第一章 概率论与数理统计1
概率论与数理统计复习笔记 (1)
概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(?):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算⊂(事件B包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生.∪B (和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A-B(差事件)事件A 发生而B 不发生.5. AB=? (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生.6. AB=?且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B .运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 B A B A I Y = B A B A Y I = 三. 概率的定义与性质1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;(3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…),P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质(1) P(?) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n ,P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ⊂B, 则P(A)≤P(B), P(B-A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .(5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n…+(-1)n-1P(A 1A 2…A n )四.等可能(古典)概型1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0).2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0)3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)=()()i ni i B A P B P ∑=1当P(A)>0, P(B i )>0时,有贝叶斯公式P (B i |A)=()()()()()()∑==ni i i i i i B A P B P B A P B P A P AB P 1. 六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B 为相互独立的事件. (1)两个事件A,B 相互独立? P(B)= P (B|A) .(2)若A 与B,A 与B ,A 与B, ,A 与B 中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.2.三个事件A,B,C 满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C 三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C 三事件相互独立. 个事件A 1,A 2,…,A n ,如果对任意k (1<k ≤n),任意1≤i 1<i 2<…<i k ≤n.有()()()()kki i i i i i A P A P A P A A A P ΛΛ2121=,则称这n 个事件A 1,A 2,…,A n 相互独立.第二章 随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E 的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量.2.随机变量X 的分布函数F(x)=P{X ≤x} , x 是任意实数. 其性质为:(1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1. (2)F(x)单调不减,即若x 1<x 2 ,则 F(x 1)≤F(x 2). (3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x). (4)P{x 1<X≤x 2}=F(x 2)-F(x 1). 二.离散型随机变量 (只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k }= p k (k=1,2,…) 也可以列表表示. 其性质为: (1)非负性 0≤P k ≤1 ; (2)归一性 11=∑∞=k k p .2.离散型随机变量的分布函数 F(x)=∑≤xX k k P 为阶梯函数,它在x=x k (k=1,2,…)处具有跳跃点,其跳跃值为p k =P{X=x k } .3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)X~(0-1)分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p (0<p<1) .(2)X~b(n,p)参数为n,p 的二项分布P{X=k}=()kn k p p k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1(k=0,1,2,…,n) (0<p<1) (3))X~?(?)参数为?的泊松分布 P{X=k}=λλ-e k k !(k=0,1,2,…) (?>0)三.连续型随机变量1.定义 如果随机变量X 的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=()dt t f x⎰∞-,-∞< x <∞,则称X 为连续型随机变量,其中f (x)称为X 的概率密度(函数).2.概率密度的性质(1)非负性 f(x)≥0 ; (2)归一性 ⎰∞∞-dx x f )(=1 ;(3) P{x 1<X ≤x 2}=⎰21)(x x dx x f ; (4)若f (x)在点x 处连续,则f (x)=F / (x) .注意：连续型随机变量X 取任一指定实数值a 的概率为零,即P{X= a}=0 . 3.三种重要的连续型随机变量的分布(1)X ～U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布 ⎩⎨⎧=-0)(1a b x f 其它b x a << .(2)X 服从参数为?的指数分布.()⎩⎨⎧=-0/1θθx ex f 00≤>x x 若若 (?>0).(3)X~N (?,?2)参数为?,?的正态分布 222)(21)(σμσπ--=x e x f -?<x<?, ?>0.特别, ?=0, ?2 =1时,称X 服从标准正态分布,记为X~N (0,1),其概率密度2221)(x e x -=πϕ , 标准正态分布函数 ⎰=Φ∞--xt dt e x 2221)(π, ?(-x)=1-Φ(x) .若X ～N ((?,?2), 则Z=σμ-X ~N (0,1), P{x 1<X ≤x 2}=Φ(σμ-2x )-Φ(σμ-1x ).若P{Z>z ?}= P{Z<-z ?}= P{|Z|>z ?/2}= ?,则点z ?,-z ?, ?z ?