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初二勾股定理及平行四边形练习题

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平行四边形与勾股定理结合-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练

平行四边形与勾股定理结合-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练

专题26 平行四边形与勾股定理结合1. 如图，BD 垂直平分AC ，交AC 于E ，∠BCD ＝∠ADF ，FA ⊥AC ，垂足为A ，AF ＝DF ＝5，AD ＝6，则AC 的长为__．2. 如图，已知四边形ABCD 和四边形BCEF 均为平行四边形，∠D ＝60°，连接AF ，并延长交BE 于点P ，若AP ⊥BE ，AB ＝3，BC ＝2，AF ＝1，则BE 的长为（ ）A. 53. 如图，四边形ABCD 中，90,1,3A ABC AD BC ︒∠=∠===,E 是边CD 的中点，连接BE 并延长与AD 的延长线相较于点F ．（1）求证：四边形BDFC 是平行四边形；（2）若△BCD 是等腰三角形，求四边形BDFC 的面积．4. 已知：如图，在四边形ABCD 中，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，延长DE 、BF ，分别交AB 于点H ，交BC 于点G ，若AD ∥BC ，AE ＝CF ．（1）求证：四边形ABCD 为平行四边形；（2）若∠DAH ＝∠GBA ，GF ＝2，CF ＝4，求AD 的长．5. 已知：如图所示，在平行四边形ABCD 中DE 、BF 分别是∠ADC 和∠ABC 的角平分线，交AB 、CD 于点E 、F（1）求证：四边形DEBF 是平行四边形；（2）若∠A ＝60°，AE ＝2EB ，AD ＝4，求平行四边形ABCD 的面积．6. 如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，点O 是AC 的中点，//AD BC ．（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形；（2）若4AD BD ==，且90ADB ∠=︒，求AC 的长．7. 如图，四边形ABCD 中，BE ⊥AC 交AD 于点G ，DF ⊥AC 于点F ，已知AF =CE ，AB =CD ．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）如果∠GBC=∠BCD，AG=6，GE=2，求AB的长．8. 如图，等边△ABC的边长是4，点D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至BC，连接CD和EF．点F，使CF=12（1）求证：DE=CF；（2）求EF的长；（3）求四边形DEFC的面积．9. 如图，在 ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=12BC，连结DE，CF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．10. 如图1，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD 的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．（1）请直接写出点A的坐标为_____，点B的坐标为_____；（2）当BP +PM +ME′的长度最小时，请直接写出此时点P 的坐标为_____；（3）如图2，点N 为线段BC 上的动点且CM=CN ，连接MN ，是否存在点P ，使△PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的EP 的值；若不存在，请说明理由．11. 如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，16cm AD =，12cm AB =，20cm BC =，点Q 从点A 出发以2cm/s 的速度向点D 运动，点P 从点B 出发以4cm/s 的速度向点C 运动，P ， Q 两点同时出发，当点P 到达点C 时，两点同时停止运动．设运动时间为t s ．（1）当2t =时，四边形PCDQ 的面积为 ．（2）若以P ，Q ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，求t 的值；（3）当05t <<时，若DQ DP ≠，则当t 为何值时，DPQ ∆是等腰三角形？12. 已知：直线y＝34x+6与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上．将△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．（1）直接写出A、B两点的坐标：A：_____，B：______；（2）求出OC的长；（3）如图，点E、F是直线BC上的两点，若△AEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；（4）取AB的中点M，若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、M、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．专题26 平行四边形与勾股定理结合【1题答案】【答案】9.6【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA =DC ，BA =BC ，根据等腰三角形的性质得到∠DAC =∠DCA ，∠BAC =∠BCA ，证明AB ∥DF ，进而得到四边形AFDB 为平行四边形，根据平行四边形的性质得到BD =AF =5，AB =DF =5，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【详解】解：∵BD 垂直平分AC ，∴DA ＝DC ，BA ＝BC ，∴∠DAC ＝∠DCA ，∠BAC ＝∠BCA ，∴∠DAC ＋∠BAC ＝∠DCA ＋∠BCA ，即∠DAB ＝∠BCD ，∵∠BCD ＝∠ADF ，∴∠DAB ＝∠ADF ，∴AB ∥DF ，∵FA ⊥AC ，DB ⊥AC ，∴AF ∥BD ，∴四边形AFDB 为平行四边形，∴BD ＝AF ＝5，AB ＝DF ＝5，设BE ＝x ，则DE ＝5－x ，在Rt △AEB 中，222AB BE AE -=，在Rt △AED 中，222AD DE AE -=，∴2222AB BE AD DE -=-，即()2222565x x -=--，解得：x ＝75，∴AE 245=，∴AC ＝2AE ＝9.6，故AC 的长为9.6，故答案为：9.6．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．【2题答案】【答案】D【解析】【分析】过点D 作DH ⊥BC ，交BC 的延长线于点H ，连接BD ，DE ，先证∠DHC =90º，再证四边形ADEF 是平行四边形，最后利用勾股定理得出结果．【详解】过点D 作DH ⊥BC ，交BC 的延长线于点H ，连接BD ，DE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，AB =3，∠ADC =60º，∴CD =AB =3，∠DCH =∠ABC =∠ADC =60º，∵DH ⊥BC ，∴∠DHC =90º，∴∠ADC +∠CDH =90°，∴∠CDH =30°，在Rt △DCH 中，CH =12CD =32，DH ，∴222223(2)192BD BH DH =+=++=，∵四边形BCEF 是平行四边形，∴AD =BC =EF ，AD ∥EF ，∴四边形ADEF 是平行四边形，∴AF ∥DE ，AF =DE =1，∵AF ⊥BE ，∴DE ⊥BE ，∴22219118BE BD DE =-=-=，∴BE =故选D ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用这些性质解决问题．【3题答案】【答案】（1）见解析；（2）或【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和中点的性质证明三角形全等，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形完成证明；（2）由等腰三角形的性质，分三种情况：①BD=BC,②BD=CD,③BC=CD,分别求四边形的面积．【详解】解：（1）证明：∵∠A=∠ABC=90°，∴AF∥BC．∴∠CBE=∠DFE,∠BCE=∠FDE．∵E是边CD的中点，∴CE=DE．∴△BCE≌△FDE（AAS）．∴BE=EF．∴四边形BDFC是平行四边形．（2）若△BCD是等腰三角形，①若BD=BC=3 ．在Rt△ABD中，==．∴四边形BDFC的面积为S=；②若BC=DC=3，过点C 作CG ⊥AF 于G ，则四边形AGCB 是矩形，所以，AG=BC=3，所以，DG=AG-AD=3-1=2，在Rt △CDG 中，由勾股定理得， CG ===，∴四边形BDFC 的面积为S=．③BD=CD 时，BC 边上的中线应该与BC 垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾，此时不成立；综上所述，四边形BDFC 的面积是或．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，（1）确定出全等三角形是解题的关键，（2）难点在于分情况讨论．【4题答案】【答案】（1）见解析（2）5【解析】【分析】（1）根据AD ∥BC ，可得DAE BCF ∠=∠，根据，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，可得∠AED =∠CFB =90°，结合AE ＝CF 即可证明DAE BCF ≌△△，根据全等三角形的性质可得AD BC =，即可得证；（2）勾股定理可得CG =证明四边形DGBH 是平行四边形，可得DG HB =，继而可得AH CG =，勾股定理求得2EH =，在Rt ADE △中勾股定理即可求解．【小问1详解】证明：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴∠AED =∠CFB =90°，DE BF∥∵AD ∥BC ，∴∠DAE =∠BCF ，在Rt △△DAE 和△BCF 中，90DEA BFC AE CFDAE BCF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DAE ≌△BCF （ASA ），∴AD =CB ，∵AD ∥BC ，∴四边形ABCD 为平行四边形；【小问2详解】DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴ DH BG ∥，GBA DHA ∴∠=∠，∠DAH ＝∠GBA ，DAH DHA ∴∠=∠，AD DH =∴，在Rt GCF △中，2,4GF CF ==，CG ∴==， 四边形ABCD 是平行四边形，DC AB ∴∥，AB CD =，DG HB ∴∥，DH GB ∥ ，∴四边形DHBG 是平行四边形，DG HB ∴=，AH CG ∴==Rt AEH △中，4,AE CF AH ===，2EH ∴=，在Rt ADE △中，222AD DE AE =+，()22224AD AD =-+，解得5AD =．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键．【5题答案】【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）证明EF 、BD 互相平分，只要证四边形DEBF 是平行四边形；利用两组对边分别平行来证明；（2）根据等边三角形的判定定理得到ADE ∆是等边三角形，求得4DE AE ==，得到2BE GE ==，过D 点作DG AB ⊥于点G ，根据直角三角形的性质得到122AG AD ==，由勾股定理得到DG ===形的面积公式即可得到结论．【详解】（1）证明： 四边形ABCD 是平行四边形，ADC ABC ∴∠=∠．又DE ，BF 分别是ADC ∠，ABC ∠的平分线，ABF CDE ∴∠=∠．//AB CD ，CDE AED ∴∠=∠，ABF AED ∴∠=∠，//DE BF ∴，//DE BF ，//DF BE ，∴四边形DEBF 是平行四边形；（2）解：60A ∠=︒ ，AB //CD ，120ADC ∴∠=︒，∵DE 是∠ADC 的角平分线，60ADE CDE ∠=∠=︒∴，ADE ∴ 为等边三角形，AE AD ∴=，4AD = ，4DE AE ∴==，过D 点作DG AB ⊥于点G ，2AE EB = ，2EB ∴=，在Rt DGE 中60DEG ∠=︒ ，30GDE ∴∠=︒，114222GE DE ∴==⨯=，224BG GE BE ∴=+=+=，在Rt ADG 中，4=AD ，60A ∠=︒，122AG AD ∴==，DG ∴==∴平行四边形ABCD 的面积6AB DG =⋅=⨯=．