a 2－2a －3<0，∴－1<a <3.]4．二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为全体实数的条件是( ) A.⎩⎨⎧ a >0Δ>0B.⎩⎨⎧ a >0Δ<0C.⎩⎨⎧a <0Δ>0D.⎩⎨⎧a <0Δ<0D [二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为全体实数等价于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象全部在x 轴下方，需要开口向下，且与x 轴无交点，故需要⎩⎨⎧a <0Δ<0.]5．在R 上定义运算⊙：A ⊙B ＝A (1－B )，若不等式(x －a )⊙(x ＋a )<1对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．－1<a <1B ．0<a <2C ．－12<a <32D ．－32<a <12C [∵(x －a )⊙(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )， ∴不等式(x －a )⊙(x ＋a )<1，即(x －a )(1－x －a )<1对任意实数x 恒成立，即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 恒成立，所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0，解得－12<a <32，故选C.]二、填空题6．当1＜x ＜2时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________．m ≤－5 [设y ＝x 2＋mx ＋4，要使1＜x ＜2时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立．则有⎩⎨⎧1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0，解得m ≤－5.]7．若0＜a ＜1，则不等式(a －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0的解集是________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a ＜x ＜1a [原不等式为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，由0＜a ＜1，得a ＜1a ，∴a ＜x ＜1a.]8．某地每年销售木材约20万m 3，每立方米价格为2 400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t %征收木材税，这样每年的木材销售量减少52t 万m 3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t 的取值范围是________．3≤t ≤5 [设按销售收入的t %征收木材税时，税金收入为y 万元，则y ＝2 400×⎝⎛⎭⎪⎫20－52t ×t %＝60(8t －t 2)．令y ≥900，即60(8t －t 2)≥900，解得3≤t ≤5.] 三、解答题9．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R?[解] (1)由题意知1－a <0，且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a <0，41－a＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3.∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0，即为2x 2－x －3>0，解得x <－1或x >32，∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >32. (2)ax 2＋bx ＋3≥0，即3x 2＋bx ＋3≥0，若此不等式解集为R ，则Δ＝b 2－4×3×3≤0， ∴－6≤b ≤6.10．某地区上年度电价为0.8元/kw·h，年用电量为a kw·h.本年度计划将电价降低到0.55元/kw·h 至0.75元/kw·h 之间，而用户期望电价为0.4元/kw·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k )．该地区电力的成本价为0.3元/kw·h.(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式； (2)设k ＝0.2a ，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?[解] (1)设下调后的电价为x 元/千瓦时，依题意知，用电量增至k x －0.4＋a ，电力部门的收益为y ＝⎝⎛⎭⎪⎫k x －0.4＋a (x －0.3)(0.55≤x ≤0.75)．(2)依题意，有⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎪⎫0.2a x －0.4＋a (x －0.3)≥[a ×(0.8－0.3)](1＋20%)，0.55≤x ≤0.75.整理，得⎩⎨⎧x 2－1.1x ＋0.3≥0，0.55≤x ≤0.75.解此不等式，得0.60≤x ≤0.75.∴当电价最低定为0.60元/千瓦时时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.[等级过关练]1．下列选项中，使不等式x <1x<x 2成立的x 的取值范围是( )A ．x ＜－1B ．－1＜x ＜0C ．0＜x ＜1D ．x ＞1A [法一：取x ＝－2，知符合x <1x<x 2，即－2是此不等式的解集中的一个元素，所以可排除选项B ，C ，D.法二：由题知，不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x 2<0，即(x 2－1)(x 3－1)x 2<0，从而(x －1)2(x ＋1)(x 2＋x ＋1)x 2<0，解得x <－1，选A.]2．若不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( ) A ．－3＜k ＜0B ．－3≤k ＜0C ．－3≤k ≤0D ．－3＜k ≤0D [当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则⎩⎨⎧ k ＜0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38＜0，解得－3＜k ＜0. 综上，满足不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是－3＜k ≤0.]3．不等式|x (x －2)|＞x (x －2)的解集是________．{x |0＜x ＜2} [不等式|x (x －2)|＞x (x －2)的解集即x (x －2)＜0的解集，解得0＜x ＜2，故不等式的解集为{x |0＜x ＜2}．]4．不等式x 2＋8y 2≥λy (x ＋y )对于任意的x ，y ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围为________．－8≤λ≤4 [因为x 2＋8y 2≥λy (x ＋y )对于任意的x ，y ∈R 恒成立，所以x 2＋8y 2－λy (x ＋y )≥0对于任意的x ，y ∈R 恒成立，即x 2－λyx ＋(8－λ)y 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2y 2＋4(λ－8)y 2＝y 2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.]5．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，且不等式ax 2＋bx ＋c ＞－2x 的解集为{x |1＜x ＜3}．(1)若方程ax 2＋bx ＋c ＋6a ＝0有两个相等的实根，求y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数式；(2)若y ＝ax 2＋bx ＋c 的最大值为正数，求a 的取值范围．[解] (1)∵ax 2＋bx ＋c ＋2x ＞0的解集为(1,3)，∴ax 2＋(b ＋2)x ＋c ＝a (x －1)(x －3)且a ＜0，ax 2＋bx ＋c ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .①又∵ax 2＋bx ＋c ＋6a ＝0化简为ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0，有两个相等的实根，∴Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ×9a ＝0，即5a 2－4a －1＝0，解得a ＝－15或a ＝1(舍去)．将a ＝－15代入①得y ＝－15x 2－65x －35. (2)由y ＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋2a a 2－a 2＋4a ＋1a 及a ＜0，可得y 的最大值为－a 2＋4a ＋1a ，由⎩⎨⎧ －a 2＋4a ＋1a ＞0，a ＜0解得a ＜－2－3或－2＋3＜a ＜0，故当y 的最大值为正数时，实数a 的取值范围是a ＜－2－3或－2＋3＜a ＜0.。

二次函数与一元二次方程(知识点考点)-九年级数学上册知识点考点(解析版)

