2020年全国各地中考数学常考试题(含答案)

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2020年全国各地中考数学常考试题（含答案）

一、函数与几何综合的压轴题

1.（2018安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D且AD与B相交于E 点.已知：A(-2,-6),C(1,-3)

(1)求证：E点在y轴上；

(2)如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程.

(3)如果AB位置不变，再将DC水平向右移动k(k>0)个单位，此时AD与BC相交于E′点，如图②，求△AE′C的面积S关于k的函数解析式.

图②

[解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考）

方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴,EO DO EO BO AB DB CD DB ''''== 又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO EO AB DC

''+= ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ''=，∴2316

EO DO DB AB ''=⨯=⨯= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上

方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2①

再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ②

图①

联立①②得02x y =⎧⎨=-⎩

∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上

（2）设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3）

E （0，-2）三点，得方程组4263

2a b c a b c c -+=-⎧⎪++=-⎨⎪=-⎩

解得a =-1,b =0,c =-2

∴抛物线方程y =-x 2-2

（3）（本小题给出三种方法，供参考）

由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。

同（1）可得：

1E F E F AB DC

''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '⇒=，∴13

DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =11122223

DC DB DC DF DC DB •-•=• =13DC DB •=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式

方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA

∴S △AE ′C = S △BDE ′()1132322

BD E F k k '=•=+⨯=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式.

证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2

同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()2213992

AE C ABCD S S AB CD BD k '∆==⨯+•=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式.

2. （2018广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直径AC 为22

的圆与y 轴交于A 、

D 两点.

（1）求点A 的坐标；

（2）设过点A 的直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点B.探究：直线AB 是否⊙M 的切线？并对你的结论加以证明；

（3）连接BC ，记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2，若421h S S =，抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 经过B 、M 两点，且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式.