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，勾股定理，证得ADE ∆是等边三角形是解题的关键．【6题答案】【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由已知条件易证△AOD ≌△COB ，由此可得OD =OB ，进而可证明四边形ABCD 是平行四边形；（2）根据平行四边形的性质得出AC =2OA ，利用勾股定理即可解决问题．【详解】（1）证明：∵O 是AC 的中点，∴OA OC =，∵//AD BC ，∴ADO CBO ∠=∠，在AOD △和COB △中，ADO CBO AOD COB OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOD △≌COB △，∴OD OB =，∵OA OC =，∴四边形ABCD 是平行四边形．（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴122OB OD BD ===，2AC OA =，∵90ADB ∠=︒，∴OA ===∴2AC OA ==【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是证明四边形ABCD 是平行四边形，属于中考常考题型．【7题答案】【答案】（1）见解析 （2）9【解析】【分析】（1）先证明Rt △ABE ≌Rt △CDF ，得到AB ∥CD ，即可判定平行四边形；（2）证明AB=GB ，根据勾股定理构造方程，解方程即可求解．【详解】解：（1）∵AF=CE ，∴AF-EF=CE-EF ，∴AE=CF ，∵BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，，∴∠AEB=∠CFD=90°，∵AB=CD ，∴Rt △ABE ≌Rt △CDF ，∴∠BAE=∠DCF ，∴AB ∥CD，∵AB=CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∠DAB=∠BCD ，∴∠AGB=∠GBC ，∵∠GBC =∠BCD ，∴∠AGB=∠BAG ，∴AB=GB ，设AB=GB=x ，则BE=x-2，∵BG ⊥AC ，∴2222AB BE AG GE -=-，∴()2222262x x --=- ，解得x=9，∴AB =9．【点睛】本题考查了平行四边的判定与性质，勾股定理，等腰三角形判定等知识，综合性较强，熟知相关定理并根据已知条件合理选择定理是解题关键．【8题答案】【答案】（1）见解析；（2）EF=（3）．【解析】【分析】（1）利用三角形中位线定理即可解决问题；（2）先求出CD ，再证明四边形DEFC 是平行四边形即可；（3）过点D 作DH ⊥BC 于H ，求出CF 、DH 即可解决问题．【详解】解：（1）在△ABC 中，∵D 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴DE 为△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ，∵CF ＝12BC ，∴DE ＝CF ；（2）∵AC＝BC，AD＝BD，∴CD⊥AB，∵BC＝4，BD＝2，∴CD∵DE∥CF，DE＝CF，∴四边形DEFC是平行四边形，∴EF＝CD＝（3）过点D作DH⊥BC于H，∵∠DHC＝90°，∠DCB＝30°，DC，∴DH＝12∵DE＝CF＝2，∴S四边形DEFC＝CF•DH＝＝【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，记住平行四边形的面积公式，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．【9题答案】【答案】（1）见解析（2【解析】【分析】（1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD=BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等（DF=CE，且DF∥CE），即四边形CEDF是平行四边形；（2）如图，过点D作DH⊥BE于点H，构造含30度角的直角△DCH和直角△DHE．通过解直角△DCH和在直角△DHE中运用勾股定理来求线段ED的长度．【详解】（1）证明：在▱ABCD中，AD BC，且AD=BC∵F是AD的中点AD∴DF=12BC又∵CE=12∴DF=CE，且DF CE∴四边形CEDF是平行四边形；（2）如图，过点D作DH⊥BE于点H．在▱ABCD中，∵∠B=60°，∴∠DCE=60°．∵AB=4，∴CD=AB=4，CD=2，DH∴CH=12AD=3，则EH=1．在▱CEDF中，CE=DF=12∴在Rt△DHE中，根据勾股定理知DE=．视频【10题答案】【答案】（1）（﹣2，，（4，；（2）（2；（3）EP的值为3或6或5．【解析】【分析】（1）由30°直角三角形的性质求出OD的长，再由平行四边形的性质求出BD 的长即可解决问题；（2）首先证明四边形OPME′是平行四边形，可得OP=EM，因为PM是定值，推出PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小；（3）分三种情形画出图形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，在Rt△ADO中，∵∠A=60°，∴∠AOD=30°．∵AD=2，∴OD A（﹣2，2，∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=OC=6，∴DB=6﹣2=4，∴B（4，；（2）如图1中，连接OP．∵EF垂直平分线段OD，PM⊥OC，∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，∴四边形OMPE是矩形，∴PM=OE∵OE=OE′，∴PM=OE′，PM∥OE′，∴四边形OPME′是平行四边形，∴OP=EM，∵PM是定值，∴PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，∴当O、P、B共线时，BP+PM+ME′的长度最小．∵直线OB的解析式为y，∴P（2）．故答案为（2）．（3）如图2中，当PM=PN时，∵AOCB 是平行四边形，∴∠MCN =∠A =60°．∵MC =CN ，∴△MNC 是等边三角形，∴∠CMN =∠CNM =60°．∵PM ⊥OC ，∴∠PMN =∠PNM =30°，∴∠PNF =30°+60°=90°，∵∠PFN =∠BCO =60°，∴∠NPF =30°，NF =1，∴PF =2NF =2，∵EF =2BD OC =5，∴PE =5﹣2=3．如图3中，当PM =MN 时，∵PM =MN =CM ，∴EP =OM =6如图4中，当点P 与F 重合时，NP =NM ，此时PE =EF =5．综上所述：满足条件的EP 的值为3或65．【点睛】本题考查了四边形综合题、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、最短问题等知识，解题的关键是学会利用两点之间线段最短，解决最短问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考压轴题．【11题答案】【答案】（1）2144cm ；（2）2t =；（3）83t =或74t =【解析】【分析】（1）当2t =时，算出AQ 、PB 的值，进而求出DQ 、PC 的值，由平行四边形的判定得出四边形PCDQ 为平行四边形，进而求出平行四边形的面积；（2）P 未到达C 点时，要使四边形PCDQ 是平行四边形，由平行四边形的性质得出QD PC =，列出等式解答即可；（3）分PQ PD =，QD QP =两种情况讨论计算，求出时间即可得出答案．【详解】解：（1）∵边形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，16cm AD =，12cm AB =，20cm BC =，点Q 从点A 出发以2cm/s 的速度向点D 运动，点P 从点B 出发以4cm/s 的速度向点C 运动，当2t =时，AQ ＝4cm ，PB ＝8cm ，∴DQ ＝16－2＝12cm ，PC ＝20－8＝12cm ，∴DQ ＝PC ，∴此时四边形PCDQ 为平行四边形，四边形PCDQ 的面积为：1212=⨯2144cm ，故答案为：2144cm ；（2）P 未到达C 点时，要使四边形PCDQ 是平行四边形，则QD PC =，162204t t -=-，解得2t =．∴ 四边形PCDQ 是平行四边形时，t 的值是2．（3）①如图，若PQ PD =，过点P 作PE AD ⊥于点E ，则162QD t =-，11(162)822QE QD t t ==-=-，2(8)8AE AQ QE t t t =+=+-=+，AE BP = ，84t t ∴+=，解得：83t =．②如图，若QD QP =，过Q 作QF BC ⊥于F ，则12QF =，422FP t t t =-=，在Rt QPF ∆中，222QF FP QP +=，()()22122162t t 2∴+=-，解得74t =．∴当83t =或74t =时，DPQ ∆是等腰三角形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线利用等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理是解题的关键．【12题答案】【答案】（1）A （-8，0），B （0，6）；（2）3；（3）（-2，2）或E （-6，-6）；（4）21(1,)4-或27(1,)4或3(7,4-【解析】【分析】（1）在直线364y x =+中，分别令x =0，y =0，可得A ，B 坐标；（2）由翻折不变性可知，OC CD =，6OB BD ==，90ODB BOC ∠=∠=︒，在Rt ADC ∆中，90ADC ∠=︒，利用222AD CD AC +=，即可求解；（3）证明()FMA ANE AAS ∆≅∆，则NE AM =，MF AN =，即可求解；（4）分MC 是边、MC 是对角线两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）对于直线364y x =+，令0x =，得到6y =，(0,6)B ∴，令0y =，得到8x =-，,0()8A ∴-．(8,0)A - ．(0,6)B ；（2）由（1）可得：(8,0)A -．(0,6)B ，8OA ∴=，6OB =，90AOB ∠=︒ ，10AB ∴==，由翻折不变性可知，OC CD =，6OB BD ==，90ODB BOC ∠=∠=︒，4AD AB BD ∴=-=，设CD OC x ==，在Rt ADC ∆中，90ADC ∠=︒，222AD CD AC ∴+=，2224(8)x x ∴+=-，解得3x =，3OC ∴=；（3）由点B 、C 的坐标得，直线BC 的表达式为：26y x =+，设点(,26)F m m +、(,26)E n n +，过点A 作y 轴的平行线交过点F 与x 轴的平行线于点M ，交过点E 与x 轴的平行线于点N ，AEF ∆ 为等腰直角三角形，故AE AF =，90NAE MAF ∠+∠=︒ ，90MAF MFA ∠+∠=︒，NAE MFA ∴∠=∠，90FMA ANE ∠=∠=︒ ，AE AF =，()FMA ANE AAS ∴∆≅∆，NE AM ∴=，MF AN =，即268m n --=+，268n m +=+，解得：2m =-，6n =-，故点F 的坐标为(2,2)-、点(6,6)E --；由于E 、F 的位置可能互换，故点E 的坐标为(2,2)-、点(6,6)F --；综上，点F 的坐标为(2,2)-或(6,6)E --；（4）点M 是AB 的中点，则点(4,3)M -，而点(8,0)A -，设点(0,)P n ，点3(,6)4Q m m +，①当MC 是边时，点M 向右平移1个单位向下平移3个单位得到点C ，同样点()P Q 右平移1个单位向下平移3个单位得到点()Q P ，故01m +=且3364n m -=+或01m -=且3364n m +=+，解得：1m =或1-，故点Q 的坐标为21(1,)4Q -或27(1,)4；②当MC 是对角线时，由中点公式得：43m --=且3364n m =++，解得：7m =-，故点Q 的坐标为3(7,)4-；综上，点Q 的坐标为：21(1,4-或27(1,)4或3(7,)4-．【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、三角形全等等，其中（4），解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏．。