二次函数与一元二次方程（知识点考点一站到底）知识点☀笔记知识点一利用判别式判断抛物线与x 轴的交点个数判别式 Δ＝b 2－ 4ac二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)图象图象与x 轴的交点个数根的情况Δ>0a >0与x 轴有 2个交点有两个不相等的实数根a <0Δ＝0a >0与x 轴有 1个交点有两个相等的实数根a <0Δ<0a >00个交点没有实数根a <0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标，就是对应方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根．考点☀梳理解题指导：①确定一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＋k ＝0的根的情况，可以利用二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与y ＝－k 的图象的交点情况进行判断．②用图象法求一元二次方程的近似根的步骤：(1)画出函数的图象，并由图象确定方程根的个数； (2)由图象交点的位置确定交点横坐标的范围； (3)估计方程的近似根．考点1：二次函数与一元二次方程的关系必备知识点：①二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标，就是对应方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根．题型1 图形法确定一元二次方程的近似根例1．（2022·全国·九年级专题练习）下表是若干组二次函数25y x x c =-+的自变量x 与函数值y 的对应值： x …1.31.41.51.61.7…y … 0.36 0.13 ﹣0.08 ﹣0.27 ﹣0.44 … 那么方程x 2﹣5x +c ＝0的一个近似根（精确到0.1）是（）A ．3.4 B ．3.5 C ．3.6 D ．3.7【答案】B【分析】观察表格可得-0.08更接近于0，得到方程的一个近似根（精确到0.1）是1.5，再由25y x x c =-+的对称轴为x =52得到方程250x x c -+=的另一个近似根（精确到0.1）是3.5【详解】解：∵二次函数25y x x c =-+， ∵对称轴为直线x ＝52，观察表格得：方程250x x c -+=的一个近似根（精确到0.1）是1.5， ∵另一个近似根m 满足 1.52m +＝52， ∵m ＝3.5，故选：B.【点睛】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．＝ax 2+bx +c 的图象，并求得一个近似根为x ＝﹣4.3，则方程的另一个近似根为（）（精确到0.1）A ．x ＝4.3B ．x ＝3.3C ．x ＝2.3D ．x ＝1.3【答案】C【分析】根据抛物线与x 轴的一个交点为（﹣4.3，0），又抛物线的对称轴为：x ＝﹣1，即可求解．【详解】解：∵抛物线与x 轴的一个交点为（﹣4.3，0），又抛物线的对称轴为：x ＝﹣1， ∵另一个交点坐标为：（2.3，0），则方程的另一个近似根为x ＝2.3，故选：C ．【点睛】本题考查了根据二次函数图象求方程的近似根，掌握抛物线的对称性是解题的关键．练习1．（2022·全国·九年级专题练习）根据表格中二次函数y ＝ax 2+bx +c 的自变量x 与函数值y 的对应值，可以判断方程 ax 2+bx +c ＝0的一个解x 的范围是（）x 00.5 1 1.5 2 y ＝ax 2+bx +c 1-0.5-13.57A ．0＜x ＜0.5B ．0.5＜x ＜1C ．1＜x ＜1.5D ．1.5＜x ＜2【答案】B【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．【详解】解：观察表格可知：当x =0.5时，y =-0.5；当x =1时，y =1， ∵方程ax 2+bx +c =0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的范围是0.5＜x ＜1．故选：B ．【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y 由正变为负时，自变量的取值即可．练习2．（2022.浙江湖州.九年级期末）在二次函数y ＝ax 2+bx +c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表，则方程ax 2+bx +c ＝0的一个解x 的范围是（） x (1)1.11.2 1.3 1.4 … y …-1-0.490.040.591.16…A ．1＜x ＜1.1B ．1.1＜x ＜1.2C ．1.2＜x ＜1.3D ．1.3＜x ＜1.4【答案】B【分析】根据表格中自变量与函数的值的变化情况得出当y =0时相应的自变量的取值范围即可．【详解】由表格中数据可知，当x ＝1.1时，y ＝－0.49. 当x ＝1.2时，y ＝0.04于是可得，当y ＝0时，相应的自变量x 的取值范围为1.1＜x ＜1.2 故选B【点睛】本题考查了用图像法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y 由正变为负时自变量的取值即可．练习2．（2022·全国·九年级课时练习）如表，是二次函数()y f x =的自变量x 与函数值y 的几组对应值．那么方程()0f x =的一个近似解是（）x 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y -1.49-1-0.490.040.591.16A ．1B ．1.1C ．1.2D ．1.3【答案】C【分析】由表格可得抛物线与x 轴的一个交点在(1.1,0)和(1.2,0)之间且距离(1.2,0)较近，进而求解．【详解】解：由表格可得 1.1x =时，0y <， 1.2x =时，0y >，()0f x ∴=的一个解在1.1与1.2之间， |0.49|0.04>，()0f x ∴=的一个近似解是1.2，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数与方程的关系．练习4．（2022·江苏·九年级专题练习）观察下列表格，估计一元二次方程2350x x +-=的正数解在（）x－1 0 1 2 3 425x x +- －7 －5 －1 5 13 23A ．－1和0之间B ．0和1之间C ．1和2之间D ．2和3之间【答案】C【分析】令y =x 2＋3x －5根据x =﹣1和x =5时的函数值，即可得到答案．【详解】解：令y =x 2＋3x －5，当1x =时，10y =-<，当2x =时，50y =>，∴x 2＋3x －5=0的一个正数x 的取值范围为1＜x ＜2，故选C ．【点睛】本题考查二次函数的与坐标轴的交点问题，掌握二次函数的性质是解题关键．例1．（2022·吉林省实验中学九年级阶段练习）抛物线253y x x =-+-与y 轴的交点坐标是（） A ．()0,3 B ．()0,3-C ．()0,5-D ．()0,5【答案】B【分析】把x ＝0代入253y x x =-+-求得y 的值，即可得到答案．【详解】解：∵当x ＝0时，253y x x =-+-＝﹣3， ∵抛物线253y x x =-+-与y 轴的交点坐标是（0，﹣3）．故选：B例2．（2022·全国·九年级专题练习）已知二次函数y ＝x 2﹣6x +5．函数图象与x 轴交点坐标为_____，与y 轴的交点坐标为__________；【答案】（5，0），（1，0）（0，5）【分析】利用y =0解方程得到图象与轴的交点，利用x =0求图象与y 轴的交点即可．【详解】把y ＝0代入y ＝x 2﹣6x +5得0＝x 2﹣6x +5，解得x 1＝5，x 2＝1，∵抛物线与x 轴交点坐标为（5，0），（1，0），把x ＝0代入y ＝x 2﹣6x +5得y ＝5， ∵抛物线与y 轴交点坐标为（0，5），故答案为：（5，0），（1，0）；（0，5）．【点睛】此题考查了二次函数图象与坐标轴的交点坐标，解一元二次方程，正确掌握计算方法是解题的关键．练习1．（2021·江苏·南通市八一中学九年级阶段练习）抛物线y ＝23x +4x +2与x 轴的交点个数是_____．【答案】0【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．【详解】解：∵Δ=24-4×3×2=-8＜0， ∵抛物线与x 轴没有交点．故答案为：0．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，解题关键是把求二次函数y =2ax +bx +c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程的根的判别式的应用进行解决．练习2．（2022·浙江温州·九年级期中）已知二次函数1y x k =--+的图象过点0,3．(1)求该二次函数的表达式．(2)求该二次函数图象与x 轴的交点坐标．【答案】(1)()214y x =--+ (2)()1,0-，()3,0【分析】（1）把点()0,3代入函数解析式，求出k 的值即可得到函数表达式；（2）取y ＝0，得到()2140x --+=，求出x 的值，即可得到答案．（1）解：把()0,3代入()21y x k =--+得：()2013k --+=，解得：4k =，∵该二次函数的表达式是()214y x =--+；（2）当0y =时，()2140x --+=，解得：11x =-或23x =，∵该二次函数图象与x 轴的交点坐标是()1,0-，()3,0．【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数的表达式、二次函数图象与x 轴的交点等知识，熟练掌握方法是解题的关键．练习3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知二次函数223y ax x ++＝的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B ，与y 轴交于点C .(1)求二次函数的解析式和点B 的坐标； (2)直接写出y 的最大值为 .【答案】(1)2y x 2x 3=-++；B （3，0）； (2)4【分析】（1）运用待定系数法即可求得二次函数的解析式，令y ＝0，解一元二次方程即可求得点B 的坐标；（2）运用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可得出答案．（1）∵抛物线223y ax x ++＝经过点A （﹣1，0）， ∵a ﹣2+3＝0，解得：a ＝﹣1，∵二次函数的解析式为2y x 2x 3=-++，令y ＝0，得2230x x -++=，解得：13x =，21x =- ∵B （3，0）；（2）∵()222314y x x x =-++=--+， ∵当x ＝1时，4y =最大值．故答案为：4．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，抛物线与x 轴交点坐标，二次函数最值等，难度较小，是常见的基础题．练习4．（2021·江西上饶·九年级阶段练习）如图，抛物线23y ax bx ++＝（a ≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （﹣3，0），与y 轴交于点C ，连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，顶点为点D ．(1)求抛物线的解析式； (2)求∵BOC 的面积．【答案】(1)223y x x --+＝ (2)92【分析】（1）根据抛物线23y ax bx ++＝（a ≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （﹣3，0），即可得到关于a 、b 的方程，从而可以求得a 、b 的值，然后即可写出抛物线的解析式；（2）根据（1）中抛物线的解析式，可以写出点C 的坐标，然后再根据点B 的坐标，即可得到OC 和OB 的长，再根据三角形面积公式，即可求得∵BOC 的面积．（1）解：∵抛物线23y ax bx ++＝（a ≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （﹣3，0），∵309330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩，∵抛物线的解析式为223y x x --+＝．（2）解：由（1）知，223y x x --+＝，∵点C 的坐标为（0，3）， ∵OC ＝3，∵点B 的坐标为（﹣3，0）， ∵OB ＝3， ∵∵BOC ＝90°， ∵∵BOC 的面积是2OB OC ⋅＝33922⨯=．【点睛】本题主要考查抛物线与x 轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、三角形的面积，解答本题的关键是明确二次函数的性质，利用数形结合的思想解答．例1．（2022·福建省长汀县第二中学九年级阶段练习）定义：min{a ，b }＝(),().a a b b a b ⎧≤⎨>⎩若函数y ＝min{x ＋1，223x x -++ }，则该函数的最大值为___________.【答案】3【分析】根据定义画出函数图象，设直线y =x +1，抛物线2y x 2x 3=-++，联立直线与抛物线方程得抛物线与直线交点坐标，结合图象求解．