一元二次方程拔高训练题及复习资料
一元二次方程的正整数解拔高题
训练专题三——一元二次方程的整数解一、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）1．（5分）若关于x的方程（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54=0的解都是整数，则符合条件的整数时k的值有_________个．2．（5分）已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣a﹣1=0的根都是一整数，那么符合条件的整数a有_________个．3．（5分）已知方程x2﹣1999x+m=0有两个质数解，则m=_________．4．（5分）给出四个命题：①整系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根只能是无理数；④若a、b、c均为奇数，则方程ax2+bx+c=0没有有理数根，其中真命题是_________．5．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+（2a﹣1）x+a2=0（a为整数）的两个实数根是x1、x2，则=_________．二、选择题（共1小题，每小题4分，满分4分）6．（4分）已知a，b为质数且是方程x2﹣13x+c=0的根，那么的值是（）A．B．C．D．三、解答题（共12小题，满分91分）7．（8分）试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2+（r+2）x+r﹣1=0有根且只有整数根．8．（8分）当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1=0是否有有理根？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．9．（8分）若关于x的方程ax2﹣2（a﹣3）x+（a﹣13）=0至少有一个整数根，求非负整数a的值．10．（8分）设m为整数，且4＜m＜40，方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8=0有两个不相等的整数根，求m的值及方程的根．11．（7分）已知关于x的方程a2x2﹣（3a2﹣8a）x+2a2﹣13a+15=0（其中a是非负整数）至少有一个整数根，求a的值．12．（6分）求使关于x的方程kx2+（k+1）x+（k﹣1）=0的根都是整数的k值．13．（6分）当n为正整数时，关于x的方程2x2﹣8nx+10x﹣n2+35n﹣76=0的两根均为质数，试解此方程．14．（6分）设关于x的二次方程（k2﹣6k+8）x2+（2k2﹣6k﹣4）x+k2=4的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．15．（6分）已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax2+2（2a﹣1）x+4（a﹣3）=0 至少有一个整数根，求a的值．16．（6分）已知p为质数，使二次方程x2﹣2px+p2﹣5p﹣1=0的两根都是整数，求出p的所有可能值．17．（12分）已知方程x2+bx+c=0与x2+cx+b=0各有两个整数根x1，x2，和x1′，x2′，且x1x2＞0，x1′x2′＞0．（1）求证：x1＜0，x2＜0，x1′＜0，x2′＜0；（2）求证：b﹣1≤c≤b+1；（3）求b，c的所有可能的值．18．（10分）如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程mx2﹣2x﹣m+1=0的根（m为整数），这样的直角三角形是否存在？若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由．新课标九年级数学竞赛培训第05讲：一元二次方程的整数解参考答案与试题解析一、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）1．（5分）若关于x的方程（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54=0的解都是整数，则符合条件的整数时k的值有5个．考点：一元二次方程的整数根与有理根。
单元复习AB卷：第二十四章 一元二次方程(B卷-拔高卷)解析版
第二十四章 一元二次方程（B 卷-拔高卷）注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，选择10道．填空6道、解答7道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 答题时间：60分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021·黑龙江·塔河县第一中学校九年级期中）已知m 是方程x 2+x -1=0的根，则式子m 3+2m 2+2020的值为（ ） A ．2018 B ．2019 C ．2020 D ．2021【答案】D【分析】先利用m 是方程x 2+x -1=0的根得到m 2=-m +1，则可表示出m 3=2m -1，然后利用整体代入的方法计算即可．【详解】解：∴m 是方程x 2+x -1=0的根， ∴m 2+m -1=0， ∴m 2=-m +1，∴m 3=m （-m +1）=-m 2+m =m -1+m =2m -1∴m 3+2m 2+2020=2m -1+2（-m +1）+2020=2m -1-2m +2+2020=2021． 故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．2．（2022·辽宁铁岭·九年级期末）用配方法解方程2430x x --=，经过配方可转化为（ ） A ．()221x -= B ．()227x -=C ．()221x +=D ．()227x +=【答案】B【分析】先把常数项移到方程的右边，再两边都加上一次项系数一半的平方，再配方即可. 【详解】解：2430x x --= 移项得：243x x -=两边都加4得：2447x x -+= 227x故选：B.【点睛】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握“配方法的步骤”是解题的关键.3．（2022·四川广元·九年级期末）有一人感染了新冠肺炎，经过两轮传染后共有100人被感染，每轮传染中平均一个人传染的人数x 满足的方程为（ ） A ．1(1)100x x x +++= B ．(1)100x x +=C ．21100x x ++=D ．2100x =【答案】A【分析】每轮传染中平均一个人传染的人数为x 人,即经过第一轮有（x +1）人感染,则经过第二轮有()()11x x x +++⎡⎤⎣⎦ 人得了流感,根据两次一共有100患了流感即可列出方程．【详解】解：由题可知1+x +x （1+ x ）=100． 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，认真审题，找到等量关系是解题关键．4．（2021·甘肃·金昌市第五中学八年级期末）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x 元．则有（ ） A ．(18020)501089010x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭B ．180(20)501089010x x -⎛⎫--= ⎪⎝⎭C ．1805050201089010x x -⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭D ．(180)5050201089010x x ⎛⎫+--⨯= ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得． 【详解】解：设房价定为x 元，根据题意得：180(20)501089010x x -⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找准等量关系列出方程是关键．5．（2022·全国·九年级课时练习）若关于x 的一元二次方程2220ax bx +-=的一个根是2022x =，则一元二次方程()22212a x bxb +++=必有一根为（ ）． A ．2020 B ．2021 C ．2022 D ．2023【答案】A【分析】对一元二次方程()22212a x bxb +++=变形，设t ＝x ＋2得到2220at bt +-=，利用2220ax bx +-=的一个根是2022x =可得t ＝2022，从而求出x 即可．【详解】解：对于一元二次方程()22212a x bxb +++=即()()222220a x b x +++-=， 设t ＝x ＋2，则可得2220at bt +-=，而关于x 的一元二次方程2220ax bx +-=的一个根是2022x =， 所以2220at bt +-=有一个根为t ＝2022， 所以x ＋2＝2022， 解得x ＝2020， 所以一元二次方程()22212a x bxb +++=必有一根为x ＝2020， 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．6．（2022·河南濮阳·八年级期末）将4个数a ，b ，c ，d 记成a b c d：定义.a b ad bc c d=-，则方程243x x x=-的根的情况为（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．只有一个实数根【答案】C【分析】根据新定义的运算得出一元二次方程，再利用根的判别式进行判断其根的情况即可． 【详解】解：∵243x x x=-∴2x 2−4x =-3， 即22430x x -+=，∵b 2-4ac =(-4)2-4×2×3=-8﹤0， ∴原方程没有实数根， 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是明确题意，将方程进行正确的转化． 7．（2022·河北保定·一模）可以用如图所示的图形研究方程x 2+ax ＝b 2的解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2a，BC ＝b ，以点A 为圆心作弧交AB 于点D ，使AD ＝AC ，则该方程的一个正根是（ ）A ．CD 的长B ．BD 的长C ．AC 的长D ．BC 的长【答案】B【分析】由勾股定理可得：222,22a a b BD ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理可得22·,BD a BD b +=从而可得答案. 【详解】解： ∠C ＝90°，AC ＝2a，BC ＝b ，AD ＝AC ，222,22a a b BD ⎛⎫⎛⎫∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 整理得：22·,BD a BD b += 而x 2+ax ＝b 2，∴ 方程的一个正根为线段BD 的长，故选B【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，勾股定理的应用，理解一元二次方程的解的含义是解本题的关键.8．（2021·辽宁葫芦岛·九年级阶段练习）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，8AB =cm ，7BC =cm ，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时开始移动（移动方向如图所示），点P 的速度为1cm/s ，点Q 的速度为2cm/s ，点Q 移动到点C 后停止，点P 也随之停止运动，若使PBQ ∆的面积为15cm 2，则点P 运动的时间是（ ）A ．3.5sB ．5sC ．4sD ．3s【分析】设出动点P ，Q 运动t 秒，能使△PBQ 的面积为15cm 2，用t 分别表示出BP 和BQ 的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．【详解】设动点P ，Q 运动t 秒后，能使△PBQ 的面积为15cm 2， 则BP 为(8−t )cm ，BQ 为2tcm ，由三角形的面积计算公式列方程得，12×(8−t )×2t ＝15，解得t 1＝3，t 2＝5（当t ＝5时，BQ ＝10，不合题意，舍去）． ∴动点P ，Q 运动3秒时，能使△PBQ 的面积为15cm 2． 故答案为:D【点睛】此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．9．（2022·安徽合肥·八年级期中）对于一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，下列说法：①若0a b c -+=，则240b ac -≥；②若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根； ③若c 是方程20ax bx c ++=的一个根，则一定有10ac b ++=成立； ④若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，则()22042b ac ax b -=+ 其中正确的：（ ） A ．只有① B ．只有①② C ．①②③ D ．只有①②④【答案】D【分析】根据一元二次方程解的含义、一元二次方程根的判别式等知识逐个分析即可．【详解】由0a b c -+=，表明方程()200++=≠ax bx c a 有实数根﹣1，表明一元二次方程()200++=≠ax bx c a 有实数解，则240b ac ∆=-≥，故①正确；∵方程20ax c +=有两个不相等的实根，∴方程2cx a=-有两个不相等的实根， 即a 与c 异号． ∴-ac >0，∴224(4)0b ac b ac ∆=-=+->，∴方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根；∵c 是方程20ax bx c ++=的一个根， ∴20ac bc c ++=， 即(1)0c ac b ++=当0c ≠时，一定有10ac b ++=成立；当c =0时，则10ac b ++=不一定成立，例如：方程2320x x +=，则130ac b ++=≠； 故③错误；∵0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，∴2000ax bx c ++=，∴200c ax bx =--，∴()0222222000044()442b ac b a ax bx ax ax b ax b -=---=++=+， 故④正确； 故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解等知识，熟练掌握这些知识是解答本题的关键．