概率论与数理统计》习题答案(复旦大学出版社)5
概率论与数理统计课后习题答案(非常全很详细)
0.8 0.1
4 0.3077
0.8 0.1 0.2 0.9 13
即考试不及格的学生中努力学习的学生占 30.77%.
26. 将两信息分别编码为 A 和 B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作 B 的概率为 0.02，而
B 被误收作 A 的概率为 0.01.信息 A 与 B 传递的频繁程度为 2∶1.若接收站收到的信息是
P( A1
B)
P( A1B) P(B)
P(B
A 1
)
P(
A1
)
2
P(B Ai )P( Ai )
i0
2 / 31/ 3
1
1/ 31/ 3 2 / 31/ 3 11/ 3 3
28. 某工厂生产的产品中 96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率
为 0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为 0.05，求在被检查后认为是合格品产品确
≤M）正品（记为 A）的概率.如果： （1） n 件是同时取出的； （2） n 件是无放回逐件取出的； （3） n 件是有放回逐件取出的.
【解】（1）
P（A）=
C
m M
Cnm N M
/ CnN
(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有 PNn 种，n 次抽取中有 m
次为正品的组合数为
C
m n
种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从
M
件正
品中取
m
件的排列数有 PMm
种，从
NM
件次品中取
nm
件的排列数为
Pnm N M
种，
故
P（A）=
Cmn PMm
Pnm N M
PNn
概率论与数理统计习题答案(廖茂新复旦版)
习 题 一1.设A ，B ，C 为三个事件，用A ，B ，C 的运算式表示下列事件： （1） A 发生而B 与C 都不发生； （2） A ，B ，C 至少有一个事件发生； （3） A ，B ，C 至少有两个事件发生； （4） A ，B ，C 恰好有两个事件发生； （5） A ，B 至少有一个发生而C 不发生； （6） A ，B ，C 都不发生. 解：（1）A C B 或A -B -C 或A -（B ∪C ）. （2）A ∪B ∪C . （3）（AB ）∪（AC ）∪（BC ）. （4）（AB C ）∪（AC B ）∪（BC A ）. （5）（A ∪B ）C . （6）C B A 或C B A .2.对于任意事件A ，B ，C ，证明下列关系式： （1）(A +B ) (A +B )(A + B )(A +B )= ∅； （2）AB +A B +A B +A B AB -= AB ；（3）A -(B +C )= (A-B )-C . 证明：略.3.设A ，B 为两事件，P （A ）=0.5,P (B )=0.3,P (AB )=0.1，求： （1） A 发生但B 不发生的概率； （2） A ，B 都不发生的概率；（3） 至少有一个事件不发生的概率.解（1） P （A B ）=P （A -B ）=P （A -AB ）=P （A ）-P （AB ）=0.4； (2) P (B A )=P (B A )=1-P (A ∪B )=1-0.7=0.3； (3) P (A ∪B ）=P (AB ）=1-P (AB )=1-0.1=0.9.4.调查某单位得知。
购买空调的占15％，购买电脑占12％，购买DVD 的占20%；其中购买空调与电脑占6%，购买空调与DVD 占10%，购买电脑和DVD 占5％，三种电器都购买占2％。
求下列事件的概率。
（1）至少购买一种电器的； （2）至多购买一种电器的； （3）三种电器都没购买的.解：（1） 0.28, （2）0.83, （3） 0.725.10把钥匙中有3把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。
(完整版)概率论与数理统计习题答案详解版(廖茂新复旦版)
概率论与数理统计习题答案详解版（廖茂新复旦版）习题一1. 设A，B，C 为三个事件，用A，B，C 的运算式表示下列事件：（1）A 发生而B与 C 都不发生；（2）A，B，C 至少有一个事件发生；（3）A，B，C 至少有两个事件发生；（4）A，B，C 恰好有两个事件发生；（5）A，B至少有一个发生而 C 不发生；（6）A，B，C 都不发生.解：（1）A BC或 A B C或 A （B∪C）.（2）A∪B∪C.（3）（AB）∪（AC）∪（BC）.（4）（AB C ）∪（AC B ）∪（BC A）.（5）（A∪B）C.（6） A B C 或ABC.2. 对于任意事件A，B，C，证明下列关系式：（1）（A+B）（A+B ）（ A + B）（ A + B ）= ；（2）AB+A B +A B+A B AB= AB；(3)A-(B+C)= (A-B)-C. 证明：略.3.设A，B为两事件，P（A）=0.5,P（B）=0.3,P（AB）=0.1，求：（1）A发生但B不发生的概率；（2）A，B 都不发生的概率；（3）至少有一个事件不发生的概率.解（1）P（A B ）=P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0.4；（2） P（AB）=P（ A B）=1-P（A∪B）=1-0.7=0.3；（3） P（A∪B）=P（AB ）=1-P（AB）=1-0.1=0.9.4.调查某单位得知。
购买空调的占15％，购买电脑占12％，购买DVD 的占20%；其中购买空调与电脑占6%，购买空调与DVD占10%，购买电脑和DVD占5％，三种电器都购买占2％。
求下列事件的概率。
（1）至少购买一种电器的；（2）至多购买一种电器的；（3）三种电器都没购买的.解：（1）0.28, （2）0.83, （3）0.725.10 把钥匙中有 3 把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。
解：8/156. 任意将10 本书放在书架上。
其中有两套书，一套 3 本，另一套4 本。
概率论与数理统计第五章习题参考答案
0.05
⎭
查表得： χ 20.95 (8) = 15.507 ，故拒绝域为 (15.507, + ∞) .
