用因式分解法解一元二次方程
解一元二次方程五种方法
解一元二次方程五种方法解一元二次方程五种方法解一元二次方程是初中数学中的基础知识，也是高中数学中的重要内容，掌握多种解法对于提高数学能力和解题能力有着重要作用。
下面介绍五种解一元二次方程的方法。
方法一：配方法（也称为配方根公式）配方法是一种常见的解一元二次方程的方法，它的步骤如下：1. 根据二次项系数、一次项系数和常数项分离出完全平方项；2. 将方程化为完全平方形式，即形如(x + a) = b；3. 对方程两边取平方根，得到x的两个解：x = -a ± b。
方法二：公式法公式法是解一元二次方程的常用方法之一，它的公式为：x = (-b ±√(b-4ac)) / 2a其中a、b、c分别为一次项系数、二次项系数和常数项。
方法三：图像法图像法是一种直观的解题方法，它的步骤如下：1. 将方程化为标准形式：ax+bx+c=0；2. 将方程左侧变形为y=ax+bx+c的二次函数的图像；3. 通过观察二次函数的图像，得到x的解。
方法四：因式分解法如果一元二次方程的左侧可以因式分解，那么可以使用因式分解法解题。
例如：x+5x+6=0，可以因式分解为(x+2)(x+3)=0。
因此，x的解为x=-2或x=-3。
方法五：完全平方公式完全平方公式是解一元二次方程的一种简便方法，它的步骤如下：1. 根据二次项系数、一次项系数和常数项计算出Δ=b-4ac；2. 如果Δ是完全平方数，那么方程的解为x=(-b±√Δ)/2a。
以上是解一元二次方程的五种方法，希望对大家有所帮助。
掌握多种解题方法可以提高数学思维和解题能力，也可以在考试中提高解题速度和准确性。
用因式分解法解一元二次方程
归纳总结
解一元二次方程的方法汇总：
(1)直接开平方法: x2=a (a≥0)
(2)配方法: (x+h)2=k (k≥0)
(3)公式法: x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
(4)因式分解法
知识要点
淘金者
你能用分解因式法解下列方程吗？
1. x2-4=0;
2. (x+1)2-25=0.
解：(x+2)(x-2)=0, ∴x+2=0,或x-2=0.
解：[(x+1)+5][(x+1)-5]=0, ∴x+6=0,或x-4=0.
∴x1=-2, x2=2.
∴x1=-6, x2=4.
这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法来解?
解一元二次方 联系 程的方法
方法的区别
适用范围
配方法 公式法 因式分解法
将二
次方
程降化 为次一
元方
程
先配方，再降次
所有一元 二次方程
直接利用求根公式
所有一元 二次方程
先使方程一边化为两 个一次因式相乘，另 一边为0，再分别使 各一次因式等于0
某些
方法选择
一元二次方程的四种解法：
直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法
1.(3x-2)²-49=0 2.(3x-4)²=(4x-3)²
解：移项得:(3x-2)²=49 移项得:(3x-4)²-(4x-3)2＝0
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x2 3x.
小颖是这样解的 : 解 : x2 3x 0.
(3)2 4 1 0 9.