10．（2022·浙江绍兴·八年级期末）空地上有一段长为a 米的旧墙MN ，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S ．下列说法错误的是（ ）A ．若a ＝16，S ＝196，则有一种围法B ．若a ＝20，S ＝198，则有两种围法C ．若a ＝24，S ＝198，则有两种围法D ．若a ＝24，S ＝200，则有一种围法【答案】A【分析】分两种情况讨论：采用图1围法，图2围法，设矩形菜园的宽为x 米，分别表示矩形的长，再利用矩形面积列方程，解方程，注意检验x 的范围，从而可得答案． 【详解】解：设矩形菜园的宽为x 米，则长为()402x -米，∴2402240,S x x x x当16a =时，采用图1围法，则此时1220,x当196S =时， 2240196,x x解得：12102,102,x x此时都不符合题意， 采用图2围法，如图，此时矩形菜园的宽为x 米，即,AB CD x == 则40216,AD BCx 则28,BC x 所以长为()28x -米，结合2816x 可得012,x ∴28196,x x解得：1214,x x 经检验不符合题意，综上：若a ＝16，S ＝196，则没有围法，故A 符合题意； 设矩形菜园的宽为x 米，则长为()402x -米， ∴2402240,Sx x x x当20a =时，采用图1围法，则此时1020,x当198S 时， 2240198,x x解得：1211,9,x x 经检验11x =符合题意；采用图2围法，如图，此时矩形菜园的宽为x 米，即,AB CD x == 则40220,AD BCx 则30,BC x 所以长为()30x -米，结合3020x 可得010,x ∴30198,x x解得：121533,1533,x x 经检验1533x 符合题意， 综上：若a ＝20，S ＝198，则有两种围法，故B 不符合题意； 同理可得：C 不符合题意，D 不符合题意； 故选A【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，表示图2中矩形的长是解本题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2022·江苏·九年级专题练习）“新冠肺炎”防治取得战略性成果．若有一个人患了“新冠肺炎”，经过两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染了_________人． 【答案】4【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x 人，则第一轮传染中有x 人被传染，第二轮传染中有(1)x x +人被传染，根据一人患病经过两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”，即可得出关于x 的一元二次方程，解方程求解即可．【详解】设每轮传染中平均一个人传染了x 人，则第一轮传染中有x 人被传染，第二轮传染中有(1)x x +人被传染，由题意得 1(1)25x x x +++= 解得4x =或6-（舍去）所以，每轮传染中平均一个人传染了4人 故答案为：4．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12．（2022·黑龙江大庆·八年级期中）已知三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程216600x x -+=的一个实数根，则该三角形的面积是_____．【答案】24【分析】先利用因式分解法解方程得到x 1=6，x 2=10，当第三边长为6时，利用等腰三角形的性质和勾股定理可计算出底边上的高10时，利用勾股定理的逆定理可判断三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：x 2-16x +60=0， （x -6）（x -10）=0， x -6=0或x -10=0， 所以x 1=6，x 2=10，当第三边长为6时，三角形为腰是6，底为8的等腰三角形，则底边上的高此时三角形的面积=182⨯⨯当第三边长为10时，∵62+82=102, ∴三角形为直角三角形， 此时三角形的面积=12×8×6=24．故答案为：24【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系，勾股定理及其逆定理． 13．（2022·北京昌平·八年级期末）2022年女足亚洲杯在2022年1月20日至2月6日举行，由小组赛和淘汰赛组成．按比赛规则小组赛赛制为单循环赛制（即每个小组的两个球队之间进行一场比赛），在小组赛阶段，中国队凭借着小组赛比赛前几个场次的赢球，成为最先获得八强资格的球队，并在2022年2月6日的亚洲杯决赛中以3∶2战胜韩国女足，获得亚洲杯冠军．已知中国女足队所在的A 组共安排了6场比赛，则中国女足所在的A 组共有______支球队． 【答案】4【分析】设中国女足所在的A 组共有x 支球队，则每支球队需要比赛的场数为()1x -场，根据12×球队数×每支球队需要比赛的场数=6，列出方程，解方程即可．【详解】解：设中国女足所在的A 组共有x 支球队，根据题意得：()1162x x -=， 解得：14x =，23x =-（舍去） 故答案为：4．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系，列出方程，是解题的关键． 14．（2022·浙江·诸暨市滨江初级中学八年级阶段练习）《代数学》中记载，形如x 2+8x ＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x 2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x 的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．”小聪按此方法解关于x 的方程x 2+10x +m ＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解是_________．【答案】5x =-+5x =【分析】根据阴影部分的面积+四个正方形的面积=大正方形的面积，得出2255504()(2),22x +⨯=+⨯解方程即可．【详解】解：∵阴影部分的面积为50，∴2255504()(2),22x +⨯=+⨯即75=（x +5）2，解得1255x x =-+=--∴x 的正数解为：5x =-+故答案为：5x =-+【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，借助数形结合的思想得出方程是解决本题的关键．15．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，若将图1正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则a 与b 数量关系是______．【答案】b = 【分析】根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为(a +b )，右图是一个长方形，长、宽分别为(b +a +b )、b ，并且它们的面积相等，由此即可列出等式(a +b )2=b (b +a +b )，解方程即可求出答案．【详解】解：依题意得(a +b )2=b (b +a +b )，整理得：a 2+b 2+2ab =2b 2+ab ，则a 2-b 2+ab =0，方程两边同时除以b 2， 则210a a b b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得：a b =， ∵a b 不能为负，∴a b =，∴b =，故答案为：b =． 【点睛】此题主要考查了图形的剪拼，是一个信息题目．解题的关键是要正确理解题目的意思，会根据题目隐含条件找到数量关系，最后利用数量关系列出方程解决问题16．（2022·辽宁鞍山·八年级期中）对于实数p ，q ，我们用符号{}max ,p q 表示p ，q 两数中较大的数，例如：{}max 1,22=，若{}22max (1),y x x =-，当y ＝4则x ＝______． 【答案】-1或2##2或-1【分析】首先根据题意，进而可得max {（x ﹣1）2，x 2}＝4时分情况讨论，当x ＝0.5时，x ＞0.5时和x ＜0.5时，进而可得答案．【详解】∵max {（x ﹣1）2，x 2}＝4，()2210x x --> 解得12x <当x ＝0.5时，x 2＝（x ﹣1）2，不可能得出最小值为4，∴当x ＞0.5时，（x ﹣1）2＜x 2，则x 2＝4，解得：x 1＝-2（不合题意，舍去），x 2＝2，当x ＜0.5时，（x ﹣1）2＞x 2，则（x ﹣1）2＝4，x ﹣1＝±2，x ﹣1＝2，x ﹣1＝﹣2，解得：x 1＝-1，x 2＝3（不合题意，舍去），综上所述：x 的值为：2或﹣1．故答案为2或﹣1．【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，实数的比较大小，以及分类思想的运用，关键是正确理解题意．三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（2022·广西崇左·八年级期中）解下列方程：(1)25210x x +-=；(2)2(y =．【答案】(1)1x =2x =(2)12y y ==【分析】（1）利用公式法解答，即可求解；（2）利用配方法解答，即可求解．（1）解：∵5a =，2b =，1c =-，∴42024∆=+=，∴x =∴1x =，2x =． （2）解：原方程可化为230y -+=，配方得，(20y =，∴12y y =【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法——直接开平方法，因式分解法，公式法，配方法是解题的关键．18．（2022·北京顺义·八年级期末）已知：关于x 的方程210x kx k -+-=．(1)请判断这个方程根的情况；(2)若该方程的一个根小于1，求k 的取值范围．【答案】(1)有两个实数根(2)2k ＜【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式以及完全平方公式，可得原方程有两个实数根；（2）由一元二次方程的求根公式可得，22k k x ±-，分2k ≥和2k ＜两种情况进行讨论即可． （1）解：∵ ()()()222Δ41442k k k k k =---=-+=-≥0． ∴原方程有两个实数根．（2）解：∵210x kx k -+-=，其中1a =，b k =-，1c k =-，()22k =-△，∵x =∴22k k x ±-，若2k ≥，则11x k =-，21x =∵该方程的一个根小于1，∴11k -＜，即2k ＜，这与2k ≥矛盾，应舍去；若2k ＜，则11x k =-，21x =∵该方程的一个根小于1，∴11k -＜，即2k ＜，符合题意，综上，2k ＜．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和求根公式，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键．19．（2022·安徽合肥·八年级期末）某水果店标价为10元/kg 的某种水果经过两次降价且两次降价的百分率都是10%，请回答下列问题：(1)该水果经过两次降价后的价格是______元/kg ；(2)从第二次降价的第1天算起，第x 天（x 为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示，已知该水果的进价为4.1元/kg ，设销售该水果第x 天（1≤x <10）的利润为368元，求x 的值．【答案】(1)8.1(2)9 【分析】（1）根据“水果店标价为10元/kg 的某种水果经过两次降价且两次降价的百分率都是10%”得两次降价后的价格为10×（1-10%）2=8.1元/千克．（2）利用当天销售该水果获得的利润=每斤的利润×当天的销售量-储藏和损耗费用，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出x 的值为．（1）根据题意得：10（1-10）2=8.1（元/kg ）故答案为：8.1．（2）依题意得：（8.1-4.1）（120-x ）-（3x 2-64x +409）=368，整理得：x 2-20x +99=0．解得：x 1=9，x 2=11．又∵1≤x ＜10，∴x =9．答：x 的值为9．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20．（2022·广西北海·七年级期中）阅读材料：把代数式267x x --因式分解，可以分解如下：22676997x x x x --=-+--()2316x =-- ()()3434x x =-+--()()17x x =+-(1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式287x x -+因式分解．(2)拓展：当代数式22230x xy y +-=时，求x y的值． 【答案】(1)(1)(7)x x --(2)1或-3【分析】（1）仿照例题的计算方法先配方，再利用平方差公式进行分解；（2）将方程左边因式分式后求出x 与y 的关系，求出结果即可．（1）解：287x x -+2816167x x =-+-+()249x =-- ()()4343x x =-+--()()17x x =--；（2）解：2223x xy y +-222223x xy y y y =++--()224x y y =+- ()()22x y y x y y =+++-()()3x y x y =+-，∵22230x xy y +-=，∴()()30x y x y +-=，∴0x y -=或30x y +=，∴x y =或3x y =-， ∴1x y=或33x y y y -==-． 【点睛】本题考查因式分解的应用，解题关键是模仿例题进行因式分解，主要利用配方法和平方差公式． 21．（2022·重庆·八年级期末）某商店今年3月第一周购进一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一个“冰墩墩”的进价比一个“雪容融”的进价多40元，购进20个“冰墩墩”和30个“雪容融”的金额相同．(1)今年3月第一周每个“冰墩墩”和每个“雪容融”的进价分别是多少元？(2)今年3月份第一周，商店以150元每个售出“冰墩墩”120个，以100元每个售出“雪容融”150个，第二周商店决定调整价格，每个“冰墩墩”的价格不变，销量比第一周增加了143m 个，每个“雪容融”的售价在第一周的基础上下降了m 元，销量比第一周增加了2m 个，若该商家今年3月份第一、二周共获利13200元，求m 的值．