代入样本值 s = 0.007 得 K 值为 K = 8 × (0.007)2 = 15.68 > 15.507 (0.005) 2
所以拒绝 H 0 ，故可以认为这批导线的标准差显著地偏大。
7. 某厂使用两种不同的原料 A, B 生产同一类产品，现抽取用原料 A 生产的样品 220 件，测得平均 重量为 2.46kg，标准差为 0.57kg。抽取用原料 B 生产的样品 205 件，测得平均重量为 2.55kg，标 准差为 0.48kg。设这两个总体都服从正态分布，且方差相等，问在显著水平α = 0.05 下能否认为 使用原料 B 生产的产品平均重量较使用原料 A 生产的产品平均重量为大？
当假设 H 0 为真时，取检验统计量
T = X − 3.25 ~ t(4) S/ 5
由
P ⎪⎨⎧ ⎪⎩
X − 3.25 S/ 5
>
t
0.01 2
(4)⎪⎬⎫ ⎪⎭
=
0.01
查表得： t 0.01 (4) = 4.6041，故拒绝域为 (−∞,−4.6041) U (4.6041,+∞) .
2
代入样本值 x = 3.252, s = 0.013 得 T 值为 T = 3.252 − 3.25 = 0.344 < 4.6041 0.013 / 5
当假设 H 0′ 为真时，取检验统计量
F = S12 ~ F (10,8)
S
2 2
由
P⎪⎨⎧ ⎪⎩
S12
S
2 2
<
F 1−
0.05
概率论与数理统计复旦大学出版社第五章课后答案
概率与数理统计习题五答案1•一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P{10VXV18}.达到在76%与84%之间的概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件?【解】设至少要生产n 件产品才能满足要求,人 1,第i 个产品合格， 令X i0,第i 个产品不合格.'1,2,L ,n ，则X 1,X 2,L ,X n 相互独立且服从相同的（0— 1）分布，P P X i 1 0.8现要求n,使得nX i P 0.76— 0.84 0.9.n【解】设X i （i 123,4）表示第i 次掷的点数，则4X ii 1E(X i ) E(X i 2)112 16 612 1 2261 6 321 642 5 16 1 52 66 1 6 167 2 62 91 6 从而D(X i ) E(X i 2)[E(X i )]91 635 12又X i ,X 2,X 3,X 4独立同分布44从而 E(X) E( X i )E(X i ) i 1 i 114,所以44D(X) D( X i )D(X i )i 1i 1P{10 X 18} P{| X2.假设一条生产线生产的产品合格率是 4 35 12 35 3 141 4}1晳 0.271,4208要使一批产品的合格率742所以供应电能151X 15=2265 (单位).0.95 P{X m} P X140 m 140^42m 140742查表知耳便1.64,V 42,m=151.根据独立同分布的中心极限定理得整理得 普o.95'查表普1.64, n >268.96,故取 n=269.3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为0.7,假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以 95%的概率保证不致因供电不足 而影响生产.【解】设需要供应车间至少m 15个单位的电能，这么多电能最多能同时供给m 部车床工作，我们的问题是求把观察一部机床是否在工作看成一次试验，在 200次试验中,用X 表示正在工作的机床数目，则 X 〜B(200,0.7),E(X) np 200 0.7 140, D(X) np(1 p) 200 0.7 0.3根据题意，结合棣莫弗一拉普拉斯定理可得nX i 0.8ni 1p 0.76 n 0.8 n V n 0.8 0.2V n 0.8 0.20.84n 0.8n V n 0.8 0.20.84n 0.8n 0.76n J0.16 n』0.9,42,1P{ X 30}P{ X 30} 1 PX np 30 np J np(1 p) J np(1 p) 30 100 0.2 J100 0.2 0.81(2.5) 0.00624. 一加法器同时收到20个噪声电压V ( k 12L ,20),设它们是相互20独立的随机变量，且都在区间(0,10)上服从均匀分布.记V V k ,k 1求P{V > 105}的近似值.100/12(k 1,2,L ,20)。
概率论与数理统计复旦 第5章习题详解
（2） 求有 1 名家长来参加会议的学生数不多于 340 的概率.
【解】（1） 以 Xi(i=1,2,…,400)记第 i 个学生来参加会议的家长数.则 Xi 的分布律为
Xi
0
1
2
P
0.05
0.8
0.15
易知 E（Xi=1.1）,D(Xi)=0.19,i=1,2,…,400.
400
而 X Xi ,由中心极限定理得 i
1 6
52
1 6
62
1 6
91 6
,
从而
D( X i
)
E
(
X
2 i
)
[E( Xi )]2
91 6
7 2
2
35 12
.
又 X1,X2,X3,X4 独立同分布.
从而 E(X )
4
E(
i 1
Xi)
4 i 1
E( Xi )
4
7 2
14,
D(X )
习题五
1.一颗骰子连续掷 4 次，点数总和记为 X.估计 P{10<X<18}.
