2006年高考山东卷文科数学试题及参考答案
2006年高考山东卷文科数学试题及参考答案
参考公式：锥体体积公式1
3
V Sh =
，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。
线形回归方程ˆˆˆy
bx a =+中系数计算公式1
2
1
()()
ˆˆˆ,,()
n
i
i
i n
i
i x x y y b a
y bx x x ==--==--∑∑ 其中,x y 表示样本均值。
n 是正整数，则1221()(...)n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．设复数z 满足iz = 1，其中i 为虚数单位，则z = A
A ．- i
B ．i
C ．- 1
D ．1
2．已知集合{}{}22(,),1,(,),1A x y x y x y B x y x y x y =+==+=为实数，且为实数，且，则A B 的元素个数为C
A ．4
B .3
C .2
D . 1 3．已知向量(1,2),(1,0),(3,4)a b c ===．若λ为实数,()//,a b c λλ+=则 B
A ．14
B .1
2
C .1
D . 2
4．函数1
()lg(1)1f x x x
=
++-的定义域是C A ．(,1)-∞- B .(1,)+∞ C .(1,1)(1,)-+∞ D . (,)-∞+∞ 5．不等式2210x x -->的解积是D
A ．1(,1)2-
B . (1,)+∞
C . (,1)(2,)-∞+∞
D . 1
(,)(1,)2
-∞-+∞ 6．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D
由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪
≤⎨⎪
≤⎩给定,若(,)M x y 为D 上的动
点,点A
的坐标为z OM OA =
则的最大值为B
A ．3
B .4 C
. D
. 7．正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个正五棱柱的对角线条数共有D
A ．20
B .15
C .12
D . 10 8．设圆22(3)10C x y y C +-==与圆外切，与直线相切，则圆的圆心轨迹为 A
A ．抛物线
B .双曲线
C .椭圆
D . 圆
9．如图,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形,等腰三角
形和菱形，则该几何体体积为C
A
． B .4 C
. D . 2
10．设(),(),()f x g x h x 是R 上的任意实值函数，如下定义两个函数()()()():f g x f g x ∙ 和对任
意,()()(());()()()(),x R f g x f g x f g x f x g x ∈=∙= 则下列等式恒成立的是B A ．(())()(()())()f g h x f h g h x ∙=∙∙ B ．(())()(()())()f g h x f h g h x ∙=∙ C ．(())()(()())()f g h x f h g h x = D ．(())()(()())()f g h x f h g h x ∙∙=∙∙∙
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
（一）必做题（11—13题）
11．已知{}n a 是递增等比数列，2432,4,a a a q =-==则此数列的公比 2 . 12．设函数3()cos 1.()11,()f x x x f a f a =+=-=若则 -9 .
13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1
号到5号每天打篮球时间x （单位：小时）与当天投篮命中率y 之间的关系：
天的平均投篮命中率为 0.5 ；用线形回归分析的方法，预测小李该月篮球的投篮命中率为 0.53 ．
（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为(0)sin x y θ
θπθ
⎧=⎪≤≤⎨
=⎪⎩
和俯视图
侧视图
正视图
25()4x t
t R y t
⎧
=⎪∈⎨⎪=⎩，它们的交点坐标为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图，在梯形ABCD 中，//,AB CD 4,2,,3//AB CD E F AD BC EF EF AB ===分别为，上的点，且，， 则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为
5
7
．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16．（本小题满分12分）
已知函数1()2sin(),36
f x x x R π
=-∈
（1） 求(0)f 的值；
（2） 设106
,[0,],(3),(32),sin()22135f f ππαβαβπαβ∈+=+=+求的值.
(1) (0)f =-1
(2) 由.10(3)2sin 213f παα+==得.5
sin 13
α=；
由.6(32)2cos 5f βπβ+==得.3
cos 5
β=
sin()αβ+=65
63
17．（本小题满分13分）
在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分，用n x 表示编号为(1,2,...,6)n n =的同学所
（1） 求第6位同学的成绩6x ，及这6位同学成绩的标准差s ；
（2） 从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率. (1) 成绩6x =90, 标准差s =7
(2)P=
52
或者0.4 18．（本小题满分13分）
下图所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一般
沿切面向右水平平移得到的。
,,,,,,A A B B CD C D DE D E ''''''分别为的中点，1122
,,,O O O O ''分别为,,CD C D '' ,DE D E ''的中点。
(1)证明：12,,,O A O B ''四点共面；
(2)设G 为AA '的中点，延长1112A O H O H A O BO H B G ''''''''''=⊥到，使得，证明：平面。
19．（本小题满分14分）
设0,a >讨论函数2()(1)2(1)f x Inx a a x a x =+---的单调性。
20．（本小题满分14分）
设0,b >数列{}1
11,(2).1
n n n n nba a a b a n a n --==≥+-满足
（1） 求数列{}n a 的通项公式；
（2） 证明：对于一切正整数1,2 1.n n n a b +≤+
21．（本小题满分14分）
C '
C
在平面直角坐标系xOy 中，直线:2l x x =-交轴于点A ，设P 是l 上一点，M 是线段OP 的垂直平
分线上的一点，且满足.MPO AOP ∠=∠
（1） 当点P 在l 上与动时，求点M 的轨迹E 的方程；
（2） 已知(1,1),T -设H 是E 上动点，求HO HT +的最小值，并给出此时点H 的坐标；
（3） 过点(1,1)T -且不平行于y 轴的直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点，求直线1l 的斜率k
的取值范围。
2006年全国各地高考数学试题及解答分类大全( 数系的扩充与复数的引入)
5(1 3i) 10
1 2
3 2
i
所以 x y 1 且 x 2y 3 ，解得 x＝－1，y＝5， 25 2 2 5 2
所以 x＋y＝4。
2、(2006 上海文)若复数 z 满足 z (m 2) (m 1)i （ i 为虚数单位）为纯虚数，其中 m R ，则 z ____ 。 2、解：若复数 z 满足 z (m 2) (m 1)i （ i 为虚数单位）为纯虚数，其中 m R ，则 m=2，z=3i， z 3。
A．1
B． 1
C． 2
D． 2
5．解：复数 (m2 i)(1 mi) =(m2－m)+(1+m3)i 是实数，∴ 1+m3=0，m=－1，选 B.
6. (2006
全国
II
3 理) (1 i)2
(
)
（A） 3 i 2
（B） 3 i 2
（C） i
（D） i
6.