【答案】(1)今年3月第一周每个“冰墩墩”的进价是120元，每个“雪容融”的进价是80元(2)15【分析】（1）设今年3月第一周每个“冰墩墩”的进价是x 元，每个“雪容融”的进价是y 元，利用总价=单价×数量，结合“冰墩墩”及“雪容融”单价间的关系，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总利润=每件的销售利润×销售数量，即可得出关于m 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．（1）解：设今年3月第一周每个“冰墩墩”的进价是x 元，每个“雪容融”的进价是y 元，依题意得：402030x y x y -=⎧⎨=⎩， 解得：12080x y =⎧⎨=⎩． 答：今年3月第一周每个“冰墩墩”的进价是120元，每个“雪容融”的进价是80元．（2）依题意得：（150-120）×120+（100-80）×150+（150-120）×（120+143m ）+（100-m -80）×（150+2m ）=13200，整理得：m 2-15m =0，解得：m 1=15，m 2=0（舍去）．答：m 的值为15．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．22．（2022·河北唐山·八年级期中）如图1，90B C ∠=∠=︒，点P 从A 出发，沿A B C D ---路线运动，到D 停止；点P 的速度为每秒1cm ，运动时间为x 秒，如图1是ABP △的面积()2cm S 与x （秒）的图像．(1)______时间段内点P 在线段AB 上运动；______时间段内点P 在线段BC 上运动；(2)根据题目中提供的信息，请你推断出图1中的AB =______cm ；BC =______cm ；CD =______cm ；图2中的m =______2cm ；(3)当点P 运动______秒时，AP PD =．【答案】(1)0到2；2到5(2)2；3；1；3(3)3【分析】（1）由函数的图像2知，在0到2秒的时间段点P 在线段AB 上运动，，在2到5秒的时间段点P 在线段BC 上运动，即可求解；（2）从图2看，AB ＝2cm ，BC ＝5﹣2＝3（cm ），CD ＝6﹣5＝1（cm ），当点P 和点C 重合时，△ABP 的面积S为m，即可求解；（3）当AP＝PD时，即4+（x﹣2）2＝1+（x﹣5）2，解得x＝3，进而求解．（1）解：由函数的图像2知，在0到2秒的时间段点P在线段AB上运动，，在2到5秒的时间段点P在线段BC上运动，故答案为：0到2；2到5；（2）解：从图2看，AB＝2cm，BC＝5﹣2＝3（cm），CD＝6﹣5＝1（cm），当点P和点C重合时，△ABP的面积S为m，即m＝S＝12×AB•BC＝12×2×3＝3（cm2），故答案为：2，3，1，3；（3）解：从图象看，当点P在BC上时，有△ADP以∠ADP为底角构成等腰三角形，此时，BP＝x﹣2，则PC＝BC﹣BP＝3﹣（x﹣2）＝5﹣x，则AP2＝AB2+BP2＝4+（x﹣2）2，DP2＝PC2+CD2＝1+（x﹣5）2，当AP＝PD时，即4+（x﹣2）2＝1+（x﹣5）2，解得x＝3，故答案为：3．【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．23．（2022·浙江金华·八年级期中）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．(1)如图1，已知∠ACB＝90°，AC＝4，BC 将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB．①四边形ACBD______（填“是”或“不是”）等邻边四边形；②求线段DB 的长度．(2)如图2，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，将Rt △ABC 沿∠B 的平分线BB '方向平移得到A B C '''，连接AA '，BC '．若平移后的四边形ABC A ''是“等邻边四边形”，则平移的距离（即线段BB '的长）为______．【答案】(1)①是；②BD 或5或 【分析】（1）①“等邻边四边形”的定义判断即可；②根据旋转的性质和勾股定理即可得到结论；（2）根据由平移的性质易得BB ′=AA ′，A ′B ′AB ，A ′B ′=AB =4，B ′C ′=BC =3，A ′C ′=AC =5，再利用“等邻边四边形”定义分类讨论，由勾股定理得出结论．（1）解：①四边形ACBD 是等邻边四边形，理由：∵将线段AC 绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到线段AD ，∴AC =AD ，∴四边形ACBD 是等邻边四边形；故答案为：是；②如图1，过D 作DH ⊥BC 于H ，则∠DHC =∠DHB =90°，∵将线段AC 绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到线段AD ，∴AC =AD ，∠CAD =60°，∴△ACD 是等边三角形，∴CD =AC =4，∠ACD =60°，∵∠ACB =90°，∴∠DCH =30°，∴DH =12CD =2，CH∵BC∴BH∴BD（2）解：∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，∴AC=5，∵将Rt△ABC平移得到△A′B′C′，∴BB′=AA′，A′B′AB，A′B′=AB=4，B′C′=BC=3，A′C′=AC=5，（I）如图1，当AA′=AB时，BB′=AA′=AB=4；（II）如图2，当AA′=A′C′时，BB′=AA′=A′C′=5；（III）当A′C′=BC′=5时，如图3，延长C′B′交AB于点D，则C′B′⊥AB，∵BB′平分∠ABC，∴∠ABB′=12∠ABC=45°，∴∠BB′D=∠ABB′=45°，∴B′D=BD，设B′D=BD=x，则C′D=x+3，BB，∵在Rt△BC′D中，BD2+C′D2=BC′2，∴x2+（x+3）2=52，解得：x（负值已舍），∴BB x（Ⅳ）当BC′=AB=4时，如图4，与（Ⅳ）方法一同理可得：BD2+C′D2=BC′2，设B′D=BD=x，则x2+（x+3）2=42，解得：x，∴BB x，综上所述，要使平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”应平移4或5故答案为：4或5．【点睛】本题是几何变换综合题，新定义类探究题，主要考查了平移的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程．解决本题需利用新定义，逐一讨论，解题中利用平移的性质并构造直角三角形是关键．。
(完整版)一元二次方程能力拔高题
一元二次方程培优专题复习只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
)0(02≠=++a c bx“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A 、()()12132+=+x x B 、02112=-+x xC 、02=++c bx ax D 、1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx xm m是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
★2、若方程()021=--m xm 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值： ；⑵写出关于x 的一元一次方程： 。
★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
★★★4、若方程nx m+x n-2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根，★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程311=-+x x 的解相同。
一元二次方程拔高练习题
一元二次方程检测题802姓名 分数一、选择填空题（20*2=40分）1.解下列方程x 2-6x-7=0, 2x 2-50=0, 3(4x-1)2=(1-4x), 3x 2-5x-6=0，较简便的方法依次是（ ）A ．因式分解法、公式法、配方法、公式法B ．配方法、直接开平方法、因式分解法、公式法C ．直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法D ．公式法、直接开平方法、因式分解法、配方法2.下列说法中：①方程02=++q px x 的二根为1x ，2x ，则))((212x x x x q px x --=++② )4)(2(862--=-+-x x x x .③)3)(2(6522--=+-a a b ab a ④ ))()((22y x y x y x y x -++=-⑤方程07)13(2=-+x 可变形为0)713)(713(=-+++x x正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个3.若实数x 、y 满足()()023=++-+y x y x ，则x+y 的值为（ ）A.-1或-2B.-1或2C.1或-2D.1或24.已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程07822=+-x x 的两根，则这个直角三 角形的斜边是（ ） A.3 B.3 C.6 D.65.若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝ 0 （a ≠0） 的两根之比为2：3，那么a 、b 、c 间的关系应当是（ ）A.3b 2＝8acB.a c a b 2325922=C.6b 2＝25acD.不能确定 6.设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ）A ．2006B ．2007C ．2008D ．20097.若一元二次方程的两根x 1、x 2满足下列关系：x 1x 2+x 1+x 2+2=0,x 1x 2-2x 1-2x 2+5=0. 则这个一元二次方程是（ ）A.x 2+x+3=0B.x 2-x-3=0C.x 2-x+3=0D.x 2+x-3=08.已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为9.若=•=-+y x 则y x 324,035210.()()=+=-+-+2222222,06b 则a b a b a11.已知023222=--y xy x ,且0,0>>y x ,则y x y x -+的值为12.已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根，则m 的值为13.若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则x+y 的值为14.菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程01272=+-x x 的一个根，则菱形ABCD 的面积为 15.若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为 ，最小值为16.已知方程012=++mx x 与02=--m x x 有一个公共实根，则字母系数m=17.已知α，β是方程0522=-+x x 的两个实数根，则α2+β2+2α+2β的值为_______18.已知3-=+b a ，1=ab ，则=+b a 8319.已知实数m 、n 满足0142=--m m ，0142=--n n 则=+mn n m 20.若p 、q 是方程01)2(2=+-+x m x 的两个实根，则=++++)1)(1(22mq q mp p二、解答题（110）21.已知x=2是关于x 的方程2x 2+mx-4=0的一个根，求m 的值及另一个根。
强烈推荐：一元二次方程强化专训题及答案
阶段强化专训一： 巧用一元二次方程的定义及相关概念求字母或代数式的值利用一元二次方程的定义确定字母的取值1．已知(m －3)x 2＋m ＋2x ＝1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是( )A ．m ≠3B ．m ≥3C ．m ≥－2D ．m ≥－2且m ≠32．已知关于x 的方程(m ＋1)xm 2＋1＋(m －2)x －1＝0.(1)m 取何值时，它是一元二次方程？并写出这个方程；(2)m 取何值时，它是一元一次方程？利用一元二次方程的项的概念求字母的取值3．若关于x 的一元二次方程(2a －4)x 2＋(3a ＋6)x ＋a －8＝0没有常数项，则a 的值_______．4．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋5x ＋m 2－1＝0的常数项为0，求m 的值．利用一元二次方程的根的概念求字母或代数式的值5．已知关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的一个根是－a(a ≠0)，则a －b 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．26．已知关于x 的一元二次方程(k ＋4)x 2＋3x －16＝0的一个根为0，求k 的值．7．已知实数a 是一元二次方程x 2－2 016x ＋1＝0的根，求代数式a 2－2 015a －a 2＋12 016的值．利用一元二次方程根的概念解决探究性问题8．已知m ，n 是方程x 2－2x －1＝0的两个根，是否存在实数a 使(7m 2－14m ＋a)(3n 2－6n －7)的值等于8？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．阶段强化专训二： 一元二次方程的解法名师点金：解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法等．在具体的解题过程中，结合方程的特点选择合适的方法，往往会达到事半功倍的效果．限定方法解一元二次方程方法1 形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解1．方程4x 2－25＝0的解为( )A ．x ＝25B ．x ＝52C ．x ＝±52D ．x ＝±252．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无实数解的方程为( )A ．x 2－5＝5B ．－3x 2＝0C ．x 2＋4＝0D ．(x ＋1)2＝0方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解3．用配方法解方程x 2＋3＝4x ，配方后的方程变为( )A ．