(完整word)2019-2020学年河南省豫西名校高二上学期第二次联考数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年河南省豫西名校高二上学期第二次联考数学（理）试题一、单选题1．命题“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ） A ．若21x ≥，则1x ≥或1x ≤- B ．若11x -<<，则21x < C ．若1x >或1x <-，则21x > D ．若1x ≥或1x ≤-，则21x ≥【答案】D【解析】直接利用逆否命题的定义解答即可. 【详解】根据逆否命题的定义得，命题“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是“若1x ≥或1x ≤-，则21x ≥” 故选：D 【点睛】本题主要考查逆否命题的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．已知集合()(){}{}1021A x mx x n x x =++>=-≤<，则n m -等于（ ） A ．3 B ．1C ．1-D ．3-【答案】A【解析】求出,m n 的值，即得解. 【详解】由题意知2x =-、1x =是方程()()10mx x n ++=的两根， 代入解得1m =-，2n =. 所以3n m -=． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解集，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．已知点(),P x y 10=，点P 的轨迹是（ ） A ．圆B ．线段C ．椭圆D ．射线【答案】B【解析】等价于点(),P x y 到()1,1A -、()5,7B -两点距离的和为10，由|AB|=10即得解. 【详解】方程表示点(),P x y 到()1,1A -、()5,7B -两点距离的和为10，因为10AB ==, 所以点P 的轨迹是线段AB ． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查动点的轨迹和两点间的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是( ) A ．红豆生南国 B ．春来发几枝 C ．愿君多采撷 D ．此物最相思 【答案】A【解析】利用命题的定义即可判断出答案． 【详解】由命题的定义可知：“红豆生南国”这一句可以判断红豆生在什么地方，因此可以作为一个命题． 故选：A ． 【点睛】正确理解命题的定义是解题的关键．5．已知椭圆22143x y +=，直线l ：0x my m +-=（m R ∈），直线l 与椭圆的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相切C ．相交D ．不确定【答案】C【解析】由题得直线过定点（0，1），而该定点在椭圆内部，所以直线和椭圆相交. 【详解】由题意知l ：0x my m +-=（m R ∈）恒过点()0,1，因为2211043+<，所以点（0,1）在椭圆内部，所以直线l 与椭圆相交． 故选：C 【点睛】本题主要考查点和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .则“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由正弦定理得，所以“”是“”的充要条件，选C.7．已知点P 是椭圆22184x y +=上的一点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，若12F PF ∆为直角三角形，则满足条件的点P 个数共有（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】B【解析】当122F PF π∠=时有两个，当122PF F π∠=或212PF F π∠=时，有4个．即得解. 【详解】当点P 在短轴顶点时，由于2b c ==，122F PF π∠=,此时满足已知的有两个；当122PF F π∠=或212PF F π∠=时，有4个．所以满足条件的点P 个数共有6个． 故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若2a b +≥．则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题是一个真命题B ．命题“负数的平方是正数”是特称命题C ．命题“设a ，b R ∈，若9a b +≠，则4a ≠或5b ≠”是一个真命题D ．常数数列既是等差数列也是等比数列 【答案】C【解析】对每一个命题逐一分析判断得解. 【详解】A. 命题“若2a b +≥．则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题是“a ，b 中至少有一个不小于1，则2a b +≥”是一个假命题，如11,,2a b ==但是322a b +=<. B. 命题“负数的平方是正数”是一个全称命题，因为它表示“任意一个负数的平方是正数”.所以该命题是假命题.C. 命题“设a ，b R ∈，若9a b +≠，则4a ≠或5b ≠”的逆否命题是“4a = 且=5b ，则9a b +=” ，由于其逆否命题是真命题，所以原命题是真命题.D. 常数数列既是等差数列也是等比数列,是假命题，如常数列的常数为0,则不是等比数列. 故选：C 【点睛】本题主要考查四种命题及其关系，考查全称命题和特称命题，考查等差数列和等比数列的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．已知直线l 与椭圆221164x y +=交于A ，B 两点，且点()2,1M 是弦AB 的中点，则直线l 的方程为（ ） A ．240x y +-= B ．250x y +-= C ．230x y --= D ．230x y --=【答案】A【解析】利用点差法求出12AB k =-，即得直线AB 的方程. 【详解】设A ，B 的坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ， 由点差法得1212121212121124y y y y y y x x x x x x -+-⋅=⨯=--+-．12AB k ∴=-，所以直线l 的方程为11(2)2y x -=--即240x y +-=． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查点差法和直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，132030a =，1n n n a S S -=（2n ≥，n *∈N ），当n S 取最大值时，则n 的值为（ ）A ．672B ．673C ．674D ．675【答案】C【解析】先利用1n n n a S S -=得到数列1{}n S 是以20203为首项，1-为公差的等差数列，求出320233n S n=-即得解.【详解】当2n ≥时，11n n n n n a S S S S --=-= 1111n n S S -∴-=-， 所以数列1{}n S 是以20203为首项，1-为公差的等差数列． 所以1202032023133n n n S -+=-+=， 320233n S n∴=-，所以当674n =时，n S 取最大值为3． 故选：C 【点睛】本题主要考查等差数列的判定和等差数列的通项的求法，考查数列的通项和前n 项和的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别是1F ，2F ，以1F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线2PF 恰好与圆1F 相切于点P ，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．12C ．2D 1【答案】D【解析】由题得圆1F 的方程为()222x c y c ++=，分析得到()22224a c c c -+=，解方程即得解. 【详解】圆1F 的方程为()222x c y c ++=，因为2PF 恰好与圆1F 相切点于P ，所以()22224a c c c -+= 可得22220c ac a +-=，2220e e ∴+-=．1e ∴=．故选：D 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2cos c a a B -=，则ba的取值范围是（ ）A ．(B ．C ．(D ．()0,1【答案】B【解析】化简已知得2B A =,根据已知求出A 的范围和2cos b A a =，即得ba的取值范围. 【详解】由正弦定理得2cos c a a B -=．sin 2sin cos sin sin cos cos sin C A B A A B A B =+=+()sin sin A B A ∴=-． 22B A π∴=<，因为32C A ππ=-<，02A π<<，64A ππ∴<<，所以sin sin 22cos sin sin b B A A a A A===∈．故选：B 【点睛】本题主要考查正弦定理边角互化，考查三角恒等变换和余弦函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题13．已知方程22115x y n n +=++表示椭圆，则该椭圆的焦点坐标为______．【答案】()0,2±【解析】判断椭圆的焦点所在的轴即得解. 【详解】由题意51n n +>+知焦点在y 轴上． 因为514n n +--=， 所以椭圆的焦点坐标为()0,2± 故答案为：()0,2± 【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14．若命题“x R ∃∈，使得210ax ax ++≤”为假命题，则实数a 的取值范围为______． 【答案】[)0,4．【解析】试题分析： 由命题“x R ∃∈，使得210ax ax ++≤”为假命题，得其否定命题：“x R ∀∈，使得210ax ax ++>”是真命题； 即不等式210ax ax ++>在R 上恒成立，当0a =时，不等式为20010x x ⋅+⋅+>，显然它在R 上恒成立； 当0a ≠时，必须且只需20{40a a a >=-<V ，解得：04a <<，综上所述，实数a 的取值范围为[)0,4．故答案应填：[)0,4． 【考点】特称命题与全称命． 15．数列{}n a 满足11a =，121n n a a n n+=++，则2019a =______． 【答案】40372019【解析】由题得1111n n a a n n +-=-+,再利用累加法求解即可. 【详解】 由题得1111n n a a n n +-=-+， 201911111140371122018201920172018220192019a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：40372019【点睛】本题主要考查累加法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16．已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的离心率1,22e ⎡∈⎢⎣⎦，直线1y x =-+交椭圆于M ，N 两点，O 为坐标原点，且0OM ON ⋅=u u u u r u u u r，则椭圆短轴长的最小值是______．【解析】设(),M x y ，()22,N x y ，由222211y x x y a b =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩和韦达定理求出22221b a b =-，再根据1,22e ⎡∈⎢⎣⎦求出椭圆短轴长的最小值.【详解】设(),M x y ，()22,N x y ，由222211y x x y ab =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得()222222220a bxa x a ab +-+-=212222a x x a b +=+，2221222a ab x x a b-=+()()()12121212121211210OM ON x x y y x x x x x x x x ⋅=+=+-+-+=-++=u u u u r u u u r代入解得22221b a b =-， 22222211122,42c b e b a a ⎡⎤==-=-∈⎢⎥⎣⎦4b ≤≤．2b ≤≤【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题17．设p ：实数x 满足()223120(0)x a x a a a -+++≤>，q ：实数x 满足()f x =（1）当2a =时，命题p q ∧为真命题，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）23x ≤≤；（2）3a >或102a <<【解析】（1）先化简命题p 和q,再根据命题p q ∧为真命题求出实数x 的取值范围；（2）先求出p 和q ⌝，再根据已知得到3a >或212a +<，解不等式即得解. 【详解】（1）由p 得()223120x a x a a -+++≤Q ．2a =，25x ∴≤≤由q 得：2560x x -+-≥，23x ∴≤≤，又由命题p q ∧为真命题， 所以实数x 的取值范围为：23x ≤≤.（2）由p 得：21a x a ≤≤+，由q ⌝得：()()23,,-∞+∞U p Q 是q ⌝的充分不必要条件，3a ∴>或212a +<，因为0a > 3a ∴>或102a <<所以实数a 的取值范围为3a >或102a <<. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查复合命题的真假，考查充要条件的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos bA c= （1）证明：ABC ∆是直角三角形： （2）BM 平分角B 交AC 于点M ，且1BM =，6c =，求cos ABM ∠．【答案】（1）见解析；（2）3cos 4ABM ∠= 【解析】（1）化简cos b A c=得2C π=，即得证；（2）记ABM α∠=，在Rt ACB ∆中，得到cos cos 26αα=，化简解方程即得解. 【详解】（1）由正弦定理得()sin cos sin sin C A B A C π==--，()cos sin sin sin cos cos sin A C A C A C A C ∴=+=+，sin cos 0A C ∴= ()0,A π∈Q sin 0A ∴≠cos 0C ∴=，2C π∴=，所以ABC ∆是直角三角形（2）记ABM α∠=，则MBC α∠=，在Rt MCB ∆中，cos CB α=， 在Rt ACB ∆中，cos BC ABC AB ∠=，cos cos 26αα=2cos 2cos 16αα∴-=，即212cos cos 60αα--= 3cos 4α∴=或23-（舍），所以3cos 4ABM ∠=． 【点睛】本题主要考查三角恒等变换和正弦定理解三角形，考查二倍角的余弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．已知方程2221214x y m m+=+-（m Z ∈）表示焦点在y 轴上的椭圆Ω．坐标原点为O ．该椭圆与直线l ：()2110x m y +++=相交于A ，B 两点． （1）求椭圆O 的方程； （2）求AOB ∆的面积．【答案】（1）2214y x +=；（2）4 【解析】（1）解不等式组24210m m m Z⎧->+>⎨∈⎩即得m 的值，即得椭圆的方程；（2）先计算出()00O ,到直线l 的距离，再计算出弦长|AB|,即得AOB ∆的面积． 【详解】（1）由题意得24210m m m Z⎧->+>⎨∈⎩，解得0m =，所以椭圆Ω的方程为：2214y x +=． （2）由（1）知直线l 方程为：210x y ++=，()00,O ∴到直线l的距离为：d ==， 由2221014x y y x ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得28430x x +-=．1212x x +=-，1238x x =-12AB x =-==，12AOB S d AB ∆== 所以AOB∆ 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．已知数列{}n a 满足：()1231312n n a a a a +++⋅⋅⋅+=-，n *∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足31log n n n b a a +=，求{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）13-=n n a ；（2）211344n n n T =-⋅+ 【解析】（1）由题得()1312n n S =-，再利用项和公式求数列{}n a 的通项公式；（2）由题得13n n b n -=⋅，再利用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n T ．（1）令()1231312n n n S a a a a =+++⋅⋅⋅+=- 当1n =时，11a =当2n ≥时，113n n n n a S S --=-= 当1n =时，满足11131a -==，13n n a -∴=所以{}n a 的通项公式为13-=n n a ．（2）由（1）得11313log 3log 33n n n n n n b a a n --+===⋅()1221132333133n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯0①．()12323132333133n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯②由①减去②得33n n n T n =⋅-1-2-2所以{}n b 的前n 项和211344n n n T =-⋅+． 【点睛】本题主要考查利用项和公式求数列的通项，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21．某乡镇政府为了解决农村教师的住房问题，计划征用一块土地盖一幢建筑总面积为100002m 公寓楼（每层的建筑面积相同）．已知士地的征用费为21000/元m ，土地的征用面积为第一层的85倍，经工程技术人员核算，第一层建筑费用为2360/元m ，以后每增高一层，其建筑费用就增加250/元m ，设这幢公寓楼高层数为n ，总费用为()f n 万元．（总费用为建筑费用和征地费用之和）（1）若总费用不超过835万元，求这幢公寓楼最高有多少层数？（2）试设计这幢公寓的楼层数，使总费用最少，并求出最少费用．【答案】（1）16；（2）设计这幢公寓为8楼层时，总费用最少为735万元【解析】（1）先求出土地的征用的费用和建筑费用，再求总费用为()f n =160025335835n n++≤，解不等式即得解；（2）利用基本不等式求最少费用.（1）每层建筑面积10000n ，土地的征用的费用116001.61000n n⨯⨯=万元； 建筑费用()1136050253352n n n n n-⎡⎤+⨯=+⎢⎥⎣⎦； ()160025335f n n n ∴=++，160025335835n n++≤，即220640n n -+≤． 416n ≤≤（n N ∈），所以这幢公寓楼最高可以盖16层； （2）由（1）知()160025335335735f n n n =++≥= 当且仅当160025n n=时，即8n =，()735f n =为最小值． 所以设计这幢公寓为8楼层时，总费用最少为735万元．【点睛】本题主要考查函数和不等式的应用，考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22．椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为12，右焦点为F ，上顶点为B ，且2BF =．（1）求椭圆E 的方程：（2）是否存在直线l ，使得l 交椭圆E 于M ，N 两点，且F 恰是MBN ∆的垂心？若存在，求出直线l 的方程：若不存在，说明理由，【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，321y x =-，见解析 【解析】(1)解方程222124c e a a b c ⎧==⎪⎨⎪=+=⎩即得解；（2）设l的方程为3y x m =+，利用0MF BN ⋅=u u u r u u u r 求出m 的值检验即得解.【详解】（1）由题意知：222124c e a a b c ⎧==⎪⎨⎪=+=⎩解得24a =，23b =，（2）由（1）知(B ，()1,0F，BP k ∴=假设存在直线l ，使得F 是BMN ∆的垂心，则BF MN ⊥．设l 的斜率为k ，则1．BF k k =-，k ∴=， 设l的方程为y x m =+，()11.M x y ，()22.N x y ，由223143y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()22131230x m ++-=，()()224131230m ∆=-⨯⨯->，得m <<．1213x x +=，()21212313m x x -=， MF BN ⊥Q ，0MF BN ∴⋅=u u u r u u u r ， ()111,MF x y =-u u u r Q，(22,BN y y =u u u r ，()(121210x x y y ∴--= 即()1212110333x x x m x m x m ⎛⎫⎛⎫⎫--+++= ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭，整理得()2121241033m x x x x m ⎛⎫∴-+--= ⎪ ⎪⎝⎭()22123410313313m m m -⎛⎫⎛∴---⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得221480m --=，解得m =或21m =-．当m =时，直线MN 过点B ，不能构成三角形，舍去；当21m =-时，满足33m -<<， 所以存在直线l ，使得F 是BMN ∆的垂心，【点睛】本题主要考查椭圆的方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.。
2019-2020学年豫西名校高二上学期第二次联考数学(文)试题(解析版)