3
解：
(1 i)2
3 2i
3i 2i 2
D. 2 2 i
4、(2006 江西理)已知复数 z 满足（ 3 ＋3i）z＝3i，则 z＝（ ）
A． 3 － 3 i 22
B. 3－ 3 i 44
C. 3＋ 3 i 22
D. 3＋ 3 i 44
4.解： z＝
3i
＝3（i 3－3i）＝
3i＋3
故选 D
3＋3i
12
4
5、(2006 全国Ⅰ理)如果复数 (m2 i)(1 mi) 是实数，则实数 m ( )
2006 年全国各地高考数学试题及解答分类大全
（数系的扩充与复数的引入）
一、选择题：
1. (2006 安徽理)复数 1 3i 等于（ ） 3i
2006年高考.山东卷.理科数学试题及详细解答
绝密★启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学（必修+选修II ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第II 卷3至10页，满分150分，考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（共60分）注意事项：1. 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号，考试科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮檫干净后，再选其他答案标号，不能答在试题卷上。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A +B ）=P (A )+P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，P (A ·B )=P (A )·P (B )一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.（1）定义集合运算：A ⊙B =｛z ︳z = xy (x+y )，x ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为（A ）0 （B ）6 （C ）12 （D ）18 （2）函数y=1+a x (0<a <1)的反函数的图象大致是（A ） （B ） （C ） （D ）(3)设f (x )= 1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩ 则不等式f (x )>2的解集为 (A)（1，2）⋃（3，+∞） (B)（10，+∞） (C)（1，2）⋃ （10 ，+∞） (D)（1，2） （4）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =3π,a =3,b =1，则c = (A) 1 （B ）2 （C ）3—1 （D ）3（5）设向量a=(1, －2),b=(－2,4),c =(－1,－2)，若表示向量4a ,4b －2c ,2(a －c ),d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为(A)(2,6) (B)(－2,6) (C)(2,－6) (D)(－2,－6) (6)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x ),则,f (6)的值为(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2（7）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为(A)2 (B)22 (C) 21(D)42 （8）设p ：x 2－x －20>0,q ：212--x x <0,则p 是q 的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （9）已知集合A =｛5｝,B =｛1,2｝,C =｛1,3,4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为(A)33 (B) 34 (C) 35 (D)36（10）已知2nx ⎛ ⎝的展开式中第三项与第五项的系数之比为－143,其中2i =－1，则展开式中常数项是(A)－45i (B) 45i (C) －45 (D)45（11）某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则z =10x +10y的最大值是(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95（12）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2,∠DAB =60°,E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则P －DCE 三棱锥的外接球的体积为 (A)2734π (B)26π (C)86π (D)246π（12题图）绝密★启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学（必修+选修II ）注意事项：1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
山东省春季高考数学试题2006年真题(附答案)
(B) 第二象限的角 (C) 第三象限的角 (D) 第四象限的角
19．函数
y
sin
x
cos 2x
sin
2
x
sin
2
x
的最小正周期是
( A) 2
2
(B) 3
(C)
(D) 2
20．如果
2
x
1 x
n
的展开式中第
4
项是常数项，那么该展开式中奇数项的二项式系数之和是
( A) 2 6
(B) 2 6
(C) 2 5
代数式表示）
（2）如果 2015 年底该城镇的住房面积是 2005 年底的 2 倍，求每年要拆除的旧住房面积 x ．
解：(1) 根据题意知，2006 年底该城镇的住房面积是： 800 (1 10%) x 880 x
(2) 根据题意知，
1 年后(即 2006 年底)的住房面积为： a1 8001.1 x 2 年后(即 2007 年底)的住房面积为： a2 1.1a1 x 8001.12 1.1x x 3 年后(即 2008 年底)的住房面积为： a3 1.1a2 x 800 1.13 1.12 x 1.1x x
2．若向量 a 3, 4 ， b 6, 0 ，则 2a b 等于
( A) 8,0
(B) 0,8
(C) 0, 4
D 4,0
3．函数 y x2 x 6 的定义域是
( A) 2,3
(B) , 2 3,
(C) 3, 2
(D) , 3 2,
4． x 5 是 x 3 的 ( A) 充分不必要条件 (C) 充要条件
( A) 8
(B) 10
(C) 12
(D) 22
2006年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学试题及解答(WORD版)-推荐下载
4
x
2
)
1
cos(
2
0, 0
x 2) .
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2006年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷ⅱ)
2006年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知向量=（4，2），向量=（x，3），且∥，则x=（）A．9 B．6 C．5 D．32．（5分）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|2＜x＜3}3．（5分）函数y=sin2x•cos2x的最小正周期是（）A．2πB．4πC．D．4．（5分）如果函数y=f（x）的图象与函数y′=3﹣2x的图象关于坐标原点对称，则y=f（x）的表达式为（）A．y=2x﹣3 B．y=2x+3 C．y=﹣2x+3 D．y=﹣2x﹣35．（5分）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．B．6 C．D．126．（5分）已知等差数列{a n}中，a2=7，a4=15，则前10项的和S10=（）A．100 B．210 C．380 D．4007．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：38．（5分）已知函数f（x）=lnx+1（x＞0），则f（x）的反函数为（）A．y=e x+1（x∈R）B．y=e x﹣1（x∈R）C．y=e x+1（x＞1）D．y=e x﹣1（x＞1）9．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）若f（sinx）=2﹣cos2x，则f（cosx）等于（）A．2﹣sin2x B．2+sin2x C．2﹣cos2x D．2+cos2x11．（5分）过点（﹣1，0）作抛物线y=x2+x+1的切线，则其中一条切线为（）A．2x+y+2=0 B．3x﹣y+3=0 C．x+y+1=0 D．x﹣y+1=012．（5分）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（）A．150种B．180种C．200种D．280种二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）在的展开式中常数项为（用数字作答）．14．（4分）圆O1是以R为半径的球O的小圆，若圆心O1到球心O的距离与球半径面积S1和球O的表面积S的比为S1：S=2：9，则圆心O1到球心O的距离与球半径的比OO1：R=．15．（4分）过点的直线l将圆（x﹣2）2+y2=8分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=．16．（4分）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出人．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）在△ABC中，∠B=45°，AC=，cosC=，（1）求BC的长；（2）若点D是AB的中点，求中线CD的长度．18．（12分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，S4=1，S8=17，求通项公式a n．19．（12分）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．（1）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．（I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（II）设，求二面角A 1﹣AD﹣C1的大小．21．（14分）设a∈R，二次函数f（x）=ax2﹣2x﹣2a．若f（x）＞0的解集为A，B={x|1＜x＜3}，A∩B≠∅，求实数a的取值范围．22．（12分）已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．（Ⅰ）证明为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值．2006年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知向量=（4，2），向量=（x，3），且∥，则x=（）A．9 B．6 C．5 D．3【分析】本题考查向量共线的充要条件，坐标形式的充要条件容易代错字母的位置，只要细心，这是一道送分的题目，但一些考试中会考到．【解答】解：∥，∴4×3﹣2x=0，∴x=6，故选：B．【点评】向量平行、垂直是经常考到的问题，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题．2．（5分）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|2＜x＜3}【分析】解出集合N，结合数轴求交集．【解答】解：N={x|log2x＞1}={x|x＞2}，用数轴表示可得答案D故选：D．【点评】考查知识点有对数函数的单调性，集合的交集，本题比较容易3．（5分）函数y=sin2x•cos2x的最小正周期是（）A．2πB．4πC．D．【分析】将函数化简为：y=Asin（ωx+φ）的形式即可得到答案．