四川省绵阳市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题
秘密★启用前【考试时间：2020年1月9日14:10-15:50】
高中2018级第三学期末教学质量测试
理科数学
本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷共4页，答题卡共6页。
满分100分.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上。
1.已知点(4,1,3)A --，则点A 关于原点的对称点的坐标为（ ） A.()4,1,3-
B.(4,1,3)-
C.(3,1,4)-
D.(3,1,4)-
2.已知一直线经过两点(2,4)A ，(,5)B a ，且倾斜角为135°，则a 的值为（ ） A.-1
B.-2
C.2
D.1
3.现有两个调查抽样：（1）某班为了了解班级学生在家表现情况决定从全班家长中抽取3名参加座谈会；（2）某研究部门在高考后从2000名学生（其中文科400名，理科1600名）中抽取200名考生作为样本调查数学学科得分情况.
给出三种抽样方法：Ⅰ.简单随机抽样法；Ⅱ.系统抽样法；Ⅲ.分层抽样法. 则问题（1）、（2）选择的抽样方法合理的是（ ） A.（1）选Ⅲ，（2）选Ⅰ B.（1）选Ⅰ，（2）选Ⅲ C.（1）选Ⅱ，（2）选Ⅰ D.（1）选Ⅲ，（2）选Ⅱ
4.如果椭圆22
163
x y +=的弦被点(1,1)M 平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A.230x y ++=
B.230x y -+=
C.230x y +-=
D.230x y +-=
5.口袋里装有大小相同的5个小球，其中2个白球，3个红球，现一次性从中任意取出3个，则其中至少有1个白球的概率为（ ）
A.
910
B.
710
C.
310
D.
110
6.若抛物线2
2(0)y px p =>的焦点是椭圆
22
12x y p p
+=的一个焦点，则p =（ ） A.2 B.3 C.4 D.8
7.如图，一个边长为2的正方形里有一个月牙形的图案，为了估算这个月牙形图案的面积，向这个正方形里随机投入500粒芝麻，经过统计，落在月牙形图案内的芝麻有150粒，则这个月牙图案的面积约为（ ）
A.
35
B.
45
C.1
D.
65
8.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1
2
，则双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>的渐近线方程为
（ ）
A. y x =
B. 34
y x =±
C. 43
y x =±
D. y x = 9.“双11”活动期间，绵阳某商场举行“买的多送的多”优惠活动：购买某件商品的销件数和平均价格有如下对应数据：
根据上表数据可得回归方程ˆ 2.126.9y
x =-+，则实数a 的值为（ ） A.19
B.20
C.21
D.22
10.已知F 是抛物线2
2y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，||||8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ）
A.
72
B.
52
C.4
D.3
11.已知两点(A ，B ，以及圆C : 222
(2)(2)(0)x y r r -+-=>，若圆C 上存在点P ，满足
0AP PB ⋅=，则r 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
12.直线过椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点F 和上顶点A ，与圆22
(2)25x y -+=交于P ，Q 两点，
若线段PQ 的中点坐标为(1,3)，则椭圆离心率为（ ）
D.
13
二、填空题
13.在区间[1,7]上随机选取一个数a ，则4a ≤的概率为________.
14.直线()1 20x m y +++=与直线 2 10m x y m +++=平行，则m 的值为________.
15.过椭圆2
212
x y +=的左焦点作一条斜率为1的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则AOB 的面积为_______.
16.已知点M 为点()3,0P -在动直线2(1)20kx k y +++=上的射影，若点N 的坐标为(2,3)，则MN 的取值范围是_________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. 为了迎接全国文明城市复检，绵阳某中学组织了本校1000名学生进行社会主义核心价值观、文明常识等内容测试。
统计测试成绩数据得到如图所示的频率分布直方图，已知3a b =，满分100分.
（1）求测试分数在[60,90)的学生人数；
（2）求这1000名学生测试成绩的平均数以及中位数.
18. “绿水青山就是金山银山”，为了响应国家政策，我市环保部门对市民进行了一次环境保护知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参与问卷调查的50人的得分（满分：100分）数据，统计结果如表所示：
⨯列联表如下：
若规定问卷得分不低于70分的市民称为“环境保护关注者”，则上图中表格可得22
⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“环境保护关注者”（1）请完成上述22
与性别有关？
（2）若问卷得分不低于80分的人称为“环境保护达人”，现在从本次调查的“环境保护达人”中利用分层
抽样的方法抽取4名市民参与环保知识问答，再从这4名市民中随机抽取2人参与座谈会，求抽取的2名市民中，既有男“环境保护达人”又有女“环境保护达人”的概率.
附表及公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
)20k 0.152.07219. 已知圆22
:(4)4M x y -+=，点(,)P x y 为直线4=0xy +上一动点，过点P 引圆M 的两条切线，切点分别为A ，B .
（1）若P 的坐标为(-2,2)，求切线方程；
（2）求四边形P AMB 面积的最小值.
20.过点$P(-4,0)$的动直线l 与抛物线2
:2(0)C x py p =>相交于D 、E 两点，已知当l 的斜率为
1
2
时，4PE PD =.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）设圆2
2
2
:(1)(2)M x y r -+-=，已知A ，B 是抛物线C 上的两动点，且直线OA , OB 都与圆M 相切（O 是坐标原点），求证：直线AB 经过一定点，并求出该定点坐标.。
2019-2020学年四川省绵阳市高二下学期期末数学试卷(理科) (解析版)
2019-2020学年四川省绵阳市高二第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．若复数z满足（1﹣i）z＝1+i，则z＝（）A．﹣i B．i C．2+i D．2﹣i2．命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定为（）A．∀x∈R，x2+x+1≤0B．∀x∉R，x2+x+1≤0C．∃x0∉R，x02+x0+1＞0D．∃x0∈R，x02+x0+1≤03．类比推理是一种重要的推理方法．已知l1，l2，l3是三条互不重合的直线，则下列在平面中关于l1，l2，l3正确的结论类比到空间中仍然正确的是（）①若l1∥l3，l2∥l3，则l1∥l2；②若l1⊥l3，l2⊥l3，则l1∥l2；③若l1与l2相交，则l3必与其中一条相交；④若l1∥l2，则l3与l1，l2相交所成的同位角相等A．①④B．②③C．①③D．②④4．在空间直角坐标系中，若A（1，1，0），＝（3，0，1），则点B的坐标为（）A．（﹣5，1，﹣2）B．（7，1，﹣2）C．（3，0，1）D．（7，1，2）5．如图，直线l是曲线y＝f（x）在x＝2处的切线，则f′（2）＝（）A．1B．2C．3D．46．设（1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则a1+a3+a5＝（）A．61B．121C．122D．2247．设随机变量ξ～B（2，p），η～B（3，p），若P（ξ≥1）＝，则P（η≥2）的值为（）A．B．C．D．8．人民医院承担高考体检任务，计划在一周内（周一至周日）安排甲乙丙3所学校的学生进行体检．若每天最多只安排一所学校，甲学校体检需要连续两天，其余两所学校均只需一天，则不同的安排方法有（）A．50种B．60种C．120种D．210种9．现订制一个容积为V的圆柱形铁桶，桶底和桶身用铁皮制作，桶盖用铝合金板制作．已知单位面积铝合金板的价格是铁皮的3倍，当总造价最少时（不计接头部分），桶高应为（）A．B．C．2D．10．“关于x的方程的ax2﹣2x+1＝0至少有一个负数根”的一个充分不必要条件是（）A．a＜﹣1B．a≤1C．a＞1D．a∈R11．在三棱锥P﹣ABC中，面PAC⊥面ABC，∠PAC＝∠ABC＝90°，PA＝BC，PB＝AC，E是AB的中点．设，若λ∈[2，3]，则二面角B﹣PC﹣E的余弦值的范围为（）A．B．C．D．12．偶函数f（x）的定义域为R，周期为4，导函数为f'（x），若f'（x）＜f（x），且f （2019）＝2，则不等式f（x）＜2e x﹣1的解集为（）A．（1，+∞）B．（e，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，）二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分．13．已知质点运动方程为S＝t2﹣2t+1（S的单位：m，t的单位：s），则该质点在t＝2s时刻的瞬时速度为m/s．14．在（x+）6的展开式中，常数项为（用数字作答）15．某学校甲、乙、丙、丁4位同学住在同一个小区．已知从学校到小区有A、B、C三条线路的公共汽车，若他们放学后每位同学乘坐其中任何一条线路的公共汽车回家是等可能性的，则这4位同学中恰有2人乘坐A线路公共汽车的概率为．16．已知函数f（x）＝x2+mlnx（m∈R），若x1＞x2＞0，都有f（x1）﹣f（x2）＞x1﹣x2成立，则m的取值范围是．三、解答题：共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～19题为必考题，每个试题考生都必须作答．第20、21题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共30分．17．2020年新冠肺炎疫情期间，某公司采用网络远程面试招聘新员工，其面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过，已知应聘者小王在6道备选题中有4道题能正确完成，2道题不能完成．（1）求小王能通过面试的概率；（2）求小王正确完成面试题数的分布列及数学期望．18．如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．（1）求证：AD⊥C1D；（2）求平面ADC1与平面ABB1A1所成二面角的正弦值．19．已知函数f（x）＝e x﹣ax（x＞0），其中a∈R，e为自然对数的底数．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）是否存在正整数a，使得f（x）≥x2lnx对一切x＞0恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第20、21题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程].20．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝cosθ+sinθ．（1）求曲线C的平面直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），设直线l与曲线C的交点为A，B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]21．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+m|．（1）若m＝3，解关于x的不等式f（x）≥x+6；（2）证明：对任意x∈R，2f（x）≥|m+1|﹣|m|．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z满足（1﹣i）z＝1+i，则z＝（）A．﹣i B．i C．2+i D．2﹣i解：由（1﹣i）z＝1+i，得z＝．故选：B．2．命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定为（）A．∀x∈R，x2+x+1≤0B．∀x∉R，x2+x+1≤0C．∃x0∉R，x02+x0+1＞0D．∃x0∈R，x02+x0+1≤0解：命题为全称命题，则命题的否定是：∃x0∈R，x02+x0+1≤0，故选：D．3．类比推理是一种重要的推理方法．已知l1，l2，l3是三条互不重合的直线，则下列在平面中关于l1，l2，l3正确的结论类比到空间中仍然正确的是（）①若l1∥l3，l2∥l3，则l1∥l2；②若l1⊥l3，l2⊥l3，则l1∥l2；③若l1与l2相交，则l3必与其中一条相交；④若l1∥l2，则l3与l1，l2相交所成的同位角相等A．①④B．②③C．①③D．②④解：由平行线的传递性可知，①正确；如图所示，在正方体的顶点A处，AA1⊥AB、AA1⊥AD，且AB⊥AD，所以②错误；由于l1与l2相交，所以l1与l2可以确定一个平面，若l3不在该平面内，则l3与这两条直线都可以不相交，即③错误；由于l3与l1，l2相交，所以这三条直线在同一个平面内，又l1∥l2，根据平行线的性质可知④正确．所以成立的有①④．故选：A．4．在空间直角坐标系中，若A（1，1，0），＝（3，0，1），则点B的坐标为（）A．（﹣5，1，﹣2）B．（7，1，﹣2）C．（3，0，1）D．（7，1，2）解：在空间直角坐标系中，A（1，1，0），＝（3，0，1），设点B的坐标为B（x，y，z），则＝（x﹣1，y﹣1，z﹣0）＝（3，0，1），解得x＝7，y＝1，z＝2．∴点B的坐标为（7，1，2）．故选：D．5．如图，直线l是曲线y＝f（x）在x＝2处的切线，则f′（2）＝（）A．1B．2C．3D．4解：由图象可得直线l与曲线y＝f（x）相切的切点为（2，3），直线l经过点（0，1），可得直线l的斜率为k＝＝1，由导数的几何意义可得f′（2）＝k＝1．故选：A．6．设（1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则a1+a3+a5＝（）A．61B．121C．122D．224解：∵（1+2x）5＝a0+a1x+…+a4x4+a5x5，∴令x＝1，得（1+2×1）5＝a0+a1+a2+a3+a4+a5＝243；令x＝﹣1，得[1+2×（﹣1）]5＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5＝﹣1．∴a1+a3+a5＝（243﹣1）＝121．故选：B．7．设随机变量ξ～B（2，p），η～B（3，p），若P（ξ≥1）＝，则P（η≥2）的值为（）A．B．C．D．解：∵变量ξ～B（2，p），且P（ξ≥1）＝，∴P（ξ≥1）＝1﹣P（ξ＜1）＝1﹣C20•（1﹣p）2＝，∴p＝，∴P（η≥2）＝1﹣P（η＝0）﹣P（η＝1）＝1﹣C30（）0（）3﹣••＝1﹣﹣＝，故选：C．8．人民医院承担高考体检任务，计划在一周内（周一至周日）安排甲乙丙3所学校的学生进行体检．若每天最多只安排一所学校，甲学校体检需要连续两天，其余两所学校均只需一天，则不同的安排方法有（）A．50种B．60种C．120种D．210种解：根据题意，分两步分析：①先安排甲学校体检，由于甲学校体检需要连续两天，从7天中找连续的两天，可以是周一周二，可以是周二周三，可以是周三周四，可以是周四周五，可以是周五周六，可以是周六周日，有A61种方法．②安排另两所学校，从剩下的5天中任选2天，有A52种方法．则有A61A52＝120种不同的安排方法；故选：C．9．现订制一个容积为V的圆柱形铁桶，桶底和桶身用铁皮制作，桶盖用铝合金板制作．已知单位面积铝合金板的价格是铁皮的3倍，当总造价最少时（不计接头部分），桶高应为（）A．B．C．2D．解：设圆柱的底面半径r，则高h＝，设单位面积铁皮的价格为a，则总造价为y＝a（2πr+πr2）+3aπr2＝a（），，当0＜r＜时，y′＜0，函数单调递减，当r＞时，y′＞0，函数单调递增，故当r＝时，函数取得最小值2．故选：D．10．“关于x的方程的ax2﹣2x+1＝0至少有一个负数根”的一个充分不必要条件是（）A．a＜﹣1B．a≤1C．a＞1D．a∈R解：∵关于x的方程的ax2﹣2x+1＝0至少有一个负数根，∴或，解得a＜0．∴“关于x的方程的ax2﹣2x+1＝0至少有一个负数根”的一个充分不必要条件是a＜﹣1．故选：A．11．在三棱锥P﹣ABC中，面PAC⊥面ABC，∠PAC＝∠ABC＝90°，PA＝BC，PB＝AC，E是AB的中点．设，若λ∈[2，3]，则二面角B﹣PC﹣E的余弦值的范围为（）A．B．C．D．解：如图，由面PAC⊥面ABC，面PAC∩面ABC＝AC，∠PAC＝90°，得PA⊥平面ABC，又∠ABC＝90°，以A为坐标原点，过A作平行于BC的直线为x轴，AC，AP所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系．设PA＝BC＝1，由，得AC＝λ，则PB＝λ．∴C（1，，0），B（0，，0），P（0，0，1），E（0，，0）．＝（0，，﹣1），＝（1，，﹣1），＝（0，，﹣1），设平面PEC的一个法向量为，由，取y1＝2，得，；设平面PBC的一个法向量为，由，取y2＝1，得．由图可知，二面角B﹣PC﹣E的平面角为锐角，则二面角B﹣PC﹣E的余弦值为|cos＜＞|＝＝＝．∵λ∈[2，3]，∴∈[]则二面角B﹣PC﹣E的余弦值范围为[，]．故选：D．12．偶函数f（x）的定义域为R，周期为4，导函数为f'（x），若f'（x）＜f（x），且f （2019）＝2，则不等式f（x）＜2e x﹣1的解集为（）A．（1，+∞）B．（e，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，）解：∵f'（x）＜f（x），令g（x）＝，则＜0，则g（x）单调递减，偶函数f（x）的定义域为R，周期为4，则f（2019）＝f（3）＝f（﹣1）＝f（1）＝2，因为g（1）＝，由f（x）＜2e x﹣1可得，即g（x）＜g（1），解可得x＞1．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分．13．已知质点运动方程为S＝t2﹣2t+1（S的单位：m，t的单位：s），则该质点在t＝2s时刻的瞬时速度为2m/sm/s．解：根据题意，v（t）＝S′＝2t﹣2，∴t＝2s时刻的瞬时速度为v＝2×2﹣2＝2（m/s）．故答案为：2m/s．14．在（x+）6的展开式中，常数项为15（用数字作答）解：（x+）6的展开式的通项公式为T r+1＝•x6﹣3r，令6﹣3r＝0，求得r＝2，可得常数项为＝15，故答案为：15．15．某学校甲、乙、丙、丁4位同学住在同一个小区．已知从学校到小区有A、B、C三条线路的公共汽车，若他们放学后每位同学乘坐其中任何一条线路的公共汽车回家是等可能性的，则这4位同学中恰有2人乘坐A线路公共汽车的概率为．解：某学校甲、乙、丙、丁4位同学住在同一个小区．从学校到小区有A、B、C三条线路的公共汽车，他们放学后每位同学乘坐其中任何一条线路的公共汽车回家是等可能性的，基本事件总数n＝34＝81，这4位同学中恰有2人乘坐A线路公共汽车包含的基本事件个数m＝＝24，则这4位同学中恰有2人乘坐A线路公共汽车的概率p＝＝＝．故答案为：．16．已知函数f（x）＝x2+mlnx（m∈R），若x1＞x2＞0，都有f（x1）﹣f（x2）＞x1﹣x2成立，则m的取值范围是．解：对任意正数x1，x2，当x1＞x2时都有f（x1）﹣f（x2）＞x1﹣x2成立，即为f（x1）﹣x1＞f（x2）﹣x2成立，可得g（x）＝f（x）﹣x＝x2+mlnx﹣x在（0，+∞）为增函数，于是当x＞0时，g′（x）＝2x+﹣1＞0，即2x2﹣x＞﹣m恒成立，记h（x）＝2x2﹣x，x＞0，函数是二次函数，最小值为h（）＝﹣，则﹣m＜，可得m＞，则实数m的取值范围是（，+∞），故答案为：（，+∞）．三、解答题：共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～19题为必考题，每个试题考生都必须作答．第20、21题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共30分．17．2020年新冠肺炎疫情期间，某公司采用网络远程面试招聘新员工，其面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过，已知应聘者小王在6道备选题中有4道题能正确完成，2道题不能完成．（1）求小王能通过面试的概率；（2）求小王正确完成面试题数的分布列及数学期望．解：（1）应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过，基本事件总数n＝＝20，应聘者小王在6道备选题中有4道题能正确完成，2道题不能完成．小王能通过面试包含的基本事件总数m＝＝16．∴小王能通过面试的概率p＝＝＝．（2）小王正确完成面试题数X的可能取值为1，2，3，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝＝，P（X＝3）＝＝＝，∴X的分布列为：X123P数学期望E（X）＝＝2．18．如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．（1）求证：AD⊥C1D；（2）求平面ADC1与平面ABB1A1所成二面角的正弦值．【解答】（1）证明：在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），B（2，0，0），D（1，1，0），C1（0，2，4），＝（1，1，0），＝（1，﹣1，﹣4），∵，∴，即AD⊥C1D；（2）解：由（1）知，＝（1，1，0），＝（0，2，4），设平面ADC1的法向量为，由，取z＝1，得y＝﹣2，x＝2，∴平面ADC1的法向量为＝（2，﹣2，1），平面ABA1的一个法向量＝（0，1，0），设平面ADC1与ABB1A1所成二面角为θ，∴cosθ＝|cos＜＞|＝||＝，∴sinθ＝．∴平面ADC1与ABB1A1所成二面角的正弦值为．19．已知函数f（x）＝e x﹣ax（x＞0），其中a∈R，e为自然对数的底数．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）是否存在正整数a，使得f（x）≥x2lnx对一切x＞0恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）f'（x）＝e x﹣a（x＞0）．①若a≤1，则f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增；②若a＞1，令f'（x）＝0，则x＝lna，当0＜x＜lna时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞lna时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．综上所述，当a≤1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞1时，f（x）在（0，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（2）要使f（x）＝e x﹣ax≥x2lnx在（0，+∞）上恒成立，则在（0，+∞）上恒成立，令，则＝．①当a＝2时，，由e x＞x知，h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．∴，∴a＝2满足题意．②当a＞2时，当2＜x＜a时，函数h（x）的取值情况，∵2＜x＜a，∴x﹣2＞0，x﹣a＜0．又e x＞x，∴（x﹣2）e x＞（x﹣a）x，即h'（x）＞0，∴当a＞2时，h（x）在（2，a）上单调递增．不妨取a＝3，则函数h（x）在（2，3）上单调递增，∵2＜e＜3，且，∴h（x）≥0不能恒成立．综上所述，正整数a的最大值为2．（二）选考题：共10分．请考生在第20、21题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程].20．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝cosθ+sinθ．（1）求曲线C的平面直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），设直线l与曲线C的交点为A，B，求|AB|．解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ＝cosθ+sinθ，∴ρ2＝ρcosθ+ρsinθ，∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴x2+y2＝x+y，即．（2）将直线l的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，得到，整理得，解得t1＝0或．∴．[选修4-5：不等式选讲]21．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+m|．（1）若m＝3，解关于x的不等式f（x）≥x+6；（2）证明：对任意x∈R，2f（x）≥|m+1|﹣|m|．解：（1）当m＝3时，f（x）＝|2x﹣1|+|x+3|＝．当x≤﹣3时，f（x）≥x+6化为﹣3x﹣2≥x+6，解得x≤﹣2，综合得x≤﹣3；当时，f（x）≥x+6化为3x+2≥x+6，解得x≥2，综合得x≥2；当﹣3＜x＜时，f（x）≥x+6化为﹣x+4≥x+6，解得x≤﹣1，综合得﹣3＜x≤﹣1．综上所述，不等式f（x）≥x+6的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）；（2）证明：∵f（x）＝|2x﹣1|+|x+m|，∴2f（x）＝2|2x﹣1|+2|x+m|＝|2x﹣1|+|2x﹣1|+2|x+m|，∵|2x﹣1|≥0，∴2f（x）≥|2x﹣1|+|2x+2m|≥|（2x﹣1）﹣（2x+2m）|＝|2m+1|＝|m+m+1|≥|m+1|﹣|m|，∴对任意x∈一、选择题，2f（x）≥|m+1|﹣|m|．。
2023-2024学年四川省绵阳市高二上学期期末教学质量测试数学检测试卷(有解析)
EF F 两点，求 S△PAB 的最大值.