4
【解】设 X i 表每次掷的点数，则 X X i i 1
E(Xi
)
1
1 6
2
1 6
3
1 6
4
1 6
5
1 6
6
1 6
7 2
,
E
(
X
2 i
)
概率论和数理统计习题答案解析详解版[廖茂新复旦版]
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概率论与数理统计习题答案详解版(廖茂新复旦版)习题一1.设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算式表示下列事件：（1）A发生而B与C都不发生；（2）A，B，C至少有一个事件发生；（3）A，B，C至少有两个事件发生；（4）A，B，C恰好有两个事件发生；（5）A，B至少有一个发生而C不发生；（6）A，B，C都不发生.解：（1）A CB或A B C或A（B∪C）.（2）A∪B∪C.（3）（AB）∪（AC）∪（BC）.（4）（AB C）∪（AC B）∪（BC A）.（5）（A∪B）C.（6）C或CABA.B2.对于任意事件A，B，C，证明下列关系式：（1）(A+B) (A+B)(A+ B)(A+B)= ∅；（2）AB+A B +A B+A B AB-= AB；（3）A-(B+C)=(A-B)-C.证明：略.3.设A，B为两事件，P（A）=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.1，求：（1）A发生但B不发生的概率；（2） A，B都不发生的概率；（3）至少有一个事件不发生的概率.解（1） P（A B）=P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0.4；(2) P(BA )=1-P(A∪B)=1-0.7=0.3；A)=P(B(3) P(A∪B）=P(AB）=1-P(AB)=1-0.1=0.9.4.调查某单位得知。
购买空调的占15％，购买电脑占12％，购买DVD 的占20%；其中购买空调与电脑占6%，购买空调与DVD占10%，购买电脑和DVD占5％，三种电器都购买占2％。
求下列事件的概率。
（1）至少购买一种电器的；（2）至多购买一种电器的；（3）三种电器都没购买的.解：（1） 0.28, （2）0.83, （3） 0.725.10把钥匙中有3把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。
解：8/156.任意将10本书放在书架上。
其中有两套书，一套3本，另一套4本。
求下列事件的概率。
（1）3本一套放在一起；（2）两套各自放在一起；（3）两套中至少有一套放在一起.解：（1）1/15，（2）1/210，（3）2/217. 12名新生中有3名优秀生，将他们随机地平均分配到三个班中去，试求：（1） 每班各分配到一名优秀生的概率；（2） 3名优秀生分配到同一个班的概率.解 12名新生平均分配到三个班的可能分法总数为34448412)!4(!12C C C =（1） 设A 表示“每班各分配到一名优秀生”3名优秀生每一个班分配一名共有3！种分法，而其他9名学生平均分配到3个班共有3)!3(!9种分法，由乘法原理，A 包含基本事件数为3！·3)!3(!9=2)!3(!9 故有P （A ）=2)!3(!9/3)!4(!12=16/55 （2） 设B 表示“3名优秀生分到同一班”，故3名优秀生分到同一班共有3种分法，其他9名学生分法总数为!4!4!1!9C C C 444819=，故由乘法原理，B 包含样本总数为3·!4!4!1!9.故有 P （B ）=()2！4!9·3/()3！4!12=3/558.箱中装有a 只白球，b 只黑球，现作不放回抽取，每次一只. （1） 任取m +n 只，恰有m 只白球，n 只黑球的概率（m ≤a ,n ≤b ）;(2) 第k 次才取到白球的概率（k ≤b +1）; （3） 第k 次恰取到白球的概率.解 （1）可看作一次取出m +n 只球，与次序无关，是组合问题.从a +b 只球中任取m +n 只，所有可能的取法共有nm b a ++C 种，每一种取法为一基本事件且由于对称性知每个基本事件发生的可能性相同.从a 只白球中取m 只，共有m a C 种不同的取法，从b 只黑球中取n 只，共有n b C 种不同的取法.由乘法原理知，取到m 只白球，n 只黑球的取法共有m a C n b C种，于是所求概率为p 1=n m ba nb m a ++C C C.(2) 抽取与次序有关.每次取一只，取后不放回，一共取k 次，每种取法即是从a+b 个不同元素中任取k 个不同元素的一个排列，每种取法是一个基本事件，共有k b a +P 个基本事件，且由于对称性知每个基本事件发生的可能性相同.前k -1次都取到黑球，从b 只黑球中任取k -1只的排法种数，有1P -k b 种，第k 次抽取的白球可为a 只白球中任一只，有1P a 种不同的取法.由乘法原理，前k -1次都取到黑球，第k 次取到白球的取法共有11P P a k b -种，于是所求概率为p 2=k ba a kb +-P P P 11.(3) 基本事件总数仍为k b a +P .第k 次必取到白球，可为a 只白球中任一只，有1P a 种不同的取法，其余被取的k -1只球可以是其余a+b -1只球中的任意k -1只，共有11P --+k b a 种不同的取法，由乘法原理，第k次恰取到白球的取法有111k a a b P P -+- p 3=111k a a b k a b P P a P a b-+-+=+.9.在区间（0，1）内任取两个数，求这两个数的乘积小于1/4的概率.解 设在（0，1）内任取两个数为x ,y，则0＜x ＜1,0＜y ＜1图1-7即样本空间是由点（x ，y ）构成的边长为1的正方形Ω，其面积为 1.令A 表示“两个数乘积小于1/4”，则A ={（x ,y ）｜0＜xy ＜1/4,0＜x ＜1,0＜y ＜1}事件A 所围成的区域见图1-7，则所求概率P (A ) =2ln 2141d 414311d )411(11d d 114/114/111/411/4+=+-=--=-⎰⎰⎰⎰x x xx yx x.10.两人相约在某天下午5∶00~6∶00在预定地方见面，先到者要等候20分钟，过时则离去.如果每人在这指定的一小时内任一时刻到达是等可能的，求约会的两人能会到面的概率.解 设x ,y 为两人到达预定地点的时刻，那么，两人到达时间的一切可能结果落在边长为60的正方形内，这个正方形就是样本空间Ω,而两人能会面的充要条件是｜x -y ｜≤20，即x-y ≤20且y-x ≤20.令事件A 表示“两人能会到面”，这区域如图1-8中的A .则P (A ) =.95604060)()(222=-=Ωm A m11.一盒中装有5只产品，其中有3只正品，2只次品，从中取产品两次，每次取一只，作不放回抽样，求在第一次取到正品条件下，第二次取到的也是正品的概率.解 设A 表示“第一次取到正品”的事件，B 表示“第二次取到正品”的事件 由条件得P （A ）=(3×4)/(5×4)= 3/5， P (AB )= (3×2)/(5×4)= 3/10，故有 P （B ｜A ）=P （AB ）/P （A ）=(3/10)/( 3/5)= 1/2.此题也可按产品编号来做，设1，2，3号为正品，4，5号为次品，则样本空间为Ω={1，2，3，4，5}，若A 已发生，即在1，2，3中抽走一个，于是第二次抽取所有可能结果的集合中共有4只产品，其中有2只正品，故得P （B ｜A ）=2/4=1/2.12.设P （A ）=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5，求P （B ｜A ∪B ). 解 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B A B P A B P A P B P AB -==+- 0.70.510.70.60.54-==+-13.设盒中有m 只红球，n 只白球，每次从盒中任取一只球，看后放回，再放入k 只与所取颜色相同的球.若在盒中连取四次，试求第一次，第二次取到红球，第三次，第四次取到白球的概率.解 设R i (i =1,2,3,4)表示第i 次取到红球的事件，i R (i =1,2,3,4)表示第i 次取到白球的事件.则有.32)()()()()(32142131214321kn m kn k n m n kn m k m n m m R R R R P R R R P R R P R P R R R R P +++⋅++⋅+++⋅+==14.仓库中有十箱同样规格的产品，已知其中有五箱、三箱、二箱依次为甲、乙、丙厂生产的，且甲厂，乙厂、丙厂生产的这种产品的次品率依次为1/10,1/15,1/20.从这十箱产品中任取一件产品，求取得正品的概率。