【解答】解：所以最小正周期为，故选：D．【点评】考查知识点有二倍角公式，最小正周期公式本题比较容易4．（5分）如果函数y=f（x）的图象与函数y′=3﹣2x的图象关于坐标原点对称，则y=f（x）的表达式为（）A．y=2x﹣3 B．y=2x+3 C．y=﹣2x+3 D．y=﹣2x﹣3【分析】先假设函数f（x）上的点（x，y），∵（x，y）关于原点对称的点为（﹣x，﹣y）在函数y′=3﹣2x上代入即可得到答案．【解答】解：设（x，y）为函数f（x）上的点，∵（x，y）关于原点对称的点为（﹣x，﹣y）在函数y′=3﹣2x上∴以﹣y，﹣x代替函数y'=3﹣2x中的y′，x，得y=f（x）的表达式为y=﹣2x﹣3故选：D．【点评】本题主要考查根据函数对称性求函数解析式的问题．根据求谁设谁的原则，先假设函数f（x）上的点，根据对称性找关系式即可得到答案．5．（5分）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．B．6 C．D．12【分析】由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长．【解答】解：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长为4a=，故选：C．【点评】本题主要考查数形结合的思想和椭圆的基本性质，难度中等6．（5分）已知等差数列{a n}中，a2=7，a4=15，则前10项的和S10=（）A．100 B．210 C．380 D．400【分析】由第二项和第四项的值可以求出首项和公差，写出等差数列前n项和公式，代入n=10得出结果．【解答】解：d=，a1=3，∴S10==210，故选：B．【点评】若已知等差数列的两项，则等差数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解．7．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3【分析】设AB的长度为a用a表示出A'B'的长度，即可得到两线段的比值．【解答】解：连接AB'和A'B，设AB=a，可得AB与平面α所成的角为，在Rt△BAB'中有AB'=，同理可得AB与平面β所成的角为，所以，因此在Rt△AA'B'中A'B'=，所以AB：A'B'=，故选：A．【点评】本题主要考查直线与平面所成的角以及线面的垂直关系，要用到勾股定理及直角三角形中的边角关系．有一定的难度8．（5分）已知函数f（x）=lnx+1（x＞0），则f（x）的反函数为（）A．y=e x+1（x∈R）B．y=e x﹣1（x∈R）C．y=e x+1（x＞1）D．y=e x﹣1（x＞1）【分析】本题考查反函数的概念、求反函数的方法、指数式与对数式的互化，求函数的值域；将y=lnx+1看做方程解出x，然后由原函数的值域确定反函数的定义域即可．【解答】解：由y=lnx+1解得x=e y﹣1，即：y=e x﹣1∵x＞0，∴y∈R所以函数f（x）=lnx+1（x＞0）反函数为y=e x﹣1（x∈R）故选：B．【点评】由于是基本题目，解题思路清晰，求解过程简捷，所以容易解答；解答时注意函数f（x）=lnx+1（x＞0）值域的确定，这里利用对数函数的值域推得．9．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意设出双曲线的方程，得到它的一条渐近线方程y=x即y=x，由此可得b：a=4：3，结合双曲线的平方关系可得c与a的比值，求出该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）由此可得双曲线的渐近线方程为y=±x，结合题意一条渐近线方程为y=x，得=，设b=4t，a=3t，则c==5t（t＞0）∴该双曲线的离心率是e==．故选：A．【点评】本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．10．（5分）若f（sinx）=2﹣cos2x，则f（cosx）等于（）A．2﹣sin2x B．2+sin2x C．2﹣cos2x D．2+cos2x【分析】本题考查的知识点是函数解析式的求法，根据已知中f（sinx）=2﹣cos2x，结合倍角公式对解析式进行凑配，不难得到函数f（x）的解析式，然后将cosx 代入，并化简即可得到答案．【解答】解：∵f（sinx）=2﹣（1﹣2sin2x）=1+2sin2x，∴f（x）=1+2x2，（﹣1≤x≤1）∴f（cosx）=1+2cos2x=2+cos2x．故选：D．【点评】求解析式的几种常见方法：①代入法：即已知f（x），g（x），求f（g （x））用代入法，只需将g（x）替换f（x）中的x即得；②换元法：已知f（g （x）），g（x），求f（x）用换元法，令g（x）=t，解得x=g﹣1（t），然后代入f （g（x））中即得f（t），从而求得f（x）．当f（g（x））的表达式较简单时，可用“配凑法”；③待定系数法：当函数f（x）类型确定时，可用待定系数法．④方程组法：方程组法求解析式的实质是用了对称的思想．一般来说，当自变量互为相反数、互为倒数或是函数具有奇偶性时，均可用此法．在解关于f（x）的方程时，可作恰当的变量代换，列出f（x）的方程组，求得f（x）．11．（5分）过点（﹣1，0）作抛物线y=x2+x+1的切线，则其中一条切线为（）A．2x+y+2=0 B．3x﹣y+3=0 C．x+y+1=0 D．x﹣y+1=0【分析】这类题首先判断某点是否在曲线上，（1）若在，直接利用导数的几何意义，求函数在此点处的斜率，利用点斜式求出直线方程（2）若不在，应首先利用曲线与切线的关系求出切点坐标，进而求出切线方程．此题属于第二种．【解答】解：y'=2x+1，设切点坐标为（x0，y0），则切线的斜率为2x0+1，且y0=x02+x0+1于是切线方程为y﹣x02﹣x0﹣1=（2x0+1）（x﹣x0），因为点（﹣1，0）在切线上，可解得x0=0或﹣2，当x0=0时，y0=1；x0=﹣2时，y0=3，这时可以得到两条直线方程，验正D正确．故选：D．【点评】函数y=f（x）在x=x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率，过点P的切线方程为：y﹣y0=f′（x0）（x﹣x0）12．（5分）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（）A．150种B．180种C．200种D．280种【分析】根据题意，分析可得人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3；分别计算两种情况下的情况数目，相加可得答案．【解答】解：人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3若是1，1，3，则有=60种，若是1，2，2，则有=90种所以共有150种，故选：A．【点评】本题考查组合的运用，难点在于分组的情况的确定．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）在的展开式中常数项为45（用数字作答）．【分析】利用二项式的通项公式（让次数为0，求出r）就可求出答案．【解答】解：要求常数项，即40﹣5r=0，可得r=8代入通项公式可得T r=C108=C102=45+1故答案为：45．【点评】二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．14．（4分）圆O1是以R为半径的球O的小圆，若圆心O1到球心O的距离与球半径面积S1和球O的表面积S的比为S1：S=2：9，则圆心O1到球心O的距离与球半径的比OO1：R=1：3．【分析】利用两个圆的面积之比，推出半径比，结合圆心O1到球心O的距离与球半径、圆心O1的半径满足勾股定理，即可求出结果．【解答】解：设圆O1的半径为r，则S1=πr2，S=4πR2，由S1：S=2：9得r：R=：3又r2+OO12=R2，可得OO1：R=1：3故答案为：1：3【点评】本题考查球的表面积，球的截面知识，考查计算能力，是基础题．15．（4分）过点的直线l将圆（x﹣2）2+y2=8分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=．【分析】由劣弧所对的圆心角最小弦长最短，及过圆内一点最短的弦与过该点的直径垂直，易得到解题思路．【解答】解：由题意，点P（1，）在圆（x﹣2）2+y2=8的内部，圆心为C（2，0），要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l⊥CP，所以k=﹣=，故答案为．【点评】垂径定理及其推论是解决直线与圆关系时常用的定理，要求大家熟练掌握，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．相关推论，过圆内一点垂直于该点直径的弦最短，且弦所在的劣弧最短，优弧最长，弦所对的圆心角、圆周角最小．16．（4分）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出25人．【分析】直方图中小矩形的面积表示频率，先计算出[2500，3000）内的频率，再计算所需抽取人数即可．【解答】解：由直方图可得[2500，3000）（元）月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分层抽样应抽出人故答案为：25【点评】本题主要考查直方图和分层抽样，难度不大．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）在△ABC中，∠B=45°，AC=，cosC=，（1）求BC的长；（2）若点D是AB的中点，求中线CD的长度．【分析】（1）先由cosC求得sinC，进而根据sinA=sin（180°﹣45°﹣C）求得sinA，再由正弦定理知求得BC．（2）先由正弦定理知求得AB，进而可得BD，再在△ACD中由余弦定理求得CD．【解答】解：（1）由由正弦定理知（2）由余弦定理知=【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．属基础题．18．（12分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，S4=1，S8=17，求通项公式a n．【分析】设出数列的公比，由题意知公比不为0，根据题目所给的两个前几项的和，列出方程求出公比有两个值，对于这两种情况分别写出数列的通项公式．【解答】解：设{a n}的公比为q，由S4=1，S8=17知q≠1，∴得①②由①和②式整理得解得q4=16所以q=2或q=﹣2将q=2代入①式得，∴将q=﹣2代入①式得，∴，综上所述或【点评】本题是一个等比数列的基本量的运算，这种问题是数列中最容易出的一种小型题目，多出在选择和填空中，是考查数列的基础知识的一道送分的题目，只要解题认真就可以得分．19．（12分）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．（1）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率．【分析】（1）由取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品可知变量ξ的取值，结合变量对应的事件做出这四个事件发生的概率，写出分布列和期望．（2）由上一问做出的分布列可以知道，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，这两个事件是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果．【解答】解（1）由题意知抽检的6件产品中二等品的件数ξ=0，1，2，3==，∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望E（ξ）=（2）∵P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，这两个事件是互斥的∴P（ξ≥2）=【点评】本题主要考查分布列的求法以及利用分布列求期望和概率，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．（I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（II）设，求二面角A 1﹣AD﹣C1的大小．