1．A
【分析】求出给定直线的斜率即可得该直线的一个方向向量 a ，再求与 a 共线的向量即可.
【详解】直线
2x
3
y
1
0
的斜率为
k
2 3
，则直线
2x
3
y
1
0
的一个方向向量
a
1,
2 3
，
对于
A，因
3
2 3
1
2
0
，即向量
(3,
2)
与
1,
2 3
共线，A
是；
对于Biblioteka 2 3rrr abc
r b
r c
2
3
rrr abc
1
r b
1
r c
2
r a
3 3 3.
故选：A.
7．C
【分析】连接 QA 、 OA ，由题意可得 QA QP ，所以 QA QO QP QO OP r ， 根据双曲线的定义，即可得答案. 【详解】连接 QA 、 OA ，如图所示：
因为 l 为 PA 的垂直平分线，所以 QA QP ，
(1)求 a 的值； (2)估计家庭消费总支出的平均值及第 80 百分位数.（结果保留一位小数）
18．已知直线 l ： kx y 2k 1 0 （ k R ），圆 C ： x 12 y 12 9 . (1)试判断直线 l 与圆 C 的位置关系，并加以证明； (2)若直线 l 与圆 C 相交于 A ， B 两点，求 AB 的最小值及此时直线 l 的方程.
.
-3-
15．已知 F1 、 F2 是双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
四川省绵阳市2024届高三一模数学(理)试题含解析
2021级高三一诊模拟考试数学（理）试题（三）（答案在最后）一、单选题1.已知集合{}21,Z A x x k k ==-∈，{}41,Z B x x k k ==+∈，则（）A.A B A =B.A B B ⋃=C.()R B A ⋂=∅ðD.()R A B ⋂=∅ð【答案】C 【解析】【分析】通过推理得到B 是A 的真子集，从而根据交集，并集和补集的概念进行计算，对四个选项一一进行判断正误.【详解】{}{}{}21,Z 41,Z 41,Z A x x k k x x k k x x k k ==-∈==+∈⋃=-∈，故B 是A 的真子集，故A B B = ，A B A ⋃=，()R B A ⋂=∅ð，(){}41,Z R A B x x k k ⋂==-∈≠∅ð，故A ，B ，D 均错误，C 正确.故选：C.2.已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是（）A.ab >acB.c (b －a )<0C.cb 2<ab 2D.ac (a －c )>0【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件，求得,c a 的正负，再结合b c >，则问题得解.【详解】由c <b <a 且ac <0，知c <0且a >0.由b >c ，得ab >ac 一定成立，即A 正确；因为0,0c b a <-<，故()0c b a ->，故B 错误；若0b =时，显然不满足22cb ab <，故C 错误；因为0,0ac a c -，故()0ac a c -<，故D 错误.故选：A .【点睛】本题考查不等式的基本性质，属简单题.3.若等比数列{}n a 满足232a a +=，246a a -=，6a =（）．A.32-B.8- C.8D.64【答案】A 【解析】【分析】根据条件先求出数列的首项和公比，即可求出.【详解】设数列{}n a 的公比为q ，2231132411+26a a a q a q a a a q a q ⎧+==⎨-=-=⎩，解得2q =-，11a =，()55611232a a q ∴==⨯-=-.故选：A.4.下列命题正确的是（）A.命题“p q ∧”为假命题，则命题p 与命题q 都是假命题B.命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题C.若0x 使得函数()f x 的导函数()00f x '=，则0x 为函数()f x 的极值点；D.命题“0x ∃∈R ，使得20010x x ++<”的否定是：“x ∀∈R ，均有210x x ++<”【答案】B 【解析】【分析】根据复合命题的真假判断A ，根据四种命题的关系判断B ，根据极值的定义判断C ，根据命题的否定判断D ．【详解】对于A ：命题“p q ∧”为假命题，则命题p 与命题q 至少有一个假命题，故A 错误；对于B ：命题“若x y =，则sin sin x y =”显然为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，故B 正确；对于C ：若0x 使得函数()f x 的导函数()00f x '=，如果两侧的导函数的符号相反，则0x 为函数()f x 的极值点；否则，0x 不是函数()f x 的极值点，故C 错误；对于D ：命题“存在0R x ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是：“对任意R x ∀∈，均有210x x ++≥”．故D错误.故选：B ．5.设0.70.362,log 4,4a b c ===，则（）A.c a b >>B.a c b>> C.b c a>> D.b a c>>【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质计算可得；【详解】解：因为()0.30.320.6422==，00.60.71212222=<<<=，所以1a c >>因为66610log log 4g 1lo 6=<<=所以01b <<，所以ac b >>．故选：B6.若向量a ，b 满足2a = ，()26a b a +⋅=，则b 在a 方向上的投影为（）A.1 B.12C.12-D.－1【答案】B 【解析】【分析】先利用向量数量积的运算求得a b ⋅ ，再利用投影的定义求解即可.【详解】因为2a = ，()26a b a +⋅=，所以226a b a +⋅= ，即2622a b +⋅= ，则1a b ⋅= ，故b 在a 方向上的投影1cos ,2a b b a b a ⋅==.故选：B .7.函数()()100ln 0e exxx f x x -=≠-的大致图象是（）A. B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再取特殊值验证即可【详解】因为()100ln 100ln ()e ee exxxxx x f x f x ---==-=---，所以()f x 为奇函数，所以函数图象关于原点对称，所以排除CD ，因为(1)0f =，1111eeee1100ln 1100e0e e ee ef ---⎛⎫==< ⎪⎝⎭--，所以排除B ，故选：A8.已知角α的终边落在直线2y x =-上，则22cos2sin23sin ααα++的值为（）A.25-B.25C.±2D.45【答案】B 【解析】【分析】根据角α终边的位置得到tan 2α=-，然后将22cos 2sin 23sin ααα++转化为2222tan tan 1tan ααα+++再代入求值即可.【详解】角α的终边落在直线2y x =-上，所以tan 2α=-，2222222cos 2sin 2sin cos 3sin 2cos 2sin 23sin cos cos αααααααααα-++++=+22222cos 2sin cos sin cos sin αααααα++=+2222tan tan 1tan ααα++=+24414-+=+25=.故选：B.9.函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需将函数()y f x =的图象（）A .向左平移6π个单位长度B.向左平移12π个单位长度C.向右平移6π个单位长度D.向右平移12π个单位长度【答案】B 【解析】【分析】根据函数图象得到()f x 、()g x 的解析式，然后利用图象平移的结论进行图象平移即可.【详解】根据图象可得2A =，周期T π=，因为2T πω=，所以2ω=，()()2sin 2f x x ϕ=+，将,23π⎛⎫⎪⎝⎭代入()f x 可得()2222sin 2332k k πππϕϕπ⎛⎫=+⇒+=+∈ ⎪⎝⎭Z ，解得()26k k πϕπ=-+∈Z ，因为0πϕ-<<，所以6πϕ=-，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2sin 2g x x =，因为()2sin 212f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()f x 向左平移12π个单位长度即可得到()g x 的图象.故选：B.10.过点()3,0作曲线()e xf x x =的两条切线，切点分别为()()11,x f x ，()()22,x f x ，则12x x +=（）A.3-B.C.D.3【答案】D【解析】【分析】求出函数的导函数，设切点坐标为()000,ex x x ，即可得到切线方程，依题意关于0x 的方程200330x x -++=有两个不同的解1x 、2x ，利用韦达定理计算可得.【详解】因为()e x f x x =，所以()()1e xf x x '=+，设切点坐标为()000,e x x x ，所以()()0001e xf x x '=+，所以切线方程为()()00000e1e x x y x x x x -=+-，所以()()00000e1e 3x x x x x -=+-，即()02033e 0x x x -++=，依题意关于0x 的方程()20033e0x x x -++=有两个不同的解1x 、2x ，即关于0x 的方程200330x x -++=有两个不同的解1x 、2x ，所以123x x +=.故选：D11.已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若()f x m =在[0,)π上有两个实根a ，b ，且||3a b π->，则实数m 的取值范围是（）A.1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D.11,22⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】由题设可得()sin(26f x x π=+，将问题转化为在132[,)666t x πππ=+∈上sin y t =与y m =有两个交点且交点横坐标之差2||3a b t t π->，应用数形结合确定m 的取值范围.【详解】由题设，2T ππω==，则2ω=，即()sin(2)6f x x π=+，又()f x m =在[0,)π上有两个实根a ，b ，且||3a b π->，[0,)π上，132[,)666t x πππ=+∈，则sin y t =的图象如下：∴要使||3a b π->，则对应2||2||3a b t t a b π-=->，∴当1122m -<<时，()f x m =有两个交点且||3a b π->.故选：D12.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-.若函数()()sin F x f x x π=-在区间[]1,m -上有10个零点，则实数m 的取值范围是（）A.[)3.5,4 B.(]3.5,4 C.(]5,5.5 D.[)5,5.5【答案】A 【解析】【分析】根据题意可知()f x 和()sin πx 都是周期为2的周期函数，因此可将()()()sin πF x f x x =-的零点问题转换为()f x 和()sin πx 的交点问题，画出函数图形，找到交点规律即可找出第10个零点坐标，而m 的取值范围就在第10个零点和第11个零点之间.【详解】由()()()()()2022f x f x f x f x f x -+=⇒=--=-得()f x 是一个周期为2的奇函数，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-，因此211log 122f ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，()10f =因为()f x 是奇函数，所以()00f =，112⎛⎫-=- ⎪⎝⎭f ，()10f -=且()()sin πg x x =的周期为2π2πT ==，且()10g -=，112g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()00g =，112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10g =求()()()sin πF x f x x =-的零点，即是()f x 与()g x 的交点，如图：为()f x 与()g x 在[]1,1-区间的交点图形，因为()f x 与()g x 均为周期为2的周期函数，因此交点也呈周期出现，由图可知()F x 的零点周期为12，若在区间[]1,m -上有10个零点，则第10个零点坐标为()3.5,0，第11个零点坐标为()4,0，因此3.54m ≤<.故选：A【点睛】思路点睛：函数的零点问题，往往可以转化为常见函数的交点的个数问题，而图象的刻画需结合函数的奇偶性、周期性等来处理.二、填空题13.若x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则23z x y =-的最小值为______．【答案】5-【解析】【分析】先作出可行域，将目标函数23z x y =-化为2133y x z =-，要求z 的最小值，则需求直线2133y x z =-在y 轴上的截距的最大值，由图可得答案.【详解】由x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩作出可行域,如图由2121x y x y +=⎧⎨+=-⎩，解得()1,1A -由210x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得11,33C ⎛⎫ ⎪⎝⎭由2100x y x y ++=⎧⎨-=⎩，解得11,33B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭将目标函数23z x y =-化为2133y x z =-，则z 表示直线2133y x z =-在y 轴上的截距的13-倍.要求z 的最小值，则需求直线2133y x z =-在y 轴上的截距的最大值.由图可知，当目标函数过点()1,1A -时，直线2133y x z =-在y 轴上的截距的最大值.此时z 的最小值为()21315z =⨯--⨯=-故答案为：5-14.当7,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数23sin 2cos y x x =--的值域为________．【答案】728⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由7,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求得1sin [,1]2x ∈-，化简2172(sin )48y x =-+，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】因为7,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得1sin [,1]2x ∈-，又由222173sin 2cos 3sin 2(1sin )2(sin 48y x x x x x =--=---=-+，当1sin 4x =，取得最小值min 78y =；当1sin 2x =-或sin 1x =，取得最大值min 2y =，即函数的值域为728⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.故答案为：728⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【点睛】本题主要考查了函数的值域的求解，其中解答中熟记三角函数的基本关系式和正弦函数的性质，以及二次函数的图象与性质是解答的关键，属于基础题.15.已知函数()()2e ,1lg 2,1x x f x x x -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，则不等式()11f x +<的解集为______．【答案】()0,7【解析】【分析】分别在11x +≤和11x +>的情况下，结合指数和对数函数单调性可解不等式求得结果.【详解】当11x +≤，即0x ≤时，()()2111e e 1x x f x -+-+==<，10x ∴-<，解得：1x >（舍）；当11x +>，即0x >时，()()1lg 31f x x +=+<，0310x ∴<+<，解得：37x -<<，07x ∴<<；综上所述：不等式()11f x +<的解集为()0,7.故答案为：()0,7.16.数列{}n a 的前n 项和为n S ，23nn n a S +=，数列{}n b 满足()()211332n bn n a a n N *++=-∈，则数列{}n b 的前10项和为______．【答案】65【解析】【分析】由,n n a S 的递推式可得121323n n n a a +++-=⨯，结合已知条件有1n b n =+，即可求数列{}n b 的前10项和.【详解】由23nn n a S +=知：11123n n n a S ++++=，则1112233n n n n n n a S a S ++++--=-，得1323nn n a a +-=⨯，∴121323n n n a a +++-=⨯，而()()211332n bn n a a n N *++=-∈，∴1n b n =+，故数列{}n b 的前10项和为1010(211)652T ⨯+==，故答案为：65.【点睛】关键点点睛：,n n a S 递推式的应用求条件等式中因式213n n a a ++-的表达式，进而求数列{}n b 的通项，最后求{}n b 前10项和.三、解答题17.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量()2,1m b = ，()2,cos n a c C =- ，且//m n．（1）求角B 的大小；（2）若点M 为BC 中点，且AM AC =，求sin BAC ∠．【答案】（1）π3B =；（2）sin 7BAC ∠=.【解析】【分析】（1）利用向量共线的坐标表示，再利用正弦定理边化角及和角的正弦公式求解作答.（2）取CM 中点D ，连接AD ，利用直角三角形边角关系及正弦定理求解作答.【小问1详解】向量()2,1m b = ，()2,cos n a c C =- ，且//m n，于是2cos 2b C a c =-，在ABC 中，由正弦定理，得2sin cos 2sin sin B C A C =-，即2sin cos 2sin()sin 2sin cos 2cos sin sin B C B C C B C B C C =+-=+-，整理得2cos sin sin B C C =，又sin 0C ≠，因此1cos 2B =，而0πB <<，所以π3B =．【小问2详解】取CM 中点D ，连接AD ，由AM AC =，得AD CM ⊥，令CD x =，而点M 为BC 中点，则3BD x =，由（1）知π3B =，于是AD =，AC =，在ABC中，由正弦定理知4πsin sin 3x BAC =∠，所以sin 7BAC ∠=．18.已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，其前n 项和为n S ，数列{}n b 前n 项和为n T ，从①1a ，2a ，5a 成等比数列，2n n T b -=，②53253S S -=，1122n n T -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，这两个条件中任选一个作为已知条件并解答下列问题.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n M .【答案】（1）条件选择见解析；21n a n =-，112n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=；（2）()2323nn M n =-⋅+.【解析】【分析】（1）选条件①：设数列{}n a 的公差为d ，根据等比中项的性质建立方程，解之可求得公差d ，由等差数列的通项公式求得n a ，再由2n n T b -=，112n n T b --=-两式相减得数列{}n b 是首项为1，公比为12的等比数列，根据等比数列的通项公式求得n b ；选条件②：由已知得等差数列{}n a 的公差为2d =，由等差数列的通项公式求得n a ，再由1112n n n n b T T --⎛⎫=-= ⎪⎝⎭求得n b ，注意1n =时是否满足；（2）由（1）可得：()1212n nna nb -=-⋅，由错位相减法可求得n M .【详解】解：（1）选条件①：设数列{}n a 的公差为d ，由1a ，2a ，5a 成等比数列，可得：2215a a a =，即()2114d d +=+，解得：2d =或0d =（舍），所以()12121n a n n =+-=-，∵2n n T b -=，∴112n n T b --=-，2n ≥，两式相减整理得：112n n b b -=，2n ≥，又当1n =时，有112T b =-，解得：11b =，∴数列{}n b 是首项为1，公比为12的等比数列，∵112n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=；选条件②：∵5332253S S a a -=-=，∴等差数列{}n a 的公差为2d =，又11a =，∴()12121n a n n =+-=-，又∵1122n n T -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴当2n ≥时，有1112n n n n b T T --⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，又当1n =时，有111T b ==，也适合上式，∵112n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=；（2）由（1）可得：()1212n nna nb -=-⋅，∴·()0121123252212n n M n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，又()()12121232232212n n n M n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，两式相减得：()()()21232121222212121212n n n nn M n n ---=+++⋅⋅⋅+--⋅=+--⋅-整理得：()2323nn M n =-⋅+.19.设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫==⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.【答案】（Ⅰ）单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）ABC ∆面积的最大值为234+【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）首先利用二倍角公式化简函数()f x 的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间；（Ⅱ）首先由02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭结合（Ⅰ）的结果，确定角A 的值，然后结合余弦定理求出三角形ABC ∆面积的最大值.试题解析：解：（Ⅰ）由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=-由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）由1sin 0,22A f A ⎛⎫=-=⎪⎝⎭得1sin 2A =由题意知A 为锐角，所以cos 2A =由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-可得：2212b c bc+=+≥即：2bc ≤当且仅当b c =时等号成立.因此12sin 24bc A +≤所以ABC ∆面积的最大值为24考点：1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式.20.已知()()3223,f x x ax bx aa b R =+++∈.（Ⅰ）若()f x 在=1x -时有极值0，求a ，b 的值；（Ⅱ）若()()6xg x f x b a e '=-+⋅⎡⎤⎣⎦，求()g x 的单调区间.【答案】（Ⅰ）2a =，9b =；（Ⅱ）答案见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）求出导函数()f x '，由题意可得2310630a ab b a ⎧+--=⎨-+=⎩，解方程组求出a ，b 的值，再验证是否在=1x -是否取得极值即可.（Ⅱ）由题意求出()()()322xg x x x a e '=++⋅，讨论1a =、1a >或1a <，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解.【详解】解：（Ⅰ）由题意得()236f x x ax b '=++，则2310630a ab b a ⎧+--=⎨-+=⎩，解得：13a b =⎧⎨=⎩或29a b =⎧⎨=⎩，经检验当1a =，3b =时，函数()f x 在=1x -处无极值，而2a =，9b =满足题意，故2a =，9b =；（Ⅱ）()()()26322xxg x f x b a e x ax a e'=-+⋅=++⋅⎡⎤⎣⎦故()()()322xg x x x a e '=++⋅，故1a =时，()0g x '≥，函数()g x 在R 上递增，当1a >时，函数()g x 在(),2-∞-a 递增，在()2,2a --递减，在()2,-+∞递增，当1a <时，函数()g x 在(),2-∞-递增，在()2,2a --递减，在()2,a -+∞递增．21.已知函数()ln f x x x =-.（1）求证：()1f x ≤-；（2）若函数()()()0ex xg x af x a =+>有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）10ea <<【解析】【分析】（1）求出()1xf x x-'=，讨论其符号后可得函数的单调性，结合原函数的最值可得不等式成立.（2）求出()g x '，讨论其符号后可得函数的单调性，根据零点的个数可得最值的符号，从而可得a 的取值范围，注意利用零点存在定理验证.【小问1详解】()1xf x x-'=，则当01x <<时，()0f x ¢>，当1x >时，()0f x ¢<，故()f x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上减函数，故()()max 11f x f ==-即()1f x ≤-.【小问2详解】()ln e x x g x a x ax =-+，故()()()1111e e xx a x x a g x x x x --⎛⎫'=+=-+ ⎪⎝⎭，因为0,0a x >>，故10ex a x +>，所以当01x <<时，()0g x ¢>，当1x >时，()0g x ¢<，故()g x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上减函数，因为函数()g x 有两个零点，故()()max 110e g x g a ==-+>即10ea <<，又当10ea <<时，对任意10e a x -<<，有：ln ln ln 10ex xa x ax a x x a x -+<+<+<，故此时()g x 在()0,1上有且只有一个零点.下证：当e x >时，总有2ln x x >成立，设()2ln S x x x =-，则()20x S x x-'=>，故()S x 在()e,+∞上为增函数，故()()e e 20S x S >=->，即2ln x x >成立.故当e x >时有2e x x >.由（1）可得ln e e x xx x a x ax a -+≤-+，故当11(e)x a a >>时，11ln 0e x x axa x ax a x x--+<-+=<，故此时()g x 在()1,+∞上有且只有一个零点.综上，当()g x 有两个零点时，10ea <<.22.数学中有许多寓意美好的曲线，在极坐标系中，曲线:sin3()C ρθρ=∈R 被称为“三叶玫瑰线”（如图所示）．（1）当[0,)θπ∈，求以极点为圆心，22为半径的圆与三叶玫瑰线交点的极坐标；（2）设点P 是由（1）中的交点所确定的圆M 上的动点，直线:cos 24l πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求点P 到直线l 的距离的最大值．【答案】（1）2223211,,,,,2122424212ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）322.【解析】【分析】（1）由sin 322ρθρ=⎧⎪⎨=⎪⎩可得2sin 32θ=，然后解出θ的值即可；（2）将圆M 和直线l 的极坐标方程转化为直角坐标方程，然后可求出答案.【详解】（1）由sin 322ρθρ=⎧⎪⎨=⎪⎩可得2sin 32θ=，所以324k πθπ=+或()3324k k Z πθπ=+∈所以2312k ππθ=+或()234k k Z ππθ=+∈因为[0,)θπ∈，所以311,,,124412ππππθ=所以交点的极坐标为2223211,,,,,,,2122424212ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）由（1）可得圆M 的极坐标方程为22ρ=，转化为直角坐标方程为2212x y +=直线:cos 24l πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的直角坐标方程为2x y -=所以点P 到直线l 23222+=23.已知函数()|1||2|f x x x =-++.（1）求不等式()5f x ≤的解集；（2）若不等式()21f x x ax ≥-+的解集包含[]1,1-，求实数a 的取值范围.【答案】(1)[] 3,2-；(2)[]1,1-.【解析】【分析】（1）分类讨论，求解不等式即可；（2）将问题转化为二次函数在区间上恒成立的问题，列出不等式组即可求得.【详解】（1）当2x ≤-时，()5f x ≤等价于215x --≤，解得[]3,2x ∈--；当21x -<<时，()5f x ≤等价于35≤，恒成立，解得()2,1x ∈-；当1x ≥时，()5f x ≤等价于215x +≤，解得[]1,2x ∈；综上所述，不等式的解集为[]3,2-.（2）不等式()21f x x ax ≥-+的解集包含[]1,1-，等价于()21f x x ax ≥-+在区间[]1,1-上恒成立，也等价于220x ax --≤在区间[]1,1-恒成立.则只需()22g x x ax =--满足：()10g -≤且()10g ≤即可.即120,120a a +-≤--≤，解得[]1,1a ∈-.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，以及二次函数在区间上恒成立的问题，属综合基础题.。
