一元二次方程总复习知识点梳理学生资料全
(完整版)一元二次方程知识点总结
一元二次方程1.一元二次方程的定义及一般形式：（1）等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
（2）一元二次方程的一般形式：20(0)++=≠。
其中a为ax bx c a二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。
2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：形如2+=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接()(0)x a b b开平方得=-。
x a+=或者x a+=∴x a注意：若b<0，方程无解（2）因式分解法：一般步骤如下：①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。
（3）配方法:用配方法解一元二次方程20(0)++=≠的一般步骤ax bx c a①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； ③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为2()(0)x m n n +=≥的形式；④用直接开平方法解变形后的方程。
注意：当0n <时，方程无解（4） 公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 根的判别式：24b ac ∆=-0∆>⇔方程有两个不相等的实根:x =240b ac -≥）⇔()f x 的图像与x 轴有两个交点 0∆=⇔方程有两个相等的实根⇔()f x 的图像与x 轴有一个交点 0∆<⇔方程无实根⇔()f x 的图像与x 轴没有交点3. 韦达定理（根与系数关系）我们将一元二次方程化成一般式ax 2+bx+c ＝0之后，设它的两个根是1x 和2x ，则1x 和2x 与方程的系数a ，b ，c 之间有如下关系：1x +2x ＝b a -； 1x •2x ＝c a4.一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系； ②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
一元二次方程知识整理
一元二次方程知识整理一、什么是一元二次方程一元二次方程是指一个未知数的平方与一次项的乘积再加上一个常数项的等式，通常表达为ax^2 + bx + c = 0。
其中，a、b、c为已知的实数，a不等于0，x为未知数。
二、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数，且a不等于0。
这个方程中的x称为未知数，a、b、c则是已知的系数。
方程中的平方项ax^2、一次项bx以及常数项c分别对应了二次函数的系数。
三、一元二次方程的解的判别式一元二次方程的解的判别式是用来判断方程的根的情况的。
判别式的公式为D = b^2 - 4ac。
根据判别式的值可以分为三种情况：1. 当D > 0时，方程有两个不相等的实根；2. 当D = 0时，方程有两个相等的实根；3. 当D < 0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。
四、一元二次方程的求解方法1. 因式分解法：当方程能够被因式分解为两个一次因式的乘积时，可以直接得到方程的解。
2. 完全平方公式法：当方程的判别式D = b^2 - 4ac为完全平方数时，可以利用完全平方公式求解方程。
3. 直接开平方法：当方程的一次项为0时，可以直接将方程两边开平方求解。
4. 二次根式法：当方程的系数较大或判别式较为复杂时，可以利用二次根式的求根公式求解方程。
五、一元二次方程的应用领域一元二次方程在数学中有着广泛的应用。
它可以用来解决与平方关系有关的问题，如抛物线的形状、最值等。
在物理学、工程学等领域中，一元二次方程也经常被用来描述和解决各种实际问题，如抛体运动、电磁波传播等。
六、一元二次方程的重要性一元二次方程是高中数学中的重要内容，它不仅是其他数学知识的基础，也是解决实际问题的重要工具。
通过学习一元二次方程，可以培养学生的逻辑思维能力、分析问题的能力和解决问题的能力，为学生今后的学习和工作打下坚实的数学基础。
七、总结一元二次方程作为高中数学中的重要内容，不仅具有理论性和应用性，而且在解决实际问题中有着广泛的应用。
一元二次方程总复习资料
第3章 一元二次方程总复习资料主备人：张静 审核人：一、知识扫描1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.因此，由一元二次方程的定义可知，即一元二次方程必须满足满足以下三个条件：①方程的两边都是关于未知数的整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2。
这样的方程才是一元二次方程，不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程。
例如：535,53,02,3422222+===-+-x x x x x x x 都是一元二次方程。
而03132=-+x x不是一元二次方程，原因是x1是分式。
2.任何关于x 的一元二次方程的都可整理成)0(02≠=++a c bx ax 的形式.这种形式叫做一元二次方程的一般形式，它的特征是方程左边是一个关于未知数的二次三项式，方程右边是零，其中2ax 叫二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
注意b 、c 可以是任何实数，但a 绝对不能为零，否则，就不是一元二次方程了。
化一元二次方程为一般形式的手段是去分母、去括号、移项、合并同类项，整理后的方程最好按降幂排列，二次项系数化为正数。
注意任何一个一元二次方程不可缺少二次项，担可缺少一次项和常数项，即b 、c 均可以为零。
如方程013x 023x 02222=-=-=、、x x 都是一元二次方程。
3．一元二次方程的解. 使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值，叫一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根。
如x=1时，022=-+x x成立，故x=1叫022=-+x x的解。
4.一元二次方程的解法解一元二次方程的基本思想是通过降次转化为一元一次方程，本节共介绍了四种解法。
（1）直接开平方法：方程)0(2≥=a a x的解为a x ±=，这种解一元二次方程的方法叫直接开平方法。
它是利用了平方根的定义直接开平方，只要形式能化成()a =2的一元二次方程都可以采用直接开平方法来解。
一元二次方程知识点归纳和重难点精析
一元二次方程知识点归纳和重难点精析一、知识点归纳1.一元二次方程的基本概念一元二次方程是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。