/ 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧?分位点. 注意：?(z ?)=1-? , z 1- ?= -z ?. 四.随机变量X 的函数Y= g (X)的分布 1.离散型随机变量的函数若g(x k ) (k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.若g(x k ) (k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律. 2.连续型随机变量的函数若X 的概率密度为f X (x),则求其函数Y=g(X)的概率密度f Y (y)常用两种方法： (1)分布函数法 先求Y 的分布函数F Y (y)=P{Y ≤y}=P{g(X)≤y}=()()dx x f ky X k∑⎰∆其中Δk (y)是与g(X)≤y 对应的X 的可能值x 所在的区间(可能不只一个),然后对y 求导即得f Y (y)=F Y /(y) .(2)公式法 若g(x)处处可导,且恒有g /(x)>0 (或g / (x)<0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其概率密度为 ()()()()⎩⎨⎧'=0y h y h f y f X Y 其它βα<<y其中h(y)是g(x)的反函数 , ?= min (g (-?),g (?)) ?= max (g (-?),g (?)) .如果 f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则 ?= min (g (a),g (b)) ?= max (g (a),g (b)) .第三章 二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1.定义 若X 和Y 是定义在样本空间S 上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X ≤x,Y ≤y}称为(X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数. 2.分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于x 和y 单调不减.(2)0≤F(x,y)≤1 , F(x,- ?)=0, F(-?,y)=0, F(-?,-?)=0, F(?,?)=1 .(3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) . (4)对于任意实数x 1<x 2 , y 1<y 2P{x 1<X ≤x 2 , y 1<Y ≤y 2}= F(x 2,y 2)- F(x 2,y 1)- F(x 1,y 2)+ F(x 1,y 1)二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义 若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i ,y j ) (i ,j =1,2,… )称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称P{X= x i ,Y= y j }= p i j 为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.2.性质 (1)非负性 0≤p i j ≤1 . (2)归一性 ∑∑=i jij p 1 . 3. (X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数F(x,y)=∑∑≤≤x x yy ij i j p三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义 如果存在非负的函数f (x,y),使对任意的x 和y,有F(x,y)=⎰⎰∞-∞-yxdudv v u f ),( 则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X 和Y 的联合)概率密度. 2.性质 (1)非负性 f (x,y)≥0 . (2)归一性 1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-dxdy y x f .(3)若f (x,y)在点(x,y)连续,则yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2(4)若G 为xoy 平面上一个区域,则⎰⎰=∈Gdxdy y x f G y x P ),(}),{(.四.边缘分布1. (X,Y)关于X 的边缘分布函数 F X (x) = P{X ≤x , Y<?}= F (x , ?) . (X,Y)关于Y 的边缘分布函数 F Y (y) = P{X<?, Y ≤y}= F (?,y)2.二维离散型随机变量(X,Y)关于X 的边缘分布律 P{X= x i }= ∑∞=1j ij p = p i · ( i =1,2,…) 归一性 11=∑∞=•i i p .关于Y 的边缘分布律 P{Y= y j }= ∑∞=1i ij p = p ·j ( j =1,2,…) 归一性 11=∑∞=•j j p .3.二维连续型随机变量(X,Y)关于X 的边缘概率密度f X (x)=⎰∞∞-dy y x f ),( 归一性1)(=⎰∞∞-dx x f X 关于Y 的边缘概率密度f Y (y)=x d y x f ⎰∞∞-),( 归一性1)(=⎰∞∞-dyy f Y五.相互独立的随机变量1.定义 若对一切实数x,y,均有F(x,y)= F X (x) F Y (y) ,则称X 和Y 相互独立.2.离散型随机变量X 和Y 相互独立⇔p i j = p i ··p ·j ( i ,j =1,2,…)对一切x i ,y j 成立.3.连续型随机变量X 和Y 相互独立⇔f (x,y)=f X (x)f Y (y)对(X,Y)所有可能取值(x,y)都成立. 六．条件分布1．二维离散型随机变量的条件分布定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=y j }>0,则称,}{},{jj i j j i p p y Y P y Y x X P •=====P{X=x i |Y=y j }为在Y= y j 条件下随机变量X 的条件分布律. 同样,对于固定的i,若P{X=x i }>0,则称P{Y=y j |X=x i } 为在X=x i 条件下随机变量Y 的条件分布律.第四章 随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义随机变量X 离散型随机变量 连续型随机变量分布律P{X=x i }= p i ( i =1,2,…) 概率密度f (x)数学期望(均值)E(X) ∑∞=1i i i p x (级数绝对收敛) ⎰∞∞-dx x xf )((积分绝对收敛)方差D(X)=E{[X-E(X)]2} []∑-∞=12)(i i i p X E x ⎰-∞∞-dx x f X E x )()]([2=E(X 2)-[E(X)]2 (级数绝对收敛) (积分绝对收敛) 函数数学期望E(Y)=E[g(X)] i i i p x g ∑∞=1)((级数绝对收敛) ⎰∞∞-dx x f x g )()((积分绝对收敛)标准差?(X)=√D(X) . 二.