2019-2020学年豫西名校高二上学期第二次联考数学（文）试题一、单选题1．命题“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ） A ．若21x ≥，则1x ≥或1x ≤- B ．若11x -<<，则21x < C ．若1x >或1x <-，则21x > D ．若1x ≥或1x ≤-，则21x ≥【答案】D【解析】直接利用逆否命题的定义解答即可. 【详解】根据逆否命题的定义得，命题“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是“若1x ≥或1x ≤-，则21x ≥” 故选：D 【点睛】本题主要考查逆否命题的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．已知集合()(){}{}|10|21A x mx x n x x =++>=-<<，则n m -等于（ ） A ．1 B ．3C ．-1D ．-3【答案】B【解析】利用2x =-、1x =是方程()()10mx x n ++=的两根，列方程求出,n m 的值即可. 【详解】因为()(){}{}|10|21A x mx x n x x =++>=-<<，所以0m <，且2x =-、1x =是方程()()10mx x n ++=的两根， 代入解得1m =-、2n =，3n m -=. 故选：B . 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系,属于基础题.二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用问题是高频考点，一定要熟练掌握.3．若1F ，2F 是平面上两定点，128F F =，动点P 满足128PF PF +=，则点P 的轨迹是（ ） A ．线段 B ．射线C ．圆D ．椭圆【答案】A【解析】分析可知P 到1F ，2F 两点距离的和等于1F ，2F 两点间距离，从而可得结论. 【详解】因为128F F =，动点P 满足12128PF PF F F +==， 即P 到1F ，2F 两点距离的和等于1F ，2F 两点间距离， 所以点P 的轨迹是线段12F F ， 故选：A . 【点睛】本题主要考查动点的轨迹以及椭圆定义的理解，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题.4．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是( ) A ．红豆生南国 B ．春来发几枝 C ．愿君多采撷 D ．此物最相思 【答案】A【解析】利用命题的定义即可判断出答案． 【详解】由命题的定义可知：“红豆生南国”这一句可以判断红豆生在什么地方，因此可以作为一个命题． 故选：A ． 【点睛】正确理解命题的定义是解题的关键．5．已知椭圆22143x y +=，直线l ：()1x my m m R +-=∈，直线l 与椭圆的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相交C ．相切D ．不确定【答案】B【解析】先判断直线l 恒过点()1,1，再判断该点在椭圆内部，从而可得结果. 【详解】直线l ：()1x my m m R +-=∈化为()110x m y -+-=，可得直线l 恒过点()1,1，由2211143+<可知该点在椭圆内部.所以直线l 与椭圆相交， 故选：B . 【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系以及直线过定点问题，解题的关键是判断直线l 恒过点，且该点在椭圆内部，属于基础题.6．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .则“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由正弦定理得，所以“”是“”的充要条件，选C.7．用与底面成60︒角的平面截圆柱得一椭圆截线，该椭圆的离心率为（ ）A B ．2C ．12D ．13【答案】B【解析】设圆柱底面圆的半径为R ，则b R =，利用截面与底面成60︒角求出2a R =，再求得c =，从而可得结果.【详解】设圆柱底面圆的半径为R ，则短轴长22b R b R =⇒=， 因为截面与底面成60︒角，所以椭圆的长轴长2242cos60Ra R a R ==⇒=，c =，离心率为c e a ==. 故选：B . 【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质以及椭圆的离心率，同时考查了空间想象能力，属于综合题.8．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若2a b +≥．则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题是一个真命题B ．命题“负数的平方是正数”是特称命题C ．命题“设a ，b R ∈，若9a b +≠，则4a ≠或5b ≠”是一个真命题D ．常数数列既是等差数列也是等比数列 【答案】C【解析】对每一个命题逐一分析判断得解. 【详解】A. 命题“若2a b +≥．则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题是“a ，b 中至少有一个不小于1，则2a b +≥”是一个假命题，如11,,2a b ==但是322a b +=<. B. 命题“负数的平方是正数”是一个全称命题，因为它表示“任意一个负数的平方是正数”.所以该命题是假命题.C. 命题“设a ，b R ∈，若9a b +≠，则4a ≠或5b ≠”的逆否命题是“4a = 且=5b ，则9a b +=” ，由于其逆否命题是真命题，所以原命题是真命题.D. 常数数列既是等差数列也是等比数列,是假命题，如常数列的常数为0,则不是等比数列. 故选：C 【点睛】本题主要考查四种命题及其关系，考查全称命题和特称命题，考查等差数列和等比数列的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．已知直线l 与椭圆221164x y +=交于A ，B 两点，且点()2,1M 是弦AB 的中点，则直线l 的方程为（ ） A ．240x y +-= B ．250x y +-= C ．230x y --= D ．230x y --=【答案】A【解析】利用点差法求出12AB k =-，即得直线AB 的方程. 【详解】设A ，B 的坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ， 由点差法得1212121212121124y y y y y y x x x x x x -+-⋅=⨯=--+-．12AB k ∴=-， 所以直线l 的方程为11(2)2y x -=--即240x y +-=． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查点差法和直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10．等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足120S >，130S <，且{}n S 的最大项为m S ，13m a -=，则9S 的值是（ ）A ．18B ．21C ．24D ．27【答案】D【解析】利用等差数列的求和公式，结合等差数列的性质判断60a >，70a <，可得6m =，进而可得结果.【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足120S >，130S <， ∴()()11267660a a a a +=+>，7130a <， ∴60a >，70a <， 即数列的前6项为正数， 因为{}n S 的最大项为m S .所以6m =，153m a a -==，∴95927S a ==. 故选：D . 【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式，以及等差数列的性质，属于中档题.解有关等差数列问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.11．已知点P 是椭圆22194x y +=上的一点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，若12F PF ∠为直角，则满足条件的点P 个数（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】C【解析】由椭圆方程可推出b c <，判断出122F PF π∠>，结合椭圆的几何性质可得结果. 【详解】由22194x y +=可得3,2a b ==⇒c =b c <. 所以当点P 在短轴顶点时，22tan 14c OPF OPF b π∠=>⇒∠> 可得此时122F PF π∠>，即12F PF ∠的最大值为钝角，根据椭圆的几何性质知，满足12F PF ∠为直角的点P 个数共有4个. 故选：C . 【点睛】本题主要考查椭圆的方程与几何性质，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.12．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c =，ABC ∆的面积为2244a b +-，则ABC ∆面积的最大值为（ ）A ．B 1C ．D 1【答案】D【解析】由余弦定理，结合三角形面积公式可得tan 14C C π=?，再由余弦定理结合基本不等式求出ab 的最大值，从而可得结果. 【详解】 ∵2c =，22222444ABCa b a b c S ∆+-+-==2cos 1sin 42ab C ab C ==. ∴tan 14C Cπ=?，由余弦定理得2222242cos c a b ab C a b ==+-=+2ab ≥，∴4ab ≤=+∴(11sin 4222ABC S ab C ∆=≤⨯+⨯1=. 故选：D . 【点睛】余弦定理的应用一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60ooo等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.二、填空题13．已知方程22115x y n n +=++表示椭圆，则该椭圆的焦点坐标为______．【答案】()0,2±【解析】判断椭圆的焦点所在的轴即得解. 【详解】由题意51n n +>+知焦点在y 轴上． 因为514n n +--=， 所以椭圆的焦点坐标为()0,2± 故答案为：()0,2± 【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14．若命题“x R ∃∈，使得210ax ax ++≤”为假命题，则实数a 的取值范围为______． 【答案】[)0,4．【解析】试题分析： 由命题“x R ∃∈，使得210ax ax ++≤”为假命题，得其否定命题：“x R ∀∈，使得210ax ax ++>”是真命题； 即不等式210ax ax ++>在R 上恒成立，当0a =时，不等式为20010x x ⋅+⋅+>，显然它在R 上恒成立； 当0a ≠时，必须且只需20{40a a a >=-<，解得：04a <<，综上所述，实数a 的取值范围为[)0,4． 故答案应填：[)0,4． 【考点】特称命题与全称命． 15．数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-，则2019a =______. 【答案】12-【解析】由首项，利用递推公式求出第二、三、四、五项，可得{}n a 是周期为4的数列，从而可得结论. 【详解】 由12a =，111nn na a a ++=-， 得23a =-，312a =-，413a =，52a =，∴{}n a 是周期为4的数列， 因为201950443=⨯+， 所以2019312a a ==-. 故答案为：12-. 【点睛】本题主要考查利用递推关系求数列中的项，属于简单题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.16．椭圆221259x y +=的左、右焦点分别是1F ，2F ，过1F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，若2ABF ∆内切圆的面积为π，A ，B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则12y y -的值为______.【答案】52【解析】利用椭圆的定义求出三角形周长，利用内切圆面积求出圆的半径，再根据三角形的面积公式列方程求解即可. 【详解】由221259x y +=可得5a =，34b c =⇒=， 所以2ABF ∆的周长为221122420AB F A F B F A F B F A F B a ++=+++==. 因为2ABF ∆内切圆的面积为π， 所以2ABF ∆内切圆的半径为1， 则2121141222ABF S a c y y ∆=⨯⨯=⨯-， 12104y y =-，∴1252y y -=. 故答案为：52. 【点睛】本题主要考查椭圆的方程以及椭圆定义的应用，考查了三角形的面积公式，以及三角形内切圆的性质，属于中档题.三、解答题17．设p ：实数x 满足()223120(0)x a x a a a -+++≤>，q ：实数x 满足()f x =（1）当2a =时，命题p q ∧为真命题，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）23x ≤≤；（2）3a >或102a <<【解析】（1）先化简命题p 和q,再根据命题p q ∧为真命题求出实数x 的取值范围；（2）先求出p 和q ⌝，再根据已知得到3a >或212a +<，解不等式即得解. 【详解】 （1）由p 得()223120x a x a a -+++≤．2a =，25x ∴≤≤由q 得：2560x x -+-≥，23x ∴≤≤，又由命题p q ∧为真命题， 所以实数x 的取值范围为：23x ≤≤.（2）由p 得：21a x a ≤≤+，由q ⌝得：()()23,,-∞+∞p 是q ⌝的充分不必要条件，3a ∴>或212a +<，因为0a > 3a ∴>或102a <<所以实数a 的取值范围为3a >或102a <<. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查复合命题的真假，考查充要条件的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos bA c= （1）证明：ABC ∆是直角三角形： （2）BM 平分角B 交AC 于点M ，且1BM =，6c =，求cos ABM ∠．【答案】（1）见解析；（2）3cos 4ABM ∠= 【解析】（1）化简cos b A c=得2C π=，即得证；（2）记ABM α∠=，在R t A C B ∆中，得到cos cos 26αα=，化简解方程即得解. 【详解】（1）由正弦定理得()sin cos sin sin C A B A C π==--，()cos sin sin sin cos cos sin A C A C A C A C ∴=+=+，sin cos 0A C ∴= ()0,A π∈sin 0A ∴≠cos 0C ∴=，2C π∴=，所以ABC ∆是直角三角形（2）记ABM α∠=，则MBC α∠=，在Rt MCB ∆中，cos CB α=， 在Rt ACB ∆中，cos BC ABC AB ∠=，cos cos 26αα=2cos 2cos 16αα∴-=，即212cos cos 60αα--= 3cos 4α∴=或23-（舍），所以3cos 4ABM ∠=． 【点睛】本题主要考查三角恒等变换和正弦定理解三角形，考查二倍角的余弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．已知方程()2221214x y m Z m m+=∈+-表示焦点在y 轴上的椭圆Ω，坐标原点为O .该椭圆与直线l ：()2110x m y +++=相交于A ，B 两点.（1）求椭圆Ω的方程；（2）求AOB ∆的面积.【答案】（1）2214y x +=；（2）4. 【解析】（1）根据方程表示椭圆列不等式，结合m Z ∈得结果；（2）利用（1）求直线方程，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理与弦长公式求出AB 的值，再由点到直线距离公式求出三角形的高，从而可得结果.【详解】（1）由题意得24210m m m Z ⎧->+>⎨∈⎩， 可得112m m Z⎧-<<⎪⎨⎪∈⎩，解得0m =，所以椭圆Ω的方程为：2214y x +=. （2）由（1）知直线l 方程为：210x y ++=.∴()0,0O 到直线l的距离为：5d ==. 由2221014x y y x ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得28430x x +-=.1212x x +=-，1238x x =-.12x AB =-==12AOB S d AB ∆== 所以AOB ∆【点睛】本题主要考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系，考查了点到直线距离公式与弦长公式的应用，属于中档题. 求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式12l x =-；（2）利用12l y y =-；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可. 20．已知数列{}n a 满足：()1231312n n a a a a +++⋅⋅⋅+=-，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足31log n n b a +=，求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）13-=n n a ；（2）1n n T n =+. 【解析】（1）令()1231312n n n S a a a a =++++=-，当2n ≥时，113n n n n a S S --=-=，再验证1n =是否适合即可；（2）由（1）得313log log 3n n n b a n +===，()1111111n n b b n n n n +==-++，利用裂项相消法可得结果. 【详解】（1）令()1231312n n n S a a a a =++++=-， 当1n =时，11a =，当2n ≥时，113n n n n a S S --=-=， 当1n =，满足11131a -==.∴13-=n n a .所以{}n a 的通项公式为13-=n n a .（2）由（1）得313log log 3n n n b a n +===，()1111111n n b b n n n n +==-++， 11111122311n n T n n n =-+-++-=++， 所以{}n b 的前n 项和1n n T n =+. 【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k =； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()122121n n n +--()()()()n 1n n n 121212121++---=--1112121n n +=---；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.21．某乡镇政府为了解决农村教师的住房问题，计划征用一块土地盖一幢建筑总面积为100002m 公寓楼（每层的建筑面积相同）．已知士地的征用费为21000/元m ，土地的征用面积为第一层的85倍，经工程技术人员核算，第一层建筑费用为2360/元m ，以后每增高一层，其建筑费用就增加250/元m ，设这幢公寓楼高层数为n ，总费用为()f n 万元．（总费用为建筑费用和征地费用之和）（1）若总费用不超过835万元，求这幢公寓楼最高有多少层数？（2）试设计这幢公寓的楼层数，使总费用最少，并求出最少费用．【答案】（1）16；（2）设计这幢公寓为8楼层时，总费用最少为735万元【解析】（1）先求出土地的征用的费用和建筑费用，再求总费用为()f n =160025335835n n++≤，解不等式即得解；（2）利用基本不等式求最少费用. 【详解】 （1）每层建筑面积10000n ，土地的征用的费用116001.61000n n⨯⨯=万元； 建筑费用()1136050253352n n n n n-⎡⎤+⨯=+⎢⎥⎣⎦； ()160025335f n n n ∴=++，160025335835n n++≤，即220640n n -+≤． 416n ≤≤（n N ∈），所以这幢公寓楼最高可以盖16层； （2）由（1）知()160025335335735f n n n =++≥= 当且仅当160025n n=时，即8n =，()735f n =为最小值． 所以设计这幢公寓为8楼层时，总费用最少为735万元．【点睛】本题主要考查函数和不等式的应用，考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22．椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，右顶点为A ，下顶点为B，且AB .（1）求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 与直线2y kx =+相交于E ，F 两点，直线BE ，BF 分别与x 轴交于M ，N 两点.试探究M ，N 两点的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）定值为23，理由见解析. 【解析】（1）根据离心率为2，AB =结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 即可得结果；（2）由22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得()2212860k x kx +++=， 求出111M x x y =+，221N x x y =+，利用韦达定理，将M N x x ⋅用k 表示，然后化简即可得结果.【详解】 （1）由题意得，A ，B 的坐标分别是(),0A a ，()0,B b -，222a b c =+，∴2c a ⎧=⎪=，解得a =1b c ==，所以椭圆C 的标准方程为：2212x y +=. （2）设E ，F 的坐标分别为()11,E x y ，()22,F x y ，则直线BE 的方程为：1111y y x x +=-，令0y =，得111M x x y =+， 直线BF 的方程为：2211y y x x +=-，令0y =，得221N x x y =+，∴()()()()121212121133M N x x x x x x y y kx kx ⋅==++++()122121239x x k x x k x x =+++. 由22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得()2212860k x kx +++=， 122812k x x k +=-+，122612x x k=+， ∴222261268391212M N k x x k k k k k +⋅=⎛⎫+-+ ⎪++⎝⎭222626249183k k k ==-++， 所以M ，N 两点的横坐标的乘积为定值23. 【点睛】探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.。
河南省豫西名校2022-2023学年高二上学期第二次联考数学(文)试题
=
1
表示焦点在
y
轴上的椭圆，
\2 - m > m -1> 0，
\1 <
m
<
3 2
，
故选：C. 5．A 【解析】先判断原命题为真命题，由此得出逆否命题是真命题；判断出原命题的逆命题为 真命题，由此判断原命题的否命题也是真命题，由此确定假命题的个数.