(必考题)初中八年级数学下册第十八章《平行四边形》经典练习卷(含答案解析)

(必考题)初中八年级数学下册第十八章《平行四边形》经典练习卷(含答案解析)

一、选择题1．如图，三个正方形围成一个直角三角形，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母M 所代表的正方形面积可表示为（ ）A ．40064-B ．2240064-C ．2240064-D ．40064+A解析：A【分析】 要求图中字母所代表的正方形的面积，根据面积=边长×边长=边长的平方，设M 的边长为a ，直角三角形斜边的长为c ，另一直角边为b ，则2400c =，264b =，已知斜边和一直角边的平方，由勾股定理即可求出2a ，即可得到答案．【详解】设M 的边长为a ，直角三角形斜边的长为c ，另一直角边为b ，则2400c =，264b =，如图所示，在该直角三角形中，由勾股定理得：22240064a c b =-=-，故选：A ．【点睛】本题主要考查勾股定理的应用和正方形的面积公式，解题的关键在于熟练运用勾股定理求出正方形的边长的平方．2．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，重叠部分为BDE ，则图中全等三角形共有（ ）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对C解析：C【分析】因为图形对折，所以首先△CDB ≌△ABD ，由于四边形是长方形，进而可得△ABE ≌△CDE ，如此答案可得．【详解】解：∵△BDC 是将长方形纸片ABCD 沿BD 折叠得到的，∴CD=AB ，AD=BC ，∵BD=BD ，∴△CDB ≌△ABD （SSS ），∴∠CBD=∠ADB∴EB=ED∴CE=AE又AB=CD∴△ABE ≌△CDE ，∴图中全等三角形共有2对故选：C【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、SSA 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时要由易到难，循序渐进． 3．如图，在平行四边形ABCD 中，90B ∠<︒，BC AB >．作AE BC ⊥于点E ，AF CD ⊥于点F ，记EAF ∠的度数为α，AE a =，AF b =．则以下选项错误的是（ ）A ．::a b CD BC =B ．D ∠的度数为αC ．若60α=︒，则四边形AECF 的面积为平行四边形ABCD 面积的一半D ．若60α=︒，则平行四边形ABCD )433a b +C 解析：C【分析】由平行四边形的性质得出//AD BC ，AD BC =，AB CD =，B D ∠=∠，得出180D C ∠+∠=︒，求出180EAF C ∠+∠=︒，得出B D EAF α∠=∠=∠=；由平行四边形ABCD 的面积得出::a b CD BC =；若60α=︒，则60B D ∠=∠=︒，求出30BAE DAF ∠=∠=︒，由直角三角形的性质得出33BE AE ==，33DF ，得出232AB BE =，232AD DF ==，求出平行四边形ABCD 的周长2())AB AD a b =+=+；求出ABE ∆的面积212BE AE =⨯=，ADF ∆的面积2=，平行四边形ABCD 的面积BC AE a =⨯=⨯=，得出四边形AECF 的面积=平行四边形ABCD 的面积ABE -∆的面积ADF -∆的面积22)a b =+≠平行四边形ABCD 面积的一半；即可得出结论． 【详解】 解：四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，AD BC =，AB CD =，B D ∠=∠，180D C ∴∠+∠=︒，AE BC ⊥于点E ，AF CD ⊥于点F ，360290180EAF C ∴∠+∠=︒-⨯︒=︒，B D EAF α∴∠=∠=∠=；平行四边形ABCD 的面积BC AE CD AF =⨯=⨯，AE a =，AF b =，BC a CD b ∴⨯=⨯，::a b CD BC ∴=；若60α=︒，则60B D ∠=∠=︒，30BAE DAF ∴∠=∠=︒，BE AE ∴==，DF =，2AB BE ∴==，2AD DF ==，∴平行四边形ABCD 的周长2())AB AD a b =+=+；ABE ∆的面积21122BE AE a =⨯=⨯=，ADF ∆的面积21122DF AF b =⨯=⨯，平行四边形ABCD 的面积BC AE a =⨯=⨯=， ∴四边形AECF 的面积=平行四边形ABCD 的面积ABE -∆的面积ADF -∆的面积22)a b =+≠平行四边形ABCD 面积的一半； 综上所述，选项A 、B 、D 不符合题意，选项C 符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握平行四边形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．4．下列命题中，错误的是 （ ）A ．有一个角是直角的平行四边形是正方形；B ．对角线相等的菱形是正方形；C ．对角线互相垂直的矩形是正方形；D ．一组邻边相等的矩形是正方形．A 解析：A【分析】根据正方形的判定逐项作出判断即可求解．【详解】解：A. 有一个角是直角的平行四边形是正方形，判断错误，应该是矩形，符合题意；B. 对角线相等的菱形是正方形，判断正确，不合题意；C. 对角线互相垂直的矩形是正方形，判断正确，不合题意；D. 一组邻边相等的矩形是正方形，判断正确，不合题意．故选：A【点睛】本题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题关键．5．如果平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，那么在下列条件中，能判断平行四边形ABCD 为菱形的是（ ）A ．OAB OBA ∠=∠；B ．OAB OBC ∠=∠； C ．OAB OCD ∠=∠；D ．OAB OAD ∠=∠．D解析：D【分析】根据菱形的判定方法判断即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠OAB=∠ACD ，∵∠OAB=∠OAD ，∴∠DAC=∠DCA ，∴AD=CD ， ∴四边形ABCD 是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）故选：D ．【点睛】本题考查菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．6．如图，在123A A A △中，160A ∠=︒，230A ∠=︒，131A A =，3+n A 是1(1,2,3)n n A A n +=⋅⋅⋅的中点，则202120222023A A A △中最短边的长为（ ）A ．100912 B ．101012 C ．101112 D ．102112B解析：B【分析】根据已知条件和图形的变化可得前几个图形的最短边的长度，进而可得结论．【详解】解：在△A 1A 2A 3中，∠A 1A 3A 2=90°，∠A 2=30°，A 1A 3=1，A n+3是A n A n+1（n=1、2、3…）的中点，可知：A 4A 5//A 1A 3，A 3A 4=A 2A 4，∴∠A 3A 5A 4=90°，∠A 4A 3A 2=∠A 2=30°，∴△A 1A 2A 3是含30°角的直角三角形，同理可证△A n A n+1A n+2是含30°角的直角三角形．△A 1A 2A 3中最短边的长度为A 1A 3=1=012， △A 3A 4A 5中最短边的长度为A 4A 5=12=112， △A 5A 6A 7中最短边的长度为A 5A 7=21142=， …， 所以△A n A n+1A n+2中最短边的长度为1212n -，则△A 2019A 2020A 2021中最短边的长度为120211221122n --==101012． 故选：B ．【点睛】 本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．也考查了直角三角形斜边的中线，三角形的中位线，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质，以及等腰三角形的性质等知识．7．顺次连接矩形ABCD 各边的中点，所得四边形是（ ）A ．平行四边形B ．正方形C ．矩形D ．菱形D解析：D【分析】利用三角形中位线定理,矩形对角线的性质,菱形的判定判断即可.【详解】如图，设矩形ABCD各边的中点依次为E，F，G，H，∴EF，FG，GH，HE分别是△ABC，△BCD，△CDA，△DAB的中位线，∴EF=12AC，FG=12BD，GH=12AC，EH=12BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形，故选D.【点睛】本题在矩形背景考查了三角形中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，熟练运用三角形中位线定理，矩形的性质，菱形的判定是解题的关键.8．下列命题中，正确的命题是（）A．菱形的对角线互相平分且相等B．顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直平分D．顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形B解析：B【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义逐一判断即可．【详解】解：A. 菱形的对角线互相平分，但不相等，该命题错误；B. 顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形，该命题正确；C. 