概率论与数理统计答案(1)
概率论与数理统计练习册答案
概率论与数理统计练习册答案第一章概率论的基本概念一、选择题4. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容.5. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容,即AB φ=.6. 答案：（D ）注:由C 得出A+B=Ω. 8. 答案：（D ）注：选项B 由于11111()1()1()1()1(1())nn n n n i i i i i i i i i i P A P A P A P A P A ======-=-==-=--∑∑∏∏9.答案：（C ）注：古典概型中事件A 发生的概率为()()()N A P A N =Ω. 10.答案：（A ）解：用A 来表示事件“此r 个人中至少有某两个人生日相同”，考虑A的对立事件A “此r 个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知365365!()365365r r r rC r P P A ?==，故365()1365rrP P A =-.12.答案：（B ）解：“事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生”，说明AB C ?，故()()P AB P C ≤；而()()()()1,P A B P A P B P AB ?=+-≤ 故()()1()()P A P B P AB P C +-≤≤.13.答案：（D ）解：由(|)()1P A B P A B +=可知2()()()1()()()1()()()(1())()(1()()())1()(1())()(1())()(1()()())()(1())()()()()()()(())()()()P AB P AB P AB P A B P B P B P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P AB P B P B P A P B P B P B P AB P B -?+=+--+--+==-?-+--+=-?-+--+=2(())()()()P B P AB P A P B -?=故A 与B 独立. .16.答案：（B ）解：所求的概率为()1()1()()()()()()()11111100444161638P ABC P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =-??=---+++-=---+++-= 注：0()()0()0ABC AB P ABC P AB P ABC ??≤≤=?=. 17.答案：（A ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 箱”1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)11131553353638120P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.18.答案：（C ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 类箱子” 1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)213212765636515P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.19.答案：（C ）解：即求条件概率2(|)P B A .由Bayes 公式知3263222711223315()(|)5(|)()(|)()(|)()(|)7P B P A B P B A P B P A B P B P A B P B P A B ===++. 二、填空题2.;ABC ABC ABC ABC ABC 或AB BC AC3．0.3，0.5 解：若A 与B 互斥，则P （A+B ）=P （A ）+P （B ），于是 P （B ）=P （A+B ）-P （A ）=0.7-0.4=0.3；若A 与B 独立，则P （AB ）=P （A ）P （B ），于是由P （A+B ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=P （A ）+P （B ）-P （A ）P （B ），得()()0.70.4()0.51()10.4P A B P A P B P A +--===--.4.0.7 解：由题设P （AB ）=P （A ）P （B|A ）=0.4，于是P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=0.5+0.6-0.4=0.7.解：因为P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ），又()()()P AB P AB P A +=，所以()()()0.60.30.3P AB P A B P B =-=-= .6.0.6 解：由题设P （A ）=0.7，P （AB ）=0.3，利用公式AB AB A +=知()()()P AB P A P AB =-=0.7-0.3=0.4，故()1()10.40.6P AB P AB =-=-=. 7.7/12 解：因为P （AB ）=0，所以P （ABC ）=0，于是()()1()1[()()()()()()()]13/42/67/12P ABC P A B C P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ==-=-++---+=-+= . 10.11260解：这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事件，则全部事件数为7！，而有利的基本事件数为12121114=，故所求的概率为417!1260=. 11.3/7 解：设事件A={抽取的产品为工厂A 生产的}，B={抽取的产品为工厂B 生产的}，C={抽取的是次品}，则P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，P （C|A ）=0.01，P （C|B ）=0.02，故有贝叶斯公式知()()(|)0.60.013(|)()()(|)()(|)0.60.010.40.027P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 12.6/11解：设A={甲射击}，B={乙射击}，C={目标被击中}，则P （A ）=P （B ）=1/2，P （C|A ）=0.6，P （C|B ）=0.5，故()()(|)0.50.66 (|)()()(|)()(|)0.50.60.50.511P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 四、 )(,21)|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?===求。
概率论与数理统计习题答案1-19章
1 随机事件及其概率·样本空间·事件的关系及运算一、任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数。
设事件A 表示“出现偶数点”，事件B 表示“出现的点数能被3整除”．（1）写出试验的样本点及样本空间；（2）把事件A 及B 分别表示为样本点的集合；（3）事件B A AB B A B A ,,,,分别表示什么事件？并把它们表示为样本点的集合．解：设i ω表示“出现i 点”)6,,2,1( i ，则（1）样本点为654321,,,,,ωωωωωω；样本空间为}.,,,,,{654321 （2）},,{642ωωωA ； }.,{63ωωB （3）},,{531ωωωA ，表示“出现奇数点”；},,,{5421ωωωωB ，表示“出现的点数不能被3整除”；},,,{6432ωωωωB A ，表示“出现的点数能被2或3整除”；}{6ωAB ，表示“出现的点数能被2整除且能被3整除”；},{B A 51ωω ，表示“出现的点数既不能被2整除也不能被3整除”二、写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本点：（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和．A —“点数之和大于10”，B —“点数之和小于15”．（2）一盒中有5只外形相同的电子元件，分别标有号码1，2，3，4，5．从中任取3只，A —“最小号码为1”．解：(1) 设i ω表示“点数之和等于i ”)18,,4,3( i ，则},,,{1843ωωω Ω；},,,{181211ωωωA ；}.,,,{1443ωωωB (2) 设ijk ω表示“出现号码为k j i ,,”);5,,2,1,,(k j i k j i ，则},,,,,,,,,{345245235234145135134125124123ωωωωωωωωωω Ω }.,,,,,{145135134125124123ωωωωωωA三、设C B A ,,为三个事件，用事件之间的运算表示下列事件： (1) A 发生, B 与C 都不发生； (2) C B A ,,都发生；(3) C B A ,,中至少有两个发生； (4) C B A ,,中至多有两个发生． 解：(1) C B A ；(2) ABC ；(3) ABC C AB C B A BC A 或CA BC AB(4) BC A C B A C AB C B A C B A C B A C B A 或C B A 或.ABC四、一个工人生产了n 个零件，以i A 表示他生产的第 i 个零件是合格品（n i 1）．用i A 表示下列事件：（1）没有一个零件是不合格品； （2）至少有一个零件是不合格品； （3）仅有一个零件是不合格品；（4）至少有一个零件不是不合格品． 解：(1) n A A A 21；(2) n A A A 21或n A A A 21； (3) n n n A A A A A A A A A 212121 (4) n A A A 21或.21n A A A2 概率的古典定义·概率加法定理一、电话号码由七个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9中的任一个数（但第一个数字不能为0），求电话号码是由完全不同的数字组成的概率．解：基本事件总数为611011011011011011019109 C C C C C C C 有利事件总数为456789214151617181919C C C C C C C 设A 表示“电话号码是由完全不同的数字组成”，则0605.0109456789)(62 A P 二、把十本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率．解：基本事件总数为!101010A 指定的三本书按某确定顺序排在书架上的所有可能为!777A 种；这三本书按确定的顺序放在书架上的所以可能的位置共818C 种；这三本书的排列顺序数为!333 A ；故有利事件总数为!3!8!38!7 (亦可理解为)3388P P设A 表示“指定的三本书放在一起”，则067.0151!10!3!8)( A P三、为了减少比赛场次，把二十个队任意分成两组（每组十队）进行比赛，求最强的两个队被分在不同组内的概率．解：20个队任意分成两组（每组10队）的所以排法，构成基本事件总数1020C ；两个最强的队不被分在一组的所有排法，构成有利事件总数91812C C 设A 表示“最强的两队被分在不同组”，则526.01910)(102091812 C C C A P四、某工厂生产的产品共有100个，其中有5个次品．从这批产品中任取一半来检查，求发现次品不多于1个的概率．解：设i A 表示“出现的次品为i 件”)5,4,3,2,1,0( i ，A 表示“取出的产品中次品不多于 1个”，则 .10A A A 因为V A A 10，所以).()()(10A P A P A P 而0281.0979942347)(5010050950 C C A P 1529.09799447255)(501004995151 C C C A P 故 181.01529.00281.0)( A P五、一批产品共有200件, 其中有6件废品．求 (1) 任取3件产品恰有1件是废品的概率; (2) 任取3件产品没有废品的概率; (3) 任取3件产品中废品不少于2件的概率．解：设A 表示“取出的3件产品中恰有1件废品”；B 表示“取出的3件产品中没有废品”；C 表示“取出的3件产品中废品不少于2件”，则 (1) 0855.019819920019319418)(3200219416 C C C A P (2) 912.0198199200192193194)(32003194 C C B P(3) 00223.019819920012019490)(3200019436119426 C C C C C C P六、设41)( ,0 ,31)()()(BC P P(AC)P(AB)C P B P A P ．