数学期望与方差的性质1. c 为为任意常数时, E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c) = 0 , D (cX) = c 2 D(X) . ,Y 为任意随机变量时, E (X ±Y)=E(X)±E(Y) .3. X 与Y 相互独立时, E(XY)=E(X)E(Y) , D(X ±Y)=D(X)+D(Y) .4. D(X) = 0 ⇔ P{X = C}=1 ,C 为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差 E(X) D(X) ~ (0-1)分布P{X=1}= p (0<p<1) p p (1- p) ~ b (n,p) (0<p<1) n p n p (1- p) ~ ?(?) ? ?,}{},{•=====i ji i j i p p x X P y Y x X P~ U(a,b) (a+b)/2 (b-a) 2/12 服从参数为?的指数分布 ? ?2 ~ N (?,?2) ? ?2 四.矩的概念随机变量X 的k 阶(原点)矩E(X k ) k=1,2,… 随机变量X 的k 阶中心矩E{[X-E(X)] k }随机变量X 和Y 的k+l 阶混合矩E(X k Y l ) l=1,2,…随机变量X 和Y 的k+l 阶混合中心矩E{[X-E(X)] k [Y-E(Y)] l }第六章 样本和抽样分布一.基本概念总体X 即随机变量X ; 样本X 1 ,X 2 ,…,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x 1 ,x 2 ,…,x n 为实数;n 是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如：样本均值∑==n i i X n X 11 样本方差()∑--==n i iX X n S 12211 样本标准差S 样本k 阶矩∑==n i k i k X n A 11( k=1,2,…) 样本k 阶中心矩∑-==ni k i k X X n B 1)(1( k=1,2,…)二.抽样分布 即统计量的分布1.X 的分布 不论总体X 服从什么分布, E (X ) = E(X) , D (X ) = D(X) / n . 特别,若X~ N (?,?2 ) ,则 X ~ N (?, ?2 /n) .2.?2分布 (1)定义 若X ～N (0,1) ,则Y =∑=ni i X 12~ ?2(n)自由度为n 的?2分布.(2)性质 ①若Y~ ?2(n),则E(Y) = n , D(Y) = 2n .②若Y 1~ ?2(n 1) Y 2~ ?2(n 2) ,则Y 1+Y 2~ ?2(n 1 + n 2). ③若X~ N (?,?2 ), 则22)1(σS n -~ ?2(n-1),且X 与S 2相互独立.(3)分位点 若Y~ ?2(n),0< ? <1 ,则满足的点)()(),(),(22/122/212n n n n ααααχχχχ--和分别称为?2分布的上、下、双侧?分位点. 3. t 分布(1)定义 若X~N (0,1),Y~ ?2(n),且X,Y 相互独立,则t=nY X ~t(n)自由度为n 的t 分布.(2)性质①n →∞时,t 分布的极限为标准正态分布.②X ～N (?,?2 )时, nS X μ-~ t (n-1) . ③两个正态总体相互独立的样本 样本均值 样本方差X~ N (?1,?12 ) 且?12=?22=?2 X 1 ,X 2 ,…,X n1 X S 12 Y~ N (?2,?22 ) Y 1 ,Y 2 ,…,Y n2 Y S 22则 212111)()(n n S Y X w +---μμ~ t (n 1+n 2-2) , 其中 2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w (3)分位点 若t ~ t (n) ,0 < ?<1 , 则满足的点)(),(),(2/n t n t n t ααα±-分别称t 分布的上、下、双侧?分位点. 注意: t 1- ? (n) = - t ? (n).分布 (1)定义 若U~?2(n 1), V~ ?2(n 2), 且U,V 相互独立,则F =21n V n U ~F(n 1,n 2)自由度为(n 1,n 2)的F 分布.(2)性质(条件同3.(2)③)22212221σσS S ~F(n 1-1,n 2-1)(3)分位点 若F~ F(n 1,n 2) ,0< ? <1,则满足的点),(),(),,(),,(212/1212/21121n n F n n F n n F n n F αααα--和分别称为F 分布的上、下、双侧?分位点. 注意: .).(1),(12211n n F n n F αα=-第七章 参数估计一.点估计 总体X 的分布中有k 个待估参数?1, ?2,…, ?k .X 1 ,X 2 ,…,X n 是X 的一个样本, x 1 ,x 2 ,…,x n 是样本值.1.矩估计法先求总体矩⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k θθθμμθθθμμθθθμμΛΛΛ解此方程组,得到⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k μμμθθμμμθθμμμθθΛΛΛ,以样本矩A l 取代总体矩? l ( l=1,2,…,k)得到矩估计量⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∧∧∧),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k A A A A A A A A A ΛΛΛθθθθθθ,若代入样本值则得到矩估计值. 2.最大似然估计法若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为p(x, ?1, ?2,…, ?k ),称样本X 1 ,X 2 ,…,X n的联合分布∏==ni k i k x p L 12121),,,,(),,,(θθθθθθΛΛ为似然函数.取使似然函数达到最大值的∧∧∧k θθθ,,,21Λ,称为参数?1, ?2,…,?k 的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.若L(?1, ?2,…, ?k )关于?1, ?2,…, ?k 可微,则一般可由 似然方程组0=∂∂i L θ 或 对数似然方程组 0ln =∂∂iLθ (i =1,2,…,k) 求出最大似然估计. 3.估计量的标准(1) 无偏性 若E(∧θ)=?,则估计量∧θ称为参数?的无偏估计量.不论总体X 服从什么分布, E (X )= E(X) , E(S 2)=D(X), E(A k )=?k =E(X k ),即样本均值X ,样本方差S 2,样本k 阶矩A k 分别是总体均值E(X),方差D(X),总体k 阶矩?k 的无偏估计,(2)有效性 若E(∧θ1 )=E(∧θ2)= ?, 而D(∧θ1)< D(∧θ2), 则称估计量∧θ1比∧θ2有效. (3)一致性(相合性) 若n →∞时,θθP→∧,则称估计量∧θ是参数?的相合估计量. 二.区间估计1.求参数?的置信水平为1-?的双侧置信区间的步骤(1)寻找样本函数W=W(X 1 ,X 2 ,…,X n ,?),其中只有一个待估参数?未知,且其分布完全确定.(2)利用双侧?分位点找出W 的区间(a,b),使P{a<W <b}=1-?.(3)由不等式a<W<b 解出θθθ<<则区间(θθ,)为所求.2.单个正态总体待估参数 其它参数 W 及其分布 置信区间? ?2已知 n X σμ-~N (0,1) (2/ασz n X ±) ? ?2未知n S X μ-~ t (n-1) )1((2/-±n t n S X α ?2 ?未知22)1(σS n -~ ?2(n-1) ))1()1(,)1()1((22/1222/2-----n S n n S n ααχχ 3.两个正态总体(1)均值差? 1-? 2 其它参数 W 及其分布 置信区间已知2221,σσ 22212121)(n n Y X σσμμ+--- ~ N(0,1) )(2221212n n z Y X σσα+±- 未知22221σσσ== 212111)(n n S Y X w +---μμ～t(n 1+n 2-2) )11)2((21212n n S n n t Y X w +-+±-α 其中S w 等符号的意义见第六章二. 3 (2)③. (2) ? 1,? 2未知, W=22212221σσS S ~ F(n 1-1,n 2-1),方差比?12/?22的置信区间为 注意:对于单侧置信区间,只需将以上所列的双侧置信区间中的上(下)限中的下标?/2改为?,另外的下(上)限取为-? (?)即可.。