【详解】解：依题意，设直线y =x +1，抛物线2y x 2x 3=-++，联立直线与抛物线方程得2123y x y x x =+⎧⎨=-++⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩或10x y =-⎧⎨=⎩，∵直线与抛物线交点坐标为（-1，0），（2，3），如图，∵x ≤-1时，y =223x x -++，函数最大值为y =0，-1＜x ≤2时，y =x +1，函数最大值为y =3，当x ＞2时，y =223x x -++，y ＜3， ∵x =2时，函数取最大值为3，故答案为：3．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系．通过数形结合求解．例2．（2022·全国·九年级课时练习）抛物线223y x x =-，当1y =-时，自变量的值为_________．【答案】1或12【分析】把y =1代入解析式中得到关于x 的方程，解方程即可【详解】解：223y x x =-，当1y =-时，2231x x -=-，解得11x =，212x =，故答案为：1或12．【点睛】本题考查函数值以及自变量，解题的关键是掌握函数值的计算方法．练习．（全国八年级课时练习）已知，当时，的值为；当时，y 的值等于9．【答案】 3 0或6【分析】令y =0即可得到关于x 的一元二次方程，求出x 的值即可；令y =9即可得到关于x 的一元二次方程，求出x 的值即可．【详解】解：∵y =x 2-6x +9中的值为0， ∵令x 2-6x +9=0，解得x =3； ∵y =x 2-6x +9中的值为9， ∵令x 2-6x +9=9，即x 2-6x =0，解得1206x x ==，．故答案为：3；0或6．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，根据函数值得到关于x 的元二次方程，求出x 的值是解答此题的关键．练习．（全国九年级课时练习）如图，抛物线与轴交于、两点，且点、B 都在原点右侧，抛物线的顶点为点P ，当ABP △为直角三角形时，m 的值为________．【答案】2【分析】设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB =｜x 2-x 1｜，求出点P （m ，-（m -1）2），由抛物线的对称性知∵ABP 为等腰直角三角形，建立方程｜x 2-x 1｜=2（m -1）2，根据根与系数关系可求得m 值．【详解】解：设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB =｜x 2-x 1｜，令y =0得22210x mx m -+-=，∵x 1+x 2=2m ，x 1·x 2=2m -1，则｜x 2-x 1｜2=4m 2-8m +4=4（m -1）2，由抛物线2221y x mx m =-+-=（x -m ）2－（m -1）2得顶点坐标为P （m ，-（m -1）2），抛物线的对称性知∵ABP 为等腰直角三角形， ∵｜x 2-x 1｜=2（m -1）2，即4（m -1）2=4（m -1）4，解得：m =2或m =0或m =1，∵抛物线2221y x mx m =-+-与x 轴交于A 、B 两点，且点A 、B 都在原点右侧， ∵2m ＞0且m ≠1且2m -1＞0，即m ＞12且m ≠1， ∵m =2，故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质、根与系数的关系、解高次方程等知识，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．意创造非凡、探索未来．某商店准备用2400元购进一批冰墩墩钥匙扣出售．假如每个钥匙扣的进价降低20%，则可以多买50个．(1)求每个冰墩墩钥匙扣的进价；(2)市场调查发现：当每个冰墩墩钥匙扣的售价是20元时，每周可以销售200个；每涨价1元，每周少销售10个．设每个冰墩墩钥匙扣的售价是x 元（x 是大于20的正整数），每周总利润是w 元． ①求w 与x 的函数关系，并求每周总利润的最大值；②当每周总利润大于1870元时，直接写出每个冰墩墩钥匙扣的售价．【答案】(1)每个冰墩墩钥匙扣的进价为12元(2)①2105204800w x x =-+-，最大值为1960元；②每个冰墩墩钥匙扣的售价为24元或25元或26元或27元或28元【分析】（1）设每个冰墩墩钥匙扣的进价为x 元，根据题意列出分式方程，进而计算求解即可；（2）①根据题意列出二次函数关系，根据二次函数的性质求得最大利润即可；②根据题意列出方程，根据二次函数的性质求得x 的范围，根据题意取整数解即可．(1)设每个冰墩墩钥匙扣的进价为x 元，由题意得：()2400240050120%x x +=-，解得12x =，经检验，12x =是原方程的解且符合题意，答：每个冰墩墩钥匙扣的进价为12元；(2)①()()122001020w x x =---⎡⎤⎣⎦2105204800x x =-+-()210261960x =--+ ∵0a <且x 是大于20的正整数∵当26x =时，w 有最大值，最大值为1960元②由题意得，21052048001870x x -+-=，解得23x =或29∵抛物线开口向下，x 是大于20的正整数∵当2329x <<时，每周总利润大于1870元，∵售价为24元或25元或26元或27元或28元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，二次函数的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程或关系式是解题的关键．练习．（全国九年级课时练习）如图，已知二次函数的图象经过点．(1)求a 的值和图象的顶点坐标；(2)点(,)Q m n 在该二次函数图象上；①当11n =时，求m 的值，②当m ＜x ＜m -3时，该二次函数有最小值2，请直接写出m 的取值范围．【答案】(1)2a =；()1,2-(2)①4m =-或2；②41m -<-【分析】（1）将点P 的坐标代入二次函数解析式可得关于a 的方程，再解方程即可得出a 的值．将二次函数的解析式进行配方，即可得到图象的顶点坐标；（2）①将点Q 的坐标代入二次函数解析式，求解方程即可得到m 的值；②根据当1x =-时，二次函数取最小值为2，得出13m m -≤+＜，解关于m 的不等式组即可．（1）解：∵二次函数21y x ax a =+++的图象经过点()2,3P -，∵()()23221a a =-+⨯-++．解得：a =2；∵二次函数的解析式为()222312y x x x =++=++．∵图象的顶点坐标是()1,2-．（2）①∵点(),Q m n 在该二次函数图象上，且n =11，∵21123m m =++．解得14m =-，22m =，∵m 的值为-4或2；②∵二次函数()222312y x x x =++=++的最小值为2，∵13m m -≤+＜，解得：41m -≤-＜，∵m 的取值范围是41m -≤-＜．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解一元二次方程，二次函数的最值，能够正确应用数形结合思想是解题关键．题型4 根据二次函数系数求对应方程根的情况或与x 轴交点情况例1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，抛物线2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为(2,4)A -，(1,1)B ，则方程2ax bx c =+的解是________________.【答案】12x =-，21x =【分析】二次函数图象与一次函数图象交点的横坐标即为2ax bx c =+的解：12x =-，21x =.【详解】解：抛物线 2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为 ()2,4A - ， ()1,1B ，∴方程组2y ax y bx c ⎧=⎨=+⎩的解为1124x y =-⎧⎨=⎩ ，2211x y =⎧⎨=⎩ ，即关于x 的方程 20ax bx c --=的解为12x =-，21x =，所以方程2ax bx c =+ 的解是 12x =-，21x =，故答案为： 12x =-，21x =．【点睛】本题考查了函数图象与方程的解的关系，函数与方程是密不可分的，方程的根的个数问题，往往可以转化为两个函数图象的交点问题．例2．（2022·福建南平·九年级期末）如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为1x =，点P 是抛物线与x 轴的一个交点，若点P 的坐标为()4,0，则关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的解为__________．【答案】124,2x x ==-【分析】根据函数的对称轴和点P 的坐标可以得出与x 轴的另一交点坐标，从而得出结论．【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++的对称轴为x ＝1，点P 是抛物线与x 轴的一个交点，坐标为（4，0），∵抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（−2，0），∵关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的解为：124,2x x ==-．故答案为：124,2x x ==-．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点问题，关键是对二次函数性质的掌握和运用．练习1．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线2y x bx c =++的部分图像如图所示，则方程20x bx c ++=的解是___________【答案】11x =-或23x =【分析】根据抛物线的轴对称性即可求得抛物线与x 轴的另一个交点的坐标，这两个交点的横坐标就是方程20x bx c ++=的解．【详解】解：由图像可知抛物线与x 轴的一个交点坐标为(1,0)-，对称轴为直线1x =，设抛物线与x 轴的另一个交点为2(,0)x ，则2112x -+=，解得：23x =．∵方程20x bx c ++=的解为11x =-或23x =．故答案为：11x =-或23x =【点睛】本题考查的是利用二次函数的图像求解一元二次方程，以及抛物线的对称性问题，正确理解抛物线与x 轴的交点的横坐标与相应的一元二次方程的根之间的关系是解题的关键．练习2．（2021·湖北·武汉二中广雅中学九年级阶段练习）如图，已知抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线25y kx k =-+与它有三个公共点时，则k 值为______．【答案】222-+或53【分析】先确定A 、B 、C 三点坐标，y =kx -2k +5=k （x -2）+5，可得直线经过定点（2，5）画出图形，分别找到两个极限位置，求出k 的值．【详解】解：∵223y x x =--∵当y =0时，解得x =-1或x =3；当x =0时，解得y =3∵A （-1,0），B （3,0），C （0，3）∵y =kx -2k +5=k （x -2）+5∵直线25y kx k =-+必过定点（2，5）要使直线y =kx -2k +5与图像有三个公共点，则可得到如图所示的两个极限位置，①直线经过A 、N ，此时将点A （-1，0）代入可得：0=-k -2k +5，解得：k =53②直线经过点N 与抛物线相切时，由题意可得：22325x x kx k -++=-+整理得：2(2)220x k x k +--+=2(2)4(22)0k k ∆=---+=，解得222k =-±由图像可知，k ＞0，则222k =-+综上可知，25y kx k =-+与223y x x =--有三个公共点时，则k 值为222-+或53．故答案为222-+或53．【点睛】本题主要考查了一次函数与抛物线的交点问题，根据题意找到恰好有3个公共点的位置以及数形结合思想的运用是解答本题的关键．练习3．（2020·北京房山·九年级期中）若二次函数23y kx x =--的图象与轴有交点，则k 的取值范围是_______．【答案】13k ≥-且0k ≠##k ≠0且k ≥13- 【分析】根据二次函数的定义可知0k ≠，由题意令0y =，得出一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式大于或等于0，解不等式即可求解．【详解】解：∵二次函数223y kx x =--的图象与x 轴有交点，令0y =，则2230kx x --=，∵4120k =+≥且0k ≠，解得13k ≥-且0k ≠．故答案为：13k ≥-且0k ≠．【点睛】本题考查了二次函数的定义以及二次函数与x 轴交点问题，转为一元二次方程根的判别式是解题的关键，注意不要漏掉0k ≠．练习．（全国九年级专题练习）已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式2225m m -+=_____________．【答案】15【分析】把点(,0)m 代入二次函数解析式可得25m m -=，然后问题可求解．【详解】解：把点(,0)m 代入二次函数解析式得：250m m --=，则有25m m -=，∵()222252515m m m m -+=-+=；故答案为15．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．。

