2018-2019年最新苏教版七年级数学下册《证明》1同步练习及答案解析(精品试卷)
苏教版2017-2018学年七年级下册
证明(1)
【基础巩固】
1．如图，“吋”是电视机常用尺寸，1时约为大拇指第一节的长，则7时长相当于( )
A．一支粉笔的长度B．课桌的长度
C．黑板的宽度D．数学课本的宽度
2．下列语句错误的是( )
A．同角的补角相等
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行
C．同位角相等
D．两条直线相交有且只有一个交点
3．李老师是老师，李老师的父亲也是老师，那么李老师的儿子肯定也是老师，这个推理正确吗？_______．(填“正确”或“不正确”)
4．根据左图大方格里上、下、左、右四个数之间的关系，右图的空白方格中应填_______．
5．在本周末的周练中，刘丹所在的七(5)班数学成绩的及格率为100%，由此他认为自己此次周练数学成绩一定及格，他的这个推理_______．(填“正确”或“不正确”)
6．如图，AB是圆O的直径，把AB分成几条相等的线段，分别以每条线段为直径画小圆．设AB＝a，那么圆O的周长L＝πa．计算：
(1)把AB分成2条相等的线段，每个小圆的周长L2＝1
2πa＝1
2
L；
(2)把AB分成3条相等的线段，每个小圆的周长L3＝_______；
(3)把AB分成4条相等的线段，每个小圆的周长L4＝_______；
(4)把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长L n＝_______．
结论：把大圆的直径分成π条相等的线段，分别以每条线段为直径画小圆，那么每个小圆的周长是大圆周长的_______．
请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系．
【拓展提优】
7．下列问题用到推理的是( )
A．根据x＝a、y＝a，得x＝y
B．观察得到四边形有四个内角
C．根据操作实验发现三角形的内角和是180°
D．由操作知道过两点有且只有一条直线
8．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( )
A．∠B＋∠A＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：3：4
C．∠A＝2∠B＝3∠C D．一个外角等于和它相邻的一个内角
9．一个正方体的表面展开图如图所示，则原正方体的“建”字所在的面的对面所标的字是( )
A．设B．福C．茂D．名
10．如图，直线l1∥l2，且l1、l2被直线l3所截，∠1＝∠2＝35°，∠P＝90°，则∠3＝_______．
11．某参观团依据下列约束条件，从A、B、C、D、E五个地方选定参观地点：(1)如果去A地，那么也必须去B地；(2)D、E两地至少去一处；(3)B、C两地只去一处；(4)C、D两地都去或都不去；(5)如果去E地，那∠A、D两地也必须去．依据上述条件，你认为参观团只能去_______．
、0、1.5、3时，计算代数式n2－4n＋5的值，你发现有什么特12．(1)当n＝－2、－1
2
点？
(2)你能肯定对于所有的实数n，n2－4n＋5的值都是正数吗？说一说你的理由．
13．观察下列算式：
①1×3－22＝3－4＝－1
②2×4－32＝8－9＝－1
③3×5－42＝15－16＝－1
④______________
……
(1)请你按以上规律写出第4个算式；
(2)把这个规律用含字母的式子表示出来；
(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．
参考答案
1．D 2．C 3．不正确4．6 5．正确6．(2)1
3L (3)1
4
L 1
1
2
1
n
S S
n
7．A 8．C 9．D 10．55°11．C、D 12．(1)17，29
4
，5，1.25，2，值都是正数(2)n2－4n＋5＝(n－2)2＋1>0 13．(1)4×6－52＝－1 (2)n(n＋2)－(n＋1)2＝－1(n＝1，2，3，4……) (3)n(n＋2)－(n＋1)2＝n2＋2n－(n2＋2n＋1)＝－1。
2019—2020年苏教版高中数学必修一全册课时同步练习及答案解析.doc
（新课标）2018-2019学年度苏教版高中数学必修一§1.1 集合的含义及其表示（1）课后训练【感受理解】1．给出下列命题(其中N 为自然数集) ：①N 中最小的元素是1 ②若a ∈N 则-a ∉N ③ 若a ∈N,b ∈N ，则a+b 的最小值是2（4）x x 212=+的解可表示为}1,1{， 其中正确的命题个数为 . 2．用列举法表示下列集合.①小于12的质数构成的集合；②平方等于本身的数组成的集合；③由||||(,)a b a b R a b+∈所确定的实数的集合； ④抛物线221y x x =-+ (x 为小于5的自然数)上的点组成的集合.3. 若方程x 2-5x+6=0和方程x 2-x-2=0的解为元素的集合为M ，则M 中元素的个数为4．由2,2,4a a -组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则a 的取值可以是【思考应用】5．由实数332,,,x x x x --所组成的集合里最多有 个元素.6. 由“,x xy 0,||,x y ”组成的集合是同一个集合，则实数,x y 的值是否确定的？若确定，请求出来，若不确定，说明理由.7．定义集合运算：},),({B y A x y x xy z z B A ∈∈+==Θ，设集合}3,2{},1,0{==B A ，求集合B A Θ.8．关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠，当,,a b c 分别满足什么条件时，解集为空集、含一个元素、含两个元素？9. 已知集合{,}A x x m m Z N Z ==+∈∈.(1)证明：任何整数都是A 的元素；(2)设12,,x x A ∈求证：12,x x A ⋅∈【拓展提高】9.设S 是满足下列两个条件的实数所构成的集合： ①1S ∉，②若a S ∈，则11S a∈-， 请解答下列问题：（1）若2S ∈，则S 中必有另外两个数，求出这两个数；（2）求证：若a S ∈，则11S a-∈ （3）在集合S 中元素能否只有一个？请说明理由；（4）求证：集合S 中至少有三个不同的元素.§1.1集合的含义及其表示（2）课后训练1． 设a ，b ，c 均为非零实数，则x=||||||||a b c abc a b c abc+++的所有值为元素组成集合是________ 2． 集合}9,7,5,3,1{用描述法表示为 .3． 下列语句中，正确的是 .（填序号）（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，1，2}；（3）方程0)2()1(22=--x x 的所有解的集合可表示为{1，1，2，2} （4）集合}54{<<x x 可以用列举法表示.4．所有被3整除的数用集合表示为 .5．下列集合中表示同一集合的是` （填序号）（1）M={3，2}，N={2，3} （2）M={(3，2)}，N={（2，3）}（3）M={(,)1},{(,)1}x y x y N y x x y +==+= (4) M={1，2}，N={(1,2)}6.下列可以作为方程组⎩⎨⎧-=-=+13y x y x 的解集的是 （填序号） （1）{1,2},x y ==(2){1,2}(3){(1,2)} （4）{(,)12}(5){(,)12}x y x y x y x y ====且或（6）}0)2()1(),{(22=-+-y x y x7．用另一种方法表示下列集合.（1）{绝对值不大于2的整数} （2）{能被3整除，且小于10的正数}（3）}5,{Z x x x x x ∈<=且 （4）*},*,6),{(N y N x y x y x ∈∈=+（5）{5,3,1,1,3--}8．已知{}{}0|,0|22=+-==++=q px x x B q px x x A .当{}2=A 时，求集合B9．用描述法表示图中阴影部分（含边界）的点的坐标集合.10．对于*,N b a ∈,现规定：⎩⎨⎧⨯+=)()(*的奇偶性不同与的奇偶性相同与b a b a b a b a b a ，集合{(,)*36,,*}M a b a b a b N ==∈ （1） 用列举法表示b a ,奇偶性不同时的集合M.（2） 当b a ,奇偶性相同时的集合M 中共有多少个元素？【拓展提高】11 设元素为正整数的集合A 满足“若x A ∈,则10x A -∈”.（1）试写出只有一个元素的集合A ；（2）试写出只有两个元素的集合A ；（3）这样的集合A 至多有多少个元素？（4）满足条件的集合A 共有多少个？§1.2 子集·全集·补集（1）课后训练【感受理解】1． 设M 满足{1，2，3}⊆M ≠⊂{1，2，3，4，5，6}，则集合M 的个数为 2．下列各式中，正确的个数是 ①0={0}；②0∈{0}；③{1}∈{1，2，3}；④{1，2}⊆{1，2，3}；⑤{a ，b}⊆{a ，b}．3．设{|12}A x x =<< ，{|}B x x a =<，若A 是B 的真子集，则a 的取值范围是 .4．若集合A ={1，3，x}，B ={x 2，1}，且B ⊆A ，则满足条件的实数x 的个数为 .5．设集合M ={(x,y)|x+y<0，xy>0}和N ={(x,y)|x<0，y<0}，那么M 与N 的关系为______________．6．集合A ={x|x=a 2-4a+5，a ∈R}，B ={y|y=4b 2+4b+3，b ∈R} 则集合A 与集合B 的关系是________．【思考应用】7.设x ，y ∈R ，B={(x,y)|y-3=x-2}，A={(x,y)|32y x --=1}，则集合A 与B 的关系是_______ ____． 8.已知集合{}{}|21,,|41,,A x x n n Z B x x n n Z ==+∈==±∈则,A B 的关系是 .9．设集合{}{}21,3,,1,,1,A a B a a a ==-+,A B =若则________=a . 10．已知非空集合P 满足：(){}11,2,3,4;P ⊆()2,5a P a P ∈-∈若则，符合上述要求的集合P 有 个.11．已知A={2，4，x 2-5x+9}，B={3，x 2+ax+a}，C={x 2+(a+1)x-3，1}. 求（1）当A={2，3，4}时，求x 的值；（2）使2∈B ，B A ，求x a ,的值；（3）使B= C 的x a ,的值．【拓展提高】12．已知集合{}{},121|,52|-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A 满足,A B ⊆求实数m 的取值范围.⊂ ≠(变式)已知集合{}{}|25,|121,A x x B x m x m =-<<=+<<-满足,A B ⊆求实数m 的取值范围.§1.2 子集·全集·补集（2）课后训练【感受理解】1．设集合{}{},,3|,,4|22R b b y y B R a a x x A ∈+-==∈+-==则A ，B 间的关系为 . 2若U={x|x 是三角形}，P={x|x 是直角三角形}则U C P = . 3已知全集+=R U ，集合{}|015,,A x x x R =<-≤∈则_______.U C A = 4．已知全集}{非零整数=U ，集合}},42{U x x x A ∈>+=，则=A C U .5．设},61{},,5{N x x x B N x x x A ∈<<=∈≤=，则=B C A .【思考应用】6．设全集U={1，2，3，4，5}，M={1，4}，则U C M 的所有子集的个数是 .7．已知全集},21{*N n x x U n ∈==，集合}*,21{2N n x x A n∈==，则=A C U .8．已知A A y ax y x A Z a ∉-∈≤-=∈)4,1(,)1,2(}3),{(,且，则满足条件a 的值为 .9．设U=R ，}1{},31{+≤≤=≥≤=m x m x B x x x P 或，记所有满足P C B U ⊆的m 组成的集合为M ，求M C U .10.（1）设全集{}{},1|,1|,+>=≤==a x x B x x A R U 且U C A B ⊆，求a 的范围.（2）已知全集{}{}{}22,3,23,2,,5,U U a a A b C A =+-==求实数b a 和的值.【拓展提高】10．已知全集}5{的自然数不大于=U ，集合}1,0{=A ，}1{<∈=x A x x B 且，}1{U x A x x C ∈∉-=且．（1）求U B ，U C ．（2）若}{A x x D ∈=，说明D B A ,,的关系.§1.3 交集·并集（1）课后训练【感受理解】1．设全集{1,2,3,4,5},{1,3,5},{2,4,5}U A B ===,则()()U U C A C B = . 2．设集合{|5,},{|1,}A x x x N B x x x N =≤∈=>∈，那么AB = . 3．若集合22{|21,},{|21,}P y y x x x N Q y y x x x N ==+-∈==-+-∈，则下列各式中正确的是 .(1);(2){0};(3){1};(4)P Q P Q P Q P Q N =∅==-=4．已知集合A={x|-5<x<5}，B={x|-7<x<a}，C={x|b<x<2}，且A ∩B=C ，则 a ，b 的值分别为 .【思考应用】5．设全集U={1，2，3，4}，A 与B 是U 的子集，若A ∩B ＝{1，3 }，则称(A,B)为一个“理想配集”.（若A ＝B ，规定(A,B)＝(B, A)；若A ≠B ，规定(A,B)与(B, A)是两个不同的“理想配集”）.那么符合此条件的“理想配集”的个数是 .6．记{}{},361T ,的三角形，至少有一内角为至少有一边为等腰三角形。
最新新课堂同步练习册苏教版七年级上参考答案优秀名师资料
新课堂同步练习册苏教版七年级上参考答案第一单元1. 童年的朋友积累与运用1.chàn pú ɡū nong lòu liǔ jiá zōng tuó2.应诅咒润惩3.苏联自传《童年》《在人间》《我的大学》《童年》 4(如:“明晃晃、密密、乌黑乌黑”等。
示例:“密密”“乌黑乌黑”写外祖母的头发浓密而有光译。
5(B 6(D 理解与鉴赏1. 第一自然段:我从外祖母的谈吐和脸部表情中感受到她的和蔼可亲和温柔慈祥。
第二自然段:外祖母成为我的终身朋友。
2. 用诗化的语言，形象地突出了外祖母的每一句话都充满着对我的亲切、温暖的关爱与体贴。
3.外貌描写这样的外貌描写是对外祖母人性的赞美，可以使读者感受到作者在外祖母身边那种温馨的感觉。
4.不能。
因为“睁”是描写外祖母微笑时的神态，如果改为“瞪”，就与“微笑”的神态相矛盾了。
5.“是她那对世界无私的爱丰富了我，使我充满了坚强的力量以应付困苦的生活的”，所以我觉得外祖母是我终身的朋友。
拓展与提高1.(1)这首诗描绘了禅院幽静、脱俗、自由、没有人世烦恼的景象。
(2)“空”字把诗人由于身处幽静、脱俗、自由的禅院，一下子把心中的种种人世烦恼都除去、心胸宽阔、俗念顿消的纯净的感受生动地表现了出来。
2.要求:抓住特征，描写生动。
2. 一面积累与运用1(窖颓挲wù chóu chú zì2. 踱步地窖摩挲恣情/渡江窖洞婆挲咨询3.(1)E (2)A (3)F D (4)B (5)A (6)B4.?—C ?—D ?—E ?—A ?—B理解与鉴赏(一)1., 2.甲:从远处粗线条地勾勒;乙:从近处细描;丙:面对面仔细地观察(或说特写) 3.突出鲁迅的外貌的主要特征——瘦，表现了他把整个生命献给革命事业的崇高品质和顽强意志。
4.为革命(为民族、为国家)忘我工作(忘我工作为国担忧);痛恨反动派，有着意志顽强(二)1.抒情议论 2.这里的“路”是引导中国人民走向胜利的革命道路。
新苏教版七年级数学下册《认识三角形》题及答案解析一(精品试卷).doc
