平面向量基础试题(一)
平面向量经典试题(含答案)
平面向量1如图，在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则AD BC ⋅= ．〖解析〗在ABC ∆中，有余弦定理得2222cos1207BC AB AC AB AC ︒=+-⋅⋅=，7BC =，由正弦定理得3sin 7C ∠=，则2cos 7C ∠=，在ADC ∆中，由余弦定理求得222132cos 9AD DC AC DC AC C =+-⋅⋅∠=，则133AD =，由余弦定理得891coc ADC ∠=，1388||||cos ,7()3391AD BC AD BC AD BC ⋅=⋅=⨯⨯-=-． 〖答案〗83-．2．）已知AOB ∆，点P 在直线AB 上，且满足2()OP tPA tOB t R =+∈，则PA PB=（ ）A 、13B 、12C 、2D 、3〖解析〗如图所示，不妨设,OA a OB b ==；找共线，对于点P 在直线AB 上，有AP AB λ=；列方程，因此有AP AO OP =+2a tPA tb =-++，即12a tbAP t-+=+；而AB AO OB a b =+=-+，即有11212tt tλλ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，因此1t =时13λ=.即有PA PB =12.〖答案〗B ．3.在△ABC 中，π6A ∠=，D 是BC 边上任意一点（D 与B 、C 不重合），且22||||AB AD BD DC =+⋅，则B ∠等于 ▲ ．〖解析〗当点D 无限逼近点C 时，由条件知BD DC ⋅趋向于零，||||AB AC =，即△ABC 是等边三角形．〖答案〗5π12． 4.如右图，在ABC ∆中，04,30AB BC ABC ==∠=，AD 是边BC上的高，则AD AC ⋅的值等于（ ）ABDCAB O Pab （第2题图）A ．0B ．4C ．8D ．-4【答案】B【解析】因为04,30AB BC ABC ==∠=，AD 是边BC 上的高, AD=2BD =1()2442AD AC AD AB BC AD AB AD BC ⋅=⋅+=⋅+⋅=⨯⨯=,选择B 5 在直角ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（ ） A ．2AC AC AB =⋅ B ． 2BC BA BC =⋅C ．2AB AC CD =⋅ D ． 22()()AC AB BA BC CD AB⋅⨯⋅=〖解析〗由于 ||||AC AB AC AB ⋅=⋅cso ∠CAB=|AC |2, 可排除A.||||BA BC BA BC ⋅=⋅cos ∠ABC=||AC 2, 可排除B , 而||||AC CD AC CD ⋅=⋅cos(π－∠ACD)=－||||AC CD ⋅cos ∠ACD<0 ， |2|AB >0 , ∴|2|AB ≠AC CD ⋅，可知选C ． 〖答案〗C ． 6)函数cos(2)26y x π=+-的图象F 按向量a 平移到'F ,'F 的函数解析式为(),y f x =当()y f x =为奇函数时，向量a 可以等于( ).(,2)6A π-- .(,2)6B π-.(,2)6C π-.(,2)6D π解析 直接用代入法检验比较简单.或者设(,)a x y ''=根据定义cos[2()]26y y x x π''-=-+-，根据y 是奇函数，对应求出x '，y '答案 B7.在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，且AC AE AF λμ=+，其中,R λμ∈，则+λμ= _________. 答案: 4/3 解析:设BC b =、BA a =则12AF b a =- ,12AE b a =- ,AC b a =- 代入条件得2433u u λλ==∴+= 8在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ）A ．1142+a b B ．2133+a b C ．1124+a bD ．1233+a b 答案 B9.在△ABC 中，=++===n m AC n AB m AP PR CP RB AR 则若,,2,2 ( ) A ．32 B ．97 C ．98 D ．1答案:B10.设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2mm α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则mλ的取值范围是 （ ）Ａ．[-6，1] Ｂ．[48]， Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6]答案:Ａ11.如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的 数量积中最大的是（ ）A.1213,PP PPB. 1214,PP PPC. 1215,PP PPD. 1216,PP PP答案 A12.)已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则()A.a ⊥eB.e ⊥(a －e )C.a ⊥(a －e )D.(a ＋e )⊥(a －e ) 答案：B※※13.已知A ，B ，C 是平面上不共线上三点，动点P 满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-=→→→→OC OB OA OP )21()1()1(31λλλ)0(≠∈λλ且R ,则P 的轨迹一定通过ABC ∆的A .内心 B. 垂心 C.重心 D.AB 边的中点 答案 C14. 如图所示，在△ABO 中，OC =41OA ,OD =21OB ,AD 与BC 相交于点M ，设OA =a ，OB =b .试用a 和b 表示向量______OM a b =+. 解 设OM =m a +n b ，则AM =OM -OA =m a +n b -a =(m-1)a +n b .AD =OD -OA =21OB -OA =-a +21b . 又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM 与AD 共线. ∴存在实数t,使得AM =t AD ， 即(m-1)a +n b =t(-a +21b ). ∴(m-1)a +n b =-t a +21t b .⎪⎩⎪⎨⎧=-=-21t n t m ，消去t 得：m-1=-2n ，即m+2n=1. ①又∵CM =OM -OC =m a +n b -41a =(m-41)a +n b .CB =OB -OC =b -41a =-41a +b .又∵C 、M 、B 三点共线，∴CM 与CB 共线. 8分∴存在实数t 1,使得CM =t 1CB ,∴(m-41)a +n b =t 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-41, ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=-114141t n t m ， 消去t 1得,4m+n=1 ② 由①②得m=71,n=73, ∴OM =71a +73b .15.如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN=2NC ，AM 与BN 相交于点P ，AP ∶PM 的值为______. 解 方法一 设e 1=BM ,e 2=CN , 则AM =AC +CM =-3e 2-e 1， BN =BC +CN =2e 1+e 2.因为A 、P 、M 和B 、P 、N 分别共线，所以存在实数μ、λ，使AP =λAM =-3λe 2-λe 1，BP =μBN =2μe 1+μe 2，∴BA =BP -AP =（λ+2μ）e 1+（3λ+μ）e 2，另外BA =BC +CA =2e 1+3e 2，⎩⎨⎧=+=+3322μλμλ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5354μλ， ∴AP =54AM ,BP =53BN ,∴AP ∶PM=4∶1. 方法二 设AP =λAM ， ∵AM =21(AB +AC )=21AB +43AN ， ∴AP =2λAB +43λAN . ∵B 、P 、N 三点共线，∴AP -AB =t(AB -AN ),∴AP =(1+t)AB -t ANa b ∴∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=tt λλ4312∴2λ+43λ=1，λ=54，∴AP ∶PM=4∶1.16.设0≤θ＜2π，已知两个向量1OP =（cos θ，sin θ），2OP =（2+sin θ，2-cos θ），则向量21P P 长度的最大值是 . A.2B.3C.23 D.32答案 C17．