四川省绵阳市2019-2020学年高二上学期期末数学(理)试题(解析版)
高中2018级第三学期末教学质量测试理科数学本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷共4页，答题卡共6页。
满分100分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上.1.已知点(4,1,3)A --，则点A 关于原点的对称点的坐标为（ ） A. ()4,1,3- B. (4,1,3)-C. (3,1,4)-D. (3,1,4)-【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中点的位置关系可得,点A 关于原点的对称点的坐标就是取原来横坐标、纵坐标、竖坐标数值的相反数,据此即可求解.【详解】因为点(4,1,3)A --,根据空间中点的位置关系可得,点A 关于原点的对称点的坐标就是取原来横坐标、纵坐标、竖坐标数值的相反数, 所以点A 关于原点的对称点的坐标为(4,1,3)-. 故选:B【点睛】本题主要考查对称点的求法;熟练掌握空间直角坐标及坐标系中点之间的位置关系是求解本题的关键;属于基础题.2.已知一直线经过两点(2,4)A ，(,5)B a ，且倾斜角为135°，则a 的值为（ ） A. -1 B. -2 C. 2 D. 1【答案】D 【解析】 【分析】已知倾斜角求出斜率,然后把(2,4)A ，(,5)B a 代入斜率公式即可求解.【详解】由直线斜率的定义知,tan1351AB k ==-o,由直线的斜率公式可得,542AB k a -=-， 所以5412a -=--,解得1a =. 故选:D【点睛】本题考查直线的倾斜角与斜率公式;熟练掌握斜率公式是求解本题的关键;属于基础题.3.现有两个调查抽样：（1）某班为了了解班级学生在家表现情况决定从10名家长中抽取3名参加座谈会；（2）某研究部门在高考后从2000名学生（其中文科400名，理科1600名）中抽取200名考生作为样本调查数学学科得分情况.给出三种抽样方法：Ⅰ.简单随机抽样法；Ⅱ.系统抽样法；Ⅲ.分层抽样法. 则问题（1）、（2）选择的抽样方法合理的是（ ） A. （1）选Ⅲ，（2）选Ⅰ B. （1）选Ⅰ，（2）选Ⅲ C. （1）选Ⅱ，（2）选Ⅰ D. （1）选Ⅲ，（2）选Ⅱ 【答案】B 【解析】 【分析】分析题意,根据简单随机抽样法、系统抽样法、分层抽样法的特征判断即可.【详解】对于()1中,个体无差异且总体数量不多,抽取的样本数量不多,故选择简单随机抽样; 对于()2中, 2000名学生明显分成两类:文科400名，理科1600名，故选择分层抽样; 故选:B【点睛】本题考查三种不同的抽样方法的选取：总体和样本容量较少的选取简单随机抽样，个体数样本容量较多且个体之间无明显差异选取系统抽样，个体之间有明显差异和分类的选取分层抽样;属于基础题、常考题型.4.如果椭圆22163x y +=的弦被点(1,1)M 平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）A. 230x y ++=B. 230x y -+=C. 230x y +-=D. 230x y +-=【答案】C 【解析】 【分析】设过点(1,1)M 的直线与椭圆的两个交点为()()1122,,,A x y B x y ,利用点差法：把()()1122,,,A x y B x y 代入椭圆22163x y +=,然后作差,再结合中点坐标公式即可求出直线AB l 的斜率,代入直线的点斜式方程即可求解.【详解】设过点(1,1)M 的直线与椭圆的两个交点为()()1122,,,A x y B x y , 由题意知,()()1122,,,A x y B x y 满足椭圆方程,所以22112222163163x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,两式相减可得, ()()()()12121212063x x x x y y y y +--++=,因为线段AB 的中点为(1,1)M ,所以由中点坐标公式可得,12121212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ ,即121222x x y y +=⎧⎨+=⎩， 所以()()121222063x x y y --+=,即121212y y x x -=--, 所以直线AB l 的斜率为ABk =121212y y x x -=--,由直线的点斜式方程可得，直线AB l 的方程为()1112y x -=--, 所以所求的直线方程为230x y +-=. 故选:C【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系;设两个交点坐标,利用点差法求出直线的斜率是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.5.口袋里装有大小相同的5个小球，其中2个白球，3个红球，现一次性从中任意取出3个，则其中至少有1个白球的概率为（ ） A.910B.710C.310D.110【答案】A 【解析】 【分析】根据题意,求出总的基本事件数和至少有1个白球包含的基本事件数,然后利用古典概型的概率计算公式求解即可.【详解】由题意可知,从5个大小相同的小球中,一次性任意取出3个小球包含的总的基本事件数为n =35C 10=,一次性任意取出的3个小球中,至少有1个白球包含的基本事件数为122123239m C C C C =+=,由古典概型的概率计算公式得,一次性任意取出的3个小球中,至少有1个白球的概率为910m P n ==. 故选:A【点睛】本题考查利用组合数公式和古典概型的概率计算公式求随机事件的概率；正确求出总的基本事件数和至少有1个白球包含的基本事件数是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.6.若抛物线22(0)y px p =>的焦点是椭圆2212x y p p+=的一个焦点，则p =（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆与抛物线的定义,结合抛物线与椭圆有共同的焦点,列出关于p 的方程,解方程即可.【详解】由题意可知,抛物线22(0)y px p =>的焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭,因为椭圆为221 2x yp p+=,所以2222c a b p p p=-=-=,所以椭圆的焦点坐标为(),0p±,所以2pp=,解得4p=.故选:C【点睛】本题考查椭圆与抛物线的定义及其标准方程;考查综合运用能力和运算求解能力;属于基础题.7.如图，一个边长为2的正方形里有一个月牙形的图案，为了估算这个月牙形图案的面积，向这个正方形里随机投入500粒芝麻，经过统计，落在月牙形图案内的芝麻有150粒，则这个月牙图案的面积约为（）A.35B.45C. 1D.65【答案】D【解析】【分析】利用与面积有关的几何概型概率计算公式求解即可. 【详解】由题可知,正方形的面积为=22=4S⨯正,设这个月牙图案的面积为S, 由与面积有关的几何概型概率计算公式可得,向这个正方形里随机投入芝麻,落在月牙形图案内的概率为150=4500S SPS==正,解得65S=.故选:D【点睛】本题考查与面积有关的几何概型概率计算公式;属于基础题、常考题型.8.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，则双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的渐近线方程为（ ）A. 2y x =±B. 34y x =?C. 43y x =±D. 3y x =±【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的离心率公式得到,a b 的关系式,再利用双曲线的渐近线方程即可求解.【详解】因为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>离心率为12, 所以12c e a ==,因为222b a c =-,所以b =， 因为双曲线的渐近线方程为ay x b=±, 所以所求的渐近线方程为y x =. 故选:D【点睛】本题考查椭圆与双曲线的几何性质;考查运算求解能力;熟练掌握椭圆中,,a b c 的关系和双曲线的渐近线方程是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.9.“双11”活动期间，绵阳某商场举行“买的多送的多”优惠活动：购买某件商品的销件数和平均价格有如下对应数据：根据上表数据可得回归方程ˆ 2.126.9yx =-+，则实数a 的值为（ ） A. 19B. 20C. 21D. 22【答案】B 【解析】 【分析】根据回归方程经过样本中心点(),x y ，求出x 代入回归方程求出y 即可求出实数a . 【详解】由表中数据可得,3x =,由回归方程ˆ 2.126.9yx =-+经过样本中心点(),x y 可得, 2.1326.920.6y =-⨯+=，即2523181720.65a ++++=,解得20a =.故选:B【点睛】本题考查回归直线方程经过样本中心点;考查运算求解能力;属于基础题.10.已知F 是抛物线22y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，||||8AF BF +=，则线段AB 的中点到y轴的距离为（ ）A. 72B. 52C. 4D. 3【答案】A 【解析】 【分析】根据题意,求出准线方程,利用抛物线的定义:抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,列出方程求出,A B 中点的横坐标即可.【详解】因为抛物线方程为22y x =,所以其准线方程为12x =-，设()()1122,,,A x y B x y ,由抛物线的定义知,121122AF BF x x +=+++8=，所以127x x +=,由中点坐标公式可得,,A B 中点的横坐标为12722x x +=,所以线段AB 的中点到y 轴的距离为72. 故选:A【点睛】本题考查抛物线的定义和中点坐标公式;运用抛物线的定义把到焦点的距离转为到准线的距离是求解本题的关键;属于基础题.11.已知两点(A ，B ，以及圆C : 222(2)(2)(0)x y r r -+-=>，若圆C 上存在点P ，满足0AP PB ⋅=u u u r u u u r，则r 的取值范围是（ ）A. B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】由0AP PB ⋅=u u u r u u u r知AP BP ⊥,即点P 在以AB 为直径的圆上, 又点P 在圆C 上,据此可得两圆必有公共点,根据圆心距和半径之间的关系,列不等式求解即可. 【详解】因为0AP PB ⋅=u u u r u u u r,所以AP BP ⊥, 即点P 在以AB 为直径的圆上, 又因为点P 在圆C 上,所以点P 为两圆的公共点,即两圆必有公共点,因为(A ,B ， 设以AB 为直径的圆的圆心为O ,则圆O 的圆心为()0,0O ,, 因为圆C 的圆心为()2,2,半径为r ,所以可得,r r ≤≤+,解得r ≤≤故选:B【点睛】本题考查圆与圆的位置关系及向量垂直的数量积表示;考查运算求解能力和转化与化归能力;把存在性问题转化为判断两圆的位置关系问题是求解本题的关键;属于中档题.12.直线过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点F 和上顶点A ，与圆22(2)25x y -+=交于P ，Q 两点，若线段PQ 的中点坐标为(1,3)，则椭圆离心率为（ ）A.B.C.D.13【答案】C 【解析】 【分析】根据题意,求出点(),0F c -,()0,A b ,利用斜率公式表示出PQ k ,设点()()1122,,,P x y Q x y ,利用点差法：把点()()1122,,,P x y Q x y 分别代入圆的方程,然后两式相减,利用线段PQ 的中点坐标为(1,3),结合中点坐标公式求出PQ k ,进而求出,b c 的关系,求出椭圆的离心率. 【详解】由题意知,点(),0F c -,()0,A b , 由斜率公式可得,()00PQ b bk c c -==--,所以直线PQ l 的方程为by x b c=+, 设点()()1122,,,P x y Q x y ,因为P ，Q 两点在圆22(2)25x y -+=上,所以()()22112222225225x y x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩,两式相减可得, ()()()()1212121240x x x x y y y y +--+-+=，因为线段PQ 的中点坐标为(1,3),由中点坐标公式可得,121226x x y y +=⎧⎨+=⎩,所以()()()12122460x x y y -⨯-+-⨯=,化简可得,121213PQ y y k x x -==-,所以13b c =,因为222a b c =+,所以椭圆的离心率10c e a ===. 故选:C【点睛】本题考查椭圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系及点差法和中点坐标公式的应用;点差法的运用是求解本题的关键;考查运算求解能力和逻辑思维能力;属于中档题.二、填空题13.在区间[1,7]上随机选取一个数a ，则4a ≤的概率为________. 【答案】12【解析】 【分析】利用与长度有关的几何概型概率计算公式求解即可. 【详解】由题意知,区间[1,7]的长度为716-=, 因为4a ≤,所以[]1,4a ∈,其区间长度为413-=, 由与长度有关的几何概型概率计算公式可得,4a ≤的概率为3162P ==. 故答案为:12【点睛】本题考查与长度有关的几何概型概率计算公式;属于基础题.14.直线()1 20x m y +++=与直线 2 10m x y m +++=平行，则m 的值为________. 【答案】2- 【解析】 【分析】利用两直线平行的充要条件:12211221,A B A B B C B C =≠，列出关于m 的方程求解即可.【详解】由题意知,()121,m m ⨯=+且()()1122m m ++≠⨯, 解得2m =-. 故答案为:2-【点睛】本题考查两直线平行的充要条件；解决此类问题时需注意斜率不存在的情况和两直线重合的情况,亦是易错点;属于基础题.15.过椭圆2212x y +=的右焦点作一条斜率为1的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则AOB ∆的面积为_______. 【答案】23【解析】 【分析】根据题意,求出点F 和直线l 方程,将其代入椭圆方程,消去x 得到关于y 的一元二次方程,设()()1122,,,A x y B x y ,解方程求出方程根,求出AOB ∆的面积即可.【详解】由题意可知,椭圆2212x y +=的右焦点为()1,0F ,所以直线l 方程为1y x =-，将其代入椭圆2212x y +=,消去x 整理可得,23210y y +-=,设()()1122,,,A x y B x y ,则1211,3y y =-=, 所以AOB ∆的面积为12114212233AOB S y y OF ∆=-⋅=⨯⨯=. 故答案为:23【点睛】本题考查椭圆的标准方程及其性质和直线与椭圆的位置关系;考查运算求解能力和转化与化归能力;属于中档题、常考题型. 16.已知点M 为点()3,0P -在动直线2(1)20kx k y +++=上的射影，若点N 的坐标为(2,3)，则MN 的取值范围是_________.【答案】55,55⎡⎤-+⎣⎦【解析】 【分析】直线方程2(1)20kx k y +++=可变形为()220k x y y +++=,由此可得,直线方程2(1)20kx k y +++=过直线20x y +=和20y +=的交点,结合图形可知,点M 在以PQ 为直径的圆上,由点与圆的位置关系可得,NF r MN NF r -≤≤+,进而求出MN 的取值范围即可.【详解】由题意可知,直线方程2(1)20kx k y +++=可变形为()220k x y y +++=,联立方程2020x y y +=⎧⎨+=⎩,解得12x y =⎧⎨=-⎩,即直线2(1)20kx k y +++=为过定点Q ()1,2-的直线系方程, 根据题意,作图如下:则PM MQ ⊥,25PQ =即点M 在以PQ 为直径的圆上,因为点N 的坐标为(2,3), 所以线段MN 的长度满足55NF MN NF ≤≤, 因为点F 为()1,1--,由两点间距离公式可得,5NF =, 所以5555MN ≤≤+故答案为:55,55⎡⎤⎣⎦【点睛】本题考查过两直线交点的直线系方程和圆的有关性质及点与圆的位置关系;考查逻辑推理能力和运算求解能力;抽象出直线过定点Q 和点M 在以PQ 为直径的圆上是求解本题的关键;属于难度较大型试题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
四川省绵阳市高二上册期末数学试题与答案
四川省绵阳市高二上册期末数学试题与答案第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，是空间直角坐标系中的两点，则（）A. 3B.C. 9D.【答案】A由空间中两点间距离公式直接计算即可.因为，，所以.故选A本题主要考查空间中两点间的距离，熟记公式即可求解，属于基础题型.2.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C根据直线的斜率直接求出直线的倾斜角即可.因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，即故选：C.本题目主要考查了直线的斜率和倾斜角的关系.3.利用独立性检验的方法调查高中生性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动，利用列联表，由计算可得，参照下表：0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.7063.841 5,024 6.635 7.879 10.828得到的正确结论是（）A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】B由，结合临界值表，即可直接得出结果.由，可得有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.故选B本题主要考查独立性检验，会对照临界值表，分析随机变量的观测值即可，属于基础题型.4.直线和直线垂直，则实数的值为（）A. -2B. 0C. 2D. -2或0【答案】D由两直线垂直，得到系数之间的关系，进而可求出结果.因为直线和直线垂直，所以，即，解得或.故选D本题主要考查由两直线垂直求参数的值，结合两直线垂直的充要条件，即可求解，属于基础题型.5.甲、乙两名同学参加校园歌手比赛，7位评委老师给两名同学演唱比赛打分情况的茎叶图如图（单位：分），则甲同学得分的平均数与乙同学得分的中位数之差为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B由茎叶图直接求出甲的平均数和乙的中位数，由此得出结果.由茎叶图得：甲的平均数乙的中位数为83即甲的平均数与乙的中位数之差为85-83=2故选：B.本题考查了对茎叶图得认识，以及平均数和中位数的求法.6.某运动员每次射击命中不低于8环的概率为，命中8环以下的概率为，现用随机模拟的方法估计该运动员三次射击中有两次命中不低于8环，一次命中8环以下的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0、1、2、3、4、5表示命中不低于8环，6、7、8、9表示命中8环以下，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，产生了如下20组随机数：据此估计，该运动员三次射击中有两次命中不低于8环，一次命中8环以下的概率为（）A. B.C. D.【答案】C根据随机数表，列举出该运动员三次射击中有两次命中不低于8环，一次命中8环以下的情况，结合概率计算公式即可求解.由题意可得，表示“该运动员三次射击中有两次命中不低于8环，一次命中8环以下的情况”有：207,815,429,027,954,409,472,460,共8组数据，所以该运动员三次射击中有两次命中不低于8环，一次命中8环以下的概率为.故选C本题主要考查列举法求古典概型的概率，熟记概率公式，即可求解，属于基础题型.7.执行如图的程序框图，输出的的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B按顺序执行框图，即可求出结果.执行程序框图可得：第一步：；第二步：；第三步：；第三步：输出.故选B本题主要考查程序框图，按顺序逐步执行框图，即可得出结果，属于基础题型.8.用系统抽样法从130件产品中抽取容量为10的样本，将130件产品从1～130编号，按编号顺序平均分成10组（1～13号，14～26号，…，118～130号），若第9组抽出的号码是114，则第3组抽出的号码是（）A. 36B. 37C. 38D. 39【答案】A利用系统抽样的特点，确定组数和每组的样本数，写出每组抽取号码的表达式，确定第一组的抽取号码，带入求出第三组的号码.由题，可知系统抽样的组数为10组，间隔为13，设第一组抽取的号码为x，有系统抽样的法则，可知第n组抽取的号码为x+13(n-1)，所以第9组抽取的号码为：x+13(9-1)=114，解得x=10,所以第3组抽取的号码为：10+13(3-1)=36故选：A.本题目考查了系统抽样的法则，可知第n组抽的个数号码为x+间隔（组数-1），属于基础题.9.从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是（）A. 取出2个红球和1个白球B. 取出的3个球全是红球C. 取出的3个球中既有红球也有白球D. 取出的3个球中不止一个红球【答案】D根据题意，得出取3个球的所有情况，利用对立事件的概念得出结果.从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球可能的情况有：“3个红球”“1红2白”“2红1白”，所以事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是“3红或是2红1白”即“3个球不止一个红球”故选：D.本题主要考查了对立事件的概念，属于基础题.10.若双曲线与双曲线有公共点，则双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C两双曲线有公共点，只需分别求出两双曲线的渐近线，比较斜率即可求出结果.由得的渐近线方程为，由得的渐近线方程为，因为双曲线与双曲线有公共点，所以只需，即，即，即，解得.故选C本题主要考查双曲线的简单性质，双曲线有交点的问题，转化为渐近线之间的关系即可求解，属于基础题型.11.已知直线和圆，若是在区间上任意取一个数，那么直线与圆相交且弦长小于的概率为（）A. B. C. D.【答案】D先据题意求出满足条件的r的范围，利用区间长度之比求出满足条件的概率即可.由点到直线的距离公式可得因为直线与圆相交，所以相交弦的长度为由题知解得所以弦长小于的概率故选：D.本题目考查了直线与圆相交问题和几何概型的综合知识，注意直线与圆相交r的取值，属于中档题.12.已知点在离心率为的椭圆上，是椭圆的一个焦点，是以为直径的圆上的动点，是半径为2的圆上的动点，圆与圆相离且圆心距，若的最小值为1，则椭圆的焦距的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C由圆与圆相离且圆心距，以及的最小值为1，可得圆的直径，即的长，再由在椭圆上，可得，进而可求出结果.因为是以为直径的圆上的动点，是半径为2的圆上的动点，圆与圆相离且圆心距，又的最小值为1，所以，解得，又因在椭圆上，所以，因为离心率为，所以,所以，故，所以.故选C本题主要考查椭圆的简单性质，做题的关键在于，由两圆相离先确定的长，进而可根据椭圆的性质，即可求出结果，属于常考题型.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.抛物线的焦点坐标是__________．【答案】由抛物线的标准方程，可直接写出其焦点坐标.因为抛物线方程为，所以焦点在轴上，且焦点为.故答案为本题主要考查由抛物线的方程求焦点坐标的问题，属于基础题型.14.某高速公路移动雷达测速检测车在某时段对某段路过往的400辆汽车的车速进行检测，根据检测的结果绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图的数据估计400辆汽车中时速在区间的约有__________辆．【答案】280通过频率分布直方图，利用频数=频率样本容量求得结果。