苏教版2017-2018学年七年级下册第7章《平面图形的认识（二）》7.4 认识三角形填空题1．在直角三角形、钝角三角形和锐角三角形这三种三角形中，有两条高在三角形外部的是三角形．2．如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积S5= ．3．如图，AD是△ABC的中线，如果△ABC的面积是18cm2，则△ADC的面积是cm2．4．如图，AD是△ABC的中线，△ABC的面积为100cm2，则△ABD的面积是cm2．5．在△ABC中，AD是中线，则△ABD的面积△ACD 的面积．（填“＞”，“＜”或“=”）6．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE 的中点，且S△ABC=4cm2，则S阴影= cm2．7．已知方格纸中的每个小方格是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，在小方格的顶点上确定一点C，连接AB，AC，BC，使△ABC的面积为3个平方单位．则这样的点C共有个．8．要使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，至少要再钉根木条．9．在△ABC中，已知两条边a=3，b=4，则第三边c的取值范围是．10．两根木棒的长分别为7cm和10cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形框架，那么第三根木棒长xcm的范围是．11．以10cm，8cm为两边，第三边长为整数的三角形共有个．12．已知三角形的三边长为3，5，x，则第三边x的取值范围是．13．若三角形的三边长分别是5，a，7，则a的取值范围为＜a＜．14．一个三角形的两边长分别为2厘米和9厘米，若第三边的长为奇数，则第三边的长为厘米．15．甲地离学校4km，乙地离学校1km，记甲乙两地之间的距离为dkm，则d的取值范围为．16．三角形的两边的长分别为2cm和7cm，若第三边的长为奇数，则三角形的周长是cm．解答题17．如图，是一个食品包装盒的表面展开图．（1）请写出这个包装盒的多面体形状的名称；（2）请根据图中所标示的尺寸，计算这个多面体的侧面积和全面积．（侧面积与两个底面积之和）18．如图①所示，已知直线m∥n，A，B为直线n上的两点，C，D为直线m上的两点．（1）写出图中面积相等的各对三角形；（2）如果A，B，C为三个定点，点D在m上移动，那么无论D 点移动到任何位置，总有与△ABC的面积相等，理由是．解决以下问题：如图②所示，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图③所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（即图中的折线CDE）还保留着．张大爷想过E点修一条直路，使直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦荒地面积一样多．请你用相关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案．（不计分界小路与直路的占地面积）（3）写出设计方案，并在图③中画出相应的图形；（4）说明方案设计的理由．19．我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连接OA、OC．显然，折线AOC能平分四边形ABCD 的面积，再过点O作OE∥AC交CD于E，则直线AE即为一条“好线”．（1）试说明直线AE是“好线”的理由；（2）如下图，AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出经过F点的“好线”，并对画图作适当说明（不需要说明理由）．20．探索：在如图1至图3中，△ABC的面积为a．（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1= （用含a的代数式表示）；（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2=（用含a的代数式表示），并写出理由；（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3= （用含a的代数式表示）．像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的倍．应用：去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH（如图4）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m2？21．探究规律：如图，已知直线m∥n，A，B为直线m 上的两点，C，P为直线n上两点．（1）请写出图中面积相等的各对三角形：．（2）如果A，B，C为三个定点，点P在n上移动，那么，无论P点移动到任何位置，总有与△ABC的面积相等．理由是：．答案：填空题1、钝角2、解：连接A1C，根据A1B=2AB，得到：AB：A1A=1：3，因而若过点B，A1作△ABC与△AA1C的AC边上的高，则高线的比是1：3，因而面积的比是1：3，则△A1BC的面积是△ABC的面积的2倍，设△ABC的面积是a，则△A1BC的面积是2a，同理可以得到△A1B1C的面积是△A1BC面积的2倍，是4a，则△A1B1B的面积是6a，同理△B1C1C和△A1C1A的面积都是6a，△A1B1C1的面积是19a，即△A1B1C1的面积是△ABC的面积的19倍，同理△A2B2C2的面积是△A1B1C1的面积的19倍，即△A1B1C1的面积是19，△A2B2C2的面积192，依此类推，△A5B5C5的面积是S5=195=2476099．3、94、505、=6、解：∵点E是AD的中点，∴△BDE的面积是△ABD的面积的一半，△CDE的面积是△ACD 的面积的一半．则△BCE的面积是△ABC的面积的一半，即为2cm2．∵点F是CE的中点，∴阴影部分的面积是△BCE的面积的一半，即为1cm2．7、分析：首先在AB的两侧各找一个点，使得三角形的面积是3．再根据两条平行线间的距离相等，过两侧的点作AB的平行线，交了几个格点就有几个点．解：如图，符合条件的点有4个．8、解：再钉上两根木条，就可以使五边形分成三个三角形．故至少要再钉2 根木条．9、解：三角形两边的和＞第三边，两边的差＜第三边．则4-3＜c＜4+3，即1＜c＜7 ．10、3＜x＜17 11、1512、2＜x＜8 13、2＜a＜12 14、9 15、3≤d≤5 16、16解答题17、解：（1）根据图示可知形状为直六棱柱．（2）S 侧=6ab ，S 正六边形=3 3 2b ²， S 全=6ab+3 3 b ²． 18、分析：（1）利用三角形的面积公式=底乘高除2，可知△ABC 和△ABD ，△AOC 和△BOD ，△CDA 和△CDB 面积相等．（2）因为平行线间的距离处处相等，所以无论点D 在m 上移动到何位置，总有△ABD 与△ABC 同底等高，因此它们的面积相等．（3）可利用三角形的面积公式和平行线的性质进行设计．这里就要添加辅助线．连接EC ，过D 作DF ∥EC 交CM 于点F ，连接EF 然后证明即可．解：（1）△ABC 和△ABD ，△AOC 和△BOD ，△CDA 和△CDB ．（2）总有△ABD 与△ABC 的面积相等，理由是平行线间的距离处处相等；（3）如图所示，连接EC ，过D 作DF ∥EC 交CM 于点F ，连接EF ，则EF 即为所求直线．（4）设EF 交CD 于点H ，由（1），（2）知S △ECF =S △ECD ，所以S △ECF -S △ECH =S △ECD -S △ECH ，所以S △HCF =S △EDH ，所以S 五边形ABCDE =S 四边形ABFE ，S 五边形EDCMN =S 四边形EFMN ．错误!未找到引用源。
苏教版七年级数学下册 第七章《平面图形认识(二)》解答题苏州历年试题汇编
第七章《平面图形认识（二）》解答题苏州历年试题汇编一．平行线的判定1．（2019春•姑苏区期中）如图，△ABC中，∠B＝∠ACB，D在BC的延长线，CD平分∠ECF，求证：AB∥CE．2．（2018春•相城区期中）将一副直角三角尺BAC和ADE如图放置，其中∠BAC＝∠ADE ＝90°，∠BCA＝30°，∠AED＝45°，若∠AFD＝75°，试判断AE与BC的位置关系，并说明理由．二．平行线的性质3．（2020春•姑苏区期中）已知：直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点M为两平行线内部一点．（1）如图1，∠AEM，∠M，∠CFM的数量关系为；（直接写出答案）（2）如图2，∠MEB和∠MFD的角平分线交于点N，若∠EMF等于130°，求∠ENF 的度数；（3）如图3，点G为直线CD上一点，延长GM交直线AB于点Q，点P为MG上一点，射线PF、EH相交于点H，满足∠PFG＝∠MFG，∠BEH＝∠BEM，设∠EMF＝α，求∠H的度数（用含α的代数式表示）．4．（2020春•高港区期中）问题情境：如图1，AB∥CD，∠P AB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC 的度数．请写出具体求解过程．问题迁移：（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．5．（2020春•江阴市校级期中）如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC ＝2∠BEF，过点A作AG⊥BE的延长线交于点G，交CD于点N，AK平分∠BAG，交EF于点H，交BE于点M．（1）直接写出∠AHE，∠F AH，∠KEH之间的关系：＝+；（2）若∠BEF＝∠BAK，求∠AHE；（3）如图2，在（2）的条件下，将△KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当△KHE的其中一边与△ENG的某一边平行时，直接写出此时t的值．6．（2019春•吴江区期中）已知AB∥CD，（1）如图1，BP、DP分别平分∠ABE、∠EDC，试说明：∠BPD＝∠BED；（2）如图2，若∠BMN＝133°，∠MND＝145°，BP、DP分别平分∠ABM、∠CDN，那么∠BPD＝°（只要直接填上正确结论即可）7．（2019春•常熟市期中）一副直角三角板如图摆放，其中∠C＝30°，∠F＝45°，EF∥AC，AB与DE相交于点G，BC与EF、DF分别相交于点M、N，连接DM，交AC于点P．（1）求∠MND的度数；（2）当∠DPC＝∠MNF时，DM是∠EMC的平分线吗？为什么？8．（2018春•甘井子区期中）如图1，MN∥PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在直线PQ上，过点B作BG⊥AD，垂足为点G．（1）求证：∠MAG+∠PBG＝90°；（2）若点C在线段AD上（不与A、D、G重合），连接BC，∠MAG和∠PBC的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜想并证明∠CBG与∠AHB的数量关系；（3）若直线AD的位置如图3所示，（2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出∠CBG与∠AHB的数量关系．9．（2018春•工业园区期中）若∠C＝α，∠EAC+∠FBC＝β（1）如图①，AM是∠EAC的平分线，BN是∠FBC的平分线，若AM∥BN，则α与β有何关系？并说明理由．（2）如图②，若∠EAC的平分线所在直线与∠FBC平分线所在直线交于P，试探究∠APB与α、β的关系是．（用α、β表示）（3）如图③，若α≥β，∠EAC与∠FBC的平分线相交于P1，∠EAP1与∠FBP1的平分线交于P2；依此类推，则∠P5＝．（用α、β表示）三．平行线的判定与性质10．（2020春•太仓市期中）如图1，在△ABC的AB边的异侧作△ABD，并使∠C＝∠D，点E在射线CA上．（1）如图，若AC∥BD，求证：AD∥BC；（2）若BD⊥BC，试解决下面两个问题：①如图2，∠DAE＝20°，求∠C的度数；②如图3，若∠BAC＝∠BAD，过点B作BF∥AD交射线CA于点F，当∠EFB＝7∠DBF时，求∠BAD的度数．11．（2020春•吴中区期中）填写下列空格完成证明：如图，EF∥AD，∠BAC＝70°，∠1＝∠2，求∠AGD．解：∵EF∥AD，∴∠2＝．（理由是：）∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3．（理由是：）∴∥．（理由是：）∴∠BAC+＝180°．（理由是：）∵∠BAC＝70°，∴∠AGD＝°．12．（2020春•高新区期中）∠1＝∠2，∠3＝∠B，FG⊥AB于G，猜想CD与AB的位置关系，并证明你的猜想．13．（2019春•姑苏区期中）如图，直线AB∥CD，E、F是AB、CD上的两点，直线l与AB、CD分别交于点G、H，点P是直线l上的一个动点（不与点G、H重合），连接PE、PF．（1）当点P与点E、F在一直线上时，∠GEP＝∠EGP，∠FHP＝60°，则∠PFD＝．（2）若点P与点E、F不在一直线上，试探索∠AEP、∠EPF、∠CFP之间的关系，并证明你的结论．14．（2019春•吴中区期中）如图，已知AD∥BC，点E在AD的延长线上，∠EDC+∠B＝180°．（1）问AB、CD是否平行？请说明理由；（2）若∠CAF＝23°，∠1＝∠2＝2∠CAB，求∠EDC的度数．15．（2019春•工业园区期中）如图，∠1＝70°，∠2＝110°，∠C＝∠D，试探索∠A与∠F有怎样的数量关系，并说明理由．16．（2019春•工业园区期中）填写证明的理由．已知：如图，AB∥CD，EF、CG分别是∠AEC、∠ECD的角平分线；求证：EF∥CG．证明：∵AB∥CD（已知）∴∠AEC＝∠DCE（）又∵EF平分∠AEC（已知）∴∠1＝∠（）同理∠2＝∠∴∠1＝∠2∴EF∥CG（）四．三角形三边关系17．（2019春•吴江区期中）已知△ABC中，三边长a、b、c，且满足a＝b+2，b＝c+1（1）试说明b一定大于3；（2）若这个三角形周长为22，求a、b、c．五．三角形内角和定理18．（2019春•常熟市月考）将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．（1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．（2）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．19．（2020春•高新区期中）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC 上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝30°，则∠1+∠2＝°；（2）若点P在AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．（4）若点P运动到△ABC之外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2的关系为：．20．（2020春•吴江区期中）好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列3个问题，请你帮她解决．如图，在△ABC中，点I是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，点D是∠MBC、∠NCB平分线的交点，BI、DC的延长线交于点E．（1）若∠BAC＝50°，则∠BIC＝°；（2）若∠BAC＝x°（0＜x＜90），则当∠ACB等于多少度（用含x的代数式表示）时，CE∥AB，并说明理由；（3）若∠D＝3∠E，求∠BAC的度数．21．（2020春•常熟市期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，∠ADB＝∠BAC，BE平分∠ABC，过点E作EF∥AD，交BC于点F．（1）求证：∠BAD＝∠C；（2）若∠C＝20°，∠BAC＝110°，求∠BEF的度数．22．（2020春•太仓市期中）如图，已知△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．若∠B＝44°，∠DAE＝12°，求∠C的度数．23．（2020春•相城区期中）已知（如图1）在△ABC中，∠B＞∠C，AD平分∠BAC，点E 在AD的延长线上，过点E作EF⊥BC于点F，设∠B＝α，∠C＝β．（1）当α＝80°，β＝30°时，求∠E的度数；（2）试问∠E与∠B，∠C之间存在着怎样的数量关系，试用α、β表示∠E，并说明理由；（3）若∠EFB与∠BAE平分线交于点P（如图2），当点E在AD延长线上运动时，∠P 是否发生变化，若不变，请用α、β表示∠P；若变化，请说明理由．24．（2020春•张家港市校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个点，PE⊥AD交直线BC于点E①若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数．②猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系．25．（2019春•吴中区期中）如图，直线m与直线n互相垂直，垂足为O、A、B两点同时从点O出发，点A沿直线m向左运动，点B沿直线n向上运动．（1）若∠BAO和∠ABO的平分线相交于点Q，在点A，B的运动过程中，∠AQB的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值，若发生变化，请说明理由．（2）若AP是∠BAO的邻补角的平分线，BP是∠ABO的邻补角的平分线，AP、BP相交于点P，AQ的延长线交PB的延长线于点C，在点A，B的运动过程中，∠P和∠C的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出∠P和∠C的度数；若发生变化，请说明理由．26．（2019春•高新区期中）如图，若AE是△ABC边上的高，∠EAC的角平分线AD交BC 于D，∠ACB＝40°，求∠ADE．27．（2019春•相城区期中）如图①，△ABC的角平分线BD，CE相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC＝．（2）如图②，过点P作直线MN∥BC，分别交AB和AC于点M和N，试求∠MPB+∠NPC的度数（用含∠A的代数式表示）．（3）将直线MN绕点P旋转．（i）当直线MN与AB，AC的交点仍分别在线段AB和AC上时，如图③，试探索∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由．（ii）当直线MN与AB的交点仍在线段AB上，而与AC的交点在AC的延长线上时，如图④，试问（i）中∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明你的理由；若不成立，请给出∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由．28．（2020春•工业园区期末）如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝50°，∠ACB＝80°．点F在BC的延长线上，FG⊥AE，垂足为H，FG与AB相交于点G．（1）求∠AGF的度数；（2）求∠DAE的度数．29．（2020春•吴中区期末）如图，在△ABC中，∠BAC：∠B：∠C＝3：5：7，点D是BC 边上一点，点E是AC边上一点，连接AD、DE，若∠1＝∠2，∠ADB＝102°．（1）求∠1的度数；（2）判断ED与AB的位置关系，并说明理由．六．三角形的外角性质30．（2019春•常熟市月考）好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列4个问题，请你帮她解决．如图，在△ABC中，∠BAC＝48°，点I是两角∠ABC、∠ACB的平分线的交点．（1）填空：∠BIC＝°．（2）若点D是两条外角平分线的交点，填空：∠BDC＝°．（3）若点E是内角∠ABC、外角∠ACG的平分线的交点，试探索：∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由．（4）在问题（3）的条件下，当∠ACB等于度时，CE∥AB？31．（2019春•常熟市期中）在△ABC中，点D为边BC上一点，请回答下列问题：（1）如图1，若∠DAC＝∠B，△ABC的角平分线CE交AD于点F，试说明∠AEF＝∠AFE；（2）在（1）的条件下，如图2，△ABC的外角∠ACQ的角平分线CP交BA的延长线于点P，∠P与∠CFD有怎样的数量关系？为什么？（3）如图3，点P在BA的延长线上，PD交AC于点F，且∠CFD＝∠B，PE平分∠BPD，过点C作CE⊥PE，垂足为E，交PD于点G，试说明CE平分∠ACB．七．多边形内角与外角32．