用因式分解法解一元二次方程
22.2.3因式分解法解一元二次方程教学目标：1了解用因式分解法解方程的根据是：“如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因式中一个等于0，它们的积就等于0.”2、会用因式分解法解某些一元二次方程。
教学重点：是会用因式分解法解某些一元二次方程。
教学难点：是理解并应用会用因式分解法解某些一元二次方程。
教学过程：活动一、创设情境，引入新课：1、我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?2、解下列方程⑴ （x-2）2=1 ⑵ x 2+2x =1 ⑶ x 2-x-1 =03、看谁能最快给出下列一元二次方程的解⑴（x-1）（x+2）=0⑵（x+1）（x-2）=0⑶（2x+5）（3x-9）=0我们能这么快给出它们的解，是怎样思考的？4、揭示课题：用因式分解法解一元二次方程活动二、自主探究：1、自学课本第38-39页上第一段结束，思考下列问题：（1）教材问题所列的方程是怎样求解的？运用了什么方法？方程中的两个解表示什么？（2）如何利用由ab=0得 a=0或b=0 使二次方程降为一次方程的？（3）什么叫因式分解法解一元二次方程？2．小组交流，并展示成果。
（让学生通过自学经历思考、讨论、分析的过程，理解因式分解法解一元二次方程。
活动三、.自主学习例题3：用因式分解法解下列方程①02)2(=-+-x x x ②432412225+-=--x x x x思考：（1）这两题解方程有没有其它解题的方法（在学生回答的同时老师注意强化解题的书写格式）第一题解法二： 第二题解法二：（2）第一题能在方程两边同时除以（x-2）吗？（3）交流总结因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为0。
②将方程左边式子分解因式，由一元二次方程转化成两个一元一次方程。
③对两个一元一次方程分别求解。
训练课本40页第一题活动四、能力提升用因式分解法解方程：（1）022=--x x （2）22)3()12(x x -=-（3）24)12(3+=+x x x （4）3832=-x x（5）06)2(5)2(2=+---x x （6）0624=--x x1、师生交流总结提升：（1）用因式分解法解方程的根据由ab=0得 a=0或b=0，即“二次降为一次”。
用因式分解求解一元二次方程
用因式分解求解一元二次方程的方法是利用公式法或因式分解的方法。
以下是一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0其中a、b、c为常数，且a≠0。
首先，我们需要知道一元二次方程的求根公式：x = [ -b ±sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a)其中sqrt表示平方根。
但是，对于某些特定的方程，使用求根公式可能会比较麻烦，这时我们可以使用因式分解的方法。
因式分解的方法通常有提取公因式和公式法两种。
假设我们使用提取公因式的方法进行因式分解，那么可以将方程ax^2 + bx + c分解为(ax + m)(nx + n)的形式。
其中m和n都是常数，且m≠n。
然后，我们可以通过移项，将方程转化为两个一次因式的积的形式：mx^2 + nx^2 + (mn + b)x + mn = 0。
接下来，我们可以通过代入法求解这个一元二次方程。
将x= -b/2m和x= -n/m代入方程中，得到两个一元一次方程的解：x1 = (mn + b - sqrt(b^2 - 4ac)) / (2m^2)，x2 = (mn + b + sqrt(b^2 -4ac)) / (2m^2)。
需要注意的是，这种方法只能用于当a≠0时。
当a=0时，一元二次方程的解的情况取决于b和c的值。
如果b和c都是非零常数，那么x = -b/c就是方程的解；如果b=0且c=0，那么方程有两个相等的解x=0。
以上就是用因式分解求解一元二次方程的一般步骤。
但是需要注意，虽然使用因式分解可以简化某些一元二次方程的求解过程，但对于一些复杂的一元二次方程，使用因式分解可能会比较困难，这时仍然需要使用求根公式求解。
另外，还有一种特殊的一元二次方程，即完全平方方程，它的形式为ax^2 = b。
对于这种方程，我们可以直接开平方求解：x = ±√b/a。
这种方法也被称为直接开平方法。
综上所述，对于不同形式的一元二次方程，我们需要根据方程的特点选择合适的方法进行求解。
解一元二次方程的四种方法的利弊
解一元二次方程的四种方法的利弊随着数学的发展，解一元二次方程是数学学习中的基本内容之一。
为了解决一元二次方程，人们提出了各种各样的方法。
本文将介绍解一元二次方程的四种常见方法，并分析它们的利弊。
方法一：因式分解法原理因式分解法是一种将一元二次方程转化为多个一次方程的方法，通过因式分解将二次项分解成两个一次项的乘积，进而求出方程的解。