(x －2)2＝7B ．(x ＋2)2＝1C ．(x －2)2＝1D ．(x ＋2)2＝24．解方程：x 2＋4x －2＝0.5．已知x 2－10x ＋y 2－16y ＋89＝0，求x y的值．方法3 能化成形如(x ＋a)(x ＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解6．(中考·宁夏)一元二次方程x(x －2)＝2－x 的根是( )A ．－1B ．0C ．1和2D ．－1和27．解下列一元二次方程：(1)x 2－2x ＝0；(2)16x 2－9＝0；(3)4x 2＝4x －1.方法4 如果一个一元二次方程易化为它的一般式，则用公式法求解8．用公式法解一元二次方程x 2－14＝2x ，方程的解应是( ) A ．x ＝－2±52 B ．x ＝2±52C ．x ＝1±52D ．x ＝1±329．用公式法解下列方程．(1)3(x 2＋1)－7x ＝0；(2)4x 2－3x －5＝x －2.选择合适的方法解一元二次方程10．方程4x 2－49＝0的解为( )A ．x ＝27B ．x ＝72 C ．x 1＝72，x 2＝－72 D ．x 1＝27，x 2＝－2711．一元二次方程x 2－9＝3－x 的根是() A ．3 B ．－4 C ．3和－4D ．3和412．方程(x ＋1)(x －3)＝5的解是( )A ．x 1＝1，x 2＝－3B ．x 1＝4，x 2＝－2C ．x 1＝－1，x 2＝3D ．x 1＝－4，x 2＝213．解下列方程．(1)3y 2－3y －6＝0；(2)2x 2－3x ＋1＝0.用特殊方法解一元二次方程方法1 构造法14．解方程：6x 2＋19x ＋10＝0.方法2 换元法a ．整体换元15．已知x 2－2xy ＋y 2＋x －y －6＝0，则x －y 的值是( )A ．－2或3B ．2或－3C ．－1或6D ．1或－616．解方程：(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)＝48.b ．降次换元17．解方程：6x 4－35x 3＋62x 2－35x ＋6＝0.c ．倒数换元18．解方程：x －2x －3x x －2＝2.配方法解方程19．若m ，n ，p 满足m －n ＝8，mn ＋p 2＋16＝0，求m ＋n ＋p 的值．特殊值法解一元二次方程20．解方程：(x －2 013)(x －2 014)＝2 015×2 016.阶段强化专训三： 根的判别式的四种常见应用名师点金：对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，式子b 2－4ac 的值决定了一元二次方程的根的情况，利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围．利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1．(中考·潍坊)已知关于x 的方程kx 2＋(1－k)x －1＝0，下列说法正确的是( )A ．当k ＝0时，方程无解B ．当k ＝1时，方程有一个实数解C ．当k ＝－1时，方程有两个相等的实数解D ．当k ≠0时，方程总有两个不相等的实数解2．已知关于x 的方程x 2－2x －m ＝0没有实数根，试判断关于x 的方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0的根的情况．利用根的判别式求字母的值或取值范围3．(2015· 咸宁)已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0，(1)证明：不论m 为何值，方程总有实数根；(2)m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．利用根的判别式求代数式的值4．(2015·福州改编)已知关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，求m －1（2m －1）2＋2m的值．利用根的判别式确定三角形的形状5．已知a ，b ，c 是三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．阶段强化专训四：一元二次方程与三角形的综合一元二次方程与三角形三边关系的综合1．三角形的两边长分别为4和6，第三边长是方程x2－7x＋12＝0的解，则第三边的长为()A．3B．4C．3或4D．无法确定2．根据一元二次方程根的定义，解答下列问题．一个三角形两边长分别为3 cm和7 cm，第三边长为a cm，且整数a满足a2－10a＋21＝0，求三角形的周长．解：由已知可得4<a<10，则a可取5，6，7，8，9.(第一步)当a＝5时，代入a2－10a＋21得52－10×5＋21＝－4≠0，故a＝5不是方程的根．同理可知a＝6，a＝8，a＝9都不是方程的根，a＝7是方程的根．(第二步)∴三角形的周长是3＋7＋7＝17(cm)．上述过程中，第一步是根据_____________________________________________，第二步应用的数学思想是__________，确定a值的大小是根据______________．一元二次方程与直角三角形的结合3．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2－17x＋60＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长为________．4．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，当m>0时，关于x的一元二次方程c(x2＋m)＋b(x2－m)－2max＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．5．已知△ABC的三边a，b，c中，a＝b－1，c＝b＋1，又已知关于x的方程4x2－20x＋b＋12＝0的根恰为b 的值，求△ABC的面积．(∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c)一元二次方程与等腰三角形的综合6．等腰三角形一条边长为3，另两条边的长是关于x的一元二次方程x2－12x＋k＝0的两个根，则k的值是() A．27B．36C．27或36D．187．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC的三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．阶段强化专训五： 可化为一元二次方程的分式方程的应用营销问题1．某玩具店采购人员第一次用100元去采购“企鹅牌”玩具，很快售完，第二次去采购时发现批发价每件上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件，两批玩具的售价均为2.8元，问：第二次采购玩具多少件？(说明：根据销售常识，批发价应该低于销售价)2．小明的爸爸下岗后，做起了经营水果的生意，一天，他先去水果批发市场，用100元购甲种水果，用150元购乙种水果，乙种水果比甲种水果多购进10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价每千克高0.50元，然后到零售市场，都按每千克2.8元零售，结果乙种水果很快售完，甲种水果售出45时，出现滞销，他便按原售价的5折售完剩下的水果，请你帮小明的爸爸算一算，这天卖水果是赔钱了还是赚钱了(不考虑其他因素)？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？行程问题3．从甲站到乙站有150千米，一列快车和一列慢车同时从甲站匀速开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车到达乙站比慢车早25分钟，快车和慢车每小时各行驶多少千米？工程问题4．某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天才能完成此项工程．(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天；(2)若甲工程队单独施工a 天后，再由甲、乙两工程队合作________天(用含a 的代数式表示)可完成此项工程；(3)如果甲工程队施工每天需收取施工费1万元，乙工程队施工每天需收取施工费2.5万元，那么甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？答案阶段强化专训一1．D 点拨：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m －3≠0，m ＋2≥0，解得m ≥－2且m ≠3. 2．解：(1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋1＝2，m ＋1≠0时，它是一元二次方程，解得m ＝1. 当m ＝1时，原方程可化为2x 2－x －1＝0.(2)当⎩⎪⎨⎪⎧m －2≠0，m ＋1＝0或者当m ＋1＋(m －2)≠0且m 2＋1＝1时，它是一元一次方程．解得m ＝－1或m ＝0. 故当m ＝－1或m ＝0时，它是一元一次方程．3．8 点拨：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －8＝0，2a －4≠0.解得a ＝8. 4．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m －1≠0，解得m ＝－1. 5．A 点拨：∵关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的一个根是－a(a ≠0)，∴a 2－ab ＋a ＝0.∴a(a －b ＋1)＝0. ∵a ≠0，∴a －b ＝－1.6．解：把x ＝0代入(k ＋4)x 2＋3x －16＝0，得k 2－16＝0，解得k ＝±4.∵k ＋4≠0，∴k ≠－4，∴k ＝4.7．解：∵实数a 是一元二次方程x 2－2 016x ＋1＝0的根，∴a 2－2 016a ＋1＝0.∴a 2＋1＝2 016a ，a 2－2 016a ＝－1.∴a 2－2 015a －a 2＋12 016＝a 2－2 015a －2 016a 2 016＝a 2－2 015a －a ＝a 2－2 016a ＝－1. 8．解：由题意可知m 2－2m －1＝0，n 2－2n －1＝0，即m 2－2m ＝1，n 2－2n ＝1.∴(7m 2－14m ＋a)(3n 2－6n －7)＝[7(m 2－2m)＋a][3(n 2－2n)－7]＝(7＋a)(3－7)＝－4(a ＋7)，由－4(a ＋7)＝8得a ＝－9，故存在满足要求的实数a ，且a 的值等于－9.阶段强化专训二1．C 2.C 3.C4．解： x 2＋4x －2＝0，x 2＋4x ＝2，(x ＋2)2 ＝6，x ＋2 ＝±6，∴x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6.5．解： x 2－10x ＋y 2－16y ＋89＝0，(x 2－10x ＋25)＋(y 2－16y ＋64) ＝0，(x －5)2＋(y －8)2 ＝0，∴x ＝5，y ＝8，∴x y ＝58. 6．D7．解：(1)x 2－2x ＝0，x(x －2)＝0，x 1＝0，x 2＝2.(2)16x 2－9＝0，(4x ＋3)(4x －3)＝0，x 1＝－34，x 2＝34. (3)4x 2＝4x －1，4x 2－4x ＋1＝0，(2x －1)2＝0，x 1＝x 2＝12. 8．B9．解：(1)3(x 2＋1)－7x ＝0，3x 2－7x ＋3＝0，∴b 2－4ac ＝(－7)2－4×3×3＝13，∴x ＝7±132×3＝7±136.∴x 1＝7＋136，x 2＝7－136. (2)4x 2－3x －5＝x －2，4x 2－4x －3＝0，∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×4×(－3)＝64，∴x ＝4±642×4， ∴x 1＝32，x 2＝－12. 10．C 11.C 12.B13．解：(1)3y 2－3y －6＝0，y 2－y －2＝0，y 2－y ＋14－94＝0，⎝⎛⎭⎫y －122＝94，y －12＝±32，∴y 1＝2，y 2＝－1. (2)2x 2－3x ＋1＝0，b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×1＝1，∴x ＝3±12×2，即x 1＝1，x 2＝12. 14．解：将原方程两边同乘6，得(6x)2＋19×(6x)＋60＝0.解得6x ＝－15或6x ＝－4.∴x 1＝－52，x 2＝－23. 15．B16．解：原方程即[(x －1)(x －4)][(x －2)(x －3)]＝48，即(x 2－5x ＋4)(x 2－5x ＋6)＝48.设y ＝x 2－5x ＋5，则原方程变为(y －1)(y ＋1)＝48.解得y 1＝7，y 2＝－7.当x 2－5x ＋5＝7时，解得x 1＝5＋332，x 2＝5－332； 当x 2－5x ＋5＝－7时，Δ＝(－5)2－4×1×12＝－23<0，方程无实数根．∴原方程的根为x 1＝5＋332，x 2＝5－332. 17．解：经验证x ＝0不是方程的根，原方程两边同除以x 2，得6x 2－35x ＋62－35x ＋6x 2＝0， 即6⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－35⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋62＝0. 设y ＝x ＋1x ，则x 2＋1x2＝y 2－2， 原方程可变为6(y 2－2)－35y ＋62＝0.解得y 1＝52，y 2＝103. 当x ＋1x ＝52时，解得x ＝2或x ＝12； 当x ＋1x ＝103时，解得x ＝3或x ＝13. 经检验，均符合题意．∴原方程的解为x 1＝2，x 2＝12，x 3＝3，x 4＝13. 18．解：设x －2x ＝y ，则原方程化为y －3y＝2， 整理得y 2－2y －3＝0，∴y 1＝3，y 2＝－1.当y ＝3时，x －2x＝3，∴x ＝－1.当y ＝－1时，x －2x＝－1，∴x ＝1. 经检验，x ＝±1都是原方程的根，∴原方程的根为x 1＝1，x 2＝－1.19．解：因为m －n ＝8，所以m ＝n ＋8.将m ＝n ＋8代入mn ＋p 2＋16＝0中，得n(n ＋8)＋p 2＋16＝0，所以n 2＋8n ＋16＋p 2＝0，即(n ＋4)2＋p 2＝0. 又因为(n ＋4)2≥0，p 2≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＋4＝0，p ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－4，p ＝0.