（2019春•姑苏区期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，∠C＝60°．（1）如图1，若∠ADC和∠ABC的平分线交于点O，求∠BOD的度数；（2）如图2，若∠ABC的平分线与四边形ABCD的外角∠EDC的平分线交于点P，求∠BPD的度数；（3）如图3，若DG、BH分别是四边形ABCD的外角∠CDE、∠CBF的平分线，判断DG与BH是否平行，并说明理由．八．作图-平移变换33．（2020春•工业园区校级期中）如图：在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只能借助于网格）．（1）画出先将△ABC向右平移6格，再向上平移3格后的△DEF．（2）连接AD、BE，那么AD与BE的关系是，线段AB扫过的部分所组成的封闭图形的面积为．34．（2020春•姑苏区期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点C变换为点D，点A、B的对应点分别是点E、F．（1）在图中请画出△ABC平移后得到的△EFD；（2）在图中画出△ABC的AB边上的高CH；（3）△ABC的面积为．35．（2020春•常州期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上．（1）画出△ABC先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的△A1B1C1；（2）画出△ABC的中线AD；（3）画出△ABC的高CE所在直线，标出垂足E；（4）在（1）的条件下，线段AA1和CC1的关系是．36．（2020春•吴江区期中）如图，在方格纸内将△ABC水平向右平移4个单位得到△A′B′C′．（1）补全△A′B′C′，利用网格点和直尺画图；（2）图中AC与A′C′的关系是：；（3）画出△ABC中AB边上的中线CE；（4）平移过程中，线段AC扫过的面积是．37．（2020春•吴中区期中）如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．（1）画出△ABC向右平移4个单位后得到的△A1B1C1；（2）图中AC与A1C1的关系是：；（3）画出△ABC中AB边上的中线CD；（4）△ACD的面积为．38．（2020春•高新区期中）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移4格．（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；（2）再在图中画出△ABC的高CD；（3）在右图中能使S△PBC＝S△ABC的格点P的个数有个（点P异于A）39．（2019春•高新区期中）如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点就是小正方形的格点．（1）将△ABC向右平移3个单位长度再向下平移1个单位长度，得到△DEF（A与D、B与E、C与F对应），请在方格纸中画出△DEF；（2）在（1）的条件下，连接AD、CF，AD与CF之间的关系是；（3）在（1）的条件下，连接AE和CE，求△ACE的面积S．40．（2019春•吴中区期中）如图，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和三角尺画图：（1）补全△A′B′C′（2）画出AC边上的中线BD；（3）画出AC边上的高线BE；（4）求△ABD的面积．。
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（新课标）苏教版2017-2018学年七年级下册9.5 多项式的因式分解一．选择题1．下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（）A．x2+y2+2x+2y B．x2+y2+2xy﹣2 C．x2﹣y2+4x+4y D．x2﹣y2+4y﹣42．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）A．a2﹣1 B．a2+a C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1 3．已知a、b、c 为三正整数，且a、b的最大公因子为12，a、c的最大公因子为18．若a介于50与100之间，则下列叙述何者正确？（）A．8是a的因子，8是b的因子B．8是a的因子，8不是b的因子C．8不是a的因子，8是c的因子D．8不是a的因子，8不是c的因子4．把a2﹣4a多项式分解因式，结果正确的是（）A．a（a﹣4）B．（a+2）（a﹣2）C．a（a+2）（a﹣2）D．（a﹣2）2﹣45．把8a3﹣8a2+2a进行因式分解，结果正确的是（）A．2a（4a2﹣4a+1）B．8a2（a﹣1）C．2a（2a﹣1）2D．2a （2a+1）26．分解因式a2b﹣b3结果正确的是（）A．b（a+b）（a﹣b）B．b（a﹣b）2C．b（a2﹣b2） D．b（a+b）27．多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c之值为何？（）A．0 B．10 C．12 D．228．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：州、爱、我、苏、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美B．苏州游C．爱我苏州D．美我苏州9．设681×2019﹣681×2018=a，2015×2016﹣2013×2018=b，，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a10．多项式2x2﹣xy﹣15y2的一个因式为（）A．2x﹣5y B．x﹣3y C．x+3y D．x﹣5y11．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）A．6a2b2=3ab•2ab B．2x2+8x﹣1=2x（x+4）﹣1C．a2﹣3a﹣4=（a+1）（a﹣4）D．12．下列因式分解错误的是（）A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y） B．x2+y2=（x+y）2C．x2+xy=x（x+y）D．x2+6x+9=（x+3）213．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（）①x2﹣10x+25；②4a2+4a﹣1；③x2﹣2x﹣1；④；⑤．A．1个B．2个C．3个D．4个14．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，判断△ABC的形状（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形15．10名运动员参加乒乓球比赛，其中每两名恰好比赛一场，比赛中，没有平局，第一名胜x1局，负y1局；第二名胜x2局，负y2局；...；第十名胜x10局，负y10局，若记M=x12+x22+ (x102)N=y12+y22+…+y102，则（）A．M＜N B．M＞NC．M=N D．M、N的大小关系不确定二．填空题16．分解因式：a3﹣4a2b+4ab2= ．17．若ab=2，a﹣b=﹣1，则代数式a2b﹣ab2的值等于．18．分解因式：2a（b+c）﹣3（b+c）= ．19．分解因式：4x2﹣4xy+y2= ．20．分解因式：（m+1）（m﹣9）+8m= ．21．分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2= ．22．将m3（x﹣2）+m（2﹣x）分解因式的结果是．三．解答题23．分解因式（1）x3﹣6x2+9x；（2）a2（x﹣y）+4（y﹣x）．24．阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形由（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如：将式子x2+3x+2分解因式．分析：这个式子的常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，所以x2+3x+2=x2+（1+2）x+1×2．解：x2+3x+2=（x+1）（x+2）请仿照上面的方法，解答下列问题（1）分解因式：x2+7x﹣18=启发应用（2）利用因式分解法解方程：x2﹣6x+8=0；（3）填空：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p 的所有可能值是．25．“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2+bxy+cy2的关于x，y的二次三项式来说，方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a=a1•a2，把y2项系数c分解成两个因数c1，c2的积，即c=c1•c2，并使a1•c2+a2•c1正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bxy+cy2=（a1x+c1y）（a2x+c2y）．例：分解因式：x2﹣2xy﹣8y2．解：如图1，其中1=1×1，﹣8=（﹣4）×2，而﹣2=1×2+1×（﹣4）．∴x2﹣2xy﹣8y2=（x﹣4y）（x+2y）而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）；例：分解因式：x2+2xy﹣3y2+3x+y+2解：如图3，其中1=1×1，﹣3=（﹣1）×3，2=1×2；而2=1×3+1×（﹣1），1=（﹣1）×2+3×1，3=1×2+1×1；∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2=（x﹣y+1）（x+3y+2）请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：①6x2﹣17xy+12y2=②2x2﹣xy﹣6y2+2x+17y﹣12=③x2﹣xy﹣6y2+2x﹣6y=（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．26．通过对《因式分解》的学习，我们知道可以用拼图来解释一些多项式的因式分解．如图1中1、2、3号卡片各若干张，如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，你能通过拼图2形象说明a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）的分解结果吗？请在画出图形．27．把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，…如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：32→32+22=13→12+32=10→12+02=1，70→72+02=49→42+92=97→92+72=130→12+32+02=10→12+02=1，所以32和70都是“快乐数”．（1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4；（2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数”．28．能被3整除的整数具有一些特殊的性质：（1）定义一种能够被3整除的三位数的“F”运算：把的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数．例如=213时，则：21336（23+13+33=36）243（33+63=243）．数字111经过三次“F”运算得，经过四次“F”运算得，经过五次“F”运算得，经过2016次“F”运算得．（2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a，百位上的数字是b，十位上的数字为c，个为上的数字为d，如果a+b+c+d可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除．你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数为例即可）．29．生活中我们经常用到密码，例如支付宝支付时．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2可以因式分解为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x=29时，x﹣1=28，x+1=30，x+2=31，此时可以得到数字密码283031．（1）根据上述方法，当x=15，y=5时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（2）已知一个直角三角形的周长是24，斜边长为11，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码（只需一个即可）．30．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x=y，原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）=y2+8y+16 （第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．参考答案与试题解析一．选择题1．（2017•静安区一模）下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（）A．x2+y2+2x+2y B．x2+y2+2xy﹣2 C．x2﹣y2+4x+4y D．x2﹣y2+4y﹣4【分析】各项利用平方差公式及完全平方公式判断即可．【解答】解：A、原式不能分解；B、原式=（x+y）2﹣2=（x+y+）（x+y﹣）；C、原式=（x+y）（x﹣y）+4（x+y）=（x+y）（x﹣y+4）；D、原式=x2﹣（y﹣2）2=（x+y﹣2）（x﹣y+2），故选A【点评】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2．（2016•潍坊）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）A．a2﹣1 B．a2+a C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1【分析】先把各个多项式分解因式，即可得出结果．【解答】解：∵a2﹣1=（a+1）（a﹣1），a2+a=a（a+1），a2+a﹣2=（a+2）（a﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，∴结果中不含有因式a+1的是选项C；故选：C．【点评】本题考查了因式分解的意义与方法；熟练掌握因式分解的方法是解决问题的关键．3．（2016•台湾）已知a、b、c 为三正整数，且a、b的最大公因子为12，a、c的最大公因子为18．若a介于50与100之间，则下列叙述何者正确？（）A．8是a的因子，8是b的因子B．8是a的因子，8不是b的因子C．8不是a的因子，8是c的因子D．8不是a的因子，8不是c的因子【分析】根据a、b的最大公因子为12，a、c的最大公因子为18，得到a为12与18的公倍数，再由a的范围确定出a的值，进而表示出b，即可作出判断．【解答】解：∵（a，b）=12，（a，c）=18，∴a为12与18的公倍数，又[12，18]=36，且a介于50与100之间，∴a=36×2=72，即8是a的因子，∵（a，b）=12，∴设b=12×m，其中m为正整数，又a=72=12×6，∴m和6互质，即8不是b的因子．故选B【点评】此题考查了公因式，弄清公因式与公倍数的定义是解本题的关键．4．（2016•自贡）把a2﹣4a多项式分解因式，结果正确的是（）A．a（a﹣4）B．（a+2）（a﹣2）C．a（a+2）（a﹣2）D．（a﹣2）2﹣4【分析】直接提取公因式a即可．【解答】解：a2﹣4a=a（a﹣4），故选：A．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．5．（2016•聊城）把8a3﹣8a2+2a进行因式分解，结果正确的是（）A．2a（4a2﹣4a+1）B．8a2（a﹣1）C．2a（2a﹣1）2D．2a （2a+1）2【分析】首先提取公因式2a，进而利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：8a3﹣8a2+2a=2a（4a2﹣4a+1）=2a（2a﹣1）2．故选：C．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．6．（2016•梅州）分解因式a2b﹣b3结果正确的是（）A．b（a+b）（a﹣b）B．b（a﹣b）2C．b（a2﹣b2） D．b （a+b）2【分析】直接提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：a2b﹣b3=b（a2﹣b2）=b（a+b）（a﹣b）．故选：A．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．7．（2016•台湾）多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c之值为何？（）A．0 B．10 C．12 D．22【分析】首先利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，继而求得a，b，c的值．【解答】解：利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，可得：77x2﹣13x﹣30=（7x﹣5）（11x+6）．∴a=﹣5，b=11，c=6，则a+b+c=（﹣5）+11+6=12．故选C．【点评】此题考查了十字相乘法分解因式的知识．注意ax2+bx+c （a≠0）型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）．8．