积的变化规律
乘数与积的变化规律
乘数与积的变化规律
乘数与积的变化规律是指在乘法运算中，当一个因数（乘数）发生变化时，积的变化情况。
这个规律可以通过具体的例子来说明。
假设有两个数a 和b，它们的乘积为c，即a×b=c。
当a 不变，b 增加n 时，积c 会增加an。
例如，当a=2，b=3 时，c=6；当b 增加2 时，即b=5，c=10，c 增加了2a=4。
当a 不变，b 减少n 时，积c 会减少an。
例如，当a=2，b=3 时，c=6；当b 减少2 时，即b=1，c=2，c 减少了2a=4。
当b 不变，a 增加n 时，积c 会增加bn。
例如，当a=2，b=3 时，c=6；当a 增加2 时，即a=4，c=12，c 增加了2b=6。
当b 不变，a 减少n 时，积c 会减少bn。
例如，当a=2，b=3 时，c=6；当a 减少2 时，即a=0，c=0，c 减少了2b=6。
综上所述，乘数与积的变化规律是：当一个因数不变时，另一个因数增加或减少n，积也会相应地增加或减少n 倍。
这个规律在数学运算中非常重要，可以帮助我们更好地理解和解决乘法问题。
四年级积的变化规律
1、表达式中变量Index的变化：在不同的年份中，Index的值都在不断增加，一般每增加一个年份，Index的值就会增加1；
2、表达式中的系数的变化：系数的值也在不断增加，一般在每年的积分数据中，系数的值会比上一年的值多1；
3、表达式中的常量的变化：和系数类似，常数的值也会比上一年多1；
4、基线积分的变化：每一年，基线积分会增加，一般情况是比上一年增加1分；
5、表达式结果的变化：每一年，由于表达式中的变量和常数都在不断增加，所以表达式的结果也在不断变大，每一年比上一年增加的结果也不完全相同，因为表达式中的变量和常数的变化不同，所以结果也不同。
积的变化规律
“点线面”思维训练模式3——
从“积的变化规律”到“积不变的规律”
一、一个因数变化
【1】一个因数不变，另一个因数扩大了。
【结论】:一个因数不变，另一个因数扩大多少倍(0除外)，积也跟着扩大相同的倍数。
【2】一个因数不变，另一个因数缩小。
【结论】:一个因数不变，另一个因数缩小多少倍(0除外)，积也跟着缩小相同的倍数。
(一)、积的变化规律：
(1)、一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几，积就相应的乘（或除以)几。
字母表示：如果axb=C，则
(ax3）×b=c×3
举例：axb=12如果(ax3)则积就是
12×3=36.
(2)、一个数乘一个比1大的数，积比原数大；
（3)、一个数乘一个比1小的数，积比原数小。
【3】积的变化规律:
【结论】:积与因数同向变化。
【4】同步应用
【5】能力提升
【6】拓展训练
二、积不变的规律
【结论】:一个因数扩大或缩小多少倍，另一个因数缩小或扩大相同的倍数(0除外)，积不变。
两个因素反向变化，积不变。
（巧墨静好）
下一节内容：1.商的变化规律——商不变的规律——余数的变化规律
2、和、差、积、商的变化规律。
积的变化规律3条
积的变化规律3条
积的变化规律有以下几条：
1、两个数相乘，一个因数扩大(或缩小)N倍，另一个因数不变，那么它们的积也扩大N倍。
(N为非0自然数)。
2、一个因数扩大a倍，一个因数扩大b倍，积就扩大a*b倍。
3、两个数相乘，一个因数扩大了N倍，另一个因数缩小了N倍，那么它们的积不变。
4、总结：积的变化规律是指因数的变化所引起的积的变化。
如一个因数扩大n倍，另一个因数不变，则积也扩大n倍。
一个因数扩大n倍，另一个因数缩小n倍，则积不变。
两个因数所得结果，叫做积。
也可阐述为其中一个因数表示另一个因数的数量，这么多的这个因数之和为这个乘式的积。
一个乘式中的各个数字为这个乘式的因数。
《积的变化规律》教案
《积的变化规律》教案第一章：教学目标1.1 知识与技能目标理解积的变化规律，能够运用规律解决实际问题。
1.2 过程与方法目标通过观察、分析、归纳等方法，发现积的变化规律。