选修2-1学霸必刷题 空间向量与立体几何(选择题、填空题)
空间向量与立体几何（选择题、填空题）一、单项选择题1．（江西省赣州市赣县第三中学2020-2021学年高二8月入学考试）已知点(,1,2)A x 和点(2,3,4)B ，且AB =x 的值是（ ）A ．6或2-B ．6或2C ．3或4-D ．3-或4【答案】A【解析】AB ==()2216x -=，解得：2x =-或6x =．故选A2．（2020江西省新余期末质量检测）在空间直角坐标系中，已知P(－1，0，3)，Q(2，4，3)，则线段PQ 的长度为( )A B ．5C D 【答案】B【解析】由题得2(3,4,0),35PQ PQ =∴=+=，所以线段PQ 的长度为5． 故答案为B3．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知空间向量()3,1,3m =，()1,,1n λ=--，且//m n ，则实数λ=（ ）A ．13- B ．-3 C ．13D ．6【答案】A【解析】因为//m n ，所以,m n R μμ=∈，即：()3,1,3m ==(),,n μλμμμ--=， 所以3,1μλμ=-=，解得13λ=-．故选A ．4．（江西省新余一中、宜春一中2021届高二联考）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是1D D 的中点，N 是11A B 的中点，则直线NO ，AM 的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面垂直D ．异面不垂直【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，写出NO 与AM 的坐标，即可判断位置关系．【解析】建立空间直角坐标系，如图所示．设正方体的棱长为2，则(2,0,0)A ，(0,0,1)M ，(1,1,0)O ，(2,1,2)N ，∴(1,0,2)NO =--，(2,0,1)AM =-．∵0NO AM ⋅=，∴直线NO ，AM 的位置关系是异面垂直． 故选: C5．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点,E F 分别是,BC AD 的中点，则AE AF ⋅的值为（ ） A ．2aB ．212aC ．214a D 2 【答案】C【分析】由题意可得11()22AB AC AE AF AD ⋅=+⋅，再利用两个向量的数量积的定义求得结果．【解析】11()22AB AC AE AF AD ⋅=+⋅1()4AB AD AC AD =⋅+⋅ ()22211cos60cos6044a a a ︒︒=+=，故选C. 6．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知M ，N 分别是四面体OABC 的棱OA ，BC 的中点，点P 在线段MN 上，且2MP PN =，设向量OA a =，OBb =，OC c =则OP =（ ）A ．111666a b c ++B ．111333a b c ++C ．111633a b c ++D ．111366a b c ++【答案】C【解析】如图所示，连接ON ，∵OP ON NP =+，1()2ON OB OC =+，所以13NP NM =，NM OM ON =-，12OM OA =，∴13OP ON NP ON NM =+=+121()333ON OM ON ON OM =+-=+21()32OB OC =⨯+1132OA +⨯111633OA OB OC =++111633a b c =++．故选C ． 7．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）若两条不重合直线1l 和2l 的方向向量分别为()11,0,1ν=-，()22,0,2ν=-，则1l 和2l 的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交 C ．垂直D ．不确定【答案】A【解析】因为两条不重合直线1l 和2l 的方向向量分别为()11,0,1ν=-，()22,0,2ν=-， 所以212v ν=-，即2ν与1v 共线，所以两条不重合直线1l 和2l 的位置关系是平行，故选A8．（山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试）设,x y R ∈，向量()()(),1,1,1,,1,2,4,2,a x b y c ===-且,//a c b c ⊥，则a b +=（ ）A ．BC ．3D ．4【答案】C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示求得参数,x y ，再求向量模长即可． 【解析】()//,241,2,1,21b c y y b ∴=-⨯∴=-∴=-，，(),1210,1a b a b x x ⊥∴⋅=+⋅-+=∴=，()()1,112,1,2a a b ∴=∴+=-，，(2213a b ∴+=+-=，故选C ．9．（江西省宜春市2016-2017学年高二上学期期末统考理）如图所示，在空间四边形OABC 中，OA a OB b OC c ==＝，，，点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC 中点，则MN =（ ）A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++ C ．111222a b c +-D ．221b 332a c -+-【答案】B【解析】由向量的加法和减法运算：12211()23322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++．故选B10．（陕西省商洛市商丹高新学校2019-2020学年高二下学期4月学情质量检测数学（理））如图，已知正方体ABCD A B C D ''''-，点E 是A C ''的中点，点F 是AE 的三等分点，且12AF EF =，则AF =（ ）A ．1122AA AB AD '++ B ．111222AA AB AD '++ C ．111266AA AB AD '++D ．111366AA AB AD '++【答案】D【解析】∵点E 是A C ''的中点，点F 是AE 的三等分点，且12AF EF =， ∴111111()333236AF AE AA A E AA A C AA A C ⎛⎫''''''''==+=+=+ ⎪⎝⎭ 11()36AA A B A D '''''=++111366AA AB AD '=++，故选D ． 11．（安徽省六安市舒城中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学（文）试题）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】D【解析】()2i i i AB AP AB AB BP AB AB BP ⋅=⋅+=+⋅，AB ⊥平面286BP P P ，i AB BP ∴⊥，i AB BP ∴⋅=，21i AB AP AB ∴⋅==，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为1个，故选D .12．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）点P (1，2，3）关于xOy 平面的对称点的坐标为（ ） A ．(－1，2，3) B ．(1，－2，－3) C ．(－1，－2，－3) D ．(1，2，－3)【答案】D【分析】关于xOy 平面对称的点的,x y 坐标不变，只有z 坐标相反． 【解析】点P (1，2，3）关于xOy 平面的对称点的坐标为(1,2,)3-．故选D ．13．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）若向量(2,0,1)a =-，向量(0,1,2)b =-，则2a b -=（ ）A ．(4,1,0)-B ．(4,1,4)--C ．(4,1,0)-D ．(4,1,4)--【答案】C【分析】根据题意求出2(4,0,2)a=-，再根据向量的减法坐标运算，由此即可求出结果．【解析】因为向量(2,0,1)a =-，向量(0,1,2)b =-，则2(4,0,2)a =-，则2(4,0,2)(0,1,2)(4,1,0)a b -=---=-，故选C ．14．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 是上底面11A C 的中心，若1AE AA xAB yAD =++，则x y +等于（ ） A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】C【解析】如图，()111111112AE AA A E AA A B A D =+=++ ()11111222AA AB AD AA AB AD =++=++，所以12x y ==，所以1x y +=．故选C15．（江苏省南京市秦淮区2019-2020学年高一下学期期末）空间直角坐标系O xyz -中，已知两点()11,2,1P -，()22,1,3P -，则这两点间的距离为（ ）A BC ．D ．18【答案】B【解析】根据题意，两点()11,2,1P -，()22,1,3P -，则12||PP =B ．16．（湖北省恩施高中2020届高三下学期四月决战新高考名校交流卷（B ））已知向量()1,2a =，()3,b x =，()1,1c y =--，且//a b ，b c ⊥，则x y ⋅的值为（ ）A ．6B ．32 C ．9D ．132-【答案】C【解析】∵//a b ，∴60x -=，6x =，∴向量()3,6b =， ∵b c ⊥，∴()3610y -+-=，∴32y =，∴9x y ⋅=．故选C ． 17．（四川省绵阳市2019-2020学年高二下学期期末教学质量测试数学（理）试题）在空间直角坐标系中，若()1,1,0A ，()13,0,12AB =，则点B 的坐标为（ ） A ．()5,1,2-- B ．()7,1,2- C ．()3,0,1 D ．()7,1,2【答案】D【分析】首先设出点(,,)B x y z ，利用向量坐标公式以及向量相等的条件得到等量关系式，求得结果． 【解析】设(,,)B x y z ，所以(1,1,)2(3,0,1)(6,0,2)AB x y z =--==，所以16102x y z -=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，所以712x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以点B 的坐标为(7,1,2)，故选D ．18．（广东省云浮市2019-2020学年高二上学期期末）如图，在三棱锥P ABC -中，点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点，设PA a =，PB b =，PC c =，则EF =（ ）A ．111442a b c --B ．111442a b c -+ C ．111442a b c +-D ．111442a b c -++【答案】D 【解析】点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点，且PA a =，PB b =，PC c =，∴()11112224EF EP PC CF PA PC CD PA PC CA CB =++=-++=-+++()1111124442PA PC PA PC PB PC PA PB PC =-++-+-=-++111442a b c =-++．故选D ．19．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）一个向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()1,2,3，则p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为（ ）A ．31322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，B ．31322⎛⎫- ⎪⎝⎭，， C ．13322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，D ．13322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，【答案】B【解析】因为向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()1,2,3，所以23p a b c =++， 设p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为(),,x y z ，所以()()()()p x a b y a b zc x y a x y b zc =++-+⇒++-+，有13223x y x y x z +=⎧⎪-=⇒=⎨⎪=⎩，12y，3z =，p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选B ．20．（湖北省武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟2020-2021学年高三上学期起点联考）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，12AA AB ==，60BAD ∠=︒，M 是1BB 的中点，则异面直线1A M 与1B C所成角的余弦值为（ ）A． B ．15- C ．15D．5【答案】D【分析】用向量1,,AB BC BB 分别表示11,AM BC ，利用向量的夹角公式即可求解． 【解析】由题意可得221111111111,5,2A M AB B M AB BB A M A B B M=+=-=+=221111,2BC BC BB B C BC BB =-=+=，()211111111111cos ,AB BB BC BB AB BC BB A M B C A M B C A M B C⎛⎫-⋅-⋅+ ⎪⋅⎝〈〉===0122cos604⨯⨯+⨯==故选D21．（河北省石家庄市第二中学2020-2021学年高二上学期8月线上考试（二））长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB AD AA E ===为棱1AA 的中点，则直线1C E 与平面11CB D 所成角的余弦值为（ ） A．9 B．9CD ．23【答案】A【解析】根据题意，建立如图所示直角坐标系：则1C E (1,1,1)=--，设平面11B D C 的法向量为n (,,)x y z =，则100n B D n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得：020x y x z --=⎧⎨--=⎩，取n (2,2,1)=--，则1,cos n C E =11n C E nC E⋅9==，设直线1C E 与平面11B D C 的夹角为θ，则9sin θ=，9cos θ==．故选A ． 22．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知点()1,1,A t t t --，()2,,B tt ，则A ，B 两点的距离的最小值为A．10 B．5C．5D ．35【答案】C【分析】由两点之间的距离公式求得AB 之间的距离用t 表示出来，建立关于t 的函数，转化为求函数的最小值．【解析】因为点()1,1,A t t t --，()2,,B t t ，所以22222(1)(21)()522AB t t t t t t =++-+-=-+，有二次函数易知，当15t =时，取得最小值为95，AB ∴，故选C ．23．（湖南省邵阳市邵东县第十中学2020届高三下学期模拟考试数学（文）试题）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是棱AB ，1BB 的中点，点P 在对角线1CA 上运动．当△PMN 的面积取得最小值时，点P 的位置是（ ）A ．线段1CA 的三等分点，且靠近点1AB ．线段1CA 的中点C ．线段1CA 的三等分点，且靠近点CD ．线段1CA 的四等分点，且靠近点C【答案】B【解析】设正方体的棱长为1，以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则1(,0,0)2M ，1(1,0,)2N ，MN 的中点31(,0,)44Q ，1(0,0,1)A ，(1,1,0)C ，则1(1,1,1)AC =-，设(,,)P t t z ，(1,1,)PC t t z =---， 由1AC 与PC 共线，可得11111t t z---==-，所以1t z =-，所以(1,1,)P z z z --，其中01z ≤≤，因为||(1PM ==||(11)(1PN z =--+=所以||||PM PN =，所以PQ MN ⊥，即||PQ 是动点P 到直线MN 的距离，由空间两点间的距离公式可得||PQ ===12c =时，||PQ 取得最小值4，此时P 为线段1CA 的中点，由于||4MN =为定值，所以当△PMN 的面积取得最小值时，P 为线段1CA 的中点．故选B24．（云南省梁河县第一中学2019-2020学年高二7月月考数学（理）试题）长方体1111ABCD A B C D -中，12AB AA ==，1AD =，E 为1CC 的中点，则异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值为（ ）A BCD ．【答案】B【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值．【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A 、()2,0,0B 、()12,1,2C 、()2,1,1E ，()2,1,1AE =，()10,1,2BC =，111cos ,6AE BC AE BC AEBC ⋅<>===⋅． 因此，异面直线1BC 与AE ．故选B ． 25．（广西桂林市2019-2020学年高二下学期期末质量检测数学（理））在正方体ABCD --A 1B 1C1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成角的正弦值为( ) A．5-B．5C ．D 【答案】B【分析】以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE 与平面1B BD 所成角的正弦值．【解析】以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()000D ，，，()220B ，，，()1222B ，，，()021E ，，， ∴() 220BD =--，，，()1 002BB =，，，() 201BE =-，，， 设平面1B BD 的法向量为() ,,x n y z =，∵ n BD ⊥，1n BB ⊥， ∴22020x y z --=⎧⎨=⎩，令y 1=，则() 110n =-，，，∴10cos ,n BE n BE n BE ⋅==⋅，设直线BE 与平面1B BD 所成角为θ，则10sin cos ,5n BE θ==，故选B ．26．（陕西省商洛市商丹高新学校2020届高三下学期考前适应性训练理科）如图在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱12AA =且1160A AD A AB ∠=∠=︒，则1AC =（ ）A ． BC ．D 【答案】B【解析】因为底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱12AA =且1160A AD A AB ∠=∠=︒，则2=1AB ，2=1AD ，21=4AA ，0AB AD ⋅=，111cos 1AB AA AB AA A AB ⋅=⋅⋅∠=，111cos 1AD AA AD AA A AD ⋅=⋅⋅∠=，则1AC 1AB AD AA =++()1222111222AB AD AA AB AA AB AD AD AA =+++⋅+⋅+⋅==，故选B ．27．（2020届上海市七宝中学高三高考押题卷）已知MN 是正方体内切球的一条直径，点P 在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PM PN →→⋅的取值范围为（ ） A ．[]0,4 B ．[]0,2 C ．[]1,4D ．[]1,2【答案】B【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可将所求数量积化为21PO →-，根据正方体的特点可确定PO →的最大值和最小值，代入即可得到所求范围．【解析】设正方体内切球的球心为O ，则1OM ON ==，2PM PN PO OM PO ON PO PO OM ON OM ON →→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，MN 为球O 的直径，0OM ON →→∴+=，1OM ON →→⋅=-，21PM PN PO →→→∴⋅=-，又P 在正方体表面上移动，∴当P 为正方体顶点时，PO →P 为内切球与正方体的切点时，PO →最小，最小值为1，[]210,2PO →∴-∈，即PM PN →→⋅的取值范围为[]0,2．故选B ．【点睛】本题考查向量数量积的取值范围的求解问题，关键是能够通过向量的线性运算将问题转化为向量模长的取值范围的求解问题．28．（湖北省荆门市2019-2020学年高二下学期期末）在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，若2AC x AB y BC z CC →→→→''=++，则x y z ++=（ ）A ．52B ．2C ．32D ．116【答案】A【解析】由空间向量的线性运算，得AB BC AC AC CC CC →→→→→→⎛⎫=+=++ ⎪⎭'''⎝， 由题可知，2AC x AB y BC z CC →→→→''=++，则1,1,21x y z ===，所以11,2y z ==， 151122x y z ∴++=++=．故选A ．29．（安徽省六校教育研究会2020-2021学年高三上学期第一次素质测试理科）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知90ABC ∠=︒，P 为侧棱1CC 上任意一点，Q 为棱AB 上任意一点，PQ 与AB 所成角为α，PQ 与平面ABC 所成的角为β，则α与β的大小关系为（ ）A ．αβ=B ．αβ<C ．αβ>D ．不能确定【答案】C【分析】建立空间直角坐标系设()()(),0,,0,,00,0,0P x z Q y x y z >≥≥，利用空间向量法分别求得cos ,cos αβ，然后根据(0,],0,22ππαβ⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦，利用余弦函数的单调性求解．【解析】建立如图所示空间直角坐标系：设()()(),0,,0,,00,0,0P x z Q y x y z >≥≥，则()(),,,0,,0QP x y z QB y =-=-， 所以2222,,QP QB y QP x y z QB y ⋅==++=，所以2cos QP QB QP QBx zα⋅==⋅+又(0,],0,22ππαβ⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦，sin QP CP QPβ⋅==所以cos β=cos cos βα>，因为cos y x = 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递减，所以αβ>，故选C 30．（江西省赣州市赣县第三中学2019-2020学年高二6月份考试数学（理）试题）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，3AB =，14AA =，P 是侧面11BCC B 内的动点，且1AP BD ⊥，记AP 与平面11BCC B 所成的角为θ，则tan θ的最大值为（ ）A ．43B ．53 C ．2D ．259【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线面角的正切值的最大值． 【解析】以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 设(,3,)P x z ，则1(3,3,),(3,3,4)AP x z BD =-=--，11,0AP BD AP BD ⊥∴⋅=，33(3)3340,4x z z x ∴---⨯+=∴=，||BP ∴==9255=， ||5tan ||3AB BP θ∴=，tan θ∴的最大值为53．故选B ．31．（江西省赣州市赣县第三中学2019-2020学年高二6月份考试数学（理）试题）如图，在棱长都相等的正三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱1CC 的中点，E 是棱1AA 上的动点．设AE x =，随着x 增大，平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角是（ ）A ．增大B ．先增大再减小C ．减小D ．先减小再增大【答案】D【解析】设正三棱柱111ABC A B C -棱长为2，,02AE x x =≤≤， 设平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角为α，以A 为坐标原点，过点A 在底面ABC 内与AC 垂直的直线为x 轴，1,AC AA 所在的直线分别为,y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,2,1),(0,0,),(3,1,1),(0,2,1)B D E x BD ED x =-=-，设平面BDE 的法向量(,,)m s t k =，则m BD m ED⎧⊥⎨⊥⎩，即02(1)0t k t x k ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，令k =33,1t x s x =-=+，所以平面BDE的一个法向量(m x=+-，底面ABC的一个法向量为(0,0,1)n =，cos|cos,|m nα=<>==当1(0,)2x∈，cosα随着x增大而增大，则α随着x的增大而减小，当1(,2)2x∈，cosα随着x增大而减小，则α随着x的增大而增大．故选D．32．（山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试）已知空间直角坐标系O xyz-中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q在直线OP上运动，则当QA QB⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（）A．