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：州、爱、我、苏、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美B．苏州游C．爱我苏州D．美我苏州【分析】对（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，即可得到结论．【解答】解：∵（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2=（x2﹣y2）（a2﹣b2）=（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b），∵x﹣y，x+y，a+b，a﹣b四个代数式分别对应爱、我，苏，州，∴结果呈现的密码信息可能是“爱我苏州”，故选C．【点评】本题考查了公式法的因式分解运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．9．（2016•厦门）设681×2019﹣681×2018=a，2015×2016﹣2013×2018=b，，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a【分析】根据乘法分配律可求a，将b变形为2015×2016﹣（2015﹣2）×（2016+2），再注意整体思想进行计算，根据提取公因式、平方差公式和算术平方根可求c，再比较大小即可求解．【解答】解：∵a=681×2019﹣681×2018=681×（2019﹣2018）=681×1=681，b=2015×2016﹣2013×2018=2015×2016﹣（2015﹣2）×（2016+2）=2015×2016﹣2015×2016﹣2×2015+2×2016+2×2=﹣4030+4032+4=6，c=====＜681，∴b＜c＜a．故选：A．【点评】本题考查了因式分解的应用，熟记乘法分配律、平方差公式的结构特点是解题的关键．注意整体思想的运用．10．多项式2x2﹣xy﹣15y2的一个因式为（）A．2x﹣5y B．x﹣3y C．x+3y D．x﹣5y【分析】直接利用十字相乘法分解因式得出即可．【解答】解：2x2﹣xy﹣15y2=（2x+5y）（x﹣3y）．故选：B．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，熟练应用十字相乘法分解因式是解题关键．11．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）A．6a2b2=3ab•2ab B．2x2+8x﹣1=2x（x+4）﹣1C．a2﹣3a﹣4=（a+1）（a﹣4）D．【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．【解答】解：A、是单项式乘单项式的逆运算，不符合题意；B、右边结果不是积的形式，不符合题意；C、a2﹣3a﹣4=（a+1）（a﹣4），符合题意；D、右边不是几个整式的积的形式，不符合题意．故选C．【点评】本题考查了因式分解的意义．这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断；同时还要注意变形是否正确．12．下列因式分解错误的是（）A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y） B．x2+y2=（x+y）2 C．x2+xy=x （x+y）D．x2+6x+9=（x+3）2【分析】分别利用平方差公式以及完全平方公式和提取公因式法分别分解因式进而判断即可．【解答】解：A、x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），正确，不合题意；B、x2+y2，无法分解因式，故此选项正确；C、x2+xy=x（x+y），正确，不合题意；D、x2+6x+9=（x+3）2，正确，不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用公式分解因式是解题关键．13．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（）①x2﹣10x+25；②4a2+4a﹣1；③x2﹣2x﹣1；④；⑤．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】分别利用完全平方公式分解因式得出即可．【解答】解：①x2﹣10x+25=（x﹣5）2，不符合题意；②4a2+4a﹣1不能用完全平方公式分解；③x2﹣2x﹣1不能用完全平方公式分解；④=﹣（m2﹣m+）=﹣（m﹣）2，不符合题意；⑤不能用完全平方公式分解．故选：C．【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的形式是解题关键．14．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，判断△ABC的形状（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【分析】首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断△ABC的形状．【解答】解：由a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，得a4+b2c2﹣a2c2﹣b4=（a4﹣b4）+（b2c2﹣a2c2）=（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）=（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）=（a+b）（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，∵a+b＞0，∴a﹣b=0或a2+b2﹣c2=0，即a=b或a2+b2=c2，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选：D．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用、分类讨论．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．15．10名运动员参加乒乓球比赛，其中每两名恰好比赛一场，比赛中，没有平局，第一名胜x1局，负y1局；第二名胜x2局，负y2局；...；第十名胜x10局，负y10局，若记M=x12+x22+ (x102)N=y12+y22+…+y102，则（）A．M＜N B．M＞NC．M=N D．M、N的大小关系不确定【分析】根据题意，对M和N作差，然后与零比较大小即可解答本题．【解答】解：由题意可得，x n+y n=9，∴y n=（9﹣x n），∴M﹣N=x12+x22+…+x102﹣（y12+y22+…+y102）=x12+x22+…+x102﹣，=﹣810+18（x1+x2+…+x10），∵10名运动员参加乒乓球比赛，其中每两名恰好比赛一场，比赛中，没有平局，x1+x2+…+x10=45，∴﹣810+18（x1+x2+…+x10）=﹣810+18×45=﹣810+810=0，∴M=N，故选C．【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．二．填空题16．分解因式：a3﹣4a2b+4ab2= a（a﹣2b）2．【分析】首先提公因式a，然后利用完全平方公式即可分解．【解答】解：原式=a（a2﹣4ab+4b2）=a（a﹣2b）2．故答案是：a（a﹣2b）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．17．（2016•黔南州）若ab=2，a﹣b=﹣1，则代数式a2b﹣ab2的值等于﹣2 ．【分析】首先提取公因式ab，进而将已知代入求出即可．【解答】解：∵ab=2，a﹣b=﹣1，∴a2b﹣ab2=ab（a﹣b）=2×（﹣1）=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．18．（2016•南京）分解因式：2a（b+c）﹣3（b+c）= （b+c）（2a﹣3）．【分析】直接提取公因式b+c即可．【解答】解：原式=（b+c）（2a﹣3），故答案为：（b+c）（2a﹣3）．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找出公因式．19．（2016•赤峰）分解因式：4x2﹣4xy+y2= （2x﹣y）2．【分析】符合完全平方公式的特点：两项平方项，另一项为两底数积的2倍，直接利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：4x2﹣4xy+y2，=（2x）2﹣2×2x•y+y2，=（2x﹣y）2．【点评】本题考查运用完全平方公式分解因式，熟练掌握公式结构特点是解题的关键．20．（2016•荆门）分解因式：（m+1）（m﹣9）+8m= （m+3）（m﹣3）．【分析】先利用多项式的乘法运算法则展开，合并同类项后再利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：（m+1）（m﹣9）+8m，=m2﹣9m+m﹣9+8m，=m2﹣9，=（m+3）（m﹣3）．故答案为：（m+3）（m﹣3）．【点评】本题考查了利用公式法分解因式，先利用多项式的乘法运算法则展开整理成一般多项式是解题的关键．21．（2016•威海）分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2= 3（a+b）（a﹣b）．【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=（2a+b+a+2b）（2a+b﹣a﹣2b）=3（a+b）（a﹣b）．故答案为：3（a+b）（a﹣b）．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．22．（2016•贺州）将m3（x﹣2）+m（2﹣x）分解因式的结果是m（x﹣2）（m﹣1）（m+1）．【分析】先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可．【解答】解：原式=m（x﹣2）（m2﹣1）=m（x﹣2）（m﹣1）（m+1）．故答案为：m（x﹣2）（m﹣1）（m+1）．【点评】本题考查的是多项式的因式分解，掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．三．解答题23．分解因式（1）x3﹣6x2+9x；（2）a2（x﹣y）+4（y﹣x）．【分析】（1）原式提取x，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：（1）原式=x（x2﹣6x+9）=x（x﹣3）2；（2）原式=a2（x﹣y）﹣4（x﹣y）=（x﹣y）（a2﹣4）=（x﹣y）（a+2）（a﹣2）．【点评】此题考查了因式分解﹣分组分解法，以及提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．24．阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形由（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如：将式子x2+3x+2分解因式．分析：这个式子的常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，所以x2+3x+2=x2+（1+2）x+1×2．解：x2+3x+2=（x+1）（x+2）请仿照上面的方法，解答下列问题（1）分解因式：x2+7x﹣18= （x﹣2）（x+9）启发应用（2）利用因式分解法解方程：x2﹣6x+8=0；（3）填空：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p 的所有可能值是7或﹣7或2或﹣2 ．【分析】（1）原式利用题中的方法分解即可；（2）方程利用因式分解法求出解即可；（3）找出所求满足题意p的值即可．【解答】解：（1）原式=（x﹣2）（x+9）；（2）方程分解得：（x﹣2）（x﹣4）=0，可得x﹣2=0或x﹣4=0，解得：x=2或x=4；（3）﹣8=﹣1×8；﹣8=﹣8×1；﹣8=﹣2×4；﹣8=﹣4×2，则p的可能值为﹣1+8=7；﹣8+1=﹣7；﹣2+4=2；﹣4+2=﹣2．故答案为：（1）（x﹣2）（x+9）；（3）7或﹣7或2或﹣2．【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，弄清题中的分解因式方法是解本题的关键．25．“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2+bxy+cy2的关于x，y的二次三项式来说，方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a=a1•a2，把y2项系数c分解成两个因数c1，c2的积，即c=c1•c2，并使a1•c2+a2•c1正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bxy+cy2=（a1x+c1y）（a2x+c2y）．例：分解因式：x2﹣2xy﹣8y2．解：如图1，其中1=1×1，﹣8=（﹣4）×2，而﹣2=1×2+1×（﹣4）．∴x2﹣2xy﹣8y2=（x﹣4y）（x+2y）而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）；例：分解因式：x2+2xy﹣3y2+3x+y+2解：如图3，其中1=1×1，﹣3=（﹣1）×3，2=1×2；而2=1×3+1×（﹣1），1=（﹣1）×2+3×1，3=1×2+1×1；∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2=（x﹣y+1）（x+3y+2）请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：①6x2﹣17xy+12y2= （3x﹣4y）（2x﹣3y）②2x2﹣xy﹣6y2+2x+17y﹣12= （x﹣2y+3）（2x+3y﹣4）③x2﹣xy﹣6y2+2x﹣6y= （x﹣3y）（x+2y+2）（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．【分析】（1）①直接用十字相乘法分解因式；②把某个字母看成常数用十字相乘法分解即可；③同②的方法分解；（2）用十字相乘法把能分解的集中情况全部列出求出m值．【解答】解：（1）①6x2﹣17xy+12y2=（3x﹣4y）（2x﹣3y），②2x2﹣xy﹣6y2+2x+17y﹣12=（x﹣2y+3）（2x+3y﹣4），③x2﹣xy﹣6y2+2x﹣6y=（x﹣3y）（x+2y+2），故答案为：①（3x﹣4y）（2x﹣3y），②（x﹣2y+3）（2x+3y ﹣4），③（x﹣3y）（x+2y+2），（2）如图，m=3×9+（﹣8）×（﹣2）=43或m=9×（﹣8）+3×（﹣2）=﹣78．【点评】此题是因式分解﹣十字相乘法，主要考查了二元二次多项式的分解因式的方法，解本题的关键是选好那个字母当做常数对待，再用十字相乘法分解．26．通过对《因式分解》的学习，我们知道可以用拼图来解释一些多项式的因式分解．如图1中1、2、3号卡片各若干张，如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，你能通过拼图2形象说明a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）的分解结果吗？请在画出图形．【分析】根据题意可知：a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b），可以看作长为a+2b，宽为a+b的长方形面积，由此画出图形．【解答】解：如图所示：∵大长方形的面积=a2+3ab+2b2，大长方形的面积=（a+b）（a+2b），∴a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）．【点评】此题主要考查因式分解的运用，注意利用已知的等式转化为图形解决问题，这是数形结合思想的运用．27．把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，…如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：32→32+22=13→12+32=10→12+02=1，70→72+02=49→42+92=97→92+72=130→12+32+02=10→12+02=1，所以32和70都是“快乐数”．（1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4；（2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数”．【分析】（1）根据“快乐数”的定义计算即可；（2）设三位“快乐数”为100a+10b+c，根据“快乐数”的定义计算．【解答】解：（1）∵12+02=1，∴最小的两位“快乐数”10，∵19→12+92=82→82+22=68→62+82=100→12+02+02=1，∴19是快乐数；证明：∵4→37→58=68→89→125→30→9→81→65→61→37，37出现两次，所以后面将重复出现，永远不会出现1，所以任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4．（2）设三位“快乐数”为100a+10b+c，由题意，经过两次运算后结果为1，所以第一次运算后结果一定是10或者100，则a2+b2+c2=10或100，∵a、b、c为整数，且a≠0，∴当a2+b2+c2=10时，12+32+02=10，①当a=1，b=3或0，c=0或3时，三位“快乐数”为130，103，②当a=2时，无解；③当a=3，b=1或0，c=0或1时，三位“快乐数”为310，301，同理当a2+b2+c2=100时，62+82+02=100，所以三位“快乐数”有680，608，806，860．综上一共有130，103，310，301，680，608，806，860八个，又因为三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，所以只有310和860满足已知条件．