2020届九年级《新题速递·数学》5月第01期(考点10-12)
2020届九年级《新题速递·数学》考点10-12考点10四边形 P1 考点11圆 P13 考点12图形的变化 P33考点10 四边形 1．【2020年陕西省西安市益新中学中考数学二模试题】如图，矩形ABCD 中，AB 3=，BC 4=，EB//DF 且BE 与DF 之间的距离为3，则AE 的长是( )B. 38C. 78D. 58【答案】C【解析】【分析】 如图，过点D 作DG BE ⊥，垂足为G ，则GD 3=，首先证明AEB V ≌GED V，由全等三角形的性质可得到AE EG =，设AE EG x ==，则ED 4x =-，在Rt DEG V 中依据勾股定理列方程求解即可．【详解】如图所示：过点D 作DG BE ⊥，垂足为G ，则GD 3=，A G ∠∠=Q ，AEB GED ∠∠=，AB GD 3==，AEB ∴V ≌GED V，AE EG ∴=，设AE EG x ==，则ED 4x =-，在Rt DEG V 中，222ED GE GD =+，222x 3(4x)+=-，解得：7x 8=， 故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理的应用、全等三角形的判定与性质，依据题意列出关于x 的方程是解题的关键．2．【四川省巴中市2020届九年级5月模拟考试数学试题】【答案】33．【福建省漳州市双十学校2019_2020学年九年级线上教学阶段考试数学测试题】如图，平行四边形ABCD 的周长是22，△ABC 的周长是17，则AC 的长为___________．【答案】2【解析】【分析】根据平行四边形的性质，得出AD+DC=11，然后根据题意，即可得出AC 的长.【详解】解：∵平行四边形ABCD 的周长是22，∴AD+DC=11，∵△ABC 的周长是17，∴AC=17-11=6，故答案为：6.【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的周长正确求出AD+DC 的长度.4．【2020年陕西省西安市益新中学中考数学二模试题】如图，已知正方形ABCD 的边长为8，点E 是正方形内部一点，连接BE ，CE ，且∠ABE ＝∠BCE ，点P是AB边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE的长度最小值为_____．【答案】4．【解析】【分析】根据正方形的性质得到∠ABC＝90°，推出∠BEC＝90°，得到点E在以BC为直径的半圆上移动，如图，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，连接FO交AB于P，交⊙O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBE＝90°，∵∠ABE＝∠BCE，∴∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠BEC＝90°，∴点E在以BC为直径的半圆上移动，如图，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，连接FO交AB于P，交半圆O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，OE＝4，∵∠G＝90°，FG＝BG＝AB＝8，∴OG＝12，∴OF∴EF＝4，∴PD+PE的长度最小值为4，故答案为：4．【点睛】本题考查了正方形的性质和勾股定理，构直角三角形是解题的关键.5．【2020年陕西省西安市碑林区西北工业大学附属中学中考数学四模试题】如图，在正方形ABCD中，AB=4，E是BC边的中点，F是CD边上的一点，且DF=1．若M、N 分别是线段AD、AE上的动点，则MN+MF的最小值为________．【解析】【分析】作点F关于AD的对称点G，过点G作GN⊥AE于点N，交AD于点M，可证得MG=MF，△MDG ≌△MDF，DF=DG=1 ，可推出MN+MF=NG，根据垂线段最短，可知此时MN+MF的最小值就是NG的长；利用正方形的性质，可求出BE的长，同时可以推出∠B=∠ANM=∠FDM，∠AMN=∠BAE=∠FMD，再利用有两组对应角相等的三角形相似，可证得△ABE∽△MNA∽△FMD，然后利用相似三角形的性质及勾股定理就可求出MN，MG的长，由此看求出NG的长．【详解】作点F关于AD的对称点G，过点G作GN⊥AE于点N，交AD于点M，∴MG=MF ，△MDG ≌△MDF ，DF=DG=1∴∠GMD=∠DMF∴MN+MF=MN+MG=NG根据垂线段最短，可知此时MN+MF 的最小值就是NG 的长．∵正方形BCD ，点E 是BC 的中点∴BE=12BC=12AB=2 ∴∠B=∠ANM=∠FDM=90°，∠BAE+∠MAN=90°，∵∠AMN+∠MAN=90°，∴∠AMN=∠BAE ，∵∠AMN=∠DMG∴∠AMN=∠BAE=∠FMD∴△ABE ∽△MNA ∽△FMD ∴AB MD BE DF =即421MD = 解之：MD=2，∴AM=AD -MD=4-2=2 ∴2AB MN BE AN== 设AN=x ，则MN=2x∴AN 2+MN 2=AM 2，∴x 2+4x 2=4解之：∴；在Rt △MDG 中，=∴=故答案为：5． 【点睛】本题考查了轴对称−最短距离问题，相似三角形的判定和性质，正确的确定M ，N 的位置是解题的关键．6．【四川省巴中市2020届九年级5月模拟考试数学试题】【答案】7．【2020年河南省新乡市中考数学评价测试题】如图，在正方形ABCD 中，AB =E ，F 分别为BC ，AD 上的点，过点E ，F 的直线将正方形ABCD 的面积分为相等的两部分，过点A 作AG EF ⊥于点G ，连接DG ，则线段DG 的最小值为______．【答案】2【解析】【分析】连接AC ，BD 交于O ，得到EF 过点O ，推出点G 在以AO 为直径的半圆弧上，设AO 的中点为M ，连接DM 交半圆弧于G ，则此时，DG 最小，根据正方形的性质得到AC 8=，AC BD ⊥，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：连接AC ，BD 交于O ，Q 过点E 、F 的直线将正方形ABCD 的面积分为相等的两部分，EF ∴过点O ，AG EF ⊥Q ，AGO 90∠∴=︒，∴点G 在以AO 为直径的半圆弧上，则AM OM GM 2===设AO 的中点为M ，连接DM 交半圆弧于G ，则此时，DG 最小，Q四边形ABCD 是正方形，AB =AC 8∴=，AC BD ⊥，1AO OD AC 42∴===， 1AM OM AO 22∴===，DM ∴==，∴DG DM GM 2=-=故答案为：2．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 8．【2020年福建省福州市一中中考数学一模试卷（5月）】如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB ＝DF ，AC ＝DE ，BE ＝FC ．（1）求证：△ABC ≌△DFE ；（2）连接AF 、BD ，求证：四边形ABDF 是平行四边形．证明：（1）∵BE ＝FC ，∴BC ＝EF ，在△ABC 和△DFE 中，，∴△ABC≌△DFE（SSS）；（2）解：如图所示：由（1）知△ABC≌△DFE，∴∠ABC＝∠DFE，∴AB∥DF，∵AB＝DF，∴四边形ABDF是平行四边形．9．【2020年陕西省西安市碑林区西北工业大学附属中学中考数学四模试题】如图，菱形ABCD中，点E是边AD上一点，延长AB至点F，使BF＝AE，连结BE，CF．求证：BE＝CF．【答案】证明见解析【解析】【分析】由菱形的性质得出AD∥BC，AB=BC，得出∠A=∠CBF，证明△ABE≌△BCF（SAS），即可得出BE=CF．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB=BC，∴∠A=∠CBF．在△ABE和△BCF中，∵AE=BF，∠A=∠CBF，AB=BC，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴BE=CF．点睛：本题考查了菱形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．10．【2020年陕西省西安市益新中学中考数学二模试题】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，过点B作BE∥CD，过点C作CE∥AB，BE，CE相交于点E．求证：四边形BDCE是菱形．【答案】见解析【解析】【分析】先证四边形BDCE是平行四边形，再证CD＝BD，即可证明是菱形.【详解】证明：∵BE∥CD，CE∥AB，∴四边形BDCE是平行四边形，∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，∴CD＝BD，∴平行四边形BDCE是菱形．【点睛】本题是对菱形判定的考查，熟练掌握菱形的判定是解决本题的关键.11．【江苏省扬州中学教育集团树人学校2020届九年级5月模拟数学试题】如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F．（1）求证：（1）△AEB≌△CFD；（2）当∠ABE= 度时，四边形BEDF是菱形．【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠ABD=∠CDB，∵BE平分∠ABD、DF平分∠BDC，∴∠EBD=12∠ABD，∠FDB=12∠BDC，∴∠EBA=∠FDC，又∵AD∥BC，∠A =∠C, AB=DC ∴△AEB≌△CFD；（2）当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形. 12．【江苏省徐州市2020年中考模拟试卷数学试题A】【解析】13．【2020年陕西省西安市碑林区西北工业大学附属中学中考数学四模试题】问题提出（1）如图①，在△ABC中，BC＝6，D为BC上一点，AD＝4，则△ABC面积的最大值是．问题探究（2）如图②，已知矩形ABCD的周长为12，求矩形ABCD面积的最大值．问题解决（3）如图③，△ABC是葛叔叔家的菜地示意图，其中AB＝30米，BC＝40米，AC＝50米，现在他想利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形ABCD，且满足∠ADC＝60°．你认为葛叔叔的想法能否实现？若能，求出这个四边形鱼塘周长的最大值；若不能，请说明理由．【答案】（1）12；（2）9；（3）能实现；170（米）．【解析】【分析】（1）当AD⊥BC时，△ABC的面积最大．（2）由题意矩形邻边之和为6，设矩形的一边为m，另一边为6﹣m，可得S＝m（6﹣m）＝﹣（m ﹣3）2+9，利用二次函数的性质解决问题即可．（3）由题意，AC＝100，∠ADC＝60°，即点D在优弧ADC上运动，当点D运动到优弧ADC的中点时，四边形鱼塘面积和周长达到最大值，此时△ACD为等边三角形，计算出△ADC的面积和AD 的长即可得出这个四边形鱼塘面积和周长的最大值．【详解】（1）如图①中，∵BC＝6，AD＝4，∴当AD⊥BC时，△ABC的面积最大，最大值＝12×6×4＝12．故答案为12．（2）∵矩形的周长为12，∴邻边之和为6，设矩形的一边为m，另一边为6﹣m，∴S＝m（6﹣m）＝﹣（m﹣3）2+9，∵﹣1＜0，∴m＝3时，S有最大值，最大值为9．（3）如图③中，∵AC＝50米，AB＝40米，BC＝30米，∴AC2＝AB2+BC2∴∠ABC＝90°，作△AOC，使得∠AOC＝120°，OA＝OC，以O为圆心，OA长为半径画⊙O，∵∠ADC＝60°，∴点D在优弧ADC上运动，当点D是优弧ADC的中点时，四边形ABCD面积取得最大值，设D′是优弧ADC上任意一点，连接AD′，CD′，延长CD′到F，使得D′F＝D′A，连接AF，则∠AFC＝30°＝12∠ADC，∴点F在D为圆心DA为半径的圆上，∴DF＝DA，∵DF+DC≥CF，∴DA+DC≥D′A+D′C，∴DA+DC+AC≥D′A+D′C+AC，∴此时四边形ADCB的周长最大，最大值＝40+30+50+50＝170（米）．答：这个四边形鱼塘周长的最大值为170（米）．【点睛】本题主要是最大值的考查，求最大值，常用方法为：（1）利用平方为非负的性质求解；（2）利用三角形两边之和大于第三边求解，在求解过程中，关键在与将要求解的线段集中到一个三角形中.考点11圆1．【2020年福建省福州市一中中考数学一模试卷（5月）】如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4，BD为⊙O的直径，则BD等于（）A ．4B ．6C ．8D ．12解：∵∠BAC=120°，AB=AC=4∴∠C=∠ABC=30°∴∠D=30°∵BD 是直径∴∠BAD=90°∴BD=2AB=8．故选：C ．2．【2020年陕西省西安交通大学附属中学中考数学四模试题】如图，半径为5的⊙O 中，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，AB ＝8，F 是»BD上一点，连接AF ，DF ，则tan ∠F 的值为（ ）A. 58B. 45C.D. 2【答案】D【解析】【分析】连接OB 、BD ，如图，根据垂径定理得到AE=BE=4，则利用勾股定理可计算出OE=3，接着在Rt△BDE 中根据正切的定义得到tan ∠DBE=2，然后根据圆周角定理即可得到tan ∠F 的值．【详解】连接OB 、BD ，如图，△CD 是△O 的直径，弦AB △CD ，△AE ＝BE ＝12AB ＝4，在Rt△OBE 中，OE 3，在Rt△BDE 中，tan△DBE ＝DE BE ＝354+＝2， △△F ＝△ABD ，△tan△F ＝2．故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和勾股定理．3．【2020年河南省新乡市中考数学评价测试题】如图，AC BC ⊥，8AC BC ==，以BC 为直径作半圆，圆心为点O ；以点C 为圆心，BC 为半径作»AB ，过点O 作AC 的平行线交两弧于点D 、E ，则图中阴影部分的面积是（ ）A. 203π-B. 203π+C. 203πD. 203π 【答案】A【解析】【分析】如图，连接CE ．图中S 阴影＝S 扇形BCE −S 扇形BOD −S △OCE ．根据已知条件易求得OB ＝OC ＝OD ＝4，BC＝CE ＝8，∠ECB ＝60°，OE ＝，所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可． 详解】解：如图，连接CE ．∵AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝8，以BC 为直径作半圆，圆心为点O ；以点C 为圆心，BC 为半径作弧AB ， ∴∠ACB ＝90°，OB ＝OC ＝OD ＝4，BC ＝CE ＝8．又∵OE ∥AC ，∴∠ACB ＝∠COE ＝90°．∴在Rt △OEC 中，OC ＝4，CE ＝8，∴∠CEO ＝30°，∠ECB ＝60°，OE ＝∴S 阴影＝S 扇形BCE −S 扇形BOD −S △OCE＝2260811-4-436042ππ⨯⨯⨯⨯=203π故选：A ．【点睛】本题考查了扇形面积的计算．不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算．4．【四川省巴中市2020届九年级5月模拟考试数学试题】【答案】D5．【2020年陕西省西安市碑林区西北工业大学附属中学中考数学四模试题】如图，在⊙O 中，弦AB 垂直平分半径OC ，垂足为D ．若点P 是⊙O 上异于点A ，B 的任意一点，则∠APB=（ ）A. 30°或60°B. 60°或150°C. 30°或150°D. 60°或120°【答案】D【解析】【分析】利用垂径定理及已知可得到∠OAD=30°，再求出∠AOB的度数，再分情况讨论：当点P在优弧AB 上时，利用圆周角定理就可取出∠P的度数；当点P在劣弧上时，利用圆内接四边形的对角互补，就可求出∠AP1B的度数．【详解】连接OA，OB，∵弦AB垂直平分半径OC∴OD=12 OA，∴∠OAD=30°，∵OA=OB∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-30°-30°=120°；当点P在优弧AB上时∠APB=12∠AOB=12×120°=60°；当点P在劣弧上时，∠APB+∠AP1B=180°∴∠AP 1B=180°-60°=120°．∴∠APB=120°或60°．故答案为：D ．【点睛】此题考查了垂径定理，以及圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．6．【2020年陕西省西安市益新中学中考数学二模试题】如图，已知o OBA 20∠=，且OC=AC 则∠BOC 的度数是( )A. 70°B. 80°C. 40°D. 60°【答案】B【解析】【分析】 先根据等腰三角形得出OAB ∠的度数，再证的AOC ∆是等边三角形，最后根据圆周角定理求解即可.【详解】连接OA ，∵o OBA 20∠=，OB OA =∴o OAB=OBA 20∠∠=∵AC OC =且OC OA =∴AOC ∆是等边三角形∴6OA 0C ∠=︒∴BA OA OAB 60204=0C C =-︒-∠︒=∠∠︒∴=2=80BOC BAC ∠∠︒故选B.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质，圆周角定理，正确作出辅∆是等边三角形是解本题的关键.助线证出AOC7．【四川省巴中市2020届九年级5月模拟考试数学试题】【答案】8．【江苏省扬州中学教育集团树人学校2020届九年级5月模拟数学试题】如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为__________．60【答案】π9．【2020年江苏省常州市中考数学5月模拟试题】如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC．若∠A＝36°，则∠C=______．【答案】27o【解析】【详解】解：设AC与⊙O的另一交点为D，连接BD，则∠DBC=90°，设∠C=x，则∠ABD=x，∠BDC=∠A+∠DBA=36°+x；∵∠CDB+∠C=90°，∴36°+x+x=90°，解得x=27°10．【2020年福建省福州市一中中考数学一模试卷（5月）】如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形ACB内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积为（结果保留π）．解：在Rt△ACB中，∵AC＝BC＝2，∴AB＝＝2，∵BC是半圆的直径，∴∠CDB＝90°，在等腰Rt△ACB中，∵CD垂直平分AB，CD＝BD＝，∴D为半圆的中点，S阴影部分＝S扇形ACB﹣S△ADC＝π×22﹣×（）2＝π﹣1．故答案为：π﹣1．11．【2020年吉林省长春市中考第一次（5月）模拟数学试题】解：（1）如图，连结OD．∵⊙O 与边BC 相切于点D ，∴OD ⊥BC ，∴∠ODB =90°．∵∠C =90°，∴∠C =∠ODB =90°．∴OD ∥AC ．∴∠CAD =∠ODA ．∵OA =OD ，∴∠OAD =∠ODA ．∴∠OAD =∠CAD ． ∴AD 平分∠BAC ．（2）如图，连结OF ．∵AD 平分∠BAC ，且∠CAD =25°，∴50CAB ∠=︒∴∠EOF =100°．∴»EF 的长为10051809⨯π=π．12．【四川省巴中市2020届九年级5月模拟考试数学试题】【解析】13．【江苏省扬州中学教育集团树人学校2020届九年级5月模拟数学试题】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心， OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F．（1）求证：CD与⊙O相切；（2）若BF=24,OE=5，求tan∠ABC的值．【解析】（1）过点O作OG⊥DC垂足为G ∴AD∥BC， AE⊥BC于E ∴AO⊥AD，∴∠OAD=∠OGD=90O, △AOD和△ODG中, DF平分∠BDC，∠OAD=∠OGD, ∠ADO=∠GDO, OD=OD,∴△AEB≌△CFD，∴OA=OG, ∴CD与Oe相切.（2）如图所示：连接OF．∵OA⊥BC，∴BE=EF=12BF=12．在Rt△OEF中，OE=5，EF=12，∴．∴AE=OA+OE=13+5=18．∴tan∠ABC=AEBE=32．14．【福建省漳州市双十学校2019_2020学年九年级线上教学阶段考试数学测试题】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是»AC的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若DH＝9，tan C＝34，求直径AB的长．【答案】（1）AE是e O的切线.（2）AB=20.【解析】【分析】（1）根据题意可知OA=OC，然后根据三线合一，可得OE⊥AC，最后根据圆周角定理，进而作出证明即可.（2）根据锐角三角函数，求出HF的长，然后根据相似三角形的判定，证明△DFH∽△CFD，接着根据相似三角形的性质，可求出AF、CF的长，进而用勾股定理即可求解.【详解】（1）连接OC∵D是»AC的中点，∴∠AOD=∠COD∵OA=OC∴OE⊥AC∴∠AFE=90°∴∠E+∠EAF=90°∵∠AOE=2∠C，∠CAE=2∠C ∴∠CAE=∠AOE∴∠E+∠AOE=90°∴∠EAO=90°∴AE是e O的切线. （2）∵∠C=∠B∵OD=OB∴∠B=∠ODB∴∠ODB=∠C∴sinC=sin∠ODB=HF HF3== DH95∴HF=27 5由勾股定理得：DF=36 5∵∠C=∠FDH，∠DFH=∠CFD ∴△DFH∽△CFD∴DF FH= CF DF∴CF=48 5∴AF=CF=48 5设OA=OD=x∴OF=x-36 5∵AF2+OF2=OA2∴222 4836x=x 55⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得x=10∴OA=10∴AB=20.【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数、圆的切线和基本性质，熟练掌握相关性质是解题的关键.15．【2020年陕西省西安市碑林区西北工业大学附属中学中考数学四模试题】如图，已知⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝8，．过点B作⊙O的切线BD，过点A作AD⊥BD，垂足为D．（1）求证：∠BAD+∠C＝90°（2）求线段AD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）325．【解析】【分析】（1）由弦切角等于同弧所对的圆周角得：∠C＝∠ABD，再根据直角三角形两锐角互余得出结论；（2）作弦心距，由勾股定理得：OE＝3，再证明△OEB∽△BDA，列比例式可以求AD的长．【详解】：（1）∵BD为⊙O的切线，∴∠C＝∠ABD，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠C+∠BAD＝90°，（2）连接OB，过O作OE⊥AB于E，∴AE＝BE＝12AB＝4，由勾股定理得：OE3，∵BD为⊙O的切线，∴OB⊥BD，∴∠OBD＝90°，∵∠ADB＝90°，∴AD∥OB，∴∠DAB＝∠ABO，∵∠D＝∠OEB＝90°，∴△OEB∽△BDA，∴BE OB AD AB=，∴458 AD=，∴AD＝325；则线段AD的长为325．【点睛】本题考查了切线的性质和垂径定理、以及三角形的外接圆，是常考题型，熟练掌握切线的性质和垂径定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．16．【2020年陕西省西安市益新中学中考数学二模试题】如图，AB是⊙O的直径，点C、E在⊙O上，∠B=2∠ACE，在BA的延长线上有一点P，使得∠P=∠BAC，弦CE交AB于点F，连接AE．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）若AF=2，AE=EF，求OA的长．【答案】（1）见解析；（2）OA=5【解析】【分析】（1）连接OE，根据圆周角定理得到∠AOE=∠B，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，求得∠OEP=90°，于是得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到∠OAE=∠OEA，∠EAF=∠AFE，再根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）连接OE，∴∠AOE=2∠ACE，∵∠B=2∠ACE，∴∠AOE=∠B，∵∠P=∠BAC，∴∠ACB=∠OEP，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠OEP=90°，∴PE是⊙O的切线；（2）∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∵AE=EF，∴∠EAF=∠AFE，∴∠OAE=∠OEA=∠EAF=∠AFE，∴△AEF∽△AOE，∴AE AF OA AE，∵AF=2，AE=EF，∴OA=5．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，切线的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．17．【2020年福建省福州市一中中考数学一模试卷（5月）】如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是BC边上的高线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB为⊙O的直径．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）当BE＝3，cos C＝时，求⊙O的半径．解：（1）连结OM．∵BM平分∠ABC∴∠1＝∠2 又OM＝OB∴∠2＝∠3∴OM∥BC∵AE是BC边上的高线∴AE⊥BC，∴AM⊥OM∴AM是⊙O的切线（2）∵AB＝AC∴∠ABC＝∠C，AE⊥BC，∴E是BC中点∴EC＝BE＝3∵cos C＝＝∴AC＝EC＝∵OM∥BC，∠AOM＝∠ABE ∴△AOM∽△ABE∴又∵∠ABC＝∠C∴∠AOM＝∠C在Rt△AOM中cos∠AOM＝cos C＝，∴∴AO＝AB＝+OB＝而AB＝AC＝∴＝∴OM＝∴⊙O的半径是18．【2020年陕西省西安交通大学附属中学中考数学四模试题】如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E，与⊙O相交于点F，连接BF．（1）求证：BD＝BE；（2）若DE＝2，BD＝AE的长．【答案】（1）见解析；（2）AE＝18．