二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解

二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解一、本节知识点（1）一元二次不等式的概念. （2）三个二次的关系. （3）一元二次不等式的解法. 知识点拓展:（4）分式不等式的解法. （5）高次不等式的解法. 二、本节题型（1）解不含参数的一元二次不等式. （2）解含参数的一元二次不等式. （3）三个二次之间的关系.（4）简单高次不等式、分式不等式的解法. （5）不等式恒成立问题. （6）一元二次不等式的应用. 三、知识点讲解.知识点一元二次不等式的概念我们把只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.即形如02>++c bx ax （≥0）或02<++c bx ax （≤0）（其中0≠a ）的不等式叫做一元二次不等式.元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x 的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,叫做这个一元二次不等式的解集.注意一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式. 知识点三个二次的关系一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系.一元二次方程()002≠=++a c bx ax 与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是:（1）当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有交点,且方程的解是交点的横坐标,交点的横坐标亦是方程的解;①当0>∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有两个不同的交点;②当0=∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴只有一个交点（即抛物线的顶点）.（2）当042<-=∆ac b 时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 无实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴没有交点.具体关系见下页表（1）所示.一元二次不等式与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是:（1）一元二次不等式02>++c bx ax （≥0）的解集就是二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴上方（包括x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围;（2）一元二次不等式02<++c bx ax （≤0）的解集就是二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴下方（包括x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围.由表可知一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的解. 知识点一元二次不等式的解法解一元二次不等式的一般步骤是:（1）利用不等式的性质,将二次项系数化为正数; （2）计算ac b 42-=∆的值,并判断∆的符号; （3）当∆≥0时,求出相应的一元二次方程的根; （4）画出对应的二次函数的简图;（5）根据一元二次不等式的形式,结合简图,写出其解集.注意一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系.其中,①当0>∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集在“两根之外”,即“大于大根或小于小根”;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集在“两根之内”,即“大于小根且小于大根”,简记为“大于0取两边,小于0取中间”;②当0=∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为∅;③当0<∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为R ;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为∅.表（1）一元二次方程、二次函数以及一元二次不等式的关系:一元二次不等式在R 上恒成立的问题（1）02>++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆>0402ac b a 或⎩⎨⎧>==00c b a ; （2）02<++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆<0402ac b a 或⎩⎨⎧<==00c b a ;（3）一元二次不等式c bx ax ++2≥0在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧≤-=∆>0402ac b a ; （4）一元二次不等式c bx ax ++2≤0在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧≤-=∆<0402ac b a . 补充概念二次函数的零点我们把使一元二次方程02=++c bx ax 的实数x 叫做二次函数c bx ax y ++=2的零点. 对零点的理解（1）二次函数的零点即相应一元二次方程02=++c bx ax 的实数根;（2）根据数形结合,二次函数的零点,即二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标,且交点的个数等于零点的个数;（3）并非所有的二次函数都有零点.当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程有实数根,相应二次函数存在零点.知识点分式不等式的解法分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.利用不等式的性质,可将分式不等式化为以下标准形式: ①0)()(>x g x f ; ②)()(x g x f ≥0; ③0)()(<x g x f ; ④)()(x g x f ≤0. 分式不等式的解法解分式不等式的思路是把其转化为整式不等式求解.解分式不等式时,要先把分式不等式转化为标准形式. 各标准形式的分式不等式的解法为: （1）0)()(>x g x f 与不等式组⎩⎨⎧>>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧<<0)(0)(x g x f 同解,与不等式0)()(>⋅x g x f 同解; （2）)()(x g x f ≥0与不等式组⎩⎨⎧≠≥⋅0)(0)()(x g x g x f 同解;（3）0)()(<x g x f 与不等式组⎩⎨⎧<>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧><0)(0)(x g x f 同解,与不等式0)()(<⋅x g x f 同解;（4）)()(x g x f ≤0与不等式组⎩⎨⎧≠≤⋅0)(0)()(x g x g x f .由以上解法可以看出:将分式不等式转化为标准形式后,再将其转化为不等式组或同解整式不等式进行求解.知识点高次不等式的解法解高次不等式,一般用“数轴标根法”,也叫“穿根引线法”,其步骤如下:（1）把高次不等式化为左边是几个因式的乘积,右边是0的形式,注意每个因式最高次项的系数必须为正;（2）把不等号换成等号,求出所得方程的所有实数根; （3）标根: 把各个实数根在数轴上标出;（4）画穿根线: 从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,如此一上一下依次穿过各根.但要注意偶次根不穿过,即奇过偶不过;（5）写出解集: 若不等号为“ > ”,则取数轴上方穿根线以内的范围;若不等号为“ < ”,则取数轴下方穿根线以内的范围.四、例题讲解例1. 解不等式0452>-+-x x .分析先把不等式的二次项系数化为正数,再进行求解.注意不等式的解集要写成区间或集合的形式.解: 原不等式可化为:0452<+-x x .对于方程0452=+-x x ,∵()0941452>=⨯⨯--=∆∴该方程有两个不相等的实数根,解之得:4,121==x x . ∴不等式0452>-+-x x 的解集为{}41<<x x .点评在求解一元二次不等式时,先观察二次项系数是否为正,若为负,则先把不等式的二次项系数化为正数（利用不等式的基本性质）.例2. 已知关于x 的不等式022>++c x ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131x x ,求不等式022>-+-a x cx 的解集.分析先根据一元二次不等式与相应一元二次方程之间的关系,利用根与系数的关系定理,求出c a ,的值.注意一元二次不等式的解集的端点值是对应一元二次方程的根. 解: 由题意可知:0<a .∵关于x 的不等式022>++c x ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131x x ∴21,3121=-=x x 是方程022=++c x ax 的两个实数根由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=-213121312a c a ,解之得:⎩⎨⎧=-=212c a . ∴022>-+-a x cx 即012222>++-x x ∴062<--x x ,解之得:32<<-x .∴不等式022>-+-a x cx 的解集为{}32<<-x x .例3. 一元二次不等式()()052>-+x x 的解集为【】（A ）{}52>-<x x x 或（B ）{}25>-<x x x 或（C ）{}52<<-x x （D ）{}25<<-x x分析本题可用数轴标根法求解.使用该方法时,要把乘积中所有因式的最高次项的系数化为正数.解: 原不等式可化为:()()052<-+x x .∵方程()()052=-+x x 的根为5,221=-=x x .∴不等式()()052<-+x x 的解集为{}52<<-x x ,即原不等式的解集. ∴选择答案【 C 】.例4. 已知不等式042<++ax x 的解集为空集,则实数a 的取值范围是【】（A ）{}44≤≤-a a （B ）{}44<<-a a （C ）{}44≥-≤a a a 或（D ）{}44>-<a a a 或分析本题考查一元二次不等式与相应的二次函数之间的关系,同时问题还可以转化为一元二次不等式恒成立的问题.不等式042<++ax x 的解集为空集,即相应的二次函数42++=ax x y 的图象位于x 轴上及其上方,或者不等式42++ax x ≥0在R 上恒成立.解: ∵不等式042<++ax x 的解集为空集∴162-=∆a ≤0,解之得:4-≤a ≤4. ∴实数a 的取值范围是{}44≤≤-a a . ∴选择答案【 A 】.例5. 若关于x 的不等式()()021>--x mx 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x m x ,则实数m 的取值范围是【】（A ）{}0>m m （B ）{}20<<m m（C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21m m （D ）{}0<m m分析本题由题意可知:0<m . 解: ∵()()021>--x mx∴()02122>++-x m mx .∵其解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x m x ∴0<m .∴实数m 的取值范围是{}0>m m . ∴选择答案【 D 】.例6. 已知函数182++=bx ax y 的定义域为[]6,3-,则实数a 的值为_________,实数b 的值为_________.解: ∵函数182++=bx ax y 的定义域为[]6,3-∴一元二次不等式182++bx ax ≥0的解集为[]6,3-. 由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=-631863aab ,解之得:⎩⎨⎧=-=31b a . ∴实数a 的值为1-,实数b 的值为3. 例7. 已知函数m x x y +-=2.（1）当2-=m 时,求不等式0>y 的解集; （2）若0,0<>y m 的解集为{}b x a x <<,,求ba 41+的最小值. 解:（1）2-=m 时,22--=x x y .∵0>y ,∴()()02122>-+=--x x x x 解之得:1-<x 或2>x .∴不等式0>y 的解集为{}21>-<x x x 或;（2）∵02<+-=m x x y 的解集为{}21>-<x x x 或 ∴m ab b a ==+,1,且041>-=∆m ,解之得:41<m . ∵0>m ,∴0,0>>b a ,410<<m . ∴()a b b a b a b a b a ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+454141≥9425=⋅+a b b a . 当且仅当a b b a =4,即32,31==b a 时,等号成立.此时41923231<=⨯=m ,符合题意. ∴ba 41+的最小值为9. 例8. 解关于x 的不等式02>-x ax （0≠a ）.分析本题考查含有参数的一元二次不等式的解法.当二次项系数含有参数时,要对二次项系数的正负进行讨论（一元二次不等式解集的结构与二次项系数的符号有关）.解: ∵02>-x ax ,∴()01>-ax x∴01>⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x ax .∵0≠a ,∴分为两种情况:①当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或;②当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 综上所述,当当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或,当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x .另解: 解方程02=-x ax （0≠a ）得:ax x 1,121==. 分为两种情况:①当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或; ②当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 综上所述,当当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或,当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 点评不等式02>-x ax （0≠a ）可化为01>⎪⎭⎫⎝⎛-a x ax .当0>a 时,根据不等式的性质可知,原不等式同解于不等式01>⎪⎭⎫⎝⎛-a x x ;当0<a 时,原不等式同解于不等式01<⎪⎭⎫⎝⎛-a x x .例9. 若对于0>∀x ,132++x x x≤a 恒成立,则实数a 的取值范围是【】（A ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥31a a （B ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>31a a （C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>51a a （D ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥51a a . 解: ∵132++x x x≤a 恒成立 ∴只需a ≥max213⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x 即可. ∵0>∀x ∴311132++=++x x x x x≤513121=+⋅xx . 