所以m ＝n ＋8＝4， 所以m ＋n ＋p ＝4＋(－4)＋0＝0.20．解：方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2 013＝2 016，x －2 014＝2 015的解一定是原方程的解，解得x ＝4 029. 方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2 013＝－2 015，x －2 014＝－2 016的解也一定是原方程的解，解得x ＝－2. ∵原方程最多有两个实数解，∴原方程的解为x 1＝4 029，x 2＝－2.点拨：解本题也可采用换元法．设x －2 014＝t ，则x －2 013＝t ＋1，原方程可化为t(t ＋1)＝2 015×2 016，先求出t ，进而求出x.阶段强化专训三1．C 点拨：当k ＝0时，方程为一元一次方程，解为x ＝1；当k ≠0时，因为Δ＝(1－k)2－4k·(－1)＝k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2≥0，所以当k ＝1时，Δ＝4，方程有两个不相等的实数解；当k ＝－1时，Δ＝0，方程有两个相等的实数解；当k ≠0时，Δ≥0，方程总有两个实数解．故选C .2．解：∵x 2－2x －m ＝0没有实数根，∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，即m<－1.对于方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0，Δ2＝(2m)2－4·m(m ＋1)＝－4m>4，∴方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0有两个不相等的实数根．3．(1)证明：Δ＝[－(m ＋2)]2－8m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2.∵不论m 为何值，(m －2)2≥0，即Δ≥0.∴不论m 为何值，方程总有实数根．(2)解：解关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0，得x ＝m ＋2±Δ2m ＝m ＋2±（m －2）2m .∴x 1＝2m ，x 2＝1. ∵方程的两个根都是正整数，∴2m是正整数，∴m ＝1或m ＝2. 又∵方程的两个根不相等，∴m ≠2，∴m ＝1.4．解：∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0，即2m －1＝±4.∴m ＝52或m ＝－32. 当m ＝52时，m －1（2m －1）2＋2m ＝52－116＋5＝114；当m ＝－32时，m －1（2m －1）2＋2m ＝－32－116－3＝－526. 5．解：∵方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b 2－4(a ＋c)·a －c 4＝b 2－(a 2－c 2)＝0， 即b 2＋c 2＝a 2，∴此三角形是直角三角形．阶段强化专训四1．C2．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；分类讨论；方程根的定义3．134．解：△ABC 是直角三角形．理由如下：原方程可化为(b ＋c)x 2－2max ＋cm －bm ＝0，Δ＝4ma 2－4m(c －b)(c ＋b)＝4m(a 2＋b 2－c 2)．∵m>0，且原方程有两个相等的实数根，∴a 2＋b 2－c 2＝0，即a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 是直角三角形．5．解：将x ＝b 代入原方程，整理得4b 2－19b ＋12＝0，解得b 1＝4，b 2＝34.当b ＝4时，a ＝3，c ＝5，∵32＋42＝52，即a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠C ＝90°.∴S △ABC ＝12ab ＝12×3×4＝6；当b ＝34时，a ＝34－1<0，不合题意，舍去．因此，△ABC 的面积为6.6．B7．解：(1)△ABC 是等腰三角形．理由如下：把x ＝－1代入原方程，得a ＋c －2b ＋a －c ＝0，所以a ＝b ，故△ABC 是等腰三角形．(2)△ABC 是直角三角形．理由如下：方程有两个相等的实数根，则Δ＝(2b)2－4(a ＋c)(a －c)＝0，所以b 2－a 2＋c 2＝0，所以a 2＝b 2＋c 2，故△ABC 是直角三角形．(3)如果△ABC 是等边三角形，则a ＝b ＝c ，所以方程可化为2ax 2＋2ax ＝0，所以2ax(x ＋1)＝0，所以方程的解为x 1＝0，x 2＝－1.阶段强化专训五1．解：方法一：设第二次采购玩具x 件，则第一次采购玩具(x －10)件，由题意得100x －10＋0.5＝150x . 整理得x 2－110x ＋3 000＝0，解得x 1＝50，x 2＝60，经检验x 1＝50，x 2＝60都是原方程的解．当x ＝50时，第二次采购时每件玩具的批发价为150÷50＝3(元)，高于玩具的售价，不合题意，舍去； 当x ＝60时，第二次采购时每件玩具的批发价为150÷60＝2.5(元)，低于玩具的售价，符合题意，因此第二次采购玩具60件．方法二：设第一次采购玩具x 件，则第二次采购玩具(x ＋10)件，由题意得100x ＋0.5＝150x ＋10， 整理得x 2－90x ＋2 000＝0，解得x 1＝40，x 2＝50，经检验，x 1＝40，x 2＝50都是原方程的解．第一次采购40件时，第二次采购40＋10＝50(件)，所以第二次采购每件玩具的批发价为150÷50＝3(元)，不合题意，舍去；第一次采购50件时，第二次采购50＋10＝60(件)，所以第二次采购每件玩具的批发价为150÷60＝2.5(元)，符合题意．因此第二次采购玩具60件．2．解：设小明的爸爸购乙种水果x 千克，则购甲种水果(x －10)千克，所以甲种水果的批发价为每千克100x －10元，乙种水果的批发价为每千克150x 元．根据题意得150x －100x －10＝0.5. 方程两边同乘以x(x －10)，整理得x 2－110x ＋3 000＝0，解之得x 1＝50，x 2＝60.经检验，x 1＝50，x 2＝60都是方程的根．当x ＝50时，乙种水果的批发价为每千克15050＝3(元)，高于水果零售价，不合题意，舍去． 当x ＝60时，乙种水果的批发价为每千克15060＝2.5(元)，符合题意；甲种水果的批发价为每千克10060－10＝2(元)，也符合题意．因此，小明的爸爸购进乙种水果60千克，购进甲种水果60－10＝50(千克)，小明的爸爸这一天卖水果盈利：(50×45×2.8＋50×15×2.8×12＋60×2.8)－(100＋150)＝44(元)．∴小明的爸爸这一天卖水果赚钱了，赚了44元． 3．解：设慢车每小时行驶x 千米，则快车每小时行驶(x ＋12)千米，依题意得150x －150x ＋12＝2560. 解得x 1＝－72，x 2＝60.经检验，x 1＝－72，x 2＝60都是原方程的解．但x 1＝－72不合题意，应舍去．故x ＝60.所以x ＋12＝72.答：快车每小时行驶72千米，慢车每小时行驶60千米．4．解：(1)设乙工程队单独施工x 天可完成此项工程，则甲工程队单独施工(x ＋30)天可完成此项工程，由题意得20⎝⎛⎭⎫1x ＋1x ＋30＝1， 整理，得x 2－10x －600＝0，解得x 1＝30，x 2＝－20.经检验x 1＝30，x 2＝－20都是分式方程的解，但x 2＝－20不符合题意，应舍去，故x ＝30，x ＋30＝60.故甲、乙两工程队单独完成此项工程分别需要60天，30天．(2)⎝⎛⎭⎫20－a 3 (3)由题意得1×a ＋(1＋2.5)⎝⎛⎭⎫20－a 3≤64，解得a ≥36. 故甲工程队至少要单独施工36天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元．。
一元二次方程拔高专题(2019中考真题)(含答案)
2019-2020一元二次方程培优专题（中考真题含答案)一、单选题1．（2019·贵州中考真题）一元二次方程x 2﹣3x +1＝0的两个根为x 1，x 2，则x 12+3x 2+x 1x 2﹣2的值是（ ） A ．10B ．9C ．8D ．72．（2019·内蒙古中考真题）若12x x ，是一元二次方程230x x +-=的两个实数根，则3221417-+x x 的值为（ ）A ．﹣2B ．6C ．﹣4D ．43．（2019·湖北中考真题）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a 、c ，则关于x 的一元二次方程240ax x c ++=有实数解的概率为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．234．（2019·内蒙古中考真题）已知等腰三角形的三边长分别为4a b 、、，且a 、b 是关于x 的一元二次方程21220x x m -++=的两根，则m 的值是（ ） A ．34B ．30C ．30或34D ．30或365．（2019·湖北中考真题）若一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限，则关于x 的方程20x kx b ++=的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根D ．无法确定6．（2019·黑龙江中考真题）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．77．（2019·新疆中考真题）若关于x 的一元二次方程()2110k x x -++=有两个实数根，则k 的取值范围是（） A ．54k ≤B ．54k ＞C ．514k k ≠＜且D ．514k k ≤≠且 8．（2019·河南中考真题）一元二次方程(1)(1)23x x x +-=+的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根9．（2019·广东中考真题）关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k ---+=有两个实数根12,x x ，()1212122(2)2x x x x x x -+--+3=-，则k 的值（ ）A ．0或2B ．-2或2C ．-2D ．210．（2019·山东中考真题）已知a ，b 是方程230x x +-=的两个实数根，则22019a b -+的值是( )A ．2023B ．2021C ．2020D ．201911．（2019·山东中考真题）关于x 的一元二次方程2220x mx m m +++=的两个实数根的平方和为12，则m 的值为（ ） A ．2m =-B ．3m =C ．3m =或2m =-D ．3m =-或2m =12．（2019·山东中考真题）若关于x 的一元二次方程2(2)26k x kx k --+=有实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．0k ≥B ．0k ≥且2k ≠C ．32k ≥D ．32k ≥且2k ≠13．（2018·宁夏中考真题）若是方程x 2-4x+c=0的一个根，则c 的值是（ ）A ．1B ．C ．D ．14．（2018·内蒙古中考真题）已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+m ﹣2=0有两个实数根，m 为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m 的和为（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3二、填空题15．（2019·四川中考真题）若关于x 的一元二次方程210(0)4ax x a --=≠有两个不相等的实数根，则点(1, 3 )P a a +--在第____象限．16．（2019·宁夏中考真题）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程25140x x +-=即(5)14x x +=为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是2(5)x x ++，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即24145⨯+，据此易得2x =．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程24120x x --=的正确构图是_____．（只填序号）17．（2019·湖北中考真题）已知是关于的方程的两个不相等实数根，且满足，则的值为__________．18．（2018·四川中考真题）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-2x-1=0的两实数根，则12112121x x +++的值是__．19．（2015·四川中考真题）已知实数m ，n 满足，，且，则= ．20．（2018·四川中考真题）已知关于x 的方程ax 2+bx +1=0的两根为x 1=1，x 2=2，则方程a （x +1）2+b （x +1）+1=0的两根之和为__________．21．（2014·内蒙古中考真题）已知m ，n 是方程x 2+2x ﹣5=0的两个实数根，则m 2﹣mn+3m+n=___________．三、解答题22．（2019·湖南中考真题）关于x 的一元二次方程230x x k -+=有实数根． （1）求k 的取值范围；（2）如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程()2130m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根，求此时m 的值．23．（2019·湖北中考真题）已知关于x 的一元二次方程26(41)0x x m -++=有实数根.（1）求m 的取值范围.（2）若该方程的两个实数根为1x 、2x ，且124x x -=，求m 的值.24．（2019·湖北中考真题）已知于x的元二次方程26250x x a-++=有两个不相等的实数根12,x x．（1）求a的取值范围；（2）若22121230x x x x+-…，且a为整数，求a的值．25．（2018·四川中考真题）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．26．（2019·重庆中考真题）某菜市场有2.5平方米和4平方米两种摊位，2.5平方米的摊位数是4平方米摊位数的2倍．管理单位每月底按每平方米20元收取当月管理费，该菜市场全部摊位都有商户经营且各摊位均按时全额缴纳管理费．