【解析】【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再根据切线的性质得∠ABD=90°，则∠BAD+∠D=90°，然后利用等量代换证明∠BED=∠D，从而判断BD=BE；（2）利用圆周角定理得到∠AFB=90°，则根据等腰三角形的性质DF=EF=12DE=1，再证明△DFB∽△DBA，利用相似比求出AD的长，然后计算AD-DE即可．【详解】（1）证明：△AB是△O的直径，△△ACB＝90°，△△CAE+△CEA＝90°，而△BED＝△CEA，△△CAE+△BED＝90°，△BD是△O切线，△BD△AB，△△ABD＝90°，△△BAD+△D＝90°，又△AF平分△CAB，△△CAE＝△BAD，△△BED＝△D，△BD＝BE；（2）解：△AB为直径，△△AFB＝90°，且BE＝BD，△DF＝EF＝12DE＝1，△△FDB＝△BDA，△△DFB△△DBA，△BDDA=DFBD，△DA＝20，△AE＝AD﹣DE＝20﹣2＝18．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．19．【2020年河南省新乡市中考数学评价测试题】已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BD于点F，交⊙O于点D，AC与BD交于点G，点E为OC的延长线上一点，且∠OEB＝∠ACD．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）求证：CD2＝CG•CA；（3）若⊙O的半径为52，BG的长为154，求tan∠CAB．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）tan∠CAB＝34．【解析】【分析】（1）由∠OEB＝∠ACD，∠ACD＝∠ABD知∠OEB＝∠ABD，由OF⊥BD知∠BFE＝90°，即∠OEB ＋∠EBF＝90°，从而得∠ABD＋∠EBF＝90°，据此即可得证；（2）连接AD，证△DCG∽△ACD即可得；（3）先证△CDF∽△GCF得GF CGCF CD=，再证△DCG∽△ABG得CG BGCD AB=，据此知GF BGCF AB=，由r＝52，BG＝154知AB＝2r＝5，根据tan∠CAB＝tan∠ACO＝GF BGCF AB=可得答案．【详解】（1）∵∠OEB＝∠ACD，∠ACD＝∠ABD，∴∠OEB＝∠ABD，∵OF⊥BD，∴∠BFE＝90°，∴∠OEB+∠EBF＝90°，∴∠ABD+∠EBF＝90°，即∠OBE＝90°，∴BE⊥OB，∴BE是⊙O的切线；（2）连接AD，∵OF⊥BD，∴»»CD BC=，∴∠DAC＝∠CDB，∵∠DCG＝∠ACD，∴△DCG∽△ACD，∴CD CG AC CD=，∴CD2＝AC•CG；（3）∵OA＝OB，∴∠CAO＝∠ACO，∵∠CDB＝∠CAO，∴∠ACO＝∠CDB，而∠CFD＝∠GFC，∴△CDF∽△GCF，∴GF CG CF CD=，又∵∠CDB＝∠CAB，∠DCA＝∠DBA，∴△DCG∽△ABG，∴CG BG CD AB=，∴GF BG CF AB=，∵r＝52，BG＝154，∴AB＝2r＝5，∴tan∠CAB＝tan∠ACO＝GF BGCF AB=＝34．【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、相似三角形的判定与性质、圆的切线的判定等知识点．考点12 图形的变化1．【2020年陕西省西安交通大学附属中学中考数学四模试题】如图是某个几何体的表面展开图，则这个几何体是（ ）A. 长方体B. 三棱柱C. 三棱锥D. 四棱锥【答案】B【解析】【分析】 侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱．【详解】观察图形可知，展开图是由三个全等的矩形，和两个全等的三角形构成，符合三棱柱的展开图特征，△这个几何体三棱柱．故选：B ．【点睛】本题考查的是三棱柱的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．2．【2020年福建省福州市一中中考数学一模试卷（5月）】如图是由七个相同的小正方体堆成的物体，这个物体的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．解：从上面看，下面一行第1列只有1个正方形，上面一行横排3个正方形．是故选：C．3．【四川省巴中市2020届九年级5月模拟考试数学试题】【答案】C4．【江苏省扬州中学教育集团树人学校2020届九年级5月模拟数学试题】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形 B．平行四边形 C．等腰直角三角形 D．正六边形【答案】D5．【2020年江苏省常州市中考数学5月模拟试题】下列汽车标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．故选C．考点：中心对称图形；轴对称图形．6．【2020年吉林省长春市中考第一次（5月）模拟数学试题】【答案】D7．【2020年河南省新乡市中考数学评价测试题】如图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积等于()A. 112B. 136C. 124D. 84【答案】B【解析】试题解析：该几何体是三棱柱.如图：3=，326⨯=，全面积为：164257267247042136.2⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯=++=故该几何体的全面积等于136．故选B.8．【2020年河南省新乡市中考数学评价测试题】如图，在▱ABCO中，A（1，2），B（5，2），将▱ABCO绕O点逆时针方向旋转90°到▱A′B′C′O的位置，则点B′的坐标是（）A. （﹣2，4）B. （﹣2，5）C. （﹣1，5）D. （﹣1，4）【答案】B【解析】【分析】根据旋转的性质证明△BOD≌△B’OD’得到OD=OD’,BD=B’D’即可求出B’坐标．【详解】∵将▱ABCO绕O点逆时针方向旋转90°到▱A′B′C′O的位置，∴∠BOB’=90°∴∠BOD’+∠B’OD’=90°又∠BOD’+∠BOD=90°∴∠BOD=∠B’OD’作BD⊥x轴，B’D’⊥y轴，∴∠BDO=∠B’ D’O=90°又BO=B’O∴△BOD≌△B’OD’∴OD=OD’=5，BD=B’D’=2∴点B′的坐标是：（﹣2，5）．故选：B．【点睛】此题主要考查了旋转的性质，正确掌握平全等三角形的判定是解题关键．9．【四川省巴中市2020届九年级5月模拟考试数学试题】【答案】A10．【江苏省徐州市2020年中考模拟试卷数学试题A】【答案】11．【江苏省盐城市建湖县2020届九年级第一次模拟考试数学试题】【答案】12．【2020年江苏省常州市中考数学5月模拟试题】如图，在ABC V 中，5,6AB AC BC ===，将ABC V 绕点B 逆时针旋转60︒得到',A BC 'V 连接'A C ，则'A C 的长为_______．【答案】4+【解析】【分析】连结CC′，A′C 交BC 于O 点，如图，利用旋转的性质得BC=BC′=6，∠CBC′=60°，A′B=AB=AC=A′C′=5，则可判断△BCC′为等边三角形，接着利用线段垂直平分线定理的逆定理说明A′C 垂直平分BC'，则1'32BO BC ==，然后利用勾股定理计算出A′O ，CO ，即可求解． 【详解】解：连结','CC A C 交BC 于点，如图ABC ∆Q 绕点B 逆时针旋转60︒得到'''A B C ∆'6BC BC ∴==，'60CBC ︒∠=，''5,A B AB AC A C ===='BCC ∴∆为等边三角形，'CB CB ∴=而''',A B A C ='A C ∴垂直平分',B C1'32BO BC ∴== 在'Rt A OB ∆中，'4A O ==在Rt OBC ∆中，sin sin 60OC t CBO BC ︒∠==Q62OC ∴=⨯=''4A C A O OC ∴=+=+故答案为：4+【点睛】此题考查旋转的性质，等边三角形的性质，解题的关键是证明△BCC′为等边三角形和A′C ⊥BC′．13．【2020年陕西省西安交通大学附属中学中考数学四模试题】如图，将矩形ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又不重叠的四边形EFGH ，若EH ＝4，EF ＝5，那么线段AD 与AB 的比等于_____．【答案】4140． 【解析】【分析】先根据图形翻折的性质可得到四边形EFGH是矩形，由“AAS”可证Rt△AHE≌Rt△CFG，可得AH=CF=FN，再由勾股定理及直角三角形的面积公式求出AD，AB的长，即可求解．【详解】如图：由折叠的性质可得：△1＝△2，△3＝△4，AE＝EM＝BE，DH＝HN，CF＝FN，△△2+△3＝90°，△△HEF＝90°，同理四边形EFGH的其它内角都是90°，△四边形EFGH是矩形．△EH＝FG；又△△1+△4＝90°，△4+△5＝90°，△△1＝△5，同理△5＝△7＝△8，△△1＝△8，△Rt△AHE△Rt△CFG（AAS），△AH＝CF＝FN，又△HD＝HN，△AD＝HF，在Rt△HEF中，EH＝4，EF＝5，根据勾股定理得HF AD，△S△EFH＝12×EF×EH＝12×HF×EM，△EM＝41，△AB＝2AE＝2EM＝41，△AD：AB＝41：40＝41 40，故答案为：41 40．【点睛】本题考查的是图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，折叠以后的图形与原图形全等．14．【2020年江苏省常州市中考数学5月模拟试题】图l、图2分别是7×6的网格，网格中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上．请在网格中按照下列要求画出图形：（1）在图1中以AB为边作四边形ABCD （点C、D在小正方形的顶点上），使得四边形ABCD是中心对称图形，且△ABD为轴对称图形（画出一个即可）；（2）在图2中以AB为边作四边形ABEF （点E、F在小正方形的顶点上），使得四边形ABEF中心对称图形但不是轴对称图形，且tan∠FAB=3【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据中心对称图形和轴对称图形的性质画出即可；（2）tan∠FAB=3只需把∠FAB放到直角三角形中，再根据中心对称图形的性质画出即可.【详解】（1）如图1所示：（2）如图2所示：考点：中心对称图形、轴对称图形、三角函数.。
考点01 图形的旋转-2021届九年级《新题速递·数学》(人教版)(解析版)
考点01 图形的旋转1．（江苏省无锡市丁蜀中学2020-2021学年第一次阶段性测验数学试题）经过以下变化后所得到的三角形不能和ABC 全等的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵平移、旋转，翻折前后的三角形全等， ∵选项A 、B 、C 不符合题意，【点睛】本题主要考查全等三角形、平移、旋转、翻折的知识，熟练掌握相关定义是关键．2．（2020年江西省初中名校联盟九年级质量监测（一）数学试题）如图，在ABC 中，90ACB ︒∠=，将ABC 绕点C 逆时针旋转θ角到DEC 的位置，这时点B 恰好落在边DE 的中点，则旋转角θ的度数为（ ）．A ．60︒B ．45︒C ．30D ．55︒A 【答案】A【解析】∵点B 恰好落在边DE 中点上，90ECD ACB ︒∠=∠=， ∵EB=CB ，由旋转的性质可得EC CB =，ECB θ∠= ∵EB CB EC == ∵EBC 是等边三角形， ∵60ECB θ︒∠==．故选A ．【点睛】此题考查的是直角三角形的性质、旋转的性质和等边三角形的判定及性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、旋转的性质和等边三角形的判定及性质是解决此题的关键．3．(2019年山东省潍坊诸城市九年级中考三模数学试题)如图，ABC ∆中，2AC BC ==，90ACB ∠=︒，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转60︒得到ADE ∆，连接BE ，则线段BE 的长等于（ ）A．8-BC ．1D【答案】B【解析】如图所示，连接BD ，延长BE 交AD 于点F ， 由旋转可知：AB=AD ，∵BAD=60°， ∵∵ABD 是等边三角形， ∵∵BDA=60°，AB=BD ， 又∵∵BAC=∵ADE=45°， ∵∵BDE=∵BAE=60°-45°=15°， ∵在∵ABE 与∵DBE 中，AB BD BAE BDE AE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∵∵ABE∵∵DBE （SAS ） ∵∵ABE=∵DBE∵BF∵AD ，点F 为AD 中点， 又∵AC=BC=2，∵EF=12AD =∵BE=BF -故答案为：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形、等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用旋转的性质构造等边三角形进行解答．4．（2020年山东省枣庄市九年级中考三模数学试题）如图，平面直角坐标系中，点B 在第一象限，点A 在x 轴的正半轴上，30AOB B ∠=∠=︒，2OA =，将AOB ∆绕点O 逆时针旋转90︒，点B 的对应点B '的坐标是（ ）A ．(1,2-+B ．()C ．(2D ．(-【答案】B【解析】如图，作B H y '⊥轴于H ．由题意：2OA A B '''==，60B A H ''∠=︒，∴30A B H ''∠=︒， ∴112AH A B '''==，B H '= ∴3OH =，∴()B '，故选B ．【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．5．（浙江省绍兴市三校联考2020-2021学年九年级上学期第一次月考数学试题）如图，在ABC ∆中，108BAC ∠=︒，将ABC ∆绕点A 按逆时针方向旋转得到AB C ''∆．若点B '恰好落在BC 边上，且AB CB ''=，则C '∠的度数为（ ）A ．18︒B ．20︒C ．24︒D ．28︒【答案】C【解析】解：设C '∠=x°.根据旋转的性质，得∵C=∵'C = x°，'AC =AC, 'AB =AB. ∵∵'AB B =∵B.∵AB CB ''=，∵∵C=∵CA 'B =x°. ∵∵'AB B =∵C+∵CA 'B =2x°. ∵∵B=2x°.∵∵C+∵B+∵CAB=180°，108BAC ∠=︒， ∵x+2x+108=180. 解得x=24.∵C '∠的度数为24°. 故选：C.【点睛】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质的应用及等腰三角形得性质.6．（江苏省江阴市长寿中学2020-2021学年八年级10月阶段性检测数学试题）如图，∵AOB 中，∵B=30°，将∵AOB 绕点O 顺时针旋转得到∵A′OB′，若∵A′=40°，则∵B′= °，∵AOB= ．【答案】30°，110°【解析】∵∵AOB中，∵B=30°，将∵AOB绕点O顺时针旋转得到∵A′OB′，∵A′=40°，∵∵B=∵B′=30°，∵A′=∵A=40°，则∵B′=30°，∵AOB=180°-∵A-∵B=110°．故答案为30，110．【点睛】：旋转的变换7．（2020年甘肃省天水市麦积区九年级中考模拟数学试题）如图所示，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转35°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD＝90°，则∠BOC的度数是_____．【答案】35°【解析】解：∵∵COD是∵AOB绕点O顺时针方向旋转35°后所得的图形，∵∵AOC＝∵BOD＝35°，∵∵AOD＝90°，∵∵BOC＝20°．故答案为：20°．【点睛】本题考查了旋转变换的性质，属于基础题型，熟练掌握旋转的性质是解题关键．8．（江苏省无锡市敔山湾中学2020-2021学年八年级上学期第一次阶段性测验数学试题）如图，在Rt△ACB 中，∠ACB=90°，点O在AB上，且CA=CO=2，AB=6，若将△ACB绕点A顺时针旋转得到Rt△△AB′C′，且C′落在CO的延长线上，连接B B′交CO的延长线于点F，则BF=__________．【答案】143．【解析】解：过C作CD∵AB于点D，∵CA=CO，∵AD=DO，∵在Rt∵ACB中，AB=6，AC=2，∵BC= =，∵1122ABCS AB CD AC BC =⋅=⋅∵116222CD⨯⋅=⨯⨯，=23，∵OA=2AD=43，∵OB=AB-OA=6-43=143，∵∵AC′B′是由∵ACB旋转得到，∵AC=AC′，AB=AB′，∵CAC′=∵BAB′，∵∵ACC′=12（180°-∵CAC′），∵ABB′=12（180°-∵BAB′），∵∵ABB′=∵ACC′，∵在∵CAO和∵BFO中，∵BFO=∵CAO，∵CA=CO，∵∵COA=∵CAO，又∵∵COA=∵BOF（对顶角相等），∵∵BOF=∵BFO ，∵BF=BO=143． 故答案为：143．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形三线合一的性质，根据三角形面积公式求出CD 的值是突破口．9．（黑龙江省齐齐哈尔市第五十三中学校2020-2021学年九年级上学期第一次月考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，将ABO ∆绕点A 顺时针旋转到11AB C ∆的位置，点B 、O 分别落在点1B 、1C 处，点1B 在X 轴上，再将11AB C ∆绕点1B 顺时针旋转到112A B C ∆的位置，点2C 在x 轴上，将112A B C ∆绕点2C 顺时针旋转到222A B C ∆的位置，点2A 在x 轴上，依次进行下去，…若点()3,02A ，()0,2B ，则点2019B 的坐标为_____________．【答案】（6058，0） 【解析】由题意可得：∵AO=32，BO=2，52=， ∵OA+AB1+B1C2=32+52+2=6，∵B2的横坐标为：6，B4的横坐标为：2×6=12， ∵点B2018的横坐标为：20182×6=6054． ∵点2019B 的横坐标为：356054605822++=； ∵点2019B 的坐标为（6058，0）． 故答案为：（6058，0）．【点睛】此题主要考查了旋转的性质，勾股定理，点的坐标以及图形变化类，根据题意得出B 点横坐标变化规律是解题关键．10．（2019年山东省泰安市岱岳区中考第三次模拟数学试题）如图，点1A 的坐标为()1,0， 2A 在y 轴的正半轴上，且1230A A O ∠=︒，过点2A 作2312A A A A ⊥，垂足为2A ，交x 轴于点3A ；过点3A 作3423A A A A ⊥，垂足为3A ，交y 轴于点4A ；过点4A 作4534A A A A ⊥，垂足为4A ，交x 轴于点5A ；过点5A 作5654A A A A ⊥．垂足为5A ，交x 轴于点6A ，按此规律进行下去，则点2019A 的坐标为____________【答案】A2019[-2018，0] 【解析】∵∵A1A2O=30°，OA1=1，∵点A2的坐标为(0，同理，A3(-3，0)，A4(0，-，A5(9，0)，A6(0，，A7(-27，0)，…，即A1(1，0)，A2[0，，A3[-，0]，A4[0，-(，，0]…，∵序号除以4整除的话在y 轴的负半轴上，余数是1在x 轴的正半轴上，余数是2在y 轴的正半轴上，余数是3在x 轴的负半轴上， ∵2019÷4=504…3，∵A2019在x 轴的负半轴上，A2019[-，0]． 【点睛】本题考查坐标与图形的性质、规律型题目，以及含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题．11.（四川省眉山市2020年中考数学试题）如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，2AB =．将ABC 绕点A 按顺时针方向旋转至11AB C △的位置，点1B 恰好落在边BC 的中点处，则1CC 的长为________．【答案】【解析】解：在Rt △ABC 中，∵BAC=90°，AB=2，将其进行顺时针旋转，1B 落在BC 的中点处， ∵111Rt A B C △是由Rt △ABC 旋转得到，∵1AB =AB=2，而1BC=2AB =4，根据勾股定理：， 又∵1AB =AB=2，且11BB =BC=22，∵1ABB △为等边三角形， ∵旋转角1BAB =60∠︒，∵1CAC =60∠︒，且1AC 1ACC △也是等边三角形，∵1CC故答案为：【点睛】本题主要考查了旋转性质的应用以及勾股定理的计算，解题的关键在于通过题中所给的条件，判断出图形旋转的度数，知道图形旋转的角度后，有关线段的长度也可求得．12．（湖南省邵阳市邵东市2019-2020学年七年级下学期期末数学试题）如图在边长为1的小正方形组成的网格中，△OAB 的顶点都在格点上．（1）请作出△OAB关于直线CD对称的△O1A1B1；（2）请将△OAB绕点B顺时针旋转90°，画出旋转后的△BO2A2．【答案】(1)见解析；（2）见解析．【解析】解：（1）如图所示，∵O1A1B1即为所求；（2）如图所示，∵BO2A2即为所求．【点睛】本题主要考查了利用旋转变换和轴对称变换进行作图，旋转作图时，决定图形位置的因素有旋转角度、旋转方向、旋转中心．画一个图形的轴对称图形时，先从一些特殊的对称点开始．13．（江苏省扬州市江都区邵樊片2020-2021学年九年级上学期第一次质量检测数学试题）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N 分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．【答案】（1）PM ＝PN ，PM∵PN ；（2）∵PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S∵PMN 最大＝492【解析】解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点， //PN BD ∴，12PN BD =， 点P ，M 是CD ，DE 的中点， //PM CE ∴，12PM CE =， AB AC =，AD AE =，BD CE ∴=，PM PN ∴=，//PN BD ，DPN ADC ∴∠=∠，//PM CE ，DPM DCA ∴∠=∠，90BAC ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，PM PN ∴⊥，故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形．由旋转知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =， 利用三角形的中位线得，12PN BD =，12PM CE =， PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE ，DPM DCE ∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，90BAC ∠=︒，90ACB ABC ∴∠+∠=︒，90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，MN ∴最大AM AN =+，连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，AM ∴=在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，AN =MN ∴==最大，22211114922242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大．方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，14BD AB AD ∴=+=，7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大． 【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大．14．（黑龙江省齐齐哈尔市第五十三中学校2020-2021学年九年级上学期第一次月考数学试题）综合与实践 实践操作：①如图1，ABC ∆是等边三角形，D 为BC 边上一个动点，将ACD ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到AEF ∆，连接CE ．②如图2，在ABC ∆中，AD BC ⊥于点D ，将ABD ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到AEF ∆，延长FE 与BC 交于点G ．③如图3，将图2中得到AEF ∆沿AE 再一次折叠得到AME ∆，连接MB ．问题解决：（1）小明在探索图1时发现四边形ABCE 是菱形．小明是这样想的：请根据小明的探索直接写出图1中线段CD，CF，AC之间的数量关系为：（2）猜想图2中四边形ADGF的形状，并说明理由；问题再探：（3）在图3中，若AD=6，BD=2，则MB的长为．【答案】（1）CD+CF=AC；（2）四边形ADGF为正方形；理由见解析；（3）【解析】解：（1）如图：由旋转得：∵DAF=60°=∵BAC，AD=AF，∵∵BAD=∵CAF，∵∵ABC是等边三角形，∵AB=AC，∵∵BAD∵∵CAF（SAS），∵∵ADB=∵AFC，BD=CF，∵∵ADC+∵ADB=∵AFC+∵AFE=180°，∵C、F、E在同一直线上，∵AC=BC=BD+CD=CF+CD，+=；故答案为：CD CF AC（2）四边形ADGF是正方形，理由如下：如图：∵Rt∵ABD绕点A逆时针旋转90°得到∵AEF，∵AF=AD，∵DAF=90°，∵AD∵BC，∵∵ADC=∵DAF=∵F=90°，∵四边形ADGF是矩形，∵AF=AD，∵四边形ADGF是正方形；（3）如图3，连接DE，∵四边形ADGF是正方形，∵DG=FG=AD=AF=6，∵∵ABD绕点A逆时针旋转90°，得到∵AEF，∵∵BAD=∵EAF，BD=EF=2，∵EG=FG-EF=6-2=4，∵将∵AFE沿AE折叠得到∵AME，∵∵MAE=∵FAE，AF=AM，∵∵BAD=∵EAM，∵∵BAD+∵DAM=∵EAM+∵DAM，即∵BAM=∵DAE，∵AF=AD，∵AM=AD，在∵BAM和∵EAD中，∵AM ADBAM DAEAB AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵BAM∵∵EAD（SAS），=故答案为：【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形和全等三角形的性质，依据图形的性质进行计算求解．。
最新中考数学总复习第一部分数与代数 第12讲 二次函数
10, 题25
数的
题22,
题25 题25 题25 题25
图象和性质
题25
题25
二次函数的 题12,4 题7,
平移
分
3分
返回
数学
二次函数的
解析式
(待定系数)
二次函数图
象的
顶点坐标、
对称轴
题
25(1),
2分
题7,3分
题
题
25(1),
25(3),
1分
1分
题
23(3),
2
2
∴k＝ 3 或 k＝2,即 k 的值为 2 或 3.