【分析】（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，欲证ED为异面直线AC1与BB1的公垂线，只需证明ED与直线AC1与BB1都垂直且相交，根据线面垂直的性质可知ED⊥CC1，而ED⊥BB1，即可证得；（Ⅱ）连接A1E，作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，根据二面角的平面角定义可知∠A1FE为二面角A1﹣AD﹣C1的平面角，在三角形A1FE中求出此角即可．【解答】解：（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，则EO C1C，又C1C B1B，所以EO DB，EOBD为平行四边形，ED∥OB．（2分）∵AB=BC，∴BO⊥AC，又平面ABC⊥平面ACC1A1，BOÌ面ABC，故BO⊥平面ACC1A1，∴ED⊥平面ACC1A1，ED⊥AC1，ED⊥CC1，∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线．（6分）（Ⅱ）连接A1E，由AA1=AC=AB可知，A1ACC1为正方形，∴A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和EDÌ平面ADC1知平面ADC1⊥平面A1ACC1，∴A1E⊥平面ADC1．作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，则A1F⊥AD，∠A1FE为二面角A1﹣AD﹣C1的平面角．不妨设AA1=2，则AC=2，AB=，ED=OB=1，EF==，tan∠A1FE=，∴∠A1FE=60°．所以二面角A1﹣AD﹣C1为60°．（12分）【点评】本题主要考查了异面直线公垂线的证明，二面角的度量，以及空间想象能力和推理能力，属于基础题．21．（14分）设a∈R，二次函数f（x）=ax2﹣2x﹣2a．若f（x）＞0的解集为A，B={x|1＜x＜3}，A∩B≠∅，求实数a的取值范围．【分析】解：注意到△=4+8a2＞0，则函数有两个零点，由a的正负，确定不等式解集的形式．结合着数轴分类讨论．【解答】解：由题意可知二次函数a≠0，令f（x）=0解得其两根为由此可知x1＜0，x2＞0（i）当a＞0时，A={x|x＜x1}∪{x|x＞x2}，则A∩B≠ϕ的充要条件是x2＜3，即解得（ii）当a＜0时，A={x|x1＜x＜x2}A∩B≠ϕ的充要条件是x2＞1，即解得a＜﹣2综上，使A∩B≠ϕ成立的a的取值范围为【点评】在对集合的相关问题进行求解时，分类讨论时经常考查到的思想方法，另外对于一元二次不等式的解法也是一个基本的知识点，要熟练掌握．22．（12分）已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．（Ⅰ）证明为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x o，y o），根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线方程与抛物线方程联立消去y，根据判别式大于0求得x1+x2和x1x2，根据曲线4y=x2上任意一点斜率为y′=，可得切线AM和BM的方程，联立方程求得交点坐标，求得和，进而可求得•的结果为0，进而判断出AB⊥FM．（2）利用（1）的结论，根据x1+x2的关系式求得k和λ的关系式，进而求得弦长AB，可表示出△ABM面积．最后根据均值不等式求得S的范围，得到最小值．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x o，y o），焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1，显然AB斜率存在且过F（0，1）设其直线方程为y=kx+1，联立4y=x2消去y得：x2﹣4kx﹣4=0，判别式△=16（k2+1）＞0．x1+x2=4k，x1x2=﹣4于是曲线4y=x2上任意一点斜率为y′=，则易得切线AM，BM方程分别为y=（）x1（x﹣x1）+y1，y=（）x2（x﹣x2）+y2，其中4y1=x12，4y2=x22，联立方程易解得交点M坐标，x o==2k，y o==﹣1，即M（，﹣1）从而，=（，﹣2），（x2﹣x1，y2﹣y1）•=（x1+x2）（x2﹣x1）﹣2（y2﹣y1）=（x22﹣x12）﹣2[（x22﹣x12）]=0，（定值）命题得证．这就说明AB⊥FM．（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，FM⊥AB，因而S=|AB||FM|．∵，∴（﹣x1，1﹣y1）=λ（x2，y2﹣1），即，而4y1=x12，4y2=x22，则x22=，x12=4λ，|FM|====．因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=﹣1的距离，所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=+2=λ++2=（）2．于是S=|AB||FM|=（）3，由≥2知S≥4，且当λ=1时，S取得最小值4．【点评】本题主要考查了抛物线的应用．抛物线与直线的关系和抛物线的性质等都是近几年高考的热点，故应重点掌握．。
2006年普通高等学校招生全国统一考试文科数学
2006年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项:1.答题前,考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。
3.本卷共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
参考公式:如果时间A 、B 互斥,那么()()()P A B P A P B +=+ 如果时间A 、B 相互独立,那么()()()P A B P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P,那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()1n kk kn n P k C P P -=-球的表面积公式24S R π=,其中R 表示球的半径 球的体积公式343V R π=,其中R 表示球的半径 一、选择题⑴、已知向量a b 、满足1,4,a b ==,且2a b =,则a 与b 的夹角为 A.6π B.4π C.3π D.2π ⑵、设集合{}20M x x x =-<,{}2N x x =<,则 A.M N =∅ B.M N M = C.MN M = D.MN R =⑶、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称,则 A.()22()x f x e x R =∈ B.()2ln 2ln (0)f x x x => C.()22()x f x e x R =∈ D.()2ln ln 2(0)f x x x =+> ⑷、双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,则m =A.14-B.4-C.4D.14⑸、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若735S =,则4a = A.8 B.7 C.6 D.5⑹、函数()tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调增区间为A.,,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ B.()(),1,k k k Z ππ+∈C.3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D.3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭⑺、从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为A.12B.35C.2D.0 ⑻、ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,若a 、b 、c 成等比数列,且2c a =,则cos B =A.14B.34 ⑼、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是 A.16π B.20πC.24πD.32π 抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是A.43B.75C.85D.3 ⑽、在1012x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,4x 的系数为A.120-B.120C.15-D.15 ⑾、抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是A.43B.75C.85D.3 ⑿、用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm )的5根细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到的三角形的最大面积为A.2B.2C.2D.220cm2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅱ卷注意事项:1.答题前,考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。
2006年山东高考文科数学真题及答案
2006年山东高考文科数学真题及答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）定义集合运算：{|()A B z z xy x y ==+ ，x A ∈，}y B ∈，设集合{0A =，1}，{2B =，3}，则集合A B 的所有元素之和为( )A ．0B ．6C ．12D ．182．（5分）设1232,2()log (1),2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-⎪⎩…，则(f f （2）)的值为( ) A ．0B ．1C ．2D ．33．（5分）函数1(01)x y a a =+<<的反函数的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．4．（5分）设向量(1,3)a =- ，(2,4)b =- ，若表示向量4a ，32b a - ，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为( )A ．(1,1)-B ．(1,1)-C ．(4,6)-D ．(4,6)-5．（5分）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则f （6）的值为( ) A ．1-B ．0C ．1D ．26．（5分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3A π=，a =1b =，则(c = )A ．1B ．2 C1- D7．（5，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为( ) ABC ．12D8．（5分）正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A．B ．1:3 C．1: D ．1:99．（5分）设2:200p x x -->，21:0||2x q x -<-，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．（5分）已知2(n x 的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，则展开式中常数项是( ) A ．1-B ．1C ．45-D ．4511．（5分）已知集合{5}A =，{1B =，2}，{1C =，3，4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( ) A ．33B ．34C ．35D ．3612．（5分）已知x 和y 是正整数，且满足约束条件10227.x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩………则23z x y =+的最小值是( )A ．