131,,243⎛⎫⎪⎝⎭B．133,,224⎛⎫⎪⎝⎭C．448,,333⎛⎫⎪⎝⎭D．447,,333⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【分析】设(,,)Q x y z，根据点Q在直线OP上，求得(,,2)Qλλλ，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得43λ=时，QA QB⋅取得最小值，即可求解．【解析】设(,,)Q x y z，由点Q在直线OP上，可得存在实数λ使得OQ OPλ=，即(,,)(1,1,2)x y zλ=，可得(,,2)Qλλλ，所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---，则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+， 根据二次函数的性质，可得当43λ=时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q ． 故选C ．【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得关于λ的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力．33．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC ＝4，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为半圆弧的中点，若异面直线BD 和AB 1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为（ ）A ．16+8πB ．32+16πC ．32+8πD ．16+16π【答案】A【解析】设D 在底面半圆上的射影为1D ，连接1AD 交BC 于O ，设1111A D B C O ⋂=． 依题意半圆柱体底面直径4,,90BC AB AC BAC ==∠=︒，D 为半圆弧的中点， 所以1111,AD BC A D B C ⊥⊥且1,O O 分别是下底面、上底面半圆的圆心．连接1OO ， 则1OO 与上下底面垂直，所以11,,OO OB OO OA OA OB ⊥⊥⊥，以1,,OB OA OO 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为()0h h >，则()()()()12,0,0,0,2,,0,2,0,2,0,B D h A B h -，所以()()12,2,,2,2,BD h AB h =--=-，由于异面直线BD 和1AB 所成的角的余弦值为23，所以11238BD AB BD AB ⋅==⋅，即2222,16,483h h h h ===+．所以几何体的体积为2112442416822ππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+．故选A.34．（安徽省阜阳市太和第一中学2020-2021学年高二（平行班）上学期开学考试）在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BC 与平面1A BD 所成角的余弦值为（ ）A ．24B ．23 C ．3 D ．3 【答案】C【分析】分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量后可得所求线面角的余弦值． 【解析】分别以1,,DA DC DD 为,,x y z轴建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，可得()()()()110,0,0,1,1,0,0,1,1,1,0,1D B C A ∴()()()111,0,1,1,0,1,1,1,0BC A D BD =-=--=--， 设(),,n x y z =是平面1A BD 的一个法向量，∴100n A D n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00x z x y +=⎧⎨+=⎩，取1x =，得1y z ==-，∴平面1A BD 的一个法向量为()1,1,1n =--，设直线1BC 与平面1A BD 所成角为θ， ∴11126sin cos ,323BC nBC n BC nθ⋅-=〈〉===⨯， ∴23cos 1sin θθ=-1BC 与平面1A BD 所成角的余弦值是33， 故选C.【点睛】用向量法求二面角大小的两种方法：（1）分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小即为二面角的大小；（2）分别求出二面角的两个半平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二面角大小，解题时要注意结合图形判断出所求的二面角是锐角还是钝角．35．（2020届重庆市第一中学高三下学期6月模拟数学（理）试题）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是底面1111D C B A 内（含边界）的一点，且//AP 平面1DBC ，则异面直线1A P 与BD 所成角的取值范围为（ ）A ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】过A 作平面α平面1DBC ，点P 是底面1111D C B A 内（含边界）的一点，且//AP 平面1DBC ，则P ∈平面α，即P 在α与平面1111D C B A 的交线上，连接111,,AB AD B D ，11DD BB =，则四边形11BDD B 是平行四边形，11B D BD ∴，11B D ∴平面1DBC ，同理可证1AB ∥平面1DBC ，∴平面11AB D ∥平面1DBC ，则平面11AB D 即为α，点P 在线段11B D 上，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 建立如图坐标系，设正方体棱长为1， 则()0,0,0D ，()1,1,0B ，()1,0,0A ，设(),,1P λλ，[]0,1λ∈， ()1,1,0DB ∴=，()1,,1AP λλ=-，21DB AP λ∴⋅=-，2DB =，2AP λ=，设1A P 与BD 所成角为θ，则cos 2DB APDB APθ⋅===⋅ ==12λ=时，cos θ取得最小值为0， 当0λ=或1时，cos θ取得最大值为12，10cos 2θ∴≤≤，则32ππθ≤≤．故选C ． 36．（重庆市第八中学2020届高三下学期第五次月考数学（理）试题）如图，矩形ABCD 中，2AB AD ==E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △．在翻折过程中，直线1A C 与平面ABCD 所成角的正弦值最大为（）A．4B ．6C．14D【答案】A【解析】分别取DE ，DC 的中点O ，F ，则点A 的轨迹是以AF 为直径的圆， 以,OA OE 为,x y 轴，过O 与平面AOE 垂直的直线为z 轴建立坐标系，则()2,1,0C -，平面ABCD 的其中一个法向量为n = (0，0．1)， 由11A O =，设()1cos ,0,sin A αα，则()1cos 2,1,sin CA αα=+-，记直线1A C 与平面ABCD 所成角为θ，则11sin 4cos ||CA nCAn θ⋅===⋅设315cos ,,sin 222t αθ⎡⎤=+∈=≤=⎢⎥⎣⎦ 所以直线1A C 与平面ABCD ，故选A ． 二、多项选择题37．（江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二（美术班）上学期期末）对于任意非零向量()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，以下说法错误的有( )A ．若a b ⊥，则1212120x x y y z z ++=B ．若//a b ，则111222x y z x y z == C ．cos ,a b =><D ．若1111===x y z ，则a为单位向量 【答案】BD【解析】对于A 选项，因为a b ⊥，则1212120a b x x y y z z ⋅=++=，A 选项正确；对于B 选项，若20x =，且20y ≠，20z ≠，若//a b ，但分式12x x 无意义，B 选项错误； 对于C 选项，由空间向量数量积的坐标运算可知cos ,a b =><，C 选项正确；对于D 选项，若1111===x y z，则211a =+=，此时，a 不是单位向量，D 选项错误．故选BD ．38．（2020届百师联盟高三开学摸底大联考山东卷）下面四个结论正确的是（ ） A ．向量(),0,0a b a b ≠≠，若a b ⊥，则0a b ⋅=．B ．若空间四个点P ，A ，B ，C ，1344PC PA PB =+，则A ，B ，C 三点共线． C ．已知向量()1,1,a x =，()3,,9b x =-，若310x <，则,a b 为钝角．D ．任意向量a ，b ，c 满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅． 【答案】AB【解析】由向量垂直的充要条件可得A 正确；1344PC PA PB =+，∴11334444PC PA PB PC -=-即3AC CB =，∴A ，B ，C 三点共线，故B 正确；当3x =-时，两个向量共线，夹角为π，故C 错误；由于向量的数量积运算不满足结合律，故D 错误．故选AB.39．（广东省中山市2019-2020学年高一下学期期末）在空间直角坐标系中，下列结论正确的是（ ） A ．点()2,1,4-关于x 轴对称的点的坐标为()2,1,4 B ．到()1,0,0的距离小于1的点的集合是()(){}222,,11x y z x y z -++<C ．点()1,2,3与点()3,2,1的中点坐标是()2,2,2D ．点()1,2,0关于平面yOz 对称的点的坐标为()1,2,0- 【答案】BCD【解析】对于选项A ：点()2,1,4-关于x 轴对称的点的坐标为()2,1,4---，所以A 不正确； 对于选项B ：点(),,x y z到()1,0,0的距离小于11<，所以B 正确；对于选项C ：点()1,2,3与点()3,2,1的中点坐标是()132231,,2222,2,2⎛⎫=⎪⎝⎭+++，所以C 正确；对于选项D ：由点(),,x y z 关于平面yOz 对称的点的坐标为(),,x y z -，所以D 正确． 故选B C D ．40．（山东省威海市文登区2019-2020学年高二上学期期末）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则下列结论正确的是（ ）A ．211AB AC a ⋅=- B ．212BD BD a ⋅= C ．21AC BA a⋅=- D ．212AB AC a ⋅=【答案】BC【解析】如下图所示：对于A 选项，()2211AB AC AB AC AB AB AD AB a ⋅=⋅=⋅+==，A 选项错误；对于B ，()()()()2221112BD BD AD AB BD DD AD AB AD AB AA AD AB a ⋅=-+=--+=+=，B 选项正确；对于C 选项，()()2211AC BA AB AD AA AB AB a ⋅=+⋅-=-=-，C 选项正确；对于D 选项，()2211AB AC AB AB AD AA AB a ⋅=⋅++==，D 选项错误．故选BC ．41．（福建省泉州市普通高中2019-2020学年毕业班第一次质量检查（理））如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．直线1//BC 平面1A BD B ．11B C BD ⊥C ．三棱锥11C B CE -的体积为13D ．异面直线1B C 与BD 所成的角为60︒【答案】ABD【解析】如图建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()10,0,1A ，()11,0,1B ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，()1B C 0,1,1=-，()11,1,1BD =-，()1,1,0BD =-，()11,0,1BA =-，所以()111011110B C BD =-⨯+⨯+-⨯=，即11BC BD ⊥，所以11B C BD ⊥，故B 正确；()11011101B C BD =-⨯+⨯+-⨯=，12B C =，2BD =，设异面直线1B C 与BD 所成的角为θ，则111cos 2B C BD B C BDθ==，又0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3πθ=，故D 正确；设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，则1·0·0n BA n BD ⎧=⎨=⎩，即0x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取()1,1,1n =，则()10111110n B C =⨯+⨯+⨯-=，即1C n B ⊥，又直线1B C ⊄平面1A BD ，所以直线1//B C 平面1A BD ，故A 正确；111111111111113326C B CE B C CE C CE V B C S V -∆-===⨯⨯⨯⨯=⋅，故C 错误；故选ABD.42．（海南省海南中学2019-2020学年高三第四次月考）如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总是保持1AP BD ⊥，则以下四个结论正确的是（）A ．113P AA D V -=B ．点P 必在线段1BC 上C ．1AP BC ⊥D ．//AP 平面11AC D【答案】BD 【解析】对于A ，P 在平面11BCC B 上，平面11//BCC B 平面1AA D ，P ∴到平面1AA D 即为C 到平面1AA D 的距离，即为正方体棱长，1111111113326P AA D AA D V S CD -∴=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，A 错误；对于B ，以D 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：则()1,0,0A ，(),1,P x z ，()1,1,0B ，()10,0,1D ，()11,1,1B ，()0,1,0C()1,1,AP x z →∴=-，()11,1,1BD →=--，()11,0,1B C →=--，1AP BD ⊥，1110AP BD x z →→∴⋅=--+=，x z ∴=，即(),1,P x x ，(),0,CP x x →∴=，1CP x B C →→∴=-，即1,,B P C 三点共线，P ∴必在线段1B C 上，B 正确；对于C ，()1,1,AP x x →=-，()11,0,1BC →=-，111AP BC x x →→∴⋅=-+=，AP ∴与1BC 不垂直，C 错误；对于D ，()11,0,1A ，()10,1,1C ，()0,0,0D ，()11,0,1DA →∴=，()10,1,1DC →=，设平面11AC D 的法向量(),,n x y z →=，1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，则1z =-，1y =，()1,1,1n →∴=-， 110AP n x x →→∴⋅=-+-=，即AP n →→⊥，//AP ∴平面11ACD ，D 正确．故选BD ． 43．（福建省宁德市2019-2020学年高二上学期期末考试）如图所示，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D-中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）A ．平面11D A P ⊥平面1A APB ．1AP DC ⋅不是定值 C ．三棱锥11BD PC -的体积为定值 D ．11DC D P ⊥【答案】ACD【解析】A ．因为是正方体，所以11D A ⊥平面1A AP ，11D A ⊂平面11D A P ，所以平面11D A P ⊥平面1A AP ，所以A 正确；B ．11111111()AP DC AA A P DC AA DC A P DC ⋅=+⋅=⋅+⋅ 11112cos 45cos901212AA DC A P DC =+=⨯⨯=，故11AP DC ⋅=，故B 不正确； C ．1111B D PC P B D C V V --=，11B D C 的面积是定值，1//A B 平面11B D C ，点P 在线段1A B 上的动点，所以点P 到平面11B D C 的距离是定值，所以1111B D PC P B D C V V --=是定值，故C 正确； D ．111DC A D ⊥，11DC A B ⊥，1111A D A B A =，所以1DC ⊥平面11A D P ，1D P ⊂平面11A D P ，所以11DC D P ⊥，故D 正确．故选ACD44．（山东省济南莱芜市第一中学2019-2020学年高二下学期第一次质量检测）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面 C ．设{},,a b c 是空间中的一组基底，则{},,a b b c c a +++也是空间的一组基底 D ．若0a b ⋅<，则,a b 是钝角 【答案】ABC【解析】对于A 中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；对于B 中，若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，根据空间向量的基本定理，可得,,,P A B C 四点一定共面，所以是正确的；对于C 中，由{},,a b c 是空间中的一组基底，则向量,,a b c 不共面，可得向量,a b b c ++，c a +也不共面，所以{},,a b b c c a +++也是空间的一组基底，所以是正确的； 对于D 中，若0a b ⋅<，又由,[0,]a b π∈，所以,(,]2a b ππ∈，所以不正确．故选ABC ．45．（河北省沧州市盐山中学2019-2020学年高一下学期期末）若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．11B E A B ⊥B ．平面1//B CE 平面1A BDC ．三棱锥11C B CE -的体积为83D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π【答案】CD【解析】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,4)A ，1(2,0,4)B ，(0,2,2)E ，所以1(2,2,2)B E =--，1(2,0,4)A B =-， 因为1140840B E A B ⋅=-++=≠，所以1B E 与1A B 不垂直，故A 错误； 1(0,2,4)CB =-，(2,0,2)CE =-，设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以11112y z x z =⎧⎨=⎩，不妨取11z =，则11x =，12y =，所以(1,2,1)n =， 同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =，故不存在实数λ使得n λm =，故平面1B CE 与平面1A BD 不平行，故B 错误； 在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11CDD C ，故11B C 是三棱锥11B CEC -的高，所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△，故C 正确； 三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故外接球的半径2R ==所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==，故D 正确．故选CD ．46．（山东省济南市2019-2020学年高二下学期末考试）如图，棱长为的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）A ．直线1D P 与AC 所成的角可能是6π B ．平面11D A P ⊥平面1A AP C ．三棱锥1D CDP -的体积为定值D ．平面1APD 截正方体所得的截面可能是直角三角形 【答案】BC【解析】对于A ，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，()()()10,0,1,1,0,0,0,1,0D A C ，设()()1,,01,01P a b a b <<<< ()()11,,1,1,1,0D P a b AC =-=-，(111cos ,01D P AC D P AC D P ACa b ⋅==<++-1301,01,,24a b D P AC ππ<<<<∴<<∴直线D 1P 与AC 所成的角为,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故A 错误； 对于B ，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1⊥AA 1，A 1D 1⊥AB ， ∵AA 1AB ＝A ，∴A 1D 1⊥平面A 1AP ，∵A 1D 1⊥平面D 1A 1P ，∴平面D 1A 1P ⊥平面A 1AP ，故B 正确；对于C ，1111122CDD S=⨯⨯=，P 到平面CDD 1的距离BC ＝1， ∴三棱锥D 1﹣CDP 的体积：111111326D CDP P CDD V V --==⨯⨯=为定值，故C 正确；对于D ，平面APD 1截正方体所得的截面不可能是直角三角形，故D 错误；故选BC ．47．（江苏省苏州中学园区校2020-2021学年高三上学期8月期初调研）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A ．线段11B D 上存在点F ，使得AC AF ⊥ B ．//EF 平面ABCD C ．AEF 的面积与BEF 的面积相等 D ．三棱锥A BEF -的体积为定值【答案】BD【解析】如图，以C 为坐标原点建系CD ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，()1,1,0A ，()0,0,0C ，()1,1,0AC =--，1B F B λ=11D ，即()()0,1,11,1,0x y z λ---=-,∴x λ=，1y λ=-，1z =，∴(),1,1F λλ-，()1,,1AF λλ=--,()()11010AC AF λλ⋅=--++=≠， ∴AC 与AF 不垂直，A 错误．E ，F 都在B ，D 上，又11//BD B D ，∴//EF BD ，BD ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，∴//EF 平面ABCD ，B 正确AB 与EF 不平行，则1A B 与EF 的距离相等，∴AEF BEF S S ≠△△，∴C 错误A 到BEF 的距离就是A 到平面11BDDB 的距离，A 到11BDD B 的距离为22AC =1111224BEF S =⨯⨯=△，∴1134224A BEF V -=⨯⨯=是定值，D 正确．故选BD ．48．（江苏省扬州市宝应中学2020-2021学年高三上学期开学测试）在正三棱柱ABC A B C '''-中，所有棱长为1，又BC '与B C '交于点O ，则（ ）A ．AO =111222AB AC AA '++ B ．AO B C '⊥C ．三棱锥A BB O '-D ．AO 与平面BB ′C ′C 所成的角为π6【答案】AC【解析】由题意，画出正三棱柱ABC A B C '''-如图所示，向量()()111222AO AB BO AB BC BB AB AC AB AA ''=+=++=+-+ 111222AB AC AA '=++，故选项A 正确；在AOC △中，1AC =，22OC，1OA ==， 222OA OC AC +≠，所以AO 和B C '不垂直，故选项B 错误；在三棱锥A BB O '-中，14BB O S '=，点A 到平面BB O '的距离即ABC 中BC 边上的高，所以h =以111334A BB O BB O V S h ''-==⨯=C 正确； 设BC 中点为D ，所以AD BC ⊥，又三棱柱是正三棱柱，所以AD ⊥平面BB C C ''，所以AOD ∠即AO 与平面BB ′C ′C 所成的角，112cos 12OD AOD OA ∠===，所以3AOD π∠=，故选项D 错误．故选AC49．（山东省泰安肥城市2020届高三适应性训练（一））如图四棱锥P ABCD -，平面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD 是边长为ABCD 为矩形，CD =Q 是PD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．CQ ⊥平面PADB ．PC 与平面AQC所成角的余弦值为3C ．三棱锥B ACQ -的体积为D ．四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的表面积为【答案】BD【解析】取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ，因为三角形PAD 为等边三角形，所以OP AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面 ABCD ，因为AD OE ⊥，所以,,OD OE OP 两两垂直，所以，如下图，以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(O D A ，(P C B ，因为点Q 是PD 的中点，所以Q ，平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，6(QC =，显然 m 与QC 不共线，所以CQ 与平面PAD 不垂直，所以A 不正确；3632(6,23,32),(,0,),(26,PC AQ AC =-==， 设平面AQC 的法向量为(,,)n x y z =，则3602260n AQ x zn AC ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=+=⎩， 令=1x ，则y z ==(1,2,3)n =--，设PC 与平面AQC 所成角为θ，则21sin 36n PC n PCθ⋅===，所以22cos 3θ=，所以B 正确；三棱锥B ACQ -的体积为1132B ACQ Q ABC ABCV V S OP --==⋅ 1116322=⨯⨯⨯=，所以C 不正确；设四棱锥Q ABCD -外接球的球心为)M a ，则MQ MD =，所以22222222a a ⎛⎫⎛++-=++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得0a =，即M 为矩形ABCD 对角线的交点，所以四棱锥Q ABCD -外接球的半径为3，设四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的棱长为x ，将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，故正方体的棱长为2x ，所以2236⎫=⎪⎪⎝⎭，得224x =，所以正四面体的表面积为244x ⨯=，所以D 正确．故选BD.50．（山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试）在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（ ）A ．若1233AD AC AB =+，则可知3BC BD = B ．若Q 为△ABC 的重心，则111333PQ PA PB PC =++C ．若0PA BC =，0PC AB =，则0PB AC =D ．若四面体P ABC -各棱长都为2，M N ，分别为,PA BC 的中点，则1MN = 【答案】ABC 【解析】对于A ，1233AD AC AB =+，32AD AC AB ∴=+， 22AD AB AC AD ∴-=- ， 2BD DC ∴=，3BD BD DC BC ∴=+=即3BD BC ∴=，故A 正确；对于B ，Q 为△ABC 的重心，则0QA QB QC ++=，33PQ QA QB QC PQ∴+++=()()()3PQ QA PQ QB PQ QC PQ ∴+++++=，3PA PB PC PQ ∴++=，即111333PQ PA PB PC ∴=++，故B 正确；对于C ，若0PA BC =，0PC AB =，则0PA BC PC AB +=，()0PA BC PC AC CB ∴++=，0PA BC PC AC PC CB ∴++=0PA BC PC AC PC BC ∴+-=，()0PA PC BC PC AC ∴-+= 0CA BC PC AC ∴+=，0AC CB PC AC ∴+=()0AC PC CB ∴+=，0AC PB ∴=，故C 正确；对于D ，111()()222MN PN PM PB PC PA PB PC PA ∴=-=+-=+- 1122MN PB PC PA PA PB PC ∴=+-=-- 222222PA PB PC PA PB PC PA PB PA PC PC PB --=++--+==2MN ∴=D 错误．故选ABC.三、填空题51．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且3148OP OA OB tOC =++，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝_________．。
