康普顿散射公式的理论推导(5)
康普顿散射公式
康普顿散射公式
康普顿散射公式是物理学中用于研究电磁波在某一物体表面上
反射或折射时，定义某种反射率或折射率的方程。
它是由美国物理学家Willard Harrison Cowperthwaite在1931年提出的，又被称为Cowperthwaite公式。
它的最大作用是可以用来预测某物体表面反射或折射的波的大小，也可以推断物体的表面属性。
康普顿散射公式的基本形式是：S=S0+S1(1-g)+S2(1+g)+S3，其中S为反射率或折射率，S0、S1、S2、S3为常数，g为微分系数。
该公式是根据反射或折射时光源和物体之间的位置和方向等条件来定
义的。
因为康普顿散射公式是一个多项式，在某种特定条件下，前4项可以认为是最重要的，所以可以简化为：S=S0+S1(1-g)+S2(1+g)。
康普顿散射公式计算的反射率或折射率会受到物体的表面属性
的影响，这就意味着，当物体的表面纹理凹凸不平时，其反射率会有所变化。
康普顿散射公式被广泛应用于多学科研究中，包括材料物理学、复合材料等。
它也被用于模拟某种物质表面反射或折射的光线，从而更好地了解物质的特性。
另外，康普顿散射公式也用于物理学的研究和机器视觉中，可以通过计算物体表面的反射率或折射率来模拟真实世界的物理现象，这有助于模拟特定的材料有关的参数和物理属性。
总之，康普顿散射公式是一个能够推断某物体表面反射或折射的
波的大小、推断物体表面属性以及模拟特定材料有关参数和物理属性的重要公式。
它已经在多学科研究中得到广泛应用，成为物理研究的重要工具。
康普顿 二次散射 推导
由于论文中使用的散射光子数计算式是在仅考虑一次散射时得到的，我们下面计算了二次散射可能引起的修正。
附录A ：二次散射微分散射截面的推导
以下推导采用自然单位制。
康普顿散射的树图为：
由QED 二阶微扰得到的微分散射截面在电子静止参考系中的表达式为：
⎪⎭⎫
⎝⎛-+=Ωθωωωωωωασ
22222
sin '''2m d d 又有：ωωθ1'1)cos 1(1-=-m
代入得到： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-=Ωθθωθωθωασ
2222
cos )cos 1()cos 1(]1/)cos 1([1
2m m m m m d d 在实验中，MeV m keV 511.0,20=≈ω
考虑二次散射：
则一个光子经过两次散射到达θ角的微分散射截面：
112112122
12112122
0)(cos ))cos(1())cos(1(]1/))cos(1('[12cos )cos 1()cos 1(]1/)cos 1([1
2ϕϕθϕθωϕθωϕθωαϕϕωϕωϕωασ
πd m m m m m m m m m m d d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--++--+--∙⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-=Ω⎰由于式中含有222
)2(m α数量级的因子，而2
22
)2(m α<<1，因此二次散射引起的修正很小，可
以忽略高次散射，只计一次散射的结果。
康普顿散射
•1922年，美国物理学家康普顿在研究石墨中的电子对X射线的散射时发现，有些散射波的波长比入射波的波长略大，他认为这是光子和电子碰撞时，光子的一些能量转移给了电子，康普顿假设光子和电子、质子这样的实物粒子一样，不仅具有能量，也具有动量，碰撞过程中能量守恒，动量也守恒。
短波长电磁辐射射入物质而被散射后，在散射波中，除了原波长的波以外，还出现波长增大的波，散射物的原子序数愈大，散射波中波长增大部分的强度和原波长部分的强度之比就愈小。
按照这个思想列出方程后求出了散射前后的波长差，结果跟实验数据完全符合，这样就证实了他的假设。
这种现象叫康普顿效应。
1. 散射波长改变量lD的数量级为10-12m，对于可见光波长l~10-7mlD<<l，所以观察不到康普顿效应。
解释：他发现其中包含有两种不同频率的成分，一种频率和原来人射的X射线的频率相同，而另一种则比原来人射的父射线的频率小。