24B ．14C ．13D ．11.5二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）某学校共有师生3200人，先用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本．已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 ． 14．（4分）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差为 （用数字作答）．15．（4分）已知抛物线24y x =，过点(4,0)P 的直线与抛物线相交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点，则2212y y +的最小值是 ．16．（4分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，所有棱长均为1，则点1B 到平面1ABC 的距离为 ．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）设函数32()23(1)1f x x a x =--+，其中1a …． （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）讨论()f x 的极值．18．（12分）已知函数2()sin ()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)2πϕ<<，且()y f x =的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2)． （Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）计算f （1）f +（2）(2008)f +⋯+．19．（12分）盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意任取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：（Ⅰ）抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率； （Ⅱ）抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概率； （Ⅲ）抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率．20．（12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为等腰梯形，//AB DC ，AC BD ⊥，AC 与BD 相交于点O ，且顶点P 在底面上的射影恰为O 点，又2BO =，PO =，PB PD ⊥．（1）求异面直接PD 与BC 所成角的余弦值； （2）求二面角P AB C --的大小； （3）设点M 在棱PC 上，且PMPCλ=，问λ为何值时，PC ⊥平面BMD ．21．（12分）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为1． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线l 过点(0,2)P 且与椭圆相交于A 、B 两点，当AOB ∆面积取得最大值时，求直线l 的方程．22．（14分）已知数列{}n a 中，112a =，点1(,2)n n n a a +-在直线y x =上，其中1n =，2，3⋯．（Ⅰ）令11n n n b a a +=--，求证数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项；（Ⅲ）设n S 、n T 分别为数列{}n a 、{}n b 的前n 项和，是否存在实数λ，使得数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列？若存在，试求出λ．若不存在，则说明理由．2006年山东高考文科数学真题参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）定义集合运算：{|()A B z z xy x y ==+ ，x A ∈，}y B ∈，设集合{0A =，1}，{2B =，3}，则集合A B 的所有元素之和为( )A ．0B ．6C ．12D ．18【解答】解：当0x =时，0z =， 当1x =，2y =时，6z =， 当1x =，3y =时，12z =，故所有元素之和为18， 故选：D ．2．（5分）设1232,2()log (1),2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-⎪⎩…，则(f f （2）)的值为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：(f f （2）23)(log (21))f f =-=（1）1122e -==，故选C ． 3．（5分）函数1(01)x y a a =+<<的反函数的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：函数1(01)x y a a =+<<的反函数为log (1)a y x =-， 它的图象是函数log a y x =向右移动1个单位得到， 故选：A ．4．（5分）设向量(1,3)a =- ，(2,4)b =- ，若表示向量4a ，32b a - ，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为( )A ．(1,1)-B ．(1,1)-C ．(4,6)-D ．(4,6)-【解答】解：4(4,12)a =-，32(8,18)b a -=-， 设向量(,)c x y =，依题意，得4(32)0a b a c +-+=， 所以480x -+=，12180y -++=， 解得4x =，6y =-，故选：D ．5．（5分）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则f （6）的值为( ) A ．1-B ．0C ．1D ．2【解答】解：因为(2)()f x f x +=-， 所以f （6）f =-（4）f =（2）(0)f =-， 又()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以(0)0f =， 所以f （6）0=， 故选：B ．6．（5分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3A π=，a =1b =，则(c = )A ．1B ．2C 1-D 【解答】解：解法一：（余弦定理）由2222cos a b c bc A =+-得： 223121cos13c c c c π=+-⨯⨯=+-，220c c ∴--=，2c ∴=或1-（舍)．解法二：（正弦定理）由sin sin a b A B =1sin B =， 1sin 2B ∴=， b a < ，6B π∴=，从而2C π=，2224c a b ∴=+=，2c ∴=．7．（5，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为( )A B C ．12D 【解答】解：不妨设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则有2221b a c a c=-=，据此求出e =， 故选：B ．8．（5分）正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )A ．B ．1:3C ．1:D ．1:9【解答】解：设正方体的棱长为a ，则它的内切球的半径为12a ，它的外接球的半径为，故所求的比为1:， 选C9．（5分）设2:200p x x -->，21:0||2x q x -<-，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：2:200p x x -->，解得5x >或4x <-，21:0||2x q x -<-，当0x …时可化为()()21110022x x x x x -+---即得01x <…或2x > 故210||2x x -<-的解为：2x <-或11x -<<或2x >， 故选：A ．10．（5分）已知2(n x 的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，则展开式中常数项是( ) A ．1-B ．1C ．45-D ．45【解答】解：第三项的系数为2n ð，第五项的系数为4n ð， 由第三项与第五项的系数之比为314可得10n =展开式的通项为为405210211010()((1)r r rr rr r T C x C x--+==-，令4050r -=， 解得8r =，故所求的常数项为8810(1)45C -=， 故选：D ．11．（5分）已知集合{5}A =，{1B =，2}，{1C =，3，4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( ) A ．33B ．34C ．35D ．36【解答】解：不考虑限定条件确定的不同点的个数为11323336C C A =， 但集合B 、C 中有相同元素1，由5，1，1三个数确定的不同点的个数只有三个， 故所求的个数为36333-=个， 故选：A ．12．（5分）已知x 和y 是正整数，且满足约束条件10227.x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩………则23z x y =+的最小值是( )A ．24B ．14C ．13D ．11.5【解答】解：画出满足约束条件10227.x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩………对应的可行域：如图所示易得B 点坐标为(6,4)且当直线23z x y =+ 过点B 时z 取最大值，此时24z =，点 C 的坐标为(3.5,1.5)，过点C 时取得最小值，但x ，y 都是整数，最接近的整数解为(4,2)， 故所求的最小值为14， 故选：B ．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）某学校共有师生3200人，先用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本．已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 200 ． 【解答】解： 学校共有师生3200人，从所有师生中抽取一个容量为160的样本， ∴每个个体被抽到的概率是1601320020=， ∴10120=总体中的教师数，∴学校的教师人数为1020200⨯=．故答案是：200．14．（4分）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差为 1- （用数字作答）．【解答】解：设首项为1a ，公差为d ，由题得111151010229414110455291a d a d d d d a d a d +=+=⎧⎧⇒⇒-=--⇒=-⎨⎨+=-+=-⎩⎩ 故答案为1-15．（4分）已知抛物线24y x =，过点(4,0)P 的直线与抛物线相交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点，则2212y y +的最小值是 32 ．【解答】解：设直线方程为(4)y k x =-，与抛物线方程联立消去y 得2222(84)160k x k x k -++= 1216x x ∴=显然1x ，20x >，又2212124()32y y x x +=+=…，当且仅当124x x ==时取等号，此时k 不存在． 故答案为3216．