文科概率专项练习(几何概率、古典概型)
几何概型
1.已知地铁列车每10 min
是 ( A )
A.110
B.19
C.111
D.18
2．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为一边作正方形，则此正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2 之间的概率为 ( C )
A.116
B.18
C.14
D.12
3．《广告法》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计后得
出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率为910
，那么该台每小时约有____6____分钟的广告．
4.(2009·辽宁高考ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为 ( B ) A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π8
5．设－1≤a ≤1，－1≤b ≤1，则关于x 的方程x 2＋ax ＋b 2＝0有实根的概率是 ( B )
A.12
B.14
C.18
D.116
6．已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 ( D )
A.13
B.23
C.19
D.29
8．(2010·济南模拟)在边长为2的正三角形ABC 内任取一点P ，则使点P 到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是_____36
π___． 9．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b 2，a ，b ∈R.
(1)若a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b 从集合{0,1,2}中任取一个元素，求方程f (x )＝0有两个不相等实根的概率；
(2)若a 从区间[0,2]中任取一个数，b 从区间[0,3]中任取一个数，求方程f (x )＝0没有实根的概率．
题组三 生活中的几何概型
11．在平面直角坐标系xOy 2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落在E 中的概率是__________．
A.14
B.13
C.12
D.23
12．甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率．
答案
1解析：设乘客到达站台立即乘上车为事件A ，试验的所有结果构成的区域长度为10 min ，而构成事件A 的区域长度为1 min ，故P (A )＝110
.答案：A 2解析：正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间，所以正方形的边长介于6 cm 到9 cm 之间．线
段AB 的长度为12 cm ，则所求概率为9－612＝14
.答案：C 3解析：60×(1－910
)＝6分钟．答案：6 4解析：对应长方形的面积为2×1＝2，而取到的点到O 的距离小于等于1时，其是以O 为
圆心，半径为1所作的半圆，对应的面积为12×π×12＝12π，那么满足条件的概率为：1－12π2
＝1－π4
.答案：B 5解析：由题知该方程有实根满足条件????? －1≤a ≤1，－1≤b ≤1，
a 2－4
b 2≥0，作平面
区域如右图：由图知阴 影面积为1，总的事件对应面积为正方
形的面积，故概率为14
.答案：B 6解析：作出两集合表示的平面区域如图所示．容易得出
Ω所表示的平面区域为三角形AOB 及其边界，A 表示的
区域为三角形OCD 及其边界．
容易求得D(4,2)恰为直线x＝4，x－2y＝0，x＋y＝6三线的交点．
则可得S△AOB＝1
2×6×6＝18，S△OCD＝
1
2×4×2＝4.
所以点P落在区域A的概率为4
18＝2
9.答案：D
7解析：区域为△ABC内部(含边界)，则概率为
P＝S半圆
S△ABC
＝
π
2
1
2×22×2
＝
π
4.
答案：D
8解析：以A、B、C为圆心，以1为半径作圆，与△ABC相交出三个扇形(如图所示)，
当P落在阴影部分时符合要求．
∴P＝3×(
1
2×
π
3×1
2)
3
4×2
2
＝
3π
6.答案：
3
6
π
9解：(1)∵a取集合{0,1,2,3}中任一个元素，b取集合{0,1,2}中任一个元素，
∴a，b的取值的情况有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，
(3,1)，(3,2)．
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，即基本事件总数为12.
设“方程f(x)＝0有两个不相等的实根”为事件A，
当a≥0，b≥0时，方程f(x)＝0有两个不相等实根的充要条件为a＞b.
当a＞b时，a，b取值的情况有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，
即A包含的基本事件数为6，∴方程f(x)＝0有两个不相等实根的概率
P(A)＝6
12＝
1
2.
(2)∵a从区间[0,2]中任取一个数，b从区间[0,3]中任取一个数，则试验的全部结果构成区域Ω＝{(a，b)|0≤a≤2,0≤b≤3}，这是一个矩形区域，其面积SΩ＝2×3＝6.
设“方程f(x)＝0没有实根”为事件B，则事件B所构成的区域为
M ＝{(a ，b )|0≤a ≤2,0≤b ≤3，a ＜b }，
即图中阴影部分的梯形，其面积
S M ＝6－12×2×2＝4. 由几何概型的概率计算公式可得方程f (x )＝0没有实根的概率P (B )＝S M S Ω
＝46＝23. 11．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落在E 中的概率是__________．
11解析：如图：区域D 表示边长为4的正方形ABCD 的内部(含边界)，
区域E 表示单位圆及其内部，因此P ＝π×124×4＝π16
. 答案：π16
12解：甲比乙早到4小时内乙需等待，甲比乙晚到2小时内甲需等待．
以x 和y 分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一
艘船停靠泊位时需等待一段时间的充要条件为－2≤x －y ≤4，在如
图所示的平面直角坐标系内，(x ，y )的所有可能结果是边长为24的
正方形，而事件A “有一艘船停靠泊位时需等待一段时间”的可能结果由阴影部分表示．由几何概型公式得：
P (A )＝242－12×222－12×202242＝67288
. 故有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率是67288
. n a b c d =+++)