返回
数学
(3)∵函数的对称轴为直线 x＝2,当 m＜2 时,当 x＝m 时,y 有最大
4m
1
值, 3 ＝－ 3 (m－2)+3,解得 m＝± 5,∴m＝－ 5;
4m
当 m≥2 时,当 x＝2 时,y 有最大值,∴
3
9
＝3,∴m＝ .
4
9
综上所述,m 的值为－ 5或 4.
题
题23(1) 3分
23(2),
(2),6分 题
3分
25(3),
2分
题10,
3分
题
23(3),
1分
返回
数学
二次函数与一元
二次方程、不等
题
题25(1), 题10,3
题23(3),
25(1),
式
5分
分
4分
(与x轴的交点坐
2分
标)
题10,3分
题25(3), 题25(3), 题25(3), 题25(3),
A,B(－1,0)两点,则下列说法正确的是( D )
2020届九年级《新题速递·数学》5月第01期(考点01-03)
2020届九年级《新题速递·数学》考点01-03考点01 实数 P1 考点02 整式与因式分解 P6 考点03 分式与二次根式 P9考点01实数1．【2020年江苏省常州市中考数学5月模拟试题】﹣23的相反数是（ ） A. ﹣32 B. ﹣23C.23D.32【答案】C 【解析】分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 详解：-23的相反数是23． 故选C ．点睛：本题考查了相反数，关键是在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 2．【江苏省徐州市2020年中考模拟试卷数学试题A 】【答案】B3．【2020年陕西省西安交通大学附属中学中考数学四模试题】 下列各数不是无理数的是（ ）A.B.2C.D.【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数的定义逐项分析即可．【详解】A 是无理数，故不符合题意； B ．2π是无理数，故不符合题意；CD 3=，是整数，不是无理数，符合题意． 故选：D ．【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①π类，如2π，3π如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等． 4．【2020年福建省福州市一中中考数学一模试卷（5月）】﹣的绝对值是（ ） A ．B ．﹣C ．﹣D ．解：﹣的绝对值是． 故选：A ．5．【2020年陕西省西安市碑林区西北工业大学附属中学中考数学四模试题】 计算：（-3）×（- 13）=（ ） A. -1 B. 1C. -9D. 9【答案】B 【解析】 【分析】根据两数相乘，同号得正，把绝对值相乘，再进行计算． 【详解】解：1313⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭． 故答案为：B ．【点睛】此题主要考查了有理数的乘法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．6．【江苏省盐城市建湖县2020届九年级第一次模拟考试数学试题】【答案】D7．【2020年吉林省长春市中考第一次（5月）模拟数学试题】【答案】D8．【2020年吉林省长春市中考第一次（5月）模拟数学试题】【答案】B9．【2020年河南省新乡市中考数学评价测试题】下列各数中最小的是（）A. ﹣5B.C. 0D. ﹣π【答案】A【解析】【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断出各数中最小的是哪个即可．【详解】解：根据实数比较大小的方法，可得﹣5＜﹣π＜0∴各数中最小的是﹣5．故选A．【点睛】本题考查实数大小比较．10．【四川省巴中市2020届九年级5月模拟考试数学试题】【答案】A11．【2020年河南省新乡市中考数学评价测试题】计算: |2|-=_________．【答案】1, 【解析】 【分析】首先计算开方,把绝对值化简，然后从左向右依次计算,求值即可． 【详解】解：原式=3-2=1， 故答案为1．【点睛】本题考查了实数的运算，根据实数运算的法则和绝对值的性质对式子进行化简是解答本题的关键．12．【2020年江苏省常州市中考数学5月模拟试题】12 23-⎛⎫--= ⎪⎝⎭______．【答案】12【解析】 【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，负数的绝对值是正数，可化简各数，根据有理数的减法，可得答案． 【详解】解：原式31222=-=， 故答案为：12【点睛】此题考查负整数指数幂，绝对值，利用负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数是解题关键． 13．【福建省漳州市双十学校2019_2020学年九年级线上教学阶段考试数学测试题】计算：101(3)2π-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝_____．【答案】3． 【解析】【分析】根据0指数幂和负指数幂定义求解.【详解】11(3)2π-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=1+2=3 故答案为3【点睛】考核知识点：0指数幂和负指数幂.14．【2020年陕西省西安市益新中学中考数学二模试题】在实数117，-（-1），3π，313113113中，无理数有______个． 【答案】2 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】在所列实数中，无理数有π32个， 故答案为2．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 15．【四川省巴中市2020届九年级5月模拟考试数学试题】考点02整式与因式分解1．【2020年陕西省西安市益新中学中考数学二模试题】 20160的值为（ ）A. 0B. 1C. 2016D. ﹣2016【答案】B【解析】【分析】根据零次幂直接回答即可.【详解】解：20160＝1．故选：B．【点睛】本题是对零次幂的考查，熟练掌握零次幂知识是解决本题的关键.2．【2020年陕西省西安交通大学附属中学中考数学四模试题】下列各式中，计算结果为a7（）A. a6+aB. a2•a5C. （a3）4D. a14•a2【答案】B【解析】【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则逐一判断即可．【详解】A．a6与a不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；B．a2•a5＝a7，故本选项符合题意；C．（a3）4＝a12，故本选项不合题意；D．a14•a2＝a16，故本选项不合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．3．【四川省巴中市2020届九年级5月模拟考试数学试题】【答案】D4．【江苏省徐州市2020年中考模拟试卷数学试题A】【答案】A5．【2020年福建省福州市一中中考数学一模试卷（5月）】 因式分解：m 3n ﹣9mn= ．解：原式=mn （m 2﹣9）=mn （m+3）（m ﹣3）． 故答案为：mn （m+3）（m ﹣3）6．【福建省漳州市双十学校2019_2020学年九年级线上教学阶段考试数学测试题】 因式分解：21x -=________. 【答案】(1+x)(1-x) 【解析】 【分析】根据平方差公式即可得到答案.【详解】对21x -=用平方差公式，得22211(1)(1)x x x x -=-=+- 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法. 7．【2020年陕西省西安交通大学附属中学中考数学四模试题】 因式分解34x x -= ． 【答案】()()x x 2x 2-+- 【解析】试题分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式x -后继续应用平方差公式分解即可：()()()324x x x x 4x x 2x 2-=--=-+-．8．【2020年吉林省长春市中考第一次（5月）模拟数学试题】【答案】2)2(-b9．【江苏省徐州市2020年中考模拟试卷数学试题A 】【答案】10．【2020年吉林省长春市中考第一次（5月）模拟数学试题】解：原式222212241a a a a a =-+-++-）23a =．当a ，原式2315=⨯=．11．【2020年福建省福州市一中中考数学一模试卷（5月）】先化简，再求值：（x +2y ）（x ﹣2y ）+（20xy 3﹣8x 2y 2）÷4xy ，其中x ＝2019，y ＝2020． 解：原式＝x 2﹣4y 2+5y 2﹣2xy ＝x 2﹣2xy +y 2， ＝（x ﹣y ）2，当x ＝2018，y ＝2019时，原式＝（2019﹣2020）2＝（﹣1）2＝1． 12．【2020年江苏省常州市中考数学5月模拟试题】先化简，再求值：()()()2a b a b b b +-+-，其中2 1.5a b ==,． 【答案】22a b -，1 【解析】 【分析】先算乘法，再算加减，把a=2，b=1.5代入进行计算即可． 【详解】解：原式222222a b b b a b =-+-=- 当时2 1.5a b ==,，原式42 1.5431=-⨯=-=【点睛】此题考查整式的混合运算-化简求值，解题关键在于掌握在有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似. 考点03分式与二次根式1．【2020年福建省福州市一中中考数学一模试卷（5月）】 要使有意义，则字母x 应满足的条件是（ ）A ．x ＝2B ．x ＜2C ．x ≥2D ．x ≤2解：由题意得x ﹣2≥0， 解得x ≥2． 故选：C ．2．【福建省漳州市双十学校2019_2020学年九年级线上教学阶段考试数学测试题】+1的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间【答案】B 【解析】解：∵34<<，∴415<+<．故选B ．的取值范围是解题关键． 3． 【2020年吉林省长春市中考第一次（5月）模拟数学试题】【答案】24．【四川省巴中市2020届九年级5月模拟考试数学试题】【答案】5．【江苏省扬州中学教育集团树人学校2020届九年级5月模拟数学试题】当=x 时，分式3x 23x +-的值为零.【答案】36．【江苏省常州市新北区2020届九年级下学期教学情况调研测试数学试题】若a b =12，则a bb+= ▲ ．【答案】327．【四川省巴中市2020届九年级5月模拟考试数学试题】【答案】28．【2020年陕西省西安交通大学附属中学中考数学四模试题】计算：8×22-﹣|2|．【答案】﹣2． 【解析】 【分析】先算乘方、绝对值、二次根式的化简，再算乘法，然后算加减即可．【详解】原式＝8×14﹣(2)＝2﹣＝﹣2． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂和二次根式的运算法则是解答本题的关键．9．【2020年陕西省西安市碑林区西北工业大学附属中学中考数学四模试题】计算：2(3)|2-+-【答案】7- 【解析】 【分析】先计算乘方，化简绝对值，计算算术平方根，再进行实数的加减混合运算即可解答.【详解】解：原式＝92－7【点睛】本题考查实数的混合运算，解题关键是熟练掌握绝对值的化简和算术平方根的意义. 10．【2020年陕西省西安市益新中学中考数学二模试题】12）﹣1﹣1|﹣1 【解析】 【分析】先化简二次根式和绝对值，计算负整数幂，然后再计算得出结果即可.【详解】解：原式＝﹣2﹣1）＝﹣2+1﹣1．【点睛】本题是对实数运算的考查，熟练掌握二次根式化简及负整数幂运算是解决本题的关键. 11．【2020年陕西省西安市碑林区西北工业大学附属中学中考数学四模试题】化简：（22739a a a +--﹣43a a ++）÷33a a +-． 【答案】269(3)a a ++【解析】【分析】根据分式的运算法则，先去括号，然后除一个数等于乘这个数的倒数即可． 【详解】解：原式＝（273(3)(3)a a a a +-+-﹣43a a ++）÷33a a +-． ＝2273(3)a a a +-+﹣2(4)(3)(3)a a a +-+ ＝269(3)a a ++【点睛】本题考查分式的除法，需要注意，在去括号时，括号中的每一项都要除后面的除数 12．【福建省漳州市双十学校2019_2020学年九年级线上教学阶段考试数学测试题】化简并求值:22222421a a aa a ⎛⎫-+-÷ ⎪⎝⎭，其中a =【答案】2a a -，1【解析】【分析】首先进行化简，在代入计算即可.【详解】原式222222224(2)(2)22(2)a a a a a a a a a a a a a a--+--=⨯=⨯=++当a =1== 【点睛】本题主要考查根式的化简，注意根式的分母不等为0，这是必考题，必须掌握. 13．【2020年陕西省西安市益新中学中考数学二模试题】先化简，再求值：22211111a a a a a ⎛⎫-++÷ ⎪-+⎝⎭，其中a =【答案】21a a + 【解析】【分析】先对括号内第一项因式分解同时将除法化为乘法，然后利用乘法分配律进行计算，再把结果相加，最后把a 的值代入计算即可．【详解】原式=2(1)1()(1)(1)(1)a a a a a-+++-g =11a a a+-+ =21a a+，当a =214．【2020年河南省新乡市中考数学评价测试题】 先化简，再求值：2532236x x x x x-⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭，其中x 满足2310x x +-=. 【答案】3.【解析】【分析】先将括号里面进行通分，然后对分子分母进行因式分解，最后约分得到最简形式，再由x 2+3x －1=0得到x 2+3x =1，将x 2+3x 整体带入化简后的式子求值.【详解】原式=()()2252x xx+---÷ ()332xx x--=292xx--×()323x xx--=()()332x xx+--×()323x xx--=3x2+9x，∵x2+3x－1=0，∴x2+3x=1，∴原式=3x2+9x=3（x2+3x）=3×1=3.【点睛】（1）掌握分式的化简；（2）掌握整体的思想.。
2020年湖北省武汉市九年级五月调考数学试卷 解析版
2020年湖北省武汉市九年级五月调考数学试卷一．选择题（共10小题）1．实数﹣的相反数是（）A．B．﹣C．2D．﹣22．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣2B．x≥﹣2C．x＜﹣2D．x≤﹣23．有五张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字1、2、3、4、5，从中同时抽取两张，则下列事件为随机事件的是（）A．两张卡片的数字之和等于1B．两张卡片的数字之和大于1C．两张卡片的数字之和等于9D．两张卡片的数字之和大于94．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．6．在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．k＜0B．k＞0C．k＜1D．k＞17．在学校举行的运动会上，帅童和胖何报名参加百米赛跑，预赛分A、B、C、D四组进行，运动员通过抽签来确定要参加的预赛小组，帅童和胖何恰好抽到同一组的概率是（）A．B．C．D．8．小明从家去上学，先步行一段路，因时间紧，他改骑共享单车，结果到学校时迟到了7min，其行驶的路程y（单位：m）的图象关系如图．若他出门时直接骑共享单车（两次骑车速度相同），则下列说法正确的是（）A．小明会迟到2 min到校B．小明刚好按时到校C．小明可以提前1 min到校D．小明可以提前2 min到校9．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，C是上一点，连接OC交AB于点D，过点C 作CE∥OA交AB于点E．若∠BOC＝30°，OB＝2，则CE的长是（）A．2﹣B．C．D．﹣110．古希腊数学家把1、3、6、10、15、21、…叫做三角形数，它有一定的规律性．若把第一个三角形记为a1，第二个三角形记为a2，…第n个三角形记为a n，则的值是（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）11．＝．12．为了参加中学生篮球联赛，某校篮球队准备购买10双运动鞋收集尺码，并整理如下统计表：尺码/cm2525.52626.527购买量/双12322则这组数据的中位数是．13．计算：＝．14．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接CD．若∠CDE＝78°，则∠BCD＝°．15．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）中的x与y的部分对应值如表：x﹣103y n﹣3﹣3当n＞0时，下列结论中一定正确的是．（填序号即可）①bc＞0；②当x＞2时，y的值随x值的增大而增大；③n＞4a；④当n＝1时，关于x的一元二次方程ax2+（b+1）x+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AC的中点，点E在BC上，分别连接BD、AE交于点F．若∠BFE＝45°，则CE＝．三．解答题（共8小题）17．计算：[6a2•a4﹣（2a3）2]÷a3．18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠CDA，BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠CDA交BC于点F，求证：BE∥DF．19．为提高学生身体素质，某校决定开展足球、篮球、排球、兵乓球等四项课外体育活动，要求全员参与，并且每名学生只能选择其中一项．为了解选择各种体育活动项目的学生人数，该校随机抽取了部分学生进行调查，并绘制出如下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：（1）直接写出这次抽样调查的学生人数；（2）补全条形统计图；（3）若该学校总人数是1500人，请估计选择篮球项目的学生约有多少人？20．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：（1）将边BC绕点C顺时针旋转90°得到线段CD；（2）画边AC的中点E；（3）连接DE并延长交BC于点F，直接写出的值；（4）在AB上画点G，连接FG，使FG∥CD．21．如图，⊙O过正方形ABCD的顶点A、D，且与BC相切于点M，⊙O分别交AB、CD 于E、F两点，连接MO并延长交AD于点N．（1）求证：AN＝DN；（2）连接BF交⊙O于点G，连接EG．若AD＝8，求EG的长．22．A城有肥料200t，B城有肥料300t．现要把这些肥料全部运往C、D两乡，C乡需要肥料240t，D乡需要肥料260t，其运往C、D两乡的运费如表：两城/两乡C/（元/t）D/（元/t）A2024B1517设从A城运往C乡的肥料为xt，从A城运往两乡的总运费为y1元，从B城运往两乡的总运费为y2元．（1）分别写出y1、y2与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；（2）试比较A、B两城总运费的大小；（3）若B城的总运费不得超过4800元，怎样调运使两城总费用的和最少？并求出最小值．23．如图，四边形ABCD是矩形．（1）如图1，E、F分别是AD、CD上的点，BF⊥CE，垂足为G，连接AG．①求证：；②若G为CE的中点，求证：sin∠AGB＝；（2）如图2，将矩形ABCD沿MN折叠，点A落在点R处，点B落在CD边的点S处，连接BS交MN于点P，Q是RS的中点．若AB＝2，BC＝3，直接写出PS+PQ的最小值为．24．如图，经过（1，0）和（2，3）两点的抛物线y＝ax2+c交x轴于A、B两点，P是抛物线上一动点，平行于x轴的直线l经过点（0，﹣2）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，y轴上有点C（0，），连接PC，设点P到直线l的距离为d，PC＝t．童威在探究d﹣t的值的过程中，是这样思考的：当P是抛物线的顶点时，计算d﹣t的值；当P不是抛物线的顶点时，猜想d﹣t是一个定值．请你直接写出这个定值，并证明；（3）如图2，点P在第二象限，分别连接P A、PB，并延长交直线l于M、N两点．若M、N两点的横坐标分别为m、n，试探究m、n之间的数量关系．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．实数﹣的相反数是（）A．B．﹣C．2D．﹣2【分析】根据只有符号不同的两数叫做互为相反数解答．【解答】解：实数﹣的相反数是，故选：A．2．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣2B．x≥﹣2C．x＜﹣2D．x≤﹣2【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x+2≥0，解得x≥﹣2．故选：B．3．有五张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字1、2、3、4、5，从中同时抽取两张，则下列事件为随机事件的是（）A．两张卡片的数字之和等于1B．两张卡片的数字之和大于1C．两张卡片的数字之和等于9D．两张卡片的数字之和大于9【分析】根据事件发生的可能性大小判断．【解答】解：A、两张卡片的数字之和等于1，是不可能事件；B、两张卡片的数字之和大于1，是必然事件；C、两张卡片的数字之和等于9，是随机事件；D、两张卡片的数字之和大于9，是不可能事件；故选：C．4．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念判断．【解答】解：A、不是中心对称图形；B、是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、不是中心对称图形．故选：B．5．如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，第三层左边一个小正方形，故选：B．6．在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．k＜0B．k＞0C．k＜1D．k＞1【分析】根据反比例函数的性质，当反比例函数的系数大于0时，在每一支曲线上，y 都随x的增大而减小，可得k﹣1＞0，解可得k的取值范围．【解答】解：根据题意，在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，即可得k﹣1＞0，解得k＞1．故选：D．7．在学校举行的运动会上，帅童和胖何报名参加百米赛跑，预赛分A、B、C、D四组进行，运动员通过抽签来确定要参加的预赛小组，帅童和胖何恰好抽到同一组的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得两人恰好分在同一组的概率．