（4分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，所有棱长均为1，则点1B 到平面1ABC 的距【解答】解：如图所示，取AB 得中点M ，连接CM ，1C M ，过点C 作1CD C M ⊥，垂足为D11C A C B = ，M 为AB 中点， 1C M AB ∴⊥CA CB = ，M 为AB 中点， CM AB ∴⊥又1C M CM M = ，AB ∴⊥平面1C CM 又AB ⊂ 平面1ABC ，∴平面1ABC ⊥平面1C CM ，平面1ABC ⋂平面11C CM C M =，1CD C M ⊥，CD ∴⊥平面1C AB ，CD ∴的长度即为点C 到平面1ABC 的距离，即点1B 到平面1ABC 的距离在Rt △1C CM 中，11C C =，CM =，1C M =CD ∴=，即点1B 到平面1ABC三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）设函数32()23(1)1f x x a x =--+，其中1a …．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）讨论()f x 的极值．【解答】解：由已知得()6[(1)]f x x x a '=--，令()0f x '=，解得10x =，21x a =-．（Ⅰ）当1a =时，2()6f x x '=，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增当1a >时，()6[(1)]f x x x a '=--，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表： x (,0)-∞0 (0,1)a - 1a - (1,)a -+∞ ()f x ' + 0- 0 + ()f x 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增从上表可知，函数()f x 在(,0)-∞上单调递增；在(0,1)a -上单调递减；在(1,)a -+∞上单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当1a =时，函数()f x 没有极值．当1a >时，函数()f x 在0x =处取得极大值1，在1x a =-处取得极小值31(1)a --．18．（12分）已知函数2()sin ()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)2πϕ<<，且()y f x =的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2)．（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）计算f （1）f +（2）(2008)f +⋯+．【解答】解：（Ⅰ）2sin ()cos(22)22A A y A x x ωϕωϕ=+=-+． ()y f x = 的最大值为2，0A >． ∴2,222A A A +==． 又 其图象相邻两对称轴间的距离为2，0ω>， ∴12()2,224ππωω==． ∴22()cos(2)1cos(2)2222f x x x ππϕϕ=-+=-+． ()y f x = 过(1,2)点，∴cos(2)12x πϕ+=-． ∴22,2x k k Z πϕππ+=+∈，∴22,2k k Z πϕπ=+∈， ∴,4k k Z πϕπ=+∈，又 02πϕ<<， ∴4πϕ=．（Ⅱ）解法一： 4πϕ=，2()2()44f x sin x ππ=+ f ∴（1）f +（2）f +（3）f +（4）21014=+++=．又()y f x = 的周期为4，20084502=⨯，f ∴（1）f +（2）(2008)45022008f +⋯+=⨯=．解法二： 2()2sin ()4f x x πϕ=+ ∴223(1)(3)2sin ()2sin ()244f f ππϕϕ+=+++=，22(2)(4)2sin ()2sin ()22f f πϕπϕ+=+++=，f ∴（1）f +（2）f +（3）f +（4）4=．又(2,0)±的周期为4，20084502=⨯，f ∴（1）f +（2）(2008)45022008f +⋯+=⨯=．19．（12分）盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意任取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：（Ⅰ）抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率；（Ⅱ）抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概率；（Ⅲ）抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率．【解答】解：()I 由题意知本题是一个古典概型，设“抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为A ，试验发生包含的所有事件数38C ，满足条件的事件是抽出的3张卡片上最大的数字是4，包括有一个4或有2个4，事件数是12212626C C C C +∴由古典概型公式12212626389()14C C C C P A C +==． ()II 由题意知本题是一个古典概型，设“抽出的3张中有2张卡片上的数字是3”的事件记为B ，试验发生包含的所有事件数38C ，满足条件的事件是抽出的3张卡片上有2张卡片上的数字是3，共有2126C C 种结果 ∴由古典概型公式得到2126383()28C C P B C == ()III “抽出的3张卡片上的数字互不相同”的事件记为C ，“抽出的3张卡片上有两个数字相同”的事件记为D ，由题意，C 与D 是对立事件，14C 是选一卡片，取2张22C ，另选取一张16C ∴121426383()7C C C PD C == P ∴（C ）34177=-=． 20．（12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为等腰梯形，//AB DC ，AC BD ⊥，AC 与BD 相交于点O ，且顶点P 在底面上的射影恰为O 点，又2BO =，PO =，PB PD ⊥．（1）求异面直接PD 与BC 所成角的余弦值；（2）求二面角P AB C --的大小；（3）设点M 在棱PC 上，且PM PCλ=，问λ为何值时，PC ⊥平面BMD ．【解答】解：（1）PO ⊥ 平面ABCD ，PO BD ∴⊥又,2,PB PD BO PO ⊥==，由平面几何知识得：1,OD PD PB ===过D 做//DE BC 交于AB 于E ，连接PE ，则PDE ∠或其补角为异面直线PD 与BC 所成的角，四边形ABCD 是等腰梯形，1OC OD ∴==，2OB OA ==，OA OB ⊥∴BC AB CD ===又//AB DC∴四边形EBCD 是平行四边形．∴ED BC BE CD ====E ∴是AB 的中点，且AE =又PA PB ==PEA ∴∆为直角三角形，∴2PE ===在PED ∆中，由余弦定理得222cos 2PD DE PE PDE PD DE +-∠===故异面直线PD 与BC（2）连接OE ，由（1）以及三垂线定理可知，PEO ∠为二面角P AB C --的平面角，sin 0PO PE PE ∴∠==，45PEO ∴∠=︒，∴二面角P AB C --的平面角的大小为45︒； （3）连接MD ，MB ，MO ，PC ⊥ 平面BMD ，OM ⊂平面BMD ，PC OM ∴⊥，在Rt POC ∆中，PC PD ==1OC =，PO =，PM ∴=，MC =， ∴2PM MC=， 故2λ=时，PC ⊥平面BMD ．21．（12分）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为1．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线l 过点(0,2)P 且与椭圆相交于A 、B 两点，当AOB ∆面积取得最大值时，求直线l 的方程．【解答】解：设椭圆方程为22221()x y a b c a b+=>> （Ⅰ）由已知得222221b c a c a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎩⇒14a b c ⎧=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩， ∴所求椭圆方程为228161x y +=．（Ⅱ）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2y kx =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 由2228161y kx x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 得关于x 的方程：22(12)860k x kx +++=， 由直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，∴△2206424(12)0k k >⇒-+> 解得232k > 又由韦达定理得122122812612k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩∴12|||AB x x =-==原点O 到直线l的距离d =1||2AOB S AB d ∆===对S =2422244(4)240(*)S k S k S +-++= 0S ≠ ，2222222216(4)44(24)0402404S S S S S S S⎧⎪--⨯+⎪-⎪>⎨⎪⎪+>⎪⎩… 整理得：212S … 又0S >，∴0S <… 从而AOB S ∆的最大值为S =， 此时代入方程(*)得42428490k k k -+=∴=所以，所求直线方程为：240y -+=．22．（14分）已知数列{}n a 中，112a =，点1(,2)n n n a a +-在直线y x =上，其中1n =，2，3⋯．（Ⅰ）令11n n n b a a +=--，求证数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项；（Ⅲ）设n S 、n T 分别为数列{}n a 、{}n b 的前n 项和，是否存在实数λ，使得数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列？若存在，试求出λ．若不存在，则说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由已知得111,22n n a a a n +==+， 2213313,114424a a a =--=--=-， 又11n n nb a a +=--，1211n n n b a a +++=--， ∴112111*********n n n n n n n n n n a n a n b a a b a a a a +++++++++----===----， {}n b ∴是以34-为首项，以12为公比的等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，13131()4222n n n b -=-⨯=-⨯， ∴131122n n n a a +--=-⨯， ∴2131122a a --=-⨯，32231122a a --=-⨯， ⋯ ∴1131122n n n a a ----=-⨯， 将以上各式相加得： ∴1213111(1)()2222n n a a n ----=-++⋯+， ∴11111(1)31313221(1)(1)212222212n n n n a a n n n ---=+--⨯=+---=+--． ∴322n na n =+-． （Ⅲ）存在2λ=，使数列{}n n S T n λ+是等差数列． 由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，22n n a b n +=- ∴(1)22(1)3222222n n n n n n n n n T T S T n n n S T n T n n nλλλ+--+++--+=-==+又121131(1)3133323342(1)(1222222212n n n n n n n n S T n T b b b n n λλ++--+--=++⋯+==--=-+=+-+- ∴当且仅当2λ=时，数列{}n n S T nλ+是等差数列．。
2006高考理科数学试卷及答案全国1
（17）本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。满分 12 分。
解：（I）
∵x= 是函数 y=f(x)的图像的对称轴，
8
∴sin(2×
+
)=±1，
8
∴
+
=kπ+
，k∈Z.