四川省绵阳市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
绵阳南山2023年秋季高2022级半期考试数学试题（答案在最后）考试时间:120分钟总分:150分一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10x +-=的倾斜角是（）A.π6B.π3 C.2π3D.5π6【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件，结合直线的倾斜角与斜率的关系，即可求解．【详解】设直线的倾斜角为θ，0πθ≤<，直线10x +-=可化为y =，所以直线的斜率tan k θ==5π6θ∴=，故选：D ．2.已知空间向量()1,,2a m m =+- ，()2,1,4b =- ，且a b ⊥，则m 的值为（）A.103-B.10-C.10D.103【答案】B 【解析】【分析】根据向量垂直得2(1)80m m -++-=，即可求出m 的值.【详解】,2(1)8010a b m m m ⊥∴-++-=⇒=-.故选：B.3.已知直线1:20l x ay ++=，2:2430l x y ++=相互平行，则1l 、2l 之间的距离为（）A.10B.5C.5D.2【答案】A【解析】【分析】根据两直线平行得到关于a 的方程，求出a 的值，再由两平行线之间的距离公式计算即可.【详解】因为直线1:20l x ay ++=，2:2430l x y ++=相互平行，所以240a -=，解得2a =，所以1:220l x y ++=，即2440x y ++=，所以1l 、2l之间的距离510d ==.故选：A.4.已知某地A 、B 、C 三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，当地政府为巩固拓展脱贫攻坚成果，全面推进乡村振兴，决定采用分层随机抽样的方法抽取20%的户数进行调查，则样本容量和抽取C 村贫困户的户数分别是（）A.150，15B.150，20C.200，15D.200，20【答案】D 【解析】【分析】将饼图中的A 、B 、C 三个村的人口户数全部相加，再将所得结果乘以20%得出样本容量，得出C 村抽取的户数，再乘以50%可得出C 村贫困户的抽取的户数.【详解】将饼图中的A 、B 、C 三个村的人口户数全部相加，再将所得结果乘以20%得出样本容量为()35020045020%100020%200++⨯=⨯=，C 村抽取的户数为20020040350200450++⨯=户，则抽取C 村贫困户的户数为400.520⨯=户．故选：D.5.已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，焦距为4.若P 为椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的周长为10，则椭圆C 的离心率e 为（）A.32B.3C.23D.13【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆的定义与焦距的性质即可求解.【详解】依题意知，焦距：24c =，由椭圆的定义得△PF 1F 2的周长为：2210a c +=，解得：2,3c a ==，所以离心率23c e a ==.故选：C.6.若圆C 经过点()2,5A ，()4,3B ，且圆心在直线l ：330x y --=上，则圆C 的方程为（）A.()()22234x y -+-= B.()()22238x y -+-=C.()()22362x y -+-= D.()()223610x y -+-=【答案】A 【解析】【分析】求解AB 的中垂线方程，然后求解圆的圆心坐标，求解圆的半径，然后得到圆的方程.【详解】圆C 经过点()2,5A，()4,3B ，可得线段AB 的中点为()3,4，又53124AB k -==--，所以线段AB 的中垂线的方程为43y x -=-，即10x y -+=，由10330x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，即()2,3C ，圆C 的半径2r ==，所以圆C 的方程为()()22234x y -+-=.故选：A.7.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件A =“两次掷出的点数之和是6”，事件B =“第一次掷出的点数是奇数”，事件C =“两次掷出的点数相同”，则（）A.A 与B 互斥B.B 与C 相互独立C.()16P A = D.A 与C 互斥【答案】B 【解析】【分析】根据互斥的定义和相互独立的公式即可求解.【详解】对于选项A ：第一次掷出点数为3，第二次掷出点数为3，满足事件A ，也满足事件B ,因此A 与B 能够同时发生，所以A 与B 不互斥，故选项A 错误；对于选项B ：31()62P B ==，61()366P C ==，31()3612P BC ==，所以()()()P BC P B P C =⋅，所以B 与C 相互独立，即选项B 正确；对于选项C ：()51366=≠P A ，故选项C 错误；对于选项D ：第一次掷出点数为3，第二次掷出点数为3，满足事件A ，也满足事件C ,因此A 与C 能够同时发生，所以A 与C 不互斥，故选项D 错误；故选：B .8.若过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB ⋅的最大值是（）A.4B.5C.6D.8【答案】B 【解析】【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A 和B ，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA PB ⊥；再利用基本不等式放缩即可得出||||PA PB 的最大值．【详解】解：由题意可知，动直线0x my +=经过定点(0,0)A ，动直线30mx y m --+=即(1)30m x y --+=，经过点定点()1,3B ，注意到动直线0x my +=和动直线30mx y m --+=始终垂直，P 又是两条直线的交点，则有PA PB ⊥，222||||||10PA PB AB ∴+==．故22||||||||52PA PB PA PB +=（当且仅当||||PA PB ==时取“=”)故选：B ．【点睛】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有22||||PA PB +是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知椭圆221169x y +=与椭圆()22190169x y t t t+=-<<++，则下列说法错误的是（）A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等【答案】ABC 【解析】【分析】分别求出这两个椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，比较即可得到答案.【详解】由已知条件得椭圆221169x y +=中，4a =，3b =，c ==则该椭圆的长轴长为28a =，短轴长为26b =，离心率为4c e a ==，焦距为2c =；椭圆()22190169x y t t t+=-<<++中，焦点在x轴上，a =b =，c ==这两个椭圆只有焦距相等.故选：ABC .10.已知空间中三点()0,1,0A ，()2,2,0B ，()1,3,1C -，则下列结论错误的是（）A.AB 与AC是共线向量B.与AB同向的单位向量是255,,055⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C.AB 与BC夹角的余弦值是11D.平面ABC 的一个法向量是()1,2,5-【答案】AC 【解析】【分析】A ：利用共线向量定义进行判断；B ：与AB同向的单位向量AB AB；C ：利用向量夹角余弦公式判断；D ：设平面ABC 的法向量为(),,n x y z =r ，则0n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，由此能求出结果．【详解】对于A ：()()2,1,0,1,2,1AB AC ==-，12,21AB -≠∴与AC 不是共线向量，故A 错误；对于B ：()2,1,0AB = ，则与AB同向的单位向量是)2,1,0,55AB AB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ：()()2,1,0,3,1,1AB BC ==-，∴55cos ,11AB BCAB BC AB BC⋅⋅==-，故C 错误；对于D ：()()2,1,0,1,2,1AB AC ==- ，设平面ABC 的法向量为(),,n x y z =r，则2020n AB x y n AC x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，取1x =，得()1,2,5n =- ，故D 正确．故选：AC ．11.光线自点()4,2射入，经倾斜角为45︒的直线:1l y kx =+反射后经过点()3,0，则反射光线经过的点为（）A.914,8⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()9,15-C.()3,15- D.()13,2【答案】BC 【解析】【分析】先求点()4,2关于直线l 的对称点，得出反射后的直线，再对选项逐一检验【详解】由题意知，tan415k =︒=，设点()4,2关于直线1y x =+的对称点为m n （，），则21424122n m n m -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=+⎪⎩，解得15m n =⎧⎨=⎩，所以反射光线所在的直线方程为()()05333251y x x -=--=--，所以当9x ＝时，15y -＝；当3x -＝时，15y ＝，故选：BC12.对于平面直角坐标系内任意两点()()1122,,,A x y B x y ，定义它们之间的一种“折线距离”：()2121,d A B x x y y =-+-，则下列命题正确的是（）A.若()()1,3,1,0A B -，则(),5d A B =B.若A 为定点，B 为动点，且满足(),1d A B =，则B 点的轨迹是一个圆C.若A 为定点，B 为动点，且满足(),1d A B =，则B 点的轨迹是一个椭圆D.若点C 在线段AB 上，则()()(),,,d A C d C B d A B +=【答案】AD 【解析】【分析】由新定义直接计算可判断A ，设()0,0A ，(),B x y ，结合新定义可判断BC ，设()()(),,,,,A A B B C C A x y B x y C x y 且,A C B A C B x x x y y y <<<<，结合新定义可判断D【详解】由题意可得：当()1,3A -，()1,0B ，时()2121,11305d A B x x y y =-+-=--+-=，所以A 正确；不妨设()0,0A ，(),B x y ，由题意可得1x y +=，此时表示的几何图形是正方形，所以BC 错误；设()()(),,,,,A A B B C C A x y B x y C x y 且,A C B A C B x x x y y y <<<<，所以()(),,d A C d C B +=C A C A B C B Cx x y y x x y y -+-+-+-C A C A B C B C B A B Ax x y y x x y y x x y y =-+-+-+-=-+-(),B A B A x x y y d A B =-+-=，所以D 正确．故选：AD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）13.已知直线1l ：310++=mx y 与直线2l ：()2540x m y ++-=互相垂直，则它们的交点坐标为_________.【答案】75,66⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】利用互相垂直求出m ，然后两直线联立即可求出交点坐标.【详解】因为直线1l ：310++=mx y 与直线2l ：()2540x m y ++-=互相垂直，所以()2350m m ++=，解得3m =-，联立33102240x y x y -++=⎧⎨+-=⎩，解得直线1l 和2l 的交点坐标为75,66⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为：75,66⎛⎫⎪⎝⎭14.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设1,,AA a AB b AD c ===，N 是BC 的中点，则向量1A N = _________．（用,,a b c表示）【答案】12a b c→→→-++【解析】【分析】根据向量的加减法运算法则及数乘运算求解即可.【详解】由向量的减法及加法运算可得，111A N =AN AA =AB BN AA →→→→→-+-11122AB AD AA b c a →→→→→→=+-=+-，故答案为：12a b c→→→-++15.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：党史学习时间（小时）7891011党员人数610987则该单位党员一周学习党史时间的第60百分位数是______．【答案】9【解析】【分析】根据百分位数的定义即可求出结果．【详解】党员人数一共有61098740++++=，4060%24⨯=，那么第60百分位数是第24和25个数的平均数，第24和25个数分别为9，9，所以第60百分位数是9992+=，故答案为：9．16.已知点P 在直线2y x =-上运动，点E 是圆221x y +=上的动点，点F 是圆22(6)(2)9x y -++=上的动点，则PF PE -的最大值为________．【答案】8【解析】【分析】根据圆的性质可得4PF PE PA PO -≤-+，若求PF PE -的最大值，转化为求PA PO -的最大值，再根据点关于线对称的性质，数形结合从而得解.【详解】如图所示，圆22(6)(2)9x y -++=的圆心为()6,2A -，半径为3，圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，可知33,11PA PF PA PO PE PO -≤≤+-≤≤+，所以()()314PF PE PA PO PA PO -≤+--=-+，若求PF PE -的最大值，转化为求PA PO -的最大值，设()0,0O 关于直线2y x =-的对称点为B ，设B 坐标为(),m n ，则1222nm n m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得22m n =⎧⎨=-⎩，故B ()2,2-，因为PO PB =，可得4PA PO PA PB AB -=-≤=，当P ，B ，A 三点共线，即P 点为()10,2P -时，等号成立，所以PF PE -的最大值为448+=.故答案为：8.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）长轴在x 轴上，长轴的长为12，离心率为23；（2）经过点()6,0P -和()0,8Q .【答案】（1）2213620x y +=；（2）2216436y x +=.【解析】【分析】（1）由长轴长及离心率求椭圆参数a 、c ，进而求参数b ，即可写出椭圆方程.（2）由题设知P ，Q 分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，即可得a 、b ，结合顶点坐标特征写出椭圆方程.【小问1详解】由已知,212a =，23c e a ==，得：6a =，4c =，从而22220b a c =-=.所以椭圆的标准方程为2213620x y +=.【小问2详解】由椭圆的几何性质知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以点P ，Q 分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，于是有6b =，8a =.又短轴、长轴分别在x 轴和y 轴上，所以椭圆的标准方程为2216436y x +=.18.已知()1,2A -，以点A 为圆心的圆被y轴截得的弦长为（1）求圆A 的方程；（2）若过点()1,2B -的直线l 与圆A 相切，求直线l 的方程.【答案】（1）()()22124x y ++-=（2）1x =或3450x y ++=【解析】【分析】（1）根据垂径定理，可直接计算出圆的半径；（2）根据直线l 的斜率是否存在分类讨论，斜率不存在时，可得到直线方程为1x =的直线满足题意，斜率存在时，利用直线l 与圆相切，即()1,2A -到直线l 的距离等于半径，然后解出关于斜率的方程即可.【小问1详解】不妨设圆的半径为R，根据垂径定理，可得：2221R =+解得：2R =则圆的方程为：()()22124x y ++-=【小问2详解】当直线l 的斜率不存在时，则有：1x =故此时直线l 与圆相切，满足题意当直线l 的斜率存在时，不妨设直线l 的斜率为k ，点()1,2B -的直线l 的距离为d 直线l 的方程为：()12y k x =--则有：2d ==解得：34k =-，此时直线l 的方程为：3450x y ++=综上可得，直线l 的方程为：1x =或3450x y ++=19.南山实验高二年级的同学们学习完《统计与概率》章节后，统一进行了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照[)[)[]50,60,60,70,,90,100⋅⋅⋅进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中3b a =．（1）求出a b ，;（2）估计测试成绩的平均分；（3）按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在[]80,100内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在[)80,90内的概率．【答案】（1）0.01a =，0.03b =（2）76.5；（3）12【解析】【分析】（1）根据频率之和即可求解，（2）根据平均数的计算公式即可求解，（3）由列举法列举所有基本事件，即可由古典概型概率公式求解.【小问1详解】由频率分布直方图可知(0.0150.035)101a b a ++++⨯=，即20.05b a +=，又3b a =，所以0.01a =，0.03b =．【小问2详解】测试成绩的平均分为：550.1650.15750.35850.3950.176.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=【小问3详解】成绩在[80,90)和[90,100]内的人数之比为3:1，故抽取的4人中成绩在[80,90)内的有3人，设为a ，b ，c ，成绩在[90,100]内的有1人，设为D ，再从这4人中选2人，这2人的所有可能情况为(,)a b ，(,)a c ，(,)a D ，(,)b c ，(,)b D ，(,)c D ，共6种，这2人成绩均在[80,90)内的情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)b c ，共3种，故这2人成绩都在[80,90)内的概率为3162P ==20.为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O 的北偏西45°方向km 处设立观测点A ，在平台O 的正东方向12km 处设立观测点B ，规定经过O 、A 、B 三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系．（1）试写出A ，B 的坐标，并求两个观测点A ，B 之间的距离；（2）某日经观测发现，在该平台O 正南10km C 处，有一艘轮船正以每小时km 的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？【答案】（1）(2,2),(12,0)A B -；||AB =（2）会驶入安全预警区，行驶时长为半小时【解析】【分析】（1）先求出A ，B 的坐标，再由距离公式得出A ，B 之间的距离；（2）由,,A O B 三点的坐标列出方程组得出经过,,O A B 三点的圆的方程，设轮船航线所在的直线为l ，再由几何法得出直线l 与圆截得的弦长，进而得出安全警示区内行驶时长.【小问1详解】由题意得(2,2),(12,0)A B -，∴AB ==；【小问2详解】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，因为该圆经过,,O A B 三点，∴022********F D y D =⎧⎪-++=⎨⎪+=⎩，得到12160D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩.所以该圆的方程为：2212160x y x y +--=，化成标准方程为：()()2268100x y -+-=.设轮船航线所在的直线为l ，则直线l 的方程为：10y x =-，圆心（6，8）到直线:100l x y --=的距离10d r ==<=，所以直线l 与圆相交，即轮船会驶入安全预警区.直线l 与圆截得的弦长为L ==km，行驶时长0.5L t v ===小时.即在安全警示区内行驶时长为半小时.21.甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为23，乙每轮猜对的概率为34．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．（1）求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；（2）求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率．【答案】（1）89（2）512【解析】【分析】（1）根据相互独立事件的乘法概率公式计算即可；（2）两人分别猜两次，总共四次中有一次没猜对，分四种情况计算可得答案.【小问1详解】设甲两轮至少猜对一个数学名词为事件F ，()212212448C 333999P F ⎛⎫=⋅⨯+=+= ⎪⎝⎭.【小问2详解】设事A ＝“甲第一轮猜对”，B ＝“乙第一轮猜对”，C ＝“甲第二轮猜对”，D ＝“乙第二轮猜对”，E ＝““九章队”猜对三个数学名词”，所以()()()()23,34P A P C P B P D ====，()()()()11,34P A P C P B P D ====则E ABCD ABCD ABCD ABCD =⋃⋃⋃，由事件的独立性与互斥性，得()()()()()P E P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD =+++()()()()()()()()()()()()P A P B P C P D P A P B P C P D P A P B P C P D =++()()()()P A P B P C P D +13232123231323215343434343434343412=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，故“九章队”在两轮活动中猜对三个数学名词的概率为512．22.如图，等腰梯形ABCD 中，1//,22AD BC AB BC CD AD ====，现以AC 为折痕把ABC 折起，使点B 到达点P 的位置，且PA CD ⊥.（1）证明：面PAC ⊥面ACD ；（2）若M 为PD 上的一点，点P 到面ACM ，求PM PD的值及平面MAC 和平面DAC 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见详解；（2）12，5【解析】【分析】（1）先证AC CD ⊥，利用线线垂直证线面垂直，由线面垂直的性质可判定面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量计算点面距离及二面角即可.【小问1详解】如图所示，在梯形ABCD 中，取AD 中点N ，连接CN ，易知四边形ABCN 为平行四边形，可得CN AN DN ==，即AC CD ⊥，又PA CD ⊥，,PA AC A PA AC 、=Ì平面PAC ，所以CD ⊥平面PAC ，因为CD ⊂平面DAC ，所以面PAC ⊥面ACD ；【小问2详解】取AC 的中点O ，则//ON CD ON AC ⇒⊥，因为PA PC =，所以PO AC ⊥，结合（1）的结论，可以以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则)()()()(),,0,1,0,0,0,1,AC N P D，()()(),2,1,CA PD AP ==-= ，设(],0,1PMPD λλ=∈，即()(),2,,2,1PM PD AM AP PM λλλλλ==-=+=-，设面ACM的一个法向量为(),,m x y z =，则有(()0210CA m AM m x y z λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩，令10,2y x z λλ=-⇒==，即()0,1,2m λλ=-，则点P 到面ACM 的距离为152m PM d m λ⋅===，即12PM PD =；易知平面ACD 的一个法向量可为()0,0,1n =，设平面MAC 和平面DAC 夹角为α，易知10,,12m ⎛⎫=-⎪⎝⎭ ,所以25 cos cos,5m nm nm nα⋅===⋅.。