（1）菜市场毎月可收取管理费4500元，求该菜市场共有多少个4平方米的摊位？（2）为推进环保袋的使用，管理单位在5月份推出活动一：“使用环保袋送礼物”，2.5平方米和4平方米两种摊位的商户分别有40%和20%参加了此项活动．为提高大家使用环保袋的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“使用环保袋抵扣管理费”，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的商户会全部参加活动二，参加活动二的商户会显著增加，这样，6月份参加活动二的2.5平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加2a%，毎个摊位的管理费将会减少3%10a；6月份参加活动二的4平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加6a%，每个摊位的管理费将会减少1%4a．这样，参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减少5%18a，求a的值．参考答案1．D 【解析】 【分析】先利用一元二次方程的解的定义得到x 12=3x 1-1，则x 12+3x 2+x 1x 2-2=3（x 1+x 2）+x 1x 2-3，接着利用根与系数的关系得到x 1+x 2=3，x 1x 2=1，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】∵x 1为一元二次方程x 2﹣3x+1＝0的根， ∴x 12﹣3x 1+1＝0， ∴x 12＝3x 1﹣1，∴x 12+3x 2+x 1x 2﹣2＝3x 1﹣1+3x 2+x 1x 2﹣2＝3（x 1+x 2）+x 1x 2﹣3， 根据题意得x 1+x 2＝3，x 1x 2＝1， ∴x 12+3x 2+x 1x 2﹣2＝3×3+1﹣3＝7． 故选：D ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a． 2．A【解析】 【分析】利用根与系数的关系可得出x 1+x 2=-1、x 1•x 2=-3，211x x 3+＝，将代数式2132x 4x 17+﹣进行转化后，再代入数据即可得出结论． 【详解】 解：12x x ，是一元二次方程2x x 30+﹣＝的两个实数根，12x x 1∴+＝﹣，12x x 3＝﹣，211x x 3+＝，3221x 4x 17∴+﹣ 32211418--+＝x x()()2222111418=-++-+x x x x()211114418=---⨯-+x x21184418=---+x x()2118418=--++x x 10432=-⨯=-故选：A ． 【点睛】本题考查了方程的解、根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则1212,b c x x x x a a+=-=. 3．C 【解析】 【分析】先根据一元二次方程有实数根求出ac≤4，继而画树状图进行求解即可. 【详解】由题意，△=42-4ac≥0，∴ac≤4， 画树状图如下：a 、c 的积共有12种等可能的结果，其中积不大于4的有6种结果数， 所以a 、c 的积不大于4(也就是一元二次方程有实数根)的概率为61=122， 故选C. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，列表法或树状图法求概率，得到ac≤4是解题的关键. 4．A 【解析】【分析】分三种情况讨论，①当a=4时，②当b=4时，③当a=b 时；结合韦达定理即可求解； 【详解】解：当4a =时，8b <，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x m -++=的两根， 412b ∴+=， 8b ∴=不符合；当4b =时，8a <，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x m -++=的两根， 412a ∴+=， 8a ∴=不符合；当a b =时，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x m -++=的两根， 1222a b ∴==， 6a b ∴==， 236m ∴+=， 34m ∴=；故选：A ． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合韦达定理和三角形三边关系进行解题是关键． 5．A 【解析】 【分析】利用一次函数性质得出k ＞0，b≤0，再判断出△=k 2-4b ＞0，即可求解.【详解】 解：一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限，0k ∴>，0b ≤，240k b ∴∆=->，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一次函数的图像和一元二次方程根的判别式是解题的关键. 6．C 【解析】 【分析】设这种植物每个支干长出x 个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论 【详解】设这种植物每个支干长出x 个小分支， 依题意，得：2143x x ++=， 解得： 17x =-（舍去），26x =． 故选：C ． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程 7．D 【解析】 【分析】运用根的判别式和一元二次方程的定义，组成不等式组即可解答 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2+x +1＝0有两个实数根，∴210=1-41)10k k -⎧⎨∆⨯-⨯≥⎩≠（ ，解得：k ≤54且k ≠1． 故选：D ．【点睛】此题考查根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的情况与判别式的关系是解题关键 8．A 【解析】 【分析】先化成一般式后，在求根的判别式，即可确定根的状况． 【详解】解：原方程可化为：2240x x --=，1a \=，2b =-，4c =-，2(2)41(4)200∴∆=--⨯⨯-=>， ∴方程由两个不相等的实数根．故选：A ． 【点睛】本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键． 9．D 【解析】 【分析】将()1212122(2)2=3x x x x x x -+--+-化简可得，()21212124423x x x x x x +-+=-－，利用韦达定理，()2142(2)3k k ----+=-，解得，k ＝±2，由题意可知△＞0， 可得k ＝2符合题意. 【详解】解：由韦达定理，得：12x x +＝k －1，122x x k +＝－,由()1212122(2)23x x x x x x -+--+=-，得：()21212423x x x x --+=-，即()21212124423x x x x x x +-+=-－， 所以，()2142(2)3k k ----+=-,化简，得：24k =， 解得：k ＝±2， 因为关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k ---+=有两个实数根， 所以，△＝()214(2)k k ---+＝227k k +-〉0， k ＝－2不符合， 所以，k ＝2 故选：D. 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键. 10．A 【解析】 【分析】根据题意可知b=3-b 2，a+b=-1，ab=-3，所求式子化为a 2-b+2019=a 2-3+b 2+2019=（a+b ）2-2ab+2016即可求解.【详解】a ，b 是方程230x x +-=的两个实数根，∴23b b =-，1a b +=-，-3ab =，∴222201932019a b a b -+=-++()2220161620162023a b ab =+-+=++=； 故选A ． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键． 11．A 【解析】 【分析】设1x ，2x 是2220x mx m m +++=的两个实数根，由根与系数的关系得122x x m +=-，212x x m m ⋅=+，再由()2221212122x x x x x x +=+-⋅代入即可.设1x ，2x 是2220x mx m m +++=的两个实数根， ∴40m ∆=-≥， ∴0m ≤，∴122x x m +=-，212x x m m ⋅=+，∴()2221212122x x x x x x +=+-⋅2224222212m m m m m =--=-=，∴3m =或2m =-， ∴2m =-， 故选A ． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；牢记韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键． 12．D 【解析】 【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围． 【详解】（k-2）x 2-2kx+k-6=0，∵关于x 的一元二次方程（k-2）x 2-2kx+k=6有实数根，∴220(2)4(2)(6)0k k k k -≠⎧⎨=----⎩…， 解得：32k ≥且k≠2． 故选D ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键． 13．A【分析】把2代入方程x 2﹣4x +c =0就得到关于c 的方程，就可以解得c 的值．【详解】把2代入方程x 2﹣4x +c =0，得（22﹣4（2+c =0，解得：c =1．故选A ． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 14．B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法结合已知条件进行分析解答即可. 【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+2x+m ﹣2=0有两个实数根， ∴△=()224120m =⨯⨯-≥，解得：3m ≤，又∵m 为正整数， ∴m=1或2或3，（1）当m=1时，原方程为x 2+2x-1=0，此时方程的两根均不为整数，故m=1不符合要求； （2）当m=2时，原方程为x 2+2x=0，此时方程的两根分别为0和-2，符合题中要求； （3）当m=3时，原方程为x 2+2x+1=0，此时方程的两根都为1，符合题中要求；∴ m=2或m=3符合题意，∴m 的所有符合题意的正整数取值的和为：2+3=5. 故选B. 【点睛】读懂题意，熟知“在一元二次方程()200ax bx c a ++=≠中，若方程有两个实数根，则△=240b ac -≥”是解答本题的关键.【解析】 【分析】由二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出a 的取值范围，由a 的取值范围可得出a+1＞0，-a-3＜0，进而可得出点P 在第四象限，此题得解． 【详解】∵关于x 的一元二次方程210(0)4ax x a --=≠有两个不相等的实数根， ∴201(1)4-04a a ≠⎧⎪⎨⎛⎫∆=--⨯⨯> ⎪⎪⎝⎭⎩， 解得：1a >-且0a ≠． ∴10a +>，30a --<， ∴点(1,3)P a a +--在第四象限． 故答案为：四． 【点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及点的坐标，利用二次项系数非零及根的判别式△＞0，找出关于a 的一元一次不等式组是解题的关键． 16．②． 【解析】 【分析】仿造案例，构造面积是2(4)x x +-的大正方形，由它的面积为24124⨯+，可求出6x =，此题得解． 【详解】 解：24120x x --=即()412x x -=，∴构造如图②中大正方形的面积是2(4)x x +-，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即24124⨯+， 据此易得6x =．故答案为：②．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，仿造案例，构造出合适的大正方形是解题的关键．17．1 .【解析】【分析】根据根与系数的关系结合，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于的一元二次不等式，把k的值代入，进而即可确定值，此题得解．【详解】是关于的方程的两个实数根，.，即，整理，得：，解得：．关于的方程的两个不相等实数根，当k=时，△=-<0，故k=不符合题意；当k=1时，△=4>0；．故答案为：1．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，利用根与系数的关系结合，求出值是解题的关键． 18．6 【解析】 【分析】已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两实数根，根据方程解的定义及根与系数的关系可得x 12﹣2 x 1﹣1=0， x 22﹣2 x 2﹣1=0，x 1+x 2=2，x 1·x 2=-1，即x 12=2 x 1+1， x 22=2 x 2+1，代入所给的代数式，再利用完全平方公式变形，整体代入求值即可. 【详解】∵x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两实数根， ∴x 12﹣2 x 1﹣1=0， x 22﹣2 x 2﹣1=0，x 1+x 2=2，x 1·x 2=-1，即x 12=2 x 1+1， x 22=2 x 2+1，∴12112121x x +++=()22212121222222212121221142 6.1x x x x x x x x x x x x +-+++==== 故答案为6. 【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系，会熟练运用整体思想是解决本题的关键.19．．【解析】 试题分析：由时，得到m ，n 是方程的两个不等的根，根据根与系数的关系进行求解．试题解析：∵时，则m ，n 是方程3x 2﹣6x ﹣5=0的两个不相等的根，∴，．∴原式===，故答案为：．考点：根与系数的关系． 20．1【解析】分析：利用整体的思想以及根与系数的关系即可求出答案．详解：设x+1=t ，方程a （x+1）2+b （x+1）+1=0的两根分别是x 3，x 4，∴at 2+bt+1=0，由题意可知：t 1=1，t 2=2， ∴t 1+t 2=3， ∴x 3+x 4+2=3 故答案为：1点睛：本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型． 