矩形的对角线互相平分，但是不垂直，该命题错误；D. 顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是菱形，该命题错误；故选：B．【点睛】本题考查特殊四边形的判定和性质，掌握菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义是解题的关键．9．如图，在平行四边形ABCD 中，点F 是AB 的中点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于点E ，连接AE ．添加一个条件，使四边形AEBD 是菱形，这个条件是（ ）A ．BAD BDA ∠=∠B ．AB DE =C ．DF EF =D ．DE 平分ADB ∠D解析：D【分析】 先证明△ADF ≌△BEF ，得到AD=BE ，推出四边形AEBD 是平行四边形，再逐项依次分析即可．【详解】解：在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DAB=∠EBA ，∵点F 是AB 的中点，∴AF=BF ，∵∠AFD=∠BFE ，∴△ADF ≌△BEF ，∴AD=BE ，∵AD ∥BE ，∴四边形AEBD 是平行四边形，A 、当BAD BDA ∠=∠时，得到AB=BD ，无法判定四边形AEBD 是菱形，故该选项不符合题意；B 、AB=BE 时，无法判定四边形AEBD 是菱形，故该选项不符合题意；C 、DF=EF 时，无法判定四边形AEBD 是菱形，故该选项不符合题意；D 、当DE 平分ADB ∠时，四边形AEBD 是菱形，故该选项符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定，熟记平行四边形的性质是解题的关键．10．如图，菱形ABCD 中，4AB =，60A ∠=︒，点E 是线段AB 上一点（不与A ，B 重合），作EDF ∠交BC 于点F ，且60EDF ∠=︒，则BEF 周长的最小值是（ ）A ．6B ．43C ．43+D ．423+D解析：D【分析】 只要证明DBE DCF ∆≅∆得出DEF ∆是等边三角形，因为BEF ∆的周长4BE BF EF BF CF EF BC EF EF =++=++=+=+，所以等边三角形DEF ∆的边长最小时，BEF ∆的周长最小，只要求出DEF ∆的边长最小值即可．【详解】解：连接BD ，菱形ABCD 中，60A ∠=︒，ADB ∴∆与CDB ∆是等边三角形，60DBE C ∴∠=∠=∠︒，BD DC =，60EDF ∠=︒，BDE CDF ∴∠=∠，在BDE ∆和CDF ∆中，DBE C BDE CDF BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DBE DCF ∴∆≅∆，DE DF ∴=，BDE CDF ∠=∠，BE CF =，60EDF BDC ∴∠=∠=︒，DEF ∴∆是等边三角形，BEF ∆的周长4BE BF EF BF CF EF BC EF EF =++=++=+=+，∴等边三角形DEF ∆的边长最小时，BEF ∆的周长最小，当DE AB ⊥时，DE 最小23=，BEF ∴∆的周长最小值为423+，故选：D ．【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、最小值问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，学会转化的思想解决问题，所以中考常考题型．二、填空题11．如图，直线a 过正方形ABCD 的顶点A ，点B 、D 到直线a 的距离分别为1、3，则正方形的边长为_______．【分析】先由正方形的性质可知再证明Rt △AFD ≌Rt △BEA 再由全等三角形的性质可得；最后在在Rt △BEA 中由勾股定理得：即得本题答案【详解】解：在正方形中；∵∴；∵∴；在Rt △AFD 和Rt △BEA 10【分析】先由正方形的性质可知DA AB =，再证明Rt △AFD ≌Rt △BEA ，再由全等三角形的性质可得3DF AE ==，1AF BE ==；最后在在Rt △BEA 中，由勾股定理得：2210AB AE BE =+=【详解】解：在正方形ABCD 中，AD AB =；∵DF AF ⊥，BE AE ⊥，∴90AFD AEB ∠=∠=︒，90ADF DAF ∠+∠=︒；∵90DAF BAE ∠+∠=︒，∴ADF BAE =∠∠；在Rt △AFD 和Rt △BEA 中，AFD AEB ADF BAE AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴Rt △AFD ≌Rt △BEA （AAS ），∴3DF AE ==，1AF BE ==；在Rt △BEA 中，由勾股定理得：22223110AB AE BE =+=+= 10．【点睛】本题主要考查正方形的性质，三角形全等的性质与判定以及勾股定理的知识． 12．如图，Rt ABC △中，90,5∠=︒=B AB ，D 为AC 的中点， 6.5=BD ，则BC 的长为__________．12【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出再根据勾股定理求解即可【详解】解：∵D 为的中点∴∴故答案是：12【点睛】考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线熟悉相关性质是解题的关键解析：12．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出AC ，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵90B ∠=︒，D 为AC 的中点， 6.5=BD∴22 6.513AC BD ==⨯=， ∴222212135BC AC AB =--，故答案是：12．【点睛】考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线，熟悉相关性质是解题的关键．13．菱形ABCD 有一个内角是60°，它的边长是2，则此菱形的对角线AC 长为_________．或2【分析】根据菱形有一个内角为60°可以得到等边三角形分两种情况画出图形结合勾股定理求出AC 的长【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形∴AC ⊥BDOA=OCOB=ODAD=AB=2若∠BAD=60°∴ 解析：232【分析】根据菱形有一个内角为60°可以得到等边三角形，分两种情况，画出图形，结合勾股定理求出AC 的长．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA=OC ，OB=OD ，AD=AB=2，若∠BAD=60°，∴△ABD 是等边三角形，∴BD=2，∴OD=1，∴22213-=， ∴AC=3若∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AC=2；故答案为：23或2．【点睛】此题考查了菱形的性质和勾股定理，等边三角形的判定和性质，要记住菱形的对角线互相平分且垂直，菱形的四条边都相等．14．如图，在ABC ∆中，点,D E 分别在边,AB AC 上，且BD CE =，连接,CD DE ，点,,M N P 分别是,,DE BC CD 的中点，34PMN ∠=，则MPN ∠的度数是_______．【分析】根据点MNP 分别是DEBCCD 的中点可以证明MP 是ΔDEC 的中位线NP 是ΔDBC 的中位线根据中位线定理可得到MP=NP 再根据等腰三角形的性质得到∠PMN=∠PNM 最后根据三角形的内角和定理可解析：112【分析】根据点 M ，N ，P 分别是 DE ，BC ，CD 的中点，可以证明MP 是ΔDEC 的中位线，NP 是ΔDBC 的中位线，根据中位线定理可得到MP=NP ，再根据等腰三角形的性质得到∠PMN=∠PNM ，最后根据三角形的内角和定理可以得到∠MPN ．【详解】解：如图∵点 M，N，P 分别是 DE，BC，CD 的中点∴MP是ΔDEC的中位线，∴MP=1EC，2NP是ΔDBC的中位线∴NP=1BD，2又∵BD=CE∴MP=NP∴∠PMN=∠PNM=34∘∴∠MPN=180∘-∠PMN-∠PNM=180∘-34∘-34∘=112∘故答案位：112°【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质和判定，以及三角形的内角和定理，解题的关键是灵活运用三角形的中位线定理求线段的长度．15．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且P 不与写B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连结EF，则EF的最小值等于__________．48【分析】连接由菱形的性质解得再根据勾股定理解得继而证明四边形为矩形得到根据垂线段最短解得当时有最小值最后根据三角形面积公式解题即可【详解】连接四边形是菱形四边形为矩形当时有最小值此时的最小值为故解析：4.8【分析】连接OP ，由菱形的性质解得118,622BO BD OC AC ====，再根据勾股定理解得10BC =，继而证明四边形OEPF 为矩形，得到FE OP =，根据垂线段最短解得当OP BC ⊥时，OP 有最小值，最后根据三角形面积公式解题即可．