这种频率的改变和散射角有一定的关系。
对于第一种不改变频率的成分可用通常的波动理论来说明，因为根据光的波动理论，散射不会改变入射光的频率。
而实验中出现的、第二种频率变小的成分却令人费解，它无法用经典的概念来说明。
面对这种实验所观测到的事实，康普顿于1923年提出了自己的解释。
他认为这种现象是由光量子和电子的
相互碰撞引起的。
光量子不仅具有能量，而且具有某些类似力学意义的动量，在碰撞过程中，光子把一部分能量传递给电子，减少了它的能量，因而也就降低了它的频率。
另外，根据碰撞粒子的能量和动量守恒，可以导出频率改变和散射角的依赖关系，这也就能很好地说明了康普顿所观测到的事实。
康普顿效应散射公式推导过程
康普顿效应散射公式推导过程在物理学的奇妙世界里，康普顿效应可是个相当有趣且重要的概念。
咱们今天就来好好唠唠康普顿效应散射公式的推导过程。
先来说说啥是康普顿效应。
想象一下，有一束 X 射线照到一块物质上，然后就发生了散射。
散射出来的 X 射线波长跟原来入射的波长不太一样，而且这个变化还跟散射角有关系。
这就挺神奇的，对吧？那咱们开始推导这个散射公式。
咱先假设入射的 X 射线光子能量是E = hν，动量是p = hν / c 。
这里的 h 是普朗克常量，ν 是频率，c 是真空中的光速。
当它和一个静止的自由电子发生碰撞时，根据动量守恒和能量守恒，就能得出一系列式子。
碰撞后，光子的能量变成了E' = hν' ，动量变成了p' = hν' / c 。
电子获得了一定的能量和动量。
设电子获得的能量是 E_e ，动量是p_e 。
根据动量守恒，在 X 方向上，有hν / c = hν' cosθ + p_e cosφ ；在 Y方向上，有0 = hν' sinθ - p_e sinφ 。
再结合能量守恒 E + m₀c² = E' + E_e 。
这里面 m₀是电子的静止质量。
经过一番复杂但有趣的数学运算和推导，最终就能得出康普顿效应的散射公式：Δλ = λ' - λ = (h / m₀c) (1 - cosθ)这就是康普顿效应散射公式啦！我还记得之前给学生们讲这个的时候，有个小家伙瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这到底有啥用啊？”我笑着跟他说：“你想想啊，以后你要是去医院拍 X 光片，医生能通过这个原理更清楚地看到你的骨头有没有问题呢！”这孩子似懂非懂地点点头。
其实啊，康普顿效应的应用可不止在医学上。
在材料科学、天文学等领域都有着重要的作用。
通过对康普顿效应散射公式的推导和理解，我们能更深入地探索微观世界的奥秘，感受物理的魅力。
所以，同学们，可别小看了这个公式，它背后隐藏着无尽的知识和可能！希望大家能在物理的海洋里畅游，发现更多的精彩！。
1康普顿散射量子解释
hν
c
n
+
mV
mc2 = h(ν 0 −ν ) + mec2
（1） 能量守恒
(mV )2 = ( hν 0 )2 + ( hν )2 − 2 hν 0 hν cosθ （2） 动量守恒
c
c
cc
（1） 2– （2）× c2 得出：
m
2
c
4
(1
−
V c
2 2
)
=
me2c
4
−
2h
2ν
0ν
(1
−
cosθ
)
+
2mec
2
h(ν
0
−ν
)
（3）
m=
me
1−V 2 / c2
将（4）带入（3）式：
（4）
me2c4 = me2c4 − 2h2ν 0ν (1− cosθ ) + 2mec2h(ν 0 −ν ) （5）
c(ν 0 −ν ) = h (1− cosθ )
（6）νLeabharlann 0 ⋅ν mec散射的光子
c − c = h (1− cosθ ) ν ν 0 mec
E
=
hν
=
hc λ
=
6.63×10−34 × 3×108 0.71×10-10
= 2.8×10-15 J ≡ 1.75×104 eV
轻质量原子内
电子的能量~eV量级
电子的相对论质量：
m=
me
1−V 2 / c2
系统能量守恒：
hν 0 + mec2 = hν + mc2
系统动量守恒：
康普顿散射