概率论与数理统计(完整版)
例3. 某接待站在某一周曾接待过12次来访, 且都是在周二 和周四来访. 问是否可以推断接待时间是有规定的?
注
实际推断原理:“小概率事件在一次试 验中实际上是不可能发生的”.
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二、几何定义:
定义若对于一随机试验 ,每个样本点出现是等可能的 ,
样本空间所含的样本点个数为无穷多个 ,且具有非 零的 ,有限的几何度量 ,即 0m(),则称这一随机 试验是一几何概型的 .
(一) 样本空间:
定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样 本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等. 2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
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(二) 随机事件
A 2,A 2 A 3, A 1A 2, A 1 A 2, A 1A 2A 3, A 1A 2 A 2A 3 A 1A 3.
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§3. 概率的概念 一. 古典定义：
等可能概型的两个特点:
(1) 样本空间中的元素只有有限个;
(2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.
概率论与数理统计
第一章 概率论的基本概念 前言
1. 确定性现象和不确定性现象. 2. 随机现象: 在个别试验中其结果呈现出不确定性, 在 大量重复试验中其结果又具有统计规律性. 3. 概率与数理统计的广泛应用.
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§1.随机试验
我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验 称为试验。
举例:
E1: 抛一枚硬币，观察正(H)反(T) 面 的情 况. E2: 将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.
《概率论与数理统计》第01章习题解答
第一章 随机事件及其概率第1章1、解：（1）{}2,3,4,5,6,7S = （2）{} ,4,3,2=S （3）{} ,,,TTH TH H S =（4）{}6,5,4,3,2,1,,T T T T T T HT HH S =2、设A , B 是两个事件，已知81)(,21)(,41)(===AB P B P A P ，求)(B A P ，)(B A P ，)(AB P ，)])([(AB B A P 解：81)(,21)(,41)(===AB P B P A P ∴)()()()(AB P B P A P B A P -+= 85812141=-+=)()()(AB P B P B A P -=838121=-=87811)(1)(=-=-=AB P AB P)])([(AB B A P )]()[(AB B A P -=)()(AB P B A P -= )(B A AB ⊂218185=-=3、解：用A 表示事件“取到的三位数不包含数字1”2518900998900)(191918=⨯⨯==C C C A P 4、在仅由0，1，2，3，4，5组成且每个数字至多出现一次的全体三位数字中，任取一个三位数，（1）该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。
解：用A 表示事件“取到的三位数是奇数”，用B 表示事件“取到的三位数大于330”(1) 455443)(2515141413⨯⨯⨯⨯==A C C C C A P =0.48 2） 455421452)(251514122512⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=+=A C C C A C B P =0.48 5、袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率（1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球； （2）4只中至少有2只红球； （3）4只中没有白球解：用A 表示事件“4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球”（1）412131425)(C C C C A P ==495120=338（2）用B 表示事件“4只中至少有2只红球”16567)(4124418342824=++=C C C C C C B P 或4124838141)(C C C C B P +-==16567495201= （3）用C 表示事件“4只中没有白球”99749535)(41247===C C C P 6、解：用A 表示事件“某一特定的销售点得到k 张提货单”nkn k n MM C A P --=)1()( 7、解：用A 表示事件“3只球至少有1只配对”，B 表示事件“没有配对”（1）3212313)(=⨯⨯+=A P 或321231121)(=⨯⨯⨯⨯-=A P （2）31123112)(=⨯⨯⨯⨯=B P 8、（1）设1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P ，求(),(),(),(),P A B P B A P A B P A A B(),()P AB A B P A AB ；（2）袋中有6只白球，5只红球每次在袋中任取一只球，若取到白球，放回，并放入1只白球，若取到红球不放回也不再放回另外的球，连续取球四次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。
概率论与数理统计教程
1.1 随机事件和样本空间
一、随机现象 二、随机试验 三、样本空间 样本点 四、随机事件的概念 五、随机事件的关系
一、随机试验
1.必然现象（确定） 2.偶然现象（不确定）随机
说明： 1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 ,
其数量关系无法用函数加以描述. 2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,
1、包含关系 若事件 A 出现, 必然导致 B 出现 则称事件 B 包含事件 A,记作B A 或 A B.