当且仅当xx 1=,即1=x 时,等号成立. ∴5113max 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x . ∴a ≥51,即实数a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥51a a .∴选择答案【 D 】.例10.（1）若关于x 的不等式0232>+-x ax （∈a R ）的解集为{}b x x x ><或1（∈b R ）,求b a ,的值;（2）解关于x 的不等式ax x ax ->+-5232（∈a R ）.解:（1）由题意可知:0>a .一元二次方程0232=+-x ax 的根为b x x ==21,1.由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯=+=baba1213,解之得:⎩⎨⎧==21b a .∴a 的值为1,b 的值为2;（2）∵ax x ax ->+-5232（∈a R ） ∴()0332>--+x a ax .当0=a 时,原不等式为523>+-x ,解之得:1-<x . ∴原不等式的解集为{}1-<x x ;当0≠a 时,原不等式可化为()031>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x x a . ①若0>a ,则原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>13x a x x 或; ②若03<<-a 时,原不等式同解于()031<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x x ,且13-<a ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<13x a x ; ③若3-=a ,原不等式为()0132<+x ,其解集为∅;④若3-<a ,则13->a ,则原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 31. 综上所述,当0=a 时, 原不等式的解集为{}1-<x x ;当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>13x a x x 或;当03<<-a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<13x a x ; 当3-=a 时,原不等式的解集为∅; 当3-<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 31. 例11.已知关于x 的不等式08322<-+kx kx . （1）若不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-123x x ,求实数k 的值;（2）若不等式08322<-+kx kx 恒成立,求实数k 的取值范围. 解:（1）由题意可知:0>k .一元二次方程08322=-+kx kx 的根是1,2321=-=x x . 由根与系数的关系定理:123283⨯-=-k ,解之得:81=k .∴实数k 的值为81;（2）当0=k 时,083<-恒成立,符合题意;当0≠k 时,由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-=∆<08324022k k k ,解之得:03<<-k . 综上所述,实数k 的取值范围为{}03≤<-k k .例12. 若∀1≤x ≤4,不等式()422++-x a x ≥1--a 恒成立,求实数a 的取值范围.分析本题考查一元二次不等式在给定闭区间上的恒成立问题,要把问题转化为相应二次函数在闭区间上的最值问题.解: ∵()422++-x a x ≥1--a∴()1-x a ≤522+-x x . ∵1≤x ≤4∴当1=x 时,显然0⨯a ≤4521=+-成立,∴∈a R ; 当x <1≤4时,01>-x∴a ≤1522-+-x x x 恒成立,只需a ≤min2152⎪⎭⎫⎝⎛-+-x x x 即可.∵()14114115222-+-=-+-=-+-x x x x x x x ≥()41412=-⋅-x x . 当且仅当141-=-x x ,即3=x 时,等号成立.此时3=x []4,1∈,符合题意.∴a ≤4.综上所述,实数a 的取值范围是(]4,∞-. 例13. 已知不等式012<--mx mx .（1）当∈x R 时不等式恒成立,求实数m 的取值范围; （2）当∈x {}31≤≤x x 时不等式恒成立,求实数m 的取值范围.解:（1）当0=m 时,01<-恒成立,符合题意;当0≠m 时,则有⎩⎨⎧<+=∆<0402m m m ,解之得:04<<-m . 综上,实数m 的取值范围是(]0,4-;（2）当0=m 时,显然∈x {}31≤≤x x 时,01<-恒成立,符合题意; 当0≠m 时,()11<-x mx .若1=x ,显然10<恒成立,此时∈m R ; 若x <1≤3,则()01>-x x ∴()11-<x x m 恒成立,只需()min11⎥⎦⎤⎢⎣⎡-<x x m 即可. ∵()4121111122-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-x x x x x ≥614121312=-⎪⎭⎫ ⎝⎛- ∴()6111min=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-<x x m . 综上所述,实数m 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛∞-61,.例14. 解关于x 的不等式()m x m mx --+122≥0.解: 当0=m 时,x -≥0,解之得:x ≤0.∴原不等式的解集为{}0≤x x ;当0≠m 时,原不等式可化为()()m x mx +-1≥0∴()[]m x m x m --⎪⎭⎫⎝⎛-1≥0.方程()m x m mx --+122的两个实数根分别为m x mx -==21,1. 当0>m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≥m x m x x 或1; 当0<m 时,原不等式同解于()[]m x m x --⎪⎭⎫ ⎝⎛-1≤0,且m m -<1. ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤m m m x 1. 综上所述,当0=m 时,原不等式的解集为{}0≤x x ;当0>m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≥m x m x x 或1;当0<m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤m m m x 1. 例15. 已知关于x 的不等式222->-x kx kx . （1）当2=k 时,解不等式; （2）当∈k R 时,解不等式.解:（1）当2=k 时,2422->-x x x∴02522>+-x x ∴()()0212>--x x . 解之得:2>x 或21<x . ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>212x x x 或;（2）原不等式可化为()02122>++-x k kx . 当0=k 时,02>+-x ,解之得:2<x . ∴原不等式的解集为{}2<x x ;当0≠k 时,原不等式可化为()()012>--kx x∴()012>⎪⎭⎫⎝⎛--k x x k .方程222->-x kx kx 的根为kx x 1,221==. 当0<k 时,原不等式同解于()012<⎪⎭⎫ ⎝⎛--k x x ,且21<k .∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x k x ; 当0>k 时,原不等式同解于()012>⎪⎭⎫⎝⎛--k x x .①若21>k ,则21<k ,∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>k x x x 12或; ②若21=k ,则21=k,∴原不等式的解集为{}2≠x x ; ③若210<<k ,则21>k ,∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>21x k x x 或.综上所述,当0=k 时,原不等式的解集为{}2<x x ;当0<k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x k x ; 当210<<k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>21x k x x 或;当21=k 时,原不等式的解集为{}2≠x x ; 当21>k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>k x x x 12或.例16. 已知关于x 的不等式0622<+-k x kx .（1）若不等式的解集为{}23->-<x x x 或,求实数k 的取值; （2）若不等式的解集为R ,求实数k 的取值范围.解:（1）由题意可知:0<k .一元二次方程0622=+-k x kx 的两个实数根分别为2,321-=-=x x .由根与系数的关系定理可得:232--=--k ,解之得:52-=k . ∴实数k 的值为52-;（2）当0=k 时,原不等式的解集为{}0>x x ,不符合题意;当0≠k 时,则有:⎩⎨⎧<-=∆<024402k k ,解之得:66-<k . 综上所述,实数k 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<66k k .例17. 已知122++ax ax ≥0恒成立,解关于x 的不等式022<+--a a x x .解:∵122++ax ax ≥0恒成立∴当0=a 时,1≥0恒成立,符合题意;当0≠a 时,则有:⎩⎨⎧≤-=∆>04402a a a ,解之得:a <0≤1. 综上,实数a 的取值范围是[]1,0. 对于不等式022<+--a a x x当0≤a ≤1时,原不等式可化为()()01<-+-a x a x∴()()[]01<---a x a x ,方程022=+--a a x x 的根为a x a x -==1,21.①若a <21≤1,则a a ->1,∴原不等式的解集为{}a x a x <<-1; ②若21=a ,则a a -=1,∴原不等式的解集为∅;③若210<<a ,则a a -<1,∴原不等式的解集为{}a x a x -<<1.综上所述,对于不等式022<+--a a x x :当a <21≤1时,不等式的解集为{}a x a x <<-1; 当21=a 时,不等式的解集为∅;当0≤21<a 时,不等式的解集为{}a x a x -<<1.例18. 不等式()()xa c xb x -++≤0的解集为{}321≥<≤-x x x 或,则=+c b 【】（A ）5- （B ）2- （C ）1 （D ）3解: 原不等式可化为()()ax c x b x -++≥0,同解于()()()⎩⎨⎧≠-≥++-00a x c xb x a x .方程()()0=-++ax c x b x 的解为c x b x -=-=21,.∵该不等式的解集为{}321≥<≤-x x x 或∴2=a ,⎩⎨⎧=--=-31c b 或⎩⎨⎧-=-=-13c b ,∴⎩⎨⎧-==31c b 或⎩⎨⎧=-=13c b .∴2-=+c b . ∴选择答案【 B 】.例19. 已知函数b ax x y +=2（b a ,为常数）,且方程012=+-x y 的两个根为31=x ,42=x .（1）求b a ,的值;（2）设1>k ,解关于x 的不等式()xkx k y --+<21.解:（1）由题意可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+-+0124416012339b a b a ,整理得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+142131ba ba ,解之得:⎩⎨⎧=-=21b a . ∴a 的值为1-,b 的值为2;（2）由（1）可知:xx y -=22.∵()x kx k y --+<21,∴()xkx k x x --+<-2122. ∴()()()021212<---=-++-xk x x x k x k x . 原不等式同解于()()()021>---k x x x .∵1>k∴当21<<k 时,原不等式的解集为{}21><<x k x x 或; 当2=k 时,()()0212>--x x ,原不等式的解集为{}21≠>x x x 且;当2>k 时,原不等式的解集为{}k x x x ><<或21.综上所述,当21<<k 时,原不等式的解集为{}21><<x k x x 或;当2=k 时,原不等式的解集为{}21≠>x x x 且;当2>k 时,原不等式的解集为{}k x x x ><<或21.例20. 已知集合()()[]{}0132<+--=a x x x A ,()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+--=012a x a x x B . （1）当2=a 时,求B A ;（2）若A B ⊆,求实数a 的取值范围.解:（1）当2=a 时∵()(){}{}72072<<=<--=x x x x x A ,{}52052<<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<--=x x x x x B∴{}52<<=x x B A ;（2）∵∈∀a R ,恒有a a >+12,()()()[]{}010122<+--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+--=a x a x x a x a x x B ∴{}12+<<=a x a x B . 当213>+a ,即31>a 时,{}132+<<=a x x A . ∵A B ⊆,∴⎩⎨⎧+≤+≥13122a a a ,解之得: 2≤a ≤3.∴实数a 的取值范围是[]3,2;当213=+a ,即31=a 时,(){}∅=<-=022x x A ,显然不符合题意; 当213<+a ,即31<a 时,{}213<<+=x a x A .∵A B ⊆,∴⎩⎨⎧≤+≤+21132a aa ,解之得: 1-≤a ≤21-.∴实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,1. 综上所述,实数a 的取值范围是[]3,221,1 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--. 例21. 已知不等式442-+>+m x mx x .（1）若对任意实数x 不等式恒成立,求实数m 的取值范围; （2）若对于0≤m ≤4不等式恒成立,求实数x 的取值范围.解:（1）∵442-+>+m x mx x∴()0442>-+-+m x m x . ∵对任意实数x 不等式恒成立∴()()04442<---=∆m m ,解之得: 40<<m .∴实数m 的取值范围是()4,0; （2）∵442-+>+m x mx x ∴()04412>+-+-x x m x . ∵对[]4,0∈∀m ,不等式恒成立∴()()⎩⎨⎧>+-+⨯->+-+⨯-044410440122x x x x x x ,解之得:0≠x 且2≠x . ∴实数x 的取值范围是{}2200><<<x x x x 或或.点评解决恒成立问题时一定要清楚谁是主元,谁是参数.一般情况下,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数,构造以主元为变量的函数,根据主元的取值范围求解.例22. 设()12--=mx mx x f ,求使()0<x f ,且m ≤1恒成立的x 的取值范围.解: ∵()0<x f ,m ≤1,∴012<--mx mx ,[]1,1-∈m .∴()012<--m x x 对[]1,1-∈m 恒成立. 设()()12--=m x x m g ,则有:()()()()()⎩⎨⎧<-⨯-=<--⨯-=-0111011122x x g x x g ,解之得:251251+<<-x .∴实数x 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-251,251.重要结论一次函数()b kx x f +=()0≠k 在区间[]n m ,上的恒成立问题:（1）若()0>x f 恒成立,则()()⎩⎨⎧>>00n f m f ;（2）若()0<x f 恒成立,则()()⎩⎨⎧<<0n f m f .