【解答】解：如下图所示，帅童和胖何两人恰好分在同一组的情况有4种，共有16种等可能的结果，∴帅童和胖何两人恰好分在同一组的概率是＝，故选：B．8．小明从家去上学，先步行一段路，因时间紧，他改骑共享单车，结果到学校时迟到了7min，其行驶的路程y（单位：m）的图象关系如图．若他出门时直接骑共享单车（两次骑车速度相同），则下列说法正确的是（）A．小明会迟到2 min到校B．小明刚好按时到校C．小明可以提前1 min到校D．小明可以提前2 min到校【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出小明从开始到到学校全程骑共享单车用的时间，然后再根据题意，可以得到小明正常到校用的时间，然后即可解答本题．【解答】解：由题意可得，小明到学校正常时间为20﹣7＝13（min），如果小明从开始到到学校全程骑共享单车，用的时间为：＝13（min），故如果小明从开始到到学校全程骑共享单车，小明刚好按时到校，故选：B．9．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，C是上一点，连接OC交AB于点D，过点C 作CE∥OA交AB于点E．若∠BOC＝30°，OB＝2，则CE的长是（）A．2﹣B．C．D．﹣1【分析】作DF⊥OA于F，证△ADF是等腰直角三角形，∠ODF＝30°，得出DF＝AF，DF＝OF，OD＝2OF，求出OF＝﹣1，OD＝2﹣2，CD＝OC﹣OD＝4﹣2，由平行线得出△CDE∽△ODA，进而得出答案．【解答】解：作DF⊥OA于F，如图所示：∵OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝45°，∠AOD＝90°﹣∠BOC＝60°，∵DF⊥OA，∴△ADF是等腰直角三角形，∠ODF＝30°，∴DF＝AF，DF＝OF，OD＝2OF，∵AF+OF＝OA＝2，∴OF+OF＝2，∴OF＝﹣1，∴OD＝2﹣2，∴CD＝OC﹣OD＝4﹣2，∵CE∥OA，∴△CDE∽△ODA，∴＝，即＝，解得：CE＝﹣1，故选：D．10．古希腊数学家把1、3、6、10、15、21、…叫做三角形数，它有一定的规律性．若把第一个三角形记为a1，第二个三角形记为a2，…第n个三角形记为a n，则的值是（）A．B．C．D．【分析】先观察得出规律，再按规律进行计算．【解答】解：，，，，，，……由上可知，，∴＝＝＝，故选：D．二．填空题（共6小题）11．＝5．【分析】根据二次根式的基本性质进行解答即可．【解答】解：原式＝＝5．故答案为：5．12．为了参加中学生篮球联赛，某校篮球队准备购买10双运动鞋收集尺码，并整理如下统计表：尺码/cm2525.52626.527购买量/双12322则这组数据的中位数是26．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．【解答】解：处于这组数据中间位置的数是26、26，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是26；故答案为：26．13．计算：＝．【分析】原式第一项约分后，两项通分并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值．【解答】解：原式＝+＝+＝＝．故答案为：．14．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接CD．若∠CDE＝78°，则∠BCD＝138°．【分析】根据旋转的性质和四边形的内角和定理以及周角的定义即可得到结论．【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，∴∠CAE＝60°，∠E＝∠ACB，∴∠CAE+∠CDE＝360°﹣（∠ACD+∠E），∵∠BCD＝360°﹣∠ACB﹣∠ACD＝360°﹣（∠ACD+∠E），∴∠BCD＝∠CDE+∠CAE＝60°+78°＝138°，故答案为：138．15．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）中的x与y的部分对应值如表：x﹣103y n﹣3﹣3当n＞0时，下列结论中一定正确的是①②④．（填序号即可）①bc＞0；②当x＞2时，y的值随x值的增大而增大；③n＞4a；④当n＝1时，关于x的一元二次方程ax2+（b+1）x+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3．【分析】①确定对称轴的位置和对称轴左侧函数y随x的变化情况，即可求解；②x＝2在函数对称轴的右侧，故y的值随x值的增大而增大，即可求解；③当x＝﹣1时，n＝y＝a﹣b+c＝4a﹣3＜4a，即可求解；④ax2+（b+1）x+c＝0可以变形为ax2+bx+c＝﹣x，即探讨一次函数y＝﹣x与二次函数为y＝ax2+bx+c图象情况，即可求解．【解答】解：①函数的对称轴为直线x＝（0+3）＝，即＝﹣，则b＝﹣3a，∵n＞0，故在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，故抛物线开口向上，则a＞0，对称轴在y轴的右侧，故b＜0，而c＝﹣3，故bc＞0正确，符合题意；②x＝2在函数对称轴的右侧，故y的值随x值的增大而增大，故②正确，符合题意；③当x＝﹣1时，n＝y＝a﹣b+c＝4a﹣3＜4a，故③错误，不符合题意；④当n＝1时，即：x＝﹣1时，y＝1，ax2+（b+1）x+c＝0可以变形为ax2+bx+c＝﹣x，即探讨一次函数y＝﹣x与二次函数为y＝ax2+bx+c图象情况，当x＝1，y＝﹣1，即（1，﹣1）是上述两个图象的交点，根据函数的对称性，另外一个交点的横坐标为：×2＝3，则该交点为（3，﹣3），故两个函数交点的横坐标为﹣1、3，即关于x的一元二次方程ax2+（b+1）x+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3，正确，符合题意，故答案为：①②④．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AC的中点，点E在BC上，分别连接BD、AE交于点F．若∠BFE＝45°，则CE＝．【分析】过点A，B分别作BC，AC的平行线交于点K，则四边形ACBK为矩形，过点A 作AM∥DB交KB于点M，过点M作MN⊥AM交AE的延长线于点N，过点N作BC的平行线分别交AC，KB的延长线于点H，Q，则四边形CHBQ为矩形，证明△AKM≌△MQN（AAS），得出KM＝NQ，MQ＝AK＝8，证明△ACE∽△AHN，可求出CE的长．【解答】解：过点A，B分别作BC，AC的平行线交于点K，则四边形ACBK为矩形，过点A作AM∥DB交KB于点M，过点M作MN⊥AM交AE的延长线于点N，过点N作BC的平行线分别交AC，KB的延长线于点H，Q，则四边形CHBQ为矩形，∵∠BFE＝45°，AM∥BD，∴∠BFE＝∠MAN＝45°，∴△AMN为等腰直角三角形，∴AM＝MN，∵∠AMK+∠NMQ＝∠AMK+∠MAK＝90°，∴∠NMQ＝∠MAK，又∵∠AKM＝∠MQN＝90°，∴△AKM≌△MQN（AAS），∴KM＝NQ，MQ＝AK＝8，∵D为AC的中点，AC＝6，∴AD＝DC＝BM＝3，∴MK＝NQ＝3，∴BQ＝CH＝5，∴HN＝HQ﹣NQ＝8﹣3＝5，∵CE∥HN，∴△ACE∽△AHN，∴，即，∴CE＝，故答案为：．三．解答题（共8小题）17．计算：[6a2•a4﹣（2a3）2]÷a3．【分析】原式利用同底数幂的乘法，积的乘方与幂的乘方运算法则计算，再利用单项式除以单项式法则计算即可求出值．【解答】解：原式＝（6a6﹣4a6）÷a3＝2a6÷a3＝2a3．18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠CDA，BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠CDA交BC于点F，求证：BE∥DF．【分析】由角平分线的定义结合∠ABC＝∠CDA，可得出∠EBC＝∠ADF，由AD∥BC，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠EBC＝∠AEB，进而可得出∠AEB＝∠ADF，再利用“同位角相等，两直线平行”可证出BE∥DF．【解答】证明：∵BE平分ABC交AD于点E，DF平分∠CDA交BC于点F，∴∠EBC＝∠ABC，∠ADF＝∠ADC．∵∠ABC＝∠CDA，∴∠EBC＝∠ADF．∵AD∥BC，∴∠EBC＝∠AEB，∴∠AEB＝∠ADF，∴BE∥DF．19．为提高学生身体素质，某校决定开展足球、篮球、排球、兵乓球等四项课外体育活动，要求全员参与，并且每名学生只能选择其中一项．为了解选择各种体育活动项目的学生人数，该校随机抽取了部分学生进行调查，并绘制出如下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：（1）直接写出这次抽样调查的学生人数；（2）补全条形统计图；（3）若该学校总人数是1500人，请估计选择篮球项目的学生约有多少人？【分析】（1）由“足球”人数及其百分比可得总人数；（2）根据各项目人数之和等于总人数求出“篮球”的人数，补全图形即可；（3）用总人数乘以样本中篮球所占百分比即可得出答案．【解答】解：（1）这次活动一共调查的学生人数是：140÷35%＝400（人）；（2）选择“篮球”的人数为：400﹣140﹣20﹣80＝160（人），补全统计图如下：（3）估计该学校选择篮球项目的学生人数约是：1500×＝600（人）．20．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：（1）将边BC绕点C顺时针旋转90°得到线段CD；（2）画边AC的中点E；（3）连接DE并延长交BC于点F，直接写出的值；（4）在AB上画点G，连接FG，使FG∥CD．【分析】（1）根据旋转的性质即可将边BC绕点C顺时针旋转90°得到线段CD；（2）根据网格即可画边AC的中点E；（3）根据网格，连接DE并延长交BC于点F，即可写出的值；（4）根据网格即可在AB上画点G，连接FG，使FG∥CD．【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求；（2）点E即为所求；（3）＝＝3，所以的值为3；（4）点G即为所求．21．如图，⊙O过正方形ABCD的顶点A、D，且与BC相切于点M，⊙O分别交AB、CD 于E、F两点，连接MO并延长交AD于点N．（1）求证：AN＝DN；（2）连接BF交⊙O于点G，连接EG．若AD＝8，求EG的长．【分析】（1）根据⊙O与BC相切于点M，可得∠BMN＝90°，得四边形ABCD是正方形，再根据垂径定理即可证明AN＝DN；（2）接DE，EF，DG，可得DE是⊙O的直径，且四边形AEFD是矩形，由（1）知四边形ABMN是矩形，设OD＝r，则ON＝8﹣r，DN＝4，在Rt△ODN中，根据勾股定理可得r的值，然后由∠BFE＝∠EDG，得sin∠BFE＝sin∠EDG，进而可得EG的长．【解答】解：（1）证明：∵⊙O与BC相切于点M，∴∠BMN＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠ONA＝90°，由垂径定理得，AN＝DN；（2）如图，连接DE，EF，DG，∵∠DAE＝90°，∴∠DFE＝90°，∴DE是⊙O的直径，且四边形AEFD是矩形，由（1）知四边形ABMN是矩形，∴MN＝AB＝8，设OD＝r，则ON＝8﹣r，DN＝4，在Rt△ODN中，根据勾股定理，得42+（8﹣r）2＝r2，解得r＝5，∴DE＝10，∵AD＝8，∴AE＝6，∴BE＝2，∵EF＝AD＝8，∴BF＝＝2，∵∠BFE＝∠EDG，∴sin∠BFE＝sin∠EDG，∴＝，即＝，解得EG＝．22．A城有肥料200t，B城有肥料300t．现要把这些肥料全部运往C、D两乡，C乡需要肥料240t，D乡需要肥料260t，其运往C、D两乡的运费如表：两城/两乡C/（元/t）D/（元/t）A2024B1517设从A城运往C乡的肥料为xt，从A城运往两乡的总运费为y1元，从B城运往两乡的总运费为y2元．（1）分别写出y1、y2与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；（2）试比较A、B两城总运费的大小；（3）若B城的总运费不得超过4800元，怎样调运使两城总费用的和最少？并求出最小值．【分析】（1）根据题意即可得出y1、y2与x之间的函数关系式；（2）根据（1）的结论列方程或列不等式解答即可；（3）设两城总费用为y，根据（1）的结论得出y与x之间的函数关系式，根据题意得出x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．【解答】解：（1）根据题意得：y1＝20x+24（200﹣x）＝4800﹣4x，y2＝15（240﹣x）+17（300﹣240+x）＝2x+4620．（2）由4800﹣4x＜2x+4620，解得x＞30，当0≤x＜30时，y1＞y2，B城的总运费较少；当x＝30时，y1＝y2，两城的总运费相等；当30＜x≤200时，y1＜y2，A城的总运费较少．（3）由y2≤4800得2x+4620≤4800，解得x≤90，设两城总费用为y，则y＝y1+y2＝﹣2x+9420，∵k＝﹣2＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝90时，y有最小值9240．答：当从A城调往C乡肥料90t，调往D乡肥料110t，从B城调往C乡肥料150t，调往D乡肥料150t，两城总费用的和最少，最小值为9240元．23．如图，四边形ABCD是矩形．（1）如图1，E、F分别是AD、CD上的点，BF⊥CE，垂足为G，连接AG．①求证：；②若G为CE的中点，求证：sin∠AGB＝；（2）如图2，将矩形ABCD沿MN折叠，点A落在点R处，点B落在CD边的点S处，连接BS交MN于点P，Q是RS的中点．若AB＝2，BC＝3，直接写出PS+PQ的最小值为．【分析】（1）①证明△FBC∽△ECD可得结论．②想办法证明∠AEB＝∠AGB，可得sin∠AGB＝sin∠AEB＝＝＝＝．（2）如图2中，取AB的中点T，连接PT，CP．因为四边形MNSR与四边形MNBA关于MN对称，T是AB中点，Q是SR中点，所以PT＝PQ，MN垂直平分线段BS，推出BP＝PS，由∠BCS＝90°，推出PC＝PS＝PB，推出PQ+PS＝PT+PC，当T，P，C共线时，PQ+PS的值最小．【解答】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠CDE＝∥BCF＝90°，∵BF⊥CE，∴∠BGC＝90°，∴∠BCG+∠FBC＝∠BCG+∠ECD＝90°，∴∠FBC＝∠ECD，∴△FBC∽△ECD，∴＝．②证明：如图1中，连接BE，GD．∵BF⊥CE，EG＝CG，∴BF垂直平分线段EC，∴BE＝CB，∠EBG＝∠CBG，∵DG＝CG，∴∠CDG＝∠GCD，∵∠ADG+∠CDG＝90°，∠BCG+∠ECD＝90°，∴∠ADG＝∠BCG，∵AD＝BC，∴△ADG≌△BCG（SAS），∴∠DAG＝∠CBG，∴∠DAG＝∠EBG，∴∠AEB＝∠AGB，∴sin∠AGB＝sin∠AEB＝＝＝＝．（2）如图2中，取AB的中点T，连接PT，CP．∵四边形MNSR与四边形MNBA关于MN对称，T是AB中点，Q是SR中点，∴PT＝PQ，MN垂直平分线段BS，∴BP＝PS，∵∠BCS＝90°，∴PC＝PS＝PB，∴PQ+PS＝PT+PC，当T，P，C共线时，PQ+PS的值最小，最小值＝＝＝，∴PQ+PS的最小值为．故答案为．24．如图，经过（1，0）和（2，3）两点的抛物线y＝ax2+c交x轴于A、B两点，P是抛物线上一动点，平行于x轴的直线l经过点（0，﹣2）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，y轴上有点C（0，），连接PC，设点P到直线l的距离为d，PC＝t．童威在探究d﹣t的值的过程中，是这样思考的：当P是抛物线的顶点时，计算d﹣t的值；当P不是抛物线的顶点时，猜想d﹣t是一个定值．请你直接写出这个定值，并证明；（3）如图2，点P在第二象限，分别连接P A、PB，并延长交直线l于M、N两点．若M、N两点的横坐标分别为m、n，试探究m、n之间的数量关系．【分析】（1）将（1，0）、（2，3）代入y＝ax2+c，求出a、c的值即可得；（2）过点P作PD⊥y轴于点D，设P（p，p2﹣1），在Rt△CDP中，由勾股定理得PC2＝PD2+CD2，据此知PC2＝p2+（p2﹣1+）2＝（p2+）2，继而知t＝PC＝p2+，结合d＝PH＝p2﹣1﹣（﹣2）＝p2+1可得d﹣t的值；（3）过点P作PH⊥l于点H，交x轴于点G，证△P AG∽△PMN得＝，设P（p，p2﹣1），知＝＝，据此可得m＝，同理用含p的式子表示n，从而得出答案．【解答】解：（1）根据题意，得：，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣1；（2）d﹣t＝，证明：如图1，过点P作PD⊥y轴于点D，设P（p，p2﹣1），p≠0，在Rt△CDP中，由勾股定理得PC2＝PD2+CD2，∴PC2＝p2+（p2﹣1+）2＝p2+（p2﹣）2＝（p2+）2，∴t＝PC＝p2+，∵d＝PH＝p2﹣1﹣（﹣2）＝p2+1，∴d﹣t＝；（3）如图2，过点P作PH⊥l于点H，交x轴于点G，∵抛物线y＝x2﹣1与x轴交于点A，B，∴A（﹣1，0）、B（1，0），∵直线l∥x轴，∴△P AG∽△PMN，∴＝，设P（p，p2﹣1），∴＝＝，∴m＝，同理可得n＝，∴mn＝﹣1．。
2020年河南省新乡市第十中学九年级下学期数学五月份模拟考试
2019-2020学年（九下）五月份模拟考试数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 20201-的绝对值是（ ） A. 20201 B. 20201- C. -2020 D. 2020 2. 2019新型冠状病毒是目前已知的第7种可以感染人的冠状病毒，病毒颗粒的平均直径均为100纳米，已知1纳米=10-9米，则100纳米采用科学记数法表示为（ ）米A. 1×102B. 0.1×103C. 1×10-7D. 0.1×10-83. 下列计算正确的是（ ）A. ab b a 523=+B. ()2422263b a b a -=-C. 34327=+D. ()222b a b a -=- 4. 如图所示的几何体的左视图是（ ）5. 将直角三角板按如图方式摆放，直线a ∥b ，∠1=130°，则∠2的度数为（ ）A. 60°B. 50°C. 45°D. 40°6. 疫情无情人有情，爱心捐款传真情，新型冠状病毒感染期间，某班学生积极参加爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如表：则他们捐款金额的平均数、中位数、众数分别是（ ）A. 27.6,10,20B. 27.6,20,10C. 37,10,10D. 37,20,107. 关于x 的方程022=-+a x x 没有实数根，则a 的值可能是（ ）A. -2B. -1C. 0D. 28. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，分别以点A 、C 为圆心，以大于21AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN 交AB 于点D ，交AC 于点D ，连接CD ，若AE=3，BC=8，则CD 的长为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 79. 在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（1,2），将抛物线23212+-=x x y 沿坐标轴平移一次，使其经过点P ，则平移的最短距离是（ ） A. 21 B. 1 C. 5 D. 25 10. 如图1，菱形ABCD 中，∠B=60°，动点P 以每秒1个单位的速度自点A 出发沿线段AB 运动到点B ，同时动点Q 以每秒2个单位的速度自点B 出发沿折线B -C -D 运动到点D ，图2是点P 、Q 运动时，△BPQ 的面积S 随时间t 变化关系图象，则a 的值是（ ）A. 2B. 2.5C. 3D. 32第5题 第8题 第10题二、填空题（每题3分，共15分）11. 计算：1394-+= 12. 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-+≥-2512332x x x ＞的解集是 13. 2019世界月季洲际大会4月28日在中国南阳举办！甲、乙、丙、丁四名同学讲参加志愿者活动，若四名同学被随机分成两组，每组两人，则甲、乙恰好在同一组的概率是14. 如图，在圆心角为120°的扇形OAB 中，半径OA=2，C 为弧AB 的中点，D 为OA 上任意一点（不与点O 、A 重合），则图中阴影部分的面积为15. 在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，点E 在边BC 上，连接DE ，将△CDE 沿DE 折叠，若点C 的对称点C’到AD 的距离为1，则CE 的长为第14题 第15题三、解答题（共8小题，满分75分） 16. （8分）先化简：a a a a a a 2482222-÷⎪⎭⎫⎝⎛-+-+，然后从22≤≤-a 的范围内选取一个合适的整数作为a 的值代入求值。
2020届九年级《新题速递·数学》4月第01期(考点01-03)