求A , B , C 至少有一事件发生的 概率．解：因为0 P(AC)P(AB)，所以V AC V AB ,，从而V C AB )(可推出0)( ABC P设D 表示“A , B , C 至少有一事件发生”，则C B A D ，于是有)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P 75.043413131313 条件概率与概率乘法定理·全概率公式与贝叶斯公式一、设,6.0)|(,4.0)(,5.0)( B A P B P A P 求)|(,)(B A A P AB P ． 解：因为B A AB B B A A )(，所以)()()(B A P AB P A P ，即14.06.0)4.01(5.0)()()()()()( B A P B P A P B A P A P AB P68.074.05.036.0)4.01(5.05.0)()()()()()]([)|(B A P B P A P A P B A P B A A P B A A P二、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过两次而接通所需电话的概率．若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？ 解：设A 表示“第一次拨通”，B 表示“第二次拨通”，C 表示“拨号不超过两次而拨通”（1）2.0101101)()()(19111101911011 C C C C C C A B P A P C P（2）4.05151)()()(2511141511 A A A A A A B P A P C P三、两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多 一倍．（1）求任意取出的零件是合格品的概率；（2）如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率． 解：设i A 表示“第i 台机床加工的零件”)2,1( i ；B 表示“出现废品”；C 表示“出现合格品”973.0)02.01(31)03.01(32（2）25.002.03103.03202.031)()()()()()()()()(22112222A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P四、猎人在距离100米处射击一动物，击中的概率为0.6；如果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离变为150米；如果第二次又未击中，则进行第三次射击，这时距离变为200米．假定击中的概率与距离成反比，求猎人三次之内击中动物的概率．解：设i A 表示“第i 次击中”)3,2,1( i ，则由题设，有1006.0)(1kA P ，得60 k ，从而有4.015060150)(2 k A P ，.3.020060200)(3 k A P设A 表示“三次之内击中”，则321211A A A A A A A ，故有)()()()()()()(321211A P A P A P A P A P A P A P832.03.0)4.01()6.01(4.0)6.01(6.0 （另解）设B 表示“猎人三次均未击中”，则168.0)3.01)(4.01)(6.01()( B P故所求为 832.0)(1)( B P B P五、盒中放有12个乒乓球，其中有9个是新的．第一次比赛时从其中任取3个来用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的都是新球的概率． 解：设i A 表示“第一次取得i 个新球”)3,2,1,0( i ，则2201)(312330 C C A P 22027)(31219231 C C C A P 220108)(31229132 C C C A P 22084)(31239033 C C C A P 设B 表示“第二次取出的都是新球”，则31236312373123831239322084220108220272201)()()(C C C C C C C C A B P A P B P i i i146.05324007761611122084447220108551422027552122014 随机事件的独立性·独立试验序列一、一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人照管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7．求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率． 解：设i A 表示“第i 台机床不需要照管”)3,2,1( i ，则9.0)(1 A P 8.0)(2 A P 7.0)(3 A P再设B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则321321321321A A A A A A A A A A A A B于是有)()()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P B P )7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01(7.08.09.0902.0 ．（另解）设i B 表示“有i 台机床需要照管”)1,0( i ，B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则10B B B 且0B 、1B 互斥，另外有 504.07.08.09.0)(0 B P398.0)7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01()(1 B P 故902.0398.0504.0)()()()(1010 B P B P B B P B P ．二、电路由电池a 与两个并联的电池b 及c 串联而成．设电池c b a ,,损坏的概率分别是0.3、0.2、0.2，求电路发生间断的概率． 解：设1A 表示“a 损坏”；2A 表示“b 损坏”；3A 表示“c 损坏”；则3.0)(1 A P 2.0)()(32 A P A P 又设B 表示“电路发生间断”，则321A A A B 于是有)()()()()(321321321A A A P A A P A P A A A P B P)()()()()()(321321A P A P A P A P A P A P 328.02.02.03.02.02.03.0 ．三、三个人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为51、31、41，求能将此密码译出的概率．解：设A 表示“甲能译出”；B 表示“乙能译出”；C 表示“丙能译出”，则51)( A P 31)( B P 41)( C P设D 表示“此密码能被译出”，则C B A D ，从而有)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P)()()()()()()()()()()()(C P B P A P A P C P C P B P B P A P C P B P A P 6.0413151415141513151413151 ． （另解）52)411)(311)(511()()()()()( C P B P A P C B A P D P ，从而有6.053521)(1)( D P D P四、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人的命中概率分别为7.0,5.0,4.0．飞机被一人击中而被击落的概率为2.0，被两人击中而被击落的概率为6.0，若三人都击中，则 飞机必被击落．求飞机被击落的概率． 解：设1A 表示“甲命中”；2A 表示“乙命中”；3A 表示“丙命中”；则4.0)(1 A P5.0)(2 A P 7.0)(3 A P设i B 表示“i 人击中飞机” )3,2,1,0( i ，则09.0)7.01)(5.01)(4.01()())(()()(3213210 A P A P A P A A A P B P3213213211 )()()(321321321A A A P A A A P A A A P)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P36.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0)()(3213213212A A A A A A A A A P B P )()()(321321321A A A P A A A P A A A P)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P41.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.014.07.05.04.0)()()()()(3213213 A P A P A P A A A P B P 设A 表示“飞机被击落”，则由题设有0)(0 B A P 2.0)(1 B A P 6.0)(2 B A P 1)(3 B A P故有458.0114.06.041.02.036.0009.0)()()(30 i i i B A P B P A P ．五、某机构有一个9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率都是0.7，现在该机构内就某事可行与否个别征求每个顾问的意见，并按多数人意见作出决策，求作 出正确决策的概率．解：设i A 表示“第i 人贡献正确意见”，则7.0)( i A P )9,,2,1( i ．又设m 为作出正确意见的人数，A 表示“作出正确决策”，则 )9()8()7()6()5()5()(99999P P P P P m P A P277936694559)3.0()7.0()3.0()7.0()3.0()7.0(C C C 9991889)7.0()3.0()7.0( C C273645)3.0()7.0(36)3.0()7.0(84)3.0()7.0(126918)7.0()3.0()7.0(90403.01556.02668.02668.01715.0 901.0 ．六、每次试验中事件A 发生的概率为p ，为了使事件A 在独立试验序列中至少发生一次的概率不小于p ，问至少需要进行多少次试验？ 解：设做n 次试验，则n p A P A P )1(1}{1}{ 一次都不发生至少发生一次要p p n )1(1，即要p p n 1)1(，从而有.1)1(log )1( p n p 答：至少需要进行一次试验．5 离散随机变量的概率分布·超几何分布·二项分布·泊松分布一、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的概率分布． 解：设X 表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X 的概率分布为即亦即二、自动生产线在调整以后出现废品的概率为p ．生产过程中出现废品时立即进行调整．求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布．解：设X 表示“在两次调整之间生产的合格品数”，且设p q 1，则ξ的概率分布为三、已知一批产品共20个，其中有４个次品．（１）不放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布； （２）放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布． 解：（1）设X 表示“取出的样本中的次品数”，则X 服从超几何分布，即X 的概率函数为)4,3,2,0()(6206164 x C C C x X P xx从而X 的概率分布为即（2）设X 表示“取出的样本中的次品数”，则X 服从超几何分布，即X 的概率函数为)6,5,4,3,2,0()2.01()2.0()(66 x C x X P xx x从而X即四、电话总机为300个电话用户服务．在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，求在一小时内有4个用户使用电话的概率（先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差）． 解：（1）用二项分布计算)01.0( p168877.0)01.01()01.0()1()4(2964430029644300 C p p C ξP（2）用泊松分布计算)301.0300( np λ168031355.0!43)4(34 e ξP相对误差为.5168877.0168031355.0168877.0000δ五、设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生次数不少于3次时，指示灯发出信号．