4
2
∵-π< <0,
∴
3
=-
.
4
（II）由（I）知 =- 3 ，因此 4
3
y=sin(2x- ).
1
A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1, ).
2
(I)证明：因 AP =(0,0,1), DC =(0,1,0),故 AP · DC =0,所以 AP⊥DC.
又由题设知 AD⊥DC，且 AP 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线，由此得 DC⊥面 PAD。 又 DC 在面 PCD 上，故面 PAD⊥面 PCD.
皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
3．本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
参考公式：
如果事件 A、B 互斥，那么
球是表面积公式
P( A B) P( A) P(B)
S 4R 2
如果事件 A、B 相互独立，那么
（II）解：因 AC =(1,1,0), PB =(0,2,-1),
故| AC |= 2 ，| PB |= 5 ， AC · PB =2，所以 cos< AC · PB >= AC PB = 10 .
2006年高考试题及答案-理科数学-全国卷
普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国卷Ⅰ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3到10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径k n kk n n P P C k P --=)1()(一．选择题（1）设集合M={x|x 2-x<0},N={x||x|<2},则（A ）M φ=N （B ）M M N =（C ）M N M =（D ）R N M =（2）已知函数y=e x 的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x 对称，则（A ）f(2x)=e 2x (x )R ∈ （B ）f(2x)=ln2lnx(x>0)（C ）f(2x)=2e 2x (x )R ∈（D ）f(2x)= lnx+ln2(x>0)（3）双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m=（A ）-41 （B ）-4 (C)4 （D ）41 （4）如果(m 2+i)(1+mi)是实数,则实数m=（A ）1（B ）-1（C ）2（D ）-2（5）函数f(x)=tan(x+4π)的单调递增区间为（A ）(k π-2π, k π+2π),k Z ∈ （B ）(k π, (k+1)π),k Z ∈(C) (k π-43π, k π+4π),k Z ∈ （D ）(k π-4π, k π+43π),k Z ∈（6）∆ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c ，且c=2a ，则cosB=（A ）41 （B ）43 （C ）42 （D ）32（7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥高为4，体积为16，则这个球的表面积是（A ）16 π （B ）20π （C ）24π （D ）32π（8）抛物线y=-x 2上的点到4x+3y-8=0直线的距离的最小值是（A ）34 （B ）57（C ）58（D ）3（9）设平面向量a 1、a 2、a 3的和a 1+a 2+a 3=0，如果平面向量b 1、b 2、b 3满足|b i |=2|a i |，且a i 顺时针旋转30︒后与同向，其中i=1、2、3，则（A ）-b 1+b 2+b 3=0 （B ）b 1-b 2+b 3=0（C ）b 1+b 2-b 3=0 （D ）b 1+b 2+b 3=0（10）设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1+a 2+a 3=15，a 1a 2a 3=80，则a 11+a 12+a 13=（A ）120 （B ）105 （C ）90 （D ）75（11）用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到期的三角形面积的最大值为（A ）85cm 2（B ）610cm 2（C ）355cm 2（D ）20cm 2（12）设集合I={1，2，3，4，5}，选择I 的两个非空子和B ，要使B 中的最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有（A ）50种 （B ）49种 （C ）48种 （D ）47种第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。
2006年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷一)及答案
2006年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知向量、满足||=1，||=4，且•=2，则与夹角为（）A．B．C．D．2．（5分）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（）A．M∩N=∅ B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R3．（5分）已知函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（）A．f（2x）=e2x（x∈R）B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0）C．f（2x）=2e x（x∈R）D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0）4．（5分）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A．B．﹣4 C．4 D．5．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S7=35，则a4=（）A．8 B．7 C．6 D．56．（5分）函数的单调增区间为（）A．B．（kπ，（k+1）π），k∈ZC．D．7．（5分）从圆x2﹣2x+y2﹣2y+1=0外一点P（3，2）向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（）A．B．C．D．08．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C．D．9．（5分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20πC．24πD．32π10．（5分）在的展开式中，x4的系数为（）A．﹣120 B．120 C．﹣15 D．1511．（5分）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．312．（5分）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A．B．C．D．20cm2二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）已知函数f（x）=a﹣，若f（x）为奇函数，则a=．14．（4分）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于°．15．（4分）设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为．16．（4分）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有种（用数字作答）．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知{a n}为等比数列，，求{a n}的通项公式．18．（12分）ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．19．（12分）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为．（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．20．（12分）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN．（Ⅰ）证明AC⊥NB；（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．21．（12分）设P是椭圆=1（a＞1）短轴的一个端点，Q为椭圆上一个动点，求|PQ|的最大值．22．（14分）设a为实数，函数f（x）=x3﹣ax2+（a2﹣1）x在（﹣∞，0）和（1，+∞）都是增函数，求a的取值范围．2006年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知向量、满足||=1，||=4，且•=2，则与夹角为（）A．B．C．D．【分析】本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，用数量积列出等式，变化出夹角的余弦表示式，代入给出的数值，求出余弦值，注意向量夹角的范围，求出适合的角．【解答】解：∵向量a、b满足，且，设与的夹角为θ，则cosθ==，∵θ∈【0π】，∴θ=，故选C．2．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（）A．M∩N=∅ B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R【分析】M、N分别是二次不等式和绝对值不等式的解集，分别解出再求交集合并集．【解答】解：集合M={x|x2﹣x＜0}={x|0＜x＜1}，N={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，∴M∩N=M，故选：B．3．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（）A．f（2x）=e2x（x∈R）B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0）C．f（2x）=2e x（x∈R）D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0）【分析】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法．根据函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称可知f（x）是y=e x 的反函数，由此可得f（x）的解析式，进而获得f（2x）．【解答】解：函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，所以f（x）是y=e x的反函数，即f（x）=lnx，∴f（2x）=ln2x=lnx+ln2（x＞0），选D．4．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A．B．﹣4 C．4 D．【分析】由双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，可求出该双曲线的方程，从而求出m的值．【解答】解：双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，∴m＜0，且双曲线方程为，∴m=，故选：A．5．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S7=35，则a4=（）A．8 B．7 C．6 D．5【分析】充分运用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．【解答】解：S n是等差数列{a n}的前n项和，若S7=×7=7a4=35，∴a4=5，故选D．6．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）函数的单调增区间为（）A．