【详解】若{an}是等比数列，则 an 是 an-k 与 an+k 的等比中项，所以原命题是真命题， 从而，逆否命题是真命题；
9．已知椭圆 x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
>b>
0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，点 A 是椭圆短轴的一
个顶点，且 cosÐ
F1 AF2
=
3 4
e ，则椭圆的离心率
=
（
）
A．
1 2
B． 2 2
C． 1 4
D． 2 4
10．抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，其准线 l 与 x 轴交于点 A，点 M 在抛物线 C 上，当
在椭圆的内部，
\ 直线
y
=
kx - k 与椭圆
x2 9
+
y2 4
= 1的位置关系为相交.
故选：A. 7．A 【解析】作出可行域，利用截距的几何意义解决. 【详解】不等式组所表示的可行域如图
因为
z
=
3x
+
2y
，所以
y
=
-
3x 2
+
z 2
，易知截距
z 2
越大，则
z
越大，
平移直线
y
河南省豫西名校2018-2019学年高二上学期第二次联考数学(理)试题含答案
河南省豫西名校2018-2019学年高二上学期第二次联考数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则等于A. B. C. D.2.命题“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，3.已知等差数列的前n项和为，且，，则A. B. C. D.4.已知a，b是实数，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知椭圆C：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线l交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为A. B. C. D.6.若实数x，y满足条件，则的最大值为A. B. C. D. 47.已知命题p：“，”，命题q：“，”，若命题￢是真命题，则实数a 的取值范围是A. B. C. D.8.已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A、B两点若AB的中点坐标为，则E的方程为A. B. C. D.9.已知的三个内角A，B，C依次成等差数列，BC边上的中线，，则A. 3B.C.D. 610.椭圆的中心在原点，，分别为左、右焦点，A，B分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率等于A. B. C. D.11.在中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c且，，S为的面积，则的最大值为A. 1B.C.D. 312.斜率为1的直线l与椭圆相交于A、B两点，则的最大值为A. 2B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若命题“，”是假命题，则m的取值范围是______．14.已知、是椭圆C：的两个焦点，P为椭圆C上一点，且若的面积为9，则______．15.已知，B是圆F：为圆心上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为______．16.已知中，， ，，若点P是边BC上的动点，且P到AB，AC距离分别为m，n，则的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，已知．求角A的大小；若，求的面积．18.已知，p：，q：．已知p是q成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围；若￢是￢成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．19.已知，命题p：对，不等式恒成立；命题q：对，不等式恒成立．若命题p为真命题，求实数m的取值范围；若为假，为真，求实数m的取值范围．20.已知数列满足．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ若，求数列的前n项和．21.已知点与都在椭圆C：上，直线AB交x轴于点M．求椭圆C的方程，并求点M的坐标；设O为原点，点D与点B关于x轴对称，直线AD交x轴于点N，问：y轴上是否存在点E，使得？若存在，求点E的坐标；若不存在，说明理由．22.已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B其离心率，点M为椭圆上的一个动点，面积的最大值是．求椭圆C的方程；若过椭圆C右顶点B的直线l与椭圆的另一个交点为D，线段BD的垂直平分线与y轴交于点P，当时，求点P的坐标．河南省豫西名校2018-2019学年高二上学期第二次联考数学（理）试题解析一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）23.已知集合，，则等于A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，；．故选：B．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域，以及交集的运算．24.命题“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是，故选：C．利用全称命题的否定是特称命题，直接写出命题的否定即可．本题考查命题的否定的应用全称命题与特称命题互为否定关系，考查基本知识的应用．25.已知等差数列的前n项和为，且，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：设等差数列的公差为d，则，解得．故选：B．设该等差数列的公差为d，则根据通项公式和前n项和公式列出关于、d的方程组，通过解方程组即可得到答案．本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．26.已知a，b是实数，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：由“”可得“”，反之不成立，例如：，．因此：则“”是“”的必要不充分条件．故选：B．由“”可得“”，反之不成立，可举反例，即可判断出．本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．27.已知椭圆C：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线l交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：的周长为，的周长，，，离心率为，，，，椭圆C的方程为．故选：A．利用的周长为，求出，根据离心率为，可得，求出b，即可得出椭圆的方程．本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．28.若实数x，y满足条件，则的最大值为A. B. C. D. 4【答案】D【解析】解：作出约束条件所对应的可行域，如图：变形目标函数可得，平移直线可知，当直线经过点时，直线的截距最小，z取最大值，代值计算可得的最大值为．故选：D．作出约束条件所对应的可行域，变形目标函数，通过平移找出最优解，代入目标函数求出最值．本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．29.已知命题p：“，”，命题q：“，”，若命题￢是真命题，则实数a 的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：“，，，即p：．若：“，”，则，解得．即：q：．若￢是真命题，则p，￢都是真命题，即p是真命题，q是假命题，，解得．故选：B．先求出命题p，q的等价条件，然后利用命题￢是真命题，确定实数a 的取值范围即可．本题主要考查复合命题与简单命题之间的真假关系，先求出命题p，q成立的等价条件是解决本题的关键．30.已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A、B两点若AB的中点坐标为，则E的方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设，，代入椭圆方程得，相减得，．，，．，化为，又，解得，．椭圆E的方程为．故选：D．设，，代入椭圆方程得，利用“点差法”可得利用中点坐标公式可得，，利用斜率计算公式可得于是得到，化为，再利用，即可解得，进而得到椭圆的方程．熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．31.已知的三个内角A，B，C依次成等差数列，BC边上的中线，，则A. 3B.C.D. 6【答案】C【解析】解：由于的三个内角A、B、C成等差数列，且内角和等于，，中，由余弦定理可得：，即：，或舍去，可得：，．故选：C．由于的三个内角A、B、C成等差数列，且内角和等于，故B，ABD中，由余弦定理可得BD的长，进而利用三角形面积公式即可计算得解．本题考查等差数列的定义，余弦定理以及三角形面积公式的应用，求出，是解题的关键，属于基础题．32.椭圆的中心在原点，，分别为左、右焦点，A，B分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率等于A. B. C. D.【答案】D【解析】解：如图所示，把代入椭圆方程，可得，又，，，，，，，化为：．，即，．故选：D．由已知可得，又，，，由，得，化为，即可求解．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、平行线与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．33.在中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c且，，S为的面积，则的最大值为A. 1B.C.D. 3【答案】C【解析】解：，，由 ，可得，设外接圆的半径为R，则，解得，，故的最大值为．故选：C．运用余弦定理可得A，再由正弦定理可得外接圆的半径，再由三角形的面积公式和两角差的余弦公式，结合余弦函数的值域，即可得到最大值．本题考查正弦定理和余弦定理和三角形的面积公式的运用，同时考查两角和差的余弦公式和余弦函数的值域，属于中档题．34.斜率为1的直线l与椭圆相交于A、B两点，则的最大值为A. 2B.C.D.【答案】C【解析】解：设直线l的方程为，代入，消去y得，由题意得，即．弦长．故选：C．设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y，根据判别式大于0求得t的范围，进而利用弦长公式求得的表达式，利用t的范围求得的最大值．本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系常需要把直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问题的突破口．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）35.若命题“，”是假命题，则m的取值范围是______．【答案】【解析】解：命题“，”是假命题，则命题“，”是真命题．，．．则m的取值范围是．故答案为：．命题“，”是假命题，可得：命题“，”是真命题因此，．本题考查了简易逻辑的应用、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．36.已知、是椭圆C：的两个焦点，P为椭圆C上一点，且若的面积为9，则______．【答案】3【解析】解：、是椭圆C：的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．，，，，，．故答案为3．由已知得，，，由此能得到b的值．主要考查椭圆的定义、基本性质和平面向量的知识．37.已知，B是圆F：为圆心上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为______．【答案】【解析】解：由题意得圆心，半径等于，，半径，故点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆，，，，椭圆的方程为．故答案为：为．利用椭圆的定义判断点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆，求出a、b的值，即得椭圆的方程．本题考查用定义法求点的轨迹方程，结合椭圆的定义求轨迹是解题的难点．38.已知中，， ，，若点P是边BC上的动点，且P到AB，AC距离分别为m，n，则的最小值为______．【答案】【解析】解：根据题意，如图所示，过点P做，，则，，又由， ，则，则，，即，，又由，即，则，即的最小值为，此时．故答案为：．根据题意，作出的图形，分析可得，，结合题意分析可得，由此可以变形为，由基本不等式分析可得答案．本题考查基本不等式的性质，涉及三角形的有关计算，关键是求出的值．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）39.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，已知．求角A的大小；若，求的面积．【答案】本题满分为14分解：，由正弦定理得分又，从而分由于，所以分解法一：由余弦定理，而，分得，即．因为，所以分故的面积为分解法二：由正弦定理，得，从而，分又由知，所以．故分所以的面积为分【解析】由弦定理化简已知可得，结合，可求，结合范围，可求A的值．解法一：由余弦定理整理可得：即可解得c的值，利用三角形面积公式即可计算得解．解法二：由正弦定理可求的值，利用大边对大角可求B为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求，利用两角和的正弦函数公式可求，进而利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，大边对大角，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．40.已知，p：，q：．已知p是q成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围；若￢是￢成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【答案】解：由得，即p：分是q成立的必要不充分条件，则是的真子集，有，解得，又当时，，不合题意，的取值范围是分￢是￢的充分不必要条件，是q的充分不必要条件，则是的真子集，则，解得，又当时，不合题意．的取值范围为分【解析】求出p的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为不等式关系进行求解即可根据￢是￢成立的充分不必要条件，转化为p是q的充分不必要条件进行求解即可本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合不等式的关系是解决本题的关键．41.已知，命题p：对，不等式恒成立；命题q：对，不等式恒成立．若命题p为真命题，求实数m的取值范围；若为假，为真，求实数m的取值范围．【答案】解：对，不等式，即，即，得p：则若命题p为真命题，则实数m的取值范围是．若，不等式恒成立，即，即恒成立，当，函数为增函数，，则，即q：，若为假，为真，则p，q一个为真命题，一个为假命题，若p真q假则得，若p假q真则或，得，综上，即实数m的取值范围是．【解析】根据不等式恒成立，转化为最值问题进行求解即可．根据复合命题真假关系判断命题p，q一个为真命题，一个为假命题，然后进行求解即可．本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据不等式恒成立求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．42.已知数列满足．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ若，求数列的前n项和．【答案】解：Ⅰ，当时，得，分又当时，，，分Ⅱ，分【解析】利用数列递推关系即可得出．利用错位相减法即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．43.已知点与都在椭圆C：上，直线AB交x轴于点M．求椭圆C的方程，并求点M的坐标；设O为原点，点D与点B关于x轴对称，直线AD交x轴于点N，问：y轴上是否存在点E，使得？若存在，求点E的坐标；若不存在，说明理由．【答案】解：点与都在椭圆C：上，，解得．椭圆C的方程为．直线AB的方程为，整理，得，当时，，点M的坐标为．点与，O为原点，点D与点B关于x轴对称，直线AD交x轴于点N，，直线AD：，即，令，得，，设，，，，，，解得．轴上是否存在点，使得 ．【解析】由点与都在椭圆C：上，利用待定系数法能求出椭圆C的方程和直线AB的方程，由此能求出点M的坐标．由已知求出，直线AD：，从而求出，设，由，得到，从而求出y轴上是否存在点，使得 ．本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点的坐标是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．44.已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B其离心率，点M为椭圆上的一个动点，面积的最大值是．求椭圆C的方程；若过椭圆C右顶点B的直线l与椭圆的另一个交点为D，线段BD的垂直平分线与y轴交于点P，当时，求点P的坐标．【答案】解：由题意可知解得，，所以椭圆方程为分由知，设直线BD的方程为，，把代入椭圆方程，整理得，所以，则，分所以BD中点的坐标为，分则直线BD的垂直平分线方程为，得分又，即，化简得，解得故当时，，当时，分。
豫西名校第二次联考高二数学(理)试题
豫西名校第二次联考高二数学（理）试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{=|A x y =，{}|ln(1)B x y x ==-，则A B 等于（）A ．()1,2B ．(1,2]C ．()2,1-D ．[2,1)-2.命题“1x ∀>，1122x⎛⎫< ⎪⎝⎭”的否定是（ ）A ．1x ∀>，1122x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭B ．1x ∀≤，1122x⎛⎫≥ ⎪⎝⎭C ．01x ∃>，01122x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭D ．01x ∃≤01122x⎛⎫≥ ⎪⎝⎭3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且105S =，71a =，则1a =（ ）A ．-1B ．12-C ．14D ． 124.设,a b R ∈，则“5a b +>”是“2a >且3b >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件 C.充要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知椭圆:C 22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F，离心率为3，经过2F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为（）A ．22132x y +=B ．2213x y += C.221128x y += D ．221124x y += 6.已知实数x ，y 满足条件103020x y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最大值为（）A ．-8B ．-6 C.-2 D ．4 7.已知命题p ：“[]0,1x ∀∈，x a e ≥”，命题:q “x R ∀∈，240x x a ++≠”，若命题p q ∧⌝是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]1,4B ．[],4e C.[4,)+∞ D ．(,1]-∞8.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆C 交于A ，B 两点，若AB 的中点()1,1P -，则椭圆C 的方程为（ ）A ．2214536x y += B ．2213627x y += C.2212718x y += D ．221189x y +=9.若ABC ∆的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且BC 边上的中线AD =2AB =，则ABC S ∆=（ ）A ．3B ．．610. 椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的中心点在原点，1F ，2F 分别为左、右焦点，A ，B 分别是椭圆的上顶点和右顶点，P 是椭圆上一点，且1PF x ⊥轴，2PF AB ，则此椭圆的离心率为（ ）A ．13 B ．12C.2 D11.ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222a b c bc =++，a =S 为ABC∆的面积，则cos S B C 的最大值为（ ）A ．1B 1．312.斜率为1的直线l 与椭圆2214x y +=相交于A ，B 两点，则||AB 的最大值为（ ）A ．2B D 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若命题“0x R ∃∈，20020x x m -+≤”是假命题，则m 的取值范围是 ．14.已知点1F ，2F 是椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥.若12PF F ∆的面积为9，则b = ．15.已知()1,0A -，B 是圆F ：222110x x y -+-=（F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF于点P ，则动点P 的轨迹方程为 ．16.