特别地 若事件A包含事件B,而且事件B包含 事件A, 则称事件A与事件B相等,记作 A=B.
2.两事件的和与并
“二事件 A, B至少发生一个”也是一个事件, 称为事件 A 与事件B的和事件.记作A B，显然 A B {e | e A或e B}.
若事件 A 、B 满足 A B 且 AB .
则称 A 与B 为互逆(或对立)事件. A 的逆记
作 A.
事件间的运算规律
设 A, B, C 为事件, 则有
(1) 交换律 A B B A, AB BA. ( AB)C A(BC).
(2) 结合律 ( A B) C A (B C),
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数。 试验中,骰子“出现1点”, “出现2 点”, … ,“出现6点”, “点数不大于4”, “点 数为偶数” 等都为随机事件.
五、随机事件的关系及运算
（1）、随机事件间的关系
设试验 E 的样本空间为 , 而 A, B, Ak (k 1,2,)是 的子集.
推广：
N元情形
n
推广 称 Ak 为n个事件 A1, A2 ,, An 的积事件,
k 1
即A1, A2 ,, An同时发生;
概率论与数理统计总结1
三Байду номын сангаас 事件间的关系与运算
1. 包含关系: 若事件发生必然导致事件发生 B A或A B 2. 相等关系: A B 且B A 3. 事件的和 ( A B ) :A 与 B 至少有一个发生构成的事件 4. 事件的积 ( A B , 或AB) : A与B 同时发生构成的事件 5.互不相容事件（互斥事件） ：A 与 B 不能同时发生，即 AB=
二. 条件概率
在实际问题中， 常常需要计算在某个事件 B 已发生的条件下,， 另一个事件 A 发生的概率 。 在概率论中，称此概率为事件 B 已发生的条件下事件 A 发生的条件概率，记为 P( A | B ) 。 一般地，因为增加了“事件 B 已发生”的条件，所以 P( A | B ) P ( A) 。
下面举例引出条件概率的定义. 例 1 某工厂有职工 500 人，男女各占一半，男女职工中技术优秀的分别为 40 人与 10 人。 现从中人选一名职工，试问： (1) 该职工为技术优秀的概率是多少? (2) 已知选出的是女职工,她为技术优秀的概率是多少? 解 设 A 表示选出的职工为技术优秀的事件， B 表示选出的是女职工的事件。 40 10 1 (1) P( A) 500 10 10 1 (2) P( A | B ) 250 25 显然， P( A) P( A | B) 。这是因为限制在 B 已发生的条件下求 A 的概率的缘故。 10 10 500 P( AB) 另外，可由 P( A | B ) 250 250 P( B ) 500 推得一般情况下条件概率的定义. 设实验的基本事件总数为 n ，事件 B 所包含的基本事件数为 m B ， 事件 AB 所包含的基本事件数为 m B ，则有
i 1 i 1 n n
浙江大学《概率论与数理统计》第1章
1。 P( A) 0
2。 P(S) 1
3。 A1, A2,...,Ak ,...,Ai Aj （i j）,
P( Ai ) P( Ai )
i 1
i 1
称P(A)为事件A的概率。
性质：1 P() 0
证：令 An (n 1, 2,...),
例： 由n个部件组成的系统，记
n
• 串联系统： A Ai
i 1
n
• 并联系统： A Ai
i 1
Ai {第i个部件没有损坏}，i=1,2, ,n,
A＝{系统没有损坏}
1-3 频率与概率
(一)频率
定义：记
fn
(
A)
nA n
；
其中 n A —A发生的次数(频数)；
n—总试验次数。称 fn ( A) 为A
10 3 0.6 31 0.62
n =500 nH fn(H) 251 0.502 249 0.498 256 0.512 253 0.506 251 0.502 246 0.492 244 0.488 258 0.516 262 0.524 247 0.494
实验者 德·摩根
蒲丰 K·皮尔逊 K·皮尔逊
n
n
P( Ai ) P( Ai )
P( Ai Aj )
i 1
i 1
1i jn
P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1A2 An )
1i jk n
例：甲乙丙3人去参加某个集会的概率 均为0.4，其中至少有两人参加的概率为 0.3，都参加的概率为0.05，求3人中至 少有一人参加的概率。
概率论与数理统计
主讲：
第一章 随机事件及其概率
1.1 随机事件及其运算 1.2 随机事件的概率及性质 1.3 概率的计算 1.4 事件的独立性 1.5 独立事件概型
1.1.1 随机事件
手拿一枚硬币，松开手，硬币向下落。 结果唯一
种瓜得瓜，种豆得豆。
太阳每天从东方升起。
确定性现象
概率统计的 硬币落下时哪一面向上？
4040 验
10000