现进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率． 解：设X 表示“事件A 发生的次数”，则3.0)( p A P ，5 n ，).3.0,5(~B X 于是有)5()4()3()3( X P X P X P X P5554452335)1()1(p C p p C p p C16308.000243.002835.01323.0（另解） )2()1()0(1)3(1)3( X P X P X P X P X P322541155005)1()1()1(11p p C p p C p p C 16308.0六、设随机变量X 的概率分布为2, 1, ,0 , !)( k k ak X P k；其中λ>0为常数，试确定常数a ．解：因为1)(k k X P ，即01!k kk λa ，亦即1 λae ，所以.λe a6 随机变量的分布函数·连续随机变量的概率密度一、函数211x 可否是连续随机变量X 的分布函数？为什么？如果X 的可能值充满区间： （1）（ ,）；（2）（0, ）．解：（1）设211)(xx F，则1)(0 x F 因为0)(limx F x ，0)(limx F x ，所以)(x F 不能是X 的分布函数．（2）设211)(x x F，则1)(0 x F 且0)(lim x F x ，1)(lim 0 x F x 因为)0( 0)1(2)('22x x xx F ，所以)(x F 在（0, ）上单增． 综上述，故)(x F 可作为X 的分布函数．二、函数x x f sin )( 可否是连续随机变量X 的概率密度？为什么？如果X 的可能值充满区间：（1）2,0 ； （2） ,0； （3） 23,0 ．解：（1）因为 2,0πx ，所以0sin )( x x f ；又因为1cos )(2020x dx x f ，所以当2,0πx 时，函数x x f sin )( 可作为某随机变量X 的概率密度．（2）因为 πx ,0 ，所以0sin )( x x f ；但12cos )(0x dx x f ，所以当 πx ,0时，函数x x f sin )( 不可能是某随机变量X 的概率密度．（3）因为23,0πx ，所以x x f sin )( 不是非负函数，从而它不可能是随机变量X 的概率密度．二、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的分布函数，并作出分布函数的图形． 解：设X 表示“取出的废品数”，则X 的分布律为于是， 3,1x四、（柯西分布）设连续随机变量X 的分布函数为x x B A x F ,arctan )(．求：（1）系数A 及B ；（2）随机变量X 落在区间)1 ,1( 内的概率；(3) X 的概率密度．解：(1) 由0)2()(lim πB A x F x ，12)(lim πB A x F x ，解得.1,21πB A即)( ,arctan 121)( x x πx F ．(2) .21)]1arctan(121[]1arctan 121[)1()1()11( F F X P(3) X 的概率密度为)1(1)()(2x x F x f ． 五、（拉普拉斯分布）设随机变量X 的概率密度为x Ae x f x,)(．求：（1）系数A ；（2）随机变量X 落在区间)1,0(内的概率；（3）随机变量X 的分布函数．解：(1) 由1)( dx x f ，得1220 A dx e A dx Ae xx ，解得21 A ，即有 ).( ,21)( x e x f x(2) ).11(21)(2121)()10(101010ee dx e dx xf X P x x(3) 随机变量X 的分布函数为21102121)()(x e x e dx e dx x f x F x xx xx ．7 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过．乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的．求乘客候车时间不超过3分钟的概率．解：设随机变量X 表示“乘客的候车时间”，则X 服从]5,0[上的均匀分布，其密度函数为]5,0[,0]5,0[,51)(x x x f 于是有.6.053)()30(3dx x f X P二、已知某种电子元件的使用寿命X (单位:h)服从指数分布，概率密度为.0,0;0,8001)(800x x e x f x任取３个这种电子元件，求至少有１个能使用1000h 以上的概率． 解：设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”；321A 、A 、A 分别表示“元件甲、乙、丙能使用1000h 以上”．则287.08001)1000()()()(4510008001000800321e e dx e X P A P A P A P xx)()()()()()()()()(321313221321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P A P638.0287.0287.03287.0332（另解）设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”．则287.08001)1000(4510008001000800ee dx e X P xx从而有713.01)1000(1)1000(45eX P X P ，进一步有638.0713.01)]1000([1)(33 X P A P三、(1) 设随机变量X 服从指数分布)( e ．证明：对于任意非负实数s 及t ，有).()(t X P s X t s X P这个性质叫做指数分布的无记忆性．(2) 设电视机的使用年数X 服从指数分布)10(．e ．某人买了一台旧电视机，求还能使用５年以上的概率． 解：（１）因为)(~ e X ，所以R x ，有xex F 1)(，其中)(x F 为X 的分布函数．设t s X A ，t X B ．因为s 及t 都是非负实数，所以B A ，从而A AB ．根据条件概率公式，我们有)(1)(1)()()()()()()()(s X P t s X P s X P t s X P B P A P B P AB P B A P s X t s X Pt st s e e e ]1[1]1[1)(． 另一方面，我们有t t e e t F t X P t X P t X P )1(1)(1)(1)(1)(．综上所述，故有)()(t X P s X t s X P ．（２）由题设，知X 的概率密度为．，；，0001.0)(1.0x x e x f x 设某人购买的这台旧电视机已经使用了s 年，则根据上述证明的（１）的结论，该电视机还能使用5年以上的概率为6065.01.0)()5()5(5.051.051.05e e dx e dx xf X P s X s X P xx ．答：该电视机还能使用5年以上的概率约为6065.0．四、设随机变量X 服从二项分布)4.0 ,3(B ，求下列随机变量函数的概率分布： （1）X Y 211 ；（2）2)3(2X X Y． 解：X 的分布律为（1）X Y 211 的分布律为（2）2)3(2X XY 的分布律为即五、设随机变量X 的概率密度为.0,0;0,)1(2)(2x x x x f求随机变量函数X Y ln 的概率密度．解：因为)()()(ln )()(yX y Y e F e X P y X P y Y P y F 所以随机变量函数X Y ln 的概率密度为)( )1(2)()()()(2'' y e e e e f e e F y F y f y yyyyyXYY ，即)( )1(2)(2 y e e y f yyY ．８ 二维随机变量的联合分布与边缘分布一、把一颗均匀的骰子随机地掷两次．设随机变量X 表示第一次出现的点数，随机变量Y 表示两次出现点数的最大值，求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及Y 的边缘概率分布． 解：二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为Y 的边缘概率分布为二、设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数)3arctan )(2arctan (),(yC x B A y x F ．求：（1）系数A 、B 及C ；（2）（X ，Y ）的联合概率密度：（3）边缘分布函数及边缘概率密度． 解：（1）由0)0,(,0),0(,1),( F F F ，得0)2(0)2)(0(1)2)(2(πB AC πC B A πC πB A 解得2πC B ，.12πA （2）因为)3arctan 2)(2arctan 2(1),(2yx y x F ，所以（X ，Y ）的联合概率密度为.)9)(4(6),(),(222"y x y x F y x f xy （3）X 及Y 的边缘分布函数分别为xx x X x dx x dy y x f dx x F 2arctan 1)4(2),()(2 2arctan 121xyx y Y y dy y dx y x f dy x F 3arctan 1)9(3),()(2 3arctan 121yX 及Y 的边缘概率密度分别为0222222)9(1)4(112)9)(4(6),()(dy y x dy y x dy y x f x f X)4(2)3arctan 31()4(1122022x y x 022222241)9(12)9)(4(6),()(dx xy dx y x dx y x f y f Y )9(3)2arctan 21()9(122022y x y三、设),(Y X 的联合概率密度为., 00;0,,Ae ),(3y)(2x 其它y x y x f 求：（1）系数A ；（2）),(Y X 的联合分布函数；（3）X 及Y 的边缘概率密度；（4）),(Y X落在区域R ：632 ,0 ,0 y x y x 内的概率． 解：（1）由1),(dy dx y x f ，有16132A dy e dx eA y x，解得.6 A （2）),(Y X 的联合分布函数为其它0,06),(),(0032y x dy e dx e dy y x f dx y x F x y y x xy其它0,0)1)(1(32y x e e y x （3）X 及Y 的边缘概率密度分别为00020006),()(2032x x ex x dy e e dy y x f x f x y x X00030006),()(3032y y ex x dx e e dx y x f y f y y x Y（4）x y xRdy e dx edxdy y x f R Y X P 32203326),(}),{(6306271)(2 e dx e e x四、设二维随机变量),(Y X 在抛物线2x y 与直线2 x y 所围成的区域R 上服从均匀分布．求：(1) ),(Y X 的联合概率密度；(2) 概率)2( Y X P ． 解：(1) 设),(Y X 的联合概率密度为.),(, 0;),(,),(R y x R y x C y x f 则由129)322()2(21322122212 C x x x C dx x x C dy dx C Cdxdy x x R解得92C ．故有.),(, 0;),(,92),(R y x R y x y x f(2) x x x x y x dy dx dy dx dxdy y x f Y X P 2212210229292),()2(21210)2(92292dx x x xdx 481.02713)322(92922132102x x x x ． ９ 随机变量的独立性·二维随机变量函数的分布一、设X 与Y 是两个相互独立的随机变量，X 在]1,0[上服从均匀分布，Y 的概率密度为.0,0;0,21)(2y y e y f yY求 (1) ),(Y X 的联合概率密度; (2) 概率)(X Y P ．解: (1)X 的概率密度为)1,0(,0)1,0(,1)(x x x f X ，),(Y X 的联合概率密度为（注意Y X ,相互独立）其它,00,10,21)()(),(2y x e y f x f y x f yY X（2）dx edx edy e dx dxdy y x f X Y P x xyxyxy12102212)(21),()(7869.0)1(2221122e ex二、设随机变量X 与Y 独立，并且都服从二项分布：.,,2 ,1 ,0 ,)(; ,,2 ,1 ,0 ,)(212211n j qp C j p n i q p C i p jn jjn Y in i i n X证明它们的和Y X Z 也服从二项分布． 证明: 设j i k , 则ik n i k i k n ki i n i i n ki Y X Z q p C q p C i k P i P k Z P k P 22110)()()()( ki k n n k i n in q p C C2121)( 由knm ki ik nk m C C C, 有k n n ki in i n C C C21210. 