已知ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=︒，4BC =，若点P 是BC 边上的动点，且P 到AB ，AC 的距离分别为m ，n ，则41m n+的最小值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin a B A =. （1）求角A 的大小； （2）若a =2b =，求ABC ∆的面积.18. （本小题满分12分）已知0m >，:p ()()260x x +-≤，:q 22m m -≤+.（1）已知p 是q 成立的必要不充分条件，求实数m 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 19. （本小题满分12分）已知m R ∈，命题:p 对[]0,8x ∀∈，不等式()213log 13x m m +≥-恒成立；命题:q 对(),1x ∀∈-∞-，不等式222x x mx +>+恒成立.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若p q ∧为假，p q ∨为真，求实数m 的取值范围. 20. （本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足2312232222nn a a a a n n ++++=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()12nnna b -=，求数列{}n b 的前n 项和n S .21. （本小题满分12分）已知点()0,1A 与12B ⎫⎪⎭都是椭圆:C 22221x y a b +=（0a b >>）上的点，直线AB 交x 轴于点M .（1）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标；（2）设O 为原点，点D 与点B 关于x 轴对称，直线AD 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点E ，使得OEM ONE ∠=∠？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由.22. （本小题满分12分）已知椭圆:C 22221x y a b +=（0a b >>）的左、右顶点分别为A ，B 其离心率12e =，点M 为椭圆上的一个动点，MAB ∆面积的最大值是（1）求椭圆C 的方程；（2）若过椭圆C 右顶点B 的直线l 与椭圆的另一个交点为D ，线段BD 的垂直平分线与y 轴交于点P ，当0PB PD ⋅=时，求点P 的坐标.豫西名校2018-2019学年上期第二次联考高二数学（理）参考答案一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.【解析】由240x -≥，解得2x x -≤≤，则[]2,2A -；由10x ->，解得1x <， 则(),1B =-∞，所以[2,1)AB =-.2.【解析】因为“1x ∀>，1122x ⎛⎫< ⎪⎝⎭”是全称命题，其否定是特称命题，即“01x ∃>，01122x⎛⎫≥ ⎪⎝⎭”.3.【解析】11161,1.109105,2a d a a d +=⎧⎪⇒=⎨⨯+=⎪⎩ 4.【解析】显然“2a >且3b >”成立时，“5a b +>”一定会成立，所以是必要条件，当4a >且2b >时，“5a b +>”成立，但“2a >且3b >”不成立，所以不是充分条件. 5.【解析】由椭圆的性质知1||2AF a =，12||||2BF BF a +=，∴1AF B ∆的周长=1212||||||||AF AF BF BF +++=a =2222b a c =-=，∴椭圆的方程为22132y y +=. 6.【解析】作出约束条件103020x y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩所对应的可行域如图ABC ∆及其内部，变形目标函数可得2y x z =-，平移直线2y x =可知，当直线经过点()3,2C 时，直线的截距最小，z 取最大值，代值计算可得2z x y =-的最大值max 2324z =⨯-=.7.【解析】命题p 为真，则a e ≥；命题q 为真，则1640a -<，解得4a >，∴q ⌝：4a ≤，∴p q ∧⌝：4e a ≤≤.8.【解析】法一：根据椭圆的性质，3c =，又过点()3,0F 和直线AB 的中点()1,1P -的直线方程为230x y --=，联立方程组222222230,,x y b x a y a b --=⎧⎨+=⎩消去x ，并整理得()222222241290a b y b y b a b +++-=，所以21222124b y y a b +=-+，因为1212y y +=-，所以222a b =，因为229a b -=，解得218a =，29b =，所以椭圆的标准方程为221189x y +=.法二：点差法，解答略9.【解析】因为ABC ∆的三个内角A ，B ，C 成等差数列，则60B =︒，在ABD ∆中，由余弦定理得：2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅，即2742BD BD =+-，所以3BD =或-1（舍去），可得6BC =，所以11sin 26222ABC S AB BC B ∆=⋅⋅=⨯⨯⨯=10.【解析】如图所示，把x c =-代入椭圆方程22221x y a b +=（0a b >>），可得2,b P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()0,A b ，(),0B a ，()2,0F c ∴ABbk a=-，122PF b k ac =-， ∵2PF AB ，∴22b b a ac-=-，化简得2b c =.∴22224c b a c ==-，即225a c =，∴e ==. 11.【解析】由222a b c bc =++，则2221cos 22b c a A bc +-==-，∴23A π=.设ABC ∆外接圆的半径为R，则212sin sin 3a R A π===，∴1R =，∴1cos sin cos cos 2S B C bc A B C B C ==+sin cos B C B C =+⋅()B C =-，故cos S B C +.12.【解析】法一：设A ，B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，直线l 的方程为y x t =+，由2244,x y y x t⎧+=⎨=+⎩消去y ，得()2258410x tx t ++-=，则1285x x t +=-，()212415t x x -=.∴12|||AB x x =-==50t =时，max ||5AB = 法二：∵直线斜率固定过椭圆中心时，弦最长，∴可直接求的max ||5AB =.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【答案】13.()1,+∞ 14.3 15.22132x y += 16.9213.【解析】因为命题“0x R ∃∈，20020x x m -+≤”是假命题，所以x R ∀∈，220x x m -+≥为真命题，即440m ∆=-<，1m >，故答案为()1,+∞.14.【解析】由12PF PF ⊥知，1290F PF ∠=︒，由题意，得121222212||||2,1||||9,2||||4,PF PF a PF PF PF PF c +=⎧⎪⎪⋅=⎨⎪⎪+=⎩ 可得224364c a +=，即229a c -=，所以3b =.15.【解析】将圆F 改写成标准方程()22112x y -+=，则圆心F 的坐标为()1,0，半径r =，由题意可知||||PA PB =，又点P 在圆F 的半径BF上，故||||||||||2||PA PF PB PF BF AF +=++=>=，所以动点P 的轨迹是以A ，F为焦点，长轴长的椭圆，则2a =，22c =，所以b =，故动点P 的轨迹方程为22132x y +=. 16.【解析】由题知3AB AC ==，根据三角形面积相等有()21123323m n ⎛⎫⨯⨯=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭， 则2m n +=，根据基本不等式，得()411411495222n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2,4,m n n m m n+=⎧⎪⎨=⎪⎩即43m =，23n =时，等号成立.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【解析】（1）因为sin cos a B A =，由正弦定理得sin sin cos A B B A =. 又sin 0B ≠，从而tan A =0A π<<，所以3A π=……………………（4分）（2）法一：由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，及a =2b =，3A π=，得2742c c =+-，即2230c c --=. 因为0c >，所以3c =.故ABC ∆的面积1sin 22S bc A ==……………………（10分）法二：由正弦定理，得2sin sin3Bπ=，从而sin B =，又由a b >，知A B >，所以cos B =故()sin sin sin sin cos cos sin 33314C A B B B B πππ⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭. 所以ABC ∆的面积1sin 22S bc C ==………………（10分） 18.【解析】（1）:26p x -≤≤………………（1分）∵p 是q 成立的必要不充分条件，则[]2,2m m -+是[]2,6-的真子集，有222226m mm m -<+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得04m <≤， 又当4m =时，[][]2,22,6m m -+=-，不合题意， ∴m 的取值范围是()0,4.………………（6分） 分类处理亦可（2）∵q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，∴p 是q 的充分不必要条件，则[]2,6-是[]2,2m m -+的真子集，则哟02226m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+≥⎩，解得4m ≥，又当4m =时，不合题意.∴m 的取值范围为()4,+∞.………………（12分） 分类处理亦可 19.【解析】（1）令()()13log 1f x x =+，则()f x 在()1,-+∞上为减函数，因为[]0,8x ∈，所以当8x =时，()()min 82f x f ==-，…………（2分） 不等式()213log 13x m m +≥-恒成立，等价于223m m -≥-，解得12m ≤≤，故命题p 为真，实数m 的取值范围为[]1,2.………………（4分） （2）若命题q 为真，则221m x x>-+，对(),1x ∀∈-∞-上恒成立， 令()21g x x x =-+，因为()g x 在(),1x ∈-∞-上为单调增函数，则()()11g x g <-=，故1m ≥，即命题q 为真，1m ≥.……………………（6分） 若p q ∧为假，p q ∨为真，则命题p ，q 中一真一假；…………（7分）①若p 为真，q 为假，那么121m m <<⎧⎨<⎩，则无解；……（9分）②若p 为假，q 为真，那么121m m m <>⎧⎨≥⎩或，则2m >.…………（11分）综上m 的取值范围为()2,+∞.……………………（12分） 20.【解析】（1）∵2312232222n n a a a a n n ++++=+， ∴当2n ≥时，()23112231112222n n a a a a n n --++++=-+-， 两式相减得122n n =（2n ≥），∴12n n a n +=⋅ （2n ≥）.…………（3分）又∵当1n =时，1112a =+，∴14a =，满足12n n a n +=⋅………………（4分）∴12n n a n +=⋅.………………（5分）（2）∵()()122nnnna b n -==-…………（6分）∴()()()()1231222322nn S n =⨯-+⨯-+⨯-+-.()()()()()23412122232(1)21nn n S n n +-=⨯-+⨯-+⨯-+--+-∴两式相减得：()()()()()()23413222222nn n S n +=-+-+-+-++---()()()()()()()1111212223122221233n n n n n n n n ++++⎡⎤------+-+⎣⎦=--=--=--- ∴()()131229n nn S ++-+=-………………（12分）21.【解析】（1）由题意得22211311,4b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∴2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩.故椭圆C 的方程为2214x y +=.…………（4分） 直线AB方程为1y =+，与x轴交点为()M .………………（5分） （2）因为点D 与点B 关于x轴对称，所以12D ⎫-⎪⎭，………………（6分） 直线AD方程为1y x =+，与x轴交于点3N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，…………（7分）“存在点()0,E E y 使得OEM ONE ∠=∠”等价于“存在点()0,E E y 使得||||||||OM OE OE ON =”（9分） 即E y 满足2||||E M N y x x =.∴243E y ==，∴22E y =±，…………（11分） 故在y 轴上存在点E ，使得OEM ONE ∠=∠，且点E 的坐标为()0,2或()0,2-.……（12分） 22.【解析】（1）由题意可知2221,2122,c e a ab a b c ⎧==⎪⎪⎪⨯=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得2a =，b = 所以椭圆方程为22143x y +=.…………（4分） （2）由（1）知()2,0B ，设直线BD 的方程为()2y k x =-，()11,D x y ，把()2y k x =-代入椭圆方程22143x y +=， 整理得()2222241616120k x k x k +-+-=， 所以221122168623434k k x x k k -+=⇒=++，则2228612,3434k k D k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，…………（6分） 所以BD 中点的坐标为22286,3434k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，…………（7分） 则直线BD 的垂直平分线方程为2226183434k k y x k k k ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭，得220,34k P k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭……（9分） 又0PB PD ⋅=，即2222286142,,0343434k k k k k k ⎛⎫--⎛⎫-⋅= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 化简得()424226428360642836034k k k k k +-=⇒+-=+， 解得34k =±故当34k =时，20,7P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当34k =-时，20,7P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.………………（12分）。
河南省豫西名校2019-2020学年高二上学期第二次联考数学(理)试题Word版含答案
河南省豫西名校2019-2020学年高二上学期第二次联考数学（理）试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{=|A x y =，{}|ln(1)B x y x ==-，则A B 等于（）A ．()1,2B ．(1,2]C ．()2,1-D ．[2,1)-2.命题“1x ∀>，1122x⎛⎫< ⎪⎝⎭”的否定是（ ）A ．1x ∀>，1122x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭B ．1x ∀≤，1122x⎛⎫≥ ⎪⎝⎭C ．01x ∃>，01122x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭D ．01x ∃≤01122x⎛⎫≥ ⎪⎝⎭3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且105S =，71a =，则1a =（ ）A ．-1B ．12-C ．14D ． 124.设,a b R ∈，则“5a b +>”是“2a >且3b >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件 C.充要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知椭圆:C 22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F2F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为（）A ．22132x y +=B ．2213x y += C.221128x y += D ．221124x y += 6.已知实数x ，y 满足条件103020x y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最大值为（）A ．-8B ．-6 C.-2 D ．47.已知命题p ：“[]0,1x ∀∈，x a e ≥”，命题:q “x R ∀∈，240x x a ++≠”，若命题p q ∧⌝是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]1,4B ．[],4e C.[4,)+∞ D ．(,1]-∞8.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆C 交于A ，B 两点，若AB 的中点()1,1P -，则椭圆C 的方程为（ ）A ．2214536x y += B ．2213627x y += C.2212718x y += D ．221189x y +=9.若ABC ∆的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且BC 边上的中线AD =又2AB =，则ABC S ∆=（ ）A ．3B ．．610. 椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的中心点在原点，1F ，2F 分别为左、右焦点，A ，B 分别是椭圆的上顶点和右顶点，P 是椭圆上一点，且1PF x ⊥轴，2PF AB ，则此椭圆的离心率为（ ）A ．13 B ．12C.2 D ．511.ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222a b c b c =++，a =S 为ABC ∆的面积，则cos S B C +的最大值为（ ）A ．1B 1．312.斜率为1的直线l 与椭圆2214x y +=相交于A ，B 两点，则||AB 的最大值为（ ）A ．2B ．5 C.5 D ．5第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若命题“0x R ∃∈，20020x x m -+≤”是假命题，则m 的取值范围是 ．14.已知点1F ，2F 是椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥.若12PF F ∆的面积为9，则b = ．15.已知()1,0A -，B 是圆F ：222110x x y -+-=（F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF于点P ，则动点P 的轨迹方程为 ．16.已知ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=︒，4BC =，若点P 是BC 边上的动点，且P 到AB ，AC 的距离分别为m ，n ，则41m n+的最小值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin a B A =. （1）求角A 的大小； （2）若a =2b =，求ABC ∆的面积.18. （本小题满分12分）已知0m >，:p ()()260x x +-≤，:q 22m m -≤+.（1）已知p 是q 成立的必要不充分条件，求实数m 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 19. （本小题满分12分）已知m R ∈，命题:p 对[]0,8x ∀∈，不等式()213log 13x m m +≥-恒成立；命题:q 对(),1x ∀∈-∞-，不等式222x x mx +>+恒成立.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若p q ∧为假，p q ∨为真，求实数m 的取值范围. 20. （本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足2312232222n n a a a a n n ++++=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()12nnna b -=，求数列{}n b 的前n 项和n S .21. （本小题满分12分）已知点()0,1A 与12B ⎫⎪⎭都是椭圆:C 22221x y a b +=（0a b >>）上的点，直线AB 交x 轴于点M .