次 数
12000 不
24000
断 增
30000 大
正面出现的频数 1061 2048 4979 6019 12012 14994
频率 0.5181频 0.5069率稳 0.4979定 0.5016在 0.5005附 0.4998近
0.5
频率的特点
（1）波动性 （2）稳定性
当试验次数n增大时，(A) 逐渐趋向一个稳定 值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的 概率。称为统计概率。
问题二：既然取到白粉笔的概率是确定的值，如何在白粉笔数 量确定但未知的情况下计算？
1.2.1 概率的统计定义
定义 设随机事件A在n次重复试验中发生了m次，则称比值m/n为 随机事件A在n次重复试验中发生的频率，记做 ( A) ，即
频率的性质：
( A) m
n
（1）对如何事件A，0 (A) 1;
A63
0.4762
A3 {从中有放回地连取三件都是正品}
P( A3)
63 103
0.216
思考 A1, A2 的概率相等是否巧合？
1.2.2 概率的古典定义
例2.3的推广
一批产品共N件,其中M件次品,N-M件正品,从中取出n个，记A={取出
概率论与数理统计第一章教案-知识归纳整理
教 师 备 课 纸1第一节 随机事件一、随机现象在自然界和人类社会日子中普遍存在着两类现象：一类是在一定条件下必然闪现的现象，称为确定性现象。
例如：(1) 一物体从高度为h （米）处垂直下落，则经过t （秒）后必然落到地面，且当高度h 一定时，可由公式221gt h =得到，g h t /2=（秒）。
(2) 异性电荷相互吸引，同性电荷相互排斥。
…另一类则是在一定条件下我们事先无法准确预知其结果的现象，称为随机现象。
例如：(1) 在相同条件下抛掷同一枚硬币，我们无法事先预知将闪现正面还是反面。
(2) 未来某日某种股票的价格是多少。
…概率论算是以数量化想法来研究随机现象及其规律性的一门数学学科。
二、 随机试验为了对随机现象的统计规律性举行研究,就需要对随机现象举行重复观察， 我们把对随机现象的观察称为随机试验，并简称为试验，记为E 。
例如，观察某射手对固定目标举行射击； 抛一枚硬币三次,观察闪现正面的次数；记录某市120急救电话一昼夜接到的呼叫次数等均为随机试验。
随机试验具有下列特点：(1) 可重复性；试验可以在相同的条件下重复举行； (2) 可观察性；试验结果可观察,所有可能的结果是明确的； (3) 不确定性： 每次试验闪现的结果事先不能准确预知。
三、样本空间虽然一具随机试验将要闪现的结果是不确定的, 但其所有可能结果是明确的, 我们把随机试验的每一种可能的结果称为一具样本点, 记为e （或ω）；它们的全体称为样本空间, 记为S (或Ω).知识归纳整理教 师 备 课 纸2反面. 样本空间为S ={正面，反面}或==121}(,{e e e S 正面，=2e 反面)。
(2) 在将一枚硬币抛掷三次，观察正面H 、反面T 闪现事情的试验中，有8个样本点，样本空间：=S },,,,,,,{TTT TTH THT HTT THH HTH HHT HHH 。
(3) 在抛掷一枚骰子，观察其闪现的点数的试验中，有6个样本点：1点，2点，3点，4点，5点，6点，样本空间可简记为=S {1，2，3，4，5，6}。
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概 率 论第一章 随机事件与概率例1 设B A ,为随机事件，已知()4.0,6.0)(,5.0)(===A B P B p A P ，求 1) )(B A P + 2) )(B A P 3) ()B A P 4) )(B A P - 5) )(B A P + 例2 6个不同的球，投入编号为1到7的7个空盒中，求下列事件的概率：1) 1号到6号盒中各有一个球 2) 恰有6个盒中各有1个球 3) 1号盒内有2个球例3 袋中有两个5分的，三个贰分的，五个1分的钱币。
任取其中5个，求钱额总数超过壹角的概率。
例4 验收一批共有60件的可靠配件，按验收规则，随机抽验3件，只要3件中有一件不合格就拒收整批产品，假设，检验时，不合格品被误判为合格品的概率为0.03 ，而合格品被判为不合格品的概率为0.01，如果在60件产品中有3件不合格品，问这批产品被接收的概率是多少？例5 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱24只装，统计资料表明，每箱最多有2件残品，且含0，1和2件残品的箱各占80%，15%和5%。
现随意抽取一箱，从中随意检验4只，若未发现残品则通过验收，否则逐一检验并更换。
试求：1）一次通过验收的概率 2）通过验收的箱中确无残品的概率。
例6 一个医生已知某疾病的自然痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定10人中至少有4人治好，则认为这种药有效，反之，则无效，求：1）虽然新药有效，且把痊愈的概率提高到35%，但经过验收被否定的概率；2）新药完全无效，但经过试验被认为有效的概率。