于是有 ),,2,1,0( )(212121n n k q p C k P kn n k i n n Z 由此知Y X Z 也服从二项分布.三、设随机变量X 与Y 独立，并且X 在区间[0，1]内服从均匀分布，Y 在区间[0，2]内服从辛普森分布：.20,;21,2;1,)(yyyyyyyfY或求随机变量YXZ的概率密度．解: X的概率密度为]1,0[,0]1,0[,1)(xxyf . 于是),(YX的联合概率密度为.0,21,1,210,1,),(其它当当yxyyxyyxfYXZ的联合分布函数为}),{(}{}{)(DyxPzYXPzZPzFZ，其中D是zyx与),(yxf的定义域的公共部分.故有322932121233123,0)(222zzzzzzzzzzzFZ从而随机变量YXZ的概率密度为323213213,0)(zzzzzzzzzfZ三、电子仪器由六个相互独立的部件ijL（3,2,1;2,1ji）组成，联接方式如右图所示．设各个部件的使用寿命ijX服从相同的指数分布)(e，求仪器使用寿命的概率密度．解: 由题设，知ijX的分布函数为,0,1xxeFxX ij先求各个并联组的使用寿命)3,2,1(iYi的分布函数.因为当并联的两个部件都损坏时,第i 个并联组才停止工作,所以有)3,2,1(),m ax(21iYiii从而有)3,2,1(iYi的分布函数为,0,)1()(221yyeFFyFyXXY iii设Z"仪器使用寿命".因为当三个并联组中任一个损坏时,仪器停止工作.所以有),,min(321YYYZ .从而有Z的分布函数为0,00,])1(1[10,00)],(1)][(1)][(1[1)(32321z z e z z z F z F z F z F z Y Y Y Z 故Z 的概率密度为0,00,)2)(1(6)(23z z e e e z f z z z Z10 随机变量的数学期望与方差一、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取一个．如果取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望、方差与标准差． 解：设X 表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X 的概率分布为即1103322013220924491430EX 即3.0004.03041.02205.0175.00 EX2X 的分布为即于是有229220192209444914302EX 即4091.0004.09041.04205.0175.002 EX从而有3191.013310042471)11033(229)(222EX EX DX 565.03191.0 DX X二、对某一目标进行射击，直至击中为止．如果每次射击命中率为p ，求射击次数的数学期望及方差． 解：设X 表示“第i 次击中”),2,1( i ，则X 的分布为p q p q q p q p iqp ipqEX i i i i i i 1)1()1()(2111112Xpp p p q q p q p q q p pqi EX i i i ii i 122)1()1()(])([223111122进一步有pp p p p EX EX DX 11)1(12)(22222三、设离散型随机变量X 的概率函数为,,2,1,21]2)1([ k k X P k k k问X 的数学期望是否存在？若存在，请计算)(X E ；若不存在，请解释为什么．解：因为1111)1(212)1(]2)1([2)1()(k k k k k k k k k k ki i i k k k X P k x X P x 不绝对收敛，所以 没有数学期望．四、设随机变量X 的概率密度为.1, 0;1,11)(2x x x x f 求数学期望)(X E 及方差)(X D ．解：011)()(112dx xx dx x xf X Edx x x dx x x dx x f x X D 1022112221211)()(21]arcsin 2112[2102 x x x π五、（拉普拉斯分布）设随机变量X 的概率密度为 )( ,21)( x e x f x．求数学期望)(X E 及方差)(X D ． 解：021)(dx xe dx x xf EX x2!2)3(21)(0222dx e x dx e x dx x f x DX x x（分部积分亦可）11 随机变量函数的数学期望·关于数学期望与方差的定理一、设随机变量X 服从二项分布)4.0,3(B ，求2)3(X X Y 的数学期望及方差． 解：X 的概率分布为Y 的概率分布为2Y 的分布为72.072.0128.00 EY 72.072.0128.002 EY2016.0)72.0(72.0)(222 EY EY DY二、过半径为R 的圆周上一点任意作这圆的弦，求所有这些弦的平均长度．解：在圆周上任取一点O ，并通过该点作圆得直径OA ．建立平面直角坐标系，以O 为原点，且让OA 在x 轴的正半轴上．通过O 任作圆的一条弦OB ，使OB 与x 轴的夹角为 ，则 服从]2,2[ 上的均匀分布，其概率密度为]2,2[,0]2,2[,1)(f ． 弦OB 的长为 ]2,2[cos 2)(R L ，故所有弦的平均长度为22cos 21)()()]([d R d L f L ERR d R4sin 4cos 42020．三、一工厂生产的某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为. 0,0 ;0 ,41)(4x x e x f x工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换．若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元．试求厂方出售一台设备的平均净赢利． 解：由题设，有104110441141)()1(e e dx e dx x f X P x x 进而有 41)1(1)1( eX P X P设Y 表示“厂方出售一台设备获得的净赢利”，则Y 的概率分布为从而有64.33200300100)1(200414141ee e EY答：厂方出售一台设备获得的平均净赢利约为64.33元．四、设随机变量n X X X ,,21相互独立，并且服从同一分布，数学期望为 ，方差为2．求这些随机变量的算术平均值 ni i X n X 11的数学期望与方差．解：因为 )(i X E ，2)( i X D ，且随机变量n X X X ,,21相互独立．所以有ni n i i ni i n i i n X E n X E n X n E X E 11111)(1)(1)1()(，nn X D n X D n X n D X D ni ni in i i n i i 2122121211)(1)(1)1()(．五、一民航送客车载有20位旅客自机场开出，沿途有10个车站可以下车，到达一个车站时如没有旅客下车就不停车．假设每位旅客在各车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立．求该车停车次数的数学期望．解: 设i X 表示"第i 站的停车次数" (10,,2,1 i ). 则i X 服从"10 "分布. 其中站有人下车若在第站无人下车若在第i i X i ,1,0于是i X 的概率分布为设ni iXX 1, 则X 表示沿途停车次数, 故有]})10110(1[1)10110(0{10)(2020101101 i i i i EX X E EX748.8)9.01(1020即停车次数的数学期望为748.8.12 二维随机变量的数字特征·切比雪夫不等式与大数定律一、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为. 1,222y xAy x f求：（1）系数A ；（2）数学期望)(X E 及)(Y E ，方差)(X D 及)(Y D ，协方差),cov(Y X ．解: (1) 由1),(dxdy y x f . 有1112022222A dr rrd A dxdy y xA解得,1A .(2)011),()(222dx y xxdy dxdy y x xf X E .由对称性, 知 0)( Y E .dxdy y x f x EX EX X E X D ),(])[()(222dx y xx dy 222211022022220223]11)1ln([1)1(211r r dr r rr r dr rr d同理, 有 )(Y D .)()])([(),cov(XY E EY Y Ex X E Y Xdxdy y x xyf ),(011),(222dx y xxydy dxdy y x xyf .二、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为其它．,0;10,,1),(x x y y x f 求(1) ),cov(Y X ；(2) X 与Y 是否独立，是否相关，为什么？解: (1) 因为 10210322),(dx x dy xdx dxdy y x xf EX x x0),(10xx ydy dx dxdy y x yf EY0),()(1xxydy xdx dxdy y x xyf XY E所以有])32[()])([(),cov(Y X E EY Y EX X E Y X dxdy y x xyf ),(010xxydy xdx ．(2) 当)1,0( x 时,有x dy dy y x f x f xxX 2),()(; 当)1,0( x 时, 有0)( x f X .即)1,0(0)1,0(2)(X x x x x f 同理有)1,0(1)1,0(1)1,0()1,0()(11Y x y x y x dx x dx y f yy因为 ),()()(y x f y f x f Y X , 所以X 与Y 不是独立的．又因为0),cov( Y X , 所以X 与Y 是不相关的．三、利用切比雪夫不等式估计随机变量X 与其数学期望)(X E 的差的绝对值大于三倍标准差)(X 的概率．解：91)3()3(2D D DE P ．四、为了确定事件A 的概率，进行10000次重复独立试验．利用切比雪夫不等式估计：用事件A在10000次试验中发生的频率作为事件A 的概率的近似值时，误差小于0.01的概率． 解：设ξ表示“在10000次试验中事件A 的次数”，则)5.0,10000(~B 且有50005.010000 np E 2500)5.01(5.010000 npq D于是有npqp npq p np m P p n m P 22)01.0(1)01.0(1)01.0()01.0(75.025.011 pq五、样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为这批产品不能接受．应该检查多少个产品，可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9？ 解：设ξ表示“发现的次品件数”，则)1.0,(~n B ξ，现要求.nn ξE 1.0 n ξD 09.0要使得9.0)10( ξP ，即9.0)10( n ξP ，因为9.0)10( n ξP ，所以 )3.01.03.01.03.01.010()10(nn n n n ξn n P ξD ξE n ξD ξE ξξD ξE P)3.01.010()3()33.01.03.01.010(1,01,0nn n n n n ξn n P ΦΦ1)3.0101.0()3(1,01,0 nn n ΦΦ （德莫威尔—Laplace 定理）因为10 n ，所以53 n ，从而有1)3(1,0 n Φ，故9.0)3.0101.0(1,0 nn Φ． 查表有8997.0)28.1(1,0 Φ，故有28.13.0101.0 nn ，解得.146 n 答：应该检查约146个产品，方可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9．13 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差一、设随机变量X 服从正态分布)2,1(2N ，求（1）)8.56.1( X P ；（2）)56.4( X P ．解：(1) )4.2213.1()8.416.2()8.56.1(X P X P X P 8950.09032.019918.0)]3.1(1[)4.2()3.1()4.2(1,01,01,01,0 ΦΦΦΦ(2) )78.12178.2(1)56.4(1)56.4(X P X P X P )]78.2(1)78.1(1)]78.2()78.1([11,01,01,01,0ΦΦΦΦ.0402.09973.09625.02二、已知某种机械零件的直径X （mm ）服从正态分布)6.0,100(2N ．规定直径在2.1100 （mm ）之间为合格品，求这种机械零件的不合格品率． 解：设p 表示这种机械零件的不合格品率，则)2.1100(1)2.1100( X P X P p ．