（1）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标；（2）设O 为原点，点D 与点B 关于x 轴对称，直线AD 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点E ，使得OEM ONE ∠=∠？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由.22. （本小题满分12分）已知椭圆:C 22221x y a b +=（0a b >>）的左、右顶点分别为A ，B 其离心率12e =，点M 为椭圆上的一个动点，MAB ∆面积的最大值是（1）求椭圆C 的方程；（2）若过椭圆C 右顶点B 的直线l 与椭圆的另一个交点为D ，线段BD 的垂直平分线与y 轴交于点P ，当0PB PD ⋅=时，求点P 的坐标.豫西名校2018-2019学年上期第二次联考高二数学（理）参考答案一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.【解析】由240x -≥，解得2x x -≤≤，则[]2,2A -；由10x ->，解得1x <， 则(),1B =-∞，所以[2,1)AB =-.2.【解析】因为“1x ∀>，1122x⎛⎫< ⎪⎝⎭”是全称命题，其否定是特称命题，即“01x ∃>，01122x⎛⎫≥ ⎪⎝⎭”.3.【解析】11161, 1.109105,2a d a a d +=⎧⎪⇒=⎨⨯+=⎪⎩ 4.【解析】显然“2a >且3b >”成立时，“5a b +>”一定会成立，所以是必要条件，当4a >且2b >时，“5a b +>”成立，但“2a >且3b >”不成立，所以不是充分条件. 5.【解析】由椭圆的性质知1||2AF a =，12||||2BF BF a +=，∴1AF B ∆的周长=1212||||||||AF AF BF BF +++=a =2222b a c =-=，∴椭圆的方程为22132y y +=. 6.【解析】作出约束条件103020x y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩所对应的可行域如图ABC ∆及其内部，变形目标函数可得2y x z =-，平移直线2y x =可知，当直线经过点()3,2C 时，直线的截距最小，z 取最大值，代值计算可得2z x y =-的最大值max 2324z =⨯-=.7.【解析】命题p 为真，则a e ≥；命题q 为真，则1640a -<，解得4a >，∴q ⌝：4a ≤，∴p q ∧⌝：4e a ≤≤.8.【解析】法一：根据椭圆的性质，3c =，又过点()3,0F 和直线AB 的中点()1,1P -的直线方程为230x y --=，联立方程组222222230,,x y b x a y a b --=⎧⎨+=⎩消去x ，并整理得()222222241290a b y b y b a b +++-=，所以21222124b y y a b +=-+，因为1212y y +=-，所以222a b =，因为229a b -=，解得218a =，29b =，所以椭圆的标准方程为221189x y +=. 法二：点差法，解答略9.【解析】因为ABC ∆的三个内角A ，B ，C 成等差数列，则60B =︒，在ABD ∆中，由余弦定理得：2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅，即2742BD BD =+-，所以3BD =或-1（舍去），可得6BC =，所以11sin 2622ABC S AB BC B ∆=⋅⋅=⨯⨯=10.【解析】如图所示，把x c =-代入椭圆方程22221x y a b +=（0a b >>），可得2,b P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()0,A b ，(),0B a ，()2,0F c ∴ABbk a=-，122PF b k ac =-， ∵2PF AB ，∴22b b a ac-=-，化简得2b c =.∴22224c b a c ==-，即225a c =，∴5e ==. 11.【解析】由222a b c bc =++，则2221cos 22b c a A bc +-==-，∴23A π=.设ABC ∆外接圆的半径为R，则21sin sin 3a R A ===，∴1R =，∴1cos sin cos cos 2S B C bc A B C B C ==+sin cos B C B C =+⋅()B C =-，故cos S B C +.12.【解析】法一：设A ，B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，直线l 的方程为y x t =+，由2244,x y y x t⎧+=⎨=+⎩消去y ，得()2258410x tx t ++-=，则1285x x t +=-，()212415t x x -=.∴12|||AB x x =-==50t=时，max ||AB =法二：∵直线斜率固定过椭圆中心时，弦最长，∴可直接求的max ||AB =.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【答案】13.()1,+∞ 14.3 15.22132x y += 16.9213.【解析】因为命题“0x R ∃∈，20020x x m -+≤”是假命题，所以x R ∀∈，220x x m -+≥为真命题，即440m ∆=-<，1m >，故答案为()1,+∞.14.【解析】由12PF PF ⊥知，1290F PF ∠=︒，由题意，得121222212||||2,1||||9,2||||4,PF PF a PF PF PF PF c +=⎧⎪⎪⋅=⎨⎪⎪+=⎩ 可得224364c a +=，即229a c -=，所以3b =.15.【解析】将圆F 改写成标准方程()22112x y -+=，则圆心F 的坐标为()1,0，半径r =，由题意可知||||PA PB =，又点P 在圆F 的半径BF上，故||||||||||2||PA PF PB PF BF AF +=++=>=，所以动点P 的轨迹是以A ，F为焦点，轴长的椭圆，则2a =22c =，所以b =，故动点P 的轨迹方程为22132x y +=. 16.【解析】由题知AB AC ==)21122m n ⨯=+⎝⎭， 则2m n +=，根据基本不等式，得()411411495222n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2,4,m n n m m n+=⎧⎪⎨=⎪⎩即43m =，23n =时，等号成立.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.【解析】（1）因为sin cos a B A =，由正弦定理得sin sin cos A B B A =. 又sin 0B ≠，从而tan A =0A π<<，所以3A π=……………………（4分）（2）法一：由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，及a =2b =，3A π=，得2742c c =+-，即2230c c --=. 因为0c >，所以3c =. 故ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==……………………（10分）法二：由正弦定理，得2sin sin3Bπ=，从而sin 7B =，又由a b >，知A B >，所以cos 7B =故()sin sin sin sin cos cos sin 33314C A B B B B πππ⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭. 所以ABC ∆的面积1sin 2S bc C ==………………（10分） 18.【解析】（1）:26p x -≤≤………………（1分）∵p 是q 成立的必要不充分条件，则[]2,2m m -+是[]2,6-的真子集，有222226m mm m -<+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得04m <≤， 又当4m =时，[][]2,22,6m m -+=-，不合题意， ∴m 的取值范围是()0,4.………………（6分） 分类处理亦可（2）∵q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，∴p 是q 的充分不必要条件，则[]2,6-是[]2,2m m -+的真子集，则哟02226m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+≥⎩，解得4m ≥，又当4m =时，不合题意.∴m 的取值范围为()4,+∞.………………（12分） 分类处理亦可 19.【解析】（1）令()()13log 1f x x =+，则()f x 在()1,-+∞上为减函数，因为[]0,8x ∈，所以当8x =时，()()min 82f x f ==-，…………（2分） 不等式()213log 13x m m +≥-恒成立，等价于223m m -≥-，解得12m ≤≤，故命题p 为真，实数m 的取值范围为[]1,2.………………（4分） （2）若命题q 为真，则221m x x>-+，对(),1x ∀∈-∞-上恒成立， 令()21g x x x =-+，因为()g x 在(),1x ∈-∞-上为单调增函数，则()()11g x g <-=，故1m ≥，即命题q 为真，1m ≥.……………………（6分） 若p q ∧为假，p q ∨为真，则命题p ，q 中一真一假；…………（7分） ①若p 为真，q 为假，那么121m m <<⎧⎨<⎩，则无解；……（9分）②若p 为假，q 为真，那么121m m m <>⎧⎨≥⎩或，则2m >.…………（11分）综上m 的取值范围为()2,+∞.……………………（12分） 20.【解析】（1）∵2312232222n n a a a a n n ++++=+， ∴当2n ≥时，()23112231112222n n a a a a n n --++++=-+-， 两式相减得122n n =（2n ≥），∴12n n a n +=⋅ （2n ≥）.…………（3分）又∵当1n =时，1112a =+，∴14a =，满足12n n a n +=⋅………………（4分）∴12n n a n +=⋅.………………（5分）（2）∵()()122nnnna b n -==-…………（6分）∴()()()()1231222322nn S n =⨯-+⨯-+⨯-+-.()()()()()23412122232(1)21n n n S n n +-=⨯-+⨯-+⨯-+--+-∴两式相减得：()()()()()()23413222222nn n S n +=-+-+-+-++---()()()()()()()1111212223122221233n n n n n n n n ++++⎡⎤------+-+⎣⎦=--=--=--- ∴()()131229n nn S ++-+=-………………（12分）21.【解析】（1）由题意得22211311,4b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∴2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩.故椭圆C 的方程为2214x y +=.…………（4分） 直线AB方程为16y x =-+，与x轴交点为()M .………………（5分） （2）因为点D 与点B 关于x轴对称，所以12D ⎫-⎪⎭，………………（6分） 直线AD方程为12y x =-+，与x轴交于点N ⎫⎪⎪⎝⎭，…………（7分） “存在点()0,E E y 使得OEM ONE ∠=∠”等价于“存在点()0,E E y 使得||||||||OM OE OE ON =”（9分） 即E y 满足2||||E M N y x x =.∴24E y ==，∴22E y =±，…………（11分） 故在y 轴上存在点E ，使得OEM ONE ∠=∠，且点E 的坐标为()0,2或()0,2-.……（12分） 22.【解析】（1）由题意可知2221,2122,c e a ab a b c ⎧==⎪⎪⎪⨯=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得2a =，b = 所以椭圆方程为22143x y +=.…………（4分） （2）由（1）知()2,0B ，设直线BD 的方程为()2y k x =-，()11,D x y ，把()2y k x =-代入椭圆方程22143x y +=， 整理得()2222241616120k x k x k +-+-=， 所以221122168623434k k x x k k -+=⇒=++，则2228612,3434k k D k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，…………（6分） 所以BD 中点的坐标为22286,3434k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，…………（7分） 则直线BD 的垂直平分线方程为2226183434k k y x k k k ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭，得220,34k P k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭……（9分） 又0PB PD ⋅=，即2222286142,,0343434k k k k k k ⎛⎫--⎛⎫-⋅= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 化简得()424226428360642836034k k k k k +-=⇒+-=+， 解得34k =±故当34k =时，20,7P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当34k =-时，20,7P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.………………（12分）。
河南省豫西名校2020学年高二数学上学期第二次联考试题文(含解析)
豫西名校2020学年高二上学期第二次联考文数试题、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合月=凶龙2—2片乞Q ；,"二（一】01刀|,则卅等于（【答案】B 【解析】回 f -2x9*卜0£尤£2|，匹a =料丄2］，选冈[]B【答案】B 【解析】 【分析】将已知条件转化为二的形式，列方程组，解方程组求得故选：B .【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的基本量基本元的思想是在等差数列中有 曰个基本量 _____________ ，利用等差数列的通项公式和前 项和 公式，列出方程组，即可求得数列的通项公式B. 丄眾C.[一10D. f-lQHB. C. —， _____________【答案】C D. 所以依据含一个量词的命题的否定可知: 其否定是存在A.已知等差数列色］的前n 项和为阳，且瓯二呵，萨可，则山=（T1flB. I 'IC.D.【详解】设等差数列的公差为d ，则胡、 通项公式和前项和.2.命题“|莎_, ”的否定是A. Vx > 1，K卜川， 卜=|，【解析】应选答案C 。
?3. ，解得【答案】D 【解析】 函画内部（含边界）,作直线 區一y = 0|,当直线耳向下平移时，疋2上-创增大，因此当 恥丽刃时，#二2上一y 二2x42二4|为最大值，故选 D.4.已知|：电为椭圆c ： 二+丄二］的左、右焦点，点 P 是椭圆上任意一点［］非左右顶点刖，则A. 12B. 10C. 8D. 6【答案】B 【解析】 【分析】莎的值，所求三角形周长为叵国，由此求得正确选项•J = 2 , •••□"］厲］周长为 2匸二 G + 4 二 10 .本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，考查焦点三角形的周长，属于基础题5.王昌龄| |从军行LJ 中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的 _A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】返回家乡的前提条件是攻破楼兰，即可判断出结论. 【详解】“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要非充分条件. 故选：B.【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题.r 二 y — 1 W 0m 则童刃的最大值为打is 2 <0A.—B. c. - v.|D. 4作出可行域，如图根据椭圆的标准方程求得【点睛】是真命题，则实数a的取值范围是_ |_|A.回B.回C. f 屯十8)|D.【答案】B【解析】试题分析：若p是真命题则叵目.若q是真命题则旺一4口U 0,二口〉4|.所以Ri/e亍j|.所以卜A ->§疋玉u E 4 .故选B.本小题考查命题的相关知识•含特称和全称的命题的运算•涉及对数函数函数和二次函数的知识考点：1.特称命题和全称命题.2.命题的否定.3.命题的交集的运算8.已知椭圆：+刍=g >b>0］的右焦点为F,过点F的直线与椭圆交于点A, B,若AB中点□ bB i r L/o/ 厂C V▼^^1 2 3 Ar7.已知命题p：匝亘［回，口王於”，命题q:"卩尤E冏,d + 4/ +廿丰0 ”，若命题H料~D.【答案】C【解析】二c为，且直线AB的倾斜角为| |，则椭圆方程为_ ［|故选：C2 29. 已知直线f2fijc-y+ 1 = Q 与椭圆〔+乙=1恒有公共点，则实数 m 的取值范围为[]9771A. [ dB.・C. | ：「；；—「*D.【答案】C 【解析】 【分析】先求得直线过的定点， 根据这个定点在椭圆内或者椭圆上列不等式， 解不等式求得」的取值范围•【详解】直线p 滋_y + l 刊恒过定点卩（0」]|,---- 1 -----直线二q 与椭圆：-+ ^=1恒有公共点，即点代呵在椭圆内或椭圆上， |9 ?n，即匝U ，又辰可，|/. 1 ■ -?• < ”或|h "冷故选：c.【点睛】本小题主要考查含有参数的直线过定点，考查直线和椭圆的位置关系，属于基础题10. 已知区回的三个内角A , B , C 依次成等差数列，BC 边上的中线 以心调，财= 2],贝U3A. 3B. | |C. i |D. 6【答案】C 【解析】 【分析】由囚，凰石成等差数列，可得叵画，再在回型中，由余弦定理得回，从而利用面积公式 求面积即可•u 2b 2・ 2，…a =一？ 4_令 A(xi , yi) , B(X2, y2)，则=1,【详解】因为匡回的三个内角⑪，回，©成等差数列，有 仙=沖+£ = :TT-D],贝屮=召『|, 在|也百Rf ）|中，由余弦定理得： 旧“上=川岀 2 +対心2-2/1&.曰》.81已，即即 F =斗+ MU ' -2HD ，所以PD = 3或-1 （舍去），可得卩忆=4,所以 f 酬牝=I A H - BC - sinH = -x2xbx^- = 3^2 2 2【点睛】本题主要考查了余弦定理及面积公式的应用，属于基础题11•丄dxj 的三个内角 A , B, C 的对边分别为 a ，b ，c ， 0二俑，则嗣等于【答案】D 【解析】=〔b + 起'=+ 2 尿=2力匚仑。
河南省2019-2020学年豫西名校高二期末联考数学(理科)试题(wd无答案)
河南省2019-2020学年豫西名校高二期末联考数学（理科）试题一、单选题(★★) 1. 已知复数 z＝，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★) 2. 已知命题：，则为（）A．，B．，C．，D．，(★) 3. 双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2(★) 4. 已知等比数列{ a n}满足 a 1 a 6＝ a 3，且 a 4+ a 5＝，则 a 1＝（）A．B．C．4D．8(★) 5. 为了奖励班上进步大的8名学生，班主任购买了5本相同的书和3本相同的笔记本作为奖品分发给这8名学生，每人一件，则不同的分法有（）A．28种B．56种C．112种D．336种(★★) 6. 已知函数 f( x)＝ ln2 x+ x 2，则曲线 y＝ f( x)在点（， f（））处的切线在 y轴上的截距为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．(★★★) 7. 已知实数、满足约束条件，且的最大值为，则（）A．B．C．D．(★★)8. “ ”是“ ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★★) 9. 等差数列的前项和为，，，则满足的（）A．50B．51C．100D．101(★) 10. 某养殖场需要通过某装置对养殖车间进行恒温控制，为了解用电量 y（kW•h）与气温x（）之间的关系，随机统计了某5天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温（）34567用电量（kW•h） 2.534 4.56若利用线性回归方程预测时的用电量为8.25kW•h，则预测时的用电量为（）A．8.75kW•h B．9.86kW•h C．9.95kW•h D．12.24kW•h(★★★) 11. 已知函数在上有极值，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．(★★)12. 已知某中学高三学生的近视率为p（0＜p＜1），从该校高三学生中随机抽取20人，设 X为其中近视的人数，若 D（ X）＝4.2且 P（ X＝11）＜ P（ X＝9），则 p＝（）A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7二、填空题(★★) 13. 在（ x 2﹣）5的展开式中，含 x 2的项的系数是_____（用数字作答）.(★★) 14. 若正实数满足，则的最小值为_____.(★★★) 15. 已知抛物线 C：，点 N在 C上，点，若点 M， N关于直线对称，则_____.(★★★) 16. 已知函数 f( x)＝，若存在 x 1， x 2（ x 2＞ x 1）满足 f（ x 1）＝ f （ x 2），则 x 2﹣2 x 1的取值范围为_____.三、解答题(★★★) 17. 已知 ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且 asin B＝ bcos（ A+ ）.（1）求角 A；（2）若 b＝2， c＝ a，求 ABC的面积.(★★★) 18. 如图，在三棱柱 ABC﹣ A 1 B 1 C 1中，侧面 ABB 1 A 1和侧面 BCC 1 B 1都是边长为2的菱形，且∠ BAA 1＝∠ CBB 1＝60°.（1）证明： BB 1⊥ A 1 C；（2）若 A 1 C＝.求二面角 A﹣ BC﹣ A 1的余弦值.(★★★) 19. 已知椭圆 C：＝1的右焦点为 F，过 F的直线与椭圆 C交于 A， B两点，AB的中点为 D.（1）若点 D的纵坐标为﹣，求直线 AB的方程；（2）线段 AB的中垂线与直线 x＝﹣4交于点 E，若| AB|＝，求| DE|.(★★★) 20. 零部件生产水平是评判一个国家高端装备制造能力的重要标准之一，其中切割加工技术是一项重要技术某精密仪器制造商研发了一种切割设备，用来生产高精度的机械零件，经过长期生产检验，可以认为该设备生产的零件尺寸服从正态分布 N（μ，σ 2）.某机械加工厂购买了该切割设备，在正式投入生产前进行了试生产，从试生产的零件中任意抽取10件作为样本，下面是样本的尺寸 x i（ i＝1，2，3，…，10，单位：mm）：100.03100.499.92100.5299.98100.3599.92100.44100.66100.78用样本的平均数作为μ的估计值，用样本的标准差s作为σ的估计值.（1）按照技术标准的要求，若样本尺寸均在（μ﹣3 σ，μ+3 σ）范围内，则认定该设备质量合格，根据数据判断该切割设备的质量是否合格. （2）该机械加工厂将该切割设备投入生产，对生产的零件制定了两种销售方案（假设每种方案对销售量没有影响）：方案1：每个零件均按70元定价销售；方案2：若零件的实际尺寸在（99.7，100.3）范围内，则该零件为A级零件，每个零件定价100元，否则为B级零件，每个零件定价60元. 哪种销售方案的利润更大？请根据数据计算说明.附：≈100601.8，样本方差.若X～N（μ，σ 2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+ σ）＝0.6827，P（μ﹣2 σ＜X＜μ+2 σ）＝0.9545(★★★★) 21. 已知.（1）设，讨论的单调性；（2）若对任意恒成立，求的取值范围.(★★★) 22. 已知圆 C的极坐标方程为ρ 2+2 ρsin（θ﹣）﹣2＝0，直线 l的极坐标方程为θ＝（ρ∈ R）.以极点为坐标原点，极轴为 x轴正半轴建立直角坐标系 xOy.（1）求圆 C的半径；（2）直线 l与圆 C的交点为 A， B，求 ABC的面积.。