【点评】本题考查的是因式分解的定义、“快乐数”的定义，正确理解“快乐数”的定义、掌握分情况讨论思想是解题的关键．28．能被3整除的整数具有一些特殊的性质：（1）定义一种能够被3整除的三位数的“F”运算：把的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数．例如=213时，则：21336（23+13+33=36）243（33+63=243）．数字111经过三次“F”运算得351 ，经过四次“F”运算得153 ，经过五次“F”运算得153 ，经过2016次“F”运算得153 ．（2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a，百位上的数字是b，十位上的数字为c，个为上的数字为d，如果a+b+c+d可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除．你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数为例即可）．【分析】（1）根据“F运算”的定义得到111经过三次“F运算”的结果，经过四次“F运算”的结果，经过五次“F运算”的结果，经过2016次“F运算”的结果即可；（2）首先根据题意可设a+b+c+d=3e，则此四位数1000a+100b+10c+d可表示为999a+99b+9c+a+b+c+d，即3（333a+33b+3c）+3e，所以可得这个四位数就可以被3整除．【解答】（1）解：1113（13+13+13=3）27（33=27）351（23+73=351）153（33+53+13=153）153（13+53+33=153）153（33+53+13=153）．故数字111经过三次“F”运算得351，经过四次“F”运算得153，经过五次“F”运算得 153，经过2016次“F”运算得 153．（2）证明：设a+b+c+d=3e（e为整数），这个四位数可以写为：1000a+100b+10c+d，∴1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+a+b+c+d=3（333a+33b+3c）+3e，∴=333a+33b+3c+e，∵333a+33b+3c+e是整数，∴1000a+100b+10c+d可以被3整除．故答案为：351，153，153，153．【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．同时考查了数的整除性问题．注意四位数的表示方法与整体思想的应用．29．生活中我们经常用到密码，例如支付宝支付时．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2可以因式分解为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x=29时，x﹣1=28，x+1=30，x+2=31，此时可以得到数字密码283031．（1）根据上述方法，当x=15，y=5时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（2）已知一个直角三角形的周长是24，斜边长为11，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码（只需一个即可）．【分析】（1）先分解因式得到x3﹣xy2=x（x﹣y）（x+y），然后利用题中设计密码的方法写出所有可能的密码；（2）利用勾股定理和周长得到x+y=13，x2+y2=121，再利用完全平方公式可计算出xy=24，然后与（1）小题的解决方法一样．【解答】解：（1）x3﹣xy2=x（x﹣y）（x+y），当x=15，y=5时，x﹣y=10，x+y=20，可得数字密码是151020；也可以是152010；101520；102015，201510，201015；（2）由题意得：解得xy=24，而x3y+xy3=xy（x2+y2），所以可得数字密码为24121．【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题；考查了用类比的方法解决问题；（2）小题中计算出xy的值为解决问题的关键．30．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x=y，原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）=y2+8y+16 （第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 C ．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？不彻底．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果（x﹣2）4．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．【分析】（1）根据分解因式的过程直接得出答案；（2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可；（3）将（x2﹣2x）看作整体进而分解因式即可．【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；故选：C；（2）该同学因式分解的结果不彻底，原式=（x2﹣4x+4）2=（x﹣2）4；故答案为：不彻底，（x﹣2）4。
2018-2019学年苏教版必修1对数的运算性质及换底公式作业
课时跟踪检测（十五） 对数的运算性质及换底公式层级一 学业水平达标1．设a ＞0，且a ≠1，下列等式中，正确的是________．(1)log a (M ＋N )＝log a M ＋log a N (M ＞0，N ＞0)；(2)log a (M －N )＝log a M －log a N (M ＞0，N ＞0)；(3)log a M log a N＝log a M N (M ＞0，N ＞0)； (4)log a M －log a N ＝log a M N(M ＞0，N ＞0)． 答案：(4)2．计算log 225·log 322·log 59的结果为________．解析：原式＝lg 25lg 2·lg 22lg 3·lg 9lg 5＝2lg 5lg 2·32lg 2lg 3·2lg 3lg 5＝6. 答案：63．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是________．解析：∵a ＝log 32，∴log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2.答案：a －24．计算(log 43＋log 83)·lg 2lg 3的结果为________． 解析：原式＝⎝⎛⎭⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8·lg 2lg 3＝⎝⎛⎭⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2·lg 2lg 3＝5lg 36lg 2·lg 2lg 3＝56. 答案：565．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 98用a ，b 表示为________．解析：log 98＝lg 8lg 9＝3lg 22lg 3＝3a 2b . 答案：3a 2b6．已知log 35＝m ，log 83＝n ，则lg 5＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ log 35＝m ，log 83＝n ⇒⎩⎨⎧ lg 5lg 3＝m ， ①lg 33lg 2＝n ， ②①×②，得lg 53lg 2＝mn ，即lg 53(1－lg 5)＝mn ， ∴lg 5＝3mn 1＋3mn. 答案：3mn 1＋3mn7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，3x ，x <0.则f [f (－2)]等于________． 解析：f (－2)＝3－2＝19. ∴f [f (－2)]＝f ⎝⎛⎭⎫19＝log 319＝log 33－2＝－2. 答案：－28．方程(lg x )2＋lg x 3－10＝0的解集为________．解析：原方程为(lg x )2＋3lg x －10＝0，设t ＝lg x ，则t 2＋3t －10＝0.解之得t ＝－5或t ＝2，即lg x ＝－5或lg x ＝2.∴x ＝10－5，或x ＝100. 经检验都是原方程的根．答案：{10－5,100}9．计算：(1)lg 5·lg 20－lg 2·lg 50－lg 25；(2)lg 14－2lg 76＋12lg 49－lg 72＋8lg 1； (3)(log 25＋log 40.2)(log 52＋log 250.5)．解：(1)原式＝(1＋lg 2)lg 5－(1＋lg 5)lg 2－2lg 5＝－lg 5－lg 2＝－1.(2)原式＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 6＋lg 7－lg 72＝lg 2＋2lg 6－lg 72＝0.(3)原式＝⎝⎛⎭⎫lg 5lg 2＋lg 0.2lg 4⎝⎛⎭⎫lg 2lg 5＋lg 0.5lg 25＝(2lg 5＋lg 0.2)(2lg 2＋lg 0.5)4lg 2·lg 5 ＝lg 5·lg 24lg 2·lg 5＝14. 10．已知log 189＝a,18b ＝5，试用a ，b 表示log 3645.解：法一：∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－a . 法二：∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b .于是log 3645＝log 18(9×5)log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b 2－a . 层级二 应试能力达标1．计算：2lg 2＋lg 32＋lg 0.36＋2lg 2＝________. 解析：原式＝2lg 2＋lg 32＋lg 36－2＋2lg 2＝2lg 2＋lg 34lg 2＋2lg 3＝12. 答案：122．计算：(log 43＋log 89)(log 32＋log 916)＝________.解析：原式＝⎝⎛⎭⎫12log 23＋23log 23·()log 32＋2log 32＝76log 23·3log 32＝72答案：723．已知2log 3x －y 2＝log 3(xy )，则x y ＝________. 解析：由题意知x ＞y ，xy ＞0，且⎝⎛⎭⎫x －y 22＝xy ，∴x 2－6xy ＋y 2＝0，故⎝⎛⎭⎫x y 2－6⎝⎛⎭⎫x y ＋1＝0.∴x y ＝3±2 2.∵x ＞y ，xy ＞0，∴x y ＞1.∴x y ＝3＋2 2.答案：3＋2 24．若log 5(6－1)＋log 2(2＋1)＝a ，则log 5(6＋1)＋log 2(2－1)的值为________． 解析：log 5(6＋1)＋log 2(2－1)＝log 556－1＋log 212＋1＝1－[log 5(6－1)＋log 2(2＋1)]＝1－a .答案：1－a5．已知3a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 的值为________．解析：由条件可知a ＝log 3m ，b ＝log 5m ，∴1a ＋1b＝log m 3＋log m 5＝2，∴log m 15＝2. 即m 2＝15，∴m ＝15. 答案：156．里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．解析：由lg 1 000－lg 0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A 9，则lg A 9－lg 0.001＝9，解得A 9＝106，同理5级地震最大振幅A 5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级的10 000倍．答案：6 10 0007．已知log a c 和log b c 是方程x 2－3x ＋1＝0的两个根，求log a bc 的值(其中a ＞b ＞1， c ＞1)．解：log a c ＝1log c a ，log b c ＝1log c b， 据题意：1log c a ＋1log c b ＝3，1log c a ·1log c b＝1， 即log c a ＋log c b ＝3log c a ·log c b .log c a ·log c b ＝1，∴log c a ＋log c b ＝3，∴log a b c ＝1log c a b＝1log c a －log c b ＝1(log c a ＋log c b )2－4log c a log c b＝19－4＝55.8．若a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值． 解：原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0.设t ＝lg x ，则方程化为2t 2－4t ＋1＝0，∴t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝12. 又∵a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，∴t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12.∴lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝(lg a ＋lg b )·⎝⎛⎭⎫lg b lg a ＋lg a lg b ＝(lg a ＋lg b )·(lg b )2＋(lg a )2lg a ·lg b＝(lg a ＋lg b )·(lg a ＋lg b )2－2lg a ·lg b lg a ·lg b＝2×22－2×1212＝12， 即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12.。
苏教版中考模拟检测《数学试卷》含答案解析
苏教版数学中考模拟测试学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一、选择题(本大题共有6小题,每小题3分,共18分)1. 下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B. C. D.2. 下列运算中,·正确的是( )A. 4 = 2B. 2-3=-6C. (ab) 2=ab2D. 3a + 2a = 5a23. 若反比例函数y＝﹣1x的图象经过点A（2,m）,则m的值是（）A. 12B. 2C. ﹣12D. ﹣24. 如图是由六个小正方体组合而成的一个立体图形,它的主视图是（）A. B. C. D.5. 已知方程x 2 +x=2,则下列说中,正确的是( )A. 方程两根之和是1B. 方程两根之和是-1C. 方程两根之积是2D. 方程两根之差是-16. 如图,在平行四边形ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,对角线AC,BD相交于点O,则OA的取值范围是（）A. 1cm ＜OA ＜4cmB. 2cm ＜OA ＜8cmC. 2cm ＜OA ＜5cmD. 3cm ＜OA ＜8cm二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)7. 实数4的倒数是_________8. 经测算,一粒芝麻约有0.00000201千克,用科学记数法表示为_________每千克.9. 在学校艺术节文艺汇演中,甲、乙两个舞蹈队队员的身高的方差依次是1.5、2.5,那么身高更整齐的是_________队(填"甲"或"乙"),10. 函数1y=x 2-中,自变量x 的取值范围是 ▲ ． 11. 计算：111x x x ---＝_____． 12. 如图,在两个同心圆中,四条直径把大圆分成八等份,若往圆面投掷飞镖,则飞镖落在黑色区域的概率是_______．13. 一个正n 边形的一个外角等于72°,则n 的值等于_____．14. 教室里有几名学生,这个时候一位身高170厘米的老师走进了教室,使得教室里所有人的平均身高从140厘米变成了145厘米,使得所有人的平均体重从35千克变成了39千克,则老师的体重是_________千克. 15. 如图所示,一只青蛙,从A 点开始在一条直线上跳着玩,已知它每次可以向左跳,也可以向右跳,且第一次跳1厘米,第二次跳2厘米,第三次跳3厘米,…,第2018次跳2018厘米．如果第2018次跳完后,青蛙落在A 点的左侧的某个位置处,请问这个位置到A 点的距离最少是_____厘米．16. 如图,矩形纸片ABCD 中,AD= 1,AB 一2.将纸片折叠,使顶点A 与边CD 上的点E 重合,折痕FG 分别与AB 、CD 交于点G 、F,AE 与FG 交于点仪当触ED 的外接圆与BC 相切于BC 的中点N.则折痕FG 的长为________三、解答题(本大题共有11小题,共102分,解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤) 17. 先化简,再求值(a-2)a-(a+6)(a-2),其中a=-2.18. 求不等式组21 {210 xx-≤+>19. 莫菲、隆迪、紫惠和曲代4人一起去火锅店吃火锅,4人在如图所示的四人桌前就座,其中莫菲和紫惠坐在餐桌的同侧,(1)请用适当的方法表示出所有的不同就座方案.(2)请问隆迪恰好坐在靠近过道一侧的概率是多少?20. 如图,已知直线y=﹣2x经过点P（﹣2,a）,点P关于y轴的对称点P′在反比例函数kyx=（k≠0）的图象上．（1）求a的值；（2）直接写出点P′的坐标；（3）求反比例函数的解析式．21. 游泳是一项深受青少年喜爱的体育活动,学校为了加强学生的安全意识,组织学生观看了纪实片“孩子,请不要私自下水”,并于观看后在本校的2000名学生中作了抽样调查．