【详解】 连接OP ，四边形ABCD 是菱形，12,16AC BD ==,AC BD ∴⊥118,622BO BD OC AC ==== 22643610BC OB OC ∴=+=+=,,PE AC PF BD AC BD ⊥⊥⊥∴四边形OEPF 为矩形，FE OP ∴=当OP BC ⊥时，OP 有最小值，此时1122OBC S OB OC BC OP =⋅=⋅ 68 4.810OP ⨯∴== EF ∴的最小值为4.8，故答案为：4.8．【点睛】本题考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．16．如图，在Rt ABC ∆中，90,6,10ACB AC AB ∠===，过点A 作//,AM CB CE 平分ACB ∠交AM 于点,E Q 是线段CE 上的点，连接BQ ，过点B 作BP BQ ⊥交AM 于点P ，当PBQ ∆为等腰三角形时，AP =________________________．【分析】过点P作PG⊥CB交CB的延长线于点G过点Q作QF⊥CB运用AAS定理证明△QBF≌△BPG根据平行线的性质和角平分线的定义求得△AEC为等腰直角三角形利用勾股定理求得线段BC的长然后结合全解析：10【分析】过点P作PG⊥CB，交CB的延长线于点G，过点Q作QF⊥CB，运用AAS定理证明△QBF≌△BPG，根据平行线的性质和角平分线的定义求得△AEC为等腰直角三角形，利用勾股定理求得线段BC的长，然后结合全等三角形和矩形的性质求解．【详解】解：过点P作PG⊥CB，交CB的延长线于点G，过点Q作QF⊥CB∵BP BQ⊥，PG⊥CB∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°∴∠1=∠3∵QF⊥CB，BP BQ⊥∴∠QFB=∠PGB=90°又∵PBQ∆为等腰三角形∴QB=PB在△QBF和△BPG中1=3QFB PGB QB PB∠∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△QBF≌△BPG∴PG=BF，BG=QF∵∠ACB=90°，CE平分ACB∠∴∠ACE=∠ECB=45°又∵AM∥CB，∴∠AEC=∠ECB=45°∴∠AEC=∠ACE=45°∴△AEC为等腰直角三角形∵AM∥BC，∠ACB=90°∴∠CAM+∠ACB=180°，即∠CAM=90°∴∠CAM=∠ACB=∠PGB=90°∴四边形ACGP为矩形，∴PG=AC=6，AP=CG在Rt △ABC 中，BC=228AB AC -=∴CF=BC-BF=BC-PG=8-6=2∵QF ⊥BC ，∠ECB=45°∴△CQF 是等腰直角三角形，即CF=QF=2∴AP=CG=BC+BG=BC+QF=8+2=10【点睛】本题考查矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键17．如图，平面直角坐标系中，已知点()9,9A ，点B 、C 分别在y 轴、x 轴上，AB AC ⊥且AB AC =，若B 点坐标为()0,a ，则OC =______（用含a 的代数式表示）．18-【分析】过A 作AE ⊥y 轴于EAD ⊥x 轴于D 构造正方形AEOD 再证△AEB ≌△ADC （SAS ）得BE=CD 由EB=EO-BO=9-可求CD=9-求出OC=OD+CD=9+9-=18-即可【详解】解析：18-a ．【分析】过A 作AE ⊥y 轴于E ，AD ⊥x 轴于D ，构造正方形AEOD ，再证△AEB ≌△ADC （SAS ），得BE=CD ，由EB=EO-BO=9-a ，可求CD=9-a ，求出OC=OD+CD=9+9-a =18-a 即可．【详解】过A 作AE ⊥y 轴于E ，AD ⊥x 轴于D ，∵点()9,9A ，AE=AD=OE=OD=9，∠ADO=90º，四边形AEOD 为正方形，∵AB AC ⊥，∠EAD=90°，∴∠EAB+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，∴∠BAE=∠CAD ，∵AB AC =，AE=AD ，∴△AEB ≌△ADC （SAS ），∴BE=CD ，∵EB=EO-BO=9-a ，∴CD=9-a ，OC=OD+CD=9+9-a =18-a ，故答案为：18-a ．【点睛】本题考查正方形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握正方形的判定方法与性质，三角形全等判定的方法与性质是解题关键．18．如图，将长方形纸片ABCD 沿着对角线BD 翻折，点C 落在点C '处，BC '与AD 交于点E ．若20AD cm =，5AB cm =，则DE =_______cm ．【分析】根据题意得到BE ＝DE 然后根据勾股定理得到关于线段ABAEBE 的方程解方程即可【详解】解：设ED ＝x 则AE ＝20﹣x ∵四边形ABCD 为矩形∴AD ∥BC ∴∠EDB ＝∠DBC ；由题意得：∠EBD 解析：858【分析】根据题意得到BE ＝DE ，然后根据勾股定理得到关于线段AB 、AE 、BE 的方程，解方程即可．【详解】解：设ED ＝x ，则AE ＝20﹣x ，∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ∥BC ，∴∠EDB ＝∠DBC ；由题意得：∠EBD ＝∠DBC ，∴∠EDB ＝∠EBD ，∴EB ＝ED ＝x ；由勾股定理得：BE 2＝AB 2+AE 2，即x 2＝52+（20﹣x ）2，解得：x ＝858， ∴ED ＝858． 【点睛】本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．19．在ABCD 中，BE AD ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，若60EBF ︒∠=，且3AE =，2DF =，则EC =_______．【分析】由▱ABCD 中BE ⊥ADBF ⊥CD 可得∠D=120°继而求得∠A 与∠BCD 的度数然后由勾股定理求得ABBEBC 的长继而求得答案【详解】解：∵BE ⊥ADBF ⊥CD ∴∠BFD=∠BED=∠BFC91【分析】由▱ABCD 中，BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，可得∠D=120°，继而求得∠A 与∠BCD 的度数，然后由勾股定理求得AB ，BE ，BC 的长，继而求得答案．【详解】解：∵BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，∴∠BFD=∠BED=∠BFC=∠BEA=90°，∵∠EBF=60°，∴∠D=120°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠BCD=∠A=60°，∵在△ABE中，∠ABE=30°，∴AB=2AE=2×3=6，∴CD=AB=6，BE=2233AB AE-=，∴CF=CD-DF=6-2=4，∵在△BFC中，∠CBF=30°，∴BC=2CF=2×4=8，∴CE=2291BE BC+=，故答案为：91．【点睛】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度适合，注意掌握数形结合思想的应用．20．在长方形ABCD中，52AB=，4BC=，CE CF=，CF平分ECD∠，则BE=_________．【分析】延长CF交EA的延长线于点G连接EF过点F作FH⊥CE于点H过点E作EM⊥CF于点M由题意易得FH=FDFH=EMEC=EG进而可得△CDF≌△CME然后可得CM=CD=由勾股定理可得BG=解析：7 6【分析】延长CF，交EA的延长线于点G，连接EF，过点F作FH⊥CE于点H，过点E作EM⊥CF于点M，由题意易得FH=FD，FH=EM，EC=EG，进而可得△CDF≌△CME，然后可得CM=CD=52，由勾股定理可得BG=3，设BE=x，则有EC=EG=3+x，最后利用勾股定理可求解．【详解】解：延长CF，交EA的延长线于点G，连接EF，过点F作FH⊥CE于点H，过点E作EM⊥CF于点M，如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，4BC =，52AB =∴BC=AD ，52AB DC ==，AB ∥DC ，∠D=∠ABC=∠CBE=90° ∴∠DCF=∠G ，∵CF 平分∠ECD ，∴∠DCF=∠ECF ，DF=FH ，∴∠G=∠ECF ，∴EC=EG ，∴△ECG 是等腰三角形，∴CM=MG ，∵CE=CF ，∴△ECF 是等腰三角形， ∵EM 、FH 分别是等腰三角形ECF 腰上的高线，∴FH=EM=DF ，∴Rt △CDF ≌Rt △CME （HL ）， ∴52CM DC ==， ∴CG=5，∴在Rt △CBG 中，223BG CG CB -=，设BE=x ，则有EC=EG=3+x ，在Rt △CBE 中，222BC BE CE +=，∴()22243x x +=+， 解得：76x =， ∴76BE =； 故答案为76． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、矩形的性质及勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、矩形的性质及勾股定理是解题的关键．三、解答题21．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，求AC的长度．解析：4【分析】根据矩形的性质和等边三角形的性质，可以得到OA的长，从而可以求得AC的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝OB＝OD，∵∠AOD＝60°，AD＝2，∴△AOD是等边三角形，∴OA＝OD＝2，∴AC＝2OA＝4，即AC的长度为4．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并判断出△AOB是等边三角形是解题的关键．