21．8 【解析】试题分析：根据m+n=﹣=﹣2，m•n=﹣5，直接求出m 、n 即可解题．∵m 、n 是方程x 2+2x ﹣5=0的两个实数根， ∴mn=﹣5，m+n=﹣2， ∵m 2+2m ﹣5=0 ∴m 2=5﹣2mm 2﹣mn+3m+n=（5﹣2m ）﹣（﹣5）+3m+n=10+m+n=10﹣2=8 考点：(1)、根与系数的关系；(2)、一元二次方程的解．22．（1）94k ≤；（2）m 的值为32． 【解析】 【分析】（1）利用判别式的意义得到()2340k ∆=--≥，然后解不等式即可；（2）利用（1）中的结论得到k 的最大整数为2，解方程2320x x -+=解得121,2x x ==，把1x =和2x =分别代入一元二次方程()2130m x x m -++-=求出对应的m ，同时满足10m -≠．【详解】解：（1）根据题意得()2340k ∆=--≥，解得94k ≤； （2）k 的最大整数为2，方程230x x k -+=变形为2320x x -+=，解得121,2x x ==，∵一元二次方程()2130m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根，∴当1x =时，1130m m -++-=，解得32m =； 当2x =时，()41230m m -++-=，解得1m =， 而10m -≠， ∴m 的值为32． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当0∆<时，方程无实数根． 23．（1）2m ≤.（2）1m =. 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围；（2）由根与系数的关系可得出x 1+x 2=6，x 1x 2=4m+1，结合|x 1-x 2|=4可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出m 的值． 【详解】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2-6x+（4m+1）=0有实数根，∴△=（-6）2-4×1×（4m+1）≥0， 解得：m≤2；（2）∵方程x 2-6x+（4m+1）=0的两个实数根为x 1、x 2，∴x 1+x 2=6，x 1x 2=4m+1，∴（x 1-x 2）2=（x 1+x 2）2-4x 1x 2=42，即32-16m=16， 解得：m=1．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合|x 1-x 2|=4，找出关于m 的一元一次方程． 24．（1）a<2；（2）－1，0，1 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式，可得到关于a 的不等式，则可求得a 的取值范围；（2）由根与系数的关系，用a 表示出两根积、两根和，由已知条件可得到关于a 的不等式，则可求得a 的取值范围，再求其值即可． 【详解】 （1）关于x 的一元二次方程26250x x a -++=有两个不相等的实数根12,x x ，0∴∆>，即2(6)4(25)0a --+>，解得2a <；（2）由根与系数的关系知：12126,25x x x x a +==+，12,x x 满足221212x x x x 30+-…，()21212330x x x x ∴+-…， 363(25)30a ∴-+…，3,2a ∴-…a 为整数，a ∴的值为1,0,1-．【点睛】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用根的判别式求得k 的取值范围是解题的关键，注意方程根的定义的运用． 25．（1）见解析；（2）m=﹣1或m=3. 【解析】 【分析】（1）求出∆的值，即可判断出方程根的情况；（2）根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】（1）由题意可知：△=（2m ﹣2）2﹣4（m 2﹣2m ）=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）∵x 1+x 2=2m ﹣2，x 1x 2=m 2﹣2m ，∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=10， ∴（2m ﹣2）2﹣2（m 2﹣2m ）=10， ∴m 2﹣2m ﹣3=0， ∴m=﹣1或m=3 【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法，本题属于中等题型．26．（1）该菜市场共有25个4平方米的摊位．（2）a 的值为50． 【解析】 【分析】（1）设该菜市场共有x 个4平方米的摊位，则有2x 个2.5平方米的摊位，根据菜市场毎月可收取管理费4500元，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）由（1）可得出：5月份参加活动一的2.5平方米摊位及4平方米摊位的个数，再由参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减少518%a ，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：（1）设该菜市场共有x 个4平方米的摊位，则有2x 个2.5平方米的摊位， 依题意，得：20420 2.524500x x ⨯+⨯⨯=， 解得：25x =．答：该菜市场共有25个4平方米的摊位．（2）由（1）可知：5月份参加活动一的2.5平方米摊位的个数为25240%20⨯⨯=（个），5月份参加活动一的4平方米摊位的个数为2520%5⨯=（个）． 依题意，得：320(12%)20 2.5%10a a +⨯⨯⨯()1516%204%4a a ++⨯⨯⨯[20(12%)20a =+⨯⨯2.5+5(16%)a +5204]%18a ⨯⨯⨯， 整理，得：2500a a -=，解得：10a =（舍去），250a =． 答：a 的值为50． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．。
北师大版初三数学九年级上册一元二次方程填空拔高练习含答案
一元二次方程填空题1.（2018四川泸州，题，3分） 已知，是一元二次方程的两实数根，则的值是 .【答案】6【解析】由韦达定理可得x 1+x 2=2，x 1x 2=-1，【知识点】韦达定理，分式加减2.（2018山东滨州，17，5分）若关于x ，y 的二元二次方程组的解是，则关于a ，b 的二元一次方程组的解是___________． 【答案】【解析】根据题意，对比两个方程组得出方程组，所以．【知识点】整体思想，二元一次方程组加减消元法3. （2018四川内江，15，5）关于x 的一元二次方程x 2＋4x －k ＝0有实数根，则k 的取值范围是 ． 【答案】k ≥－41x 2x 2210x x --=12112121x x +++6122)1(42221)(242)(2)12)(12(12122121212121=+⨯+-⨯+⨯=+++++=+++++=x x x x x x x x x x 原式3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩12x y =⎧⎨=⎩3()()5,2()()6a b m a b a b n a b +--=⎧⎨++-=⎩3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩12a b a b +=⎧⎨-=⎩3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【解析】解：∵关于x 的一元二次方程x 2＋4x －k ＝0有实数根，∴△＝b 2－4ac ＝42－4×1×(－k )≥0，解得k ≥－4． 【知识点】一元二次方程根的判别式4. （2018四川内江，22，6）已知关于x 的方程＋bx ＋1＝0的两根为＝1，＝2，则方程＋b (x ＋1)＋1＝0的两根之和为 ． 【答案】1【思路分析】将方程＋b （x ＋1）＋1＝0中的（x ＋1）换元成y ，原方程化为ay 2＋by ＋1＝0，再由方程＋bx ＋1＝0的两根为＝1，＝2，可知ay 2＋by ＋1＝0的两根也分别为1和2，将y 换回(x ＋1)就可以求出原方程的两个根，从而得出两根之和． 【解题过程】解：令（x ＋1）＝y ，则原方程变形为ay 2＋by ＋1＝0，∵方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根为＝1，＝2，∴＝1，＝2，即x ＋1＝1，x ＋1＝2，∴＝0，＝1，∴＋＝1．【知识点】一元二次方程根与系数关系5. （2018四川绵阳，17，3分） 已知a ＞b ＞0，且，则= 【答案】【解析】解：由题意得：2b (b-a )+a (b-a )+3ab =0， 整理得：2()2+-1=0， 解答=，2ax 1x 2x ()21a x +()21a x +2ax 1x 2x 1x 2x 1y 2y 1x 2x 1x 2x 0312=-++a b b a ab 231+-a b ab 2ab 231±-∵a ＞b ＞0，∴=故答案为【知识点】分式的加减法，解一元二次方程6.（2018山东聊城，13，3分）已知关于x 的方程有两个相等的实根，则k 的值是 . 【答案】【解析】∵关于x 的方程有两个相等的实根，∴，解得. 【知识点】一元二次方程的定义、一元二次方程根与系数的关系、一元一次方程的解法7. （2018四川省南充市，第14题，3分）若是关于的方程的根，则的值为 ．【答案】【解析】解：∵若是关于x 的方程的根，∴，原方程整理得：，∴，ab 231+-231+-2(1)230k x kx k --+-=342(1)230k x kx k --+-=2(2)4(1)(3)=010k k k k ⎧----⎨-≠⎩34k =2(0)n n ≠x 2220x mx n -+=m n -12()02≠n n 0222=+-n mx x ()022222=+⨯-n n m n 02442=+-n mn n ()01222=+-m n n∵n 0，∴即，∴.故答案为：. 【知识点】一元二次方程的概念；因式分解8. （2018湖南长沙，17题，3分）已知关于x 的方程x 2-3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为______。
一元二次方程拔高训练
一元二次方程拔高训练知识能力提升一、一元二次方程的定义的理解：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调：2、将一元二次方程化为一般形式时要注意：二、一元二次方程的常用解法：1、直接开平方法：如果2ax b =，则2x =_____，1x =______，2x =_______。
2、配方法：解法步骤：①化二次项系数为______,即方程两边都_______二次项系数；②移项：把________项移到方程的_______边；③配方：方程两边都加上________________,把左边配成完全平方的形式；④解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程; 若方程右边是负数，则_____.3、公式法：如果方程()200ax bx c a ++=≠满足_________，则方程的求根公式为:4、因式分解法：一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生_________的形式，则可将原方程化为两个__________方程，即_________、__________,从而得方程的两根.三、一元二次方程根的判别式关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠根的情况由__________决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号________表示.①当_______时，方程有两个不等的实数根②当________时，方程看两个相等的实数根③当________时，方程没有实数根四、一元二次方程根与系数的关系：关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有两个根分别为12x x 、,则12x x += ，12x x = 。
五、一元二次方程的应用：常见题型：增长率问题：连续两次增长或降低的百分数相同时方程可列为：利润问题：单件利润= × 或单件利润=总利润= × 或总利润= —几何图形的面积、体积问题：按面积、体积的计算公式列方程提醒：因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要____,检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件解题能力提升方程有两个实数跟，则考点一：一元二次方程的解例1：若一元二次方程220150ax bx --=有一根为1x =-，则a b += ． 考点二：一元二次方程的解法例2：配方法解方程：（1）2x 6x 40--=． （2）x 2-8x-1=0例3选用合适解法解方程：（1）2x 2x 3+=． (2)2x 3x 20-+=．考点三：一元二次方程根与系数的关系例4. 、已知关于x 的一元二次方程x 2+（m+3）x+m+1=0的两个实数根为x 1，x 2，若x 12+x 22=4，则m 的值为 ．考点四：根的判别式的运用例5. 如果关于x 的一元二次方程kx 2﹣3x ﹣1=0有两个不相等的实根，那么k 的取值范围是____________.训练1、已知关于x 的一元二次方程22(23)20x m x m -+++=． （1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为12x x 、，且满足221212x x 31|x x |+=+，求实数m 的值．考点五：一元二次方程的应用--增长率问题：-例6. 某楼盘2014年房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，2016年房价为7600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x ，根据题意可列方程为_______________________． 考点六：一元二次方程的应用—销售问题例7．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？【过关训练】一、选择题1．如果20x x 1x 1--=+（），那么x 的值为（ ） A ．2或-1 B ．0或1 C ．2 D ．-12．