经济学中常用的函数

它的垂足 C 到 B 的距离为 b公里. 又知铁路运价为 m 元/ 吨·公里, 公路运价是 n元/吨·公里(m < n), 为节省运费,
拟在铁路上另修一小站 M 作为转运站, 那么总运费的多
少决定于M的位置. 试求出运费与距离 |CM| 的函数关系.
解 设 运费 CM＝ x , 运费为 y, 则 AM x2 a2
A
B
b M
a xC
y n x2 a2 m (b x), x [0, b]
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例7 (复利息问题)设银行将数量为 A0 的款贷出, 每 期利率为 r. 若一期结算一次, 则 t 期后连本带利可收回
A 0(1 r )t 若每期结算 m 次, 则 t 期后连本带利可收回
A
0[(1

即如果需求量大于供给量则价格会上涨, 反之, 价格 会降低. 因此, 市场上商品的价格总是围绕均衡价格上 下浮动.
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2. 总成本函数
某商品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部 经济资源的价格或费用总额.
它由固定资本(生产准备费,用于维修、添制设备等)b元
和可变资本 (每单位产品消耗原材料、劳力等费用) a元, 则生产 x 件产品的总成本为
确问题中的常量和变量, 变量中的自变量和因变量, 以及 它们之间存在什么关系, 以确定函数关系,根据实际问题 的要求指出定义域.
例3 某型号手机价格为每只1000元时能卖出15只, 当价
格为每只800元时, 能卖出20只. 已知手机的价格高低与
其需求量多少是线性关系, 试建立该型号手机的需求量
与价格之间的函数关系.
供应,因此供给量Qs 是价格 p 的单增函数. 最简单的供给 函数是如下形式的线性供给函数.
Qs g( p) cp d (c、d 均为正常数)
反应供给量与价格关系的曲线,我们称之为供给曲线,
如图.
Q
o
d
p
c
–d
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显然只有价格不低于 d/c 时, 才有供给量Qs, 因为厂 商都不愿作亏本生意.
4. 总利润函数
总利润是总收入 R(x) 与总成本 C(x) 之差. 设 x 件产品的总成本为 C(x), 销售收入为 R(x). 则利润为 L( x) R( x) C( x)
5. 其它经济函数
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二. 建立函数关系举例
运用数学来解决实际问题, 首先要把问题中的数量关系 用数学表达式表示出来, 也就是建立数学模型. 为此必须明
C( x) 1000 4 x
R( x) 8x
L( x)
例5 某工厂在一年内分若干批生产某种车床, 年产 量为 a 台, 每批生准备费 b 元, 设产品均匀投入市场(即 平均库存量为批量的一半), 每年每台库存费为 c 元, 显 然, 生产批量大则库存费高; 生产批量小则批数增多; 因 而生产准备费高. 试求出一年中库存费与生产准备费之和 与批量的函数关系.
解
价格 x 元/只,
需求量 y只,
则
y 1 x 40, x (0,1600] 40
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例4 工厂生产某种产品, 生产准备费1000元, 可变资
本4元, 单位售价8元. 求：
(1) 总成本函数;
(2) 单位成本函数;
(3) 销售收入函数; (4) 利润函数.
解
C( x) 4x 1000
记为p*. 显然此时的市场处于均衡状态.
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当市场价格 p 高于均衡价格 p* 时, 则供给量Qs将增加, 需求量 Qd 将相应地减少; 反之, 当市场价格 p 低于均衡 价格 p*时, 则供给量 Qs 将减少, 而需求量 Qd 将增加.
因此, 市场上商品价格的调节, 就是按照需求律与供 给律来实现的.
§1.3 经济学中常用的函数
一. 常用的几个经济函数 二. 建立函数关系举 例
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§1.3 经济学中常用的函数
一.常用的几个经济函数
1.需求函数
(1) 需求函数商品的需求量 Qd,受消费者的偏好收入及 商品价格等等因素的影响. 但最主要的是价格因素; 若
不考其它因素, 把需求量 Qd 只看成价格 p 的函数, 即 Qd f ( p)
r m
)m
]
t
A
0(1
r) m
mt
此函数即可看成期数 t 的函数, 也可看成结算次数 m的
函数.
现实生活中一些事物的生长 (r > 0) 和率减 (r <0)就遵这
种规律, 而且是立即产生立即结算. 例如细胞的繁殖、树
木生长、物体冷却、放射性元素的率减等.
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p
特别地, 当价格 p=0时, 需求量 Qd=b , 它表示人们的 需要是有限的. b/a 为最大销售价格, 此时需求量为零.
当然价格 p 也可表示成需求量Qd的函数, p g(Qd ) 称
作价格函数.
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例1 某产品销售70元/件, 可买出10000件, 价格每增
加3元就少买300件, 求需求量 Qd 与价格 p 的函数. 解 设价格由70元增加 k个3元, 则
解 设批量为 x台, 库存费与生产准备费之和为p(x) , 则 全年的生产准备费为 (a/x) ∙ b, 库存费为 (x/2) ∙ c, 故
p( x) ab cx , x (0, a]. x2
其中 a/x 为批数, x/2 为库存量.
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例6 某矿厂A要将生产出的矿石运往铁路旁的冶炼厂 B冶炼. 已知该矿距冶炼厂所在铁路垂直距离为 a 公里,
p 70 3k , Qd 10000 300k
从而 k 100 , 3
而
k

1 (p

70),
则 p 170
3
故
Qd 17000 100 p, p (70,170]
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(2) 供给函数 生产者对商品的生产是由多方面因素所决定的, 其中
价格是最主要的因素; 一般地, 价格越高, 就越要加大
例2 某商品当价格为50元时, 有50单位投放市场, 当价格为75元时, 有100单位投放市场, 求供给 Qs 与价 格p的函数.
解 设 Qs g( p) cp d , 则 Qs 2 p 50
(3) 均衡价格 均衡价格就是使一种商品的市场需求量Qd 与供给量Qs 相等时的价格; 即均衡价格就是使 f(p) = g(p) 时的价格,
C( x) ax b
每件产品的成本(称为单位成本或平均成本)为
C(x) C(x) x
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3. 销售收入函数(总收益函数)
总收益是产量的函数. 设某种产品的销售量为x, 价格为 p,则销售收入函数为 R p x
而价格 p 又可表为 x 的函数, 所以销售收入函数可看成 x 的函数 R(x).
则称此函数为需求函数.
需求函数 Qd f ( p) 一般是 p 的递减函数. 最常见、最 简单的需求函数是如下形式的线性需求函数
Qd f ( p) ap b (a、b均为正常数)
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这个函数的几何形态, 是一条反应需求量与价格关系的 曲线, 我们称之为需求曲线, 如右图.
Qd
b
o
b a