已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB •的最小值为(A) 42- (B)32- (C) 422-+ (D)322-+答案：D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，22221tan 1cos 21tan 1x x ααα--==++.PA PB•22221cos 21x x x x α-=⋅=⋅+，令21t x =+，……使用基本不等式得min ()322PA PB •=-+.18．若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2221(a>0)ax y -=的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则OP FP ⋅的取值范围为 ( )A.)323,⎡-+∞⎣B. )323,⎡++∞⎣C. 7,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D. 7[,)4+∞ 【答案】B【解析】因为(2,0)F -是已知双曲线的左焦点，所以214a +=，即23a =，所以双曲线方程为2213x y -=，设点P 00(,)x y ，则有220001(3)3x y x -=≥，解得PABO220001(3)3x y x =-≥，因为00(2,)FP x y =+，00(,)OP x y =，所以2000(2)OP FP x x y ⋅=++=00(2)x x ++2013x -=2004213x x +-，此二次函数对应的抛物线的对称轴为034x =-，因为03x ≥，所以当03x =时，OP FP ⋅取得最小值432313⨯+-=323+，故OP FP ⋅的取值范围是[323,)++∞，选B 。
名校平面向量精选试题
第五章 平面向量一、基础题1．若向量)6,12(),2,4(),6,3(--==-=,则下列结论中错误的是（ ） A ．v u ⊥ B ．w v //C ．v u w 3-=D ．对任一向量AB ，存在实数b a ,，使v b u a AB +=2．已知a =（-3，2），b =（-1，0），向量a λ+b 与a -2b 垂直，则实数λ的值为（ ） A ．71-B ．71C ．61- D ．613．己知平面向量满足，与的夹角为60°,则“1m =”是 “()a mb a -⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知向量b a 、，其中2=a ，2=b ，且a b)a ⊥-（，则向量a 和b 的夹角是（ ） A ．4πB ．2πC ．43πD ．π5．已知(2,)a m =，(1,)b m =-，若(2)a b b -⊥，则||a ＝（ ）A ．4B ．3C ．2D ．16．若向量)2,1(),1,1(),1,1(--=-==c b a ，则=c （ ）A ．2321--B ．2321+-C ．2123-D ．2123+- 7．已知向量25,10),1,2(=+=⋅=→→→→→b a b a a ，则=→b （ ）A ．5B ．10C ．5D ．25 8．若向量a ，b 满足|a |=1，|b |=2且a 与b 的夹角为3π，则|a +b |=________. 9．把点A (2，1)按向量a ＝(－2，3)平移到B ，若2OB BC =-，则C 点坐标为_____．10．已知向量(1,2),(1,0),(3,4)===a b c ．若λ为实数，()//a b c λ+，则λ的值为 ． 11．向量，满足()(2)4a b a b -+=-，且，，则，夹角的等于______.12．已知)2,(cos x a =，)3,sin 2(x b = ,b a //,则=-x x 2cos 22sin .二．能力题13．定义：||||||sin a b a b θ⨯=，其中θ为向量a 与b 的夹角，若||2a =，||5b =，6a b ⋅=-，则||a b ⨯等于（ ）A ．8-B ．8C ．8-或8D ．614．已知向量),sin ,(cos θθ=向量),1,3(-=则|2|-的最大值、最小值分别是（ ） A ．24 ，0 B ．4，24 C ．16，0D ．4，015．已知向量,,a b c 中任意两个都不共线,且a b +与c 共线, b c +与a 共线,则向量a b c ++=（ ）A ．aB ．bC ．cD ．016．若是所在平面内的一点，且满足()()0BO OC OC OA +-=，则一定是（ ）A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．斜三角形 17．设Q P 、为△ABC 内的两点，且5121,2534AP AB AC AQ AB AC =+=+，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为 （ ）A ．58 B ．35 C ．54D ．4518．已知|OP ―→|＝1，|OQ ―→|＝3，OP ―→⊥OQ ―→，点R 在△POQ 内，且∠POR ＝30°，OR ―→＝m OP ―→＋n OQ ―→(m ，n ∈R )，则mn等于（ ）A ．13B ．3C ．33D ． 319．向量)0,2(=a，b =（x ,y ）若b 与b -的夹角等于6π，则b 的最大值为( )A ．2B ．32C ．4D ．334 20．在△ABC 中, 13AN NC =,P 是BN 上的一点,若29AP m AB AC −−→−−→−−→=+,则实数m 的值为( )A ．19 B ．31C. 1D. 3 21．已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向量(31)=-，m ，(cos sin )A A =，n ．若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角B = ．三．拔高题22．在ABC ∆中，P 是BC 边中点，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若0cAC aPA bPB ++=，则ABC ∆的形状为（ ）A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形.23．函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图像如图所示，则(OB ―→－OA ―→)·OB ―→＝（ ）A ．－4B ．2C ．－2D ．424．在平面内，点A 、B 、C 分别在直线l 1、l 2、l 3上，l 1∥l 2∥l 3（l 2在l 1与l 3之间），l 1与l 2之间距离为1，l 2与l 3之间距离为2，且2AB ＝AB ―→·AC ―→，则△ABC 的面积最小值为（ ）A ．4B ．433C ．2D ．23325．在四边形ABCD 中，()1 1A B DC ==，，113BA BC BD BABCBD+=，则四边形ABCD 的面积为 ．26．平面上的向量与满足24MA MB +=，且0=⋅，若点C 满足3231+=，的最小值为________.27．已知A (,)，B (,)是函数的图象上的任意两点（可以重合），点M 在直线上，且. （1）求+的值及+的值 （2）已知，当时，+++，求；（3）在（2）的条件下，设=，为数列{}的前项和，若存在正整数、，使得不等式成立，求和的值.28．已知向量2(2sin ,2sin 1),(cos ,3)444x x xm n =-=-，函数()f x m n =⋅． （1）求函数()f x 的最大值，并写出相应x 的取值集合； （2）若()3f πα+=，且(0,)απ∈，求tan α的值．29．已知向量2(cos,1),(3sin ,cos )222x x xm n =-=，设函数()f x m n =∙＋12（1）若[0,]2x π∈，)(x f 求cos x 的值； （2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，且满足2cos 2b A c ≤，求)(B f 的取值范围．30．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， q=（a 2，1），p=（c b -2， C cos ）且q p //．求：（1）求sin A 的值； （2）求三角函数式1tan 12cos 2++-CC的取值范围．CACAB DC 8．7 9．)2,0( 10．21 11．0120 12．258- BDDCD BCA 21．6π ADC 25．3 26．4727．（Ⅲ）==，=1++=.28.29.解：（1）依题意得()sin()6f x x π=-，………………………………2分由[0,]2x π∈得：663x πππ-≤-≤，sin()063x π-=>，从而可得cos()63x π-=，………………………………4分则cos cos[()]cos cos()sin sin()66666626x x x x ππππππ=-+=---=-……6分（2）由2cos 2b A c ≤得：cos 2B ≥，从而06B π<≤，……………………10分故f(B)=sin(6B π-)1(,0]2∈- ………………………………12分30.。