例23. 设函数()12--=mx mx x f ()0≠m ,若对于[]3,1∈x ,()5+-<m x f 恒成立,求m 的取值范围.解: ∵()5+-<m x f 在[]3,1∈x 上恒成立∴062<-+-m mx mx 在[]3,1∈x 上恒成立. 令()62-+-=m mx mx x g ,只需()0max <x g 即可. 函数()x g 图象的对称轴为直线212=--=m m x . 当0>m 时,()x g 在[]3,1上单调递增 ∴()()0673max <-==m g x g ,解之得:76<m . ∴760<<m ; 当0<m 时,()x g 在[]3,1上单调递减 ∴()()061max <-==m g x g ,解之得:0<m .综上所述,m 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<7600m m m 或.另解: ∵062<-+-m mx mx 在[]3,1∈x 上恒成立∴()612<+-x x m 在[]3,1∈x 上恒成立.∵04321122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-x x x ∴162+-<x x m 在[]3,1∈x 上恒成立.只需761336162min 2=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<x x m 即可. ∵0≠m∴m 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<7600m m m 或. 例24. 已知集合{}042≤-=t t A ,对于任意的A t ∈,使不等式122->-+x t tx x 恒成立的x 的取值范围是_____________.解: {}{}22042≤≤-=≤-=t t t t A .∵当A t ∈时,不等式122->-+x t tx x 恒成立 ∴()01212>+-+-x x t x 恒成立. 设()()1212+-+-=x x t x t f ,则有:()()⎩⎨⎧>-=>+-=-012034222x f x x f ,解之得:1-<x 或3>x . ∴x 的取值范围是{}31>-<x x x 或.例25. 对一切实数x ,不等式12++x a x ≥0恒成立,则实数a 的取值范围是_____________.解: 当0=x 时,显然对∈∀a R 成立;当0≠x 时,a ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--=--x x x x x x 1112,只需a ≥max 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 即可.∵⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 1≤212-=⋅-x x∴21max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ,∴a ≥2-.∴实数a 的取值范围是[)+∞-,2.例26. 已知0,0>>y x ,且()()()144152++--+y x m y x ≥0恒成立,则实数m 的取值范围是_____________.解: ∵0,0>>y x ,∴0>+y x .∵()()()144152++--+y x m y x ≥0恒成立∴15-m ≤()y x y x yx y x +++=+++1441442恒成立,只需15-m ≤min144⎪⎭⎫ ⎝⎛+++y x y x 即可. ∵y x y x +++144≥()241442=+⋅+yx y x （当且仅当12=+y x 时,等号成立） ∴24144min =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++y x y x ,∴15-m ≤24,解之得:m ≤5.∴实数m 的取值范围是(]5,∞-. 例27. 已知61>k ,对任意正实数y x ,,不等式ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213≥xy 2恒成立,求实数k 的取值范围.解: ∵61>k ,∴0213>-k . ∴ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213≥xy k k ky x k ⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-213221322.当且仅当ky x k =⎪⎭⎫⎝⎛-213,即x kk y 213-=时,等号成立.∴ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213的最小值为xy k k ⎪⎭⎫⎝⎛-21322∵不等式ky x k +⎪⎭⎫⎝⎛-213≥xy 2恒成立∴xy k k ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21322≥xy 2∴xy k k ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21342≥xy 2,解之得:k ≥21.∴实数k 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21.例28. 若关于x 的不等式()()0121122>+++-+-x x x k x k 的解集为R ,则实数k 的取值范围是_____________.解: ∵04321122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x 在R 上恒成立 ∴原不等式同解于不等式()()02112>+-+-x k x k ,其解集为R 当1=k 时,02> 在R 上恒成立,符合题意;当1≠k 时,则有:()()⎩⎨⎧<---=∆>-0181012k k k ,解之得:91<<k . 综上所述,实数k 的取值范围是[)9,1.例29.（1）解关于x 的不等式()422++-x a x ≤a 24-（∈a R ）;（2）若x <1≤4时,不等式()422++-x a x ≥1--a 恒成立,求实数a 的取值范围.解:（1）∵()422++-x a x ≤a 24-∴()()a x x --2≤0.当2>a 时,原不等式的解集为{}a x x ≤≤2; 当2=a 时,()22-x ≤0,原不等式的解集为{}2=x x ;当2<a 时,原不等式的解集为{}2≤≤x a x .综上所述,当当2>a 时,原不等式的解集为{}a x x ≤≤2;当2=a 时,()22-x ≤0,原不等式的解集为{}2=x x ;当2<a 时,原不等式的解集为{}2≤≤x a x . （2）由题意可知,当(]4,1∈x 时,不等式()5212+---x x a x ≥0恒成立.∴当(]4,1∈x 时,a ≤1522-+-x x x 恒成立,只需a ≤min2152⎪⎭⎫⎝⎛-+-x x x 即可.∵(]4,1∈x ,∴()14114115222-+-=-+-=-+-x x x x x x x ≥()41412=-⋅-x x . 当且仅当141-=-x x ,即3=x 时,等号成立.∴4152min 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-x x x .∴a ≤4,即实数a 的取值范围为(]4,∞-.例30.（1）已知命题∈∀x p :R ,a x x +-22≥0,命题∈∃x q :R ,0122=-++a x x ,若p 为真命题,q 为假命题,求实数a 的取值范围;（2）已知a ≥21,二次函数c ax x a y ++-=22,其中c a ,均为实数,证明对任意x （0≤x ≤1）,均有y ≤1成立的充要条件是c ≤43.解:（1）∵命题∈∀x p :R ,a x x +-22≥0为真命题∴()a a 44422-=--=∆≤0,解之得: a ≥1.∵命题∈∃x q :R ,0122=-++a x x 为假命题 ∴⌝q :∈∀x R ,0122≠-++a x x 为真命题. ∴()01241<--=∆a ,解之得:85>a . ∴实数a 的取值范围是[)+∞,1;（2）证明: 二次函数c ax x a y ++-=22图象的对称轴为直线aa a x 2122=--=. ∵a ≥21,∴a210<≤1. ∵[]1,0∈∀x ,02<-a∴函数c ax x a y ++-=22的最大值在顶点处取得,即4144222max +=---=c a a c a y . 充分性: ∵c ≤43,∴41+c ≤14143=+,即max y ≤1. ∴y ≤1;必要性: ∵[]1,0∈∀x ,均有y ≤1成立. ∴max y ≤1,即41+c ≤1,解之得: c ≤43. 综上所述, 对任意x （0≤x ≤1）,均有y ≤1成立的充要条件是c ≤43.例31.已知关于x 的不等式222++-m mx x ≤0（∈m R ）的解集为M . （1）当M 为空集时,求m 的取值范围;（2）在（1）的条件下,求1522+++m m m 的最小值;（3）当M 不为空集,且{}41≤≤⊆x x M 时,求实数m 的取值范围.解:（1）∵不等式222++-m mx x ≤0（∈m R ）的解集为M 为空集∴()()084424222<--=+--=∆m m m m ,解之得:21<<-m .∴m 的取值范围是{}21<<-m m ;（2）由（1）可知: 21<<-m ,∴310<+<m .∴()14114115222+++=+++=+++m m m m m m m ≥()41412=+⋅+m m . 当且仅当141+=+m m ,即1=m 时,等号成立. ∴1522+++m m m 的最小值为4;（3）由题意可知,方程0222=++-m mx x 的两个实数根均在[]4,1内设()222++-=m mx x x f ,则有:()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤--≤≥++-=≥++-=≥+--=∆42210281640221102422m m m f m m f m m ,解之得: 2≤m ≤718. ∴实数m 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡718,2. 例32. 当10<<x 时,若关于x 的二次方程m mx x 2122-=++有两个不相等的实数根,求实数m 的取值范围.分析本题考查的是一元二次方程的K 分布:两根均在()21,k k 内. 解: ∵m mx x 2122-=++∴01222=+++m mx x . 设()1222+++=m mx x x f .∵该方程在()1,0内有两个不相等的实数根∴()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+++=>+=<-<>+-=∆01221101201220012422m m f m f m m m ,解之得:2121-<<-m . ∴实数m 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,21.重要结论一元二次方程的实数根的K 分布:一元二次方程02=++c bx ax （0>a ）的两个实数根分别为21,x x ,且21x x <.（1）若k x x <<21,则有:()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><->∆020k f k a b; （2）若21x x k <<,则有:()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>->∆020k f k a b; （3）若21x k x <<,则有:()0<k f ;（4）若2211k x x k <<<,即两根21,x x 在()21,k k 内,则有:()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><-<>∆00202121k f k f k a b k（5）若11k x <,且22k x >（21k k <）,则有:()()⎩⎨⎧<<021k f k f ; （6）()()212211,,,k k x k k x ∈∈中只有一个成立,即方程只有一个实数根在()21,k k 内,则有:()()021<k f k f或⎪⎩⎪⎨⎧<-<=∆2120k ab k . 例33. 已知二次函数1222-+-=t tx x y （∈t R ）.（1）若该二次函数有两个互为相反数的零点,解不等式1222-+-t tx x ≥0; （2）若关于x 的方程01222=-+-t tx x 的两个实数根均大于2-且小于4,求实数t 的取值范围.解:（1）∵二次函数1222-+-=t tx x y 有两个互为相反数的零点∴方程01222=-+-t tx x 有两个互为相反数的实数根,设为21,x x ,∴021=+x x . 由根与系数的关系定理可得:0221==+t x x ,解之得:0=t .∵1222-+-t tx x ≥0∴12-x ≥0,解之得:x ≥1或x ≤1-. ∴该不等式的解集为{}11-≤≥x x x 或;（2）∵()()044441422222>=+-=---=∆t t t t∴∈∀t R ,该方程总有两个不相等的实数根. ∵方程的两个实数根均大于2-且小于4∴()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-=>++=-<--<-015840342422222t t f t t f t ,解之得:31<<-t .∴实数t 的取值范围是()3,1-. 例34. 已知二次函数12+-=bx ax y .（1）是否存在实数b a ,,使不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ?若存在,求实数b a ,的值,若不存在,请说明理由;（2）若a 为整数,2+=a b ,且方程012=+-bx ax 在{}12-<<-∈x x x 上恰有一个实数根,求a 的值.解:（1）假设存在这样的实数b a ,.∵不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ∴0<a ,方程012=+-bx ax 的两个实数根分别为2,1. 由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯=+=--21121aa b ,解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2321b a . ∵021>=a ,与0<a 矛盾 ∴不存在这样的实数b a ,,使不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ; （2）∵2+=a b ∴()0122=++-x a ax .∵()[]()0314242222>+-=+-=-+-=∆a a a a a∴方程()0122=++-x a ax 总有两个不相等的实数根.∵方程()0122=++-x a ax 在{}12-<<-∈x x x 上恰有一个实数根 ∴()()[]()[]0121122222<+++-⨯⨯+++-⨯a a a a整理得:()()03256<++a a ,解之得:6523-<<-a . ∵a 为整数 ∴a 的值为1-.例35. 已知不等式052>+-b ax x 的解集为{}14<>x x x 或. （1）求实数b a ,的值; （2）若10<<x ,()xbx a x f -+=1,求函数()x f 的最小值. 分析（1）一元二次不等式的解的结构与二次项系数的符号有关,且一元二次不等式解集的端点值就是其对应的一元二次方程的两个实数根;（2）注意到()11=-+x x ,且01,10>-<<x x ,考虑利用基本不等式求函数()x f 的最小值.解:（1）∵不等式052>+-b ax x 的解集为{}14<>x x x 或∴方程052=+-b ax x 的两个实数根分别4和1. 由根与系数的关系定理可得:⎩⎨⎧⨯=+=14145b a ,解之得:⎩⎨⎧==41b a . ∴a 的值为1,b 的值为4; （2）由（1）可知:4,1==b a . ∴()xx x f -+=141. ∵10<<x ,∴01>-x . ∴()()[]x x x x x x x x x x x f -+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=-+=11451411141 ≥911425=-⋅-+xxx x . 当且仅当x x x x -=-114,即31=x 时,等号成立. ∴函数()x f 的最小值为9.。