概率论与数理统计习题答案-第二版-修订版-复旦大学
概率论与数理统计习题及答案习题一1．略.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC（4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABCU U(6) ABC(5) ABC=A B C(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3.略.见教材习题参考答案4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）.【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)]=1-[0.7-0.3]=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=14+14+13-112=3423.设P （A ）=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5，求P （B ｜A ∪B ） 【解】 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B A B P A B P A P B P AB -==+-U U 0.70.510.70.60.54-==+-33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为15，13，14，求将此密码破译出的概率.【解】 设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-U42310.6534=-⨯⨯= 34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3由全概率公式，得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.458.习题二1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】353524353,4,51(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6C X P X P X P X ==========故所求分布律为2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图； (3)133{},{1},{1},{12}222P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.【解】313315122133151133150,1,2.C 22(0).C 35C C 12(1).C 35C 1(2).C 35X P X P X P X ==========（2） 当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)=2235当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数0,022,0135()34,12351,2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩(3)1122()(),2235333434(1)()(1)02235353312(1)(1)(1)2235341(12)(2)(1)(2)10.3535P X F P X F F P X P X P X P X F F P X ≤==<≤=-=-=≤≤==+<≤=<<=--==--=3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3.31232233(0)(0.2)0.008(1)C 0.8(0.2)0.096(2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512P X P X P X P X ============故X 的分布律为分布函数0,00.008,01()0.104,120.488,231,3x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==4.（1） 设随机变量X 的分布律为P {X =k }=!k akλ，其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a .（2） 设随机变量X 的分布律为P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知1()e !kk k P X k a a k λλ∞∞======∑∑g故 ea λ-=(2) 由分布律的性质知111()NNk k aP X k a N======∑∑即 1a =.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7)(1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+(3,3)P X Y ==33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++22223333C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+0.32076=(2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ (2,1)(3,1)(3,2)P X Y P X Y P X Y ==+==+==12322333C 0.6(0.4)(0.3)C (0.6)0.4(0.3)=++ 33221233(0.6)(0.3)C (0.6)0.4C 0.7(0.3)++ 31232233(0.6)C 0.7(0.3)(0.6)C (0.7)0.3+=0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，则有()0.01P X N ><即 2002002001C (0.02)(0.98)0.01k k kk N -=+<∑利用泊松近似2000.02 4.np λ==⨯=41e 4()0.01!kk N P X N k -∞=+≥<∑B查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000，0.0001）(2)1(0)(1)P X P X P X ≥=-=-=0.10.11e0.1e --=--⨯8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则1422355C (1)C (1)p p p p -=-故 13p =所以 4451210(4)C ()33243P X ===. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3）5553(3)C (0.3)(0.7)0.16308kk k k P X -=≥==∑(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3）7773(3)C (0.3)(0.7)0.35293k k k k P Y -=≥==∑10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）32(0)eP X -== (2) 52(1)1(0)1eP X P X -≥=-==-11.