1.3 情感态度与价值观目标培养学生的探究精神、合作意识，提高学生对数学的兴趣。
第二章：教学内容2.1 教材解析本节课以人教版五年级数学上册第五单元第三课时《积的变化规律》为例。
2.2 教学内容（1）导入新课：通过回顾上节课的内容，引导学生发现积的变化现象。
（2）探究积的变化规律：让学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探索积的变化规律。
（3）运用规律解决实际问题：让学生运用所学的积的变化规律，解决一些实际问题。
第三章：教学过程3.1 课堂导入（1）回顾上节课的内容，引导学生发现积的变化现象。
（2）提出问题，引发学生思考，引出本节课的主题。
3.2 探究积的变化规律（1）让学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探索积的变化规律。
3.3 运用规律解决实际问题（1）设计一些实际问题，让学生运用所学的积的变化规律解决。
第四章：教学评价4.1 课堂问答通过提问，了解学生对积的变化规律的理解程度。
4.2 课后作业设计一些相关的作业题，让学生巩固所学知识。
4.3 学生互评让学生互相评价，促进学生的合作与交流。
第五章：教学资源5.1 教学PPT制作精美的PPT，帮助学生直观地理解积的变化规律。
5.2 教学素材收集一些相关的实际问题，作为教学素材，让学生更好地理解积的变化规律。
5.3 网络资源利用网络资源，寻找一些与积的变化规律相关的教学资源，丰富教学内容。
第六章：教学活动6.1 设计意图通过设计丰富多样的教学活动，让学生在实践中掌握积的变化规律。
6.2 教学活动（1）小组讨论：让学生分组讨论积的变化规律，培养学生的合作意识。
（2）游戏教学：设计一些与积的变化规律相关的游戏，让学生在游戏中学习。
（3）课后实践：布置一些实际问题，让学生课后运用所学知识解决。
《积的变化规律》教案
《积的变化规律》教案第一章：教学目标1.1 知识与技能让学生掌握积的变化规律，能够运用规律解决实际问题。
1.2 过程与方法通过观察、分析、归纳等方法，引导学生发现积的变化规律。
1.3 情感、态度与价值观培养学生的观察能力、思考能力及解决问题的能力，激发学生对数学的兴趣。
第二章：教学内容2.1 教材分析本节课以教材中的例题和练习题为主要内容，通过观察和分析，引导学生发现积的变化规律。
2.2 学情分析学生已经掌握了乘法的基本运算，但对于积的变化规律可能还没有清晰的认识。
第三章：教学过程3.1 导入新课通过一个实际问题，引发学生对积的变化规律的思考。
3.2 自主探究让学生独立观察教材中的例题，分析积的变化规律。
3.3 合作交流3.4 教师讲解对学生的发现进行点评，并进行详细的讲解，使学生彻底理解积的变化规律。
3.5 巩固练习布置一些练习题，让学生运用规律解决问题，巩固所学知识。
第四章：教学评价通过学生在课堂上的表现、练习题的完成情况等方面，评价学生对积的变化规律的掌握程度。
第五章：教学资源5.1 教材《数学教材》5.2 辅助材料多媒体课件、练习题、黑板等。
教学反思：在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时进行讲解和指导，确保学生能够理解和掌握积的变化规律。
要注重培养学生的观察能力和思考能力，提高他们解决实际问题的能力。
第六章：教学策略6.1 启发式教学通过提问、引导等方式，激发学生的思考，促进学生对积的变化规律的理解。
6.2 差异化教学针对不同学生的学习情况，给予个性化的指导，使每个学生都能掌握积的变化规律。
6.3 实践性教学让学生通过解决实际问题，运用积的变化规律，提高学生的实际操作能力。
第七章：教学注意事项7.1 强调数学概念在教学过程中，要强调积的变化规律的概念，使学生明确规律的内涵。
7.2 注重数学语言引导学生使用正确的数学语言描述积的变化规律，提高学生的数学表达能力。
7.3 关注学生心理关注学生在学习过程中的心理变化，及时进行心理辅导，提高学生的学习积极性。