2019-2020学年河南省豫西名校高二上学期第二次联考数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年河南省豫西名校高二上学期第二次联考数学（理）试题一、单选题1．命题“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ） A ．若21x ≥，则1x ≥或1x ≤- B ．若11x -<<，则21x < C ．若1x >或1x <-，则21x > D ．若1x ≥或1x ≤-，则21x ≥【答案】D【解析】直接利用逆否命题的定义解答即可. 【详解】根据逆否命题的定义得，命题“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是“若1x ≥或1x ≤-，则21x ≥” 故选：D 【点睛】本题主要考查逆否命题的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．已知集合()(){}{}1021A x mx x n x x =++>=-≤<，则n m -等于（ ） A ．3 B ．1C ．1-D ．3-【答案】A【解析】求出,m n 的值，即得解. 【详解】由题意知2x =-、1x =是方程()()10mx x n ++=的两根， 代入解得1m =-，2n =. 所以3n m -=． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解集，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．已知点(),P x y 10=，点P 的轨迹是（ ） A ．圆B ．线段C ．椭圆D ．射线【答案】B【解析】等价于点(),P x y 到()1,1A -、()5,7B -两点距离的和为10，由|AB|=10即得解. 【详解】方程表示点(),P x y 到()1,1A -、()5,7B -两点距离的和为10，因为10AB ==, 所以点P 的轨迹是线段AB ． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查动点的轨迹和两点间的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是( ) A ．红豆生南国 B ．春来发几枝 C ．愿君多采撷 D ．此物最相思 【答案】A【解析】利用命题的定义即可判断出答案． 【详解】由命题的定义可知：“红豆生南国”这一句可以判断红豆生在什么地方，因此可以作为一个命题． 故选：A ． 【点睛】正确理解命题的定义是解题的关键．5．已知椭圆22143x y +=，直线l ：0x my m +-=（m R ∈），直线l 与椭圆的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相切C ．相交D ．不确定【答案】C【解析】由题得直线过定点（0，1），而该定点在椭圆内部，所以直线和椭圆相交. 【详解】由题意知l ：0x my m +-=（m R ∈）恒过点()0,1，因为2211043+<，所以点（0,1）在椭圆内部，所以直线l 与椭圆相交． 故选：C 【点睛】本题主要考查点和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .则“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由正弦定理得，所以“”是“”的充要条件，选C.7．已知点P 是椭圆22184x y +=上的一点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，若12F PF ∆为直角三角形，则满足条件的点P 个数共有（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】B【解析】当122F PF π∠=时有两个，当122PF F π∠=或212PF F π∠=时，有4个．即得解. 【详解】当点P 在短轴顶点时，由于2b c ==，122F PF π∠=,此时满足已知的有两个；当122PF F π∠=或212PF F π∠=时，有4个．所以满足条件的点P 个数共有6个． 故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若2a b +≥．则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题是一个真命题B ．命题“负数的平方是正数”是特称命题C ．命题“设a ，b R ∈，若9a b +≠，则4a ≠或5b ≠”是一个真命题D ．常数数列既是等差数列也是等比数列 【答案】C【解析】对每一个命题逐一分析判断得解. 【详解】A. 命题“若2a b +≥．则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题是“a ，b 中至少有一个不小于1，则2a b +≥”是一个假命题，如11,,2a b ==但是322a b +=<. B. 命题“负数的平方是正数”是一个全称命题，因为它表示“任意一个负数的平方是正数”.所以该命题是假命题.C. 命题“设a ，b R ∈，若9a b +≠，则4a ≠或5b ≠”的逆否命题是“4a = 且=5b ，则9a b +=” ，由于其逆否命题是真命题，所以原命题是真命题.D. 常数数列既是等差数列也是等比数列,是假命题，如常数列的常数为0,则不是等比数列. 故选：C 【点睛】本题主要考查四种命题及其关系，考查全称命题和特称命题，考查等差数列和等比数列的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．已知直线l 与椭圆221164x y +=交于A ，B 两点，且点()2,1M 是弦AB 的中点，则直线l 的方程为（ ） A ．240x y +-= B ．250x y +-= C ．230x y --= D ．230x y --=【答案】A【解析】利用点差法求出12AB k =-，即得直线AB 的方程. 【详解】设A ，B 的坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ， 由点差法得1212121212121124y y y y y y x x x x x x -+-⋅=⨯=--+-．12AB k ∴=-，所以直线l 的方程为11(2)2y x -=--即240x y +-=． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查点差法和直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，132030a =，1n n n a S S -=（2n ≥，n *∈N ），当n S 取最大值时，则n 的值为（ ）A ．672B ．673C ．674D ．675【答案】C【解析】先利用1n n n a S S -=得到数列1{}n S 是以20203为首项，1-为公差的等差数列，求出320233n S n=-即得解.【详解】当2n ≥时，11n n n n n a S S S S --=-= 1111n n S S -∴-=-， 所以数列1{}n S 是以20203为首项，1-为公差的等差数列． 所以1202032023133n n n S -+=-+=， 320233n S n∴=-，所以当674n =时，n S 取最大值为3． 故选：C 【点睛】本题主要考查等差数列的判定和等差数列的通项的求法，考查数列的通项和前n 项和的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别是1F ，2F ，以1F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线2PF 恰好与圆1F 相切于点P ，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．12C ．2D 1【答案】D【解析】由题得圆1F 的方程为()222x c y c ++=，分析得到()22224a c c c -+=，解方程即得解. 【详解】圆1F 的方程为()222x c y c ++=，因为2PF 恰好与圆1F 相切点于P ，所以()22224a c c c -+= 可得22220c ac a +-=，2220e e ∴+-=．1e ∴=．故选：D 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2cos c a a B -=，则ba的取值范围是（ ）A ．(B ．C ．(D ．()0,1【答案】B【解析】化简已知得2B A =,根据已知求出A 的范围和2cos b A a =，即得ba的取值范围. 【详解】由正弦定理得2cos c a a B -=．sin 2sin cos sin sin cos cos sin C A B A A B A B =+=+()sin sin A B A ∴=-． 22B A π∴=<，因为32C A ππ=-<，02A π<<，64A ππ∴<<，所以sin sin 22cos sin sin b B A A a A A===∈．故选：B 【点睛】本题主要考查正弦定理边角互化，考查三角恒等变换和余弦函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题13．已知方程22115x y n n +=++表示椭圆，则该椭圆的焦点坐标为______．【答案】()0,2±【解析】判断椭圆的焦点所在的轴即得解. 【详解】由题意51n n +>+知焦点在y 轴上． 因为514n n +--=， 所以椭圆的焦点坐标为()0,2± 故答案为：()0,2± 【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14．若命题“x R ∃∈，使得210ax ax ++≤”为假命题，则实数a 的取值范围为______． 【答案】[)0,4．【解析】试题分析： 由命题“x R ∃∈，使得210ax ax ++≤”为假命题，得其否定命题：“x R ∀∈，使得210ax ax ++>”是真命题； 即不等式210ax ax ++>在R 上恒成立，当0a =时，不等式为20010x x ⋅+⋅+>，显然它在R 上恒成立； 当0a ≠时，必须且只需20{40a a a >=-<，解得：04a <<，综上所述，实数a 的取值范围为[)0,4．故答案应填：[)0,4． 【考点】特称命题与全称命． 15．数列{}n a 满足11a =，121n n a a n n+=++，则2019a =______． 【答案】40372019【解析】由题得1111n n a a n n +-=-+,再利用累加法求解即可. 【详解】 由题得1111n n a a n n +-=-+， 201911111140371122018201920172018220192019a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：40372019【点睛】本题主要考查累加法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16．已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的离心率1,22e ⎡∈⎢⎣⎦，直线1y x =-+交椭圆于M ，N 两点，O 为坐标原点，且0OM ON ⋅=，则椭圆短轴长的最小值是______．【解析】设(),M x y ，()22,N x y ，由222211y x x y ab =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩和韦达定理求出22221b a b =-，再根据12e ⎡∈⎢⎣⎦求出椭圆短轴长的最小值. 【详解】设(),M x y ，()22,N x y ，由222211y x x y ab =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得()222222220a bxa x a ab +-+-=212222a x x a b +=+，2221222a ab x x a b-=+()()()12121212121211210OM ON x x y y x x x x x x x x ⋅=+=+-+-+=-++= 代入解得22221b a b =-， 22222211122,42c b e b a a ⎡⎤==-=-∈⎢⎥⎣⎦4b ≤≤．2b ≤≤【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题17．设p ：实数x 满足()223120(0)x a x a a a -+++≤>，q ：实数x 满足()f x =（1）当2a =时，命题p q ∧为真命题，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）23x ≤≤；（2）3a >或102a <<【解析】（1）先化简命题p 和q,再根据命题p q ∧为真命题求出实数x 的取值范围；（2）先求出p 和q ⌝，再根据已知得到3a >或212a +<，解不等式即得解. 【详解】 （1）由p 得()223120x a x a a -+++≤．2a =，25x ∴≤≤由q 得：2560x x -+-≥，23x ∴≤≤，又由命题p q ∧为真命题， 所以实数x 的取值范围为：23x ≤≤.（2）由p 得：21a x a ≤≤+，由q ⌝得：()()23,,-∞+∞p 是q ⌝的充分不必要条件，3a ∴>或212a +<，因为0a > 3a ∴>或102a <<所以实数a 的取值范围为3a >或102a <<. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查复合命题的真假，考查充要条件的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos bA c= （1）证明：ABC ∆是直角三角形： （2）BM 平分角B 交AC 于点M ，且1BM =，6c =，求cos ABM ∠．【答案】（1）见解析；（2）3cos 4ABM ∠= 【解析】（1）化简cos b A c=得2C π=，即得证；（2）记ABM α∠=，在R t A C B ∆中，得到cos cos 26αα=，化简解方程即得解. 【详解】（1）由正弦定理得()sin cos sin sin C A B A C π==--，()cos sin sin sin cos cos sin A C A C A C A C ∴=+=+，sin cos 0A C ∴= ()0,A π∈sin 0A ∴≠cos 0C ∴=，2C π∴=，所以ABC ∆是直角三角形（2）记ABM α∠=，则MBC α∠=，在Rt MCB ∆中，cos CB α=， 在Rt ACB ∆中，cos BC ABC AB ∠=，cos cos 26αα=2cos 2cos 16αα∴-=，即212cos cos 60αα--= 3cos 4α∴=或23-（舍），所以3cos 4ABM ∠=． 【点睛】本题主要考查三角恒等变换和正弦定理解三角形，考查二倍角的余弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．已知方程2221214x y m m+=+-（m Z ∈）表示焦点在y 轴上的椭圆Ω．坐标原点为O ．该椭圆与直线l ：()2110x m y +++=相交于A ，B 两点． （1）求椭圆O 的方程； （2）求AOB ∆的面积．【答案】（1）2214y x +=；（2）4 【解析】（1）解不等式组24210m m m Z⎧->+>⎨∈⎩即得m 的值，即得椭圆的方程；（2）先计算出()00O ,到直线l 的距离，再计算出弦长|AB|,即得AOB ∆的面积． 【详解】（1）由题意得24210m m m Z⎧->+>⎨∈⎩，解得0m =，所以椭圆Ω的方程为：2214y x +=． （2）由（1）知直线l 方程为：210x y ++=，()00,O ∴到直线l的距离为：d ==， 由2221014x y y x ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得28430x x +-=．1212x x +=-，1238x x =-12AB x =-==，12AOB S d AB ∆== 所以AOB∆ 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．已知数列{}n a 满足：()1231312n n a a a a +++⋅⋅⋅+=-，n *∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足31log n n n b a a +=，求{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）13-=n n a ；（2）211344n n n T =-⋅+ 【解析】（1）由题得()1312n n S =-，再利用项和公式求数列{}n a 的通项公式；（2）由题得13n n b n -=⋅，再利用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n T ．（1）令()1231312n n n S a a a a =+++⋅⋅⋅+=- 当1n =时，11a =当2n ≥时，113n n n n a S S --=-= 当1n =时，满足11131a -==，13n n a -∴=所以{}n a 的通项公式为13-=n n a ．（2）由（1）得11313log 3log 33n n n n n n b a a n --+===⋅()1221132333133n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯0①．()12323132333133n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯②由①减去②得33n n n T n =⋅-1-2-2所以{}n b 的前n 项和211344n n n T =-⋅+． 【点睛】本题主要考查利用项和公式求数列的通项，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21．某乡镇政府为了解决农村教师的住房问题，计划征用一块土地盖一幢建筑总面积为100002m 公寓楼（每层的建筑面积相同）．已知士地的征用费为21000/元m ，土地的征用面积为第一层的85倍，经工程技术人员核算，第一层建筑费用为2360/元m ，以后每增高一层，其建筑费用就增加250/元m ，设这幢公寓楼高层数为n ，总费用为()f n 万元．（总费用为建筑费用和征地费用之和）（1）若总费用不超过835万元，求这幢公寓楼最高有多少层数？（2）试设计这幢公寓的楼层数，使总费用最少，并求出最少费用．【答案】（1）16；（2）设计这幢公寓为8楼层时，总费用最少为735万元【解析】（1）先求出土地的征用的费用和建筑费用，再求总费用为()f n =160025335835n n++≤，解不等式即得解；（2）利用基本不等式求最少费用.（1）每层建筑面积10000n ，土地的征用的费用116001.61000n n⨯⨯=万元； 建筑费用()1136050253352n n n n n-⎡⎤+⨯=+⎢⎥⎣⎦； ()160025335f n n n ∴=++，160025335835n n++≤，即220640n n -+≤． 416n ≤≤（n N ∈），所以这幢公寓楼最高可以盖16层； （2）由（1）知()160025335335735f n n n =++≥= 当且仅当160025n n=时，即8n =，()735f n =为最小值． 所以设计这幢公寓为8楼层时，总费用最少为735万元．【点睛】本题主要考查函数和不等式的应用，考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22．椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为12，右焦点为F ，上顶点为B ，且2BF =．（1）求椭圆E 的方程：（2）是否存在直线l ，使得l 交椭圆E 于M ，N 两点，且F 恰是MBN ∆的垂心？若存在，求出直线l 的方程：若不存在，说明理由，【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，321y x =-，见解析 【解析】(1)解方程222124c e a a b c ⎧==⎪⎨⎪=+=⎩即得解；（2）设l的方程为y x m =+，利用0MF BN ⋅=求出m 的值检验即得解.【详解】（1）由题意知：222124c e a a b c ⎧==⎪⎨⎪=+=⎩解得24a =，23b =，（2）由（1）知(B ，()1,0F，BP k ∴=假设存在直线l ，使得F 是BMN ∆的垂心，则BF MN ⊥．设l 的斜率为k ，则1．BF k k =-，k ∴=， 设l的方程为y x m =+，()11.M x y ，()22.N x y ，由22143y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()22131230x m ++-=，()()224131230m ∆=-⨯⨯->，得m <<．12x x +=，()21212313m x x -=， MF BN ⊥，0MF BN ∴⋅=， ()111,MF x y =-，(22,BN y y =，()(121210x x y y ∴--= 即()1212110x x x m x m x m ⎫⎫--+++=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭，整理得()2121241033m x x x x m ⎛⎫∴-+--= ⎪ ⎪⎝⎭()22123410313m m -⎛⎫⎛∴-⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得221480m --=，解得m =或21m =-．当m =时，直线MN 过点B ，不能构成三角形，舍去；当21m =-时，满足33m -<<， 所以存在直线l ，使得F 是BMN ∆的垂心，【点睛】本题主要考查椭圆的方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.。