其一般形式为ax²+bx+c=0(a≠0)。
2.一元二次方程的解法公式一元二次方程的解法公式为x=[-b ±sqrt(b²-4ac)] / (2a)。
其中，sqrt表示求平方根，x为未知数，a、b、c为方程的系数。
二、重难点精析九年级数学一元二次方程的重难点1.高次项：一元二次方程中，二次项的系数a不能为0.且最高次数为2.这是在解一元二次方程时需要特别注意的难点。
2.整体化简：在求解一元二次方程时，需要将方程进行整体化简，从而得到未知数的值。
这需要学生具备一定的化简和运算能力。
针对重难点的解决方法及相关思考题1.高次项注意事项：在一元二次方程中，要确保二次项的系数不为0.且最高次数不超过2.如有其他高次项，可将其合并或转化为二次项。
2.整体化简技巧：为了更好地求解一元二次方程，学生需要掌握整体化简的方法。
可以通过移项、合并同类项等方式，将方程化简为更易于求解的形式。
思考题：求解一元二次方程x²-6x+9=0时，有哪些方法可以解题?哪种方法更适合处理此类方程?三、扩展知识一元二次方程的历史背景及应用领域一元二次方程作为九年级数学的重要知识点，在实际生活和后续学习中有着广泛的应用。
例如，在解决实际问题时，一元二次方程可用于解决诸如最大化、最小化、平均值等优化问题。
此外，在物理、化学、生物等科学领域中，一元二次方程也常常用于描述现象和解决问题。
相关知识点补充在求解一元二次方程的过程中，可能会涉及到其他数学知识点，如三角函数、平移和缩放等。
这些知识点对于理解一元二次方程的解法和实际应用都有一定的帮助。
例如，三角函数可以用于求解一元二次方程的近似解；平移和缩放可以用于将复杂的一元二次方程转化为简单的形式，从而更容易求解。
因此，学生在学习的过程中需要注意知识点的联系与运用。
一元二次方程总复习知识点梳理
一元二次方程总复习知识点梳理一元二次方程总复考点1：一元二次方程的概念一元二次方程是只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为0的方程。
一般形式为ax2＋bx+c=0（a≠0）。
判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a)2=b（b≥0）的方程，两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
解法为x1=-a+√b，x2=-a-√b。
2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0（a≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a)2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b<0，则原方程无解。
3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法。
它是通过配方推导出来的。
一元二次方程的求根公式是x=(-b±√(b2-4ac))/2a（b2-4ac≥0）。
步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a，b，c的值；③求出b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法。
理论根据：若ab=0，则a=0或b=0.步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。
因式分解的方法有提公因式、公式法、十字相乘法。
5.一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0.因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程。
⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c的值；②若b2-4ac＜0，则方程无解。
⑶利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式。
一元二次方程知识点总结(全章齐全)
一元二次方程知识点总结定义：两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项．注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.基本解法①直接开平方法:对于形如的方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解。
②配方法：(1)现将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．③公式法:(1)把一元二次方程化为一般式。
(2)确定a,b,c的值。
(3)代入中计算其值，判断方程是否有实数根。
(4)若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。
【小试牛刀】方程ax2+bx+c=0的根为④因式分解法·因式分解法解一元二次方程的依据:如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个0，即:若ab=0，则a=0或b=0。
·步骤：(1)将方程化为一元二次方程的一般形式。
(2)把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0。
(3)令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程。
(4)解出这两个一元一次方程的解，即可得到原方程的两个根。
根的判别情况判别式：世上没有一件工作不辛苦，没有一处人事不复杂。
不要随意发脾气，谁都不欠你的。
一元二次方程知识归纳总结
一元二次方程知识归纳总结一元二次方程是高中数学中的重要内容，也是解决实际问题的重要工具。
它的一般形式为：ax² + bx+ c= 0，其中a、b、c是已知实数，a≠ 0。
在本文中，我们将对一元二次方程的基本概念、性质以及解法进行归纳总结。
一、一元二次方程的基本概念一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程。
其中，a、b、c分别表示二次项系数、一次项系数和常数项。
二、一元二次方程的性质1. 解的存在性：一元二次方程必有两个解，或者一个解（二重解），或者无解。
2. 判别式：判别式Δ = b² - 4ac对于一元二次方程起到重要作用，它可以判断方程的解的情况。
- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解。
- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解。
- 当Δ < 0时，方程无实数解。
3. 顶点坐标：一元二次方程的图像是一个抛物线，其中顶点坐标可以通过公式h = -b/2a 和 k = -Δ/4a求得。
三、一元二次方程的解法1. 因式分解法：对于可以因式分解的一元二次方程，我们可以通过将方程的左、右两边同时因式分解，然后利用“零乘法”将方程等号两边置零，得到方程的解。