设P {X =k }=kkkp p --22)1(C , k =0,1,2P {Y =m }=mmmp p --44)1(C , m =0,1,2,3,4分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=59，试求P {Y ≥1}.【解】因为5(1)9P X ≥=，故4(1)9P X <=. 而 2(1)(0)(1)P X P X p <===-故得 24(1),9p -=即 1.3p =从而 465(1)1(0)1(1)0.8024781P Y P Y p ≥=-==--=≈ 12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X 为2000册书中错误的册数，则X~b (2000,0.001).利用泊松近似计算,20000.0012np λ==⨯=得 25e 2(5)0.00185!P X -=≈= 13.进行某种试验，成功的概率为34，失败的概率为14.以X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率. 【解】1,2,,,X k =L L113()()44k P X k -==(2)(4)(2)P X P X P X k =+=++=+L L321131313()()444444k -=++++g L L 213141451()4==-g 14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： （1） 保险公司亏本的概率;（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X ，则X~b (2500,0.002)，则所求概率为(200030000)(15)1(14)P X P X P X >=>=-≤由于n 很大，p 很小，λ=np =5，故用泊松近似，有514e 5(15)10.000069!kk P X k -=>≈-≈∑(2) P (保险公司获利不少于10000)(30000200010000)(10)P X P X =-≥=≤510e 50.986305!kk k -=≈≈∑ 即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P （保险公司获利不少于20000）(30000200020000)(5)P X P X =-≥=≤55e 50.615961!kk k -=≈≈∑ 即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X 的密度函数为f (x )=A e -|x |, -∞<x <+∞,求：（1）A 值；（2）P {0<X <1}; (3) F (x ). 【解】（1） 由()d 1f x x ∞-∞=⎰得||1e d 2e d 2x x A x A x A ∞∞---∞===⎰⎰故 12A =. (2) 11011(01)e d (1e )22x p X x --<<==-⎰(3) 当x <0时，11()e d e 22x x x F x x -∞==⎰当x ≥0时，0||0111()e d e d e d 222x x x x x F x x x x ---∞-∞==+⎰⎰⎰11e 2x-=-故 1e ,02()11e 02xx x F x x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥.100,0,100,1002x x x求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率； （2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率；（3） F （x ）. 【解】（1） 15021001001(150)d .3P X x x ≤==⎰ 33128[(150)]()327p P X =>==(2) 1223124C ()339p ==(3) 当x <100时F （x ）=0当x ≥100时()()d xF x f t t -∞=⎰100100()d ()d xf t t f t t -∞=+⎰⎰2100100100d 1xt t x==-⎰ 故 1001,100()0,0x F x xx ⎧-≥⎪=⎨⎪<⎩ 17.在区间［0，a ］上任意投掷一个质点，以X 表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a ］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数. 【解】 由题意知X ~∪[0,a ]，密度函数为1,0()0,x af x a⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 故当x <0时F （x ）=0 当0≤x ≤a 时01()()d ()d d xx xx F x f t t f t t t a a-∞====⎰⎰⎰当x >a 时，F （x ）=1即分布函数0,0(),01,x x F x x a a x a<⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩ 18.设随机变量X 在[2，5]上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率. 【解】X ~U [2,5]，即1,25()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他5312(3)d 33P X x >==⎰故所求概率为22333321220C ()C ()33327p =+= 19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从指数分布1()5E .某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求P {Y ≥1}. 【解】依题意知1~()5X E ，即其密度函数为51e ,0()50,xx f x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩x 0 该顾客未等到服务而离开的概率为25101(10)e d e 5x P X x -∞->==⎰2~(5,e )Y b -,即其分布律为225525()C (e )(1e ),0,1,2,3,4,5(1)1(0)1(1e )0.5167kk k P Y k k P Y P Y ----==-=≥=-==--=20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服从N （40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从N （50，42）. （1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解】（1） 若走第一条路，X~N （40，102），则406040(60)(2)0.977271010x P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭若走第二条路，X~N （50，42），则506050(60)(2.5)0.993844X P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭++故走第二条路乘上火车的把握大些.