【40套试卷合集】四川省绵阳市2019-2020学年数学高二上期末模拟试卷含答案
2019-2020学年高二上数学期末模拟试卷含答案数 学（文科）本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共4页.满分100分，考试时间100分钟.第I 卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．现代集合论的创始人是（ ）A ．高斯B ．戴德金C ．维尔斯特拉斯D ．康托尔2．如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，则系数a 为（ ）A ．－3B ．－6C ．－32D ．23A ．35B ．40C ．25D ．45 4．曲线的极坐标方程θρsin 4=化为直角坐标为（ ）A ．4)2(22=++y x B ．4)2(22=-+y x C ．4)2(22=+-y x D ．4)2(22=++y x5．已知椭圆1522=+my x 的离心率510=e ，则m 的值为（ ）A ．3B ．325或3 C ．5 D ．3155或156．右表中的程序输出的结果为（ ）A ．4B ．6C ．7D ．5 7．设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A则弦长超过半径的概率为( )A ．12B ．13C.34 D. 232116y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆()2251x y ++=和()2251x y -+= 上的点，则|PM|-|PN|的最大值为( )A ．6B ．7C ．[1,3)1-⋃D ．1,3-10. 如图，圆F ：()2211x y -+=和抛物线x =的直线与抛物线和圆依次交于A 、B 、C 、D 四点，||||AB CD 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．无法确定第II 卷（非选择题，共60分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.把答案直接填在答题卷中的横线上. 11．在空间直角坐标系下，点B 是点A(1,2,3)在坐标平面yOz 内的正射影，则|OB|＝__________．12．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选到男教师的概率为920，则参加联欢会的教师共有 人． 13．我校开展“爱我南山，爱我绵阳”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是________． 14. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是 __ .15. 以下五个命题中，正确的有 ____ __.①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -= ，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，1()2OP OA OB =+，则动点P 的轨迹为椭圆；③方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点； ⑤已知A()2,0-、B ()2,0，直线AP 与直线BP 相交于点P ，它们的斜率之积为14，则点P 的轨迹方程为2214x y +=.三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知直线l 经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点．（1）若直线l 垂直于直线4370x y --=，求直线l 的方程； （2）若直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为12，求直线l 的方程. 17． 某工厂有甲、乙两个车间，每个车间各有编号为1、2、3、4、5的5名技工．在某天内每名技工加工的合格零件的个数如下表：（1工的技术水平；（2）甲、乙两个车间中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和不小于12个，则称该工厂“质量合格”，求该工厂“质量合格”的概率． 18． 已知关于,x y 的方程22:240C x y x y m +--+=.（1）m 为何值时方程C 表示一个圆；（2）若圆C 与直线240x y +-=相交于M ，N 两点，且｜MN ｜＝5，求m 的值；（3） 在（2）条件下，是否存在直线:20l x y c -+=，使得圆上有四点到直线l 的距离为，若存在，求出c 的范围，若不存在，说明理由.19. 已知椭圆C 的中心为直角坐标系xoy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别为7和1.（1）求椭圆C 的方程；（2）若P 为椭圆C 上的动点，M 为过点P 且垂直于x 轴的直线上的点，||||OP OM λ=，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.文科数学热身考试答案一、选择题DBABB CDCCA 二、填空题11．120 13．1 14．4 15．③④ 三、解答题 16．解（1）由280210x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得32x y =⎧⎨=⎩即直线280x y +-=和210x y -+=的交于点(3,2)，所以直线l 经过点(3,2)，又直线l 垂直于直线4370x y --=，所以直线l 的斜率为34-。
四川省绵阳市2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题(一)含解析
绵阳高二期末模拟试卷一（答案在最后）一、单选题（每题5分，共40分）1.直线320y ++=的倾斜角为（）A.6π B.3πC.23π D.56π【答案】D 【解析】【分析】根据直线方程得到直线的斜率为33-，然后根据斜率与倾斜角的关系求倾斜角.【详解】直线方程可整理为233y x =--，所以直线的斜率为3-，倾斜角为5π6.故选：D.2.已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，P 为抛物线C 上一点．若20PF =，则点P 的横坐标为（）A.12B.16C.18D.19【答案】C 【解析】【分析】根据题意，利用抛物线的定义转化为点P 到抛物线的准线l 的距离等于20，列出方程，即可求解.【详解】由抛物线2:8C y x =，可得4p =，所以准线方程为:2l x =-，如图所示，设点11(,)P x y 其中10x ≥，且20PF =过点P 作PA l ⊥，垂足为A ，由抛物线的定义得，点P 到抛物线的准线l 的距离等于20，即20PF PA ==，所以1220x +=，解得118x =，即点P 的横坐标为18.故选：C.3.为了进一步学习贯彻党的二十大精神，推进科普宣传教育，激发学生的学习热情，营造良好的学习氛围，不断提高学生对科学､法律､健康等知识的了解，某学校组织全校班级开展“红色百年路•科普万里行”知识竞赛.现抽取10个班级的平均成绩：70717376787881858990､､､､､､､､､，据此估计该校各个班级平均成绩的第40百分位数为（）A.77B.78C.76D.80【答案】A 【解析】【分析】由第p 百分位数计算公式可得答案.【详解】因共10个数据，则0010404i =⨯=，故该组数据的第40百分位数为从小到大排列第4个数据与第5个数据的平均数，即7678772+=.故选：A4.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 中点．设AB a =，AD b =，1AA c = ，用基底{},,a b c 表示向量AE ，则AE =（）A.a b c ++r r rB.12a b c++ C.12a b c++ D.12a b c ++ 【答案】B 【解析】【分析】利用几何图形的关系，结合向量的加法运算，即可求解.【详解】11122AE AC CE AB AD AA a b c =+=++=++.故选：B5.已知,,αβγ是空间中三个不同的平面，,m n 是空间中两条不同的直线，则下列结论错误的是（）A.若,αββγ⊥⊥，则//αγB.若//,//αββγ，则//αγC.若,,//m n βααβ⊥⊥，则//m nD.若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥【答案】A 【解析】【分析】对于A ，借助于长方体模型，很容易判断结论错误；对于B ，运用面面平行的传递性易得；对于C ，通过平行平面的性质和线面垂直的性质即得；对于D ，借助于两平面的法向量的垂直关系可得.【详解】对于A ，如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，设平面11ADD A为平面α，平面1111D C B A 为平面β，平面11DCC D 为平面γ，显然满足,αββγ⊥⊥，但是平面α与平面γ不平行,故A 错误；对于B ，根据面面平行的传递性，若//,//αββγ，则//αγ成立，故B 正确；对于C ，若,//m βαβ⊥，则m α⊥，又n α⊥，所以//m n ，故C 正确；对于D ，设直线,m n 的方向向量分别为,a b，若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则平面,αβ的一个法向量分别为,a b ，且a b ⊥，所以αβ⊥，故D 正确.故选A.6.直线1l ：0ax y b -+=与2l ：0bx y a -+=（其中0a ≠，0b ≠，a b ¹），在同一坐标系中的图象是图中的（）A.B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】首先将直线方程化为斜截式，再结合各选项一一判断.【详解】直线1l ：0ax y b -+=，即y ax b =+，1l k a =且与y 轴交于点()0,b ，直线2l ：0bx y a -+=，即y bx a =+，2l k b =且与y 轴交于点()0,a ，对于A ：直线1l 中0a >，0b >，直线2l 中0a >，0b >，且b a >，则21l l k k >，所以2l 的倾斜角大于1l 的倾斜角，不符合题意，故A 错误；对于B ：直线1l 中0a >，0b >，直线2l 中0a >，0b >，且b a >，则21l l k k >，所以2l 的倾斜角大于1l 的倾斜角，符合题意，故B 正确；对于C ：直线1l 中a<0，0b >，直线2l 中0a >，0b >，矛盾，故C 错误；对于D ：直线1l 中0a >，0b <，直线2l 中0a >，0b >，矛盾，故D 错误；故选：B 7.设曲线y =上点到直线3450x y -+=的距离为m ，则实数m 的取值范围为（）A.38,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.311,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.111,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.131,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】借助数形结合思想，利用直线与圆的位置关系可得答案.【详解】曲线y =，其中220x x -+≥，0y ≥，即02x ≤≤，0y ≥，曲线方程可化为22(1)1x y -+=，其中02x ≤≤，0y ≥，即曲线的轨迹是一个半圆.因为圆心(1,0)到直线3450x y -+=的距离85d ==，故半圆上一点到直线的最小距离min 35m d r =-=，半圆上点(2,0)到直线的距离最大max 115m ==，则m 的取值范围为311,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：B.8.已知12,F F 分别是椭圆22112x y m+=的左､右两个焦点，若该椭圆上存在点P 满足1260F PF ∠=，则实数m 的取值范围是（）A.(]0,9 B.(]0,6 C.(]0,3 D.[]3,6【答案】A 【解析】【分析】由1F ，2F 分别是椭圆C ：22112x y m+=的左、右两个焦点，求得m 的范围，当点P 位于短轴端点时，12F PF ∠取最大值，要使C 上存在点P 满足1260F PF ∠=︒，则12F PF ∠的最大值大于或等于60︒，从而可得答案.【详解】解：由1F ，2F 分别是椭圆C ：22112x y m+=的左、右两个焦点，则012m <<，当点P 位于短轴端点时，12F PF ∠取最大值，要使C 上存在点P 满足1260F PF ∠=︒，则12F PF ∠的最大值大于或等于60︒，即点P 位于短轴端点时，12F PF ∠大于或等于60︒，则1111sin 2OF c F PO PF a ∠===，解得09m <≤．故选：A.二、多选题（每题5分，多选，选错0分，选对部分2分，共20分）9.方程22151x y t t +=--表示曲线C ，给出以下命题是真命题的有（）A.曲线C 可能为圆B.若曲线C 为双曲线，则1t <或5t >C.若曲线C 为椭圆，则15t <<D.若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则35t <<【答案】AB【解析】【分析】根据圆，椭圆，双曲线的22,x y 的系数特征列不等式求解判断.【详解】当51t t -=-，即3t =时，方程为22122x y +=，为圆，A 正确当()()510t t --<，即1t <或5t >时，方程22151x yt t +=--为双曲型，B 正确；当501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，即15t <<且3t ≠时，方程22151x y t t +=--为椭圆，C 错误；当510t t ->->，即13t <<时，方程22151x y t t +=--为焦点在x 轴上的椭圆，D 错误；故选：AB .10.以下命题中正确的是（）A.若a是直线l 的方向向量，l α⊥，则()R a λλ∈ 是平面α的法向量B.若AB CD CE λμ=+，则直线//AB 平面CDE 或AB ⊂平面CDEC.A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外任意一点O ，若311488OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面D.若{},,a b c 是空间的一个基底，m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一个基底【答案】BCD 【解析】【分析】利用特殊值判断A ；根据空间共面向量定理判断BC ；根据空间向量基底的定义判断D.【详解】对于A ，当0λ=时，0a λ= ，显然0不是平面α的法向量，A 错误；对于B ，由AB CD CE λμ=+ ，得向量,,AB CD CE 共面，即//AB平面CDE ，因此直线//AB 平面CDE 或AB ⊂平面CDE ，B 正确；对于C ，由311488OP OA OB OC =++ ，得3111488++=，因此,,,P A B C 四点共面，C 正确；对于D ，由{},,a b c 是空间的一个基底，得a 、b 、c不共面，若a 、b 、a c +共面，则存在实数,t s ，使得a c ta sb +=+ ，即有(1)c t a sb =-+ ，于是a 、b 、c 共面与a 、b 、c 不共面矛盾，因此a 、b 、a c +不共面，所以{},,a b m也是空间的一个基底，D 正确.故选：BCD11.已知圆1O ：22230x y x +--=和圆2O ：22210x y y +--=的交点为A ，B ，直线l ：0x y λ++=与圆1O 交于C ，D 两点，则下列结论正确的是（）A.λ的取值范围是()1---B.圆2O 上存在两点P 和Q ，使得PQ AB >C.圆1O 上的点到直线AB的最大距离为2D.若160CO D ∠=︒，则1λ=-【答案】AC 【解析】【分析】利用圆心到直线的距离小于半径即可判断A ，再利用弦长公式判断B ，求出1O 到AB 的距离，即可判断C ，圆心1O 到直线CDD.【详解】A 选项：圆1O ：22230x y x +--=的标准方程为()2214x y -+=，圆心为()11,0O ,半径为12r =，因为直线l ：0x y λ++=与圆1O 交于C ，D 两点，所以圆1O 到直线l 的距离为1d r <，即2d =<，解得11λ--<<，所以λ的取值范围是()1-，故A 正确；B 选项：圆2O ：22210x y y +--=的标准方程为()2212x y +-=，圆心()20,1O，半径2r =AB 方程为10x y -+=，圆1O 到直线AB的距离为1d ==AB ==，圆2O 上任意两点P ，Q ，22PQ r AB ≤=，故B 错误；C 选项：圆1O 上的点到直线AB的距离的最大值为112d r +=+C 正确；D 选项：因为160CO D ∠=︒，所以1CO D △为等边三角形，圆1O 到直线CD 的距离为1222r ===，故1λ=-或1λ=-，故D 错误.故选：AC12.如图，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -和2(,0)F c ，点A 、B 分别在双曲线C 的左、右两支上，O 为坐标原点，且90AOB ∠=︒，则下列说法正确的有（）A.双曲线C 的离心率e >B.若||||OA OB =且223AOB S c =，则C 的渐近线方程为2y x =±C.若12AF BF AB +=，则1F AO BAO ∠∠=D.若1F AO BAO ∠∠=，则2ABO OBF ∠∠=【答案】ACD 【解析】【分析】根据渐近线夹角范围得离心率范围判断A ，利用三角形面积求得B 的坐标，代入双曲线方程即可求解渐近线判断B ，在双曲线上取B 关于原点的对称点M ，连接1F M ，先证12F OM F OB ≌，再结合条件得11AF MF AB +=，从而得1F AO BAO ∠∠=判断C ，在AB 上取一点N 使得1AN AF =，先证1AOF AON ≌，再结合条件得2BON BOF ≌，从而2ABO OBF ∠∠=，判断D.【详解】对于A ，90AOB ∠=︒Q ，∴两渐近线夹角小于90︒，1ba∴>，c ∴=>，A 正确；对于B ，OA OB =时，ABC 为等腰直角三角形，66,33B c c ⎛⎫∴ ⎪⎪⎝⎭，又点B 在双曲线上，代入双曲线方程得222266331c c a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=即2222213b a a b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，b a∴=，∴渐近线方程为y =，B 错误；对于C ，在双曲线上取B 关于原点的对称点M ，连接1F M ，OM OB = ，12F OM F OB ∠=∠，12OF OF =.12F OM F OB ∴ ≌，12MF BF ∴=，又12AF BF AB += ，11AF MF AB ∴+=.又AO BM ⊥ ，O 为BM 中点，AMAB ∴=，必有M ，1F ，A 三点共线，AO ∴为1F AB ∠角平分线，1F AO BAO ∴∠=∠，C 正确；对于D ，在AB 上取一点N 使得1AN AF =，1F AO BAO ∠=∠ ，1AOF AON ∴ ≌，12ON OF OF ∴==，1AOF AON ∠=∠，又90BON AON ∠=︒-∠ ，2190BOF AOF ∠=︒-∠，2BON BOF ∴ ≌，2ABO OBF ∴∠=∠，D 正确.故选：ACD三、填空题（每题5分，共20分）13.甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2，3时，表示一局比赛甲获胜；否则，乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数：423123423344114453525332152342534443512541125432334151314354据此估计甲获得冠军的概率为______；【答案】0.65##1320【解析】【分析】根据题意找出甲获胜的情况，然后利用古典概型的概率公式求解.【详解】由题意得甲获胜的情况有:423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314，共13种，所以估计甲获得冠军的概率为130.6520P ==.故答案为：0.6514.同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A 表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B 表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C 表示“两枚骰子的点数相同”，事件D 表示“至少一枚骰子的点数是奇数”.①A 与C 互斥②B 与D 对立③A 与D 相互独立④B 与C 相互独立则上述说法中正确的为______.【答案】①④【解析】【分析】列举出所有可能组合，根据各事件的描述列出对应的组合，结合互斥、对立、独立事件的定义或性质判断事件间的关系即可.【详解】若(,)x y 表示(红,蓝)的点数组合，则所有可能组合有：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)，(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)，(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)，(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)，(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)，(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).事件A 的组合有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，共4种；事件B 的组合有(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)，(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)，(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)，共18种；事件C 的组合有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)，共6种；事件D 的组合有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)，(2,1),(2,3),(2,5)，(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)，(4,1),(4,3),(4,5)，(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)，(6,1),(6,3),(6,5)，共27种；事件AD 的组合有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，故1()9P AD =；事件BC 的组合有(2,2),(4,4),(6,6),故1()12P BC =；综上，A 与C 互斥，B 与D 不对立，1()9P A =，1()2P B =，1()6P C =，3()4P D =，所以()()()P AD P A P D ≠，()()()P BC P B P C =.A 与D 不相互独立、B 与C 相互独立.故答案为：①④15.已知向量()2,3,1a =- ，()4,,2b t =- ，若a 与b 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为______.【答案】()10,66,3∞⎛⎫--⋃- ⎪⎝⎭【解析】【分析】两个向量的夹角为钝角等价于·0a b < 且a 与b 不共线.【详解】由·0a b < ⇒()()2,3,1·4,,20t --<⇒8320t -+-<⇒103t <；由a b ⇒42231t -==-⇒6t =-.综上：103t <且6t ≠-.故答案为：()10,66,3⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭.16.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，()4,0M ，过点M 作直线(20x a y +---=的垂线，垂足为Q ，点P 是抛物线C 上的动点，则PF PQ +的最小值为______．【答案】112【解析】【分析】本题先求出直线必过的定点，再求出Q 的轨迹方程，再数形结合求最值即可.【详解】由(20x a y +---=得(20a y x +--=，所以直线(20x a y +---=过点(A ．连接AM ，则2AM ==，由题意知点Q 在以AM 为直径的圆上，设(),Q x y ，所以点Q 的轨迹方程为229122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（不包含点(），记圆2293122x y ⎛⎛⎫-+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭的圆心为9,22N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，过点Q ，P ，N 分别作准线2x =-的垂线，垂足分别为B ，D ，S ，连接DQ ，则91112122PF PQ PD PQ DQ QB NS +=+≥≥≥-=+-=，当且仅当B ，P ，Q ，N 四点共线且点Q 在PN 中间时等号同时成立，所以PF PQ +的最小值为112．故答案为;112四、解答题（17题10分，18-22每题12分，共70分）17.已知直线l 经过点()2,1A -，且与直线2210x y +-=平行．（1）求直线l 的方程；（2）已知圆C 与y 轴相切，直线l 被圆C 截得的弦长为1y x =-上，求圆C 的方程．【答案】（1）10x y +-=（2）()()22214x y -+-=．【解析】【分析】（1）由两直线平行可求得斜率为1-，再利用直线的点斜式方程即可求得结果；（2）设出圆C 的标准方程，由弦长即圆心位置等即可解出圆的标准方程为()()22214x y -+-=.【小问1详解】因为直线l 与直线2210x y +-=平行，所以直线l 的斜率为1-，则直线l 的方程为()()112y x --=--，化简可得10x y +-=．