2020届九年级《新题速递·数学》考点01-03考点01 实数 P1考点02 整式与因式分解 P5 考点03 分式与二次根式 P7考点01实数1．[2020年山西省兴县三中九年级数学中考统一测试题]山西省某地2020年1月的某一天的气温最高是6C ︒，最低是3C ︒-，则这天该地的温差是（ ）A. 6C ︒-B. 3C ︒-C. 3C ︒D. 9C ︒【答案】D【解析】()639--=，故选：D ．2．[2020届河南省信阳市淮滨县九年级线上教学统一测试（二）数学试题]13-的相反数是（ ）A.13B. 13-C. 3D. ﹣3【答案】A【解析】根据相反数的意义知：13-的相反数是13.故选A ． 3．[2020届河南省信阳市淮滨县九年级线上教学统一测试（二）数学试题]根据中国铁路总公司3月13日披露，2018年铁路春运自2月1日起至3月12日止，为期40天全国铁路累计发送旅客3.82亿人次．3.82亿用科学记数法可以表示为（ ）A. 3.82×107B. 3.82×108C. 3.82×109D. 0.382×1010【答案】B【解析】3.82亿=3.82×108，故选B ．4．[河北省石家庄市2020年部分学校中考数学模拟试卷]下列各数中，比﹣2.8小的数是（ ）A. 0B. 1C. ﹣2.7D. ﹣3【答案】D【解析】∵1＞0-2.7＞-2.8＞−3，∴比-2.8小的数是−3，故选：D ．5．[河北省石家庄市2020年部分学校中考数学模拟试卷]下列说法中，正确的是（ ）A. （﹣6）2的平方根是-6B. 带根号的数都是无理数C. 27的立方根是±3D. 立方根等于-1的实数是-1【答案】D【解析】A 、（﹣6）2=36，36的平方根是±6，原说法错误，故本选项错误；B 是有理数，故本选项错误；C 、27的立方根是3，故本选项错误；D 、立方根等于-1的实数是-1，说法正确，故本选项正确； 故选D ．6．[2020年河南省周口市项城市正泰博文学校九年级二模数学考试题]﹣13的绝对值是（ ） A. ﹣13B.13C. ﹣3D. 3【答案】B 【解析】133=1-，故﹣13的绝对值是13，故选B. 7．[2020年河南省周口市项城市正泰博文学校九年级二模数学考试题]某种冠状病毒的直径是120纳米，1纳米=10－9米，将这种冠状病毒的直径（单位是米）用科学记数法表示为（ ）A. 120×10－9B. 1.2×10－11C. 1.2×10－7D. 0.12×10－12【答案】C【解析】120纳米=-912010⨯米=-71.210⨯米，故选C.8．[2020年河南省周口市项城市正泰博文学校九年级二模数学考试题]在防治新型冠状病毒的例行体温检查中，检查人员将高出37℃的部分记作正数，将低于37℃的部分记作负数，体温正好是37℃时记作“0”．记录一被测人员在一周内的体温测量结果分别为+0.1，﹣0.3，﹣0.5，+0.1，﹣0.6，+0.2，﹣0.4，那么，该被测者这一周中测量体温的平均值是（ ）A. 37.1℃B. 37.31℃C. 36.8℃D. 36.69℃【答案】C【解析】根据题意检查人员将高出37℃的部分记作正数，将低于37℃的部分记作负数，体温正好是37℃时记作“0”得这位同学在一周内的体温分别是37.1、36.7、36.5、37.1、36.4、37.2、36.6； 将(37.1+36.7+36.5+37.1+37.2+36.4+36.6)÷7=36.8℃；故选C.9．[2020年山西省部分中学中考数学4月模拟试题]某天的最高气温是9℃，最低气温是－2℃，那么这天的温差是（ ）A. －2℃B. 9℃C. －9℃D. 11℃ 【答案】D【解析】温差=9－(﹣2)=11℃，故答案选择：D.10．[2020年山西省部分中学中考数学4月模拟试题]截止到2019年9月3日，电影《哪吒之魔童降世》的累计票房达到47.24亿，47.24亿用科学记数法表示为（ ）A. 947.2410⨯B. 94.72410⨯C. 54.72410⨯D. 5472.410⨯【答案】B【解析】47.24亿=4724000000=4.724×109．故选：B ．11．[2020年山西省部分中学中考数学4月模拟试题]在下列实数227，3.14159，0，2π0.131131113… ）个．A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B8，2π，0.131131113…4个．故选：B ． 12．[河南省舞钢市新时代国际学校2019-2020学年九年级下学期第二次月考数学试题]下列四个实数中最大的是（ ）A. ﹣5B. 0C. πD. 3【答案】C【解析】根据实数比较大小的方法，可得﹣5＜0＜3＜π，所以四个实数中最大的是π．故选C ． 13．[河南省舞钢市新时代国际学校2019-2020学年九年级下学期第二次月考数学试题]2019年10月8日下午，河南省交通运输厅发布国庆长假出行信息，10月1日至7日，全省高速公路出口累计通行车辆1522.04万辆，将1522.04万用科学计数法表示为（ ）A. 71.5220410⨯B. 415.220410⨯C. 80.15220410⨯D. 81.5220410⨯【答案】A【解析】解：1522.04万=15220400=71.5220410⨯．故选A ．14．[吉林省农安县前岗乡初级中学2018-2019学年九年级下学期4月质量检测数学试题]16-的相反数是（ ）A. 6-B. 6C.16- D.16【答案】D【解析】16-的相反数是16，故选D.15．[吉林省农安县前岗乡初级中学2018-2019学年九年级下学期4月质量检测数学试题]我国人工智能在2017年迎来发展的“应用元年”，预计2020年中国人工智能核心产业规模超1500亿元，将150000000000这个数用科学记数法表示为（）A. 15×1010B. 1.5×1011C. 1.5×1012D. 0.15×1012【答案】B【解析】解：150000000000＝1.5×1011，故选B．16．[吉林省农安县前岗乡初级中学2018-2019学年九年级下学期4月质量检测数学试题]比较大小：______3（填写“＜”或“＞”）．【答案】＜【解析】∵7＜9＜3．故答案为＜．考点02整式与因式分解1．[2019年山西省兴县三中九年级数学中考三模试题]因式分解：9(3)4x x-+=．【答案】232x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】()934x x -+2934x x =-+232x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故答案为：232x ⎛⎫- ⎪⎝⎭．2．[河北省石家庄市2020年部分学校中考数学模拟试卷]下列运算中，计算结果正确的是（ ）A. a 2•a 3＝a 6B. （a 2）3＝a 5C. （a 2b ）2＝a 2b 2D. （π﹣1）0＝1 【答案】D【解析】A 、a 2•a 3＝a 5，故此选项错误；B 、（a 2）3＝a 6，故此选项错误； C 、（a 2b ）2＝a 4b 2，故此选项错误；D 、（π﹣1）0＝1，正确．故选：D ．3．[河北省石家庄市2020年部分学校中考数学模拟试卷]因式分解：9a 3b ﹣ab ＝ ． 【答案】ab （3a +1）（3a -1）．【解析】原式=ab （9a 2-1）=ab （3a +1）（3a -1）．4．[2020年河南省周口市项城市正泰博文学校九年级二模数学考试题]下列各式计算正确的是（ ）A. 011(1)()32---=-B.=C. 224246a a a += D. 236()a a =【答案】D【解析】A.原式=1-2=-1，故A 错误；B 不能继续化简，B 错误； C.原式=26a ，C 错误；D.236()a a =，正确，故选D.5．[2020年河南省周口市项城市正泰博文学校九年级二模数学考试题]计算：02((3)+-= ．【答案】10【解析】原式=1+9=10，故答案为：10.6．[2020年山西省部分中学中考数学4月模拟试题]下列各式中，正确的有（ ）A. a 3+a 2＝a 5B. 2a 3•a 2＝2a 6C. （﹣2a 3）2＝4a 6D. a 8÷a 2＝a 4 【答案】C【解析】解：A 、a 3+a 2，无法计算，故此选项不合题意；B 、2a 3•a 2＝2a 5，故此选项不合题意； C 、（﹣2a 3）2＝4a 6，故此选项符合题意；D 、a 8÷a 2＝a 6，故此选项不合题意； 故选：C ．7．[2020年山西省部分中学中考数学4月模拟试题]某种衣服售价为m 元时，每条的销量为n 件，经调研发现：每降价1元可多卖5件，那么降价x 元后，一天的销售额是 元． 【答案】（m －x ）（n ＋5x ）【解析】∵降价x 元后，每件售价为：（m －x ），销量为：（n ＋5x ）， ∴销售额是：（m －x ）（n ＋5x ）．故答案是：（m －x ）（n ＋5x ）．8．[河南省舞钢市新时代国际学校2019-2020学年九年级下学期第二次月考数学试题]下列各式计算正确的是（ ）A. 2223a a +=B. ()236b b -=- C. 235c c c ⋅= D. ()222m n m n -=-【答案】C【解析】解：A ．2a 与2不是同类项，不能合并，故本选项错误；B ．应为()236b b -=，故本选项错误；C ．235·c c c =，正确；D ．应为()2222m n m n mn -=+-，故本选项错误．故选C ．8．[吉林省农安县前岗乡初级中学2018-2019学年九年级下学期4月质量检测数学试题]分解因式：3222a a b ab -+= ．【答案】2()a a b -【解析】解：3222a a b ab -+=22a 2a ab b -+=（）2()a a b -9．[吉林省农安县前岗乡初级中学2018-2019学年九年级下学期4月质量检测数学试题]先化简，再求值：（2x ﹣1）2+（x +2）（x ﹣2）﹣4x （x ﹣1），其中x ．【解析】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值． 解：原式＝4x 2﹣4x +1+x 2﹣4﹣4x 2+4x ＝x 2﹣3，当x 2﹣3＝﹣1． 考点03分式与二次根式1．[2019年山西省兴县三中九年级数学中考三模试题]下列运算正确是（ ）A. 010.2502⎛⎫-= ⎪⎝⎭ B. =C. 235611x x x +=D. 22(1)21x x x --=-+ 【答案】B【解析】A 、010.25102⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭错误，该选项不符合题意；B ==正确，该选项符合题意；C 、235611x x x +=不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；D 、222(1)2121x x x x x --=++≠-+错误，该选项不符合题意； 故选：B ．2．[2019年山西省兴县三中九年级数学中考三模试题]（1）计算121(2)cos 453-︒⎛⎫-- ⎪⎝⎭（2）先化简，再求值：2221111x x x x x ++---+，其中x =【答案】（1）-3；（2）241-xx ，【解析】(1)根据平方、负整数指数幂、二次根式以及特殊角的三角形函数值分别计算，再把所得结果合并即可；(2)先通分，化成同分母的分式，再约分化成最简式，代入数值计算即可．解：(1)121(2)cos 453-︒⎛⎫-- ⎪⎝⎭43=-- 443=-- 3=-；(2)2221111x x x x x ++---+ =1111x x x x +---+=22(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+-+-241xx =-，当x== 3．[2020届河南省信阳市淮滨县九年级线上教学统一测试（二）数学试题]先化简，再求值：222122121a b b a a a a -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中a ，b ﹣1． 【答案】14【解析】先计算括号内分式的减法、把除法转化为乘法，再约分即可化简原式，最后把a 、b 的值代入计算可得． 解：原式=()()211a a a a -++×()()()212b 11a a a ++-=12ab，当a ，b 1时，原式=12ab=14．4．[河北省石家庄市2020年部分学校中考数学模拟试卷（4月份）]续整数之间，这两个连续整数为（ ）A. 3和4B. 4和5C. 5和6D. 6和7【答案】B45，∴这两个连续整数是4和5，故选：B ． 5．[河北省石家庄市2020年部分学校中考数学模拟试卷（4月份）]计算：【答案】19【解析】首先利用开平方、开立方、以及乘方等知识点进行计算，再计算加减法即可.2020(1)- ＝19﹣3+2+1 ＝196．[2020年河南省周口市项城市正泰博文学校九年级二模数学考试题]先化简，再求值：22221121x x x x x x ⎛⎫--÷ ⎪+++⎝⎭，其中x 的值从不等式组()2153211x x x -<⎧⎨--≥⎩的整数解中选取． 【答案】11x -，当x =2时，原式=1 【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出不等式组的整数解，代入计算即可求出值．解：22221121x x x x x x ⎛⎫--÷ ⎪+++⎝⎭ 222222121x x x x x x x x x x ⎛⎫+-=-÷ ⎪++++⎝⎭ ()()()222211 1x x x x x x xx -+⎛⎫+-=÷ ⎪++⎝⎭()()()()211 11x x xx x x -+=÷++ 11x =- 不等式组()2153211x x x -<⎧⎨--≥⎩，解得：13x -≤<，即1x =-，0，1，2，当1x =-，0，1时，原方程22221 121x x x x x x ⎛⎫--÷ ⎪+++⎝⎭ 11x =-没有意义， 则2x =时，原方程=111211x ==--． 7．[2020年山西省部分中学中考数学4月模拟试题]化简：x yx y y x+--结果正确的是（ ）A. 1B. x y -C.+-x yx yD.22x y +【答案】A【解析】解：x yx y y x +--x y x y x y =---x y x y-=-1=，故选：A 8．[2020年山西省部分中学中考数学4月模拟试题]= ． 【答案】【解析】解：原式==9．[2020年山西省部分中学中考数学4月模拟试题]计算：116sin 45|33-︒⎛⎫-+- ⎪⎝⎭【答案】﹣6【解析】首先分别利用负指数幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、绝对值的性质进行计算，然后计算加减法即可．解：原式3632=-+⨯-33=-+=6-10．[河南省舞钢市新时代国际学校2019-2020学年九年级下学期第二次月考数学试题]先化简，再求值：22222a b b ab a a ab a ⎛⎫--÷+ ⎪+⎝⎭，其中a ＝（﹣3）0，b 的值从不等式组2012b b b -≤⎧⎪⎨-<⎪⎩的整数解中选取． 【答案】1a b-，﹣1(答案不唯一)． 【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出a 与b 的值，代入计算即可求出值． 解：原式=()()21•()()a b a b aa ab a ba b +-=+--， 由题意得：a =1，﹣1＜b ≤2，即b =0或2（b =1不符合题意，舍去），当a=1，b=0时，原式=1；当a=1，b=2时，原式=﹣1．(答案不唯一)11。
2020届九年级《新题速递·数学》2月第01期(考点17)
2020届九年级《新题速递·数学》考点17考点17几何动态压轴专题1．[2019年湖北省武汉市武昌区中考数学模拟试卷]如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC ＝8，点D为边BC的中点，点M为边AB上的一动点，点N为边AC上的一动点，且∠MDN＝90°，则sin∠DMN为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】连结AD，如图，先利用勾股定理计算出BC＝10，再根据直角三角形斜边上的中线性质得DA＝DC＝5，则∠1＝∠C，接着根据圆周角定理得到点A、D在以MN为直径的圆上，所以∠1＝∠DMN，则∠C＝∠DMN，然后在Rt△ABC中利用正弦定义求∠C的正弦值即可得到sin∠DMN．连结AD，如图，∵∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝10，∵点D为边BC的中点，∴DA＝DC ＝5，∴∠1＝∠C，∵∠MDN＝90°，∠A＝90°，∴点A、D在以MN为直径的圆上，∴∠1＝∠DMN，∴∠C＝∠DMN，在Rt△ABC中，sin C＝＝＝，∴sin∠DMN＝，故选：A．2．[2019年内蒙古呼和浩特市玉泉区中考数学模拟试卷]如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值为（）A．1B．C．D．【答案】C【解析】本题是要在MN上找一点P，使PA+PB的值最小，设A′是A关于MN的对称点，连接A′B，与MN的交点即为点P．此时PA+PB＝A′B是最小值，可证△OA′B是等腰直角三角形，从而得出结果．作点A 关于MN 的对称点A ′，连接A ′B ，交MN 于点P ，则PA +PB 最小，连接OA ′，AA ′．∵点A 与A ′关于MN 对称，点A 是半圆上的一个三等分点，∴∠A ′ON ＝∠AON ＝60°，PA ＝PA ′，∵点B 是弧AN ^的中点，∴∠BON ＝30°，∴∠A ′OB ＝∠A ′ON +∠BON ＝90°，又∵OA ＝OA ′＝1，∴A ′B ＝．∴PA +PB ＝PA ′+PB ＝A ′B ＝．故选：C ．3．[2019年内蒙古呼和浩特市玉泉区中考数学模拟试卷]如图，在边长为6cm 的正方形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别从点A 、B 、C 、D 同时出发，均以1cm /s 的速度向点B 、C 、D 、A 匀速运动，当点E 到达点B 时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为s 时，四边形EFGH 的面积最小，其最小值是cm 2．【答案】3；18【解析】设运动时间为t （0≤t ≤6），则AE ＝t ，AH ＝6﹣t ，由四边形EFGH 的面积＝正方形ABCD 的面积﹣4个△AEH 的面积，即可得出S 四边形EFGH 关于t 的函数关系式，配方后即可得出结论．设运动时间为t （0≤t ≤6），则AE ＝t ，AH ＝6﹣t ，根据题意得：S 四边形EFGH ＝S 正方形ABCD ﹣4S △AEH＝6×6﹣4×t （6﹣t ）＝2t 2﹣12t +36＝2（t ﹣3）2+18，∴当t ＝3时，四边形EFGH 的面积取最小值，最小值为18．故答案为：3；184．[2019年山东省滨州市中考数学模拟试卷]如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝3．点E 从D 向C 以每秒1个单位的速度运动，以AE 为一边在AE 的右下方作正方形AEFG ．同时垂直于CD 的直线MN 也从C 向D 以每秒2个单位的速度运动，当经过多少秒时．直线MN 和正方形AEFG 开始有公共点？（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】首先过点F作FQ⊥CD于点Q，证明△ADE≌△EQF，进而得出AD＝EQ，得出当直线MN 和正方形AEFG开始有公共点时：DQ+CM≥8进而求出即可．过点F作FQ⊥CD于点Q，∵在正方形AEFG中，∠AEF＝90°，AE＝EF，∴∠1+∠2＝90°，∵∠DAE+∠1＝90°，∴∠DAE＝∠2，在△ADE和△EQF中，，∴△ADE≌△EQF（AAS），∴AD＝EQ＝3，当直线MN和正方形AEFG开始有公共点时：DQ+CM≥8，∴t+3+2t≥8，解得：t≥，故当经过秒时．直线MN和正方形AEFG开始有公共点．故选：A．5．[2019年安徽省合肥市肥东县中考数学模拟试卷]如图，在△ABC中，已知：AB＝AC＝6，BC＝8，P是BC边上一点（P不与点B，C重合），∠DPE＝∠B，且DP边始终经过点A，另一边PE交AC于点F，当△APF为等腰三角形时，则PB的长为．【答案】2或【解析】需要分类讨论：①当AP＝PF时，易得△ABP≌△PCF．②当AF＝PF时，△ABC∽△FAP，结合相似三角形的对应边成比例求得答案．③当AF＝AP时，点P与点B重合．①当AP＝PF时，易得△ABP≌△PCF，则PC＝AB＝6，故PB＝2．②当AF＝PF时，△ABC∽△FAP，∴＝＝，即PC＝．∴PB＝．③当AF＝AP时，点P与点B重合，不合题意．综上所述，PB的长为2或．故答案是：2或．6．[2019年安徽省芜湖市中考数学模拟试卷]如图所示，已知AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD ＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC相似，则AP＝．【答案】或2或6【解析】由AD∥BC，∠ABC＝90°，易得∠PAD＝∠PBC＝90°，又由AB＝8，AD＝3，BC＝4，设AP的长为x，则BP长为8﹣x，然后分别从△APD∽△BPC与△APD∽△BCP去分析，利用相似三角形的对应边成比例求解即可求得答案．∵AB⊥BC，∴∠B＝90°．∵AD∥BC，∴∠A ＝180°﹣∠B＝90°，∴∠PAD＝∠PBC＝90°．AB＝8，AD＝3，BC＝4，设AP的长为x，则BP长为8﹣x．若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：①若△APD∽△BPC，则AP：BP＝AD：BC，即x：（8﹣x）＝3：4，解得x＝；②若△APD∽△BCP，则AP：BC＝AD：BP，即x：4＝3：（8﹣x），解得x＝2或x＝6．所以AP＝或AP＝2或AP＝6．故答案是：或2或6．7．[2019年广东省茂名市茂南区中考数学模拟试卷]如图，已知直线y＝与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最小值是．【答案】【解析】过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，则由三角形面积公式得，×AB×CM＝×OA×BC，∴5×CM＝16，∴CM＝，∴圆C上点到直线y＝x﹣3的最小距离是﹣1＝，∴△PAB面积的最小值是×5×＝，故答案是：．8．[2019年江苏省徐州市铜山区中考数学二模试卷]如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为．【答案】2﹣2【解析】由AE⊥BE知点E在以AB为直径的半⊙O上，连接CO交⊙O于点E′，当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，利用勾股定理可得答案．如图，∵AE⊥BE，∴点E在以AB为直径的半⊙O上，连接CO交⊙O于点E′，∴当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，∵AB＝4，∴OA＝OB＝OE′＝2，∵BC＝6，∴OC＝＝＝2，则CE′＝OC﹣OE′＝2﹣2，故答案为：2﹣2．9．[2019年江苏省徐州市云龙区中考数学二模试卷]我们发现：若AD是△ABC的中线，则有AB2+AC2＝2（AD2+BD2），请利用结论解决问题：如图，在矩形ABCD中，已知AB＝20，AD＝12，E是DC中点，点P在以AB为直径的半圆上运动，则CP2+EP2的最小值是．【答案】68【解析】设点O为AB的中点，H为CE的中点，连接HO交半圆于点P，此时PH取最小值，根据矩形的性质得到CD＝AB，EO＝AD，求得OP＝CE＝AB＝10过H作HG⊥AB于g，根据矩形的性质得到HG＝12，OG＝5，于是得到结论．设点O为AB的中点，H为CE的中点，连接HO交半圆于点P，此时PH取最小值，∵AB＝20，四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB，EO＝AD，∴OP＝CE＝AB＝10，∴CP2+EP2＝2（PH2+CH2）．过H作HG⊥AB于g，∴HG＝12，OG＝5，∴PH＝13，∴PH＝3，∴CP2+EP2的最小值＝2（9+25）＝68，故答案为：68．10．[2019年江苏省徐州市云龙区中考数学二模试卷]小儒在学习了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”之后做了如下思考：（1）他认为该定理有逆定理，即“如果一个三角形某条边上的中线等于该边长的一半，那么这个三角形是直角三角形”应该成立，你能帮小儒证明一下吗？如图①，在△ABC中，AD是BC 边上的中线，若AD＝BD＝CD，求证：∠BAC＝90°．（2）接下来，小儒又遇到一个问题：如图②，已知矩形ABCD，如果在矩形外存在一点E，使得AE⊥CE，求证：BE⊥DE，请你作出证明，可以直接用到第（1）问的结论．（3）在第（2）问的条件下，如果△AED恰好是等边三角形，直接用等式表示出此时矩形的两条邻边AB与BC的数量关系．