《二次函数与一元二次方程》资料二次函数与一元二次方程知识点

二次函数与一元二次方程知识点
1．二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：
一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.
图像与x 轴的交点个数：
① 当240b ac ∆=->时，图像与x 轴交于两点()()1200A x B x ，
，，12()x x ≠，其中12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根． 12x x ，和的一半恰好是对称轴的横坐标.
② 当0∆=时，图像与x 轴只有一个交点；
③ 当0∆<时，图像与x 轴没有交点.
当0a >时，图像落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；
当0a <时，图像落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．
2. 抛物线2y ax bx c =++的图像与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；
3. 二次函数常用解题方法总结：
（1）求二次函数的图像与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
（2）求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；或者依据函数特点确定自变量能使函数取得最大值的值，并将其带入到表达式中求出最值；
（3）根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ， b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；
（4）二次函数与一次函数的交点，可通过联立方程求解，从而求出交点坐标。

一元二次方程综合复习(含知识点和练习)(含答案)

一元二次方程本章内容“一元二次方程”是《课程标准》“数与代数”的重要内容，也是方程中重点内容，是学习二次函数等内容的基础，本节是本章的起始内容，主要学习下列三个内容：建立一元二次方程此内容是本节课的难点之一，在后续的内容中将继续学习，为此设计较易的[拓展应用]的例4及其变式题， [课时作业]的第6、7题。

１．一元二次方程的概念此内容是本节课的重点，是学习一元二次方程的基础，为此设计[拓展应用]的例1、例3，[当堂检测]的第1、2、4题，[课时作业]的第1—5题。

2.一元二次方程的解的含义利用方程解的含义，可求方程中的待定系数，也可由此把二次三项式变形求值，为此设计[拓展应用]的例2，[当堂检测]的第3题，[选做题]和[备选题目]的问题。

点击一：一元二次方程的定义一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程．针对练习1: 下列方程是一元二次方程的有__________。

（1）x 2+x1－5=0（2）x 2－3xy+7=0（3）x+12 x =4（4）m 3－2m+3=0 （5）22x 2－5=0 （6）ax 2－bx=4答案：（5）针对练习2: 已知（m+3）x 2－3mx －1=0是一元二方程，则m 的取值范围是。

答案：一元二次方程二次项的系数不等于零。

故m≠－3 点击二：一元二次方程的一般形式元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），其中ax 2是二次项，bx 是一次项，c 是常数项，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数.任何一个一元二次方程都可以通过整理转化成一般形式.由此，对于一个方程从形式上，应先将这个方程进行整理，看是否符合ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的一般形式.其中，尤其注意a ≠0的条件，有了a ≠0的条件，就能说明ax 2+bx +c ＝0是一元二次方程.若不能确定a ≠0，并且b ≠0，则需分类讨论：当a ≠0时，它是一元二次方程；当a ＝0时，它是一元一次方程.针对练习3: 把方程(1－3x )(x +3)=2x 2+1化为一元二次方程的一般形式,并写出二次项,二次项系数,一次项,一次项系数及常数项.答案：原方程化为一般形式是:5x 2+8x －2=0(若写成－5x 2－8x +2=0,则不符合人们的习惯),其中二次项是5x 2,二次项系数是5,一次项是8x ,一次项系数是8,常数项是－2(因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和,所以不能漏写单项式系数的负号).点击三：一元二次方程的根的定义的意义一元二次方程的根的定义可以当作性质定理使用，即若有实数m 是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根，则m 必然满足该方程，将m 代入该方程，便有am 2+bm +c ＝0（a ≠0）；定义也可以当作判定定理使用，即若有数m 能使am 2+bm +c ＝0（a ≠0）成立，则m 一定是ax 2+bx +c ＝0的根.我们经常用定义法来解一些常规方法难以解决的问题，能收到事半功倍的效果.针对练习3: 若m 是方程x 2+x －1＝0的一个根，试求代数式m 3+2m 2+2009的值. 答案： m 3+2m 2+2009＝m 3+ m 2+m 2+2009＝m （m 2+ m ）+ m 2+2009＝m+ m 2+2009＝1+2009＝2010.类型之一：一元二次方程的定义例1.关于x 的方程2322+-=-mx x x mx 是一元二次方程，m 应满足什么条件？【解析】先把这个方程变为一般形式，只要二次项的系数不为0即可.【解答】由mx 2－3x=x 2－mx+2得到（m －1）x 2+（m －3）x －2=0,所以m －1≠0，即m≠1.所以关于x 的方程2322+-=-mx x x mx 是一元二次方程，m 应满足m≠1.【点评】要特别注意二次项系数a≠0这一条件，当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了.当b=0或c=0时，上面的方程在a≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程.类型之二：考查一元二次方程一般形式一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 是已知数，a≠0），其中a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数c 叫做常数项．只有将方程化为一般形式之后，才能确定它的二次项系数、一次项系数和常数项．这里特别要注意各项系数的符号。