22．如图，已知，四边形ABCD是平行四边形，AE∥BD，交CD的延长线于点E， 交BC延长线于点F，求证：四边形ABFD是等腰梯形．EF BC解析：见解析．【分析】首先证明四边形ABDE是平行四边形，即可得AB=DE，等量代换可得CD=DE，根据直角三角形斜边中线的性质定理可得DF＝CD＝DE，进而可得AB=DF，再说明线段AB和DF不平行即可求证结论．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，=．∴AD∥BC，AB∥CD，AB CD∴AB∥DE；又∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形．=．∴AB DE∴CD DE=．⊥，∵EF BC∴DF＝CD＝DE．=．∴AB DF∵CD、FD交于点D，∴线段AB与线段FD不平行．∴四边形ABFD是等腰梯形．【点睛】本题考查平行四边形的判定及其性质、梯形的判定，直角三角形的斜边中线的性质定理，解题的关键是掌握两腰相等的梯形是等腰梯形．23．综合与实践：问题情境：数学活动课上，老师和同学们一起以“矩形的旋转”开展数学活动．具体操作如下：第一步：如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片ABCD和EFGH叠放在一起，这时对角线AC和EG互相重合．第二步：固定矩形ABCD，将矩形EFGH绕AC的中点O逆时针方向旋转，直到点E与点B重合时停止．问题解决：（1）奋进小组发现：在旋转过程中，当边AB与EF交于点M，边CD与GH交于点N，如图2、图3所示，请写出线段AM与CN始终存在的数量关系，并利用图2说明理由．（2）奋进小组继续探究发现：在旋转开始后，当两个矩形纸片重叠部分为四边形MRNQ 时，如图3所示，请你猜测四边形MRNQ 的形状，并试着证明你的猜想．探索发现：（3）奋进小组还发现在问题（2）中的四边形MRNQ 中MQN ∠与旋转角AOE ∠存在着特定的数量关系，请你写出这一关系，无需说明理由．解析：（1）AM CN =，理由见解析；（2）四边形MRNQ 为菱形，证明见解析；（3）MQN ∠=AOE ∠【分析】（1）结论：AM=CN ．先证明(AAS)AOS COT ≌△△，推出AS CT =，OS OT =，34∠=∠，再证明(ASA)ESM GTN ≌△△即可解决问题．（2）过点Q 作QK ⊥EF ，QL ⊥CD ，垂足分别为点K ，L ．首先证明四边形QMRN 是平行四边形，再证明QM=QN 即可．（3）结论：∠MQN=∠AOE ．理由三角形的外角的性质以及平行线的性质即可解决问题．【详解】（1）关系：AM CN =理由：如图：设EG 分别与AB 、CD 相交于点S 、T ；∵四边形ABCD 与EFGH 都是矩形，且点O 为对角线的中点；∴//AB CD ，//EF GH ，OA OC =，OE OG =；∴12∠=∠；又AOS COT ∠=∠∴(AAS)AOS COT ≌△△∴AS CT =，OS OT =；∴ES GT =；又//EF GH ，∴56∠=∠；又12∠=∠；∴34∠=∠∴(ASA)ESM GTN ≌△△ ∴SM TN =，则AS SM CT TN +=+即AM CN =（2）四边形MRNQ 为菱形．证明：过点Q 作QK ⊥EF ，QL ⊥CD ，垂足分别为点K ，L ．由题可知：矩形ABCD ≌矩形EFGH∴AD=EH ，AB ∥CD ，EF ∥HG∴四边形QMRN 为平行四边形，∵QK ⊥EF ，QL ⊥CD ，∴QK=EH ，QL=AD ，∠QKM=∠QLN=90°∴QK=QL ，又∵AB ∥CD ，EF ∥HG ，∴∠KMQ=∠MQN ，∠MQN=∠LNQ ，∴∠KMQ=∠LNQ ，∴△QKM ≌△QLN （AAS ）∴MQ=NQ∴四边形MRNQ 为菱形．（3）结论：∠MQN=∠AOE ．理由：如图中，∵∠QND=∠1+∠2，∠AOE=∠1+∠3，又由题意可知旋转前∠2与∠3重合，∴∠2=∠3，∴∠QND═∠AOE，∵AB∥CD，∴∠MQN=∠QND，∴∠MQN=∠AOE．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找确定的三角形解决问题，属于中考压轴题．24．如图，将长方形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的点F处，已知AB＝6，△ABF的面积是24，求DE的长．解析：10 3【分析】先根据三角形的面积公式求得BF的长，然后根据勾股定理可求得AF=10，由翻折的性质和矩形的性质可知BC=10，故此FC=2，最后在△EFC中，由勾股定理列方程求解即可．【详解】解：∵S△ABF=24，∴12AB•BF＝24，即12×6×BF＝24．解得：BF=8．在Rt△ABF中由勾股定理得：22AB BF=10．由翻折的性质可知：BC=AD=AF=10，ED=FE．∴FC=10-8=2．设DE=x ，则EC=6-x ．在Rt △EFC 中，由勾股定理得：EF 2=FC 2+EC 2，x 2=4+（6-x ）2．解得：x=103， ∴DE=103． 【点睛】本题主要考查的是矩形与折叠、三角形的面积公式、勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于x 的方程是解题的关键．25．如图，在ABC 中，AB AC =，10BC =．（1）尺规作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法）①作BAC ∠的平分线交BC 于点D ；②作边AC 的中点E ，连接DE ；（2）在（1）所作的图中，若12AD =，则DE 的长为__________．解析：（1）①见解析；②见解析；（2）6.5【分析】（1）①以A 为圆心，小于AB 的长度为半径画圆，交AB 、AC 于两个点，再分别以这两个点为圆心，一样的半径画弧，交于一点，连接这个点与点A ，即可得到BAC ∠的平分线，再画出它与BC 的交点D ；②作线段AC 的垂直平分线，即可找到线段AC 的中点E ，连接DE ；（2）由等腰三角形“三线合一”的性质得152BD BC ==，AD BC ⊥，用勾股定理求出AB 的长，再根据中位线的性质得到DE 的长．【详解】解：（1）①如图所示：②如图所示：（2）∵AB AC =，AD 平分BAC ∠， ∴152BD BC ==，AD BC ⊥， 在Rt ABD △中，2213AB AD BD =+=， ∵E 、D 分别是AC 和BC 的中点，∴1 6.52DE AB ==， 故答案是：6.5．【点睛】 本题考查等腰三角形的性质，中位线的定理，以及角平分线和垂直平分线的作法，解题的关键是熟练掌握这些几何的性质定理以及作图方法．26．已知：如图，在ABCD 中，4,6,AC BD CA AB ==⊥，求ABCD 的周长和面积． 解析：521+，5【分析】依据平行四边形的对角线互相平分，即可得到2AO =，3BO =，再根据勾股定理即可得出AB 与BC 的长，进而得到ABCD 的周长和面积． 【详解】解：如图所示，4AC =，6BD =，2AO ∴=，3BO =，又CA AB ⊥， Rt AOB ∴∆中，2222325AB BO AO =-=-Rt ABC 中，2222(5)421BC AB AC =+=+=ABCD ∴的周长2(521)25221==，ABCD 的面积5445AB AC =⨯=⨯=．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，解题时注意：平行四边形的对角线互相平分．27．已知：如图，ABCD 中，AE 、CF 分别是BAD ∠和BCD ∠的角平分线，分别交边DC 、AB 于点E 、F ，求证：AE CF =．解析：见解析【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的定义，证明ADE CBF ∆≅∆即可判断AE CF =．【详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，DAB DCB ∴∠=∠，D B ∠=∠，AD BC =．AE ∵、CF 分别是BAD ∠和BCD ∠的角平分线，DAE BCF ∴∠=∠．()ADE CBF ASA ∴∆≅∆．AE CF ∴=．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质．证明线段相等的技巧一般是找到两个线段的相关三角形，通过全等求解．28．如图，AD 为ABC ∆的中线，BE 为ABD ∆的中线．（1）15ABE ∠=︒，40BAD ∠=︒，求 BED ∠的度数；（2）若ABC ∆的面积为40，5BD =，则E 到BC 边的距离为多少．解析：（1）55︒；（2）4．【分析】（1）根据三角形内角与外角的性质解答即可；（2）过E 作BC 边的垂线即可得：E 到BC 边的距离为EF 的长，然后过A 作BC 边的垂线AG ，再根据三角形中位线定理求解即可．【详解】解：（1）BED ∠是ABE ∆的外角， 154055BED ABE BAD ；（2）过E 作BC 边的垂线，F 为垂足，则EF 为所求的E 到BC 边的距离，过A 作BC 边的垂线AG ，AD ∴为ABC ∆的中线，5BD =，22510BC BD ∴==⨯=，ABC ∆的面积为40， ∴1402BC AG ，即110402AG ，解得8AG =，∵AD 为ABC ∆的中线， ∴11402022ABD ABC S S ， 又∵BE 为ABD ∆的中线， ∴11201022EBD ABD S S ， 则有：1151022BD EFEF 4EF ∴=．即E 到BC 边的距离为4．【点睛】本题考查了三角形外角的性质、三角形中位线的性质及三角形的面积公式，添加适当的辅助线是解题的关键．。