例7 设B A ,是两个事件，0)(,0)(21>=>=P B P P A P ，且121>+P P ，证明：1211)(P P A B P --≥ 例8 已知161)()(,0)(,41)()()(======BC P AB P AB P C P B P A P ，求C B A ,,全不发生的概率。
例9 在长度为a 的线段内任取两点，将其分成三段，求它们能构成三角形的概率。
例10 设有三门炮同时对某目标射击，命中的概率分别为0.2，0.3，0.5，目标命中一发被击毁的概率是0.2，命中两发被击毁的概率为0.6，命中三发被击毁的概率为0.9，求三门炮在一次射击中击毁目标的概率。
例11 假设一厂家生产的仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率0.30需进一步调试，调试后以概率0.80可以出厂，并以概率0.20定为不合格品而不能出厂。
现该厂生产了)2n(n ≥台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求：1） 全部能出厂的概率； 2）其中恰好有两件不能出厂的概率； 3）其中至少有两件不能出厂的概率。
例12 某型号的高炮，每门炮发射一发击中飞机的概率是0.6。
现若干门炮各发射一发，问欲以99%的把握击中来犯的一架敌机至少需配置几门炮？习 题一 填空题1 设B A ,为随机事件，,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则()______=B A P2 设事件B A ,相互独立，已知,8.0)(,5.0)(==B A P A P 则()______=B A P ()______=B A P3 设B A ,是两个任意不相容的事件，则________)(=-B A P4 设B A ,是两个随机事件，已知()7.0,4.0)(,3.0)(===B A P A B P B A P ，则 _______)(=+B A P5 设41)()()(===C P B P A P ，81)()()(===BC P AC P AB P ，161)(=ABC P ，则 _______)(=C B A P ________)(=C B A P P(C B A ,,恰好发生一个)=________ P(C B A ,,至多出现一个)= ________ ()_______=C B A A P6 一射手对同一目标射击4次，假设每次是否命中目标是相互独立的，已知至少命中一次的一射手对同一目标射击4次，假设每次是否命中目标是相互独立的，已知至少命中一次的概率是8180，则该射手的命中概率是________ 7 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是________8 通信渠道传递15个信号，假设每个信号在传递过程中失真的概率为P ，若C B A ,,分别表示A ：无一信号失真；B ：恰有一信号失真；C ：两个以上信号失真，则____)(=A P ____)(=B P ____)(=C P9 两封信随机地投入已标号为1，2，3，4，5的五个信筒内，则第3号信筒刚好只投入一封信的概率为________10 有k 个袋子，每个袋内均有n 张卡片，分别编有号码1，2，n , 。
现在从每个袋中各取1张卡片，则取到卡片上的最大编号不超过2+m ，且不小于m 的概率为________11 在一张打上方格的纸上投一枚直径为1的硬币，方格边长为________时，才能使硬币不与线相交的概率不小于1%12 甲、乙两射手对同一目标进行射击，甲射手的命中率为1P ，乙射手的命中率为2P ，)1,0(21<<P P 。
规定甲先开始每人一次轮流进行，直到目标被击中为止，要使甲先命中，则1P ，2P应满足关系________ 二 选择题1 设B A ,为任意两个事件，且0)(,>⊂B P B A ，则下列成立的是（ ）A ）)()(B A P A P < B ）)()(B A P A P ≤C ）)()(B A P A P >D ）)()(B A P A P ≥ 2 设B A ,满足1)(=A B P ，则（ ）A ）A 是必然条件B ）0)(=A B PC ）B A ⊃D ）)()(B P A P ≤3 对事件B A ,，下列命题正确的是（ ）A) 事件B A ,互不相容，则事件B A ,也互不相容。
B) 如果B A ,相容，则B A ,也相容。
C) 如果B A ,互不相容，且,0)(,0)(>>B P A P 则B A ,相互独立。
D)若B A ,相互独立，则B A ,也独立。