2. 公式法：对于一般形式的一元二次方程ax² + bx + c = 0，我们可以利用求根公式x = (-b ± √Δ) / 2a求得方程的解。
- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解。
- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解。
- 当Δ < 0时，方程无实数解。
3. 完全平方式：对于特殊的一元二次方程，可以通过将未知数的平方项转化为完全平方式，然后利用公式求解。
4. 图像法：通过观察和分析一元二次方程的抛物线图像，可以大致推测出方程的解的情况。
四、一元二次方程的应用一元二次方程不仅仅是一种数学形式，还具有广泛的应用。
它可以用来解决各种实际问题，例如物体的运动轨迹、汽车的行驶距离等。
一元二次方程专题复习资料
一元二次方程专题复习 知识盘点1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程。
通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。
2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。
（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项；③配方，即方程两边都加上 的平方；④化原方程为2()x m n +=的形式，如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。
如果n ＜0，则原方程 。
（3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________（4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个 的乘积；③令每个因式都等于 ，得到两个 方程；④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。
3.一元二次方程的根的判别式 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根,即-----=-----=2,1x x（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有两个 的实数根，即-----==21x x ,（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根。
4. 一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两根为12,x x ，则12x x += ，12x x =提示：在应用一元二次方程根与系数的关系时，一定要保证元二次方程有实数根。
5. 列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程解应用题的步骤一样，即审、找、设、列、解、答六步。
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一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程．一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a ）2=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
X+a=±b∴1x =-a+b 2x =-a-b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a ）2=b 的形式；⑤如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b ≤0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是aac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a ，b ，c 的值；③求出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。
步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的注意事项：⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a ，b ，c 的值；②若b 2－4ac ＜0，则方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2 =3（x ＋4）中，不能随便约去x ＋4。
⑷ 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法． 6．一元二次方程解的情况⑴b 2－4ac ≥0⇔方程有两个不相等的实数根； ⑵b 2－4ac=0⇔方程有两个相等的实数根； ⑶b 2－4ac ≤0⇔方程没有实数根。
解题小诀窍：当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根”“没有实数根”时，往往首先考虑用b 2－4ac 解题。
主要用于求方程中未知系数的值或取值围。
考点3：根与系数的关系:韦达定理对于方程ax 2＋bx+c=0(a ≠0）来说，x1 +x2 =—a b ，x1●x2= a c 。
利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如2122122212)(x x x x x x -+=+ 21212111x x x x x x +=+。
解题小诀窍：当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理。
二、经典考题剖析：【考题1－1】下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．ax ²＋bx+c=0 B. k ²x ＋5k+6=0C.3x ²＋2x+x 1=0 D.( k ²＋3) x ²＋2x+1=0【考题1－2】解方程：x ²＋2x －3=0【考题1－3】（2009、，6分）已知方程5x ²+kx －10=0一个根是－5，求它的另一个根及k 的值． 三、针对性训练：1、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）2222211.3(1)2(1) .20.0 .21A x x B x yC ax bx cD x x x +=++-=++=+=- 2、若22324x ( )x x +-与互为相反数，则的值为A ．