《积的变化规律》优秀教案
数学课集体备课教案课题：积的变化规律【设计意图：通过创设情境,引导学生提出有关工作总量的问题，使学生感到面临的数学问题是生活中的问题，从而产生解决问题的欲望，主动参与探索，寻求解决问题的方法。
】二、自学感悟，探究规律1、师谈话：同学们真聪明，提出这么多的问题，那么让我们一起看一下筛沙车工作情况统计表，（多媒体出示下表）追问：你明白工作效率、工作总量、工作时间的意思吗谁能说一说？它们是怎样的关系？工作效率X工作时间二工作总量谈话：同学们知道了三者的关系，自己动手把表格填好，并探讨以下几个问题。
如果觉得有困难，可以和同桌或者小组一起研究。
2、课件出示自学提纲①第二栏和第一栏比，每个因数和积各是怎样变化的？第三栏和第一栏比呢？第四栏和第一栏呢？②第一栏和第三栏比，每个因数和积又各是怎样变化的？第二栏和第三栏比呢？第三栏和第四栏呢？③能用算式证明你的发现吗？④请把你的发现和同组同学交流一下。
预设：1、上面因数不变，下面因数变大，积也变大。
2、上面因数不变，下面因数乘2（或除以2），积也乘2（或除以2）。
3、沙滩的面积随着时间的变化而变化。
4、筛沙车每分钟清洁沙滩的面积不变，工作时间越长清洁沙滩的总面积就越大。
）如果学生的发现不够全面或难以表达自己的观点时，教师引导学生在相互交流中补充和完善，鼓励学生大胆发表自己的想法。
教师也可适时参与到小组活动中，了解学生学习情况，引导学生在认真倾听他人想法的基础上，修正自己的发现，学会有条理地表达自己的想法。
学生你是2、找规律，写得数。
5X14= 24X2= 8X7=50X14= 24X4=80X70500X14=24X8= 800X700学情预设：个别学生在计算时可能没有运用积的变化规律，教师引导学生同组互相说一说你是怎么算的？让学生真正把积的变化规律用于实际口算中，感受到学习数学是有用的。
3、一块长方形地的面积是560平方米，宽8米，现在宽要增加到24米，长不变,扩大后的面积是多少？学生自己独立完成后，全班交流。
《积的变化规律》教案
数学课集体备课教案课题：积的变化规律
初夏早上六点，清亮透明的月儿还躲藏在云朵里，不忍离去，校园内行人稀少，我骑着单车，晃晃悠悠的耷拉着星松的睡眼。
校园内景色如常，照样是绿意盈盈，枝繁叶茂，鸟儿歌唱。
经过西区公园，看那碧绿的草地，飞翔中的亭子，便想起十七那年，在这里寻找春天的日子。
本想就此停车再感受一遍，可惜心中记挂北区的荷塘。
回想起冬日清理完荷塘的枯枝败叶，一片萧条的景色：湖水变成墨绿色，没有鱼儿游动，四处不见了鸟儿的踪影，只有莲藕躺在湖底沉沉睡去。
清洁大叔撑着竹竿，乘一叶扁舟，把一片片黑色腐烂的枯叶残枝挑上船。
几个小孩用长长的铁钩把莲蓬勾上岸，取下里头成熟的莲子。
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课程解读一、学习目标：1. 会根据积的变化规律直接写出得数。
2. 掌握乘法的估算方法。
在解决具体问题的过程中，能应用合适的方法进行估算，养成估算的习惯。
二、重点、难点：1. 根据积的变化规律直接写出得数。
2. 在解决具体问题的过程中，能应用合适的方法进行估算。
三、考点分析：1. 根据积的变化规律直接写出得数。
2. 在解决具体问题的过程中，能应用合适的方法进行估算。
知识梳理典型例题［方法应用题］例1. 根据15×42＝630，直接写出下面各题的得数。
思路分析：（1）题意分析：本题考查根据积的变化规律直接写出得数。
（2）解题思路：首先将各式与已知式子相比较，看看因数有什么变化，然后根据积的变化规律直接写出得数。
解答过程：解题后的思考：先找到不变的因数，再观察另一个因数的变化情况，就可以判断积的情况了。
变化的一个因数乘几，积也乘几；变化的一个因数除以几，积也跟着除以几。
例2. 市政府前面的广场上有一个边长是40米，面积是1600平方米的正方形草坪，现在扩大草坪面积，把边长扩大为原来的2倍，扩宽后的草坪面积是多少平方米？思路分析：（1）题意分析：本题考查应用积的变化规律。