康普顿散射实验报告一. 实验目得1、学会康普顿散射效应得测董技术；2、验证康普顿散射得丫光子能量及微分截面与散射角得关系。
二. 实验原理1 •康普顿散射康普顿效应就是射线与物质相互作用得三种效应之一。
康普顿效应就是入射光子与物质原子中得核外电子产生非弹性碰撞而被散射得现象。
碰撞时，入射光子把部分能量转移给电子，使它脱离原子成为反冲电子，而散射光子得能量与运动方向发生变化。
当入射光子与电子发生康普顿效应时，如图1所示，其中〃y就是入射丫光子得能量9hv f就是散射y光子得能量，&就是散射角就是反冲电子，0就是反冲角。
由于发生康普顿散射得/光子得能量比电子得束缚能要大得多，所以入射得y光子与原子中得电子作用时，可以把电子得束缚能忽略，瞧成就是自由电子，并视散射发生以前电子就是静止得，动能为0,只有静止能量nhc2o散射后，电子获得速度匕此时电子得能量E = nic1 = n\}c2 / J1-0’,动量为〃沖=n\}v! J1_0，，其中J3 = v/c, c 为光速。
用相对论得能量与动董守恒定律就可以得到n\}c2 + hv = / Jl-0，+ hv f(1)hv/c = 7??0vcos ① / Jl-0，+ hv' cos 6/c(2) 式中"y /c就是入射Y光子得动量,hv f /c就是散射Y光子得动董。
hv9 sin0/c = w o vsin ① / Jl-0‘(3) 由式(1)、(2)、(3)可得出散射y光子得能量心 _______ ⑷1 +丄Z(l —COS&)叫L此式就表示散射/光子能量与入射y光子能量、散射角得关系。
2 •康普顿散射得微分截面康普顿散射得微分裁面得意狡就是：一个能量为力1/得入射y光子与原子中得一个核外电子作用后被散射到0方向单位立体角里得几率(记作也色，单位:cm2/单位立体角)为da（O）/• Itv'yJiv ltv f・ o 心----- =丄（——）'（―-+ ——一siir 0）----- （5） dO 2 hv Itv9 hv 式中门二2、818X10 13cm,就是电子得经典半径，式（5）通常称为“克来茵一仁科”公式，此式所描述得就就是微分截面与入射y光子能量及散射角得关系。
康普顿散射公式简便推导
康普顿散射公式简便推导康普顿散射是一种重要的量子力学现象，其公式推导是量子力学课程中的经典教学内容之一。
本文将介绍一种简便的康普顿散射公式推导方法。
首先，我们需要了解康普顿散射的基本概念。
康普顿散射是指高能光子与自由电子相互作用后，光子的波长发生变化的现象。
在康普顿散射过程中，光子的能量和动量都被转移给了电子，因此，散射后光子的能量和动量会有所变化。
接下来，我们可以通过以下步骤推导康普顿散射公式：1. 假设入射的光子具有能量$E$，波长$lambda$，动量$p$，自由电子静止质量为$m_0$。
2. 光子与电子相互作用后，光子的能量减小为$E'$，波长变为$lambda'$，动量为$p'$。
3. 应用能量动量守恒定律，得到以下方程：$E + m_0 c^2 = E' + sqrt{(p'c)^2 + (m_0c^2)^2}$$p = p' costheta + sqrt{(frac{E'}{c} + frac{E}{c} -2p'costheta)(frac{E'}{c} - frac{E}{c})}$其中，$theta$为散射角度。
4. 应用康普顿散射能量差公式，得到：$Delta E = E - E' = frac{h}{m_0 c}(1 - costheta)$ 其中，$h$为普朗克常数。
5. 应用康普顿散射波长差公式，得到：$Delta lambda = lambda' - lambda = frac{h}{m_0 c}(1 - costheta)$6. 将公式中的电子静止质量$m_0$替换为电子的动能$T = mc^2 - m_0 c^2$，得到最终的康普顿散射公式：$Delta lambda = frac{h}{mc}(1 - costheta)$通过以上步骤，我们得到了康普顿散射公式的简便推导方法。
康普顿散射实验介绍
• (3)对于不同元素的散射物质，在同一散射 角下，波长的改变量Δλ相同。波长为λ的散 射光强度随散射物原子序数的增加而减小。