三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程2x 13x 360-+=的两根，则该三角形的周长为（ ）A ．13B ．15C ．18D ．13或183．若关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为-1，则另一个根为（ ）A ．-2B ．2C ．4D ．-34．已知实数x 1，x 2满足x 1+x 2=7，x 1x 2=12，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2-7x+12=0B ．x 2+7x+12=0C ．x 2+7x-12=0D ．x 2-7x-12=05．设x 1，x 2是一元二次方程x 2-2x-3=0的两根，则x 12+x 22=（ ）A ．6B ．8C ．10D ．126．若关于x 的一元二次方程x 2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b 的大致图象可能是（ ）7．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm 的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm 3，则原铁皮的边长为（ ）A ．10cmB ．13cmC ．14cmD ．16cm二、填空题8．一元二次方程2x 30+-=的解是_________________．9．已知一元二次方程x 2-4x-3=0的两根为m ，n ，则m 2-mn+n 2=________．10．已知关于x 的一元二次方程2x k 0--=有两个相等的实数根，则k 值为______．11．关于x 的一元二次方程（k-1）x 2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是__________．三、解答题12．已知关于x 的一元二次方程2220x x m m ++-=有一个实数根为-1，求m 的值及方程的另一实根．13．关于x 的一元二次方程22x 2k 1x k 10++++=（）有两个不等实根x 1，x 2．（1）求实数k 的取值范围．（2）若方程两实根x 1，x 2满足1212|x x |x x += ，求k 的值．14.如图，某农场有一块长40m ，宽32m 的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m 2，求小路的宽．15．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x 元，则每天的销售量是 斤（用含x 的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？。
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一元二次方程拔高题精选一、学科内综合题（每小题8分，共48分）1．随着城市人口的不断增加，美化城市、改善人们的居住环境，已成为城市建设的一项重要内容，•某城市到2006•年要将该城市的绿地面积在2004•年的基础上增加44%，同时，要求该城市到2006年人均绿地的占有量在2004年基础上增加21%，•为保证实验这个目标，这两年该城市人口的平均增长率应控制在多少以内？（精确1%）2．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=4cm，BC=10cm，点P•从点B•出发沿BC•以1cm/s 的速度向点C移动，问：经过多少秒后，点P到点A的距离的平方比点P到点B•的距离的8倍大1？3．已知关于x的方程（a－1）x2－（2a－3）x+a=0有实数根．（1）求a的取值范围；（2）设x1，x2是方程（a－1）x2－（2a－3）x+a=0的两个根，且x12+x22=9，求a的值．4．设m为整数，且4<m<40，方程x2－2（2m－3）x+4m2－14m+8=0有两个整数根，求m的值．5．一扇上部是半圆形下部是矩形的钢窗，它的高等于宽，如果窗的全部面积是257m2，求它的高和宽．（ =227）6．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克赢利10元，每天可售出500•千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，•日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天赢利6 000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？O C BA7．如图，AO=OB=50cm ，OC 是一条射线，OC ⊥AB ，一只蚂蚁由A 以2cm/s 速度向B 爬行，同时另一只蚂蚁由O 点以3cm/s 的速度沿OC 方向爬行，几秒钟后，•两只蚂蚁与O 点组成的三角形面积为450cm 2？三、应用题（每小题10分，共20分）8．在等腰△ABC 中，a=3，b ，c 是x 2+mx+2－12m=0的两个根，试求△ABC 的周长．9．一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，•往上走一层楼梯感到3分不满意，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）10．问题：构造ax 2+bx+c=0解题，已知：21a +1a －1=0，b 4+b 2－1=0，且1a≠b 2，求21ab a 的值．11．（6分）某商场今年2月份的营业额为400万元，3•月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份营业额的平均增长率是__________．12．（6分）解方程：222(1)6(1)11x xx x+++++=7时，利用换元法将方程化为6y2－7y+2=0，•则应设y=_________．13．（6分）已知关于x的方程x2－3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m的值为________．14．（12分）已知：关于x的两个方程①2x2+（m+4）x+m－4=0与②mx2+（n－2）x+m－3=0，方程①有两个不相等的负实数根，方程②有两个实数根．（1）求证：方程②两根的符号相同；（2）设方程②的两根分别为α、β，若α：β=1：2，且n为整数，求m的最小整数值．15.设m是不小于－1的实数，使得关于x的方程x2+2（m－2）x+m2－3m+3=0•有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若x12+x22=0，求m的值;（2）求22121211mx mxx x+--的最大值．答案:一、1．解：设2004年城市的人口总量为m ，绿地面积为n ，•这两年该城市人口的年平均增长率为x ，由题意，得2(144%)(1)n m x nm++=1+21%，整理，得 （1+x ）2=1.44 1.2,11.21 1.1x +=±． ∴x 1=21239%,1111x ≈=-（舍去）． 答：这两年该城市人口的平均增长率应控制在9%以内．点拨：本题重点考查增长率的问题．2．分析：假设当P 点移到E 点时可满足本题的条件，那么就有△ABE 为直角三角形，BE=PB ，EA=PA ，由题意，得PA 2－8PB=1．解：设经过x 秒后点P 到点A 的距离的平方比点P 到点B 的距离的8倍大1， 由题意，得BE=PB=1×x=xcm ，AE=PA=42+x 2．∴42+x 2－8x=1．解得x 1=3，x 2=5．答：经过3秒或5秒后，点P 到点A 的距离的平方比点P 到点B 的距离的8倍大1． 点拨：本题应用了勾股定理和路程=速度×时间这个公式．3．解：（1）由b 2－4ac ≥0，得（2a －3）2－4a （a －1）≥0，a ≤98． （2）∵x 1，x 2是方程（a －1）x 2－（2a －3）x+a=0的两个根，∴x 1+x 2=231a a --，x 1x 2=1a a -． 又∵x 12+x 22=9，∴（x 1+x 2）2－2x 1x 2=9．（231a a --）2－2×1a a -=9． 整理，得7a 2－8a=0，a （7a －8）=0． ∴a 1=0，a 2=87（舍去）． 点拨：本题主要应用根与系数的关系及根的情况．4．分析：由△=b 2－4ac ，得△=4（2m －3）2－4（4m 2－14m+8）=4（2m+1）．∵方程有两个整数根，∴△=4（2m+1）是一个完全平方数，所以2m+1也是一个完全平方数．∵4<m<40，∴9<2m+1<81，∴2m+1=16，25，36或49，∵m 为整数，∴m=12或24．代入已知方程，得x=16，26或x=38，25．综上所述m 为12，或24．点拨：本题应用的方程有整数根，b 2－4ac 必为一个完全平方数求解．5．分析：如图所示，半圆的直径=矩形的长=窗宽=窗高；矩形的宽=窗高－半圆半径； 全窗面积=半圆面积+矩形面积．解：设半圆的半径为xm ，则半圆的直径为2xm ，半圆的面积为22x πm 2， 矩形面积为x ·2x=2x 2（m 2）， ∴根据题意，有2πx 2+2x 2=257，∴25x 2=25．∴x=1或x=－1（舍去）， 当x=1时，2x=2．答：窗的高和宽都是2m ．点拨：本题借助图分析比较直观简单，另外本题中x=－1虽符合所列方程，•但不符合题意，故舍去．6．解：设每千克水果应涨价x 元，由题意，得（500－20x ）（10+x ）=6 000，解得x 1=5，x 2=10．要使顾客得到实惠，应取x=5．点拨：本题与实际问题有关，应考虑题中要使顾客得到实惠这个条件得以应用． 二、7．分析：本题可以分两种情况进行讨论．解：（1）当蚂蚁在AO 上运动时，设xs 后两只蚂蚁与O 点组成的三角形面积为450cm 2． 由题意，得12×3x ×（50－2x ）=450． 整理，得x 2－25x+150=0．解得x 1=15，x 2=10．（2）当蚂蚁在OB 上运动时，设xs 钟后，两只蚂蚁与O 点组成的三角形面积为450cm 2．由题意，得12×3x （2x －50）=450． 整理，得x 2－25x －150=0．解得x 1=30，x 2=－5（舍去）．答：15s ，10s ，30s 后，两蚂蚁与O 点组成的三角形的面积均为450cm 2．点拨：本题考查的是学生的抽象思维能力，使学生学会用运动的观点来观察事物，同时要注意检验解的合理性．三、8．分析：在等腰三角形中，要分清楚腰与底边，本题应进行分类讨论．解：∵b 、c 是方程x 2+mx+2－12m=0的两个根， ∴b+c=－m ，b ·c=2－12m ． （1）若a 为腰，则b=a=3．c=－m －b ，即3（－m －3）=2－12m ． 解得m=－225，∴b+c=225． ∴周长Q=b+c+a=225+3=375． （2）若a 为底，则b=c ．∴△=m 2－4（2－2m ）=0． m 1=－4，m 2=2，∴b+c=4或b+c=－2（舍去）．∴周长Q=b+c+a=4+3=7．答：△ABC 的周长为375或7． 点拨：了解形与数结合分类讨论的思想．9．分析：通过引元，把不满意的总分用相关的字母的代数式表示，然后对代数式进行恰当的配方，进而求出代数式的最小值．解：由题意易知，这32个人恰好是第2层至第33层各住1人，对于每个乘电梯上、•下楼的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数．事实上，设住s 层的人乘电梯，而住在t 层的人直接上楼，s<t ，交换两人的上楼方式，其余的人不变，•则不满意的总分减少．设电梯停在第x 层，在第1层有y 人没有乘电梯即直接上楼，那么不满意的总分为： s=3[1+2+3+…+（33－x ）]+3（1+2+…+y ）+[1+2+…+（x －y －2）]=3(33)(34)3(1)(2)(1)222x x y y x y x y ⨯--+----++ =2x 2－（y+102）x+2y 2+3y+1 684=2（x －1024y +）2+18（15y 2－180y+3 068） =2（x －1024y +）2+158（y －6）2+316≥316．又当x=27，y=6时，s=316，故当电梯停在第27层时，不满意的总分最小，最小值为316．四、10．分析：模拟例子，求出a+b ，ab 的值，然后再求值．解：∵21a +1a－－1=0， ∴（1a ）2+1a －1=0． 又∵b 4+b 2－1=0，∴（b 2）2+b 2－1=0．∴1a、b 2是方程x 2+x －1=0的两个根． ∴1a +b 2=－1，1a ×b 2=－1． ∴21ab a +=b 2+1a=－1． 点拨：把1a、b 2看成是方程x 2+x －1=0的两个根是解本题的关键所在． 五、11．20% 分析：设月平均增长率为x ，由400（1+10%）（1+x ）2=633.6，解得x=0.2=20%．点拨：基数×（1+平均增长率）n =n 次增长后到达的数．12．应设y=211x x ++ 分析：设y=211x x ++，∴原方程为2y +6y=7，∴6y 2－7y+2=0． 点拨：利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．13．2 设一个根为x ，则另一根为2x ，由题意，得2x ·x=m ，2x+x=3，x=1．∴m=2．点拨：由两根之和为－b a ，两根之积为c a可得方程． 14．证明：（1）设方程①两个负实根分别为x 1，x 2．则1212(4)42(4)0,0,40,0,20,40,2m m m x x x x m ⎧⎪+-⨯->∆>⎧⎪+⎪⎪+<-<⎨⎨⎪⎪>⎩-⎪>⎪⎩即解得m>4．由方程②有两个实数根知m ≠0，当m>4时，3m m->0，即方程②的两根之积为正，• 故方程②的两根符号相同． （2）20,2,23,32,m n m m m βααβααβα≠⎧⎪=⎪⎪-⎨+==-⎪⎪-==⎪⎩得 22(2)392n m m m --=⇒（n －2）2=92m （m －3）． 经讨论，m=6时，（n －2）2=92×6×3=81． 15.分析：方程有两个不相等的实根，∴△=4（m －2）2－4（m 2－3m+3）=－4m+4>0，∴－1≤m<1．∵x 1+x 2=－2（m －2），x 1x 2=m 2－3m+3．∴（1）x 12+x 22=（x 1+x 2）2－2x 1x 2=4（m －2）2－2（m 2－3m+3）=2m 2－10m+10， ∴m 2－5m+5=0．解得m=52±．∵－1≤m<1，∴m=52． （2）22121211mx mx x x +--=22221221121212211212[(1)(1)][()](1)(1)1m x x x x m x x x x x x x x x x x x -+-+-+=----+． ∵x 1+x 2=－2（m －2），x 1x 2=m 2－3m+3． ∴上式可化为22121211mx mx x x +--=2（m 2－3m+1）=2（m －32）2－52． ∵－1≤m<1，当m=－1时，最大值为10．。