一元二次方程与二次函数必备知识点

一元二次方程
1、根的辨别式：△=ac b 42-
（1）△＞0，有两个不相等的实数根。

（2）△=0，有两个相等的实数根。

（3）△＜0，没有实数根。

2、求根公式：a
ac b b x 242-±-=. 3、韦达定理：a b x x -=+21；a
c x x =⋅21.
二次函数
1、一般式：c bx ax y ++=2
已知三个点的坐标，带入解析式，可以求出a 、b 、c .
2、顶点式：k h x a y +-=2）
（将顶点坐标带入，再带入一个点的坐标，可以求出a .
3、顶点坐标（a
b 2-，a b a
c 442-）其中，=x a
b 2-是对称轴，a b a
c 442-为最值。

4、当a ＞0时，抛物线开口向上，有最小值；当a ＜0时，抛物线开口向下，有最大值。

5、抛物线与y 轴的交点为（0，c ），交点在y 轴正半轴，c ＞0；交点在y 轴负半轴，c ＜0.
6、通过对称轴判断a 和b 的符号：对称轴在y 轴左边，a 、b 同号；对称轴在y 轴右边，a 、b 异号。

7、通过△判断抛物线与x 轴的交点个数：△＞0，与x 轴有两个交点；△=0，与x 轴有一个交点；△＜0，与x 轴没有交点。

九年级数学一元二次方程单元复习及二次函数单元预习

第一部分一元二次方程单元专题复习暨例题精讲专题一一元二次方程的相关概念例1 已知3m =，那么关于x 的一元二次方程2(3)(2)20m x m x --++=的解是。

专题二解一元二次方程一元二次方程的解法有四种：，，，。

其中和法是一般解法，所有有实根的一元二次方程都可以用这两种方法求解。

一元二次方程的求根公式是：一元二次方程的根的判别式：Δ＝当时，一元二次方程无实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程有两个不等的实数根。

例2 一元二次方程22(5)(21)x x +=-的解是。

例3 解方程：2420x x -+=专题三一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系的综合运用韦达定理：如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是1x 和2x ，那么1x ＋2x = ，1x 2x = 。

特别地：如果一元二次方程20x px q ++=的两个根是1x 和2x ，那么1x ＋2x = ，1x 2x = 。

例4、关于x 的一元二次方程：2310x x m ++-=的两个实数根分别为1x 、2x . （1）求m 的取值范围；（2）若2（1x ＋2x ）＋1x 2x ＋10＝0，求m 的值。

专题四一元二次方程的实际应用在送照片一类问题中，如果有n 人互送照片，所送出的照片总张数为张。

在握手一类问题中，如果有n 人相互握手，握手的总次数是次。

平均变化率问题的一般模型：2(1)a x m ±=草坪中修小路一类的问题，剩下草坪的面积：()(a x s -=b-x)，其中a 和b 分别是草坪原来的长和宽，x 是小路的宽度。

例5 某专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？例6 可化为一元二次方程的分式方程应用题，这一类问题一定要注意验根甲、乙两班学生绿化校园.，如果两班合作，6天可以完成。

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一元二次方程考试内容：1、一元二次方程的有关概念.2、一元二次方程的解法.3、一元二次方程根的判别式.4、一元二次方程根与系数的关系.5、一元二次方程解决实际问题，能根据具体问题的实际意义检验方程解的合理性。

考点1、定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二次方程。

1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（） A ()()12132+=+x x B02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

2、方程()0132=+++mx xm m是关于x 的一元二次方程，则m 的值为。

考点2、方程的解3、①已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为，另一根是。

②关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为。

4、①已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2。

②已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622。

考点3、一元二次方程的解法方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法类型一、直接开方法：2(0)x m m x m =≥⇒=±※对于222()(0),()()x a m m ax m bx n +=≥+=+等形式均适用直接开平方法5、请用直接开平方法解方程：()21280;x -= ()2225160;x -= ()23(1)90;x --=类型二、因式分解法: 1212()()0x x x x x x x x --=⇒==或 ※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，6、请用因式分解法解方程()2130;x x -=()2220;x x +-=()223(1)(23);x x -=+（4）()()3532-=-x x x类型三、配方法:20(0)ax bx c a ++=≠2224()24b b acx a a-⇒+= ※ 在解方程中，不常用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或．．．．．．．．．．．．．．最大（小）．．．．．值之类的问题．．．．．．。

7、请用配方法解方程（1）2-22;x x =- （2）2443;x x ++=（3）2213x x +=8、试用配方法说明223x x -+的值恒大于0.方法总结：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法．．．．．．或因式．．分解法．．．，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法或者配方法。

9、请选择适当方法解下列方程（高效学习法：先观察再选方法，后做题总结方法）（1）().6132=+x （2）()().863-=++x x （3）0142=+-x x（4）2220x x --= （5）01432=--x x （6）()()()()5211313+-=+-x x x x考点4、根与系数的关系若21,x x 是一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两个根，则有1212,b cx x x x a a+=-= 10、若1x 、2x 是一元二次方程2320x x -+=的两根，则12x x +的值是________. 考点5、一元二次方程()002≠=++a c bx ax 根的判别式 △=ac b 42- .运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：⊿>0⇔方程有两个不相等．．．的实数根； ⊿=0⇔方程有两个相等．．的实数根； ⊿<0⇔方程没有．．实数根 11、一元二次方程2270x x -+-=的根的情况是（）A 、有两个不相等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、没有实数根D 、无法确定 12、关于x 的方程()2120m x mx m -++=有实数根，则m 的取值范围是( ) A. 01m m ≥≠且 B. 0m ≥ C. 1m ≠ D. 1m > 13、已知关于x 的方程()2220x k x k -++=(1) 求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；(2) 若等腰ABC ∆的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC ∆的周长。

考点6、解决实际问题常见类型：（1）增长率（或降低率）问题:①若基数为a ，增长率x 为，则一次增长后的值为()x a +1，两次增长后的值为()21x a +；②若基数为a ，降低率x 为，则一次降低后的值为()x a -1，两次降低后的值为()21x a -。

（2）比赛场次问题:n 个队进行单循环比赛，一共(1)2n n -场（3）面积问题:有关不规则图形的面积问题，通常做法是：把不规则图形转化成规则图形，找出变化前后面积之间的关系，然后列方程求解。

（4）利润问题中，求最大利润常常涉及求二次函数最值问题。

常用关系式有：（1）每件利润=销售价-成本价；（2）利润率=（销售价-进货价）÷进货价×100%；（3）销售额=售价×销售量。

14、将一条长20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。

（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。

（3）两个正方形的面积之和最小为多少？15、菜农李伟种植的某蔬菜计划以5元/kg 的价格对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销。

李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以3.2元/kg 的价格对外批发销售。

（1）求平均每次下调的百分率。

（2）小华准备到李伟处购买5 t 该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元。

试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由。

① 设每件降价 x 元，每天盈利 y 元，列出 y 与 x 之间的函数关系式； ② 若商场每天要盈利 1200 元，每件应降价多少元？③ 每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？二次函数考点1、二次函数的概念（1）一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。

（2）二次函数的图象是一条关于直线abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

（3）二次函数解析式的三种形式：①一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， ②顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，③交点式：12()()y a x x x x =--（a ≠0，1x 、2x 表示抛物线与x 轴交点的横坐标）注：一般式和顶点式可相互转化，仅当抛物线与x 轴有交点时才能用交点式表示。

考点2、二次函数的图象与性质）抛物线开口向上，并向上无限延伸；）对称轴是x=a b 2-，）抛物线开口向下，并向下无限延伸；）对称轴是x=b -，A ．第6题第5题【精选习题】1、抛物线2(2)3y x =-+的顶点坐标是_________，抛物线1822-+-=x x y 的顶点坐标为__________2、抛物线23(1)2y x =-+的对称轴是__________，抛物线221y x =-+的对称轴是_________3、把二次函数2134y x x =-+用配方法化成2()y a x h k =-+的形式为____________________ 4、已知0a ≠，在同一直角坐标系中，函数y ax =与2y ax =的图象有可能是（）5、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若点A （1，1y ）、B （2，2y ）是它图象上的两点，则1y 与2y 的大小关系是（）A ．21y y <B ．21y y =C ．21y y >D ．不能确定6．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠．．的是（） A ．0c > B ．20a b += C ．240b ac -> D ．0a b c -+>7、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，那么下列四个结论：20,0,40,b c b ac <>->①②③④0a b c -+<，正确的结论有______________（填序号）二、抛物线中c b 、、a 的作用：(1)a 决定开口方向及大小.a >0时，抛物线开口向上，a <0时，抛物线开口向下，a 越大，开口越小；(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线x=ab2-,故: ①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. ———— 口诀：同左异右（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置（可分三种情况）.①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴； ③0<c ,与y 轴交于负半轴.考点3 、二次函数图象的平移抛物线2()y a x h k =-+可以由抛物线2y ax =经过平移得到，h 决定左、右平移，k 决定上下平移。

————口诀：左加右减，上加下减。

【举一反三】将抛物线23y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为______________ 解析：23y x =→233y x =+→23(2)3y x =++ 考点4、二次函数解析式的确定（1）若已知抛物线上三点的坐标，则可采用一般式)0(2≠++=a c bx ax y ，利用待定系数法求得a b c 、、的值；（2）若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可利用顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠，其中顶点坐标为(,)h k ，对称轴为直线x h =；（3）若已知抛物线与x 轴的交点的横坐标，则可采用交点式：11()()(0)y a x x x x a =--≠，其中与x 轴的交点坐标为12(,0),(,0)x x .考点5、二次函数与方程的联系、抛物线与x 轴交点的个数① 042>-ac b ⇔抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个．．交点，方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根； ② 042=-ac b ⇔抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有一个．．交点，方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根； ③ 042<-ac b ⇔抛物线c bx ax y ++=2与x 轴没有．．交点，方程02=++c bx ax 没有实数根。