即直线l 的方程为10x y +-=【小问2详解】设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=，则1b a =-，因为圆C 与y 轴相切，所以r a =，又圆心C 到l 的距离d =222d r +=，即22244a a a =-+，解得2a =，1b =．故圆C 的方程为()()22214x y -+-=．18.2023年上海书展于8月16日至22日在上海展览中心举办.展会上随机抽取了50名观众，调查他们每个月用在阅读上的时长，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求x 的值，并估计这50名观众每个月阅读时长的平均数；（2）用分层抽样的方法从[)[)20,40,80,100这两组观众中随机抽取6名观众，再若从这6名观众中随机抽取2人参加抽奖活动，求所抽取的2人恰好都在[)80,100这组的概率.【答案】（1）0.016x =，平均数为65.2；（2）25.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出x ，再求出阅读时长的平均数.（2）求出抽取的6名观众中，区间[)[)20,40,80,100内的人数，再利用列举法求出古典概率即可.【小问1详解】由频率分布直方图得：()0.0040.020.0080.002201x ++++⨯=，解得0.016x =，阅读时长在区间[20,40),[40,60),[60,80),[80,100),[100,120]内的频率分别为0.08,0.32,0.40,0.16,0.04，所以阅读时长的平均数0.08300.32500.40700.16900.0411065.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】由频率分布直方图，得数据在[)[)20,40,80,100两组内的频率比为0.004:0.0081:2=，则在[)20,40内抽取2人，记为12,A A ，在[)80,100内抽取4人，记为1234,,,B B B B ，从这6名志愿者中随机抽取2人的不同结果如下：()()()()()()()()()121112131421222324,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B A B A B()()()()()()121314232434,,,,,,,,,,,B B B B B B B B B B B B ，共15个，其中抽取的2人都在[)80,100内的有()()()()()()121314232434,,,,,,,,,,,B B B B B B B B B B B B ，共6个，所以所抽取2人都在[)80,100内的概率62155P ==．19.已知F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，A 是C 上在第一象限的一点，点B 在y 轴上，AB y ⊥轴，2AB =，3AF =．（1）求C 的方程；（2）过F 作斜率为k 的直线与C 交于M ，N 两点，MON △O 为坐标原点），求直线MN 的方程．【答案】19.24y x=20.22y x =-或22y x =-+．【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义即可求解；（2）设直线MN 的方程为(1)y k x =-，代入抛物线方程，利用弦长公式计算出MN ，再根据点到直线的距离公式计算出点O 到直线MN 的距离，根据面积公式建立等式计算即可求解.【小问1详解】由题知，2A x =，由抛物线的定义知，2322A p p AF x =+=+=，2p ∴=，C ∴的方程为24y x =．【小问2详解】由（1）知(1,0)F ，设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为(1)y k x =-，代入24y x =，整理得()2222240k x k x k -++=，由题易知0k ≠，212224k x x k+∴+=，121=x x ，()212241k MN x k +∴=-===，O 到直线MN的距离为d =，()22411122MON k S MN d k k +∴=⋅=⨯==△2k =±，∴直线MN 的方程为22y x =-或22y x =-+．20.作为世界乒坛本赛季收官战，首届(WTT 世界乒乓球职业大联盟)世界杯总决赛2021年12月7日在新加坡结束男女单打决赛的较量，国乒包揽双冠成为最大赢家．我市男子乒乓球队为备战下届市运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为14，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．（1）求该局打4个球甲赢的概率；（2）求该局打5个球结束的概率．【答案】（1）112（2）19216【解析】【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率．【小问1详解】设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，该局打4个球甲赢为事件C ，由题知，2()3P A =，1()4P B =，∴C ABAB =，∴23211()()()(()()343412P C P ABAB P A P B P A P B ===⨯⨯⨯=，∴该局打4个球甲赢的概率为112．【小问2详解】设该局打5个球结束时甲赢为事件D ，乙赢为事件E ，打5个球结束为事件F ，易知D ，E 为互斥事件，D ABABA =，E ABABA =，F D E =⋃，∴()()()()()()()P D P ABABA P A P B P A P B P A ==2121211134343216⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()()()P E P ABABA P A P B P A P B P A ==2121211113434312⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴1119()()()()21612216P F P D E P D P E =⋃=+=+=，∴该局打5个球结束的概率为19216．21.如图，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，122AB BC CD AD ====，现以AC 为折痕把ABC 折起，使点B 到达点P 的位置，且PA CD ⊥．（1）证明：平面PAC ⊥平面ACD ；（2）若M 为PD 上的一点，点P 到平面ACM 的距离为5，求平面ACM 与平面ACD 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）5【解析】【分析】（1）由CD AC ⊥、PA CD ⊥可证得CD ⊥平面PAC ，由面面垂直的判定可证得结论；（2）以AC 中点O 为坐标原点可建立空间直角坐标系，设DM DP λ= ，利用点到平面距离的向量求法可求得λ的值，根据二面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】证明：在梯形ABCD 中，取AD 中点N ，连接CN ，//BC AD Q ，12BC AN AD ==，∴四边形ABCN 为平行四边形，AB CN ∴=，12CN AD ∴=，CD AC ∴⊥；PA CD ⊥ ，PA AC A = ，,PA AC ⊂平面PAC ，CD \^平面PAC ，CD ⊂ 平面ACD ，∴平面PAC ⊥平面ACD .【小问2详解】解：分别取,AC AD 中点,O G ，连接,PO OG ，PA PC = ，O 为AC 中点，PO AC ∴⊥，又平面PAC ⊥平面ACD ，平面PAC 平面ACD AC =，PO ⊂平面PAC ，PO ∴⊥平面ACD ，,O G 分别为,AC AD 中点，//OG CD ∴，OG ∴⊥平面PAC ，则以O 为坐标原点，,,OA OG OP 正方向为,,x y z轴的正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,1P，)A，()C，()D，)2,1DP ∴=-，()AC =- ，()0,2,0CD =，()AD =-，)1PA =- ，设)(),2,01DM DP λλλλ==-<< ，则)2,AM AD DM λλ=+=-- ，设平面ACM 的法向量(),,n x y z = ，则()0220AC n AM n x y z λλ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+-+=⎪⎩ ，令y λ=，解得：0x =，22z λ=-，()0,,22n λλ∴=- ；∴点P 到平面ACM 的距离5PA n d n ⋅== ，解得：12λ=，10,,12n ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ ；平面ACD z ⊥轴，∴平面ACD 的一个法向量()0,0,1m =，cos ,552m n m n m n⋅∴==⋅ ，所以，平面ACD 与平面ACM夹角的余弦值为5.22.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点(，离心率为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知C 的下顶点为A ，不过A 的直线l 与C 交于点,E F ，线段EF 的中点为G ，若2AGE GAF ∠=∠，试问直线l 是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）22184x y +=（2）过定点，20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据题意，列出关于,,a b c 的方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，设l 的方程为y kx m =+，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，由0AE AF ⋅= ，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】依题意，得22222,221,c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩又222a b c =+，解得2,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆方程为22184x y +=.【小问2详解】因为2,AGE GAF AGE GAF AFG ∠=∠∠=∠+∠，所以,GAF AFG GA GF ∠=∠=，又G 为线段EF 的中点，所以12GA EF =，因此AE AF ⊥.根据题意可知直线l 的斜率一定存在，设l 的方程为()()1122,,,,y kx m E y F x y x =+，联立22,1,84y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()()()()222222214280,Δ442821k x kmx m km m k +++-==--+，根据韦达定理可得2121222428,2121km m x x x x k k -+=-=++，因为()0,2A -，所以()()()()()()2211221212,2,2122AE AF x y x y k x x k m x x m ⋅=+⋅+=++++++ ()()()222222*********m km k k m m k k -⎛⎫=+++-++ ⎪++⎝⎭，所以()()()2222228412202121m km k k m m k k -⎛⎫+++-++= ⎪++⎝⎭，整理得()()2320m m +-=，解得2m =-或23m =.又直线l 不经过点()0,2A -，所以2m =-舍去，于是直线l 的方程为23y kx =+，恒过定点20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，该点在椭圆C 内，满足Δ0>，。
2019-2020年高二下学期期末数学试卷(理科) 含解析
2019-2020年高二下学期期末数学试卷（理科）含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．23．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=45．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．46．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．38．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是．16．在平面直角坐标系xOy中，直线1与曲线y=x2（x＞0）和y=x3（x＞0）均相切，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数），直线l过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C的普通方程及直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C交于A，B两点，求弦|AB|的长．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82822．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]【考点】交集及其运算．【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可．【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1}故选D．2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：===i，则，解得：a=1．故选：C．3．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出直角坐标．【解答】解：点M的极坐标（4，）化成直角坐标为，即．故选：B．4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=4【考点】伸缩变换．【分析】把伸缩变换的式子变为用x′，y′表示x，y，再代入原方程即可求出．【解答】解：由得，代入直线x﹣2y=2得，即2x′﹣y′=4．故选B．5．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．4【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用积分的几何意义即可得到结论．【解答】解：由题意，S===4﹣=，故选：C．6．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】根据题意，易得在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品，由概率计算公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品；则第二次抽到次品的概率为故选：C．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据逆否命题的定义进行判断②根据充分条件和必要条件的定义进行判断，③根据集合关系进行判断．【解答】解：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”正确，故①正确，②由|x|＞1得x＞1或x＜﹣1，则“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；故②正确，③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，当a=0时，B=∅，也满足B⊆A，当a≠0时，B={}，由=1，得a=1，则实数a的所有可能取值构成的集合为{0，1}．故③错误，故正确的是①②，故选：C8．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率，若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，由相互独立事件的概率计算可得答案．【解答】解：根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率；若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，则P（ε=3）=（）2×（）；故选C．9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数，由此能求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．【解答】解：∵在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，基本事件总数n==120，取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数m==22，∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率p===．故选：C．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用在切点处的导数值是切线的斜率，令f′（x）=2有解；利用有解问题即求函数的值域问题，求出值域即a的范围．【解答】解：f′（x）=﹣e﹣x+a据题意知﹣e﹣x+a=2有解即a=e﹣x+2有解∵e﹣x+2＞2∴a＞2故选C11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．【考点】抽象函数及其应用．【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、D两个选项，再看此函数的最值情况，即可作出正确的判断．【解答】解：由于f（x）=e sinx，∴f（﹣x）=e sin（﹣x）=e﹣sinx∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A，D；又当x=时，y=e sinx取得最大值，排除B；故选：C．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，一方面0＜1+ln（x2﹣m）≤，．利用lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．可得1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，可得m≥x﹣e x﹣e，利用导数求其最大值即可得出．【解答】解：当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，∴0＜1+ln（x2﹣m）≤，∴．∵lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．∴1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，化为m≥x﹣e x﹣e，x＞m+．令f（x）=x﹣e x﹣e，则f′（x）=1﹣e x﹣e，可得x=e时，f（x）取得最大值．∴m≥e﹣1．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为0.3．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P （X＜0）．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，o2），∴正态曲线的对称轴是x=2∵P（X＞4）=0.3，∴P（X＜0）=P（X＞4）=0.3．故答案为：0.3．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=2．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，得到f′（1）=0，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣alnx，x＞0，∴f′（x）=2x﹣=，若函数f（x）在x=1处取极值，则f′（1）=2﹣a=0，解得：a=2，经检验，a=2符合题意，故答案为：2．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是46．【考点】归纳推理．【分析】由三角形阵可知，上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，利用累加法可求．【解答】解：设第一行的第二个数为a 1=1，由此可得上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，即a 2﹣a 1=1，a 3﹣a 2=2，a 4﹣a 3=3，…a n ﹣1﹣a n ﹣2=n ﹣2，a n ﹣a n ﹣1=n ﹣1， ∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 4﹣a 3）+（a 3﹣a 2）+（a 2﹣a 1）+a 1 =（n ﹣1）+（n ﹣2）+…+3+2+1+1 =+1=，∴a 10==46．故答案为：46．16．在平面直角坐标系xOy 中，直线1与曲线y=x 2（x ＞0）和y=x 3（x ＞0）均相切，切点分别为A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），则的值为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出导数得出切线方程，即可得出结论．【解答】解：由y=x 2，得y ′=2x ，切线方程为y ﹣x 12=2x 1（x ﹣x 1），即y=2x 1x ﹣x 12， 由y=x 3，得y ′=3x 2，切线方程为y ﹣x 23=3x 22（x ﹣x 2），即y=3x 22x ﹣2x 23， ∴2x 1=3x 22，x 12=2x 23， 两式相除，可得=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为（φ为参数），直线l 过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C 的普通方程及直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦|AB |的长． 【考点】参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）圆C 的参数方程为（φ为参数），利用cos 2φ+sin 2φ=1消去参数可得圆C 的普通方程．由题意可得：直线l 的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离d，利用|AB|=2即可得出．【解答】解：（Ⅰ）圆C的参数方程为（φ为参数），消去参数可得：圆C的普通方程为x2+y2=4．由题意可得：直线l的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离，∴|AB|=2=2．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．（Ⅱ）把代入椭圆方程中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，由t得几何意义可知|MA||MB|=|t1t2|．【解答】解：（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程：l：x﹣y+1=0．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，可得直角坐标方程：x2+y2+y2=2，即．（Ⅱ）把代入中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，∴，由t得几何意义可知，．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用等可能事件概率计算公式能求出元件甲，乙为正品的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）元件甲为正品的概率约为：，元件乙为正品的概率约为：．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，，，，所以随机变量X的分布列为：X 0 1 2P所以：．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为在区间[1，4]上恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，当a=1时，f（x）=x3﹣x2+6x，f′（x）=3（x﹣1）（x﹣2），当x＜1时，f′（x）＞0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞），单调减区间为（1，2）．（Ⅱ）即在区间[1，4]上恒成立，令，故当时，g（x）单调递减，当时，g（x）单调递增，时，∴，即．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．求出Χ2，即可判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率，X可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数40 15 55女性驾驶员人数20 25 45合计60 40 100因为，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关．…（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为．X可取值是0，1，2，3，，有：，，，，分布列为X 0 1 2 3P．…22．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为a≤x2，求出a的范围即可；（2）问题可化为，设，求出函数的导数，问题等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，求出m的最小值即可．【解答】解：（1）∵在[1，2]上是增函数，∴恒成立，…所以a≤x2…只需a≤（x2）min=1…（2）因为﹣2≤a＜0，由（1）知，函数f（x）在[1，2]上单调递增，…不妨设1≤x1≤x2≤2，则，可化为，设，则h（x1）≥h（x2）．所以h（x）为[1，2]上的减函数，即在[1，2]上恒成立，等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，…设g（x）=x3﹣ax，所以m≥g（x）max，因﹣2≤a＜0，所以g'（x）=3x2﹣a＞0，所以函数g（x）在[1，2]上是增函数，所以g（x）max=g（2）=8﹣2a≤12（当且仅当a=﹣2时等号成立）．所以m≥12．即m的最小值为12．…2016年10月17日。