4 设B A ,C 是两两独立且不能同时发生的随机事件，且,)()()(x C P B P A P ===则x 的最大值为（ ）A) 21 B ) 1 C) 31 D) 41 5 已知B A ,C 为任意三个随机事件，则[]))((C A B A P -+等于（ ）A) )()()()(ABC P AB P AC P A P -+- B) )()()()(ABC P AB P AC P A P --+C) )()()(ABC P AC P A P +- D) )()(AC P A P -6 10张奖券中有3张中奖的奖券，每人购买一张，则前三个购买者中恰有一个中奖的概率为（ ）A) 3.07.02310⨯⨯C B) 3.0 C) 407 D) 4021三、解答题1 袋中有8蓝2白共10个球，从中无放回地任取2次 ，每次任取一球。
求下列事件的概率1） 两次都是蓝球 2）两次中恰有一次取得蓝球 3）至少一次取得白球4）第2次取到白球2 现有编号为1，2，3的3个盒子，1号盒中有1红一黑2个球，2号盒中有4白4蓝共8个球，3号盒中有6白2蓝共8个球；先从1号盒中任取一球，如取得红球，则再从2号盒中任取一球；如取得黑球，则再从3号盒中任取一球，求：1）取得白球的概率 2）从3号盒中取得白球的概率。
3）若取得的是白球，求它是从3号盒中取出的概率。
3 一个自动报警装置由雷达和计算机两部分构成，两部分有任何一个失灵，这个报警装置就失灵，若使用100个小时后，雷达部分失灵的概率为1.0，计算机部分失灵的概率为3.0。
若两部分失灵与否相互独立，求这个报警装置使用100个小时而不失灵的概率。
4 从n 双不同的鞋子中任取)2(2n r r <只，求下列事件的概率 1）没有成对的鞋子 2）只有一对鞋子 3) 恰有两对鞋子 4）有r 对鞋子5 有朋友从远方来，他乘火车，轮船，汽车，飞机的概率依次为3.0,2.0,1.0,4.0，如乘火车，轮船，汽车来的话，迟到的概率分别为121,31,41，而乘飞机则不迟到，求 1）他迟到的概率 2）已知他迟到了，他是乘火车来的概率有多大？6 设每一个飞机引擎在飞行中出故障的概率为1P -，且各引擎是否出故障是相互独立的，如果至少有50%的引擎能正常运行，飞机就能成功地飞行，问对多大的P 而言，4引擎比2引擎更为可取？7 某商场有灯管若干箱，每箱内20只灯管，其中有0，1，2只残次品的概率分别为 ,70. 2.0,1.0。
一顾客从其所购的一箱中任取4只察看，有残次品则退货，否则买下，求下列事件的概率： 1）买下； 2）在该顾客买下的这一箱中，恰有1只残次品； 3）在该顾客退货的这箱中，恰有2只残次品。
8 两人约定上午9点到10点在公园会面，试求一人要等另一人h 21以上的概率。
9 若已知0=t 时，某分子与另一分子碰撞，又知任何0≥t 和0>∆t ，若不管该分子在时刻t 以前是否遭受碰撞，在),(t t t ∆+中遭受碰撞的概率等于)(t O t ∆+∆λ，试求该分子在时刻t 还没有再受碰撞的概率。
10 若每蚕产n 个卵的概率为),0(,2,1,0,!>==-λλλ n e n P nn ，而每个卵变为成虫的概率为P ，且各卵是否变成成虫彼此间没有关系。
1）求每蚕养出k 只小蚕的概率 2）若某蚕养出了k 只小蚕，求它产了n 个卵的概率。
四、证明题1 证明下列等式 1)()()()A C A B P A C B B P P -=； 2）)A B )P(C A P(B A)C ( =B P ；2 若C B A ,,互相独立，证明C B A ,,也相互独立。
3 假设A ,21,B B 互相独立，证明：A 与21B B +,,21B B -21B B 都相互独立。
4 证明下列等式1）)()()()()()(1B P A P B A P AB P B P A P +≤≤≤--2）)()()()(A P BC P AC P AB P ≤-+答 案一、11242kk1k 793341) 0.6; 2) 0.2 , 0.7; 3) P(A); 4) 0.58; 5) ;;;;16161647C C 2186) 7) ; 8) 0.94; 0.68; 9) ;35525(m 2)-(m-1)110) 11) a 1 12) P n 9=+<22P 1P >+ 二、1 B 2 D 3 D 4 A 5 D 6D三、1（{}62.097108)()1)2,1.i A 21i ≈⋅===A A P i 次取得蓝色球第)()22121A A A A P +＝36.09210898102≈⋅+⋅ 38.0)()321=A A P2.0)()42121=+A A A A P 21);53)3;83)2;85 30.63; 4 1).)4;2)3;2)2422224222422222122222r n r n r n r n n r r n r n r r n rnr C C C C C C C n C C ------⋅⋅ 3151);2);2026 271)0.923;2)0.173;3)0.478;3P ≥ 18;49 λττ-=e P )( 10 P ke k P λλ-!)(。