B．（kπ，（k+1）π），k∈ZC．D．【分析】先利用正切函数的单调性求出函数单调增时x+的范围i，进而求得x 的范围．【解答】解：函数的单调增区间满足，∴单调增区间为，故选C7．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）从圆x2﹣2x+y2﹣2y+1=0外一点P（3，2）向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（）A．B．C．D．0【分析】先求圆心到P的距离，再求两切线夹角一半的三角函数值，然后求出结果．【解答】解：圆x2﹣2x+y2﹣2y+1=0的圆心为M（1，1），半径为1，从外一点P （3，2）向这个圆作两条切线，则点P到圆心M的距离等于，每条切线与PM的夹角的正切值等于，所以两切线夹角的正切值为，该角的余弦值等于，故选B．8．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C．D．【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选B．9．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20πC．24πD．32π【分析】先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其表面积．【解答】解：正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为2，∴球的半径为，球的表面积是24π，故选C．10．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）在的展开式中，x4的系数为（）A．﹣120 B．120 C．﹣15 D．15【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为4求出x4的系数【解答】解：在的展开式中x4项是=﹣15x4，故选项为C．11．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．3【分析】设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，由此能够得到所求距离的最小值．【解答】解：设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，分析可得，当m=时，取得最小值为，故选B．12．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A．B．C．D．20cm2【分析】设三角形的三边分别为a，b，c，令p=，则p=10．海伦公式S=≤=故排除C，D，由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，推测当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，进而得到答案．【解答】解：设三角形的三边分别为a，b，c，令p=，则p=10．由海伦公式S=知S=≤=＜20＜3由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，∴S＜20＜3．排除C，D．由以上不等式推测，当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，此时三边长为7，7，6，用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为7组成三角形，此三角形面积最大，面积为，故选B．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数f（x）=a﹣，若f（x）为奇函数，则a=．【分析】因为f（x）为奇函数，而在x=0时，f（x）有意义，利用f（0）=0建立方程，求出参数a的值．【解答】解：函数．若f（x）为奇函数，则f（0）=0，即，a=．故答案为14．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于60°．【分析】先根据底面对角线长求出边长，从而求出底面积，再由体积求出正四棱锥的高，求出侧面与底面所成的二面角的平面角的正切值即可．【解答】解：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面所成的二面角的正切tanα=，∴二面角等于60°，故答案为60°15．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为11．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2y﹣x表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A（0，1），B（7，1），C（3，7），在△ABC中满足z=2y﹣x的最大值是点C，代入得最大值等于11．故填：11．16．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有2400种（用数字作答）．【分析】本题是一个分步计数问题，先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52种排法，其余5人再进行排列，有A55种排法，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，首先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52=20种排法，其余5人再进行排列，有A55=120种排法，∴根据分步计数原理知共有20×120=2400种安排方法．故答案为：2400三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）已知{a n}为等比数列，，求{a n}的通项公式．【分析】首先设出等比数列的公比为q，表示出a2，a4，利用两者之和为，求出公比q的两个值，利用其两个值分别求出对应的首项a1，最后利用等比数列的通项公式得到即可．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，则q≠0，a2==，a4=a3q=2q所以+2q=，解得q1=，q2=3，当q1=，a1=18．所以a n=18×（）n﹣1==2×33﹣n．当q=3时，a1=，所以a n=×3n﹣1=2×3n﹣3．18．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．【分析】利用三角形中内角和为π，将三角函数变成只含角A，再利用三角函数的二倍角公式将函数化为只含角，利用二次函数的最值求出最大值【解答】解：由A+B+C=π，得=﹣，所以有cos=sin．cosA+2cos=cosA+2sin=1﹣2sin2+2sin=﹣2（sin﹣）2+当sin=，即A=时，cosA+2cos取得最大值为故最大值为19．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B 有效的概率为．（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．【分析】（1）由题意知本题是一个独立重复试验，根据所给的两种药物对小白鼠有效的概率，计算出小白鼠有效的只数的概率，对两种药物有效的小白鼠进行比较，得到甲类组的概率．（2）由题意知本试验是一个甲类组的概率不变，实验的条件不变，可以看做是一个独立重复试验，所以变量服从二项分布，根据二项分布的性质写出分布列和期望．【解答】解：（1）设A i表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，B i表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，依题意有：P（A1）=2××=，P（A2）=×=．P（B0）=×=，P（B1）=2××=，所求概率为：P=P（B0•A1）+P（B0•A2）+P（B1•A2）=×+×+×=（Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ～B（3，）．P（ξ=0）=（）3=，P（ξ=1）=C31××（）2=，P（ξ=2）=C32×（）2×=，P（ξ=3）=（）3=∴ξ的分布列为：ξ0123P∴数学期望Eξ=3×=．20．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN．（Ⅰ）证明AC⊥NB；（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．【分析】（1）欲证AC⊥NB，可先证BN⊥面ACN，根据线面垂直的判定定理只需证AN⊥BN，CN⊥BN即可；（2）易证N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，∠NBH 为NB与平面ABC所成的角，在Rt△NHB中求出此角即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知l2⊥MN，l2⊥l1，MN∩l1=M，可得l2⊥平面ABN．由已知MN⊥l1，AM=MB=MN，可知AN=NB且AN⊥NB．又AN为AC在平面ABN内的射影．∴AC⊥NB（Ⅱ）∵AM=MB=MN，MN是它们的公垂线段，由中垂线的性质可得AN=BN，∴Rt△CAN≌Rt△CNB，∴AC=BC，又已知∠ACB=60°，因此△ABC为正三角形．∵Rt△ANB≌Rt△CNB，∴NC=NA=NB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角．在Rt△NHB中，cos∠NBH===．21．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）设P是椭圆=1（a＞1）短轴的一个端点，Q为椭圆上一个动点，求|PQ|的最大值．【分析】依题意可知|PQ|=，因为Q在椭圆上，所以x2=a2（1﹣y2），|PQ|2=a2（1﹣y2）+y2﹣2y+1=（1﹣a2）y2﹣2y+1+a2=（1﹣a2）（y﹣）2﹣+1+a2．由此分类讨论进行求解．【解答】解：由已知得到P（0，1）或P（0，﹣1）由于对称性，不妨取P（0，1）设Q（x，y）是椭圆上的任一点，则|PQ|=，①又因为Q在椭圆上，所以，x2=a2（1﹣y2），|PQ|2=a2（1﹣y2）+y2﹣2y+1=（1﹣a2）y2﹣2y+1+a2=（1﹣a2）（y﹣）2﹣+1+a2．②因为|y|≤1，a＞1，若a≥，则||≤1，所以如果它包括对称轴的x的取值，那么就是顶点上取得最大值，即当﹣1≤＜0时，在y=时，|PQ|取最大值；如果对称轴不在y的取值范围内的话，那么根据图象给出的单调性来求解．即当＜﹣1时，则当y=﹣1时，|PQ|取最大值2．22．（14分）（2006•全国卷Ⅰ）设a为实数，函数f（x）=x3﹣ax2+（a2﹣1）x在（﹣∞，0）和（1，+∞）都是增函数，求a的取值范围．【分析】先对函数f（x）进行求导得到一个二次函数，根据二次函数的图象和性质令f'（x）≥0在（﹣∞，0）和（1，+∞）成立，解出a的值．【解答】解：f'（x）=3x2﹣2ax+（a2﹣1），其判别式△=4a2﹣12a2+12=12﹣8a2．（ⅰ）若△=12﹣8a2=0，即a=±，当x∈（﹣∞，），或x∈（，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，+∞）为增函数．所以a=±．（ⅱ）若△=12﹣8a2＜0，恒有f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，+∞）为增函数，所以a2＞，即a∈（﹣∞，﹣）∪（，+∞）（ⅲ）若△12﹣8a2＞0，即﹣＜a＜，令f'（x）=0，解得x1=，x2=．当x∈（﹣∞，x1），或x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数．依题意x1≥0且x2≤1．由x1≥0得a≥，解得1≤a＜由x2≤1得≤3﹣a，解得﹣＜a＜，从而a∈[1，）综上，a的取值范围为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）∪[1，），即a∈（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）．。