平行四边形、勾股定理、二次根式小练习

平行四边形、勾股定理、二次根式小练习

平行四边形、勾股定理、二次根式小练习
1.先化简，再求值：（2x2+2x
x2−1−x2−x
x2−2x+1
）÷x
x+1
，其中x=ξ2+1．
2.实数a在数轴上的位置如图所示，化简：ඥሺa−5ሻ2−ඥሺa−10ሻ2．
3．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，A，B，C为格点
ሺ1ሻ判断△ABC的形状，并说明理由．
ሺ2ሻ求BC边上的高．
4．如图，有一块四边形空地需要测量面积，经技术人员测量，已知∠ABC＝90°，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，AD＝24米．请用你学过的知识计算出这块空地的面积．
5．如图，在ΔABC中，AC=6，BC=8，AB=10．AD为ΔABC的角平分线，求线段BD的长. 6．如图，在☑ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，求线段EC的. 7．如图，在☑ABCD中，DF=BE．求证：四边形AECF是平行四边形．
8．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，点E、F均在线段AC上，若AE＝CF，求证：四边形BEDF是平行四边形．。

勾股定理和平行四边形好题汇总

勾股定理和平行四边形好题汇总

1.完成下面题目图1 图2 图3 图4 图5 图6（2）如图2、3、4，已知，三角形ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为三角形ABC外一点，且满足∠ADB=90°①如图2所示，求证：DA+DB=ξ2DC。

②如图3所示，猜想DA，DB，DC之间有怎样的数量关系，并证明你的结论。

③如图4所示，过C作CH⊥BD于H，BD=6，AD=3，求CH。

（3）如图5，点D是等边三角形△ABC外一点，若DA=13，DB=5ξ2，DC=7，试求∠BDC的度数。

（4）如图6，△ABC为等边三角形，若D为△ABC外一点，满足∠CDB=30°，求证DC2+DB2=DA2。

2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5ξ3，∠C=30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由3.如图,点P是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点P作EF∥BC,分别交AB, CD于E、F,连接PB､PD.若AE = 2,PF= 8.则图中阴影部分的面积是什么？4.在矩形ABCD中,点E在BC上,AE = AD,DF⊥AE,垂足为F.①求证:DF = AB;②若∠FDC = 30°,且AB = 4,求AD.5.如图,以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形,即△ABD､△BCE､△ACF,请回答下列问题,并说明理由.①四边形ADEF是什么四边形?②当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是矩形?③当△ABC满足什么条件时,以A､D､E､F为顶点的四边形不存在6.已知，在等腰Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=AB，点A和B在第四象限（1）如图1，若A（1.-3），则OA=__________，点B的坐标为（______，______）（2）如图2，AD⊥y轴于点D，M为OB中点，求证：DO+DA=ξ2DM6.如图，∠AOB=40°，M和N分别在OA，OB上，且OM=2，ON=4，点P和点Q分别在OB和OA上，求MP+PQ+QN的最小值。

初中数学八年级几何勾股定理练习题2(含答案)

初中数学八年级几何勾股定理练习题2(含答案)

初中数学八年级几何勾股定理练习题2 （含答案）一.填空题1、一直角三角形的两直角边的长度分别为3、6,则斜边的长度为o2、ZiABC 为直角三角形，且NC=90° , AB=4, AC=2,则NA二°3、在RtZ\4BC 中，ZBAC=90° ,且a+c=9, CL c=4,则匕的值是4、如图所示的正方形网格中，每个小正方形的面积均为1,正方形ABCM9 CDEN,MNPQ的顶点都在格点上，则正方形MNPQ的面积为r -|-1 - r_LT1 - r -L-1一Lf」L ——「十一r-i- i -rn5、如图，轮船中从港口。

出发沿北偏西25°的方向航行8海里，同时轮船乙从港口。

出发沿南偏西65°的方向航行15海里，这时两轮船相距海里.6、如图,一架13m长的梯子A8斜靠在一竖直的墙AC上,这时AC为⑵储如果子的顶端A沿墙下滑7小，那么梯子底端B向外移立7、如图，在RtZkABC 中，ZC=90° , 4。

平分NC48, OELA8 于点E,若AC=9, 48=15, WO DE=A8、对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC. BD交于点。

.若AD=2, BC=4,则AB2+CD2B9、“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，如图所示的“赵爽弦图” 是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为小较短直角边长为仇若”=4, b=3,则大正方形的面10、如图，圆柱的底面半径为24,高为加，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是.二.选择题1、下列各组数表示三角形的三条边的边长，其中是直角三角形的是（）A、2,3,4B、5,6,7C、6,7,8D、6, 8, 102、Z^ABC 为直角三角形，且NC=90° , AB=6,AC=2,则BC= .A、3 C、3V2 D、4V23、如图，在三角形ABC中，已知NC=90° , AC=3, 8C=4,则48的大小有4、下列各组数据中，不是勾股数的是（）A. 3, 4, 5B. 7, 24, 25C. 8, 15, 17D. 5, 6, 95、满足下列关系的三条线段a, b, c组成的三角形一定是直角三角形的是（）A. a<b+cB. a>b - cC. a=b=cD. a2=b2 - c26、为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备举办新年晚会，大林搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，开始梯脚与墙角的距离为1.5米，但高度不够.要想正好挂好拉花，梯脚应向前移动（人的高度忽略不计）（）A. 0.7 XB. 0.8 XC. 0.9 米D. L0 米7、下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（b b8、如图,高速公路上有A、3两点相距10切?，C、。

初二勾股定理测试题及答案

初二勾股定理测试题及答案

初二勾股定理测试题及答案一、选择题1. 在直角三角形中，如果直角边长分别为3和4，那么斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 82. 已知一个三角形的两边长分别为5和12，且这两边构成直角，那么第三边的长度是多少？A. 10B. 13C. 15D. 17二、填空题3. 如果一个直角三角形的直角边长分别为6和8，那么斜边的长度是_________。

4. 直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为5，另一条直角边的长度是_________。

三、计算题5. 在一个直角三角形中，如果已知斜边长为10，一条直角边长为6，求另一条直角边的长度。

6. 一个直角三角形的两条直角边长分别为x和y，斜边长为z。

已知x=9，y=12，求z的值。

四、解答题7. 一个梯形的两底边长分别为3和5，高为4，求梯形的对角线长度。

8. 一个长方体的长、宽、高分别为3米、4米和5米，求这个长方体的对角线长度。

答案：一、选择题1. A（根据勾股定理：3² + 4² = 5²）2. B（根据勾股定理：5² + 12² = 13²）二、填空题3. 10（根据勾股定理：6² + 8² = 10²）4. 12（根据勾股定理：5² + 12² = 13²）三、计算题5. 另一条直角边的长度为8（根据勾股定理：6² + 8² = 10²）6. z的值为15（根据勾股定理：9² + 12² = 15²）四、解答题7. 梯形的对角线长度为5（根据勾股定理：(3+5)² + 4² = 5²）8. 长方体的对角线长度为5（根据勾股定理：3² + 4² + 5² = 50，再开方得5）结束语：通过本次测试，我们复习了勾股定理的应用，希望同学们能够熟练掌握并灵活运用勾股定理解决实际问题。

勾股定理初二练习题二十道

勾股定理初二练习题二十道

勾股定理初二练习题二十道1. 在直角三角形ABC中，角C=90°，AB=12cm，AC=5cm，求BC 的长度。

2. 在直角三角形DEF中，角D=90°，DE=8cm，DF=15cm，求EF 的长度。

3. 在直角三角形GHI中，角I=90°，GH=17cm，HI=8cm，求GI的长度。

4. 在直角三角形JKL中，角J=90°，KL=10cm，JL=6cm，求JK的长度。

5. 在直角三角形MNO中，角O=90°，MN=6cm，NO=10cm，求MO的长度。

6. 在直角三角形PQR中，角P=90°，PR=13cm，PQ=12cm，求QR 的长度。

7. 在直角三角形STU中，角T=90°，ST=21cm，TU=20cm，求SU 的长度。

8. 在直角三角形VWX中，角V=90°，VX=24cm，WX=7cm，求WV的长度。

9. 在直角三角形YZA中，角Z=90°，ZY=15cm，ZA=9cm，求YA 的长度。

BC的长度。

11. 在直角三角形EFG中，角E=90°，EG=7cm，FG=25cm，求EF 的长度。

12. 在直角三角形HIJ中，角H=90°，IJ=20cm，HJ=9cm，求HI的长度。

13. 在直角三角形KLM中，角K=90°，KL=16cm，LM=12cm，求KM的长度。

14. 在直角三角形NOP中，角N=90°，NO=5cm，OP=13cm，求NP 的长度。

15. 在直角三角形QRS中，角Q=90°，QR=30cm，RS=16cm，求QS的长度。

16. 在直角三角形TUV中，角T=90°，TV=25cm，UV=7cm，求TU 的长度。

17. 在直角三角形WXY中，角W=90°，WX=14cm，XY=9cm，求WY的长度。

18. 在直角三角形ZAB中，角Z=90°，ZA=11cm，AB=15cm，求ZB的长度。

初二勾股定理及平行四边形练习题

初二勾股定理及平行四边形练习题

练习1一、选择题（3′×10=30′）1. 能够判定一个四边形是平行四边形的条件是（）A、一组对角相等B、两条对角线互相平分C、两条对角线互相垂直D、一对邻角的和为180°2．ABCD中，∠A=55°，则∠B、∠C的度数分别是（）．A．135°，55° B．55°，135° C．125°，55° D．55°，125°3．下列正确结论的个数是（）．①平行四边形内角和为360°；②平行四边形对角线相等；③平行四边形对角线互相平分；④平行四边形邻角互补．A．1 B．2 C．3 D．44．平行四边形中一边的长为10cm，那么它的两条对角线的长度可能是（）．A．4cm和6cm B．20cm和30cm C．6cm和8cm D．8cm和12cm5．在ABCD中，AB+BC=11cm，∠B=30°，S ABCD=15cm2，则AB与BC的值可能是（）．A．5cm和6cm B．4cm和7cm C．3cm和8cm D．2cm和9cm6．在下列定理中，没有逆定理的是（）．A．有斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等;B．直角三角形两个锐角互余;C．全等三角形对应角相等;D．角平分线上的点到这个角两边的距离相等.7．下列说法中正确的是（）．A．每个命题都有逆命题 B．每个定理都有逆定理C．真命题的逆命题是真命题 D．假命题的逆命题是假命题8．一个三角形三个内角之比为1：2：1，其相对应三边之比为（）．A．1：2：1 B．1：1 C．1：4：1 D．12：1：29．一个三角形的三条中位线把这个三角形分成面积相等的三角形有（）个．A．2 B．3 C．4 D．510.如图1，将矩形ABCD沿对角线BD对折，使点C落在C′处，BC′交AD于F，下列不成立的是（）。