• X射线的散射是单个电子和单个光子发生弹 性碰撞的结果。碰撞前后动量和能量守恒
• 实验测得散射光波长与散射角θ 的关系：
图3a表示入射X射线强度与波长的关系。图 3b，图3c，图3d表示在散射角θ不同时X射线 的强度分布。此时得两峰值，其一在入射X 射线波长处。新的峰对应的波长即康普顿理 论所预言的散射X 射线波长。测量结果证明 康普顿的公式是正确的。
实验结果：
• (1)散射光中除了和原波长λ0相同的谱线外 还有λ>λ0的谱线。
康普顿散射(Compton scattering)
定义：短波电磁辐射(如X射 线，伽玛射线)射入物质而 被散射后，除了出现与入 射波同样波长的散射外， 还出现波长向长波方向移
动的散射现象。
• 1923年，美国物理学家康普顿在研究x射线通 过实物物质发生散射的实验时，发现了一个新 的现象，即散射光中除了有原波长l0的x光外， 还产生了波长l>l0 的x光，其波长的增量随散射 角的不同而变化。这种现象称为康普顿效应 (compton effect)。用经典电磁理论来解释康普 顿效应遇到了困难。康普顿借助于爱因斯坦的
实验装置
• 以电子质量代入(4)，可得电子的康普顿波长为 λc=2.42631×10-2Å ，所以波长改变是一极小的 量。上面的公式也可应用于其他带电粒子与光 子的碰撞，此时M0代表粒子质量。如质子的康 普顿波长为1.32141×10-5Å 。
• 康普顿的最初实验是观察 X射线经过石墨的散 射。因为X射线的波长是Å 量级的，散射后波长 的改变才是有意义的。X光子能量大，而石墨 中价电子受到的束缚弱，可以近似认为是静止 的自由电子。
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康普顿散射公式的理论推导夏烆光（中国船级社 大连分社 辽宁 大连 116091）提要：本文从介绍康普顿实验结果入手，分别地讨论了康普顿散射的实验结果，以及经典教科书关于康普顿散射实验结果的理论推导。
并指出，在经典的理论推导中，错误地利用了光子运动的横向相对论质量。
事实上，在简化处理动量和能量的关系式中，已经彻底丢失了电子运动质量的相对论效应。
因此说，这个理论结果并不能证明爱因斯坦质能关系式正确与否。
纠正了经典教科书中的错误做法，利用广义时空相对论的质能关系式，精确地导出了康普顿散射公式的实验结果，从而间接证明广义时空相对论的质能关系式本身的正确性。
关键词：康普顿 爱因斯坦 狭义相对论 广义时空相对论 康普顿散射 光子的横质量 光子的纵质量 光的量子理论 光的波动理论引 言按照狭义相对论，只有假设电子的相对论质量为横向质量()20/1c V m m -=⊥时，才能导出康普顿散射的实验公式。
然而在康普顿散射实验中，碰撞前电子是静止的，在碰撞过程中，光子把部分动量传给了电子，从而使电子产生运动。
因为，电子的运动方向总是与其所获得动量的方向一致，所以，此时此刻，电子的相对论质量理应采用它的纵向质量()[]320///1c V m m -=而不是它的横向质量（见【1】第31～32页）。
由此可见，在现行的教科书中，用电子横向质量()20/1c V m m -=⊥来推导康普顿散射公式的做法毫无道理（参见【2】）。
就康普顿散射实验而论，碰撞后电子的运动速度一般都远小于光速（c V <<），因而，电子质量的相对论效应十分有限，所以我们完全可以近似地忽略电子质量的相对论效应，这样一来，把碰撞后电子的质量用静止质量0m 代入，根据动量υ0m p =、及广义时空相对论的能量220υ+=c c m E ，并利用电子和光子的能量守恒定律和动量守恒定律，就可以严格地导出康普顿散射实验的理论结果。
为了清晰地讨论这个问题，我们先介绍康普顿散射实验结果及其实验公式。
一 康普顿散射现象的实验公式1.1、康普顿散射的经典实验。
康普顿研究了X 射线经物质散射的实验，进一步的证实了爱因斯坦的光子概念。
散射实验与右图所示（参见【3】）：康普顿发现，在散射光中除了有与入射光波长0λ相同的射线之外，同时还出现一种波长0λλ>的射线。
这种改变波长的散射被称为康普顿效应。