平面向量单元测试题及答案
平面向量单元测试题（一）2一，选择题：1，下列说法中错误的是 （ ）A ．零向量没有方向B ．零向量与任何向量平行C ．零向量的长度为零D ．零向量的方向是任意的2，下列命题正确的是 （ ）A. 若→a 、→b 都是单位向量，则 →a ＝→bB . 若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形C. 若两向量→a 、→b 相等，则它们是始点、终点都相同的向量D. AB 与BA 是两平行向量3，下列命题正确的是 （ ）A 、若→a ∥→b ，且→b ∥→c ，则→a ∥→c 。
B 、两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同。
C 、向量AB 的长度与向量BA 的长度相等,D 、若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线。
4，已知向量(),1m =a ，若，a=2，则m =（ ）A ．3 C. 1± D.3±5，若→a =（1x ，1y ），→b =（2x ，2y ），，且→a ∥→b ，则有（ ）A ，1x 2y +2x 1y =0，B ， 1x 2y ―2x 1y =0，C ，1x 2x +1y 2y =0，D ， 1x 2x ―1y 2y =0，6，若→a =（1x ，1y ），→b =（2x ，2y ），，且→a ⊥→b ，则有（ ）A ，1x 2y +2x 1y =0，B ， 1x 2y ―2x 1y =0，C ，1x 2x +1y 2y =0，D ， 1x 2x ―1y 2y =0，7，在ABC ∆中，若=+，则ABC ∆一定是 （ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定8，已知向量,,a b c 满足||1,||2,,a b c a b c a ===+⊥，则a b 与的夹角等于 （ ）A ．0120B 060C 030D 90o二，填空题：（5分×4=20分）9。
已知向量a 、b 满足==1，a 3-=3，则a +3=10，已知向量a ＝（4，2），向量b ＝（x ，3），且a //b ,则x ＝11，.已知 三点A(1,0),B(0,1),C(2,5),求cos ∠BAC =12，.把函数742++=x x y 的图像按向量a 经过一次平移以后得到2x y =的图像， 则平移向量a 是（用坐标表示）三，解答题：（10分×6 = 60分）13，设),6,2(),3,4(21--P P 且P 在21P P =,，则求点P的坐标14，已知两向量),1,1(,),31,,31(--=-+=b a 求a 与b 所成角的大小，15，已知向量a =（6，2），b =（－3，k ），当k 为何值时，有（1），a ∥b ?（2），a ⊥b ?（3），a 与b 所成角θ是钝角？16，设点A （2，2），B （5，4），O 为原点，点P 满足OP =OA +AB t ，（t 为实数）；（1），当点P 在x 轴上时，求实数t 的值；（2），四边形OABP 能否是平行四边形？若是，求实数t 的值 ；若否，说明理由， 17，已知向量OA =（3, －4）, OB =（6, －3）,OC =（5－m, －3－m ）,（1）若点A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件；（2）若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值．18，已知向量.1,43),1,1(-=⋅=n m m n m 且的夹角为与向量向量π（1）求向量n ；（2）设向量)sin ,,(cos ),0,1(x x b a ==向量，其中R x ∈， 若0=⋅a n ，试求||b n +的取值范围.平面向量单元测试题2答案：一，选择题：A D C D B C C A二，填空题： 9，23； 10，6； 11，13132 12，)3,2(- 三，解答题：13，解法一：设分点P （x,y ），∵P P1=―22PP ，λ=―2 ∴ (x ―4,y+3)=―2(―2―x,6―y),x ―4=2x+4, y+3=2y ―12, ∴ x=―8,y=15,∴ P(―8,15)解法二：设分点P （x,y ），∵P P1=―22PP ， λ=―2 ∴ x=21)2(24---=―8,y=21623-⨯--=15, ∴ P(―8,15)解法三：设分点P （x,y ），∵212PP P P =,∴―2=24x+, x=―8,6=23y+-, y=15, ∴ P(―8,15)14，解：a=22, b =2 , cos ＜a ,b ＞=―21, ∴＜a ,b ＞=1200， 15，解：（1），k=－1; (2), k=9; (3), k ＜9,k ≠－116，解：（1），设点P （x ，0），AB =(3,2),∵OP =OA +AB t ，∴ (x,0)=(2,2)+t(3,2),⎩⎨⎧+=+=,22032,t t x 则由∴⎩⎨⎧-=-=,11t x 即(2),设点P （x,y ），假设四边形OABP 是平行四边形，则有OA ∥BP , ⇒ y=x ―1,OP ∥AB ⇒ 2y=3x ∴⎩⎨⎧-=-=32y x 即……①,又由OP =OA +AB t ，⇒(x,y)=(2,2)+ t(3,2),得 ∴⎩⎨⎧+=+=t y t x 2223即……②,由①代入②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=2534t t ，矛盾，∴假设是错误的， ∴四边形OABP 不是平行四边形。
第五章《平面向量》基础测试题.doc(最新)
平面向量测试题（一）选择题（第题5分，共50分）1．下列命题正确的是 （ ）)(A 单位向量都相等 )(B 任一向量与它的相反向量不相等 )(C 平行向量不一定是共线向量 )(D 模为0的向量与任意向量共线2. 已知正六边形ABCDEF 中，若=a ，=b ，则= （ ）)(A )(21b a - )(B )(21b a + )(C b a - )(D b a +213．计算BA CD DB AC +++等于（ ）．（A ）0 （B ） （C ）2 （D ）24．若向量＝（3，2），＝（0，－1），则向量2－的坐标是（ ）．（A ）（3，－4） （B ）（－3，4） （C ）（3，4） （D ）（－3，－4） 5.已知点P 1（-2，4），P 2（5，3），点P 在P 1 P 2的延长线上，且 P P 1=2P P 2，则点P 的坐标为 （ ） A ．（38，310） B ．（310，38） C ．（12，2） D ．（2，12） 6．a ·b =0 是a =0或b =0的（ ）A ．充要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．既非充分又非必要条件 7．下列各组向量中，共线的是（ ）．（A ）＝（－2，3），＝（4，6） （B ）a ＝（1，－2），b ＝（7，14）（C ）＝（2，3），＝（3，2） （D ）＝（－3，2），＝（6，－4）8．平面上有三个点A （1，3），B （2，2），C （7，x ），若∠ABC ＝90°，则x 的值为（ ）．（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）89．设|a|＝1，|b|＝2，且a 、b 夹角120°，则|2a ＋b|等于 （ ）2 .A4 .B21 .C32 .D10．设s 、t 为非零实数，与均为单位向量时，若|s ＋t |＝|t －s |，则与的夹角θ 的大小为（ ）．（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）90°（二）填空题（每题4分，共20分）11．已知a )0,1(+=x ，b ),0(y x -=，c )1,2(=，则满足等式x c b a =+的x 、y 的值分别为 ．12．已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若与共线，则||的值等于________．13．已知点P 1（1，2），P 2（－2，1），直线P 1P 2与x 轴相交于点P ，则点P 分21P P 所成的比λ 的值为_____．()_.__________向量，则k的值为__且a与b为互相平行的,k,8b ,k ,29已知a 14.=⎪⎭⎫⎝⎛=15．把一个函数图像按向量)2,3(-=π平移后，得到的图象的表达式为2)6sin(-+=πx y ，则原函数的解析式为（三）解答题（16、17每题10分，18、19每题15分）16．已知△ABC 中，A （2，－1），B （3，2），C （－3，－1），BC 边上的高为AD ，求及D点坐标．17.已知点A 、B 的坐标分别为（2，-2）、（4，3），向量(21,2)a λ=- .按下列条件分别求λ的值(1)a AB ⊥ ; (2) //a AB ；(3) ||||a AB = 。