A．AF＝C′F B．BF＝DFC．∠BDA＝∠ADC′ D．∠ABC′＝∠ADC′二、填空题（3′×10=30′）11．用14cm长的一根铁丝围成一个平行四边形，短边与长边的比为3：4，短边的比为________，长边的比为________．12．已知平行四边形的周长为20cm，一条对角线把它分成两个三角形，•周长都是18cm，则这条对角线长是_________cm．13．在ABCD中，AB的垂直平分线EF经过点D，在AB上的垂足为E，•若ABCD•的周长为38cm，△ABD的周长比ABCD的周长少10cm，则ABCD的一组邻边长分别为______．14．在ABCD中，E是BC边上一点，且AB=BE，又AE的延长线交DC的延长线于点F．若∠F=65°，则ABCD的各内角度数分别为_________．15．平行四边形两邻边的长分别为20cm，16cm，两条长边的距离是8cm，•则两条短边的距离是_____cm．16．如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的______和_______，•那么这两个命题是互为逆命题．17．命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是_________．18．在直角三角形中，已知两边的长分别是4和3，则第三边的长是________．19．直角三角形两直角边的长分别为8和10，则斜边上的高为________，斜边被高分成两部分的长分别是__________． 20．△ABC 的两边分别为5，12，另一边c 为奇数，且a+b+•c•是3•的倍数，•则c•应为________，此三角形为________三角形．三、解答题（6′×10=60′）21．如右图所示，在ABCD 中，BF ⊥AD 于F ，BE ⊥CD 于E ，若∠A=60°，AF=3cm ，CE=2cm ，求ABCD 的周长．22．如图所示，在ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上的两点，且BE=DF.求证：（1）AE=CF ；（2）AE ∥CF ．FCDAEB23．如图所示，ABCD 的周长是，AB 的长是，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥CB 交CB•的延长线于点F ，DE 的长是3，求（1）∠C 的大小；（2）DF 的长．24.如图,EB=EC,EA=ED,AD=BC, ∠AEB=∠DEC,证明:四边形ABCD 是矩形.25．已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，a=n 2-16，b=8n ，c=n 2+16（n>4）.求证：∠C=90°．26．如图所示，在△ABC中，AC=8，BC=6，在△ABE中，DE⊥AB于D，DE=12，S△ABE=60，•求∠C 的度数．27．已知三角形三条中位线的比为3：5：6，三角形的周长是112cm，•求三条中位线的长．28.如图，在□ABCD中，O是对角线AC和BD的交点，OE⊥AD于E，OF⊥BC于F. 求证：OE=OF.29. 如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG.观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论；30. 已知：如图，在□ABCD 中，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，E 在AD 上，BE ＝12 cm ，CE ＝5 cm ．求□ABCD 的周长和面积．31.如图，在矩形ABCD 中，,∠⊥ADE CE DE32.已知：如图，四边形ABCD 是菱形，过AB延长线于点F.⑴求证：AM=DM⑵若DF=2，求菱形ABCD 的周长.33.已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，DE//AC ，交BC 的延长线于点E ，EF ⊥AB 于点F ，求证：AD=CF 。

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练习1
一、选择题（3′×10=30′）
1. 能够判定一个四边形是平行四边形的条件是（）
A、一组对角相等
B、两条对角线互相平分
C、两条对角线互相垂直
D、一对邻角的和为180°2．ABCD中，∠A=55°，则∠B、∠C的度数分别是（）．
A．135°，55° B．55°，135° C．125°，55° D．55°，125°
3．下列正确结论的个数是（）．
①平行四边形内角和为360°；②平行四边形对角线相等；
③平行四边形对角线互相平分；④平行四边形邻角互补．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．平行四边形中一边的长为10cm，那么它的两条对角线的长度可能是（）．
A．4cm和6cm B．20cm和30cm C．6cm和8cm D．8cm和12cm
5．在ABCD中，AB+BC=11cm，∠B=30°，S ABCD=15cm2，则AB与BC的值可能是（）．
A．5cm和6cm B．4cm和7cm C．3cm和8cm D．2cm和9cm
6．在下列定理中，没有逆定理的是（）．
A．有斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等;
B．直角三角形两个锐角互余;
C．全等三角形对应角相等;
D．角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
7．下列说法中正确的是（）．
A．每个命题都有逆命题 B．每个定理都有逆定理
C．真命题的逆命题是真命题 D．假命题的逆命题是假命题
8．一个三角形三个内角之比为1：2：1，其相对应三边之比为（）．
A．1：2：1 B．1：2：1 C．1：4：1 D．12：1：2
9．一个三角形的三条中位线把这个三角形分成面积相等的三角形有（）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
10.如图1，将矩形ABCD沿对角线BD对折，使点C落在C′处，
BC′交AD于F，下列不成立的是（）。

A．AF＝C′F B．BF＝DF
C．∠BDA＝∠ADC′ D．∠ABC′＝∠ADC′
二、填空题（3′×10=30′）
11．用14cm长的一根铁丝围成一个平行四边形，短边与长边的比为3：4，短边的比为________，长边的比为________．
12．已知平行四边形的周长为20cm，一条对角线把它分成两个三角形，•周长都是18cm，则这条对角线长是_________cm．
13．在ABCD中，AB的垂直平分线EF经过点D，在AB上的垂足为E，•若ABCD•的周长为38cm，△ABD的周长比ABCD的周长少10cm，则ABCD的一组邻边长分别为______．14．在ABCD中，E是BC边上一点，且AB=BE，又AE的延长线交DC的延长线于点F．若∠F=65°，则ABCD的各内角度数分别为_________．
15．平行四边形两邻边的长分别为20cm，16cm，两条长边的距离是8cm，•则两条短边的距离是_____cm．
16．如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的______和_______，•那么这两个命题是互为逆命题．
17．命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是_________．
18．在直角三角形中，已知两边的长分别是4和3，则第三边的长是________．
19．直角三角形两直角边的长分别为8和10，则斜边上的高为________，斜边被高分成两部分的长分别是__________．
20．△ABC的两边分别为5，12，另一边c为奇数，且a+b+•c•是3•的倍数，•则c•应为________，此三角形为________三角形．
三、解答题（6′×10=60′）
21．如右图所示，在ABCD中，BF⊥AD于F，BE⊥CD于E，若∠A=60°，AF=3cm，CE=2cm，求ABCD的周长．
22．如图所示，在ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF.
求证：（1）AE=CF；（2）AE∥CF．
F C D
A
E
B
23．如图所示，ABCD的周长是103+62，AB的长是53，DE⊥AB于E，DF⊥CB交CB•的延长线于点F，DE的长是3，求（1）∠C的大小；（2）DF的长．
24.如图,EB=EC,EA=ED,AD=BC, ∠AEB=∠DEC,证明:四边形ABCD是矩形.
25．已知△ABC的三边分别为a，b，c，a=n2-16，b=8n，c=n2+16（n>4）.
求证：∠C=90°．
26．如图所示，在△ABC中，AC=8，BC=6，在△ABE中，DE⊥AB于D，DE=12，S△ABE=60，•求∠C 的度数．
27．已知三角形三条中位线的比为3：5：6，三角形的周长是112cm，•求三条中位线的长．
28.如图，在□ABCD中，O是对角线AC和BD的交点，OE⊥AD于E，OF⊥BC于F. 求证：OE=OF.
29. 如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG.观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论；
30. 已知：如图，在□ABCD 中，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，E 在AD 上，BE ＝
12 cm ，CE ＝5 cm ．求□ABCD 的周长和面积．
31.如图，在矩形ABCD 中，4,30,=︒=∠⊥DE ADE CE DE ，求这个矩形的周长。

32.已知：如图，四边形ABCD 是菱形，过AB 的中点E 作AC 的垂线EF, 交AD 于点M ，交CD 的延长线于点F.
⑴求证：AM=DM
⑵若DF=2，求菱形ABCD 的周长.
33.已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，DE//AC ，交BC 的延长线于点E ，EF ⊥AB 于点F ，求证：AD=CF 。

A B
C
D
E
M
E A C
F E
D
C
B
A。

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