而)26.01002()6.02.16.01006.02.1()2.1100( X P X P X P 1)2(2)]2(1[)2()2()2( 9544.019772.02故0456.09544.01 p ．三、测量到某一目标的距离时发生的误差X (m)具有概率密度3200)20(22401)(x ex f求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率．解：三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为}30{}30{}30{ ξξξD 第三次第二次第一次因为)40,20(~2N ξ，所以由事件的相互独立性，有31,01,033)]25.0(1)25.1([})3030{(})30{()(ΦΦ ξξP ξP D P13025.05069.0)8944.05987.02(33于是有86975.013025.01)(1}30{ D P P 米至少有一次绝对值三次测量中 ．四、设随机变量),(~2 N X ，求随机变量函数Xe Y 的概率密度（所得的概率分布称为对数正态分布）．解：由题设，知X 的概率密度为)(21)(222)(x ex f x X从而可得随机变量Y 的分布函数为)()()(y e P y Y P y F X Y ．当0 y 时，有0)( y F Y ；此时亦有0)( y F Y ． 当0 y 时，有dx ey X P y F yx Yln 2)(2221)ln ()(．此时亦有222)(ln 21)(y Y eyy F ．从而可得随机变量Y 的概率密度为.0,21;0,0)(222)(ln y e yy y f y Y五、设随机变量X 与Y 独立，),(~211 N X ，),(~222 N Y ，求： (1) 随机变量函数bY aX Z 1的数学期望与方差，其中a 及b 为常数； (2) 随机变量函数XY Z2的数学期望与方差．解：由题设，有211)(,)( X D X E ；222)(,)( Y D Y E ．从而有(1)211)()()()()()( b a Y bE X aE bY E aX E bY aX E Z E ； 222212221)()()()()()( b a Y D b X D a bY D aX D bY aX D Z D ． (2)212)()()()( Y E X E XY E Z E ；)()()()()()()()(22222222Y E X E Y E X E XY E Y X E XY D Z D )()()]()()][()([2222Y E X E Y E Y D X E X D )()()()()()(22X E Y D Y E X D Y D X D212222212221 ．1４ 二维正态分布·正态随机变量线性函数的分布·中心极限定理四、 设二维随机变量),(Y X 服从二维正态分布，已知0)()( Y E X E ，16)( X D ，25)( Y D ，并且12),cov( Y X ，求),(Y X 的联合概率密度．解：已知0 y x ，416 x ，525 y ，53),cov(),(y x Y X Y X r ．从而 2516)53(1122r ，5412 r ． 进一步按公式])())((2)([)1(21222222121),(yy y x y x x x y y x r x r y x ery x f，可得),(Y X 的联合概率密度为)2550316((322522321),(y xy x e y x f．二、设随机变量X 与Y 独立，并且)1,0(~N X ，)2,1(~2N Y ．求随机变量32 Y X Z 的概率密度． 解：由题设，有0)( X E ，1)( X D ，1)( Y E ，4)( Y D ．又根据关于数学期望的定理和方差的定理以及独立正态随机变量线性组合的分布，我们有2)3()()(2)32()( E Y E X E Y X E Z E ． 8)3()()(4)32()( D Y D X D Y X D Z D ．且)8,2())(,)((~N Z D Z E N Z ，故随机变量32 Y X Z 的概率密度为16)2(82)2(2241821)(z z Z eez f)( z ．三、 台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X (mm)表示轴的直径，随机变量Y (mm)表示轴衬的内径，已知)3.0,50(~2N X ，)4.0,52(~2N Y ，显然X 与Y 是独立的．如果轴衬的内径与轴的直径之差在3~1(mm)之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率．解：由题设，知随机变量X 与Y 是独立的，且)3.0,50(~2N X ，)4.0,52(~2N Y ．设XY Z 根据独立正态随机变量线性组合的分布，我们有)5.0,2()3.0)1(4.0,50)1(52(~2222N N Z ．根据题目假设，我们知道当31 X Y Z 时，轴与轴衬可以配套使用．于是所求概率为1)2(2)2()2()25.022()5.0235.025.021()31( Z P Z P Z P9544.019772.02 ．四、100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%，求： （1） 任一时刻有70至86台车床在工作的概率；（2） 任一时刻有不少于80台车床在工作的概率． 解：设ξ表示“任一时刻正在工作的车床数”，则)8.0,100(~B ．808.0100 E ． 16)8.01(8.0100 D ．（1）)5.2()5.1()168070()168086()8670(1,01,01,01,0 P 927.019938.09332.0)]5.2(1[)5.1(1,01,0 （2）)16800()168080([1)800(1)80(1,01,0 P P )20()0(2)20()0(11,01,01,01,0 5.015.02 ．五、在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费．在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡时其家属可向保险公司领得1000元．问： （1） 保险公司亏本的可能性是多大？（2） 保险公司一年的利润不少于50000元的概率是多少？ 解：设X 表示“一年内死亡的人数”，则)006.0,10000(~B X ．60006.010000 EX ． 84.59)006.01(006.010000 DX ．（1）)84.596012084.596084.59600(1)1200(1)12100001000( P X P X P 0)7.7(22)]7.7()7.7([11,01,01,0 ΦΦΦ． 即保险公司不可能亏本．（2）)84.591084.596084.5960()700()5000010001210000(X P X P X P9032.01)756.7()293.1()756.7()293.1( ． 即保险公司一年利润不少于50000元的概率为9032.0．15 总体与样本·统计量·几个常用分布一、已知样本观测值为15.8 24.2 14.5 17.4 13.2 20.817.9 19.1 21.0 18.5 16.4 22.6，计算样本均值、样本方差与样本二阶中心矩．解：样本均值为 17.920.813.217.414.524.2 15.8(121x 44.18)22.616.418.521.019.1样本方差为22222)44.184.17()44.185.14()44.182.24()44.188.15[(111s 2222)44.181.19()44.189.17()44.188.20()44.182.13(])44.186.22()44.184.16()44.185.18()44.180.21(22224356.02916.05696.50816.14576.275236.151776.339696.6(1117756.10115312.118 .样本二阶中心矩22222)44.184.17()44.185.14()44.182.24()44.188.15[(121u 2222)44.181.19()44.189.17()44.188.20()44.182.13(])44.186.22()44.184.16()44.185.18()44.180.21(22228776.9125312.118 .解：样本均值为14.3)76215204253212 151(1001x 样本方差为 2222)14.33(25)14.32(21)14.31(51[11001s1216.2])14.36(7)14.35(1222样本二阶中心矩为2222)14.33(25)14.32(21)14.31(51[1001~s 1004.2])14.36(7)14.35(1222三、设总体X 的均值与方差分别为 与2 ，n X X X ,,,21 是来自该总体的简单随机样本，X 与2S 分别是样本均值与样本方差，求)(,)(,)(2S E X D X E ．解： ni n i i n i i n x E n x n E x E 1111)(1)1()(n n x D n x n D x D n i n i i n i i 21221211)(1)1()(ni i n i i x nE x E n x n x n E s E 1222122)]()([11)](11[)(ni i i x E x D n Ex x D n 122])()([])()([{110}][][{1112222ni nn n n 四、设总体X 与Y 相互独立且均服从正态分布23 ,0N ，921,,,X X X 和921,,,Y Y Y 分别为来自X 与Y 的样本，则统计量292221921YY Y X X X U服从什么分布？解：因为)3 0(~2，N X ，)3 0(~2，N Y , 所以)9 , 2 , 1( )3 0(~ )3 0(~22，，，i N Y N X i i . 于是有 9) 2 1( 93 0 0222，，， i S DX S EY EX Y X i i推得292221921Y Y Y X X X U99191919191291291291YY i i i ii i S XE X S X Y X Y X。
《概率论与数理统计》第三版--课后习题答案.-(1)
习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1)某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故；(2)掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;解：；(3)观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以；(4)从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品;解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：(5)检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则；(6)观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2);解：用表示最低气温, 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故：；(7)在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;解：；(8)在长为的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.解：；1.2(1)A 与B 都发生, 但C 不发生; ；(2)A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;；(3)A,B,C 中至少有一个发生; ；(4)A,B,C 中恰有一个发生;；(5)A,B,C 中至少有两个发生; ；(6) A,B,C 中至多有一个发生;；(7) A;B;C 中至多有两个发生;(8) A,B,C 中恰有两个发生. ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
1.3 设样本空间, 事件=,具体写出下列各事件：(1); (2) ; (3) ; (4)（1）；(2) =；(3) =;(4) =1.6 按从小到大次序排列, 并说明理由.解：由于故，而由加法公式，有：1.7解：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：(2)由于事件可以分解为互斥事件，昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件概率为：(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为：.1.8解：(1) 由于，故显然当时P(AB) 取到最大值。