【解析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和即可得出结论；（2）先判断出OE＝AC，即可得出OE＝BD，即可得出结论；（3）先判断出△ABE是底角是30°的等腰三角形，即可构造直角三角形即可得出结论．解：（1）∵AD＝BD，∴∠B＝∠BAD，∵AD＝CD，∴∠C＝∠CAD，在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴∠B+∠C+∠BAD+∠CAD＝∠B+∠C+∠B+∠C＝180°∴∠B+∠C＝90°，∴∠BAC＝90°，（2）如图②，连接AC，BD，OE，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD＝AC＝BD，∵AE⊥CE，∴∠AEC＝90°，∴OE＝AC，∴OE＝BD，∴∠BED＝90°，∴BE⊥DE；（3）如图3，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠BAD＝90°，∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD＝BC，∠DAE＝∠AED＝60°，由（2）知，∠BED＝90°，∴∠BAE＝∠BEA＝30°，过点B作BF⊥AE于F，∴AE＝2AF，在Rt△ABF中，∠BAE＝30°，∴AB＝2BF，AF＝BF，∴AE＝2BF，∴AE＝AB，∴BC＝AB．11．[2019年江苏省镇江市丹阳市中考数学模拟试卷]问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD 的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．【类比引申】如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足关系时，仍有EF＝BE+FD．【探究应用】如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB＝AD ＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，∠EAF＝75°且AE⊥AD，DF＝40（﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）【解析】【发现证明】根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF＝BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE即可．【类比引申】延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，证△ADF≌△ABM，证△FAE≌△MAE，即可得出答案；【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到△ABE是等边三角形，则BE＝AB＝80米．把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，只要再证明∠GAF＝∠FAE即可得出EF＝BE+FD．解：【发现证明】如图（1），∵△ADG≌△ABE，∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，又∵∠EAF＝45°，即∠DAF+∠BEA＝∠EAF＝45°，∴∠GAF＝∠FAE，在△GAF和△FAE中，AG＝AE，∠GAF＝∠FAE，AF＝AF，∴△AFG≌△AFE（SAS）．∴GF＝EF．又∵DG＝BE，∴GF＝BE+DF，∴BE+DF＝EF．【类比引申】∠BAD＝2∠EAF．理由如下：如图（2），延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABM＝180°，∴∠D＝∠ABM，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，∵∠BAD＝2∠EAF，∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，∴∠EAB+∠BAM＝∠EAM＝∠EAF，在△FAE和△MAE中，，∴△FAE≌△MAE（SAS），∴EF＝EM＝BE+BM＝BE+DF，即EF＝BE+DF．故答案是：∠BAD＝2∠EAF．【探究应用】如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF．∵∠BAD＝150°，∠DAE＝90°，∴∠BAE＝60°．又∵∠B＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝80米．根据旋转的性质得到：∠ADG＝∠B＝60°，又∵∠ADF＝120°，∴∠GDF＝180°，即点G在CD的延长线上．易得，△ADG≌△ABE，∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，又∵∠EAG＝∠BAD＝150°，∠FAE＝75°∴∠GAF＝∠FAE，在△GAF和△FAE中，AG＝AE，∠GAF＝∠FAE，AF＝AF，∴△AFG≌△AFE（SAS）．∴GF＝EF．又∵DG＝BE，∴GF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF＝80+40（﹣1）≈109（米），即这条道路EF的长约为109米．12．[2019年江苏省徐州市铜山区中考数学二模试卷]我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P．像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．特例探索（1）①如图1，当∠ABE＝45°，c＝2时，a＝，b＝；②如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，求a和b的值．归纳证明（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为线段AO，DO的中点，连接BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于点G，H，如图4所示，求MG2+MH2的值．【解析】（1）在图1中，PB＝AB sin45°＝2＝PA，即可求解；同理可得：a＝2，b＝2；（2）PB＝AB cosα＝c cosα，PA＝c sinα，PF＝PA＝c sinα，PE＝c sinα，则a2+b2＝（2AE）2+（2BF）2，即可求解；（3）证明：MG＝ME＝MB，MH＝MC，则MG2+MH2＝（MB2+MC2），即可求解．解：如图1、2、3、4，连接EF，则EF是△ABC的中位线，则EF＝AB，EF∥AB，∴△EFP∽△BPA，∴…①，（1）在图1中，PB＝AB sin45°＝2＝PA，由①得：PF＝1，b＝2BF＝2＝2＝a；②同理可得：a＝2，b＝2；（2）关系为：a2+b2＝5c2，证明：如图3，设：∠EAB＝α，则：PB＝AB cosα＝c cosα，PA＝c sinα，由①得：PF＝PA＝c sinα，PE＝c sinα，则a2+b2＝（2AE）2+（2BF）2＝c2×5[（sinα）2+（cosα）2]＝5c2；（3）∵AE＝OE＝EC，AG∥BC，∴AG＝BC＝AD，则EF＝BC＝AD，同理HG＝AD，∴GH＝AD，∴GH＝EF，∵GH∥BC，EF∥BC，∴HG∥EF，∴MG＝ME＝MB，同理：MH＝MC，则MG2+MH2＝（MB2+MC2）＝×5×BC2＝5．13．[2019年安徽省芜湖市中考数学模拟试卷]如图1，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，点P 为DC上一点，且AP＝AB，分别过点A和点C作直线BP的垂线，垂足为点E和点F．（1）证明：△ABE∽△BCF；（2）若＝，求的值；（3）如图2，若AB＝BC，设∠DAP的平分线AG交直线BP于G．当CF＝1，＝时，求线段AG的长．【解析】（1）由余角的性质可得∠ABE＝∠BCF，即可证△ABE∽△BCF；（2）由相似三角形的性质可得＝＝，由等腰三角形的性质可得BP＝2BE，即可求的值；（3）由题意可证△DPH∽△CPB，可得＝＝，可求AE＝，由等腰三角形的性质可得AE平分∠BAP，可证∠EAG＝∠BAH＝45°，可得△AEG是等腰直角三角形，即可求AG 的长．证明：（1）∵AB⊥BC，∴∠ABE+∠FBC＝90°又∵CF⊥BF，∴∠BCF+∠FBC＝90°∴∠ABE＝∠BCF又∵∠AEB＝∠BFC＝90°，∴△ABE∽△BCF（2）∵△ABE∽△BCF，∴＝＝又∵AP＝AB，AE⊥BF，∴BP＝2BE∴＝＝（3）如图，延长AD与BG的延长线交于H点∵AD∥BC，∴△DPH∽△CPB∴＝＝∵AB＝BC，由（1）可知△ABE≌△BCF∴CF＝BE＝EP＝1，∴BP＝2，代入上式可得HP＝，HE＝1+＝∵△ABE ∽△HAE ，∴＝，＝，∴AE ＝∵AP ＝AB ，AE ⊥BF ，∴AE 平分∠BAP又∵AG 平分∠DAP ，∴∠EAG ＝∠BAH ＝45°，∴△AEG 是等腰直角三角形．∴AG ＝AE ＝314．[2019年山东省济南市中考数学模拟试卷]如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 是BC 上一动点，连接AD ，过点A 作AE ⊥AD ，并且始终保持AE ＝AD ，连接CE ．（1）求证：△ABD ≌△ACE ；（2）若AF 平分∠DAE 交BC 于F ，探究线段BD ，DF ，FC 之间的数量关系，并证明；（3）在（2）的条件下，若BD ＝3，CF ＝4，求AD 的长．【解析】（1）证明：∵AE ⊥AD ，∴∠DAE ＝∠DAC +∠2＝90°，又∵∠BAC ＝∠DAC +∠1＝90°，∴∠1＝∠2，在△ABD 和△ACE 中，∴△ABD ≌△ACE ．（2）解：结论：BD 2+FC 2＝DF 2．理由如下：连接FE ，∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠3＝45°由（1）知△ABD ≌△ACE ∴∠4＝∠B ＝45°，BD ＝CE∴∠ECF ＝∠3+∠4＝90°，∴CE 2+CF 2＝EF 2，∴BD 2+FC 2＝EF 2，∵AF 平分∠DAE ，∴∠DAF ＝∠EAF ，在△DAF 和△EAF 中，∴△DAF ≌△EAF∴DF＝EF∴BD2+FC2＝DF2．（3）解：过点A作AG⊥BC于G，由（2）知DF2＝BD2+FC2＝32+42＝25∴DF＝5，∴BC＝BD+DF+FC＝3+5+4＝12，∵AB＝AC，AG⊥BC，∴BG＝AG＝BC＝6，∴DG＝BG﹣BD＝6﹣3＝3，∴在Rt△ADG中，AD＝＝＝3．15．[2019年安徽省合肥市肥东县中考数学模拟试卷]已知：AD是△ABC的高，且BD＝CD．（1）如图1，求证：∠BAD＝∠CAD；（2）如图2，点E在AD上，连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△A′BE，A′B与AC相交于点F，若BE＝BC，求∠BFC的大小；（3）如图3，在（2）的条件下，连接EF，过点C作CG⊥EF，交EF的延长线于点G，若BF ＝10，EG＝6，求线段CF的长．【解析】（1）利用线段的垂直平分线的性质证明AB＝AC，再利用等腰三角形的性质即可解决问题；（2）如图2中，连接EC．首先证明△EBC是等边三角形，推出∠BED＝30°，再由∠BFC＝∠FAB+∠FBA＝2（∠BAE+∠ABE）＝2∠BED＝60°解决问题；（3）如图3中，连接EC，作EH⊥AB于H，EN⊥AC于N，EM⊥BA′于M．首先证明∠AFE ＝∠BFE＝60°，在Rt△EFM中，∠FEM＝90°﹣60°＝30°，推出EF＝2FM，设FM＝m，则EF＝2m，推出FG＝EG﹣EF＝6﹣2m，FN＝EF＝m，CF＝2FG＝12﹣4m，再证明Rt△EMB≌Rt△ENC（HL），推出BM＝CN，由此构建方程即可解决问题；解：（1）证明：如图1中，∵BD＝CD，AD⊥BC，∴AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD．（2）解：如图2中，连接EC．∵BD⊥BC，BD＝CD，∴EB＝EC，又∵EB＝BC，∴BE＝EC＝BC，∴△BCE是等边三角形，∴∠BEC＝60°，∴∠BED＝30°，由翻折的性质可知：∠ABE＝∠A′BE＝∠ABF，∴∠ABF＝2∠ABE，由（1）可知∠FAB＝2∠BAE，∴∠BFC＝∠FAB+∠FBA＝2（∠BAE+∠ABE）＝2∠BED＝60°．（3）解：如图3中，连接EC，作EH⊥AB于H，EN⊥AC于N，EM⊥BA′于M．∵∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠A′BE，∴EH＝EN＝EM，∴∠AFE＝∠EFB，∵∠BFC＝60°，∴∠AFE＝∠BFE＝60°，在Rt△EFM中，∵∠FEM＝90°﹣60°＝30°，∴EF＝2FM，设FM＝m，则EF＝2m，∴FG＝EG﹣EF＝6﹣2m，易知：FN＝EF＝m，CF＝2FG＝12﹣4m，∵∠EMB＝∠ENC＝90°，EB＝EC，EM＝EN，∴Rt△EMB≌Rt△ENC（HL），∴BM＝CN，∴BF﹣FM＝CF+FN，∴10﹣m＝12﹣4m+m，∴m＝1，∴CF＝12﹣4＝8．16．[2019年北京市通州区姚村中学中考数学模拟试卷]如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ＝t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F．（1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值．【解析】（1）由四边形ABCD是正方形得到∠A＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB，又由∠EQP＝∠FMN，而证得；（2）分为两种情况：①当E在AP上时，由点P是边AB的中点，AB＝2，DQ＝AE＝t，又由勾股定理求得PQ，由△PEQ≌△NFM得到PQ的值，又PQ⊥MN求得面积S，由t范围得到S的最小值；②当E在BP上时，同法可求S的最小值．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB，∵QE⊥AB，MF⊥BC，∴∠AEQ＝∠MFB＝90°，∴四边形ABFM、AEQD都是矩形，∴MF＝AB，QE＝AD，MF⊥QE，又∵PQ⊥MN，∴∠1+∠EQP＝90°，∠2+∠FMN＝90°，∵∠1＝∠2，∴∠EQP＝∠FMN，又∵∠QEP＝∠MFN＝90°，∴△PEQ≌△NFM；（2）解：分为两种情况：①当E在AP上时，∵点P是边AB的中点，AB＝2，DQ＝AE＝t，∴PA＝1，PE＝1﹣t，QE＝2，由勾股定理，得PQ＝＝，∵△PEQ≌△NFM，∴MN＝PQ＝，又∵PQ⊥MN，∴S＝＝＝t2﹣t+，＝2．∵0≤t≤2，∴当t＝1时，S最小值②当E在BP上时，∵点P是边AB的中点，AB＝2，DQ＝AE＝t，∴PA＝1，PE＝t﹣1，QE＝2，由勾股定理，得PQ＝＝，∵△PEQ≌△NFM，∴MN＝PQ＝，又∵PQ⊥MN，∴S＝＝[（t﹣1）2+4]＝t2﹣t+，＝2．综上：S＝t2﹣t+，S的最小值为2．∵0≤t≤2，∴当t＝1时，S最小值17．[2019年福建省龙岩市武平县中考数学模拟试卷]如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝OB，点D是上一动点，点E是CD中点，连接BD分别交OC，OE于点F，G．（1）求∠DGE的度数；（2）若＝，求的值；（3）记△CFB，△DGO的面积分别为S1，S2，若＝k，求的值．（用含k的式子表示）【解析】（1）根据等边三角形的性质，同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以求得∠DGE的度数；（2）根据题意，三角形相似、勾股定理可以求得的值；（3）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据三角形相似、勾股定理可以用含k的式子表示出的值．解：（1）∵BC＝OB＝OC，∴∠COB＝60°，∴∠CDB＝∠COB＝30°，∵OC＝OD，点E为CD中点，∴OE⊥CD，∴∠GED＝90°，∴∠DGE＝60°；（2）过点F作FH⊥AB于点H设CF＝1，则OF＝2，OC＝OB＝3∵∠COB＝60°∴OH＝＝1，∴HF＝OH＝，HB＝OB﹣OH＝2，在Rt△BHF中，BF＝＝，由OC＝OB，∠COB＝60°得：∠OCB＝60°，又∵∠OGB＝∠DGE＝60°，∴∠OGB＝∠OCB，∵∠OFG＝∠CFB，∴△FGO∽△FCB，∴，∴GF＝，∴；（3）过点F作FH⊥AB于点H，设OF＝1，则CF＝k，OB＝OC＝k+1，∵∠COB＝60°，∴OH＝，∴HF＝，HB＝OB﹣OH＝k+，在Rt△BHF中，BF＝，由（2）得：△FGO∽△FCB，∴，即，∴GO＝，过点C作CP⊥BD于点P∵∠CDB＝30°∴PC＝CD，∵点E是CD中点，∴DE＝CD，∴PC＝DE，∵DE⊥OE，∴．18．[2019年福建省龙岩市长汀县中考数学模拟试卷]如图，AB是⊙O的直径，＝，连结AC，过点C作直线l∥AB，点P是直线l上的一个动点，直线PA与⊙O交于另一点D，连结CD，设直线PB与直线AC交于点E．（1）求∠BAC的度数；（2）当点D在AB上方，且CD⊥BP时，求证：PC＝AC；（3）在点P的运动过程中①当点A在线段PB的中垂线上或点B在线段PA的中垂线上时，求出所有满足条件的∠ACD的度数；②设⊙O的半径为6，点E到直线l的距离为3，连结BD，DE，直接写出△BDE的面积．【分析】（1）只要证明△ABC是等腰直角三角形即可；（2）只要证明CB＝CP，CB＝CA即可；、（3）①分四种情形分别画出图形一一求解即可；②分两种情形如图6中，作EK⊥PC于K．只要证明四边形ADBC是正方形即可解决问题；如图7中，连接OC，作BG⊥CP于G，EK⊥PC于K．由△AOQ∽△ADB，可得S△ABD＝，可得S△PBD＝S△ABP﹣S△ABD＝，再根据S△BDE＝•S△PBD计算即可解决问题；解：（1）如图1中，连接BC．∵＝，∴BC＝CA，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠CBA＝45°．（2）解：如图1中，设PB交CD于K．∵＝，∴∠CDB＝∠CDP＝45°，CB＝CA，∴CD平分∠BDP，又∵CD⊥BP，∴∠DKB＝∠DKP＝90°，∵DK＝DK，∴△DKB≌△DKP，∴BK＝KP，即CD是PB的中垂线，∴CP＝CB＝CA．（3）①（Ⅰ）如图2，当B在PA的中垂线上，且P在右时，∠ACD＝15°；理由：连接BD、OC．作BG⊥PC于G．则四边形OBGC是正方形，∵BG＝OC＝OB＝CG，∵BA＝BA，∴PB＝2BG，∴∠BPG＝30°，∵AB∥PC，∴∠ABP＝30°，∵BD垂直平分AP，∴∠ABD＝∠ABP＝15°，∴∠ACD＝15°（Ⅱ）如图3，当B在PA的中垂线上，且P在左，∠ACD＝105°；理由：作BG⊥CP于G．同法可证∠BPG＝30°，可得∠APB＝∠BAP＝∠APC＝15°，∴∠ABD＝75°，∵∠ACD+∠ABD＝180°，∴∠ACD＝105°；（Ⅲ）如图4，A在PB的中垂线上，且P在右时∠ACD＝60°；理由：作AH⊥PC于H，连接BC．同法可证∠APH＝30°，可得∠DAC＝75°，∠D＝∠ABC＝45°，∴∠ACD＝60°；（Ⅳ）如图5，A在PB的中垂线上，且P在左时∠ACD＝120°理由：作AH ⊥PC 于H ．同法可证：∠APH ＝30°，可得∠ADC ＝45°，∠DAC ＝60°﹣45°＝15°，∴∠ACD ＝120°．②如图6中，作EK ⊥PC 于K ．∵EK ＝CK ＝3，∴EC ＝3，∵AC ＝6，∴AE ＝EC ，∵AB ∥PC ，∴∠BAE ＝∠PCE ，∵∠AEB ＝∠PEC ，∴△ABE ≌△CPE ，∴PC ＝AB ＝CD ，∴△PCD 是等腰直角三角形，可得四边形ADBC 是正方形，∴S △BDE ＝•S 正方形ADBC ＝36．如图7中，连接OC ，作BG ⊥CP 于G ，EK ⊥PC 于K ．由题意CK ＝EK ＝3，PK ＝1，PG ＝2，由△AOQ ∽△PCQ ，可得QC ＝，PQ 2＝，由△AOQ ∽△ADB ，可得S △ABD ＝，∴S △PBD ＝S △ABP ﹣S △ABD ＝，∴S △BDE ＝•S △PBD ＝综上所，满足条件的△BDE 的面积为36或．19．[2019年甘肃省张掖市高台县中考数学模拟试卷]如图，在等边△ABC 中，BC ＝8cm ，射线AG ∥BC ，点E 从点A 出发沿射线AG 以1cm /s 的速度运动，同时点F 从点B 出发沿射线BC 以2cm /s 的速度运动，设运动时间为t （s ）．（1）连接EF ，当EF 经过AC 边的中点D 时，求证：△ADE ≌△CDF ；（2）填空：①当t 为s 时，以A 、F 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形；②当t 为s 时，四边形ACFE 是菱形．【解析】（1）由题意得到AD ＝CD ，再由AG 与BC 平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS 即可得证；（2）①分别从当点F 在C 的左侧时与当点F 在C 的右侧时去分析，由当AE ＝CF 时，以A 、C 、E 、F 为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案；②若四边形ACFE 是菱形，则有CF ＝AC ＝AE ＝6，由E 的速度求出E 运动的时间即可．解：（1）证明：∵AG ∥BC ，∴∠EAD ＝∠DCF ，∠AED ＝∠DFC ，∵D 为AC 的中点，∴AD ＝CD ，∵在△ADE 和△CDF 中，，∴△ADE ≌△CDF （AAS ）；（2）解：①当点F 在C 的左侧时，根据题意得：AE ＝tcm ，BF ＝2tcm ，则CF ＝BC ﹣BF ＝6﹣2t （cm ），∵AG ∥BC ，∴当AE ＝CF 时，四边形AECF 是平行四边形，即t ＝8﹣2t ，解得：t ＝；当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BF﹣BC＝2t﹣8（cm），∵AG∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，即t＝2t﹣8，解得：t＝8；综上可得：当t＝或8s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．②若四边形ACFE是菱形，则有CF＝AC＝AE＝8，则此时的时间t＝8÷1＝8（s）；故答案是：或8；8．20．[2019年湖北省天门市佛子山中考数学模拟试卷]如图，四边形ABCD为矩形，AC为对角线，AB ＝6，BC＝8，点M是AD的中点，P、Q两点同时从点M出发，点P沿射线MA向右运动；点Q 沿线段MD先向左运动至点D后，再向右运动到点M停止，点P随之停止运动．