请根据下面两个不完整的统计图回答以下问题：（1）这次抽样调查中,共调查了名学生；（2）“家长陪同时会”的学生所占比例为%,“一定不会”的学生有人；（3）根据抽样调查的结果,估算该校2000名学生中大约有多少人“一定会下河游泳”?22. 如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠CAB,交CB 于点D,DE⊥AB 于点E.(1)求证：△ACD≌△AED(2)若AC=5,△DEB 的周长为8,求△ABC 的周长23. 如图,我国渔政船在钓鱼岛海域C 处测得钓鱼岛A 在渔政船的北偏西30．的方向上,随后渔政船以80海里/小时的速度向北偏东30°的方向航行,半小时后到达B 处,此时又测得钓鱼岛A 在渔政船的北偏西60°的方向上,求此时渔政船距钓鱼岛A 的距离姓B.(结果保留小数点后一位,其中3 1.732)24. 实践操作如图,∠△ABC 是直角三角形,∠ACB=90,利用直尺和圆规按下列要求作图,并在图中标明相应的字母.(保留作图痕迹,不写作法)①作∠BAC 的平分线,交BC 于点0②以点0为圆心,OC 为半径作圆.综合运用在你所作的图中,(1)直线AB 与⊙0位置关系是(2)证明:BA·BD=BC·BO;(3)若AC=5,BC=12,求⊙0的半径25. 某公司销售某一种新型通讯产品,已知每件产品的进价为4万元,每月销售该种产品的总开支(不含进价)总计11万元.在销售过程中发现,月销售量夕(件)与销售单价x (万元)之间存在着如图所示的一次函数关系、(1)求y关于x的函数关系式(直接写出结果)(2)试写出该公司销售该种产品的月获利z(万元)关于销售单价x(万元)的函数关系式、当销售单价x为何值时,月获利最大?并求这个最大值(月获利一月销售额一月销售产品总进价一月总开支)(3)若公司希望该产品一个月的销售获利不低于5万元,借助(2)中函数的图象,请你帮助该公司确定销售单价的范围.在此情况下,要使产品销售量最大,你认为销售单价应定为多少万元26. (1)如图1,△ABC中,D是BC边上一点,则△BD与△ADC有一个相同的高,它们的面积之比等于相应的底之比,记为S ABDS ADC=BDDC(△ABD、△ADC的面积分别用S△ABD、S△ADC表示)．现有BD=13BC,则S△ABD：S△ADC=(2)如图2,△ABC中,E、F分别是BC、AC边上一点,且有BE:EC=1:2,AF: FC=1:1,AE与BF相交于点G、现作EH ∥BF交AC于点H、依次求FH ：HC、AG： GE、BG：GF的值(3)如图3,△ABC中,点P在边AB上,点M、N在边AC上,且有AP=PB,AM=MN=NC,BM、BW与CP分别相交于点R、Q.,现已知△ABC的面积为1,求△BRQ的面积．27. 如图1,在平面直角坐标系中,过点A （23-,0）的直线AB 交y 轴的正半轴于点B ,60ABO ∠=︒．（1）求直线AB 的解析式；（直接写出结果）（2）如图2,点C 是x 轴上一动点,以C 为圆心,3为半径作⊙C ,当⊙C 与AB 相切时,设切点为D ,求圆心C 的坐标；（3）在（2）的条件下,点E 在x 轴上,△ODE 是以OD 为底边的等腰三角形,求过点O 、E 、D 三点的抛物线．答案与解析一、选择题(本大题共有6小题,每小题3分,共18分)1. 下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可,在平面内,把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形.【详解】解：A. 是轴对称图形,但不是中心对称图形,故不符合题意；B. 不是轴对称图形,是中心对称图形,故不符合题意；C. 是轴对称图形,但不是中心对称图形,故不符合题意；D. 既是轴对称图形又是中心对称图形,故符合题意．故选D.【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别,熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键.2. 下列运算中,·正确的是( )A. 4B. 2-3=-6C. (ab) 2=ab2D. 3a + 2a = 5a2【答案】A【解析】试题解析：A. 4 = 2,正确；B. 2-3=18,故原选项错误；C. (ab) 2=a2b2故原选项错误；D.3a + 2a = 5a故原选项错误. 故选A.3. 若反比例函数y＝﹣1x的图象经过点A（2,m）,则m的值是（）A. 12B. 2C. ﹣12D. ﹣2【答案】C【解析】【分析】把点A（2,m）代入反比例函数中,即可得到m的值.【详解】∵反比例函数y=﹣1x的图象经过点A（2,m）,∴12 m=-.故选C.【点睛】考查了反比例函数图象上点的坐标特征,注意：反比例函数解析式中横纵坐标的乘积为定值k．4. 如图是由六个小正方体组合而成的一个立体图形,它的主视图是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解：从正面看易得第一层有3个正方形,第二层从左往右有2个正方形．故选B【详解】5. 已知方程x 2 +x=2,则下列说中,正确的是( )A. 方程两根之和是1B. 方程两根之和是-1C. 方程两根之积是2D. 方程两根之差是-1【答案】B【解析】试题解析：方程x2+x=2,即方程x2+x-2=0,∴方程的两根的和为-1,两根的积为-2故选B.6. 如图,在平行四边形ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,对角线AC,BD相交于点O,则OA的取值范围是（）A. 1cm＜OA＜4cmB. 2cm＜OA＜8cmC. 2cm＜OA＜5cmD. 3cm＜OA＜8cm【答案】A【解析】在△ABC中,因为BC-AB＜AC＜BC+AC,即5-3＜AC＜5+3,则2＜AC＜8,因为AC=2OA,所以1＜OA＜4,故选A.二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)7. 实数4的倒数是_________【答案】1 4【解析】试题分析：当两数的乘积为1时,则两数互为倒数.8. 经测算,一粒芝麻约有0.00000201千克,用科学记数法表示为_________每千克.【答案】2.01×10﹣6【解析】试题解析：0.000002012.01×10﹣69. 在学校艺术节文艺汇演中,甲、乙两个舞蹈队队员的身高的方差依次是1.5、2.5,那么身高更整齐的是_________队(填"甲"或"乙"),【答案】甲【解析】试题解析：由于S甲2＜S乙2,则甲队中身高更整齐．∴两队中身高更整齐是甲队．10. 函数1y=x2-中,自变量x的取值范围是▲．【答案】x2≠．【解析】试题分析：由已知：x-2≠0,解得x≠2；考点：自变量的取值范围．11. 计算：111xx x---＝_____．【答案】-1【解析】【分析】根据分式的性质进行计算即可解答【详解】解：11=111x x x x x-----＝﹣1．故答案为﹣1．【点睛】此题考查分式的化简求值,解题关键在于掌握运算法则12. 如图,在两个同心圆中,四条直径把大圆分成八等份,若往圆面投掷飞镖,则飞镖落在黑色区域的概率是_______．【答案】12【解析】【详解】解：∵两个同心圆被等分成八等份,飞镖落在每一个区域的机会是均等的,其中白色区域的面积占了其中的四等份,∴P（飞镖落在白色区域）=41 = 82故答案为：12．13. 一个正n边形的一个外角等于72°,则n的值等于_____．【答案】5．【解析】分析】可以利用多边形的外角和定理求解．【详解】解：∵正n边形的一个外角为72°,∴n 的值为360°÷72°＝5． 故答案为：5【点睛】本题考查了多边形外角和,熟记多边形的外角和等于360度是解题的关键．14. 教室里有几名学生,这个时候一位身高170厘米的老师走进了教室,使得教室里所有人的平均身高从140厘米变成了145厘米,使得所有人的平均体重从35千克变成了39千克,则老师的体重是_________千克. 【答案】59 【解析】试题解析有：设该班有x 名学生,根据题意得：140+170=145+1x x解得：x=5经检验：x=5是原方程的根.∴老师的体重为：39×6-35×5=59千克.15. 如图所示,一只青蛙,从A 点开始在一条直线上跳着玩,已知它每次可以向左跳,也可以向右跳,且第一次跳1厘米,第二次跳2厘米,第三次跳3厘米,…,第2018次跳2018厘米．如果第2018次跳完后,青蛙落在A 点的左侧的某个位置处,请问这个位置到A 点的距离最少是_____厘米．【答案】1 【解析】 【分析】可以假设向左跳为负,向右跳为正,然后根据有理数的加减法计算法则得出最后的位置的最小值.【详解】向左跳一次再向右跳一次看成一组操作, 左跳1 个单位长度,接着向右跳2个单位长度,那么这时在A 点右侧1个单位长度处；然后向左跳3个单位长度,接着向右跳4个单位长度,那么这时在A 点右侧2个单位长度处；2018次：2018+2=1009 (组),则青蛙第2018次的落,点在A 的左侧,距离是1个单位长度, 故答案为：1．16. 如图,矩形纸片ABCD 中,AD= 1,AB 一2.将纸片折叠,使顶点A 与边CD 上的点E 重合,折痕FG 分别与AB 、CD 交于点G 、F,AE 与FG 交于点仪当触ED 的外接圆与BC 相切于BC 的中点N.则折痕FG 的长为________【答案】17 15【解析】试题解析：设AE与FG的交点为O．根据轴对称的性质,得AO=EO．取AD的中点M,连接MO．则MO=12DE,MO∥DC．设DE=x,则MO=12 x,在矩形ABCD中,∠C=∠D=90°,∴AE为△AED的外接圆的直径,O为圆心．延长MO交BC于点N,则ON∥CD．∴∠CNM=180°-∠C=90°．∴ON⊥BC,四边形MNCD是矩形．∴MN=CD=AB=2．∴ON=MN-MO=2-12x．∵△AED的外接圆与BC相切, ∴ON是△AED的外接圆的半径．∴OE=ON=2-12x,AE=2ON=4-x．在Rt△AED中,AD2+DE2=AE2, ∴12+x2=（4-x）2．解这个方程,得x=158．∴DE=158,OE=2-12x=1716．根据轴对称的性质,得AE⊥FG．∴∠FOE=∠D=90°．可得FO=17 30．又AB ∥CD,∴∠EFO=∠AGO,∠FEO=∠GAO ． ∴△FEO ≌△GAO ．∴FO=GO ．∴FG=2FO=1715． ∴折痕FG 的长是1715. 【点睛】本题通过矩形纸片折叠,利用轴对称图形的性质,在丰富的图形关系中,考查学生获取信息和利用所得信息认识新事物的能力,本题对图形折叠前后的不变量的把握、直线与圆位置关系的准确理解、方程思想的运用意识和策略等具有可再抽象性．三、解答题(本大题共有11小题,共102分,解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤)17. 先化简,再求值(a-2)a-(a+6)(a-2),其中a=-2. 【答案】24. 【解析】试题分析：原式第一项利用单项式乘以多项式法则计算,第二项利用多项式乘以多项式法则计算,去括号合并得到最简结果,把a 的值代入计算即可求出值． 试题解析：原式=a 2-2a-a 2-4a+12 =612a -+当a=-2时,原式=-2×（-6）+12=24.18. 求不等式组21{210x x -≤+>【答案】132x -<≤ 【解析】试题分析：分别求出每一个不等式的解集,再取它们的公共部分即可. 试题解析：21{210x x -≤+>①②解不等式①,得：3x ≤ 解不等式②,得：12x >-, 所以132x -<≤ 19. 莫菲、隆迪、紫惠和曲代4人一起去火锅店吃火锅,4人在如图所示的四人桌前就座,其中莫菲和紫惠坐在餐桌的同侧,(1)请用适当的方法表示出所有的不同就座方案.(2)请问隆迪恰好坐在靠近过道一侧的概率是多少?【答案】（1）所有的就座方案见解析；（2）隆迪恰好坐在靠近过道一侧的概率是12.【解析】试题分析：(1)、根据不同的排列顺序用表格的形式表示出不同的就座方案；(2)、根据列出的所有方案,找出符合题意的几种情况,从而得出概率.试题解析：（1）莫菲、隆迪、紫惠和曲代依次用数字1、2、3、4编号,则所有的就座方案如下表：A 1 1 3 3 2 2 4 4B 3 3 1 1 4 4 2 2C 2 4 2 4 1 3 1 3D 4 2 4 2 3 1 3 1共有8种不同的就座方案．（2）从（1）中可以看出,有4种方案中,隆迪恰好坐在靠近过道一侧,所以隆迪恰好坐在靠近过道一侧的概率是1 220. 如图,已知直线y=﹣2x经过点P（﹣2,a）,点P关于y轴的对称点P′在反比例函数kyx（k≠0）的图象上．（1）求a的值；（2）直接写出点P′的坐标；（3）求反比例函数的解析式．【答案】（1）a=4；（2）P′的坐标是（2,4）；（3）y=8x． 【解析】 【分析】（1）把（-2,a ）代入y=-2x 中即可求a ；（2）坐标系中任一点关于y 轴对称的点的坐标,其中横坐标等于原来点横坐标的相反数,纵坐标不变； （3）把P′代入y=kx中,求出k ,即可得出反比例函数的解析式． 【详解】解：（1）把（-2,a ）代入y=-2x 中,得a=-2×（-2）=4, ∴a=4；（2）∵P 点的坐标是（-2,4）,∴点P 关于y 轴的对称点P′的坐标是（2,4）； （3）把P′（2,4）代入函数式y=kx,得 4=2k , ∴k=8,∴反比例函数的解析式是y=8x． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式,一次函数图象上点的坐标特征,关于x 轴、y 轴对称点的坐标．知道经过函数的某点一定在函数的图象上,坐标系中任一点关于x 轴、y 轴的点的特征． 21. 游泳是一项深受青少年喜爱的体育活动,学校为了加强学生的安全意识,组织学生观看了纪实片“孩子,请不要私自下水”,并于观看后在本校的2000名学生中作了抽样调查．请根据下面两个不完整的统计图回答以下问题：（1）这次抽样调查中,共调查了 名学生；（2）“家长陪同时会”的学生所占比例为 %,“一定不会”的学生有 人； （3）根据抽样调查的结果,估算该校2000名学生中大约有多少人“一定会下河游泳”?【答案】（1）400（2）详见解析（3）100【解析】【分析】（1）根据一定会的人数和所占的百分比即可求出总人数：20÷5%=400（人）．（2）用总人数减去其它人数得出不会的人数,再根据家长陪同的人数除以总人数得出家长陪同时会的所占的百分比,从而补全统计图．（3）用2000乘以一定会下河游泳所占的百分百,即可求出该校一定会下河游泳的人数．【详解】解：（1）400．（2）一定不会的人数是400﹣20﹣50﹣230=100（人）,家长陪同的所占的百分比是230400×100%=57.5%．补图如下：（3）根据题意得：2000×5%=100（人）．答：该校2000名学生中大约有多少人“一定会下河游泳”有100人．22. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,DE⊥AB于点E.(1)求证：△ACD≌△AED(2)若AC=5,△DEB的周长为8,求△ABC的周长【答案】（1）证明见解析；（2）△ABC的周长是18．【解析】【分析】(1)根据角平分线的性质得出DC=DE,结合AD=AD 从而得出两个直角三角形全等； (2)根据全等得出AE=AC=5,CD=ED,从而得出△ABC 的周长=AC+AC+△DEB 的周长得出答案. 【详解】（1）证明：因为AD 平分∠CAB ,∠C=90°,DE ⊥AB 所以DC=DE在△ACD 和△AED 中,,DC DEAD AD=⎧⎨=⎩ ∴△ACD ≌△AED （HL ）． （2）由（1）得△ACD ≌△AED 所以AE=AC=5,CD=ED , C △ABC =AC+AB+BC=AC+（AE+EB ）+（BD+DC ） =AC+AC+（EB+BD+DE ） =AC+AC+C △DEB =5+5+8 =18．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识,解题的关键是掌握角平分线的性质定理,属于中考常考题型．23. 如图,我国渔政船在钓鱼岛海域C 处测得钓鱼岛A 在渔政船的北偏西30．的方向上,随后渔政船以80海里/小时的速度向北偏东30°的方向航行,半小时后到达B 处,此时又测得钓鱼岛A 在渔政船的北偏西60°的方向上,求此时渔政船距钓鱼岛A 的距离姓B.(结果保留小数点后一位,其中3=1.732)【答案】此时渔政船距钓鱼岛A 的距离AB 约为69.3海里． 【解析】试题分析：此题可先由速度和时间求出BC 距离,再由各方向角关系确定△ABC 为直角三角形,解此直角三角形即可求得结果． 试题解析：由题意得,BC =80×12=40（海里）, ∠ACB =60°,∠DCB =30°,∠EBC =150°, 而∠EBA =60°,所以∠ABC =90°, 在Rt △ABC 中,tan 60°=3ABBC=, 3403AB BC =⋅=≈69.3（海里）． 答：此时渔政船距钓鱼岛A 的距离AB 约为69.3海里．24. 实践操作如图,∠△ABC 是直角三角形,∠ACB=90,利用直尺和圆规按下列要求作图,并在图中标明相应的字母.(保留作图痕迹,不写作法) ①作∠BAC 的平分线,交BC 于点0②以点0为圆心,OC 为半径作圆.综合运用在你所作的图中, (1)直线AB 与⊙0的位置关系是 (2)证明:BA·BD=BC·BO; (3)若AC=5,BC=12,求⊙0的半径【答案】实践操作,作图见解析；综合运用：（1）相切；（2）证明见解析；（3）103【解析】实践操作：根据题意画出图形即可；综合运用：（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得AB 与⊙O 的位置关系是相切； （2）证明ΔBOD∽ΔBAC 即可；（3）首先根据勾股定理计算出AB 的长,再设半径为x,则OC=OD=x,BO=（12-x ）再次利用勾股定理可得方程x 2+82=（12-x ）2,再解方程即可． 试题解析：实践操作,如图所示：综合运用：综合运用：（1）AB与⊙O的位置关系是相切．∵AO是∠BAC的平分线,∴DO=CO,∵∠ACB=90°,∴∠ADO=90°,∴AB与⊙O的位置关系是相切；（2）∵AB、AC是切线∴∠BDO=∠BCA=90°又∠DBC=∠CBA∴ΔBDO∽ΔCBA∴BD BO BC BA=即：BD BA BO BC⋅=⋅（3）因为AC=5,BC=12,所以AD=5,AB=13,所以DB=13﹣5=7,设半径为x,则OC=OD=x ,BO=（12﹣x）, x2+82=（12﹣x）2,解得：x=103．答：⊙O的半径为103．25. 某公司销售某一种新型通讯产品,已知每件产品的进价为4万元,每月销售该种产品的总开支(不含进价)总计11万元.