优点1.简单直观：因式分解法不需要过多的计算步骤，对于简单的一元二次方程求解任务非常有效。
2.适用范围广：因式分解法适用于多种形式的一元二次方程，如完全平方式、含有一次项的方式等。
缺点1.局限性：因式分解法仅适用于可以进行因式分解的一元二次方程，对于难以因式分解的方程则无法使用此方法。
2.计算复杂度高：对于具有复杂因式分解形式的方程，计算量较大，容易出现计算错误。
3.解的个数限制：因式分解法只能求解出方程的实数解，无法求解出复数解。
方法二：配方法原理配方法是通过将一元二次方程的二次项与一次项相乘，构造出一个完全平方式，然后通过转化求解方程的解。
优点1.适用广泛：配方法适用于多种类型的一元二次方程，可以应对一些无法使用因式分解法解决的方程。
2.可求解复数解：配方法可以求解出一元二次方程的复数解，能够提供更全面的解决方案。
缺点1.计算复杂：配方法需要进行一系列的代数运算和变换，计算过程相对复杂，易出错。
2.限制：对于一些特殊形式的一元二次方程，配方法无法处理，需要采取其他方法解决。
方法三：公式法原理公式法是通过一元二次方程的一般公式解来求解方程的根。
一元二次方程的一般公式解为：x = (-b±√(b²-4ac))/(2a)。
优点1.通用性强：公式法是一种通用的求解一元二次方程的方法，适用于所有的一元二次方程。
2.快速准确：通过代入方程参数直接计算公式，可以迅速而准确地求解方程的解。
缺点1.存在限制：公式法仅适用于解可求得实数解的一元二次方程，无法求解复数解。
因式分解法求解一元二次方程
因式分解法求解一元二次方程一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是常数且a≠0。
解一元二次方程的一种常见方法是因式分解法。
因式分解法的基本思想是将方程两边表示为多个因式的乘积，然后令每个因式等于零，得到多个简单的方程，再解这些方程得到所有的解。
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，首先需要判断方程的根的个数。
根据判别式Δ（delta）=b^2-4ac的值，可以得到如下结论：1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
此时可以使用因式分解法求解。
2.当Δ=0时，方程有两个相等的实根。
此时可以使用因式分解法求解。
3.当Δ<0时，方程没有实根。
此时无法使用因式分解法求解。
对于情况1和情况2，下面将详细介绍因式分解法的步骤和解题思路。
步骤一：将方程整理成一般形式。
将方程ax^2+bx+c=0移项得到ax^2+bx=-c。
步骤二：将方程左边进行因式分解。
根据二次三项完全平方式分解公式，将左边进行因式分解得到(a*x+p)(x+q)=0，其中p和q是待定常数。
步骤三：将方程化简并分别解得p和q的值。
将方程(a*x+p)(x+q)=0展开并与原方程进行对比，得到以下等式：ax^2+(a*q+p)*x+a*p*q=-c将该等式与原方程对应的系数进行比较，可得到以下等式组：a*q+p=ba*p*q=-c通过解这个等式组，得到p和q的值。
步骤四：求解x的值。
将得到的p和q的值带入最初的因式分解形式(a*x+p)(x+q)=0中，分别令每个因式等于零，求解得到x的值。
以上就是因式分解法求解一元二次方程的基本步骤。
下面通过一个具体的例子来演示如何使用因式分解法求解一元二次方程。
例题：解方程2x^2+7x+3=0。
解：根据判别式Δ=b^2-4ac，计算出Δ=49-24=25>0，所以方程有两个不相等的实根。
步骤一：将方程整理成一般形式。
将方程2x^2+7x+3=0移项得到2x^2+7x=-3。
因式分解法解一元二次方程
测
1.自学指导中的问题；
2.用因式分解法解下列方程
( x 5 ) 25
2
3 x ( 2 x 1) 4 x 2
评
用因式分解法解方程 （x-5)(x+2)=18的解题过程是否正确？ （x-5)(x+2)=18 （x-5)(x+2)=3×6 （x-5）＝3， (x+2)=6
x1=8,
1.如果a· b=0,那么a=0，或 ； 2.解一元二次方程的基本思路是什么？ 3.至今我们学过哪些解一元二次方程的方 法？ 4.什么方法适用于所有的一元二次方程？ 5.什么方法只适用于某些一元二次方程？
比一比，看谁能在6分钟的时间里，学得又快 又好，一会儿请同学口答这几=0，或 ； 2.解一元二次方程的基本思路是什么？ 3.至今我们学过哪些解一元二次方程的方法 ？ 4.什么方法适用于所有的一元二次方程？ 5.什么方法只适用于某些一元二次方程？
x2=4
什么样的一元二次方程可以用因式分解法？ 当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分 解成两个一次因式乘积的形式，就可以用因 式分解法 解一元二次方程.