（2） 若X~N （40，102），则404540(45)(0.5)0.69151010X P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭若X~N （50，42），则504550(45)( 1.25)44X P X P Φ--⎛⎫<=<=- ⎪⎝⎭1(1.25)0.1056Φ=-= 故走第一条路乘上火车的把握大些. 21.设X ~N （3，22），（1） 求P {2<X ≤5}，P {-4<X ≤10}，P {｜X ｜＞2}，P {X ＞3}; （2） 确定c 使P {X ＞c }=P {X ≤c }. 【解】（1） 23353(25)222X P X P ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭11(1)(1)1220.841310.69150.5328ΦΦΦΦ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+=433103(410)222X P X P ----⎛⎫-<≤=<≤ ⎪⎝⎭770.999622ΦΦ⎛⎫⎛⎫=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(||2)(2)(2)P X P X P X >=>+<-323323222215151122220.691510.99380.6977X X P P ΦΦΦΦ-----⎛⎫⎛⎫=>+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+-=333(3)()1(0)0.522X P X P Φ->=>=-=- (2) c=322.由某机器生产的螺栓长度（cm ）X ~N （10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.060.06X P X P ⎛-⎫->=>⎪⎝⎭1(2)(2)2[1(2)]0.0456ΦΦΦ=-+-=-=23.一工厂生产的电子管寿命X （小时）服从正态分布N （160，σ2），若要求P {120＜X ≤200}≥0.8，允许σ最大不超过多少？ 【解】120160160200160(120200)X P X P σσσ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭404040210.8ΦΦΦσσσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-≥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故4031.251.29σ≤= 24.设随机变量X 分布函数为F （x ）=e ,0,(0),00.xt A B x ,x λ-⎧+≥>⎨<⎩（1） 求常数A ，B ；（2） 求P {X ≤2}，P {X ＞3}； （3） 求分布密度f （x ）.【解】（1）由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞→+→-=⎧⎪⎨=⎪⎩得11A B =⎧⎨=-⎩（2） 2(2)(2)1eP X F λ-≤==-33(3)1(3)1(1e)e P X F λλ-->=-=--=(3) e ,0()()0,0x x f x F x x λλ-⎧≥'==⎨<⎩25.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x 求X 的分布函数F （x ），并画出f （x ）及F （x ）.【解】当x <0时F （x ）=0当0≤x <1时0()()d ()d ()d x xF x f t t f t t f t t -∞-∞==+⎰⎰⎰20d 2xx t t ==⎰当1≤x<2时()()d xF x f t t -∞=⎰1011122()d ()d ()d d (2)d 132222212xx f t t f t t f t tt t t tx x x x -∞==+=+-=+--=-+-⎰⎰⎰⎰⎰当x ≥2时()()d 1xF x f t t -∞==⎰故 220,0,012()21,1221,2x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩26.设随机变量X 的密度函数为（1） f (x )=a e -|x |,λ>0;(2) f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<.,0,21,1,10,2其他x x x bx 试确定常数a ,b ，并求其分布函数F （x ）. 【解】（1） 由()d 1f x x ∞-∞=⎰知||021e d 2e d x x aa x a x λλλ∞∞---∞===⎰⎰故 2a λ=即密度函数为 e ,02()e 02xx x f x x λλλλ-⎧>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩当x ≤0时1()()d e d e 22xxx x F x f x x x λλλ-∞-∞===⎰⎰当x >0时0()()d e d e d 22xxxx F x f x x x x λλλλ--∞-∞==+⎰⎰⎰11e 2xλ-=-故其分布函数11e ,02()1e ,02xx x F x x λλ-⎧->⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩(2) 由12201111()d d d 22b f x x bx x x x ∞-∞==+=+⎰⎰⎰得 b =1即X 的密度函数为2,011(),120,x x f x x x<<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎩其他当x ≤0时F （x ）=0 当0<x <1时0()()d ()d ()d xxF x f x x f x x f x x -∞-∞==+⎰⎰⎰2d 2xx x x ==⎰当1≤x <2时012011()()d 0d d d x xF x f x x x x x x x-∞-∞==++⎰⎰⎰⎰312x=- 当x ≥2时F （x ）=1 故其分布函数为20,0,012()31,1221,2x x x F x x x x ≤⎧⎪⎪<<⎪=⎨⎪-≤<⎪⎪≥⎩27.求标准正态分布的上α分位点， （1）α=0.01，求z α; （2）α=0.003，求z α，/2z α. 【解】（1） ()0.01P X z α>=即 1()0.01z αΦ-= 即 ()0.09z αΦ= 故 2.33z α= （2） 由()0.003P X z α>=得1()0.003z αΦ-=即 ()0.997z αΦ= 查表得 2.75z α=由/2()0.0015P X z α>=得/21()0.0015z α-Φ=即 /2()0.9985z αΦ= 查表得 /2 2.96z α=求Y =X 的分布律.【解】Y 可取的值为0，1，4，91(0)(0)5117(1)(1)(1)615301(4)(2)511(9)(3)30P Y P X P Y P X P X P Y P X P Y P X =======-+==+====-=====故Y 的分布律为29.设P {X =k }=(2)k, k =1,2,…,令 1,1,.X Y X ⎧=⎨-⎩当取偶数时当取奇数时求随机变量X 的函数Y 的分布律.【解】(1)(2)(4)(2)P Y P X P X P X k ===+=++=+L L242111()()()222111()/(1)443k =++++=-=L L2(1)1(1)3P Y P Y =-=-==30.设X ~N （0，1）.（1） 求Y =e X 的概率密度； （2） 求Y =2X 2+1的概率密度； （3） 求Y =｜X ｜的概率密度.