在销售过程中发现,月销售量夕(件)与销售单价x (万元)之间存在着如图所示的一次函数关系、(1)求y关于x的函数关系式(直接写出结果)(2)试写出该公司销售该种产品的月获利z(万元)关于销售单价x(万元)的函数关系式、当销售单价x为何值时,月获利最大?并求这个最大值(月获利一月销售额一月销售产品总进价一月总开支)(3)若公司希望该产品一个月的销售获利不低于5万元,借助(2)中函数的图象,请你帮助该公司确定销售单价的范围.在此情况下,要使产品销售量最大,你认为销售单价应定为多少万元【答案】（1）182y x=-+；（2）2110432z x x=-+-,当10x=万元时,最大月获利为7万元．（3）销售单价应定为8万元．【解析】试题分析:（1）设直线解析式为y=kx+b,把已知坐标代入求出k,b的值后可求出函数解析式；（2）根据题意可知z=411yx y--,把x=10代入解析式即可；（3）令z=5,代入解析式求出x的实际值．试题解析：（1）设y kx b=+,它过点56{48k bk b=+=+,解得：1{28kb=-=,182y x∴=-+（2）()2114118411104322z yx y x x x x⎛⎫=--=-+--=-+-⎪⎝⎭∴当10x=万元时,最大月获利为7万元．（3）令5z =, 得21510432x x =-+-, 整理得：220960x x -+=解得：18x =,212x =由图象可知,要使月获利不低于5万元,销售单价应在8万元到12万元之间．又因为销售单价越低,销售量越大,所以要使销售量最大,又要使月获利不低于5万元,销售单价应定为8万元．26. (1)如图1,△ABC 中,D 是BC 边上一点,则△BD 与△ADC 有一个相同的高,它们的面积之比等于相应的底之比,记为S ABD S ADC =BD DC (△ABD、△ADC 的面积分别用S △ABD 、S △ADC 表示)．现有BD=13BC,则S △ABD ：S △ADC = (2)如图2,△ABC 中,E 、F 分别是BC 、AC 边上一点,且有BE:EC=1:2,AF: FC=1:1,AE 与BF 相交于点G 、现作EH ∥BF 交AC 于点H 、依次求FH ：HC 、AG ： GE 、BG ：GF 的值(3)如图3,△ABC 中,点P 在边AB 上,点M 、N 在边AC 上,且有AP=PB,AM=MN=NC,BM 、BW 与CP 分别相交于点R 、Q.,现已知△ABC 的面积为1,求△BRQ 的面积．【答案】（1）1：3；（2）:=1:2FH HC 、:=3:1AG GE 、:=1:1BG GF ；（3）320. 【解析】 试题分析：根据两个三角形有一个相同的高,它们的面积之比等于相应的底之比进行计算即可；（2）由平行线分线段成比例定理即可得解；（3）由（2）易得:=3:2BR RM 、:=3:1BQ QN 、::=5:3:2CQ QR RP ,因△ABC 的面积为1．则可得：1122BCP ABC S S ∆∆==,331020BRQ BCP S S ∆∆==． 试题解析：（1）S ABD S ADC =BD DC =1133BC BC = （2）:=1:2FH HC 、:=3:1AG GE 、:=1:1BG GF（3）由（2）易得：:=3:2BR RM 、:=3:1BQ QN 、::=5:3:2CQ QR RP△ABC 的面积为1．则1122BCP ABC S S ∆∆==,331020BRQ BCP S S ∆∆==． 27. 如图1,在平面直角坐标系中,过点A （23-,0）的直线AB 交y 轴的正半轴于点B ,60ABO ∠=︒．（1）求直线AB 的解析式；（直接写出结果）（2）如图2,点C 是x 轴上一动点,以C 为圆心,3为半径作⊙C ,当⊙C 与AB 相切时,设切点为D ,求圆心C 的坐标；（3）在（2）的条件下,点E 在x 轴上,△ODE 是以OD 为底边的等腰三角形,求过点O 、E 、D 三点的抛物线．【答案】（1）直线AB 的解析式为323y x =+； （2）当⊙C 与AB 相切时,点C 坐标为（0,0）或（43-,0）；（3）过点O 、E 、D 三点的抛物线为2(3)y x x =-+或213(3)237y x x =-+ 【解析】试题分析：(1)、根据Rt△AOB 的性质求出点B 的坐标,然后根据待定系数法求出函数解析式；(2)、根据⊙C 在直线AB 的左侧和右侧两种情况以及圆的切线的性质分别求出AC 的长度,从而得出点C 的坐标；(3)、本题也需要分两种情况进行讨论：⊙C 在直线AB 的右侧相切时得出点D 的坐标,根据等边△1ODE 的性质得出1E 的坐标,从而根据待定系数法求出抛物线的解析式；⊙C 在直线AB 的左侧相切时,根据切线的直角三角形的性质求出点2E 的坐标,根据待定系数法求出抛物线的解析式.试题解析：（1）∵A （23-0）,∴23AO =． 在Rt△AOB 中,90AOB ∠=︒． tan AO ABO BO ∠=,23BO = 2BO =． ∴B （0,2）． 设直线AB 的解析式为y kx b =+．则2{0b b =-+=解得{2k b ==∴直线AB的解析式为2y x =+． （2）如图3,①当⊙C 在直线AB 的左侧时, ∵⊙C 与AB 相切,∴90ADC ∠=︒．在Rt△ADC 中,90ADC ∠=︒． DC sin DAC AC ∠=,AC =,AC =而AO =∴C 与O 重合,即C 坐标为（0,0）．②根据对称性,⊙C 还可能在直线AB 的右侧,与直线AB 相切,此时CO =∴C坐标为（-0）．综上,当⊙C 与AB 相切时,点C 坐标为（0,0）或（-,0）．（3）如图4,①⊙C 在直线AB 的右侧相切时,点D的坐标为（2-32）． 此时△1ODE 为等边三角形．∴1E（0）．设过点O 、E 、D三点的抛物线的解析式为(y a x x =．则3222a ⎛⎛=-+⨯- ⎝⎝⎭ 2a =-∴(2y x x =-+ ②当⊙C 在直线AB 的左侧相切时,D（2-,32-） 设2E C x =,则2DE x =,2ME x =． 在Rt△2MDE 中,290DME ∠=︒． 22222MD ME DE +=,即22232x x ⎛⎫⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎭, x = ∴2E（0）． 设过点O 、E 、D三点的抛物线的解析式为y a x x ⎛=+⎝．则32a ⎛⎛-=⨯ ⎝⎝,223a =-．223y x x ⎛=- ⎝． 综上,过点O 、E 、D三点的抛物线为(2y x x =-+或223y x x ⎛=- ⎝．点睛：本题主要考查的就是圆的切线的性质、分类讨论思想以及待定系数法求二次函数解析式,本题在解答的过程中容易出现漏解的现象,做题的时候要细心.在解决切线问题的时候,我们一般首先画出切线的位置,然后转化为直角三角形的问题来进行解决,从而得出我们所需要求的答案.在求切线的时候,一定要注意圆所在的位置进行分类讨论.。
2018-2019数学新学案同步精选练习选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 章末检测试卷 Word版含答案
章末检测试卷(三)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)，且a ·b ＝2，则x 的值是________．答案5解析∵a ·b ＝－3＋2x －5＝2，∴x ＝5.2.如图，在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC→＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，点N 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b ，c 表示)答案－23a ＋12b ＋12c解析如图，连结ON ，由向量的加法法则，可知MN →＝MO →＋ON→＝－23OA →＋12(OB →＋OC →)＝－23a ＋12(b ＋c )＝－23a ＋12b ＋12c .3．设i ，j ，k 为单位正交基底，已知a ＝3i ＋2j －k ，b ＝i －j ＋2k ，则5a ·3b ＝________.答案－15解析∵a ＝(3,2，－1)，b ＝(1，－1,2)，∴5a ·3b ＝15a ·b ＝－15.4．设平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－2)，v ＝(－3，－6，6)，则α，β的位置关系为________．考点向量法求解平面与平面的位置关系题点向量法解决面面平行答案平行或重合解析∵平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－2)，v ＝(－3，－6,6)，满足v ＝－3u ，∴α∥β或重合．5．若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且a 与b 的夹角为60°，则a ·a ＋a ·b ＝________.答案32解析由空间向量数量积的性质，知a ·a ＝|a |2＝1.由空间向量数量积的定义，得a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝1×1×cos60°＝12，从而a ·a ＋a ·b ＝1＋12＝32.6．A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，M 为BC 中点，则△AMD 为________三角形．答案直角解析∵M 为BC 中点， ∴AM →＝12(AB →＋AC →)．∴AM →·AD →＝12(AB →＋AC →)·AD→ ＝12AB →·AD →＋12AC →·AD →＝0.∴AM ⊥AD ，△AMD 为直角三角形．7.在三棱锥P －ABC 中，CP ，CA ，CB 两两垂直，AC ＝CB ＝1，PC ＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面P AB 的法向量的是________．(填序号)①⎝⎛⎭⎫1，1，12；②(1，2，1)；③(1,1,1)；④(2，－2,1)．答案①解析由题意知，C (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0,1,0)，P (0,0,2)，则PA →＝(1,0，－2)，AB →＝(－1,1,0)，设平面P AB 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，－x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，∴n ＝(2,2,1)．又⎝⎛⎭⎫1，1，12＝12n ，∴①正确．8．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝4，D 为AB 的中点，沿中线将△ACD 折起使得AB ＝13，则二面角A －CD －B 的大小为________．答案120°解析如图，取CD 中点E ，在平面BCD 内过点B 作BF ⊥CD ，交CD 延长线于点F .据题意知AE ⊥CD ，AE ＝BF ＝3，EF ＝2，AB ＝13. 且〈EA →，FB →〉为二面角的平面角，由AB →2＝(AE →＋EF →＋FB →)2得13＝3＋3＋4＋2×3×cos 〈AE →，FB →〉，∴cos 〈EA →，FB →〉＝－12，又∵〈EA →，FB →〉∈[0°，180°]，∴〈EA →，FB →〉＝120°. 即所求的二面角为120°.9.如图，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，若以{AB →，AC →，AD →}为基底，则GE →＝________.答案－112AB →－13AC →＋34AD→解析GE →＝AE →－AG →＝AD →＋DE →－23AM →＝AD →＋14DB →－13(AB →＋AC →)＝AD →＋14AB →－14AD →－13AB →－13AC →＝－112AB→－13AC →＋34AD →.10.如图，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝8，AD ＝6，AA ′＝8，∠BAD ＝∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为________．答案18解析∵AC′—→＝AC →＋CC′—→＝AB →＋AD →＋AA′—→，|AC′—→|2＝(AB →＋AD →＋AA′—→)2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA′—→|2＋2(AB →·AD →＋AB →·AA′—→＋AD →·AA′—→)＝82＋62＋82＋2×(24＋32＋24)＝324，∴|AC′—→|＝324＝18.11.如图，S 是正三角形ABC 所在平面外一点，M ，N 分别是AB 和SC 的中点，SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝90°，则异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为________．答案105解析不妨设SA ＝SB ＝SC ＝1，以点S 为坐标原点，SA ，SB ，SC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系S －xyz ，则相关各点坐标为A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，S (0,0,0)，M ⎝⎛⎭⎫12，12，0，N ⎝⎛⎭⎫0，0，12.因为SM →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0， BN →＝⎝⎛⎭⎫0，－1，12，所以|SM →|＝12，|BN →|＝54，SM →·BN →＝－12，cos 〈SM →，BN →〉＝SM →·BN →|SM →||BN →|＝－105，因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为105.12.如图所示，已知二面角αlβ的平面角为θ⎝⎛⎭⎫θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB 在平面β内，BC 在l 上，CD 在平面α内，若AB ＝BC ＝CD ＝1，则AD 的长为________．答案3－2cosθ解析因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →，所以AD →2＝AB →2＋BC →2＋CD →2＋2AB →·CD →＋2AB →·BC →＋2BC →·CD →＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ.所以|AD →|＝3－2cosθ， 即AD 的长为3－2cosθ.13．已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB→取得最小值时，点Q 的坐标为________．答案⎝⎛⎭⎫43，43，83解析设Q (x ，y ，z )，因为Q 在OP →上，故有OQ →∥OP →，设OQ →＝λOP →(λ∈R )，可得x ＝λ，y ＝λ，z ＝2λ， 则Q (λ，λ，2λ)，QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA →·QB →＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎫λ－432－23， 故当λ＝43时，QA →·QB →取最小值，此时Q ⎝⎛⎭⎫43，43，83.14．给出下列命题：①若AB →＝CD →，则必有A 与C 重合，B 与D 重合，AB 与CD 为同一线段；②若a ·b <0，则〈a ，b 〉是钝角；③若a 为直线l 的方向向量，则λa (λ∈R )也是l 的方向向量；④非零向量a ，b ，c 满足a 与b ，b 与c ，c 与a 都是共面向量，则a ，b ，c 必共面．其中不正确的命题为________．(填序号)答案①②③④解析①错误，如在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＝A1B1—→，但线段AB 与A 1B 1不重合；②错误，a ·b <0，即cos 〈a ，b 〉<0⇒π2<〈a ，b 〉≤π，而钝角的取值范围是⎝⎛⎭⎫π2，π；③错误，当λ＝0时，λa ＝0不能作为直线l 的方向向量；④错误，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，令AB →＝a ，AD →＝b ，AA1—→＝c ，则它们两两共面，但显然AB →，AD →，AA1—→是不共面的．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 和b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．解a ＝AB →＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)， b ＝AC →＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)．(1)cos θ＝a·b |a||b|＝－1＋0＋02×5＝－1010，∴a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010.(2)k a ＋b ＝(k ，k,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)， k a －2b ＝(k ，k,0)－(－2,0,4)＝(k ＋2，k ，－4)，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4) ＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0.即2k 2＋k －10＝0， ∴k ＝－52或k ＝2.16．(14分)已知空间内三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)． (1)求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 与向量AB →，AC →都垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．