（2）解题思路：正方形的面积＝边长×边长边长扩大为原来的2倍面积扩大为原来的4倍解答过程：1600×2×2＝6400（平方米）答：扩宽后的草坪面积是6400平方米。
解题后的思考：两个因数相乘，一个因数扩大为它的m倍，另一个因数也扩大为它的m倍，则积就扩大为它的m×m倍。
例3.红旗广场有一块长方形绿地，面积是480平方米，现在把这块绿地的长和宽分别增加为原来的4倍和3倍，扩大后的绿地面积是多少？思路分析：（1）题意分析：本题考查应用积的变化规律。
（2）解题思路：长方形的面积＝长×宽长扩大为原来的4倍宽扩大为原来的3倍面积扩大为原来的12倍解答过程：4×3＝12480×12＝5760（平方米）答：扩大后的绿地面积为5760平方米。
解题后的思考：两个因数相乘，一个因数扩大为它的m倍，另一个因数扩大为它的n倍，则积就扩大为它的m×n倍。
例4. 两个因数相乘，积是120，如果一个因数乘5，另一个因数除以5，那么现在的积是多少？思路分析：（1）题意分析：本题考查应用积的变化规律。
（2）解题思路：因数一×因数二＝积↓×5 ↓÷5 ↑不变因数一×5×因数二÷5＝因数一×因数二×5÷5＝因数一×因数二＝积解答过程：120×5÷5＝120解题后的思考：两数相乘，一个因数扩大（或缩小）一定的倍数，另一个因数也缩小（或扩大）相同的倍数时，积不变。
［综合运用题］例5. 兴华小学共有6个年级，每个年级有5个班，六年级1至5班的人数分别是41人，59人，49人，50人，48人，其他年级的人数情况也跟六年级类似，请你估算一下，兴华小学大约有学生多少人？思路分析：（1）题意分析：本题考查乘法的估算。
（2）解题思路：首先观察数据，总结出特点，发现它们都接近50；然后将六年级各班的人数都按50估算；最后计算出六年级大约有多少人，再求出六个年级共有多少人。
解答过程：41＋59＋49＋50＋48≈50×5＝250（人）250×6＝1500（人）答：兴华小学大约有学生1500人。
解题后的思考：题目中六年级1班有41人，不是应该看成40人吗？2班有59人，应看成60人才对吧？为什么都按50人算呢？这是因为将这两个班的人数平均以后，发现一个班大约有50人，而其他班的人数也都接近50人，这样估算能使计算简便。
例6. 李老师带了5000元钱去为学校购买办公桌。
每张办公桌286元，准备买16张，请问李老师带的钱够不够？思路分析：（1）题意分析：本题考查乘法的估算。
（2）解题思路：可以把286估算成300以简便计算。
解答过程：16×286≈16×300＝4800（元）4800元＜5000元答：李老师带的钱够。
解题后的思考：估算三位数时，为了计算简便，一般将其看成最接近自身的整百数。
［思维突破题］例7. 王老师带着同学们的爱心捐款到商店，计划给山区的小朋友买59个同样的书包。
他带了2000元，要求剩余的钱尽量少。
请你帮王老师估算一下，应该买下列哪一种书包。
22元/个 31元/个38元/个思路分析：（1）题意分析：本题考查乘法的估算。
（2）解题思路：剩下的钱数＝总钱数－花去的钱数↓↓↓尽量少一定尽量多解答过程：22×59≈20×60＝1200（元）31×59≈30×60＝1800（元）38×59≈40×60＝2400（元）1200元＜2000元1800元＜2000元2400元＞2000元答：应该买31元1个的书包。
解题后的思考：总钱数－花去的钱数＝剩下的钱数。
总钱数不变，要使剩下的钱数最少，则花去的钱数应最多。
例8. 上题中，若王老师用同样多的钱想买尽量多的书包，应选择买哪一种书包？为什么？思路分析：（1）题意分析：本题仍考查乘法的估算。
（2）解题思路：要用同样的钱买尽量多的东西，则所买的东西越便宜，能买的数量越多。
解答过程：应选择买22元1个的书包。
解题后的思考：要用同样的钱买尽量多的东西，则所买的东西越便宜，能买的数量越多。
提分技巧1. 估算结果要符合实际情况，有些情况需估大些，有些情况需估小些。
2. 尽量接近准确值。