【解】（1） 当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时，()()(e )(ln )xY F y P Y y P y P X y =≤=≤=≤ln ()d yX f x x -∞=⎰故 2/2ln d ()1()(ln ),0d y Y Y x F y f y f y y y y -===> (2)2(211)1P Y X =+≥=当y ≤1时()()0Y F y P Y y =≤=当y >1时2()()(21)Y F y P Y y P X y =≤=+≤212y P X P X ⎛-⎛⎫=≤=≤≤ ⎪ ⎝⎭⎝()d X f x x =故 d ()()d Y Y XX f y F y f f y ⎤⎛==+⎥ ⎥⎝⎦(1)/4,1y y --=>(3) (0)1P Y ≥=当y ≤0时()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时()(||)()Y F y P X y P y X y =≤=-≤≤ ()d yX yf x x -=⎰故d()()()()d Y Y X X f y F y f y f y y==+- 2/2,0y y -=> 31.设随机变量X ~U （0,1），试求：（1） Y =e X 的分布函数及密度函数； （2） Z =-2ln X 的分布函数及密度函数. 【解】（1） (01)1P X <<=故 (1e e)1XP Y <=<= 当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤=当1<y <e 时()(e )(ln )XY F y P y P X y =≤=≤ln 0d ln yx y ==⎰当y ≥e 时()(e )1XY F y P y =≤=即分布函数0,1()ln ,1e 1,e Y y F y y y y ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩故Y 的密度函数为11e ,()0,Y y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 （2） 由P （0<X <1）=1知(0)1P Z >=当z ≤0时，()()0Z F z P Z z =≤=当z >0时，()()(2ln )Z F z P Z z P X z =≤=-≤/2(ln )(e)2z zP X P X -=≤-=≥/21/2e d 1e z z x --==-⎰即分布函数-/20,0()1-e ,Z z z F z z ≤⎧=⎨>⎩0 故Z 的密度函数为/21e ,0()20,z Z z f z z -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩032.设随机变量X 的密度函数为f (x )=22,0π,π0,.xx ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他试求Y =sin X 的密度函数. 【解】(01)1P Y <<=当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当0<y <1时，()()(sin )Y F y P Y y P X y =≤=≤(0arcsin )(πarcsin π)P X y P y X =<≤+-≤<arcsin π220πarcsin 22d d ππyy x x x x -=+⎰⎰222211arcsin 1πarcsin ππy y =+--（）（）2arcsin πy =当y ≥1时，()1Y F y = 故Y 的密度函数为201π()0,Y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 33.设随机变量X 的分布函数如下：⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=.)3(,)2(,)1(,11)(2x x x x F试填上(1),(2),(3)项.【解】由lim ()1x F x →∞=知②填1。
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习题五1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10<X <18}. 【解】设i X 表每次掷的点数，则41ii X X==∑22222221111117()123456,666666211111191()123456,6666666i i E X E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=从而 22291735()()[()].6212i ii D X E X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭又X 1,X 2,X 3,X 4独立同分布.从而44117()()()414,2i i i i E X E X E X =====⨯=∑∑ 44113535()()()4.123i i i i D X D X D X =====⨯=∑∑ 所以 235/3{1018}{|14|4}10.271,4P X P X <<=-<≥-≈ 2. 假设一条生产线生产的产品合格率是.要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件【解】令1,,0,i i X ⎧⎨⎩若第个产品是合格品其他情形.而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n ,且 X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得1{0.760.84}0.9.nii XP n=≤≤≥∑即0.80.9niXnP -≤≤≥∑由中心极限定理得0.9,Φ-Φ≥整理得0.95,Φ≥⎝⎭查表1.64,10≥ n ≥, 故取n =269.3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,于是我们只要供应15m 单位电能就可满足要求.令X 表同时开动机床数目，则X ~B （200，）,()140,()42,E X D X ==0.95{0}().42P X m P X m =≤≤=≤=Φ⎪⎝⎭查表知1.64,42= ,m =151. 所以供电能151×15=2265（单位）.4. 一加法器同时收到20个噪声电压V k （k =1，2，…，20），设它们是相互独立的随机变量，且都在区间（0，10）上服从均匀分布.记V =∑=201k kV，求P {V ＞105}的近似值. 【解】易知:E (V k )=5,D (V k )=10012,k =1,2,…,20 由中心极限定理知，随机变量201205~(0,1).10010020201212kk VZ N =-⨯==⨯⨯∑近似的于是105205{105}1010020201212P V P ⎧⎫⎪⎪-⨯⎪>=>⎨⎬⎪⎪⨯⨯⎪⎪⎩1000.3871(0.387)0.348,102012V P ⎧⎫⎪⎪-⎪⎪=>≈-Φ=⎨⎬⎪⎪⨯⎪⎪⎩⎭即有 P {V >105}≈5. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m 的概率是多少 【解】设100根中有X 根短于3m ，则X ~B （100，）从而{30}1{30}11000.20.8P X P X ≥=-<≈-Φ⨯⨯1(2.5)10.99380.0062.=-Φ=-=6. 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言.（1） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是，问接受这一断言的概率是多少 （2） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是，问接受这一断言的概率是多少【解】1,,1,2,,100.0,.i i X i ⎧==⎨⎩L 第人治愈其他令1001.ii X X ==∑(1) X ~B (100,，1001{75}1{75}1i i P X P X =>=-≤≈-Φ∑ 1( 1.25)(1.25)0.8944.