平面向量高考试题精选(含详细答案)
平面向量高考试题精选(一)一．选择题（共14小题）1．（2015•XX）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．2．（2015•XX）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．213．（2015•XX）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（）A．20 B．15 C．9 D．64．（2015•XX）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（）A．||=1 B．⊥C．•=1 D．（4+）⊥5．（2015•XX）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）A．||≤|||| B．||≤|||﹣|||C．（）2=||2D．（）•（）=2﹣26．（2015•XX）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．B．C．D．π7．（2015•XX）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（）A．B．C．D．8．（2014•XX）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值X围是（）A．[4，6]B．[﹣1，+1]C．[2，2]D．[﹣1，+1] 9．（2014•桃城区校级模拟）设向量，满足，，＜＞=60°，则||的最大值等于（）A．2 B．C．D．110．（2014•XX）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．11．（2014•XX）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若•+•+•+•所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（）A．B．C．D．012．（2014•XX）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．213．（2014•新课标I）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B． C．D．14．（2014•XX）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（）A．B．2C．3D．4二．选择题（共8小题）15．（2013•XX）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于．16．（2013•）已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为．17．（2012•XX）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则=．18．（2012•）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为．19．（2011•XX）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为．20．（2010•XX）已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则||的取值X围是．21．（2010•XX）如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则=．22．（2009•XX）若等边△ABC的边长为，平面内一点M满足=+，则=．三．选择题（共2小题）23．（2012•XX）定义向量=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=asinx+bcosx 的“相伴向量”为=（a，b）（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．（1）设g（x）=3sin（x+）+4sinx，求证：g（x）∈S；（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；（3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x﹣2）2+y2=1上一点，向量的“相伴函数”f（x）在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值X围．24．（2007•XX）设F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点．（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的作标；（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值X围．平面向量高考试题精选(一)参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2015•XX）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．解：由已知得到如图由===；故选：A．2．（2015•XX）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．21解：由题意建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B（，0），C（0，t），∵，∴P（1，4），∴=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t﹣4），∴=﹣（﹣1）﹣4（t﹣4）=17﹣（+4t），由基本不等式可得+4t≥2=4，∴17﹣（+4t）≤17﹣4=13，当且仅当=4t即t=时取等号，∴的最大值为13，故选：A．3．（2015•XX）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（）A．20 B．15 C．9 D．6解：∵四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足，，∴根据图形可得：=+=，==，∴=，∵=•（）=2﹣，2=22，=22，||=6，||=4，∴=22=12﹣3=9故选：C4．（2015•XX）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（）A．||=1 B．⊥C．•=1 D．（4+）⊥解：因为已知三角形ABC的等边三角形，，满足=2，=2+，又，所以，，所以=2，=1×2×cos120°=﹣1，4=4×1×2×cos120°=﹣4，=4，所以=0，即（4）=0，即=0，所以；故选D．5．（2015•XX）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）A．||≤|||| B．||≤|||﹣|||C．（）2=||2D．（）•（）=2﹣2解：选项A正确，∵||=|||||cos＜，＞|，又|cos＜，＞|≤1，∴||≤||||恒成立；选项B错误，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得||≥|||﹣|||；选项C正确，由向量数量积的运算可得（）2=||2；选项D正确，由向量数量积的运算可得（）•（）=2﹣2．故选：B6．（2015•XX）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．B．C．D．π解：∵（﹣）⊥（3+2），∴（﹣）•（3+2）=0，即32﹣22﹣•=0，即•=32﹣22=2，∴cos＜，＞===，即＜，＞=，故选：A7．（2015•XX）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（）A．B．C．D．解：由已知非零向量满足||=4||，且⊥（），设两个非零向量的夹角为θ，所以•（）=0，即2=0，所以cosθ=，θ∈[0，π]，所以；故选C．