P、Q两点运动的速度均为每秒1个单位．以PQ为一边向上作正方形PRLQ．设点P的运动时间为t（秒），正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积为S．（1）当点R在线段AC上时，求出t的值．（2）求出S与t之间的函数关系式，并直接写出取值范围．（求函数关系式时，只须写出重叠部分为三角形时的详细过程，其余情况直接写出函数关系式．）（3）在点P、点Q运动的同时，有一点E以每秒1个单位的速度从C向B运动，当t为何值时，△LRE是等腰三角形．请直接写出t的值或取值范围．【解析】（1）根据三角形相似可得，即，解答即可；（2）根据点P和点Q的运动情况分情况讨论解答即可；（3）根据△LRE是等腰三角形满足的条件．解：（1）当点R在线段AC上时，应该满足：，设MP为t，则PR＝2t，AP＝4﹣t，∴可得：，即，解得：t＝；（2）当时，正方形PRLQ与△ABC没有重叠部分，所以重叠部分的面积为0；当时，正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积为直角三角形KRW的面积＝，；当时，正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积＝×[2t﹣（4+t）+2t﹣（4﹣t）]•2t＝4t2﹣6t．当3＜t≤4时，正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积＝×[（4﹣t）+6﹣（4﹣t）]×2t＝×2t×6＝6t．当4＜t≤8时，正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积为S＝；综上所述S与t之间的函数关系式为：S＝．（3）在点P、点Q运动的同时，有一点E以每秒1个单位的速度从C向B运动，①当点E是BC的中点时，点E在LR的中垂线线上时，EL＝ER．此时t＝4s，△LRE是等腰三角形；当点E与点B重合时，点E在LR的中垂线线上时，EL＝ER．此时t＝8s，△LRE是等腰三角形；综上所述，t的取值范围是4≤t≤8；②当EL＝LR时，如图所示：LR＝2t，CF＝NL＝4﹣t，则EF＝2t﹣4．FL＝CN＝6﹣2t，则在直角△EFL中，由勾股定理得到：EL2＝EF2+FL2＝（2t﹣4）2+（6﹣2t）2．故由EL＝LR得到：EL2＝LR2，即4t2＝10t2﹣40t+52，整理，得t2﹣10t+13＝0，解得t1＝5+2（舍去），t2＝5﹣2．所以当t＝5﹣2（s）时，△LRE是等腰三角形；同理，当ER＝LR时，．综上所述，t的取值范围是4≤t≤8时，△LRE是等腰三角形；当t＝4s，或t＝8s或s或s时，△LRE是等腰三角形．21．[2019年湖北省天门市江汉学校、托市一中、张港初中等五校中考数学模拟试卷]某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：●操作发现：在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是（填序号即可）①AF＝AG＝AB；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB＝∠DMB．●数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；●类比探究：在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：．【解析】操作发现：由条件可以通过三角形全等和轴对称的性质，直角三角形的性质就可以得出结论；数学思考：作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，根据三角形的中位线的性质和等腰直角三角形的性质就可以得出四边形AFMG是平行四边形，从而得出△DFM≌△MGE，根据其性质就可以得出结论；类比探究：作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，DF和MG相交于H，根据三角形的中位线的性质可以得出△DFM≌△MGE，由全等三角形的性质就可以得出结论；解：●操作发现：∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，∴∠ABD＝∠DAB＝∠ACE＝∠EAC＝45°，∠ADB＝∠AEC＝90°在△ADB和△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（AAS），∴BD＝CE，AD＝AE，∵DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，∴AF＝BF＝DF＝AB，AG＝GC＝GE＝AC．∵AB＝AC，∴AF＝AG＝AB，故①正确；∵M是BC的中点，∴BM＝CM．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC+∠ABD＝∠ACB+∠ACE，即∠DBM＝∠ECM．在△DBM和△ECM中，∴△DBM≌△ECM（SAS），∴MD＝ME．故②正确；连接AM，根据前面的证明可以得出将图形1，沿AM对折左右两部分能完全重合，∴整个图形是轴对称图形，故③正确．∵AB＝AC，BM＝CM，∴AM⊥BC，∴∠AMB＝∠AMC＝90°，∵∠ADB＝90°，∴四边形ADBM四点共圆，∴∠ADM＝∠ABM，∵∠AHD＝∠BHM，∴∠DAB＝∠DMB，故④正确，故答案为：①②③④●数学思考：MD＝ME，MD⊥ME．理由：作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，∴AF＝AB，AG＝AC．∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形，∴DF⊥AB，DF＝AB，EG⊥AC，EG＝AC，∴∠AFD＝∠AGE＝90°，DF＝AF，GE＝AG．∵M是BC的中点，∴MF∥AC，MG∥AB，∴四边形AFMG是平行四边形，∴AG＝MF，MG＝AF，∠AFM＝∠AGM．∴MF＝GE，DF＝MG，∠AFM+∠AFD＝∠AGM+∠AGE，∴∠DFM＝∠MGE．在△DFM和△MGE中，，∴△DFM≌△MGE（SAS），∴DM＝ME，∠FDM＝∠GME．∵MG∥AB，∴∠GMH＝∠BHM．∵∠BHM＝90°+∠FDM，∴∠BHM＝90°+∠GME，∵∠BHM＝∠DME+∠GME，∴∠DME+∠GME＝90°+∠GME，即∠DME＝90°，∴MD⊥ME．∴DM＝ME，MD⊥ME；●类比探究：∵点M、F、G分别是BC、AB、AC的中点，∴MF∥AC，MF＝AC，MG∥AB，MG＝AB，∴四边形MFAG是平行四边形，∴MG＝AF，MF＝AG．∠AFM＝∠AGM∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，∴DF＝AF，GE＝AG，∠AFD＝∠BFD＝∠AGE＝90°∴MF＝EG，DF＝MG，∠AFM﹣∠AFD＝∠AGM﹣∠AGE，即∠DFM＝∠MGE．在△DFM和△MGE中，，∴△DFM≌△MGE（SAS），∴MD＝ME，∠MDF＝∠EMG．∵MG∥AB，∴∠MHD＝∠BFD＝90°，∴∠HMD+∠MDF＝90°，∴∠HMD+∠EMG＝90°，即∠DME＝90°，∴△DME为等腰直角三角形．22．[2019年湖北省武汉市江夏区流芳中学中考数学模拟试卷]如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AD＝3cm，BC＝7cm，∠B＝60°，P为BC边上一点（不与B，C重合），连接AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE＝∠B．（1）求证：△ABP∽△PCE；（2）求AB的长；（3）在边BC上是否存在一点P，使得DE：EC＝5：3？如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由．【解析】（1）先利用平角的定义和三角形的内角和定理判断出∠BAP＝∠CPE，再判断出四边形ABCD是等腰梯形，进而得出∠B＝∠C，即可得出结论；（2）利用等腰梯形的性质求出BF，进而求出AB，即可得出结论；（3）先求出CD＝4，进而求出CE，最后借助（1）的结论得出比例式建立方程求解，即可得出结论．解：（1）在△ABP中，∠B+∠BAP+∠APB＝180°∵∠APE＝∠B，∴∠APE+∠BAP+∠APB＝180°，∵∠APB+∠APE+∠CPE＝180°，∴∠BAP＝∠CPE，∵AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∴四边形ABCD是梯形，∵AB＝DC，∴∠B＝∠C，∴△ABP∽△PCE；（2）如图，过点A作AF⊥BC于F，在梯形ABCD中，AB＝CD，∴BF＝（BC﹣AD）＝2，在Rt△ABF中，∠B＝60°，∴∠BAF＝30°，∴AB＝2BF＝4；（3）由（2）知，AB＝4，∵CD＝AB，∴CD＝4，∵DE：EC＝5：3，∴CE＝CD＝×4＝，∵BC＝7，∴CP＝BC﹣BP＝7﹣BP，由（1）知，△ABP∽△PCE，∴，∴，∴BP2﹣7BP+6＝0，∴BP＝1或BP＝6，∵点P在BC上，∴0＜BP＜7，∴BP＝1或BP＝6．23．[2019年湖南省邵阳市邵东县团山镇中考数学模拟试卷]探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝50°，则∠ABX+∠ACX＝°；②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC＝140°，∠BG1C＝77°，求∠A的度数．【解析】（1）根据题意观察图形连接AD并延长至点F，由外角定理可知，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，则容易得到∠BDC＝∠BDF+∠CDF；（2）①由（1）的结论可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，然后把∠A＝50°，∠BXC＝90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值．②结合图形可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE＝50°，∠DBE＝130°即可得到∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的结论可知∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．③由（2）的方法，进而可得答案．解：（1）连接AD并延长至点F，由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；且∠BDC＝∠BDF+∠CDF及∠BAC＝∠BAD+∠CAD；相加可得∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，又因为∠A＝50°，∠BXC＝90°，所以∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°；②由（1）的结论易得∠DBE＝∠A+∠ADB+∠AEB，易得∠ADB+∠AEB＝80°；而∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠A，代入∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，易得∠DCE＝90°；③∠BG1C═（∠ABD+∠ACD）+∠A，∵∠BG1C＝77°，∴设∠A为x°，∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x°∴（140﹣x）+x＝77，14﹣x+x＝77，x ＝70∴∠A 为70°．24．[2019年江苏省无锡市锡山区中考数学模拟试卷]有一张矩形纸片ABCD ，AB ＝4，AD ＝9．（1）如图1，点E 在这张矩形纸片的边AD 上，将纸片折叠，使AB 落在CE 所在直线上，折痕设为MN （点M ，N 分别在边AD ，BC 上），利用直尺和圆规画出折痕MN （不写作法，保留作图痕迹）；（2）如图2，点K 在这张矩形纸片的边AD 上，DK ＝3，将纸片折叠，使AB 落在CK 所在直线上，折痕为HI ，点A ，B 分别落在点A ′，B ′处，小明认为B ′I 所在直线恰好经过点D ，他的判断是否正确，请说明理由．【分析】（1）延长BA 交CE 的延长线由G ，作∠BGC 的角平分线交AD 于M ，交BC 于N ，直线MN 即为所求；（2）由△CDK ∽△IB ′C ，推出＝＝，设CB ′＝3k ，IB ′＝4k ，IC ＝5k ，由折叠可知，IB ＝IB ′＝4k ，可知BC ＝BI +IC ＝4k +5k ＝9，推出k ＝1，推出IC ＝5，IB ′＝4，B ′C＝3，在Rt △ICB ′中，tan ∠B ′IC ＝＝，连接ID ，在Rt △ICD 中，tan ∠DIC ＝＝，由此即可判断tan ∠B ′IC ≠tan ∠DIC ，推出B ′I 所在的直线不经过点D ．解：（1）如图1所示直线MN 即为所求；（2）小明的判断不正确．理由：如图2，连接ID ，在Rt △CDK 中，∵DK ＝3，CD ＝4，∴CK ＝＝5，∵AD ∥BC ，∴∠DKC ＝∠ICK ，由折叠可知，∠A ′B ′I ＝∠B ＝90°，∴∠IB ′C ＝90°＝∠D ，∴△CDK ∽△IB ′C ，∴＝＝，即＝＝，设CB ′＝3k ，IB ′＝4k ，IC ＝5k ，由折叠可知，IB ＝IB ′＝4k ，∴BC ＝BI +IC ＝4k +5k ＝9，∴k ＝1，∴IC ＝5，IB ′＝4，B ′C ＝3，在Rt △ICB ′中，tan ∠B ′IC ＝＝，。
2020年中考数学重组卷05(解析版)
冲刺2020年中考数学精选真题重组卷山西卷05班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________第I卷选择题（共30分）一、选择题（本大题共10 个小题，每小题 3 分，共30 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．（2018•安徽）-8的绝对值是( )A. -8B. 8C. ±8D. -18【答案】B【分析】根据绝对值的定义“一个数的绝对值是数轴上表示这个数的点到原点的距离”进行解答即可.【详解】数轴上表示数-8的点到原点的距离是8，所以-8的绝对值是8，故选B.【名师点睛】本题主要考查了绝对值的概念，熟记绝对值的概念是解题的关键.2．（2018•宿迁）下列运算正确的是( )A. a2?a3=a6B. a2-a1=aC. (a2)3=a6D. a8÷a2=a4【答案】C【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项的法则逐项进行计算即可得.【详解】A. a2?a3=a5，故A选项错误；B. a2与a1不是同类项，不能合并，故B选项错误；C. (a2)3=a6，故C选项正确；D. ，故D选项错误，故选C.【名师点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项等运算，熟练掌握有关的运算法则是解题的关键.3．（2018·孝感）已知x+y=4√3，x-y=√3，则式子(x−y+4xyx−y )(x+y−4xyx+y)的值是( )A. 48B. 12√3C. 16D. 12【答案】D【解析】分析：先通分算加法，再算乘法，最后代入求出即可． 详解：（x -y +4xyx -y ）（x +y -4xyx+y ）=(x -y )2+4xyx -y?(x+y )2-4xy x+y=(x+y )2x -y?(x -y )2x+y=（x +y ）（x -y ），当x +y =4√3，x -y =√3时，原式=4√3×√3=12， 故选：D ．【名师点睛】本题主要考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．4．（2019•重庆A 卷）如图，在△ABC 中，D 是AC 边上的中点，连接BD ，把△BDC ′沿BD 翻折，得到BDC'△，DC 与AB 交于点E ，连接AC'，若AD =AC ′=2，BD =3则点D 到BC 的距离为( )A 33B ．3217C 7D 13【答案】B【解析】如图，连接CC ′，交BD 于点M ，过点D 作DH ⊥BC ′于点H ，∵AD =AC '=2，D 是AC 边上的中点，∴DC =AD =2，由翻折知，△BDC ≌△BDC ′，BD 垂直平分CC ′，∴DC =DC ′=2，BC =BC ′，CM =C ′M ，∴AD =AC '=DC ′=2， ∴△ADC ′为等边三角形，∴∠ADC =∠AC ′D =∠C ′AC =60°， ∵DC =DC ′，∴∠DCC ′=∠DC ′C =12×60°=30°， 在Rt △CDM 中，∠DC ′C =30°，DC ′=2，∴DM =1，C ′M 33，.BM =BD -DM =3-1=2， 在Rt △BMC 中，BC 22222(3)7BM C M '+=+=，∵1122BDC S'BC'DH BD CM =⋅=⋅△，∴733DH =⨯，∴.BM =BD -DM =3-1=2， 在Rt △C 'DM 中，22222(3)7BC BM C M ''=+=+=，∵1122BDC S'BC DH BD CM ='⋅=⋅△，∴733DH =⨯，∴3217DH =，故选B ． 【名师点睛】本题主要考查了直角三角形.5.（2019•河南）如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图②．关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是( )A ．主视图相同B ．左视图相同C ．俯视图相同D ．三种视图都不相同【答案】C【解析】图①的三视图为：图②的三视图为：，故选C ．【名师点睛】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力．6．（2018•重庆A 卷）若数a 使关于x 的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y 的方程y+a y -1+2a1-y =2的解为非负数，则符合条件的所有整数a 的和为( )A. -3B. -2C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】先求出不等式的解集，根据只有四个整数解确定出a的取值范围，解分式方程后根据解为非负数，可得关于a的不等式组，解不等式组求得a的取值范围，即可最终确定出a的范围，将范围内的整数相加即可得.【详解】解不等式，得{x<5x≥a+24，由于不等式组只有四个整数解，即只有4个整数解，∴，∴；解分式方程y+ay-1+2a1-y=2，得y=2-a，∵分式方程的解为非负数，∴{2-a≥02-a-1≠0，∴a≤2且a≠1，∴且a≠1，∴符合条件的所有整数a为：-1，0，2，和为：-1+0+2=1，故选C.【名师点睛】本题主要考查了含有参数的不等式和含有参数的分式方程的应用，熟练掌握不等式组的解法、分式方程的解法以及解分式方程需要注意的事项是解题的关键.7．（2018•深圳）260000000用科学计数法表示为( )A. B. C. D. 26×107【答案】B【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【详解】260000000的小数点向左移动8位得到2.6，所以260000000用科学计数法表示为，故选B.【名师点睛】本题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．8．（2018•娄底）关于x的一元二次方程的根的情况是( )A. 有两不相等实数根B. 有两相等实数根C. 无实数根D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程的根的判别式进行判断即可.【详解】，△=[-(k+3)]2-4k=k2+6k+9-4k=(k+1)2+8，∵(k+1)2≥0，∴(k+1)2+8>0，即△>0，∴方程有两个不相等实数根，故选A.【名师点睛】本题主要考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．9．（2018•江西）在平面直角坐标系中，分别过点A(m,0),作x轴的垂线l 1和l2,探究直线l1和l2与双曲线y=3x 的关系，下列结论中错误．．的是）( )A. 两直线中总有一条与双曲线相交B. 当m=1时，两条直线与双曲线的交点到原点的距离相等C. 当时，两条直线与双曲线的交点在y轴两侧D. 当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的最短距离是2【答案】D【解析】【分析】根据题意给定m特定值、非特定值分别进行讨论即可得.【详解】当m=0时，l2与双曲线有交点，当m=-2时，l1与双曲线有交点，当时，和双曲线都有交点，所以A正确，不符合题意；当m=1时，两交点分别是(1，3)，(3，1)，到原点的距离都是√10，所以B正确，不符合题意；当时，l 1在y轴的左侧，l2在y轴的右侧，所以C正确，不符合题意；两交点分别是)，两交点的距离是√4+36[m(m+2)]2，当m无限大时，两交点的距离趋近于2，所以D不正确，符合题意，故选D.【名师点睛】本题主要考查了垂直于x轴的直线与反比例函数图象之间的关系，利用特定值，分情况进行讨论是解本题的关键，本题有一定的难度.10．（2018•深圳）如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，A为角与直尺交点，,则光盘的直径是( )A. 3B.C. 6D.【答案】D【解析】【分析】设光盘圆心为O，连接OC，OA，OB，由AC、AB都与圆O相切，利用切线长定理得到AO平分∠BAC，且OC垂直于AC，OB垂直于AB，可得出∠CAO=∠BAO=60°，得到∠AOB=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出OA的长，再利用勾股定理求出OB的长，即可确定出光盘的直径．【详解】如图，设光盘圆心为O，连接OC，OA，OB，∵AC、AB都与圆O相切，∴AO平分∠BAC，OC⊥AC，OB⊥AB，∴∠CAO=∠BAO=60°，∴∠AOB=30°，在Rt△AOB中，AB=3cm，∠AOB=30°，∴OA=6cm，根据勾股定理得：OB=3√3，则光盘的直径为6√3，故选D.【名师点睛】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，含30°角的直角三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．第II卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共5 个小题，每小题3 分，共15 分）11．（2018•南京）如图，五边形ABCDE是正五边形，若l 1//l2，则__________．