概率论与数理统计统计课后习题答案(有过程)
概率论与数理统计统计课后习题答案(有过程)第一章习题解答1．解：（1）Ω=｛0，1，…，10｝；（2）Ω=｛，1，…，100n｝，其中n为小班人数；n（3）Ω=｛√,×√, ××√, ×××√,…｝,其中√表示击中，×表示未击中；（4）Ω=｛（x,y）｝。
2．解：（1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员；（2）当全学院运动员都是三年级学生时，关系式是正确的；（3）全学院运动员都是三年级的男生，ABC=C成立；（4）当全学院女生都在三年级并且三年级学生都是女生时，=B成立。
3．解：（1）ABC；（2）AB；（3）；（4）；（5）；（6）4．解：因，则P（ABC）≤P（AB）可知P（ABC）=0 所以A、B、C至少有一个发生的概率为P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）=3×1/4-1/8+0 =5/85．解：（1）P（A∪B）= P（A）+P（B）-P（AB）=0.3+0.8-0.2=0.9 P(A)=P（A）-P（AB）=0.3-0.2=0.1（2）因为P（A∪B）= P（A）+P（B）-P（AB）≤P（A）+P（B）=α+β, 所以最大值maxP （A∪B）=min(α+β,1)；又P（A）≤P（A∪B），P（B）≤P（A∪B）,故最小值min P（A∪B）=max(α,β)6．解：设A表示事件“最小号码为5”，B表示事件“最大号码为5”。
223由题设可知样本点总数，。
2C52C411所以；7．解：设A表示事件“甲、乙两人相邻”，若n个人随机排成一列，则样本点总数为n!，， 1若n个人随机排成一圈.可将甲任意固定在某个位置，再考虑乙的位置。
表示按逆时针方向乙在甲的第i个位置，。
则样本空间，事件所以8．解：设A表示事件“偶遇一辆小汽车，其牌照号码中有数8”，则其对立事件A表示“偶遇一辆小汽车，其牌照号码中没有数8”，即号码中每一位都可从除8以外的其他9个数中取，因此A包含的基本事件数为，样本点总数为104。
概率论与数理统计_简答题答案
3.将3个球随机地投入4个盒子中，求下列事件的概率 （1）A ---任意3个盒子中各有一球；（2）B ---任意一个盒子中有3个球； （3）C---任意1个盒子中有2个球，其他任意1个盒子中有1个球。
解：（1）834!3)(334==C A P （2）1614)(314==C B P （3）1694)(3132314==C C C C P 三、2．一批产品共20件，其中一等品9件，二等品7件，三等品4件。
从这批产品中任取3件，求: (1) 取出的3件产品中恰有2件等级相同的概率；（2）取出的3件产品中至少有2件等级相同的概率。
解：设事件i A 表示取出的3件产品中有2件i 等品，其中i =1，2，3；（1）所求事件为事件1A 、2A 、3A 的和事件，由于这三个事件彼此互不相容，故)()()()(321321A P A P A P A A A P ++=++320116241132711129C C C C C C C ++==0.671 （2）设事件A 表示取出的3件产品中至少有2件等级相同，那么事件A 表示取出的3件产品中等级各不相同，则779.01)(1)(320141719=-=-=C C C C A P A P 2.玻璃杯成箱出售，每箱20只.假设各箱含0,1,2只残次品的概率分别为0.8, 0.1和0.1. 一顾客欲购一箱玻璃杯,在购买时,售货员任取一箱,而顾客随机的察看4只,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退还.试求顾客买下该箱的概率。
解:设=i A “每箱有i 只次品” （),2,1,0=i , =B “买下该箱” . )|()()|()()|()()(221100A B P A P A B P A P A B P A P B P ++==94.01.01.018.0420418420419≈⨯+⨯+⨯C C C C1.一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人看管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7。
概率论与数理统计习题解答第章 (1)
第八章 假 设 检 验三、解答题1. 某种零件的长度服从正态分布，方差σ2 = 1.21，随机抽取6件，记录其长度（毫米）分别为32.46，31.54，30.10，29.76，31.67，31.23在显著性水平α = 0.01下，能否认为这批零件的平均长度为32.50毫米？ 解：这是单个正态总体均值比较的问题，若设该种零件的长度),(~2σμN X ，则需要检验的是：00:μμ=H 01:μμ≠H由于2σ已知，选取nX Z σμ0-=为检验统计量，在显著水平α = 0.01下，0H 的拒绝域为：}|{|}|{|005.02Z z Z z ≥=≥α查表得 2.575829005.0=Z ，现由n =6, 31.1266711∑===ni i x n x ,1.1=σ, 50.320=μ计算得：3.0581561.132.5-31.126670==-=nX z σμ005.0Z z >可知，z 落入拒绝域中，故在0.01的显著水平下应拒绝0H ，不能认为这批零件的平均长度为32.50毫米。
EXCEL 实验结果：2. 正常人的脉搏平均每分钟72次，某医生测得10例“四乙基铅中毒”患者的脉搏数如下：54，67，68，78，70，66，67，65，69，70已知人的脉搏次数服从正态分布，问在显著水平α = 0.05下，“四乙基铅中毒”患者的脉搏和正常人的脉搏有无显著差异？解：这是单个正态总体均值比较的问题，若设“四乙基铅中毒”患者的脉搏数),(~2σμN X ，则需要检验的是：0:μμ=H1:μμ≠H由于方差未知，选取ns X T 0μ-=为检验统计量，在显著水平α = 0.05下，0H 的拒绝域为：)}9(|{|)}1(|{|2/05.02t t n t t ≥=-≥α查表得 2.26215716)9(025.0=t ，现由n =10, 67.411∑===n i i x n x , ()35.155555611122∑==--=n i i x x n s ， 计算得2.45335761035.1555556724.670=-=-=nsX t μ)9(025.0t t >可知，t 落入拒绝域中，故在0.05的显著水平下应拒绝0H ，“四乙基铅中毒”患者的脉搏和正常人的脉搏有显著差异。
真题考试：2020 概率论与数理统计(经管类)真题及答案(1)
真题考试：2020 概率论与数理统计（经管类）真题及答案(1)1、下列文章中，属于游记的一篇是（单选题）A. 《都江堰》B. 《香市》C. 《秋夜》D. 《蚂蚁大战》试题答案：A2、下列《湘夫人》诗句中，表示湘君遗憾之情的是（单选题）A. 桂栋兮兰榛，辛夷楣兮药房B. 捐余袂兮江中，遗余襟兮醴浦C. 白玉兮为镇，疏石兰兮为芳D. 合百草兮实庭，建芳馨兮庑门试题答案：B3、设X，Y为随机变量，E(X)=E(Y)=1，Cov(X，Y)=2，则E(2XY)= 【】（单选题）A. -6B. -2C. 2D. 6试题答案：D4、下列《吃饭》语句中，作者据以生发议论，进而抨击和嘲讽不合理社会现象的是（单选题）A. 吃饭有时很像结婚，名义上最主要的东西，其实往往是附属品B. 弄饭给我们吃的人，决不是我们真正的主人翁C. 整个人世间好比是做菜的厨房D. 可口好吃的菜还是值得赞美的试题答案：A5、以市场上最有利的价格进行交易的证券交易委托方式是( ）（单选题）A. 停止损失委托B. 停止损失限价委托C. 限价委托D. 市价委托试题答案：D6、设随机变量X与Y的相关系数为0.5，D(X)=9，D(Y)=4，则D(3X-Y)= 【】（单选题）A. 5B. 23C. 67D. 85试题答案：C7、下列作品中，使用倒叙方法的是（单选题）A. 《断魂枪》B. 《哦，香雪》C. 《金鲤鱼的百裥裙》D. 《苦恼》试题答案：C8、下列关于封闭式基金与开放式基金的说法正确的是（单选题）A. 封闭式基金有固定的存续期B. 开放式基金的规模是固定的C. 封闭式基金可以申请赎回D. 封闭式基金的交易价格与二级市场供求关系无关试题答案：A9、设随机事件A，B相互独立，且P(A)=0.2，P(B)=0.6，（单选题）A. 0.12B. 0.32C. 0.68D. 0.88试题答案：B10、狭义的黄金市场主要是指( ）（单选题）A. 黄金制品市场B. 黄金投资市场C. 黄金信贷市场D. 黄金期贷市场试题答案：B11、设随机变量X~ B（3,1/5）,则P{X=2}= （单选题）A. 1/125B. 12/125C. 3/25D. 12/25试题答案：B12、已知随机变量X~N(-2,2),则下列随机变量中,服从N(0,1) 分布的是（单选题）A.B.C.D.试题答案：D13、有效市场假说理论的提出人是（单选题）A. 保罗·萨缪尔森B. 尤金·法玛C. 米尔顿·弗里德曼D. 约翰·纳什试题答案：B14、设事件A与B相互独立，且P(A)=0.6，P(A∪B)=0.8，则P(B)= （单选题）A. 0.2B. 0.4C. 0.5D. 0.6试题答案：C15、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为（单选题）A. 1/4B. 1/2C. 3D. 4试题答案：A16、黄金期贷合约的内容包括( ）（多选题）A. 黄金数量B. 黄金质量C. 交易单位D. 交割地点E. 交割日期试题答案：A,B,C,D,E17、设二维随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)，则(X，Y)关于X的边缘分布函数Fx(x)= （单选题）A.B.C.D.试题答案：A18、设随机变量X的分布函数为F(x)，则下列结论正确的是（单选题）A. F(+∞)=-1B. F(+∞)=0C. F(-∞)=0D. F(-∞)=1试题答案：C19、《都江堰》发出了“活着或死了应该站在哪里”的疑问，下列语句中，符合作者意图的回答是 ( ) （单选题）A. 站在滔滔的江边，完成了一个“守”字的原始造型B. 长城摆出一副老资格等待人们的修缮C. 把一批批有所执持的学者遴选为无所专攻的官僚D. 离索桥东端不远的玉垒山麓，建有一座二王庙，祭祀李冰父子试题答案：A20、下列诗词句中，表现对爱人的思念之情的有 ( )（多选题）A. 唯将旧物表深情，钿合金钗寄将去B. 仙掌月明孤影过，长门灯暗数声来C. 问君能有几多愁，恰似一江春水向东流D. 梧桐半死清霜后，头白鸳鸯失伴飞E. 想佳人、妆楼颙望，误几回、天际识归舟试题答案：A,D,E21、（单选题）A.B.C.D.试题答案：A22、我国的存款性金融机构主要包括（单选题）A. 中央银行B. 商业银行C. 政策性银行D. 商业银行和信用合作社试题答案：D23、《冯谖客孟尝君》先写冯谖的“无好”、“无能”，后写其为孟尝君经营三窟，这样的表现方法是 ( ) （单选题）A. 以小见大B. 互相映衬C. 欲扬先抑D. 首尾呼应试题答案：C24、设X1,X2...X10是来自总体X的样本，且X ~ N(0,1)，（单选题）A.B.C.D.试题答案：B25、（单选题）A.B.C.D.试题答案：B26、设随机变量X在[-2,2]上服从均匀分布，则P{X≥1}= （单选题）A. 0B. 1/4C. 1/2D. 1试题答案：B27、《长恨歌》中唐玄宗、杨贵妃七月七日密誓之所是 ( ) （单选题）A. 未央宫B. 昭阳殿C. 蓬莱宫D. 长生殿试题答案：D28、设随机变量x满足E(X2)=20, D(X)=4,则E(2X)= （单选题）A. 4B. 8C. 16D. 32试题答案：B29、下列《寡人之于国也》的语句中，用比喻进行论证的有（多选题）A. 以五十步笑百步B. 数罟不入湾池C. 斧斤以时入山林D. 百亩之田，勿夺其时E. 非我也，兵也试题答案：A,E30、《哦，香雪》：“可在这儿，和同桌的铅笔盒一比，为什么显得那样笨拙、陈旧?它在一阵哒哒声中有几分羞涩地畏缩在桌角上。
《概率论与数理统计 第一章》答案
第1章 事件与概率2、若A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A = ；(3)C AB ⊂；(4)BC A ⊂.3、试把n A A A 21表示成n 个两两互不相容事件的和．6、若A ，B ，C ，D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A ，B 都发生而C ，D 都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。
8、证明下列等式：（1）1321232-=++++n n n n n n n nC C C C ；（2）0)1(321321=-+-+--n n n n n n nC C C C ；（3）∑-=-++=r a k r a b a k b r k a C C C0.9、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。