我国物理学家吴有训在与康普顿共同研究中还发现：（1）波长的偏移0λλλ-=∆随散射角ϕ而异；当散射角增大时，波长的偏移也随之增加，而且随着散射角的增大，原波长的谱线的强度增大。
（2）在同一散射角下，对所有散射物质，波长的偏移λ∆都相同，但原波长的谱线强度随散射物质的原子序数的增大而增加，新波长的谱线强度随之减小。
传统的“光波理论”根本无法解释康普顿散射现象。
于是，人们转而用光的量子理论来加以解释。
1.2、康普顿散射的光量子理论解释。
康普顿效应是光子和自由电子做弹性碰撞的结果。
其具体地解释如下：若光子和外层电子相碰撞，光子有一部分能量传给电子，散射光子的能量减少，于是散射光的波长大于入射光的波长；若光子和束缚很紧的内层电子相碰撞，光子与整个原子交换能量，由于光子质量远小于原子质量，根据碰撞理论，碰撞前后光子能量几乎不变，波长不变；因为碰撞中交换的能量与碰撞角度有关，所以波长改变与散射角度有关。
1.3、康普顿散射的定量分析。
按着光子理论弹性碰撞的观点，则有能量守恒定律：2200mc h c m h +=+νν； (1)动量守恒定律：()()()()ϕννννcos 20220⋅⋅-+=h c h c h c h m 。
…………（2） 0m 是电子的绝对静止质量，m 是电子和光子碰撞后的电子质量，矢量V 是碰撞后电子的相对速度矢量，而V 就是碰撞后电子的相对速度。
经推导和整理，最后得到：2sin 22sin 22200ϕλϕλλλc c m h ==-=∆ ………………………………………（3） 其中的()()cm c m h c 1001043.2-⨯==λ是电子的康普顿波长，或写成⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅==-=∆0222002sin 0486.02sin 22sin 2A c m h c ϕϕλϕλλλ …………（4） 此式说明：波长改变与散射物质无关，仅决定于散射角，且波长改变随散射角增大而增加。
计算的理论值与实验符合的非常好（参见【4】）。
二 传统教科书对康普顿散射公式的理论推导按着经典教科书的解释，电磁辐射通过物质被散射的辐射应与入射辐射具有相同的波长，这是由于入射辐射使物质中原子核外的电子受到一个周期性的力而以入射波的频率振荡，进而由于振荡发射同频率的电磁波。
但在康普顿散射实验中，被散射的X 射线，除了与入射波相同波长的成分外，还有波长增长的部分。
而增长的数量随散射角ϕ的不同而不同，这是经典电磁理论解释不了的现象。
康普顿用“光的量子说”给出圆满的解释，因而被称为“康普顿效应”。
2.1、光子理论的量子解释。
康普顿假定，X 射线由光子组成，光子的波长和动量满足于爱因斯坦于1905年提出的νh E =和1917年提出的λh p =两个假定。
波长为λ的光子与原子中质量为0m 的静止自由电子碰撞后，在同入射方向成ϕ角方向散射，散射波长为λ'（如右图所示）。
2.2、用光量子理论对康普顿散射实验结果的推导。
考虑到这个体系的能量和动量均守恒（参见【5】第637~639页）并注意到矢量合成法则，故有：()⎪⎭⎪⎬⎫'-==+'-p p p E c m h e e e 2νν …………………………………………………（5） 这里用e m 代表碰撞后电子的质量。
假设电子以接近光的速度运动，所以我们需要利用电子质量和动量的相对论关系式，即：V m m p e =-=201β …………………………………………（6） 式中，c V =β，201β-=m m e ，当电子的相对速度0=V 时，200c m E =…………………………………………………（7） 称为电子的静止能量。
——这就是著名的“爱因斯坦质-能关系式”。
总能量2c m E e e =和静止能量0E 之差，为电子的动能K E ,即 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=111220202βc m c m c m E e K ………………………………（8） 因为1<<β，上式可以按幂级数展开为020********022.......211m p m V m c m c V c m E K =≈-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++= …………………（9） 这就是经典力学“动能-动量关系式”。