8．（2014•XX）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值X围是（）A．[4，6]B．[﹣1，+1]C．[2，2]D．[﹣1，+1]】解：∵动点D满足||=1，C（3，0），∴可设D（3+cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））．又A（﹣1，0），B（0，），∴++=．∴|++|===，（其中sinφ=，cosφ=）∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴=sin（θ+φ）≤=，∴|++|的取值X围是．故选：D．9．（2014•桃城区校级模拟）设向量，满足，，＜＞=60°，则||的最大值等于（）A．2 B．C．D．1解：∵，∴的夹角为120°，设，则；=如图所示则∠AOB=120°；∠ACB=60°∴∠AOB+∠ACB=180°∴A，O，B，C四点共圆∵∴∴由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=当OC为直径时，模最大，最大为2故选A10．（2014•XX）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．解：由题意可得若•=（+）•（+）=+++=2×2×cos120°++λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．•=﹣•（﹣）==（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．由①②求得λ+μ=，故答案为：．11．（2014•XX）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若•+•+•+•所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（）A．B．C．D．0解：由题意，设与的夹角为α，分类讨论可得①•+•+•+•=•+•+•+•=10||2，不满足②•+•+•+•=•+•+•+•=5||2+4||2cosα，不满足；③•+•+•+•=4•=8||2cosα=4||2，满足题意，此时cosα=∴与的夹角为．故选：B．12．（2014•XX）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2解：∵向量=（1，2），=（4，2），∴=m+=（m+4，2m+2），又∵与的夹角等于与的夹角，∴=，∴=，∴=，解得m=2，故选：D13．（2014•新课标I）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B． C．D．【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，∴+=（+）+（+）=+=（+）=，故选：A14．（2014•XX）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（）A．B．2C．3D．4解：∵O为任意一点，不妨把A点看成O点，则=，∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点，∴=2=4故选：D．二．选择题（共8小题）15．（2013•XX）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于2．解：∵、为单位向量，和的夹角等于30°，∴=1×1×cos30°=．∵非零向量=x+y，∴||===，∴====，故当=﹣时，取得最大值为2，故答案为2．16．（2013•）已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为3．解：设P的坐标为（x，y），则=（2，1），=（1，2），=（x﹣1，y+1），∵，∴，解之得∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴点P坐标满足不等式组作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF与其内部其中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F（3，0）∵|CF|==，点E（5，1）到直线CF：2x﹣y﹣6=0的距离为d==∴平行四边形CDEF的面积为S=|CF|×d=×=3，即动点P构成的平面区域D的面积为3故答案为：317．（2012•XX）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则= 18．【解答】解：设AC与BD交于点O，则AC=2AO∵AP⊥BD，AP=3，在Rt△APO中，AOcos∠OAP=AP=3∴||cos∠OAP=2||×cos∠OAP=2||=6，由向量的数量积的定义可知，=||||cos∠PAO=3×6=18故答案为：1818．（2012•）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为1．【解答】解：因为====1．故答案为：119．（2011•XX）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为5．解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）设P（0，b）（0≤b≤a）则=（2，﹣b），=（1，a﹣b），∴=（5，3a﹣4b）∴=≥5．故答案为5．20．（2010•XX）已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则||的取值X围是（0，]．解：令用=、=，如下图所示：则由=，又∵与的夹角为120°，∴∠ABC=60°又由AC=由正弦定理得：||=≤∴||∈（0，]故||的取值X围是（0，]故答案：（0，]21．（2010•XX）如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则=．【解答】解：，∵，∴，∵，∴cos∠DAC=sin∠BAC，，在△ABC中，由正弦定理得变形得|AC|sin∠BAC=|BC|sinB，，=|BC|sinB==，故答案为．22．（2009•XX）若等边△ABC的边长为，平面内一点M满足=+，则=﹣2．解：以C点为原点，以AC所在直线为x轴建立直角坐标系，可得，∴，，∵=+=，∴M，∴，，=（，）•（，）=﹣2．故答案为：﹣2．三．选择题（共2小题）23．（2012•XX）定义向量=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=asinx+bcosx 的“相伴向量”为=（a，b）（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．（1）设g（x）=3sin（x+）+4sinx，求证：g（x）∈S；（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；（3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x﹣2）2+y2=1上一点，向量的“相伴函数”f（x）在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值X围．【解答】解：（1）g（x）=3sin（x+）+4sinx=4sinx+3cosx，其‘相伴向量’=（4，3），g（x）∈S．（2）h（x）=cos（x+α）+2cosx=（cosxcosα﹣sinxsinα）+2cosx=﹣sinαsinx+（cosα+2）cosx∴函数h（x）的‘相伴向量’=（﹣sinα，cosα+2）．则||==．（3）的‘相伴函数’f（x）=asinx+bcosx=sin（x+φ），其中cosφ=，sinφ=．当x+φ=2kπ+，k∈Z时，f（x）取到最大值，故x0=2kπ+﹣φ，k∈Z．∴tanx0=tan（2kπ+﹣φ）=cotφ=，tan2x0===．为直线OM的斜率，由几何意义知：∈[﹣，0）∪（0，]．令m=，则tan2x0=，m∈[﹣，0）∪（0，}．当﹣≤m＜0时，函数tan2x0=单调递减，∴0＜tan2x0≤；当0＜m≤时，函数tan2x0=单调递减，∴﹣≤tan2x0＜0．综上所述，tan2x0∈[﹣，0）∪（0，]．24．（2007•XX）设F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点．（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的作标；（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值X围．】解：（Ⅰ）易知a=2，b=1，．∴，．设P（x，y）（x＞0，y＞0）．则，又，联立，解得，．（Ⅱ）显然x=0不满足题设条件．可设l的方程为y=kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立∴，由△=（16k）2﹣4•（1+4k2）•12＞016k2﹣3（1+4k2）＞0，4k2﹣3＞0，得．①又∠AOB为锐角，∴又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4∴x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4===∴．②综①②可知，∴k的取值X围是．。