12B 、2C 、±2D 、±123、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ） A.x ²-2x-99=0化为(x-1)²=100 B.x ²+8x+9=0化为(x+4)²=25C.2t ²-7t-4=0化为1681)47(2=-t D.3y ²-4y-2=0化为910)32(2=-y 4、关于x 的一元二次方程22(1)2m x x m m+++-30-=的一个根为x=0，则m 的值为（ ） A ．m=3或m=－1 B ．m=－3或m= 1 C ．m=－1 D ．m=－35、(2009)若x1 ，x2 是方程x ²－5x+6=0的两个根，则x1 +x2的值是（ ） A .1 B.5 C. －5 D.66、(2009眉山) 若x1 ，x2 是方程x ² －3x －1=0的两个根，则2111x x +的值为（ ）A.3B.－3C.31 D －317、(2009潍坊) 若x1 ，x2 是方程x ² －6x+k －1=0的两个根，且242221=+x x ，则k 的值为（）A.8B. －7C.6D.58、(2009) 若关于x 的方程kx 2 －2x －1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值围是（） A.k ＞－1 B. k ＞－1且k ≠0 C. k ＜1 D. k ＜1且k ≠09、已知一元二次方程x 2+2x －8=0的一根是2，则另一个根是______________.10、(2009) 若关于x 的方程－x 2 +（2k+1）x+2－k 2=0有实数根，则k 的取值围是_______11、解方程：(1)32)32(22=-x ; (2)3(1)2(1)y y y -=-; (3) 3(4x ²－9)－(2x －3)=0; (4) x ²－6x+8=012、(2009)关于x 的方程kx 2+(k+2)x+4k=0有两个不相等的实数根，(1)求k 的取值围；(2)是否存在实数k 使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在求出k 的值；不存在说明理由。
考点：一元二次方程的应用一、考点讲解：1．构建一元二次方程数学模型，常见的模型如下：⑴ 与几何图形有关的应用：如几何图形面积模型、勾股定理等；⑵ 有关增长率的应用：此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到新数据，常见的等量关系是a(1±x ）²=b ，其中a 表示增长（降低）前的数据，x 表示增长率（降低率），b 表示后来的数据。
注意：所得解中，增长率不为负，降低率不超过1。
⑶ 经济利润问题：总利润=（单件销售额－单件成本）×销售数量；或者，总利润=总销售额－总成本。
⑷ 动点问题：此类问题是一般几何问题的延伸，根据条件设出未知数后，要想办法把图中变化的线段用未知数表示出来，再根据题目中的等量关系列出方程。
2．注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性． 二、经典考题剖析：【考题1】（2009、南山区）课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130平方米的花圃（如图1－2－1），打算一面利用长为15米的仓库墙面，三面利用长为33米的旧围栏，求花圃的长和宽．解：设与墙相接的两边长都为x 米，则另一边长为()332x -米，依题意得()332130x x -= ，22331300x x -+=∴110x =2132x =又∵ 当110x =时，()33213x -=当2132x =时，()33220x -=＞15∴132x =不合题意，舍去．∴10x =答：花圃的长为13米，宽为10米．【考题2】（2009、襄樊）为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10平方米提高到12.1平方米，若每年的增长率相同，则年增长率为（）A.9﹪B.10﹪C. 11﹪D.12 ﹪解：设年增长率为x，根据题意得10(1+x)2=12.1，解得x1=0.1，x2 =－2.1．因为增长率不为负，所以x=0.1。
故选D。
【考题3】（2009、）某水果批发商场经销一种高档水果如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？解：设每千克水果应涨价x元，依题意，得(500－2 0 x)（10+x）=6000．整理，得x2－15x＋50=0．解这个方程，x1=5，x2=10．要使顾客得到实惠，应取x=5．答：每千克应涨价5元．．点拨：①此类经济问题在设未知数时，一般设涨价或降价为未知数；②应根据“要使顾客得到实惠”来取舍根的情况．【考题4】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=7，点P从A点开始沿AB边向点B点以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.（1）如果点P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于4？（2）如果点P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，PQ的长度等于5？解：（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于4，则由题意得AP=x ，BP=5－x ，BQ=2x,由21BP ·BQ=4，得21（5－x ）·2x=4，解得，x 1=1，x 2=4．当x=4时，BQ=2x=8＞7=BC ，不符合题意。
故x=1 （2）由BP 2+BQ 2=52得（5－x ）2+（2x ）2=52, 解得x 1=0（不合题意），x 2=2． 所以2秒后，PQ 的长度等于5。
三、针对性训练：1．小明的妈妈上周三在自选商场花10元钱买了几瓶酸奶，周六再去买时，正好遇上商场搞酬宾活动，同样的酸奶，每瓶比周三便宜0.5元，结果小明的妈妈只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2瓶酸奶，问她上周三买了几瓶？2．百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元。
为了迎接“十·一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存。
经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件。
要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少？3．在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为540米²，道路的宽应为多少？20m32m4．小红的妈妈前年存了5000元一年期的定期储蓄，到期后自动转存.今年到期扣除利息税（利息税为利息的20%），共取得5145元.求这种储蓄的年利率.（精确到0.1%）5．如图12-3，△ABC中，∠B=90°，点P从A点开始沿AB向点B以1cm/s 的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动。