(完整word)2019-2020学年河南省豫南九校高二(上)第二次联考数学试卷(理科)
2019-2020学年河南省豫南九校高二（上）第二次联考数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．不等式4x2﹣4x﹣3≤0的解集是（）A．（∞，−12]∪[32，+∞）B．[−12，32]C．（∞，−32]∪[12，+∞）D．[−32，12]2．命题“∀x∈（0，1），x2﹣x＜0”的否定是（）A．∃x0∉（0，1），x02−x0≥0B．∃x0∈（0，1），x02−x0≥0C．∀x0∉（0，1），x02−x0＜0D．∀x0∈（0，1），x02−x0≥03．在△ABC中，已知a＝5√2，c＝10，A＝30°，则B等于（）A．105°B．60°C．15°D．105°或15°4．记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，2S3＝2a4+S2，则a8＝（）A．8B．9C．16D．155．已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，若sinCsinB＜cosA，则△ABC的形状为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形6．已知等比数列{a n}的前n项的乘积记为T n，若T2＝T9＝512，则T8＝（）A．1024B．2048C．4096D．81927．设m＝log0.30.6，n=12log20.6，则（）A．m﹣n＞m+n＞mn B．m﹣n＞mn＞m+n C．m+n＞m﹣n＞mn D．mn＞m﹣n＞m+n8．不等式组{x+y≥1，x−2y≤4表示的平面区域为D，则（）A．∀（x，y）∈D，x+2y≥2B．∀（x，y）∈D，x+2y≤2C．∃（x，y）∈D，x+2y≥﹣2D．∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣29．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =√14[a 2c 2−(a 2+c 2−b 22)2]，若a 2sin C ＝2sin A ，（a +c ）2＝6+b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为（ ） A ．√3B ．√32C ．12D ．110．“对任意正整数n ，不等式nlga ＜（n +l ）lga a （a ＞l ）都成立”的一个必要不充分条件是（ ） A ．a ＞0B ．a ＞1C ．a ＞2D ．a ＞311．已知数列{a n }满足2a 1+22a 2+…+2n a n ＝n （n ∈N *），数列{1log 2a n log 2a n+1}的前n 项和为S n ，则S 1•S 2•S 3•…•S 10＝（ ） A ．110B ．111C ．211D ．1512．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若ac ＝4，sin B +2sin C cos A ＝0，则△ABC 面积的最大值为（ ） A ．1B ．√3C ．2D ．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b ＝3，c ＝2，cosA =13，则a ＝ ． 14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且cos C =2√23，b cos A +a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为 ．15．已知变量x ，y 满足条件{x ≥1x −y ≤0x +2y −9≤0，若目标函数z ＝ax +y 仅在点（3，3）处取得最小值，则a 的取值范围是 ．16．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 9＝S 3+2S 6，则S 6+1S 3取得最小值时，S 9的值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a cos C ＝b −√32c ． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若B =π6，AC ＝4，求BC 边上的中线AM 的长．18．已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，1]，不等式log2(x+1)−2≥m2−3m恒成立；命题q：存在x∈[﹣1，1]，使得m≤(12)x−1成立．（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）若p∧q为假，p∨q为真，求m的取值范围．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣n．（Ⅰ）证明数列{a n+1}是等比数列，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=1a n+1+1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．20．已知向量m→=（√3sinx，sinx），n→=（cos x，sin x），函数f（x）=m→⋅n→−12（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为满足b2＝ac，且f(B)=12，求1tanA+1tanC的值．21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，asinA+bsinB−csinCsinBsinC=2√33a．（1）求角C；（2）若△ABC的中线CD的长为1，求△ABC的面积的最大值．22．设数列{a n}是等差数列，数列{b n}的前n项和S n，满足S n=32(b n−1)且a2＝b1，a5＝b2．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设T n为数列{nS n}的前n项和，求T n．2019-2020学年河南省豫南九校高二（上）第二次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．不等式4x 2﹣4x ﹣3≤0的解集是（ ） A ．（∞，−12]∪[32，+∞）B ．[−12，32]C ．（∞，−32]∪[12，+∞）D ．[−32，12]【解答】解：解4x 2﹣4x ﹣3≤0得，−12≤x ≤32； ∴原不等式的解集是[−12，32]． 故选：B ．2．命题“∀x ∈（0，1），x 2﹣x ＜0”的否定是（ ） A ．∃x 0∉（0，1），x 02−x 0≥0 B ．∃x 0∈（0，1），x 02−x 0≥0 C ．∀x 0∉（0，1），x 02−x 0＜0D ．∀x 0∈（0，1），x 02−x 0≥0【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“特称命题”，∴命题“∀x ∈（0，1），x 2﹣x ＜0”的否定是∃x 0∈（0，1），x 02−x 0≥0， 故选：B ．3．在△ABC 中，已知a ＝5√2，c ＝10，A ＝30°，则B 等于（ ） A ．105°B ．60°C ．15°D ．105°或15°【解答】解：∵知a ＝5√2，c ＝10，A ＝30° 根据正弦定理可知a sinA=c sinC∴sin C ═sinA⋅c a=√22 ∴C ＝45°或135° B ＝105° 或15° 故选：D ．4．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，2S 3＝2a 4+S 2，则a 8＝（ ） A ．8B ．9C ．16D ．15【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 1＝1，2S 3＝2a 4+S 2，得6+6d ＝4+7d ， 解得d ＝2，所以a 8＝a 1+7d ＝1+2×3＝15． 故选：D ．5．已知a 、b 、c 分别是△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，若sinC sinB＜cosA ，则△ABC 的形状为（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【解答】解：∵由已知可得：sin C ＜sin B cos A ，∴可得：sin C ＝sin （A +B ）＝sin A cos B +cos A sin B ＜sin B cos A ， 整理得：sin A cos B ＜0， ∵sin A ≠0， ∴cos B ＜0． ∵B ∈（0，π），∴B 为钝角，三角形ABC 为钝角三角形． 故选：A ．6．已知等比数列{a n }的前n 项的乘积记为T n ，若T 2＝T 9＝512，则T 8＝（ ） A ．1024B ．2048C ．4096D ．8192【解答】解：依题意，等比数列{a n }的前n 项的乘积记为T n ，T 2＝T 9＝512， 所以T 9T 2=1，即a 3•a 4•……•a 9＝1，所以a 67=1，即a 6=a 1q 5=1，又因为a 1a 2=a 12q =512，所以q 9=1512，即q =12， 所以a 1＝32，∴a 9=a 1⋅q 8=32×128=18． 所以T 8=T 9a 9=51218=4096．故选：C ．7．设m ＝log 0.30.6，n =12log 20.6，则（ ）A ．m ﹣n ＞m +n ＞mnB ．m ﹣n ＞mn ＞m +nC ．m +n ＞m ﹣n ＞mnD ．mn ＞m ﹣n ＞m +n【解答】解：m ＝log 0.30.6＞log 0.31＝0，n =12log 20.6＜12log 21＝0，则mn ＜0．1m+1n=log 0.60.3+log 0.64＝log 0.61.2＜log 0.60.6＝1，∴m +n ＞mn ． ∴m ﹣n ＞m +n ＞mn ． 故选：A ． 8．不等式组{x +y ≥1，x −2y ≤4表示的平面区域为D ，则（ ） A ．∀（x ，y ）∈D ，x +2y ≥2 B ．∀（x ，y ）∈D ，x +2y ≤2 C ．∃（x ，y ）∈D ，x +2y ≥﹣2D ．∃（x ，y ）∈D ，x +2y ≤﹣2【解答】解：根据题意，不等式组{x +y ≥1x −2y ≤4其表示的平面区域如图所示，其中A （2，﹣1）设Z ＝x +2y ，则y =−12x +Z 2，Z 的几何意义为直线Z ＝x +2y 在y 轴上的截距， 分析可得：当{x =2y =−1时，直线Z ＝x +2y 在y 轴上的截距最小，截距最小值为0，即Z ＝x +2y 取得最小值0，无最大值，即x +2y ≥0， 据此分析选项：ABD 错误；C 正确； 故选：C ．9．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =√14[a 2c 2−(a 2+c 2−b 22)2]，若a 2sin C ＝2sin A ，（a +c ）2＝6+b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为（ ）A ．√3B ．√32C ．12D ．1【解答】解：因为：a 2sin C ＝2sin A ， 由正弦定理可得：a 2c ＝2a ，得ac ＝2， 则由（a +c ）2＝6+b 2，得a 2+c 2﹣b 2＝6﹣2ac ＝6﹣2×2＝2， 则S △ABC =√14[4−(22)2]=√32． 故选：B ．10．“对任意正整数n ，不等式nlga ＜（n +l ）lga a （a ＞l ）都成立”的一个必要不充分条件是（ ） A ．a ＞0B ．a ＞1C ．a ＞2D ．a ＞3【解答】解：对任意正整数n ，若不等式nlga ＜（n +1）lga a （a ＞1）都成立， 则nlga ＜a （n +1）lga （a ＞1）；lga ＞0；成立． 即：n ＜a （n +1）；a ＞nn+1=1−1n+1，对任意正整数n ，有a 要大于（1−1n+1）的最大值成立． （1−1n+1）的最大值设为x ，则n 趋近于无穷大正整数时，x 趋近于1， ∴a 大于趋近于1的数x ，即：a ＞x ＞0，x 趋近于1∴不等式nlga ＜（n +1）lga a （a ＞1）都成立能推出a ＞0，故a ＞0是不等式nlga ＜（n +1）lga a （a ＞1）都成立的必要条件．若a ＞0时，不能推出a ＞x ＞0，x 趋近于1，故不能推出不等式nlga ＜（n +1）lga a （a ＞1）成立能；根据充分条件和必要条件的定义可选A 成立． 故选：A ． 11．已知数列{a n }满足2a 1+22a 2+…+2n a n ＝n （n ∈N *），数列{1log 2a n log 2a n+1}的前n 项和为S n ，则S 1•S 2•S 3•…•S 10＝（ ） A ．110B ．111C ．211D ．15【解答】解：由2a 1+22a 2+…+2n a n ＝n ， 得2a 1＝1，即a 1=12；当n ≥2时，2a 1+22a 2+…+2n ﹣1a n ﹣1＝n ﹣1， ∴2n a n ＝1，即a n =12n （n ≥2）， 当n ＝1时，上式成立， ∴a n =12n ， 则1log 2a n log 2a n+1=1log 22⋅log 22=1n(n+1)=1n −1n+1．则S n =(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)=1−1n+1=n n+1． ∴S 1•S 2•S 3•…•S 10=12⋅23⋅34⋯1011=111． 故选：B ．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若ac ＝4，sin B +2sin C cos A ＝0，则△ABC 面积的最大值为（ ） A ．1B ．√3C ．2D ．4【解答】解：∵sin B +2sin C cos A ＝0， ∴sin （A +C ）+2sin C cos A ＝0， 即sin A cos C +cos A sin C +2sin C cos A ＝0， 即sin A cos C +3cos A sin C ＝0， 得a •b 2+a 2−c 22ab+3×b 2+c 2−a 22bc×c ＝0， 整理得2b 2＝a 2﹣c 2， ∵ac ＝4，∴a =4c， ∴b 2=16c 2−c 22=82−c 22， ∴cos B =a 2+c 2−b22ac=16c 2+c 2−(8c 2−c 22)8=8c 2+3c 228≥2√8c2×3c228=√32，当且仅当c 28=3c 22，即c 2=4√33，b 2=4√33，a 2＝4√3时取等号， ∴B ∈（0，π6]， ∴sin B ≤12，则△ABC面积的最大值为S=12ac sin B≤12×4×12=1，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝3，c＝2，cosA=13，则a＝3．【解答】解：∵b＝3，c＝2，cosA=1 3，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得a2＝9+4﹣2×3×2×13=9，解得a＝3．故答案为：3．14．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且cos C=2√23，b cos A+a cos B＝2，则△ABC的外接圆面积为9π．【解答】解：∵b cos A+a cos B＝2，∴由余弦定理可得：b×b2+c2−a22bc+a×a2+c2−b22ac=2，整理解得：c＝2，又∵cos C=2√23，可得：sin C=13，∴设三角形的外接圆的半径为R，则2R=csinC=213=6，可得：R＝3，∴△ABC的外接圆的面积S＝πR2＝9π．故答案为：9π．15．已知变量x，y满足条件{x≥1x−y≤0x+2y−9≤0，若目标函数z＝ax+y仅在点（3，3）处取得最小值，则a的取值范围是a＜﹣1．【解答】解：条件{x≥1x−y≤0x+2y−9≤0对应的平面区域如图：因为目标函数z＝ax+y，仅在（3，3）处取得最小值所以目标函数z＝ax+y的位置应如图所示，故其斜率需满足k＝﹣a＞1⇒a＜﹣1．故答案为：a＜﹣1．16．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 9＝S 3+2S 6，则S 6+1S 3取得最小值时，S 9的值为7√33． 【解答】解：依题意，因为S 9＝S 3+2S 6，所以q ≠1，所以a 1(1−q 9)1−q=a 1(1−q 3)1−q+2a 1(1−q 6)1−q，即（q 3﹣2）（q 3﹣1）（q 3+1）＝0，因为数列{a n }为正项数列，所以q 3＝2．当S 6+1S 3取得最小值时，S 6•S 3＝1，即(a11−q )2⋅(1−q 6)(1−q 3)=1，所以a 11−q=−√33， 所以S 9=a 11−q (1−q 9)=−√33×(1−23)=7√33．故填：7√33． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a cos C ＝b −√32c ． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若B =π6，AC ＝4，求BC 边上的中线AM 的长． 【解答】解：（Ⅰ）∵a cos C ＝b −√32c ，由正弦定理可得sin A cos C ＝sin B −√32sin C ， ∵sin B ＝sin （A +C ）＝sin A cos C +cos A sin C ， ∴cos A sin C =√32sin C ， ∵sin C ≠0， ∴cos A =√32，∴A =π6，（Ⅱ）由A ＝B =π6，则C =2π3， ∴BC ＝AC ＝4，AB ＝4√3， ∴AM ＝2，由余弦定理可得AM 2＝BM 2+AB 2﹣2BM •AB cos B ＝4+48﹣16√3•√32=28， ∴AM ＝2√7．18．已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0，1]，不等式log 2(x +1)−2≥m 2−3m 恒成立；命题q ：存在x ∈[﹣1，1]，使得m ≤(12)x −1成立． （1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求m 的取值范围．【解答】解：（1）对任意x ∈[0，1]，不等式log 2(x +1)−2≥m 2−3m 恒成立， 当x ∈[0，1]，由对数函数的性质可知当x ＝0时，y ＝log 2（x +1）﹣2的最小值为﹣2， ∴﹣2≥m 2﹣3m ，解得1≤m ≤2．因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[1，2]．（2）存在x ∈[﹣1，1]，使得m ≤(12)x −1成立，∴m ≤[(12)x −1]max =1． 命题q 为真时，m ≤1．∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p ，q 中一个是真命题，一个是假命题． 当p 真q 假时，则{1≤m ≤2m ＞1解得1＜m ≤2；当p 假q 真时，{m ＜1或m ＞2m ≤1，即m ＜1．综上所述，m 的取值范围为（﹣∞，1）∪（1，2]． 19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n ﹣n ．（Ⅰ）证明数列{a n +1}是等比数列，求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）记b n =1an+1+1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 【解答】解：（Ⅰ）证明：令n ＝1，得a 1＝2a 1﹣1，由此得a 1＝1． 由于S n ＝2a n ﹣n ，则S n +1＝2a n +1﹣（n +1）， 两式相减得S n +1﹣S n ＝2a n +1﹣（n +1）﹣2a n +n ， 即a n +1＝2a n +1．