解(1)∵AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝714×14＝12，又∵∠BAC ∈[0°，180°]，∴∠BAC ＝60°，∴S ＝|AB →||AC →|sin60°＝7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，由a ⊥AB →，得－2x －y ＋3z ＝0， 由a ⊥AC →，得x －3y ＋2z ＝0， 由|a |＝3，得x 2＋y 2＋z 2＝3， ∴x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1.∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．17．(14分)如图所示，已知几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体．(1)化简12AA1—→＋BC →＋23AB →，并在图上标出结果；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的点，且C 1N ＝14C 1B ，设MN →＝αAB →＋βAD→＋γAA1—→，试求α，β，γ的值．解(1)取AA 1的中点E ，在D 1C 1上取一点F ，使得D 1F ＝2FC 1，连结EF ，则12AA1—→＋BC →＋23AB →＝EA1—→＋A1D1—→＋D1F —→＝EF →.(2)MN →＝MB →＋BN → ＝12DB →＋34BC1—→＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC1—→)＝12AB →＋14AD →＋34AA1—→， 所以α＝12，β＝14，γ＝34.18．(16分)如图所示，已知直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，D 是AB 的中点，AC ＝BC ＝BB 1.(1)求证：BC 1⊥AB 1； (2)求证：BC 1∥平面CA 1D .证明如图所示，以C 1为坐标原点，C 1A 1，C 1B 1，C 1C 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设AC ＝BC ＝BB 1＝2，则A (2,0,2)，B (0,2,2)，C (0,0,2)，A 1(2,0,0)，B 1(0,2,0)，C 1(0,0,0)，D (1,1,2)．(1)由于BC1—→＝(0，－2，－2)，AB1—→＝(－2,2，－2)，∴BC1—→·AB1—→＝0－4＋4＝0， 即BC1—→⊥AB1—→，故BC 1⊥AB 1. (2)取A 1C 的中点E ，连结DE .由于E (1,0,1)，∴ED →＝(0,1,1)，又BC1—→＝(0，－2，－2)， ∴ED →＝－12BC1—→，且ED 与BC 1不共线，∴ED ∥BC 1，又ED ⊂平面CA 1D ，BC 1⊄平面CA 1D ，∴BC 1∥平面CA 1D .19．(16分)如图，已知四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且ABCD 为正方形，P A ＝AB ＝a ，点M 是PC 的中点．(1)求BP 与DM 所成的角的大小； (2)求二面角M －DA －C 的大小．解(1)以A 为坐标原点，AB →，AD →，AP →为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系．由已知得A (0，0,0)，B (a,0,0)，C (a ，a,0)，D (0，a,0)，P (0,0，a )，M ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2.设直线BP 与DM 所成的角为θ.∵BP →＝(－a,0，a )，DM →＝⎝⎛⎭⎫a 2，－a 2，a 2，∴BP →·DM →＝0.∴BP 与DM 所成的角θ＝90°.(2)∵AP →＝(0,0，a )，AB →＝(a,0,0)，AD →＝(0，a,0)，BP →＝(－a,0，a )，∴BP →·AD →＝0，AP →·AB →＝0，AP →·AD →＝0.又由(1)知BP →·DM →＝0，∴BP →是平面MDA 的法向量，AP →是平面ABCD 的法向量，则cos 〈BP →，AP →〉＝BP →·AP →|BP →||AP →|＝22.∴所求的二面角M －DA －C 的大小为45°.20．(16分)如图所示，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，△ABE 为等边三角形，且平面ABCD⊥平面ABE ，AB ＝2CD ＝2BC ＝2，P 为CE 的中点．(1)求证：AB ⊥DE ；(2)求平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值；(3)在△ABE 内是否存在一点Q ，使PQ ⊥平面CDE ？如果存在，求PQ 的长；如果不存在，请说明理由．(1)证明取AB 的中点O ，连结OD ，OE ， 因为△ABE 是正三角形，所以AB ⊥OE .因为四边形ABCD 是直角梯形，DC ＝12AB ，AB ∥CD ，所以四边形OBCD 是平行四边形，所以OD ∥BC .又AB ⊥BC ，所以AB ⊥OD ，又OE ∩OD ＝O ，所以AB ⊥平面ODE ，所以AB ⊥DE .(2)解因为平面ABCD ⊥平面ABE ，AB ⊥OE ，OE ⊂平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB .所以OE ⊥平面ABCD ，所以OE ⊥OD .如图所示，以O 为坐标原点，OA ，OE ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (－1,0,0)， D (0,0,1)，C (－1,0,1)，E (0，3，0)，所以AD →＝(－1,0,1)，DE →＝(0，3，－1)． 设平面ADE 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n1·DE →＝0，n1·AD →＝0，即⎩⎨⎧3y1－z1＝0，－x1＋z1＝0，令z 1＝1，则x 1＝1，y 1＝33，所以n 1＝⎝⎛⎭⎫1，33，1，同理可求得平面BCE 的一个法向量为n 2＝(－3，1,0)，设平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角为θ，则cos θ＝|n1·n2||n1||n2|＝⎪⎪⎪⎪33－373×2＝77，所以平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值为77. (3)解假设存在Q (x 2，y 2,0)满足题意，因为P ⎝⎛⎭⎫－12，32，12，所以PQ →＝⎝⎛⎭⎫x2＋12，y2－32，－12，又CD →＝(1,0,0)，DE →＝(0，3，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧PQ →·CD →＝0，PQ →·DE →＝0，即⎩⎨⎧ x2＋12＝0，3⎝⎛⎭⎫y2－32＋12＝0，解得⎩⎨⎧x2＝－12，y2＝33，易知点Q ⎝⎛⎭⎫－12，33，0在△ABE 内，所以△ABE 内存在点Q ⎝⎛⎭⎫－12，33，0，使PQ ⊥平面CDE ，此时PQ ＝33.。
2018-2019年最新苏教版七年级数学下册《多项式乘多项式》同步练习题及答案解析 二(精品试卷)
（新课标）苏教版2017-2018学年七年级下册多项式乘多项式1．计算(2x－1)(5x＋2)的结果是( )A．10x2－2 B．10x2－5x－2 C．10x2＋4x－2 D．10x2－x－22．若(x＋m)(x－3)＝x2－nx－12，则m、n的值为( ) A．m＝4，n＝－1 B．m＝4，n＝1 C．m＝－4，n＝1 D．m＝－4，n＝－13．若(x－4)·(M)＝x2－x＋(N)，M为一个多项式，N为一个整数，则( )A．M＝x－3，N＝12 B．M＝x－5，N＝20C．M＝x＋3．N＝－12 D．M＝x＋5，N＝－20 4．(1) (x－2)(x＋1)＝_______；(x－2y)(2x＋y)＝_______．(2)若(2x－3)(5－2x)＝ax2＋bx＋c，则a＋b＋c＝_______．(3)三个连续偶数，若中间一个为n，则它们的积是_______．(4)若多项式(x＋p)(x－3)的积中不含x的一次项，则p＝_______．5．计算：(1)(x＋3)(x－1)－x(x－2)＋1；(2)(x2－1)(x＋1)－(x2－2)(x－4)；(3)化简求值：m 2(m ＋4)＋2m(m 2－1)－3m(m 2＋m －1)，其中m ＝25．6．如图，AB ＝a ，P 是线段AB 上的一点，分别以AP 、BP 为边作正方形．(1)设AP ＝x ，求两个正方形的面积之和S ．(2)当AP 分别为3a 和2a 时，比较S 的大小．7．当x＝24时，代数式(x＋3)(x－4)－(x－6)(x＋6)的值是( )A．0 B．－6 C．－13 D．－148．下列计算：①(x－y)(x－2y)＝x2－3xy＋2y2；②(1＋2x)(1＋2x)＝1＋4x2；③(2a－3b)(2a＋3b)＝4a2－9b2；④(x＋y)(2x－3y)＝2x2－3xy－3y2．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个9．已知(1＋x)(2x2＋ax＋1)的结果中x2项的系数为－2，则a的值为( )A．－2 B．1 C．－4 D．以上都不对10．若M＝(a＋3)(a－4)，N＝(a＋2)(2a－5)，其中a为有理数，则M与N的大小关系为( )A．M>N B．M<N C．M＝N D．无法确定11．填空：(1)在长为(3a＋2)、宽为(2a＋3)的长方形铁皮上剪去一个边长为(a－1)的小正方形，则剩余部分的面积为______________．(2)如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各有若干张，如果要拼一个长为(a＋2b)、宽为(a＋b)的大长方形，那么需要C类卡片_______张．，ab＝1，化简(a－2)(b－2)的(3) 已知a＋b＝32结果是_______．12．计算：(1)(x－1)(x－2)(x－3)；(2)x2－(4x－5y)＋2(x－3)(4x－1)；(3)先化简，再求值：x(x2－4)－(x＋3)(x2－3x＋2)－2x(x－2)，其中x＝3．213．已知多项式(x2＋px＋q)(x2－3x＋2)的结果中不含x3项和x2项，求p和q的值．14．探索题：(1)计算：(x＋3)(x＋4)＝______________，(x－3)(x－4)＝______________，(x＋3)(x－4)＝______________，(x－3)(x＋4)＝______________．(2)发现：(x＋a)(x＋b)＝______________；(3)应用：(y＋4)(y－5)＝______________，(t＋2)(t＋5)＝______________，(_______)(_______)＝a2＋a－6，(_______)(_______)＝b2－5b ＋6．参考答案1．D 2．A 3．C 4．(1)x2－x－2 2x2－3xy－2y2(2) －3 (3) n3－4n (4)35．(1) 4x－2 (2) 5x2＋x－9 (3) m2＋m146．(1) S＝2x2－2ax25＋a2(2)略7．A 8．B 9．C 10．B 11．(1) 5a2＋15a＋5 (2)3 (3)2 12．(1)x3－6x2＋11x－6 (2) 9x2－30x＋5y＋6 (3) －2x2＋7x－6 013．p＝3 q＝7 14．(1)x2＋7x＋12 x2－7x＋12 x2－x－12 x2＋x－12(2)x2＋(a＋b)x＋ab (3)y2－y－20 t2＋7t＋10 a＋3 a－2 b－2 b－3。
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（新课标）苏教版2017-2018学年七年级下册第8章单元检测卷 (满分:100分 时间:90分钟)一、选择题(每小题3分，共24分)1.下列算式运算正确的是 ( ) A.325()x x = B. 22(2)2x x =C.325x x x =gD. 22(1)1x x +=+2. 2013年，我国上海和安徽首先发现“H7N9”禽流感，H7N9是一种新型禽流感，其病毒颗粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为0. 000 000 12米，这一直径用科学记数法表示为( )A. 91.210-⨯米B. 81.210-⨯米C. 81210-⨯米D. 71.210-⨯米3. 化简32()a ⎡⎤--⎣⎦的结果为 ( )A.6a -B. 6aC. 61a - D.61a4. 计算255m m ÷的结果为 ( )A. 5B. 20C. 5mD.20m5. 若22n x =，则6n x 的值为 ( ) A. 6 B. 8 C. 9 D. 126. 下列各式计算结果为7a 的是( ) A.25()()a a -⋅- B. 25()()a a -⋅- C. 25()()a a -⋅- D. 6()()a a -⋅-7. 下列运算中，结果正确的是 ( ) A.33(2)6y y -=- B.236()ab ab -=- C.32()()a a a -÷-= D.121()222--= 8. 若20121(),(),0.83a b c π--=-=-=,则a、b 、c的大小关系是( )A. c b a >>B.a b c >>C. a c b >>D. c a b >> 二、填空题(每小题3分，共30分) 9. 计算:43m m ⋅= . 10. 计算:53x x ÷= .11. 计算:322223()()32⎡⎤⎡⎤⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦= .12. 钓鱼岛列岛是我国固有领土.共由8个岛屿组成，其中最大的岛是钓鱼岛，面积约为4. 38平方千米，最小的岛是飞屿，面积约为0. 0008平方千米，请用科学记数法表示飞屿的面积约为 平方千米. 13. 计算:02()2π--+= .14. 一个三角形的面积为344a b ，底边的长为22ab ，则这个三角形的高为 .15. 若2131x +=，则x = . 16. 若11233515m m m ++-⋅=，则m = .17. 若3,5m n a a ==，则23m n a -= . 18. 若232122192x x ++-=，则x = . 三、解答题(共46分) 19. (8分)计算: (1) 2(3)pq -; (2) 32(4)x x x -+-;(3)42()n n nm m m ÷⋅; (4)220(2)3(3.14)π----÷+ .20. ( 6分)我们知道:2112< ,3223<.(1)请你用不等号填空:4334 , 5445 , 6556 , 7667 ; (2)猜想:当2n >时，1n n +(1)n n + ; (3)应用:比较20142015与20152014的大小.21. (6分)在一次数学兴趣小组活动中，同学们做了一个找朋友的游戏:有六个同学分A 、B 、C 、D 、E 、F 分别藏在六张大纸牌的后面，如图所示.A 、B 、C 、D 、E 、F 所持的纸牌的前面分别写有六个算式:66,3366+,33(6),23(26)(36)⨯⨯⨯,223(23)⨯,432(6)6÷ .游戏规定:所持算式的值相等的两个人是朋友.如果现在由同学A 来找他的朋友，那么他可以找谁呢?说说你的理由.A B C D E F第21题22. (8分)若m n a a =(0a >且1a ≠,m 、n 是正整数)，则m n =.你能利用上面的结论解决下面两个问题吗?试试看，相信你一定行!(1)若2228162x x ⨯⨯=，求x 的值;(2)若28(27)3x =，求x 的值.23. (8分)本题共有A 、B 两题，你只需从中选做一题，两题都做不另加分.A 题:已知23,26,212a b c ===，试找出a 、b 、c 之间的等量关系.B 题:你能将若干个相同的数组成一个尽可能大的数吗?例如:将3个1组成一些数: (1) 111;(2) 111;(3) 111;(4)11(1).这4个数中111最大，你能用3个3组成一些数，并把它们按照从大到小的顺序排列吗?我选做的是 题:24. (10分)先阅读下面的材料，再解答问题. 一般地，n 个相同的因数a 相乘:a a g g …·a 记为n a ，如328=，此时，3叫做以2为底8的对数，记为2log 8(即2log 83=).一般地，若n a b =(0a >且1a ≠,0b >)，则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b (即log a b n =).如4381=，则4叫做以3为底81的对数，记为3log 81(即3log 814=) .(1)计算以下各对数的值:2log 4= ,2log 16= , 2log 64= ;(2) (1)中三个数4、16、64之间满足怎样的关系式?2log 4 ,2log 16 , 2log 64之间又满足怎样的关系式?(3)由(2)的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗?log log a a M N += (0a >且1a ≠, M>0, N>0).根据幂的运算法则:m n m n a a a +=g 以及对数的含义说明上述结论.参考答案一、9. 7m10. 2x 11. 9412．8×10-413．4514．224b a 15．21- 16． 4 17．1259 18．25 三、19. (1)229q p (2) 315x (3)n m 3 (4)419- 20. (1)＞＞＞＞ (2) ＞ (3) 20142015＜20152014 21. D 、E22. (1)3=x (2)34=x 23. A 题：b c a 2=+B 题：由3个3可组成下列各数：33333)3(,3,33,333.从小到大排列为333＞333＞33)3(＞333 24. (1)2 4 6(2) 4×16=64 64log 16log 4log 222=+ (3))(log MN a。