高一数学平面向量基本定理试题答案及解析
高一数学平面向量基本定理试题答案及解析1.（本小题满分14分）在四边形中，已知，，．（1）若四边形是矩形，求的值；（2）若四边形是平行四边形，且，求与夹角的余弦值．【答案】（1）18；（2）【解析】（1）由四边形是矩形知，再通过构造三角形，利用向量加法与减法将，用和表示出来，利用向量数量积的运算法则求出的值；（2）过构造三角形，利用向量加法与减法将，用和表示出来，利用向量数量积的运算法则通过计算的值列出关于与数量积的方程，求出与数量积，再利用向量夹角公式求出与的夹角的余弦值.试题解析：（1）因为四边形是矩形，所以由得：，． 3分∴． 7分（2）由题意，∴10分又，∴，∴．又∴，即．（利用坐标法求解，同样给分） 14分考点:向量的加法运算；向量数量积的运算法则和性质；向量夹角；方程思想；转化与化归思想2.如图，在△中, ,是上的一点,若,则实数的值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】如下图，∵B,P,N三点共线，∴，∴，即,∴①,又∵，∴，∴②，对比①，②，由平面向量基本定理可得：．【考点】1．平面向量的线性运算；2．平面向量基本定理．3.下列命题中，正确的是．①平面向量与的夹角为，，，则；②已知，是平面内两个非零向量，则平面内任一向量都可表示为，其中；③已知，，其中，则；④是所在平面上一定点，动点P满足：，，则直线一定通过的内心．【答案】①③④【解析】①：，①正确；②：根据平面基本定理的描述，作为基底的两个向量必须保证不共线才行，②错误；③：∵，，其中，∴，③正确；④：由，又∵，∴平分，即直线一定通过的内心．【考点】1．平面向量基本定理；2．平面向量的线性运算；3．平面向量的数量积．4.如图,在平行四边形中,，，，则（）(用，表示)A．B．C．D．【答案】D【解析】.【考点】平面向量的基本定理，三角形法则.5.在平面直角坐标系中，给定，点为的中点，点满足，点满足.（1）求与的值；（2）若三点坐标分别为，求点坐标.【答案】（1）；（2）点的坐标为.【解析】先引入平面向量的基底，如，然后将分别用基底表示，最后得到，而另一方面，再根据平面向量的基本定理得到方程组，求解方程组即可；（2）先确定的坐标，设，再结合，得到，从而得到，求解即可得到点的坐标.试题解析：（1）设则 2分，，故 4分而由平面向量基本定理得，解得 6分（2）、、，由于为中点， 9分设，又由（1）知所以可得，解之得所以点的坐标为 12分.【考点】1.平面向量的线性运算；2.平面向量的基本定理；3.平面向量的坐标运算.6.如图，向量若则【答案】-.【解析】由题,BP=BA,所以BO+OP=(B0+OA),整理得OP=OA-OB+OB, OP=OA+OB,所以x=,y=,x-y=-.【考点】向量.7.若，且，则四边形的形状是________．【答案】等腰梯形【解析】，共线，所以平行且不等，又有，所以四边形为等腰梯形【考点】向量共线点评：若两向量共线，则满足关系式，由向量共线可判定直线平行8.已知,,当＝时，(1) 与垂直；当＝时， (2) 与平行。
平面向量测试题及答案
平面向量测试题及答案 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012.平面向量测试题一.选择题1．以下说法错误的是（ ）A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向相同D.平行向量一定是共线向量2．下列四式不能化简为的是（ ）A ．；）＋＋（BC CD AB B ．）；＋）＋（＋（CM BC M B ADC ．MD ．3．已知=（3，4），=（5，12），与 则夹角的余弦为（ ）A ．6563B ．65C ．513D ．134． 已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a + 3b | =（ ）A ．7B ．10C ．13D ．4 5．已知ABCDEF 是正六边形，且−→−AB ＝→a ，−→−AE ＝→b ，则−→−BC ＝（ ）（A ） )(21→→-b a （B ） )(21→→-a b （C ） →a ＋→b 21 （D ） )(21→→+b a 6．设→a ，→b 为不共线向量，−→−AB ＝→a +2→b ,−→−BC ＝－4→a －→b ,−→−CD ＝－5→a －3→b ,则下列关系式中正确的是 （ ）（A ）−→−AD ＝−→−BC （B ）−→−AD ＝2−→−BC （C ）−→−AD ＝－−→−BC （D ）−→−AD ＝－2−→−BC7．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 共线，则k 的值是（ ）（A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数8．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ）（A ） 矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形 9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且−→−PN ＝－2−→−PM ，则P 点的坐标为（ ） （A ） （－14，16）（B ） （22，－11）（C ） （6，1） （D ） （2，4）10．已知→a ＝（1，2），→b ＝（－2，3），且k →a +→b 与→a －k →b 垂直，则k ＝（ ）（A ） 21±-（B ） 12±（C ） 32±（D ） 23±11、若平面向量(1,)a x =和(23,)b x x =+-互相平行，其中x R ∈.则a b -=（ ）A. 2-或0；B.C. 2或D. 2或10.12、下面给出的关系式中正确的个数是（ ）① 00 =⋅a ②a b b a ⋅=⋅③22a a =④)()(c b a c b a ⋅=⋅⑤b a b a ⋅≤⋅(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3二. 填空题13．若),4,3(=AB Ａ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为 ．14．已知(3,4),(2,3)=-=a b ，则2||3-⋅=a a b ．15、已知向量)2,1(,3==b a ，且b a ⊥，则a 的坐标是_________________。
(常考题)北师大版高中数学必修四第二章《平面向量》测试(包含答案解析)(1)
【分析】
设 ， ，设 ，则 ，由 ，得到 ， ，再利用 ，得到 ，再设 ，得到 ，根据 ，可解得结果.
【详解】
因为 ，所以可设 ， ，
设 ，则 ，
由 ，得 ，所以 ，
由 ，得 ，化简得 ，所以 ，
所以由 ，得 ，
所以 ，
设 ，则 ，所以 ，
所以 ，
由 ，得 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为： .
15．已知正方形 的边长为4，若 ，则 的值为_________________.
16．已知圆 ， 点为圆上第一象限内的一个动点，将 逆时针旋转90°得 ，又 ，则 的取值范围为________．
17．已知平面非零向量 ，满足 且 ，已知 ，则 的取值范围是________
18． 中， ， ，且 ，则 ______.
6．C
解析：C
【详解】
由题意可得 ,所以 ,又因为 ,所以 ,选C.
7．B
解析：B
【分析】
根据方程有实根得到 ，利用向量模长关系可求得 ，根据向量夹角所处的范围可求得结果.
【详解】
关于 的方程 有实根
设 与 的夹角为 ，则
又
又
本题正确选项：
【点睛】
本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果.
此时，符合条件的点 有 个.
综上所述，满足题中条件的点 的个数为 .
故选：D.
【点睛】
本题考查符合条件的点的个数的求解，考查了平面向量加法法则的应用，属于中等题.