∴a n +1+1＝2a n +1+1＝2（a n +1），即a n+1+1a n+1=2，故数列{a n +1}是等比数列，其首项为a 1+1＝2， 故数列{a n +1}的通项公式是a n +1＝2•2n ﹣1＝2n ， 故数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b n =1a n+1+1a n a n+1=a n +1a n a n+1=2n(2n −1)(2n+1−1)， =(2n+1−1)−(2n−1)(2n −1)(2n+1−1)=12n −1−12n+1−1， 所以T n ＝b 1+b 2+…+b n ＝（121−1−122−1）+（122−1−123−1）+…+（12n −1−12n+1−1，），=121−1−122−1+122−1−123−1+⋯+1n −12n+1−1， ＝1−12n+1−1，数列{b n }的前n 项和T n ＝1−12n+1−1．20．已知向量m →=（√3sinx ，sinx ），n →=（cos x ，sin x ），函数f （x ）=m →⋅n →−12（x ∈R ）． （Ⅰ）求函数f （x ）的最大值和最小正周期；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为满足b 2＝ac ，且f(B)=12，求1tanA+1tanC的值．【解答】解：（I ）f （x ）=√3sin x cos x +sin 2x −12=√32sin2x −12cos2x ＝sin （2x −π6），∴f （x ）的最大值为1，最小正周期为T =2π2=π． （II ）∵f （B ）＝sin （2B −π6）=12，∴2B −π6=π6+2k π或2B −π6=5π6+2k π，k ∈Z ， 又B ∈（0，π）， ∴B =π6或B =π2．若B =π2，则b 2＝a 2+c 2＝ac ，与a 2+c 2≥2ac 矛盾． ∴B =π6，∵b 2＝ac ，∴sin A sin C ＝sin 2B =14，∴1tanA+1tanC=cosA sinA+cosC sinC=sinCcosA+cosCsinAsinAsinC=sin(A+C)sinAsinC=sinB sin B=1sinB=2．21．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，asinA+bsinB−csinC sinBsinC=2√33a ． （1）求角C ；（2）若△ABC 的中线CD 的长为1，求△ABC 的面积的最大值． 【解答】解：（1）∵asinA+bsinB−csinCsinBsinC=2√33a ，由正弦定理化简：a 2+b 2−c 2bsinC=2√33a由余弦定理得：cosC =a 2+b 2−c 22ab=√33sinC ， 即tanC =√3， ∵0＜C ＜π． ∴C =π3．（2）由三角形中线长定理得：2（a 2+b 2）＝22+c 2＝4+c 2， 由三角形余弦定理得：c 2＝a 2+b 2﹣ab ，消去c 2得：4−ab =a 2+b 2≥2ab ，ab ≤43（当且仅当a ＝b 时，等号成立）， 即S △ABC =12absinC ≤12×43×√32=√33．22．设数列{a n }是等差数列，数列{b n }的前n 项和S n ，满足S n =32(b n −1)且a 2＝b 1，a 5＝b 2． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）设T n 为数列{nS n }的前n 项和，求T n ．【解答】解：（1）数列{b n }的前n 项和S n ，满足S n =32(b n −1)，① 当n ＝1时，解得b 1＝3，当n ≥2时，S n−1=32(b n−1−1)，② ①﹣②得b n ＝3b n ﹣1， 整理得b n b n−1=3（常数），所以数列{b n }是以3为首项3为公比的等比数列， 所以b n =3⋅3n−1=3n ．由于数列{a n }是等差数列，首项为a 1，公差为d ，且a 2＝b 1，a 5＝b 2． 则{a 1+d =3a 1+4d =9，解得{a 1=1d =2，所以a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1．（2）由于列{b n }的前n 项和S n ，所以S n =3(3n−1)3−1=32(3n −1)．则nS n =32⋅n ⋅3n −32⋅n ． 设c n =n ⋅3n ，所以K n =1⋅31+2⋅32+⋯+n ⋅3n ①， 3K n =1⋅32+2⋅32+⋯+n ⋅3n+1②， ①﹣②整理得K n =(3n 2−34)⋅3n +32． 所以T n =32(3n 2−34)⋅3n +94−32⋅n(n+1)2， =n 4⋅3n+2−3n+28+94−3n 2+3n4．。
2019-2020学年河南省豫南九校高二(上)第二次联考数学试卷(理科)
2019-2020学年河南省豫南九校高二（上）第二次联考数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．不等式4x2﹣4x﹣3≤0的解集是（）A．（∞，]∪[，+∞）B．[，]C．（∞，]∪[，+∞）D．[，]2．命题“∀x∈（0，1），x2﹣x＜0”的否定是（）A．∃x0∉（0，1），B．∃x0∈（0，1），C．∀x0∉（0，1），＜D．∀x0∈（0，1），3．在△ABC中，已知a＝5，c＝10，A＝30°，则B等于（）A．105°B．60°C．15°D．105°或15°4．记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，2S3＝2a4+S2，则a8＝（）A．8B．9C．16D．155．已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，若＜，则△ABC的形状为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形6．已知等比数列{a n}的前n项的乘积记为T n，若T2＝T9＝512，则T8＝（）A．1024B．2048C．4096D．81927．设m＝log0.30.6，n log20.6，则（）A．m﹣n＞m+n＞mn B．m﹣n＞mn＞m+n C．m+n＞m﹣n＞mn D．mn＞m﹣n＞m+n8．不等式组，表示的平面区域为D，则（）A．∀（x，y）∈D，x+2y≥2B．∀（x，y）∈D，x+2y≤2C．∃（x，y）∈D，x+2y≥﹣2D．∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣29．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为，若a2sin C＝2sin A，（a+c）2＝6+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为（）A．B．C．D．110．“对任意正整数n，不等式nlga＜（n+l）lga a（a＞l）都成立”的一个必要不充分条件是（）A．a＞0B．a＞1C．a＞2D．a＞311．已知数列{a n}满足2a1+22a2+…+2n a n＝n（n∈N*），数列{}的前n项和为S n，则S1•S2•S3•…•S10＝（）A．B．C．D．12．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若ac＝4，sin B+2sin C cos A＝0，则△ABC面积的最大值为（）A．1B．C．2D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝3，c＝2，，则a＝．14．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且cos C，b cos A+a cos B ＝2，则△ABC的外接圆面积为．15．已知变量x，y满足条件，若目标函数z＝ax+y仅在点（3，3）处取得最小值，则a的取值范围是．16．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，S9＝S3+2S6，则S6取得最小值时，S9的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a cos C＝b c．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若B，AC＝4，求BC边上的中线AM的长．18．已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，1]，不等式恒成立；命题q：存在x∈[﹣1，1]，使得成立．（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）若p∧q为假，p∨q为真，求m的取值范围．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣n．（Ⅰ）证明数列{a n+1}是等比数列，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n，求数列{b n}的前n项和T n．20．已知向量（，），（cos x，sin x），函数f（x）（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为满足b2＝ac，且，求的值．21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是，，，．（1）求角C；（2）若△ABC的中线CD的长为1，求△ABC的面积的最大值．22．设数列{a n}是等差数列，数列{b n}的前n项和S n，满足且a2＝b1，a5＝b2．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设T n为数列{nS n}的前n项和，求T n．2019-2020学年河南省豫南九校高二（上）第二次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．不等式4x2﹣4x﹣3≤0的解集是（）A．（∞，]∪[，+∞）B．[，]C．（∞，]∪[，+∞）D．[，]【解答】解：解4x2﹣4x﹣3≤0得，；∴原不等式的解集是，．故选：B．2．命题“∀x∈（0，1），x2﹣x＜0”的否定是（）A．∃x0∉（0，1），B．∃x0∈（0，1），C．∀x0∉（0，1），＜D．∀x0∈（0，1），【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“特称命题”，∴命题“∀x∈（0，1），x2﹣x＜0”的否定是∃x0∈（0，1），，故选：B．3．在△ABC中，已知a＝5，c＝10，A＝30°，则B等于（）A．105°B．60°C．15°D．105°或15°【解答】解：∵知a＝5，c＝10，A＝30°根据正弦定理可知∴sin C═∴C＝45°或135°B＝105°或15°故选：D．4．记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，2S3＝2a4+S2，则a8＝（）A．8B．9C．16D．15【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则由a1＝1，2S3＝2a4+S2，得6+6d＝4+7d，解得d＝2，所以a8＝a1+7d＝1+2×3＝15．故选：D．5．已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，若＜，则△ABC的形状为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形【解答】解：∵由已知可得：sin C＜sin B cos A，∴可得：sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＜sin B cos A，整理得：sin A cos B＜0，∵sin A≠0，∴cos B＜0．∵B∈（0，π），∴B为钝角，三角形ABC为钝角三角形．故选：A．6．已知等比数列{a n}的前n项的乘积记为T n，若T2＝T9＝512，则T8＝（）A．1024B．2048C．4096D．8192【解答】解：依题意，等比数列{a n}的前n项的乘积记为T n，T2＝T9＝512，所以1，即a3•a4•……•a9＝1，所以1，即a61，又因为a1a2512，所以q9，即q，所以a1＝32，∴a932．所以T84096．故选：C．7．设m＝log0.30.6，n log20.6，则（）A．m﹣n＞m+n＞mn B．m﹣n＞mn＞m+n C．m+n＞m﹣n＞mn D．mn＞m﹣n＞m+n【解答】解：m＝log0.30.6＞log0.31＝0，n log20.6＜log21＝0，则mn＜0．log0.60.3+log0.64＝log0.61.2＜log0.60.6＝1，∴m+n＞mn．∴m﹣n＞m+n＞mn．故选：A．8．不等式组，表示的平面区域为D，则（）A．∀（x，y）∈D，x+2y≥2B．∀（x，y）∈D，x+2y≤2C．∃（x，y）∈D，x+2y≥﹣2D．∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣2【解答】解：根据题意，不等式组其表示的平面区域如图所示，其中A（2，﹣1）设Z＝x+2y，则y x，Z的几何意义为直线Z＝x+2y在y轴上的截距，分析可得：当时，直线Z＝x+2y在y轴上的截距最小，截距最小值为0，即Z＝x+2y取得最小值0，无最大值，即x+2y≥0，据此分析选项：ABD错误；C正确；故选：C．9．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC 的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为，若a2sin C＝2sin A，（a+c）2＝6+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为（）A．B．C．D．1【解答】解：因为：a2sin C＝2sin A，由正弦定理可得：a2c＝2a，得ac＝2，则由（a+c）2＝6+b2，得a2+c2﹣b2＝6﹣2ac＝6﹣2×2＝2，则S△ABC．故选：B．10．“对任意正整数n，不等式nlga＜（n+l）lga a（a＞l）都成立”的一个必要不充分条件是（）A．a＞0B．a＞1C．a＞2D．a＞3【解答】解：对任意正整数n，若不等式nlga＜（n+1）lga a（a＞1）都成立，则nlga＜a（n+1）lga（a＞1）；lga＞0；成立．即：n＜a（n+1）；a＞1，对任意正整数n，有a要大于（1）的最大值成立．（1）的最大值设为x，则n趋近于无穷大正整数时，x趋近于1，∴a大于趋近于1的数x，即：a＞x＞0，x趋近于1∴不等式nlga＜（n+1）lga a（a＞1）都成立能推出a＞0，故a＞0是不等式nlga＜（n+1）lga a（a＞1）都成立的必要条件．若a＞0时，不能推出a＞x＞0，x趋近于1，故不能推出不等式nlga＜（n+1）lga a（a＞1）成立能；根据充分条件和必要条件的定义可选A成立．故选：A．11．已知数列{a n}满足2a1+22a2+…+2n a n＝n（n∈N*），数列{}的前n项和为S n，则S1•S2•S3•…•S10＝（）A．B．C．D．【解答】解：由2a1+22a2+…+2n a n＝n，得2a1＝1，即；当n≥2时，2a1+22a2+…+2n﹣1a n﹣1＝n﹣1，∴2n a n＝1，即（n≥2），当n＝1时，上式成立，∴，则．则．∴S1•S2•S3•…•S10．故选：B．12．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若ac＝4，sin B+2sin C cos A＝0，则△ABC面积的最大值为（）A．1B．C．2D．4【解答】解：∵sin B+2sin C cos A＝0，∴sin（A+C）+2sin C cos A＝0，即sin A cos C+cos A sin C+2sin C cos A＝0，即sin A cos C+3cos A sin C＝0，得a•3c＝0，整理得2b2＝a2﹣c2，∵ac＝4，∴a，∴b2，∴cos B，当且仅当，即c2，b2，a2＝4时取等号，∴B∈（0，]，∴sin B，则△ABC面积的最大值为S ac sin B41，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝3，c＝2，，则a＝3．【解答】解：∵b＝3，c＝2，，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得a2＝9+4﹣29，解得a＝3．故答案为：3．14．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且cos C，b cos A+a cos B ＝2，则△ABC的外接圆面积为9π．【解答】解：∵b cos A+a cos B＝2，∴由余弦定理可得：b a2，整理解得：c＝2，又∵cos C，可得：sin C，∴设三角形的外接圆的半径为R，则2R6，可得：R＝3，∴△ABC的外接圆的面积S＝πR2＝9π．故答案为：9π．15．已知变量x，y满足条件，若目标函数z＝ax+y仅在点（3，3）处取得最小值，则a的取值范围是a＜﹣1．【解答】解：条件对应的平面区域如图：因为目标函数z＝ax+y，仅在（3，3）处取得最小值所以目标函数z＝ax+y的位置应如图所示，故其斜率需满足k＝﹣a＞1⇒a＜﹣1．故答案为：a＜﹣1．16．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，S9＝S3+2S6，则S6取得最小值时，S9的值为．【解答】解：依题意，因为S9＝S3+2S6，所以q≠1，所以2，即（q3﹣2）（q3﹣1）（q3+1）＝0，因为数列{a n}为正项数列，所以q3＝2．当取得最小值时，S6•S3＝1，即1，所以，所以S9．故填：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a cos C＝b c．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若B，AC＝4，求BC边上的中线AM的长．【解答】解：（Ⅰ）∵a cos C＝b c，由正弦定理可得sin A cos C＝sin B sin C，∵sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，∴cos A sin C sin C，∵sin C≠0，∴cos A，∴A，（Ⅱ）由A＝B，则C，∴BC＝AC＝4，AB＝4，∴AM＝2，由余弦定理可得AM2＝BM2+AB2﹣2BM•AB cos B＝4+48﹣16•28，∴AM＝2．18．已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，1]，不等式恒成立；命题q：存在x∈[﹣1，1]，使得成立．（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）若p∧q为假，p∨q为真，求m的取值范围．【解答】解：（1）对任意x∈[0，1]，不等式恒成立，当x∈[0，1]，由对数函数的性质可知当x＝0时，y＝log2（x+1）﹣2的最小值为﹣2，∴﹣2≥m2﹣3m，解得1≤m≤2．因此，若p为真命题时，m的取值范围是[1，2]．（2）存在x∈[﹣1，1]，使得成立，∴．命题q为真时，m≤1．∵p且q为假，p或q为真，∴p，q中一个是真命题，一个是假命题．当p真q假时，则＞解得1＜m≤2；＜或＞，即m＜1．当p假q真时，综上所述，m的取值范围为（﹣∞，1）∪（1，2]．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣n．（Ⅰ）证明数列{a n+1}是等比数列，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）证明：令n＝1，得a1＝2a1﹣1，由此得a1＝1．由于S n＝2a n﹣n，则S n+1＝2a n+1﹣（n+1），两式相减得S n+1﹣S n＝2a n+1﹣（n+1）﹣2a n+n，即a n+1＝2a n+1．∴a n+1+1＝2a n+1+1＝2（a n+1），即2，故数列{a n+1}是等比数列，其首项为a1+1＝2，故数列{a n+1}的通项公式是a n+1＝2•2n﹣1＝2n，故数列{a n}的通项公式是a n＝2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b n，，所以T n＝b1+b2+…+b n＝（）+（）+…+（，），，＝1，数列{b n}的前n项和T n＝1．20．已知向量（，），（cos x，sin x），函数f（x）（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为满足b2＝ac，且，求的值．【解答】解：（I）f（x）sin x cos x+sin2x sin2x cos2x＝sin（2x），∴f（x）的最大值为1，最小正周期为T π．（II）∵f（B）＝sin（2B），∴2B2kπ或2B2kπ，k∈Z，又B∈（0，π），∴B或B．若B，则b2＝a2+c2＝ac，与a2+c2≥2ac矛盾．∴B，∵b2＝ac，∴sin A sin C＝sin2B，∴2．21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是，，，．（1）求角C；（2）若△ABC的中线CD的长为1，求△ABC的面积的最大值．【解答】解：（1）∵，由正弦定理化简：由余弦定理得：，即，∵0＜C＜π．∴．（2）由三角形中线长定理得：2（a2+b2）＝22+c2＝4+c2，由三角形余弦定理得：c2＝a2+b2﹣ab，消去c2得：，（当且仅当a＝b时，等号成立），即．22．设数列{a n}是等差数列，数列{b n}的前n项和S n，满足且a2＝b1，a5＝b2．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设T n为数列{nS n}的前n项和，求T n．【解答】解：（1）数列{b n}的前n项和S n，满足，①当n＝1时，解得b1＝3，当n≥2时，，②①﹣②得b n＝3b n﹣1，整理得（常数），所以数列{b n}是以3为首项3为公比的等比数列，所以．由于数列{a n}是等差数列，首项为a1，公差为d，且a2＝b1，a5＝b2．则，解得，所以a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．（2）由于列{b n}的前n项和S n，所以．则．设，所以①，3②，①﹣②整理得．所以，．。