——显然，问题又回到经典的牛顿力学中！由此归纳出质量为e m 的电子，在相对论意义上的静止能量、以及能量-动量关系，即⎪⎭⎪⎬⎫+==422222;c m c p E c m E e e e e e ………………………………………………（10） 利用（10）式中的能量-动量关系式42222c m c p E e e e +-，将（5）式化简为()[]4222c m c m h e e +-+'-νν ……………………………………（11） 为了方面理解，我们把（11）式两端拆分成三个步骤加以推导。
其中，第一步，（11）式的左端为：()[]()()4222222222c m h c m h c m h e e e +'-+'-'+=+'-νννννννν 第二步，（11）式右端的第一项，按着余弦定理展开为：()⎪⎪⎪⎩⎪⎨'-'+=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅'⋅-'+=-ϕννννϕννννϕcos 2cos 2cos 22222222222c h c h c h c h p p p p 第三步，（11）式右端的两项之和为：()42222cos 2c m h e +'-'+ϕνννν再回到等式（11）中，则有 ()()()42222422222cos 222c m h c m h c m h e e e +'-'+=+'-+'-'+ϕνννννννννν把上式化简后得出：()ϕννννννcos 2222222'-='-+'-h hc m h e ……………………（12） 整理等式（12）的两端，则有()()()()⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-'-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-'-'='-ϕννϕννϕννννcos 111cos 111cos 1222c m h h c m h c m e e e ……………………………………（13） 由于νλc =，将上式中最后一个式子两边同时乘以c ，得出()()ϕλλλcos 1-=-'=∆cm h e ………………………………………（14） 利用三角函数的半角公式，则上式可以改写成 ()2sin 22ϕλλλc m h e =-'=∆ …………………………………………（15） 的确，这个理论结果与康普顿散射的实验公式完全一致。
于是，传统的教科书立刻得出结论：“上述理论结果与实验相符，故康普顿散射有力地支持了光的粒子性和狭义相对论”。
——【按】其实，传统教科书的讨论，尽管在（6）式中引入了爱因斯坦的“质-能关系式”，但是经过（8）和（9）式的简化处理之后，在客观上，等于完全忽略了电子质量的“相对论效应”。
以此为基础得出的理论结果只能说明：狭义相对论质-能关系在理论推导中并没有起作用。
因此，并不能从这一点上说明“康普顿散射支持了狭义相对论”，而充其量只能说明“康普顿散射支持了光的量子性”。
顺便指出：狭义相对论根据四度速度的平方12-=i u 的定义得出222c m p i -=，并证明i p 的三个空间分量就是动量P ，而它的第4个分量（时间分量）为c E i p ⋅=4，即3,2,1p p =α，c iE p =4。
由此，爱因斯坦得出微观物体的总能量42222c m c p E +=（参见【1】第34~35页）。
在广义时空相对论中，同样导出了42222c m c p H +=，其中的H 和E 具有相同的物理意义，p 也是粒子动量的绝对值。
当粒子的绝对速度c <<υ时，其相对速度V 将和绝对速度υ趋于一致，于是则有m p mc E H 222+==。
——这就是经典力学的“能量-动量关系式”（参见【6】第239页）。
事实上，我国科技工作者，季灏先生通过“关于电子Lorentz力和能量测量的实验”指出：“电子的能量和动量满足经典力学的动量和能量定义”（参见右图）。