=-Φ-=Φ=(2) X ~B (100,，1001{75}1{75}1i i P X P X =>=-≤≈-Φ∑11(1.09)0.1379.=-Φ=-Φ= 7. 用Laplace 中心极限定理近似计算从一批废品率为的产品中，任取1000件，其中有20件废品的概率. 【解】令1000件中废品数X ，则p =,n =1000,X ~B (1000,，E (X )=50，D (X )=.故130{20} 6.895 6.895P X ϕ⎛⎫===- ⎪⎝⎭6130 4.510.6.895 6.895ϕ-⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭8. 设有30个电子器件.它们的使用寿命T 1，…，T 30服从参数λ=[单位：（小时）-1]的指数分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推.令T为30个器件使用的总计时间，求T 超过350小时的概率. 【解】11()10,0.1i E T λ=== 21()100,i D T λ== ()1030300,E T =⨯= ()3000.D T =故{350}111(0.913)0.1814.P T >≈-Φ=-Φ=-Φ=9. 上题中的电子器件若每件为a 元，那么在年计划中一年至少需多少元才能以95%的概率保证够用（假定一年有306个工作日，每个工作日为8小时）.【解】设至少需n 件才够用.则E (T i )=10，D (T i )=100，E (T )=10n ，D (T )=100n .从而1{3068}0.95,ni i P T =≥⨯=∑即0.05.≈Φ 故0.95,1.64272.n =Φ=≈所以需272a 元.10. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1 名家长、2名家长来参加会议的概率分别为,,.若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布. （1） 求参加会议的家长数X 超过450的概率（2） 求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率. 【解】（1） 以X i (i =1,2,…,400)记第i 个学生来参加会议的家长数.则X i 的分布律为X i 01 2 P易知E （X i =）,D (X i )=,i =1,2,…,400. 而400iiX X=∑,由中心极限定理得400400 1.1400 1.1~(0,1).4000.19419iiXX N -⨯-⨯=⨯⨯∑近似地于是450400 1.1{450}1{450}1419P X P X -⨯⎛⎫>=-≤≈-Φ ⎪⨯⎝⎭1(1.147)0.1357.=-Φ=(2) 以Y 记有一名家长来参加会议的学生数.则Y ~B (400,由拉普拉斯中心极限定理得{340(2.5)0.9938.4000.80.2P Y ≤≈Φ=Φ= ⎪⨯⨯⎝⎭11. 设男孩出生率为，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率 【解】用X 表10000个婴儿中男孩的个数，则X ~B （10000，）要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求P {X ≤5000}. 由中心极限定理有{5000}(3)1(3)0.00135.100000.5150.485P X ≤≈Φ=Φ-=-Φ=⨯⨯12. 设有1000个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为.以95%概率估计，在一次行动中：（1）至少有多少个人能够进入 （2）至多有多少人能够进入【解】用X i 表第i 个人能够按时进入掩蔽体（i =1,2,…,1000）.令 S n =X 1+X 2+…+X 1000.(1) 设至少有m 人能够进入掩蔽体，要求P {m ≤S n ≤1000}≥，事件{}.10000.90.190nn m S ≤=≤ ⎪⨯⨯⎝⎭ 由中心极限定理知：{}1{}10.95.10000.90.1n n P m S P S m ≤=-<≈-Φ≥ ⎪⨯⨯⎝⎭从而 0.05,90Φ≤⎪⎝⎭ 故1.65,90=- 所以 m ==≈884人 (2) 设至多有M 人能进入掩蔽体，要求P {0≤S n ≤M }≥.{}0.95.90n P S M ≤≈Φ=90M =900+=≈916人.13. 在一定保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为,死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费.求：（1） 保险公司没有利润的概率为多大；（2） 保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大 【解】设X 为在一年中参加保险者的死亡人数，则X ~B （10000，）.(1) 公司没有利润当且仅当“1000X =10000×12”即“X =120”. 于是所求概率为{120}100000.0060.994100000.0060.994P X ϕ=≈⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭21(60/59.64)230.1811e 59.6459.64259.640.0517e 0ϕπ--== ⎪⎝⎭=⨯≈g(2) 因为“公司利润≥60000”当且仅当“0≤X ≤60”于是所求概率为{060}100000.0060.994100000.0060.994P X ≤≤≈Φ-Φ⨯⨯⨯⨯(0)0.5.59.64⎛=Φ-Φ≈ ⎝ 14. 设随机变量X 和Y 的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为试根据契比雪夫不等式给出P {|X -Y |≥6}的估计.（2001研考） 【解】令Z =X -Y ，有()0,()()()()2()() 3.E Z D Z D X Y D X D Y D X D Y ρ==-=+-=g所以2()31{|()|6}{||6}.63612D X Y P ZE Z P X Y --≥=-≥≤== 15. 某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数.（1） 写出X 的概率分布；（2） 利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值.（1988研考）【解】（1） X 可看作100次重复独立试验中，被盗户数出现的次数，而在每次试验中被盗户出现的概率是，因此，X ~B (100,，故X 的概率分布是100100{}C 0.20.8,1,2,,100.kk k P X k k -===L(2) 被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率即为事件{14≤X≤30}的概率.由中心极限定理，得{1430}P X ≤≤≈Φ-Φ(2.5)( 1.5)0.994[9.33]0.927.=Φ-Φ-=--=16. 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于.【解】设X i （i =1,2,…,n ）是装运i 箱的重量（单位：千克），n 为所求的箱数，由条件知，可把X 1，X 2，…，X n 视为独立同分布的随机变量，而n 箱的总重量T n =X 1+X 2+…+X n 是独立同分布随机变量之和，由条件知：()50,i E X = 5,=()50,n E T n ==依中心极限定理，当n ~(0,1)N 近似地,故箱数n 取决于条件 {5000}n P T P ≤=≤ 0.977(2).≈Φ>=Φ 2>解出n <, 即最多可装98箱.。