10、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边；（2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。
11、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。
12、在一个装有n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取m 只球，求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。
13、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。
现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。
14、由盛有号码 ,2,1，N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。
16、任意从数列 ,2,1，N 中不放回地取出n 个数并按大小排列成：n m x x x x <<<<< 21，试求M x m =的概率，这里N M ≤≤118、从6只不同的手套中任取4只，问其中恰有一双配对的概率是多少？19、从n 双不同的鞋子中任取2r(2r<n)只，求下列事件发生的概率：（1）没有成对的鞋子；（2）只有一对鞋子；（3）恰有两对鞋子；（4）有r 对鞋子。
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概率论与数理统计习题及答案习题一1． 略.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC（4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC(5) ABC=A B C(6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3. 略.见教材习题参考答案4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）.【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)]=1-[0.7-0.3]=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0， P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=14+14+13-112=347. 从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】p=5332131313131352C C C C/C8. 对一个五人学习小组考虑生日问题：（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）=517=（17）5（亦可用独立性求解，下同） （2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P （A 2）=5567=(67)5(3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P （A 3）=1-P (A 1)=1-(17)59. 略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n <N ）.试求其中恰有m 件（m ≤M ）正品（记为A ）的概率.如果： （1） n 件是同时取出的；（2） n 件是无放回逐件取出的； （3） n 件是有放回逐件取出的.【解】（1） P （A ）=C C /C m n m nM N M N --(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有P nN 种，n 次抽取中有m 次为正品的组合数为C m n 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M 件正品中取m 件的排列数有P mM 种，从N -M 件次品中取n -m 件的排列数为P n m N M --种，故P （A ）=C P P P m m n mn M N MnN-- 由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成P （A ）=C C C m n mM N MnN-- 可以看出，用第二种方法简便得多.（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N 种取法，故所有可能的取法总数为N n 种，n 次抽取中有m次为正品的组合数为C m n 种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m 次取得正品，都有M 种取法，共有M m 种取法，n -m 次取得次品，每次都有N -M 种取法，共有（N -M ）n -m 种取法，故()C ()/m m n mn n P A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型，共做了n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为MN，则取得m 件正品的概率为()C 1m n mmnM M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11. 略.见教材习题参考答案.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A ==13. 一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率.【解】 设A i ={恰有i 个白球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥.213434233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ====故 232322()()()35P A A P A P A =+=14. 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：（1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率.【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽}，（i =1,2）(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==⨯= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-⨯= (3) 2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =⨯+⨯=15. 掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.（1） 问正好在第6次停止的概率；（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.【解】（1） 223151115()()22232p C == (2) 1342111C ()()22245/325p == 16. 甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率.【解】 设A i ={甲进i 球}，i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则33312123330()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+ 22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯=0.3207617． 从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-= 18. 某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A ={下雨}，B ={下雪}.（1） ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A === （2） ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=19. 已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）. 【解】 设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故()6/86()()7/87P AB P B A P A ===或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.6()7P B A =20. 已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】 设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯21. 两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图 题22图【解】设两人到达时刻为x,y ,则0≤x ,y ≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x -y |>30.如图阴影部分所示.22301604P ==22. 从（0，1）中随机地取两个数，求：（1） 两个数之和小于65的概率； （2） 两个数之积小于14的概率.【解】 设两数为x ,y ，则0<x ,y <1. （1） x +y <65. 11441725510.68125p =-==(2) xy =<14.1111244111d d ln 242x p x y ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭⎰⎰23. 设P （A ）=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5，求P （B ｜A ∪B ） 【解】 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B A B P A B P A P B P AB -==+- 0.70.510.70.60.54-==+-24. 在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式，有3()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =∙+∙+∙+∙0.089= 25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？ 【解】设A ={被调查学生是努力学习的}，则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P （A ）=0.8，P（A ）=0.2，又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P （B |A ）=0.9，P （B |A ）=0.9，故由贝叶斯公式知（1）()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%(2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作A的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ，试问原发信息是A 的概率是多少？【解】 设A ={原发信息是A }，则={原发信息是B }C ={收到信息是A }，则={收到信息是B } 由贝叶斯公式，得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯27. 在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种） 【解】设A i ={箱中原有i 个白球}（i =0,1,2），由题设条件知P （A i ）=13,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知11112()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑ 2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯28. 