【答案】72【解析】分析：延长AB交l2于点F，根据l1//l2得到∠2=∠3,根据五边形ABCDE是正五边形得到∠FBC=72°,最后根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出.详解：延长AB交l2于点F，∵l1//l2，∴∠2=∠3，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC=108°,∴∠FBC=72°,∠1-∠2=∠1-∠3=∠FBC=72°故答案为：72°.【名师点睛】本题主要考查了平行线的性质和正五边形的性质，正确把握五边形的性质是解题关键.12．（2019•广西）“学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是【答案】2 9【解析】图书馆，博物馆，科技馆分别记为A、B、C，画树状图如下：共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为3，所以两人恰好选择同一场馆的概率=39=13．故选A．【名师点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．13．（2019•重庆）在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植中药材川香、贝母、黄连增加经济收入．经过一段时间，该村已种植的川香、贝母、黄连面积之比是4：3：5，根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量，将在该村余下土地上继续种植这三种中药材，经测算需将余下土地面积的916种植黄连，则黄连种植总面积将达到这三种中药材种植总面积的1940．为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到3：4，则该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是__________．【答案】3：20【解析】设该村已种药材面积为x，余下土地面积为y，还需种植贝母的面积为z，则总面积为（x+y），川香已种植面积13x、贝母已种植面积14x，黄连已种植面积512x．依题意可得，5919()121640191 [()]:()3:4 3164x y x yx y y z x z⎧+=+⎪⎪⎨⎪+--+=⎪⎩①②，由①得 x =32y ③，将③代入②，z =38y ， ∴贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比=3383202y z x y y y ==++， 故答案为3：20．【名师点睛】本题考查了三元一次方程组，正确找出等量关系并列出方程是解题的关键．14．（2019•济宁）已知点P （x ，y ）位于第四象限，并且x ≤y +4（x ，y 为整数），写出一个符合上述条件的点P 的坐标__________． 【答案】（1，–2）（答案不唯一）【解析】∵点P （x ，y ）位于第四象限，并且x ≤y +4（x ，y 为整数），∴x ＞0，y <0， ∴当x =1时，1≤y +4，解得–3≤y <0，∴y 可以为：–2，故写一个符合上述条件的点P 的坐标可以为：（1，–2）（答案不唯一）． 故答案为：（1，–2）（答案不唯一）．【名师点睛】此题主要考查了点的坐标，正确把握横纵坐标的符号特征是解题关键．15．（2019•新疆）如图，在△ABC 中，AB =AC =4，将△ABC 绕点A 顺时针旋转30°，得到△ACD ，延长AD交BC 的延长线于点E ，则DE 的长为__________．【答案】3–2【解析】根据旋转过程可知：∠CAD =30°=∠CAB ，AC =AD =4． ∴∠BCA =∠ACD =∠ADC =75°． ∴∠ECD =180°–2×75°=30°． ∴∠E =75°–30°=45°． 过点C 作CH ⊥AE 于H 点，在Rt△ACH中，CH=12AC=2，AH=23．∴HD=AD–AH=4–23．在Rt△CHE中，∵∠E=45°，∴EH=CH=2．∴DE=EH–HD=2–（4–23）=23–2．故答案为23–2．【名师点睛】本题主要考查了旋转的性质以及特殊直角三角形的性质，解题的关键是作垂线构造直角三角形，利用线段的和差求解即可．三、解答题（本大题共8 个小题，共75 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（2018•义乌）（本题共2 个小题，每小题5 分，共10 分）(1)计算：.(2)解方程：x2-2x-1=0.【答案】（1）2；（2）x1=1+√2，x2=1-√2.【解析】分析：（1）首先计算特殊角的三角函数、二次根式的化简、零次幂、负整数指数幂，然后再计算加减即可；（2）首先计算△，然后再利用求根公式进行计算即可．详解：（1）原式=2√3-2√3-1+3=2；（2）a=1，b=-2，c=-1，△=b2-4ac=4+4=8＞0，方程有两个不相等的实数根，x=，则x1=1+√2，x2=1-√2．【名师点睛】本题主要考查了实数的运算和一元二次方程的解法，关键是熟练掌握特殊角的三角函数、二次根式的化简、零次幂、负整数指数幂以及一元二次方程的求根公式．17．（本题7分）（2019•温州）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AB 边上一点，过点C 作CF ∥AB 交ED 的延长线于点F ． （1）求证：△BDE ≌△CDF ；（2）当AD ⊥BC ，AE =1，CF =2时，求AC 的长．【解析】（1）∵CF AB ∥， ∴B FCD BED F ∠=∠∠=∠，， ∵AD 是BC 边上的中线，∴BD CD =， ∴△BDE ≌△CDF ． （2）∵△BDE ≌△CDF ， ∴2BE CF ==，∴123AB AE BE =+=+=． ∵AD BC BD CD ⊥=，， ∴3AC AB ==．【名师点睛】本题主要考查了全等三角形. 18.（本题9分）（2019•张家界）阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a 1，排在第二位的数称为第二项，记为a 2，依此类推，排在第n 位的数称为第n 项，记为a n ．所以，数列的一般形式可以写成：a 1，a 2，a 3，…，a n ，…．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d 表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a 1=1，a 2=3，公差为d =2． 根据以上材料，解答下列问题：（1）等差数列5，10，15，…的公差d 为5，第5项是__________．（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，a n，…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，…，a n-a n-1=d，…．所以a2=a1+d，a3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2d，a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d，……由此，请你填空完成等差数列的通项公式：a n=a1+__________d．（3）-4041是不是等差数列-5，-7，-9…的项？如果是，是第几项？【解析】（1）根据题意得，d=10-5=5．∵a3=15，a4=a3+d=15+5=20，a5=a4+d=20+5=25，故答案为：5；25．（2）∵a2=a1+d，a3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2d，a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d，……∴a n=a1+（n-1）d，故答案为：n-1．（3）根据题意得，等差数列-5，-7，-9…的项的通项公式为：a n=-5-2（n-1），则-5-2（n-1）=-4041，解之得：n=2019，∴-4041是等差数列-5，-7，-9，…的项，它是此数列的第2019项．【名师点睛】本题考查了学生的分析、阅读等自学能力，解题的关键是要认真阅读题目，理解题目呈现的数学思想及数学方法．19．（本题8分）（2019•梧州）我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x元/件（x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．【解析】（1）由题意，y=（x-5）（100-60.5x-×5）=-10x2+210x-800，故y与x的函数关系式为：y=-10x2+210x-800．（2）要使当天利润不低于240元，则y≥240，∴y=-10x2+210x-800=-10（x-10.5）2+302.5=240，解得，x1=8，x2=13，∵-10<0，抛物线的开口向下，∴当天销售单价所在的范围为8≤x≤13．（3）∵每件文具利润不超过80%，∴50.8xx-≤，得x≤9，∴文具的销售单价为6≤x≤9，由（1）得y=-10x2+210x-800=-10（x-10.5）2+302.5，∵对称轴为x=10.5，∴6≤x≤9在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大，∴当x=9时，取得最大值，此时y=-10（9-10.5）2+302.5=280，即每件文具售价为9元时，最大利润为280元．【名师点睛】本题主要考查了二次函数关系式、二次函数图像和性质.20．（本题9分）（2019•甘肃）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB=CD，AC=900mm，∠ACD=65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）【答案】该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．【解析】如图，连接BD，作DM⊥AB于点M，∵AB=CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，∴AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴∠C=∠ABD，AC=BD，∵∠C=65°，AC=900，∴∠ABD=65°，BD=900，∴BM=BD•cos65°=900×0.423≈381，DM=BD•sin65°=900×0.906≈815，∵381÷3=127，120＜127＜150，∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，∵815÷3≈272，260＜272＜300，∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．【名师点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．21.（本题8分）（2019•海南）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．（1）求证：△PDE≌△QCE；（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB=PQ时，①求证：四边形AFEP是平行四边形；②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠ECQ=90°，∵E是CD的中点，∴DE=CE，又∵∠DEP=∠CEQ，∴△PDE≌△QCE．（2）①∵PB=PQ，∴∠PBQ=∠Q，∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD，∵△PDE≌△QCE，∴PE=QE，∵EF∥BQ，∴PF=BF，∴在Rt△P AB中，AF=PF=BF，∴∠APF=∠P AF，∴∠P AF=∠EPD，∴PE∥AF，∵EF∥BQ∥AD，∴四边形AFEP是平行四边形；②四边形AFEP不是菱形，理由如下：设PD=x，则AP=1-x，由（1）可得△PDE≌△QCE，∴CQ=PD=x，∴BQ=BC+CQ=1+x，∵点E、F分别是PQ、PB的中点，∴EF是△PBQ的中位线，∴EF12=BQ12x+=，由①知AP=EF，即1-x12x+ =，解得x13 =，∴PD13=，AP23=，在Rt△PDE中，DE12 =，∴PE2213PD DE=+=∴AP≠PE，∴四边形AFEP不是菱形．【名师点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行四边形与菱形的判定、性质等知识点．22.（本题11分）（2019•安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°．（1）求证：△P AB∽△PBC；（2）求证：P A=2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3．【解析】（1）∵∠ACB=90°，AB=BC，∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC，又∠APB=135°，∴∠P AB+∠PBA=45°，∴∠PBC=∠P AB，又∵∠APB =∠BPC =135°， ∴△P AB ∽△PB C ． （2）∵△P AB ∽△PBC ， ∴PA PB ABPB PC BC ==， 在Rt △ABC 中，AB =AC ， ∴2ABBC= ∴22PB PC PA PB ==，，∴P A =2P C ．（3）如图，过点P 作PD ⊥BC ，PE ⊥AC 交BC 、AC 于点D ，E ，∴PF =h 1，PD =h 2，PE =h 3， ∵∠CPB +∠APB =135°+135°=270°， ∴∠APC =90°， ∴∠EAP +∠ACP =90°，又∵∠ACB =∠ACP +∠PCD =90°， ∴∠EAP =∠PCD ， ∴Rt △AEP ∽Rt △CDP ，∴2PE AP DP PC ==，即322h h =， ∴h 3=2h 2， ∵△P AB ∽△PBC ， ∴122h ABh BC==，∴122h h =，∴2212222322h h h h h h ==⋅=．即：h 12=h 2·h 3．【名师点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出∠EAP =∠PCD 是解本题的关键．23.（本题13分）（2019•河南）如图，抛物线y =ax 2+12x +c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直线y =–12x –2经过点A ，C ． （1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线上一动点，过点P 作x 轴的垂线，交直线AC 于点M ，设点P 的横坐标为m ． ①当△PCM 是直角三角形时，求点P 的坐标；②作点B 关于点C 的对称点B′，则平面内存在直线l ，使点M ，B ，B′到该直线的距离都相等．当点P 在y 轴右侧的抛物线上，且与点B 不重合时，请直接写出直线l ：y =kx +b 的解析式．（k ，b 可用含m 的式子表示）【答案】（1）抛物线的解析式为y =14x 2+12x –2．（2）①点P 的坐标为（-2，-2）或（6，10）.②直线l 的解析式为y =–424m m +-x –2，y =424m m -++x –2或y =x –34m –2．【解析】（1）∵直线y =–12x –2交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，∴A （-4，0），C （0，-2）.∵抛物线y =ax 2+12x +c 经过点A ，C ， ∴01622a c c =-+⎧⎨-=⎩，∴142a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴抛物线的解析式为y =14x 2+12x –2． （2）①∵点P 的横坐标为m ，∴点P 的坐标为（m ，14m 2+12m –2）. 当△PCM 是直角三角形时，有以下两种情况： （i ）当∠CPM =90°时，PC ∥x 轴，14x 2+12x –2=-2. 解得m 1=0（舍去），m 2=-2. ∵当m =-2时，14m 2+12m –2=-2. ∴点P 的坐标为（-2，-2）.（ii ）当∠PCM =90°时，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ， ∴∠CNP =∠AOC =90°. ∵∠NCP +∠ACO =∠OAC +∠ACO =90°， ：∠NCP =∠OAC ，∴△GNP ∽△AOC ，∴CN PNAO CO=， ∵C （0，-2），N （0，14m 2+12m –2）， ∴CN =21142m m +，PN =m . 即2114242m m m +=，解得a 3=0（含去），m 4=6.∵当m =6时，14m 2+12m –2=10，∴点P 的坐标为（6，10）.综上所述，点P 的坐标为（-2，-2）或（6，10）. ②当y =0时，14x 2+12x –2=0， 解得x 1=–4，x 2=2， ∴点B 的坐标为（2，0）．∵点C 的坐标为（0，–2），点B ，B′关于点C 对称，∴点B′的坐标为（–2，–4）．∵点P的横坐标为m（m＞0且m≠2），∴点M的坐标为（m，–12m–2）．利用待定系数法可求出：直线BM的解析式为y=–424mm+-x+42mm+-，直线B′M的解析式为y=424mm-++x–542mm++，直线BB′的解析式为y=x–2．分三种情况考虑，如图2所示：当直线l∥BM且过点C时，直线l的解析式为y=–424mm+-x–2；当直线l∥B′M且过点C时，直线l的解析式为y=424mm-++x–2；当直线l∥BB′且过线段CM的中点N（12m，–14m–2）时，直线l的解析式为y=x–34m–2．综上所述：直线l的解析式为y=–424mm+-x–2，y=424mm-++x–2或y=x–34m–2．【名师点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）①分∠MPC=90°及∠PCM=90°两种情况求出点P的坐标；②利用待定系数法及平行线的性质，求出直线l的解析式．。
湖北孝感市2020年部分学校九年级5月调研考试数学试题(含答案)
湖北省孝感市2020年九年级五月份调研考试数学试卷（第Ⅰ卷（选择题，共30分）一、精心选择，一锤定音.（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的）1-32的倒数是（ ） A.32 B.32- C.23 D.23- 2.若代数式21xx -有意义，则实数x 的取值范围是（ ）A.0x =B.1x =C.0x ≠D.1x ≠3.以下四张图片中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.4.右图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A.三棱柱B.三棱锥C.圆柱D.圆锥第4题图 第9题图 第10题图 5.下列说法正确的是（ ）A.为了解全省中学生的心理健康情况，宜采用普查方式B.某彩票设“中奖概率为1100”，购买100张彩票就一定会中奖一次 C.某地会发生地震是必然事件D.若甲组数据的方差20.1S =甲，乙组数据的方差20.2S =乙，则甲组数据比乙组稳定6.关于x 的分式方程11mx =-+的解是负数，则m 的取值范围是（ ） A.1m -＞ B.1m -＞且0m ≠ C.1m ≥- D.1m ≥-且0m ≠7.已知点A ，点B 都在直线l 的上方，试用尺规作图在直线l 上求作一点P ，使得PA PB +的值最小，则下列作法正确的是（ ）A. B. C. D.8.《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，FECD BA盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x 人，物价为y 钱，以下列出的方程组正确的是（ ） A.8374y x y x -=⎧⎨-=⎩ B.8374y x x y -=⎧⎨-=⎩ C.8374x y y x -=⎧⎨-=⎩ D.8374x y x y -=⎧⎨-=⎩9.“龟兔赛跑”是同学们熟悉的寓言故事。
2020届九年级《新题速递·数学》2月第01期(考点16)
由
，解得
，∴C（﹣ ， ），
∵若反比例函数 y＝ 的图象经过点 C，∴k＝﹣ ． （3）如图 1 中，当四边形 MNPQ 是矩形时，∵OD＝OB＝4，
∴∠OBD＝∠ODB＝45°，∴∠PNB＝∠ONM＝45°，∴OM＝DM＝ON＝2， ∴BN＝2，PB＝PN＝ ，∴P（﹣1，3）．
4
如图 2 中，当四边形 MNPQ 是矩形时（点 N 与原点重合）， 易证△DMQ 是等腰直角三角形，OP＝MQ＝DM＝2，P（0，2）； 如图 3 中，当四边形 MNPQ 是矩形时，设 PM 交 BD 于 R， 易知 R（﹣1，3），可得 P（0，6）
（2）∵EC⊥AB，∴∠ACD＝∠AOB＝∠DOE＝90°， ∴∠OAB+∠ADC＝90°，∠DEO+∠ODE＝90°， ∵∠ADC＝∠ODE，∴∠OAB＝∠DEO， ∴△AOB∽△EOD，∴ ＝ ， ∴OE：OD＝OA：OB＝2， 设 OD＝m，则 OE＝2m，
∵ •m•2m＝16，∴m＝4 或﹣4（舍弃），∴D（﹣4，0），E（0，﹣8）， ∴直线 DE 的解析式为 y＝﹣2x﹣8， ∵A（﹣8，0），B（0，4），∴直线 AB 的解析式为 y＝ x+4，
（2）证明：∵反比例函数解析式为 ，∴设 A 点坐标为（a， ）． ∵PB⊥x 轴于点 C，PA⊥y 轴于点 D， ∴D 点坐标为（0， ），P 点坐标为（1， ），C 点坐标为（1，0）， ∴PB＝3﹣ ，PC＝﹣ ，PA＝1﹣a，PD＝1，
∴
，
，∴
．
又∵∠P＝∠P，∴△PDC∽△PAB，∴∠CDP＝∠A，∴CD∥AB． （3）解：∵四边形 ABCD 的面积和△PCD 的面积相等，∴S△PAB＝2S△PCD， ∴ ×（3﹣ ）×（1﹣a）＝2× ×1×（﹣ ）， 整理得：（a﹣1）2＝2，解得：a1＝1﹣ ，a2＝1+ （舍去）， ∴P 点坐标为（1，﹣3 ﹣3）． 4．[2019 年山东省滨州市中考数学模拟试卷]已知点 A 在 x 轴负半轴上，点 B 在 y 轴正半轴上，线段 OB 的长是方程 x2﹣2x﹣8＝0 的解，tan∠BAO＝ ． （1）求点 A 的坐标； （2）点 E 在 y 轴负半轴上，直线 EC⊥AB，交线段 AB 于点 C，交 x 轴于点 D，S△DOE＝16．若 反比例函数 y＝ 的图象经过点 C，求 k 的值； （3）在（2）条件下，点 M 是 DO 中点，点 N，P，Q 在直线 BD 或 y 轴上，是否存在点 P，使 四边形 MNPQ 是矩形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．