练
补充练习题
作业 P43
第6题
§22.2.3因式分解法 解一元二次方程
复习
下面各式是用什么方法来进行因式分解的？ 提公因式法： am an a ( m n ) 公式法：
a 2 ab b ( a b )
2 2
2
a b ( a b )( a b )
2 2
学
认真阅读教材第38页----39页的内容。 思考下列问题：
用因式分解法解一元二次方程
∴ x1=
１
3
5 １
, x2= 3
5
公式法
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
(1)x(x 2) 0
x1 0, x2 2
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)(2x
1)
0
x1
2 3
,
x2
1 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
以上解方程 x10 4.9 x 0
是如何使二次方程降为一次的？
的方法
x10 4.9 x 0 ①
x 0 或 1 0 4.9x 0, ②
可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开方降 次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的 形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种 解法叫做因式分解法．
分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分 解因式法.
1.用分解因式法解一元二次方程的条件是:
方程左边易于分解,而右边等于零;
2.理论依据是. “如果两个因式的积等于零, 那么至少有一个因式等于零”
A. (a - 3)(a 4); B. a 3a 4; C. a 6a 2; D. a 6a 2;
2. 分解x 2 2x 8的结果为 ( A )
A. a 4a 2; B. a 4a 2; C. a 4a 2; D. a - 4a 2;
3. 若 多项项M分解的因式是(x - 2)(x - 3),则M是(C)
x1 2, x2 1.
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典型例题一
例 用因式分解法解下列方程
6223362+=+x x x
解：把方程左边因式分解为：
0)23)(32(=-+x x ∴032=+x 或023=-x
∴ 3
2,2321=-=x x 说明: 对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式，均可用因式分解法求出方程的解。
典型例题二
例 用因式分解法解下列方程。
1522+=y y
解: 移项得：01522
=--y y
把方程左边因式分解
得：0)3)(52(=-+y y
∴052=+y 或03=-y ∴.3,2
521=-=y y 说明: 在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意，把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式都为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。
典型例题三
例 用因式分解法解下列方程
（1）021362=+-x x ；
（2）0)23(9)12(322=--+x x ；
分析：一元二次方程化为一般形式后，在一般情况下，左边是一个二次三项式，右边是零.二次三项式，通常用因式分解的方法，可以分解成两个一次因式的积，从而可求出方程的根.但有些问题，可直接用因式分解法求解，例如（2）符合平方差公式的结构特征.
解：（1）原方程可变形为
,0)2)(16(=--x x
016=-x 或02=-x ， ∴2,6
121==x x . （2）原方程可化为
0)633()332(22=--+x x ，
即 0)633332)(633332(=+-+-++x x x x ， ∴0)363)(6335(=-+-+x x ， ∴06335=-+x 或0363=-+x ， ∴321,5
13221+=-=x x . 说明：因式分解将二次方程化为一次方程求解，起到了降次的作用.这种化未知为已知的解题思想，是数学中的“化归思想”.事实上，将多元方程组化为一元方程，也是此法.
典型例题四。