某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率. 【解】 设A ={产品确为合格品}，B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯29. 某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？ 【解】 设A ={该客户是“谨慎的”}，B ={该客户是“一般的”}，C ={该客户是“冒失的”}，D ={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++ 0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯30. 加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率. 【解】设A i ={第i 道工序出次品}（i =1,2,3,4）.412341()1()i i P A P A A A A ==-12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.970.124=-⨯⨯⨯=31. 设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9? 【解】设必须进行n 次独立射击.1(0.8)0.9n -≥即为 (0.8)0.1n ≤ 故 n ≥11 至少必须进行11次独立射击.32. 证明：若P （A ｜B ）=P (A ｜B )，则A ，B 相互独立.【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B =亦即 ()()()()P AB P B P AB P B =()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=-因此 ()()()P AB P A P B = 故A 与B 相互独立.33. 三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为15，13，14，求将此密码破译出的概率. 【解】 设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯= 34. 甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3由全概率公式，得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.45835. 已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：（1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率. （2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 【解】（1） 310110C(0.35)(0.65)0.5138k k k k p -===∑(2) 10102104C(0.25)(0.75)0.2241kk k k p -===∑36. 一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：（1） A =“某指定的一层有两位乘客离开”；（2） B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3） C =“恰有两位乘客在同一层离开”； （4） D =“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.（1） 2466C 9()10P A =，也可由6重贝努里模型：224619()C ()()1010P A =（2） 6个人在十层中任意六层离开，故6106P ()10P B =（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有110C 种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有26C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有131948C C C 种可能结果；②4人同时离开，有19C 种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有49P 种可能结果，故1213114610694899()C C (C C C C P )/10P C =++（4） D=B .故6106P ()1()110P D P B =-=-37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3） 如果n 个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率. 【解】 （1） 111p n =- (2) 23!(3)!,3(1)!n p n n -=>-(3) 12(1)!13!(2)!;,3!!n n p p n n n n --''===≥ 38. 将线段[0，a ]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】 设这三段长分别为x ,y ,a -x -y .则基本事件集为由0<x <a ,0<y <a ,0<a -x -y <a 所构成的图形，有利事件集为由()()x y a x y x a x y y y a x y x+>--⎡⎢+-->⎢⎢+-->⎣ 构成的图形，即02022a x a y ax y a ⎡<<⎢⎢⎢<<⎢⎢⎢<+<⎢⎣如图阴影部分所示，故所求概率为14p =. 39. 某人有n 把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.证明试开k 次（k =1,2,…,n ）才能把门打开的概率与k 无关.【证】 11P 1,1,2,,P k n k n p k n n--=== 40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有i 面涂有颜色的概率P （A i ）（i =0,1,2,3）. 【解】 设A i ={小立方体有i 面涂有颜色}，i =0,1,2,3.在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000-（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为01512384()0.512,()0.38410001000P A P A ====, 24968()0.096,()0.00810001000P A P A ====.41.对任意的随机事件A ，B ，C ，试证P （AB ）+P （AC ）-P （BC ）≤P (A ).【证】 ()[()]()P A P A B C P AB AC ≥= ()()()P AB P AC P ABC =+- ()()()P AB P AC P BC ≥+-42. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 【解】 设i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故3413C 3!3()48P A ==而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()416P A ==因此 213319()1()()181616P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()416P A == 43. 将一枚均匀硬币掷2n 次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2n 次硬币，可能出现：A ={正面次数多于反面次数}，B ={正面次数少于反面次数}，C ={正面次数等于反面次数}，A ，B ，C 两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P （A ）=P （B ）.所以1()()2P C P A -=由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为211()()()22n n nn P C C =故 2211()[1C ]22nn n P A =-44. 掷n 次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A ={出现正面次数多于反面次数}，B ={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知P （A ）=P （B ）（1） 当n 为奇数时，正、反面次数不会相等.由P （A ）+P （B ）=1得P （A ）=P （B ）=0.5 (2) 当n 为偶数时，由上题知211()[1C ()]22nn n P A =-45. 设甲掷均匀硬币n +1次，乙掷n 次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有>正正（甲乙）=（甲正≤乙正）=（n +1-甲反≤n -乙反） =（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）由对称性知P （甲正>乙正）=P （甲反>乙反） 因此P (甲正>乙正)=1246. 证明“确定的原则”（Sure -thing ）：若P （A |C ）≥P (B |C ),P (A |C )≥P (B |C )，则P （A ）≥P (B ). 【证】由P （A |C ）≥P (B |C ),得()(),()()P AC P BC P C P C ≥即有 ()()P AC P BC ≥ 同理由 (|)(|),P A C P B C ≥ 得 ()(),P AC P BC ≥故 ()()()()()()P A P AC P AC P BC P BC P B =+≥+=47.一列火车共有n 节车厢，有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】 设A i ={第i 节车厢是空的}，（i =1,…,n ）,则121(1)1()(1)2()(1)1()(1)n k ki k ki j ki i i n P A n nP A A nn P A A A n--==-=--=-其中i 1,i 2,…,i n -1是1，2，…，n 中的任n -1个. 显然n 节车厢全空的概率是零，于是2112111122111111123111()(1)C (1)2()C (1)1()C (1)0()(1)n n nk ki ni ki j n i j n n kn i i i n i i i nn nn i ni S P A n n n S P A A n n S P A A A nS P A S S S S --=≤<≤--≤<<≤+===-=-==--==-==-+-+-∑∑∑121121C (1)C (1)(1)C (1)k k n n kn n n n nnn--=---++-- 故所求概率为121121()1C (1)C (1)nk i i n n i P A n n =-=--+--+ 111(1)C (1)n n k nn n+---- 48.设随机试验中，某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A 迟早会出现的概率为1. 【证】在前n 次试验中，A 至少出现一次的概率为1(1)1()n n ε--→→∞49.袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】设A ={投掷硬币r 次都得到国徽}B ={这只硬币为正品} 由题知 (),()m nP B P B m n m n==++ 1(|),(|)12r P A B P A B ==则由贝叶斯公式知()()(|)(|)()()(|)()(|)P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B ==+ 121212rrr m m m n m nm n m n m n+==++++ 50.巴拿赫（Banach ）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r 根的概率又有多少？ 【解】以B 1、B 2记火柴取自不同两盒的事件，则有121()()2P B P B ==.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r 根，说明已取了2n -r 次，设n 次取自B 1盒（已空），n -r 次取自B 2盒，第2n -r +1次拿起B 1，发现已空。