9．B
解析：B
【分析】
由 知， ，根据平面向量的线性运算可推出
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平面向量基础试题（一）一．选择题（共12小题）1．已知向量=（1，2），=（﹣1，1），则2+的坐标为（）A．（1，5） B．（﹣1，4）C．（0，3） D．（2，1）2．若向量，满足||=，=（﹣2，1），•=5，则与的夹角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°3．已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么=（）A．B． C．D．44．已知向量满足||=l，=（2，1），且=0，则||=（）A．B．C．2 D．5．已知A（3，0），B（2，1），则向量的单位向量的坐标是（）A．（1，﹣1）B．（﹣1，1）C．D．6．已知点P（﹣3，5），Q（2，1），向量，若，则实数λ等于（）A．B．﹣C．D．﹣7．已知向量=（1，2），=（﹣2，x）．若+与﹣平行，则实数x的值是（）A．4 B．﹣1 C．﹣48．已知平面向量，且，则为（）A．2B．C．3 D．19．已知向量=（3，1），=（x，﹣1），若与共线，则x的值等于（）A．﹣3 B．1 C．2 D．1或210．已知向量=（1，2），=（2，﹣3），若m+与3﹣共线，则实数m=（）A．﹣3 B．3 C．﹣D．11．下列四式不能化简为的是（）A．B． C．D．12．如图所示，已知，=，=，=，则下列等式中成立的是（）A．B．C．D．二．选择题（共10小题）13．已知向量=（2，6），=（﹣1，λ），若，则λ=．14．已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且，则m= ．15．已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m= ．16．已知，若，则等于．17．设m∈R，向量=（m+2，1），=（1，﹣2m），且⊥，则|+|= ．18．若向量=（2，1），=（﹣3，2λ），且（2﹣）∥（+3），则实数λ=．19．设向量，不平行，向量+m与（2﹣m）+平行，则实数m= ．20．平面内有三点A（0，﹣3），B（3，3），C（x，﹣1），且∥，则x为．21．向量，若，则λ=．22．设B（2，5），C（4，﹣3），=（﹣1，4），若=λ，则λ的值为．三．选择题（共8小题）23．在△ABC中，AC=4，BC=6，∠ACB=120°，若=﹣2，则•= ．24．已知，的夹角为120°，且||=4，||=2．求：（1）（﹣2）•（+）；（2）|3﹣4|．25．已知平面向量，满足||=1，||=2．（1）若与的夹角θ=120°，求|+|的值；（2）若（k+）⊥（k﹣），求实数k的值．26．已知向量=（3，4），=（﹣1，2）．（1）求向量与夹角的余弦值；（2）若向量﹣λ与+2平行，求λ的值．27．已知向量=（1，2），=（﹣3，4）．（1）求+与﹣的夹角；（2）若满足⊥（+），（+）∥，求的坐标．28．平面内给定三个向量=（1，3），=（﹣1，2），=（2，1）．（1）求满足=m+n的实数m，n；（2）若（+k）∥（2﹣），求实数k．29．已知△ABC的顶点分别为A（2，1），B（3，2），C（﹣3，﹣1），D在直线BC上．（Ⅰ）若=2，求点D的坐标；（Ⅱ）若AD⊥BC，求点D的坐标．30．已知，且，求当k为何值时，（1）k与垂直；（2）k与平行．平面向量基础试题（一）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2017•天津学业考试）已知向量=（1，2），=（﹣1，1），则2+的坐标为（）A．（1，5） B．（﹣1，4）C．（0，3） D．（2，1）【解答】解：∵=（1，2），=（﹣1，1），∴2+=（2，4）+（﹣1，1）=（1，5）．故选：A．2．（2017•天津学业考试）若向量，满足||=，=（﹣2，1），•=5，则与的夹角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【解答】解：∵=（﹣2，1），∴，又||=，•=5，两向量的夹角θ的取值范围是，θ∈[0，π]，∴cos＜＞===．∴与的夹角为45°．故选：C．3．（2017•甘肃一模）已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么=（）A．B． C．D．4【解答】解：∵，均为单位向量，它们的夹角为60°，∴====．故选C．4．（2017•龙岩二模）已知向量满足||=l，=（2，1），且=0，则||=（）A．B．C．2 D．【解答】解：||=l，=（2，1），且=0，则||2==1+5﹣0=6，所以||=；故选A5．（2017•山东模拟）已知A（3，0），B（2，1），则向量的单位向量的坐标是（）A．（1，﹣1）B．（﹣1，1）C．D．【解答】解：∵A（3，0），B（2，1），∴=（﹣1，1），∴||=，∴向量的单位向量的坐标为（，），即（﹣，）．故选：C．6．（2017•日照二模）已知点P（﹣3，5），Q（2，1），向量，若，则实数λ等于（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：=（5，﹣4）．∵，∴﹣4×（﹣λ）﹣5=0，解得：λ=．故选：C．7．（2017•金凤区校级一模）已知向量=（1，2），=（﹣2，x）．若+与﹣平行，则实数x的值是（）A．4 B．﹣1 C．﹣4【解答】解：+=（﹣1，2+x）．﹣=（3，2﹣x），∵+与﹣平行，∴3（2+x）+（2﹣x）=0，解得x=﹣4．故选：C．8．（2017•西宁二模）已知平面向量，且，则为（）A．2B．C．3 D．1【解答】解：∵∥，平面向量=（1，2），=（﹣2，m），∴﹣2×2﹣m=0，解得m=﹣4．∴=（﹣2，﹣4），∴||==2，故选：A．9．（2017•三明二模）已知向量=（3，1），=（x，﹣1），若与共线，则x 的值等于（）A．﹣3 B．1 C．2 D．1或2【解答】解：=（3，1），=（x，﹣1），故=（3﹣x，2）若与共线，则2x=x﹣3，解得：x=﹣3，故选：A．10．（2017•汕头二模）已知向量=（1，2），=（2，﹣3），若m+与3﹣共线，则实数m=（）A．