3. 计算要方便（即将两个因数估成整十、整百或几百几十的数）。
预习导学上册第四单元平行四边形和梯形——垂直与平行一、预习新知下周我们将学习空间与图形的第二部分内容——平行四边形和梯形。
二、预习点拨探究与反思探究任务一：认识垂直【反思】垂线的画法。
探究任务二：认识平行【反思】平行线的画法。
同步练习（答题时间：30分钟）一、根据7×40＝280，直接写出下面各题的积。
14×40＝21×40＝49×40＝28×40＝35×40＝7×20＝二、填空：1. 张大山用电脑练习打字，他每分钟可打字12个，照这样计算，他30分钟可打字（）个；李老师打字的速度是张大山的3倍，用同样的时间李老师可打字（）个；李老师每分钟比张大山多打字（）个。
*2. 下列各数你是怎样估计的？中心小学有学生894人，大约是（）人。
张老师每月工资是1309元，大约是（）元。
《奥林匹克题典》有693页，大约是（）页。
学校小操场的面积是2293平方米，大约是（）平方米。
*三、估算下面各题52×98 69×103 42×29432×102 195×29 39×105**四、解决问题1. 下面这块长方形绿地的长要增加到60米，宽不变。
扩大后的绿地面积是多少平方米？2. 滨海公园有一个边长是8米的正方形花坛，打算把这个正方形花坛的边长增加到16米，则花坛的面积可比原来增加多少平方米？3. 大众商店在3月1日的营业额是890元，估算一下，这个商店3月份的营业额大约是多少？4. 一筐苹果的质量是28千克，一辆汽车最多能装61筐苹果，这辆汽车大约能装多少千克苹果？试题答案一、根据7×40＝280，直接写出下面各题的积。
14×40＝560 21×40＝84049×40＝196028×40＝112035×40＝14007×20＝140二、填空：1. 张大山用电脑练习打字，他每分钟可打字12个，照这样计算，他30分钟可打字（360）个；李老师打字的速度是张大山的3倍，用同样的时间李老师可打字（1080）个；李老师每分钟比张大山多打字（24）个。
*2. 下列各数你是怎样估计的？中心小学有学生894人，大约是（900）人。
张老师每月工资是1309元，大约是（1300）元。
《奥林匹克题典》有693页，大约是（700）页。
学校小操场的面积是2293平方米，大约是（2300）平方米。
解析：1. 估算结果要符合实际情况，有些情况需估大些，有些情况需估小些。
2. 尽量接近准确值。
*三、估算下面各题52×98≈500069×103≈700042×294≈1200032×102≈3000195×29≈600039×105≈4000解析：计算要方便（即将两个因数估成整十、整百或几百几十的数）。
**四、解决问题1. 下面这块长方形绿地的长要增加到60米，宽不变。
扩大后的绿地面积是多少平方米？60×9＝540（平方米）答：扩大后的绿地面积是540平方米。
解析：长增加到60米，也就是长是60米，宽据图可知是9米，已知长和宽，用长方形面积公式：长×宽计算出面积即可。
2. 滨海公园有一个边长是8米的正方形花坛，打算把这个正方形花坛的边长增加到16米，则花坛的面积可比原来增加多少平方米？现：16×16＝256（平方米）原：8×8＝64（平方米）增：256－64＝192（平方米）答：则花坛的面积可比原来增加192平方米。
解析：边长增加到16米，面积就是16×16＝256（平方米）；原面积是8×8＝64（平方米），再用现在的面积减去原来的面积就是增加的面积。
3. 大众商店在3月1日的营业额是890元，估算一下，这个商店3月份的营业额大约是多少？890×31≈27000（元）答：这个商店3月份的营业额大约是27000元。
解析：首先要知道3月份总共是31天，把890元看成900元，把31天看成30天，然后再计算最简便。
4. 一筐苹果的质量是28千克，一辆汽车最多能装61筐苹果，这辆汽车大约能装多少千克苹果？28×61≈1800（千克）答：这辆汽车大约能装1800千克苹果。
解析：把28千克看成30千克，把61筐看成60筐，然后再计算最简便。