﹣3 B．3 C．﹣D．【解答】解：向量=（1，2），=（2，﹣3），则m+=（m+2，2m﹣3），3﹣=（1，9）；又m+与3﹣共线，∴9（m+2）﹣（2m﹣3）=0，解得m=﹣3．故选：A．11．（2017•河东区模拟）下列四式不能化简为的是（）A．B． C．D．【解答】解：由向量加法的三角形法则和减法的三角形法则，===，故排除B==故排除C==，故排除D故选A12．（2017•海淀区模拟）如图所示，已知，=，=，=，则下列等式中成立的是（）A．B．C．D．【解答】解：===．故选：A．二．选择题（共10小题）13．（2017•山东）已知向量=（2，6），=（﹣1，λ），若，则λ=﹣3 ．【解答】解：∵，∴﹣6﹣2λ=0，解得λ=﹣3．故答案为：﹣3．14．（2017•新课标Ⅲ）已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且，则m= 2 ．【解答】解：∵向量=（﹣2，3），=（3，m），且，∴=﹣6+3m=0，解得m=2．故答案为：2．15．（2017•新课标Ⅰ）已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m= 7 ．【解答】解：∵向量=（﹣1，2），=（m，1），∴=（﹣1+m，3），∵向量+与垂直，∴（）•=（﹣1+m）×（﹣1）+3×2=0，解得m=7．故答案为：7．16．（2017•龙凤区校级模拟）已知，若，则等于 5 ．【解答】解：∵=（2，1），=（3，m），∴﹣=（﹣1，1﹣m），∵⊥（﹣），∴•（﹣）=﹣2+1﹣m=0，解得，m=﹣1，∴+=（5，0），∴|+|=5，故答案为：5．17．（2017•芜湖模拟）设m∈R，向量=（m+2，1），=（1，﹣2m），且⊥，则|+|= ．【解答】解：=（m+2，1），=（1，﹣2m），若⊥，则m+2﹣2m=0，解得：m=2，故+=（5，﹣3），故|+|==，故答案为：．18．（2017•南昌模拟）若向量=（2，1），=（﹣3，2λ），且（2﹣）∥（+3），则实数λ=﹣．【解答】解：2﹣=（7，2﹣2λ），+3=（﹣7，1+6λ），∵（2﹣）∥（+3），∴7（1+6λ）+7（2﹣2λ）=0，解得λ=﹣．故答案为：﹣．19．（2017•武昌区模拟）设向量，不平行，向量+m与（2﹣m）+平行，则实数m= 1 ．【解答】解：∵向量，不平行，向量+m与（2﹣m）+平行，∴，解得实数m=1．故答案为：1．20．（2017•龙岩一模）平面内有三点A（0，﹣3），B（3，3），C（x，﹣1），且∥，则x为 1 ．【解答】解：=（3，6），=（x，2），∵∥，∴6x﹣6=0，可得x=1．故答案为：1．21．（2017•海淀区校级模拟）向量，若，则λ= 1 ．【解答】解：∵，∴2（λ+1）﹣（λ+3）=0，解得λ=1．故答案为：1．22．（2017•重庆二模）设B（2，5），C（4，﹣3），=（﹣1，4），若=λ，则λ的值为﹣2 ．【解答】解：=（2，﹣8），∵=λ，∴（2，﹣8）=λ（﹣1，4），∴2=﹣λ，解得λ=﹣2．故答案为：﹣2．三．选择题（共8小题）23．（2017•临汾三模）在△ABC中，AC=4，BC=6，∠ACB=120°，若=﹣2，则•= ．【解答】解：∵=﹣2，∴AD==（﹣）．∴•=（﹣）=（﹣﹣）=﹣﹣•=﹣×42﹣×4×6×（﹣）=，故答案为：．24．（2017春•宜昌期末）已知，的夹角为120°，且||=4，||=2．求：（1）（﹣2）•（+）；（2）|3﹣4|．【解答】解：，的夹角为120°，且||=4，||=2，∴•=||•||cos120°=4×2×（﹣）=﹣4，（1）（﹣2）•（+）=||2﹣2•+•﹣2||2=16+4﹣2×4=12；（2）|3﹣4|2=9||2﹣24•+16||2=9×42﹣24×（﹣4）+16×22=16×19，∴|3﹣4|=4．25．（2017春•荔湾区期末）已知平面向量，满足||=1，||=2．（1）若与的夹角θ=120°，求|+|的值；（2）若（k+）⊥（k﹣），求实数k的值．【解答】解：（1）||=1，||=2，若与的夹角θ=120°，则=1•2•cos120°=﹣1，∴|+|====．（2）∵（k+）⊥（k﹣），∴（k+）•（k﹣）=k2•﹣=k2﹣4=0，∴k=±2．26．（2017春•赣州期末）已知向量=（3，4），=（﹣1，2）．（1）求向量与夹角的余弦值；（2）若向量﹣λ与+2平行，求λ的值．【解答】解：向量=（3，4），=（﹣1，2）．（1）向量与夹角的余弦值==；（2）若向量﹣λ=（3+λ，4﹣2λ）与+2=（1，8）平行，则8（3+λ）=4﹣2λ，解得λ=﹣2．27．（2017春•郑州期末）已知向量=（1，2），=（﹣3，4）．（1）求+与﹣的夹角；（2）若满足⊥（+），（+）∥，求的坐标．【解答】解：（I）∵，∴，∴，∴，∴，∴．设与的夹角为θ，则．又∵θ∈[0，π]，∴．（II）设，则，∵⊥（+），（+）∥，∴，解得：，即．28．（2017春•巫溪县校级期中）平面内给定三个向量=（1，3），=（﹣1，2），=（2，1）．（1）求满足=m+n的实数m，n；（2）若（+k）∥（2﹣），求实数k．【解答】解：（1）=m+n，∴（1，3）=m（﹣1，2）+n（2，1）．∴，解得m=n=1．（2）+k=（1+2k，3+k），2﹣=（﹣3，1），∵（+k）∥（2﹣），∴﹣3（3+k）=1+2k，解得k=﹣2．29．（2017春•原州区校级期中）已知△ABC的顶点分别为A（2，1），B（3，2），C（﹣3，﹣1），D在直线BC上．（Ⅰ）若=2，求点D的坐标；（Ⅱ）若AD⊥BC，求点D的坐标．【解答】解：（Ⅰ）设点D（x，y），则=（﹣6，﹣3），=（x﹣3，y﹣2）．∵=2，∴，解得x=0，y=．∴点D的坐标为．（Ⅱ）设点D（x，y），∵AD⊥BC，∴=0又∵C，B，D三点共线，∴∥．而=（x﹣2，y﹣1），=（x﹣3，y﹣2）．∴解方程组，得x=，y=．∴点D的坐标为．30．（2017春•南岸区校级期中）已知，且，求当k 为何值时，（1）k与垂直；（2）k与平行．【解答】解：（1），∴﹣5+2t=1，解得t=2．∵k与垂直，∴（k）•（）=﹣3=k（1+t2）+（1﹣3k）﹣3×（25+4）=0，联立解得．（2）k=（k﹣5，2k+2），=（16，﹣4）．∴16（2k+2）+4（k﹣5）=0，解得．。