高中数学 必修5 23.一元二次不等式的应用
人教版高中数学必修课件一元二次不等式及其解法
人 教 版 高 中 数学必 修5课件 -3.2一 元二次 不等式 及其解 法(共 17张PP T)
总结出： 解一元二次不等式
ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0 的步骤是：
(1)化成标准形式 ax2+bx+c>0 (a>0)
ax2+bx+c<0 (a>0)
(2) 写出ax2+bx+c=0判定△的符号，
当x取 0 < x <5 时，y<0?
(3).由图象写出：
不等式x2 -5x>0 的 解集为 ﹛x|x<0或x>5﹜ 。
不等式x2 -5x<0 的 解集为 ﹛x| 0 <x <5﹜ 。
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一元二次不等式及其解法
=(2x-1)2≥0
(2)解不等式 - x2 + 2x – 3 >0
解：整理，得 x2 - 2x + 3 < 0
因为△= 4 - 12 = - 8 < 0
方程 2 x2 - 3x – 2 = 0无实数根
所以原不等式的解集为ф
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(3)求出方程 的实根;画出函数图像
(4)（结合函数图象）写出不等式的解集.
简记为：一化—二判—三求—四写
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§3.2.1一元二次不等式的解法及其应用
一元二次不等式解法及其应用
2010年5月20日星期四
广州市花都区高中数学学科带头人
陈文运
1
一元一次不等式的解法回顾
例题:解一元一次不等式 例题 解一元一次不等式:ax>b 解一元一次不等式
2010年5月20日星期四
广州市花都区高中数学学科带头人
陈文运
2
. .
解的讨论: ① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论:对 ax>b
2
1 1 ( , ) 2 3
,则
2010年5月20日星期四
广州市花都区高中数学学科带头人
陈文运
9
x3 <0 2.解不等式 x + 7 解不等式 .
. .
x3 ≤0 2. 变式题)解不等式 x + 7 (变式题 . 变式题) ( . x3 ≥ 1 2. (变式题)解不等式 x + 7 变式题)
. .
.
3 4
2010年5月20日星期四
广州市花都区高中数学学科带头人
陈文运
13
3,不等式(x-2)2(x-1)>0 的解集为 . ,不等式 - - 4,不等式(x+1) (x-1) ≤0 的解集为 . ,不等式 + -
2பைடு நூலகம்
1 <x 5,不等式 x , 的解集为
.
2010年5月20日星期四
广州市花都区高中数学学科带头人
2010年5月20日星期四
广州市花都区高中数学学科带头人
陈文运
10
.
分式不等式的解法: 先移项通分标准化, (2) ) 分式不等式的解法: 先移项通分标准化, 则
.
f ( x) > 0 f ( x) g ( x) > 0; g ( x)
高中数学第三章不等式3.2.1一元二次不等式的解法课件北师大版必修5
(2)对于含有参数的不等式，在求解过程中，注意不要忽视对 其中的参数恰当地分类讨论，尤其是涉及形式上看似二次不等 式，而其中的二次项系数中又含有参变量时，往往需要针对这个 系数是否为零进行分类讨论，并且如果对应的二次方程有两个不 等的实根且根的表达式中又含有参变量时，还要再次针对这两根 的大小进行分类讨论．
集
(x1，x2) ∅
∅
1．一元二次不等式的求解步骤 (1)①通过对不等式的变形，使不等式右边为零，左边二次项 系数大于零；②计算出相应一元二次方程的判别式；③求出相应 一元二次方程的根(或判断相应方程没有实根)；④根据③画出相 应二次函数的图像写出解集． (2)会用程序框图来描述一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(a>0) 的求解的算法过程．
4．若1ax2＋bx＋a>0 的解集是{x|2<x<8}，则 a＝ ________________________________________________________ ________________.
b＝________.
解析： 由题意知 a<0，且方程1ax2＋bx＋a＝0 的两根分别为
[思路点拨] 根据已知解集和一元二次不等式解的结构，逆 向推出 a、b、c 应满足的关系，进而求解不等式．一元二次不等 式解集的两个端点值是一元二次方程的两根．
解析： ∵ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|－3<x<4}． ∴a<0，且－3,4 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根．
由韦达定理得－－33×＋44＝＝ac－，ba，
答案： ＞ 两 －5,1 (－∞，－5)∪(1，＋∞) (－5,1)
4．解下列不等式： (1)x2＋2x－15＞0；(2)x2＞2x－1；(3)x2＜2x－2.
2021-2022学年北师大版必修5 3.2.2 一元二次不等式的应用 教案
不等式恒成立问题解法研究教学设计教材地位与教学内容分析：1、本节课在高考中的地位：不等式恒成立问题，特别是含参不等式，把导数，不等式，函数，三角，几何，数列等内容有机地结合起来，覆盖知识点广，渗透的数学思想方法多，解题方法灵活，能很好的考查学生的创新能力和潜在的数学素质。
正因为其涉及内容较广、表现形式多样、思维层次较高，因而倍受高考命题者的青睐。
2、本节课的主要教学内容：变更主元法，二次函数性质〔判别式法，单调性〕，别离参数法，数形结合法等解决不等式恒成立问题教学目标1、掌握求不等式恒成立问题中参数范围的常见策略与方法，能根据不同的条件，选择恰当的方法，确定不等式恒成立中的参数范围.2、通过不等式恒成立问题解法研究，理解换元、转化与化归、数形结合、函数与方程等思想方法.3、培养学生思维的灵活性、创造性，提高学生的综合解题能力.教学重难点重点：变更主元法，二次函数性质〔判别式法，单调性〕，别离参数法，数形结合法难点：根据不同条件用适当方法求参数范围教学方法：引导发现，合作探究，总结归纳教具：多媒体课件教学时间：40分钟教学过程：〔一〕导入不等式恒成立问题是中学数学的一类重要题型，它散见于许多知识板块中，载体较多，而且不少情况下题意较为隐含。
正因为其涉及内容较广、表现形式多样、思维层次较高，因而倍受高考命题者的青睐。
今天这节课我们就来探讨不等式恒成立问题的解法。
（二）例题精讲一、利用二次函数性质例1 〔1〕 假设一元二次不等式08322<-+kx kx 对一切实数x 都成立，那么k 的取值范围为〔 〕〔2〕上题假设改为“假设一元二次不等式08322<-+kx kx 对于]3,1[∈x 恒成立〞，那么k 的取值范围是.归纳：1、在R 上恒成立问题，利用判别式：对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有：〔1〕R x x f ∈>在0)(上恒成立⇔；〔2〕R x x f ∈<在0)(上恒成立⇔ .2、在给定区间上恒成立问题，分类讨论：设2()(0).f x ax bx c a =++≠（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成⇔],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⇔（2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⇔],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⇔二、别离参数法 例1〔2〕〔方法二〕：假设一元二次不等式08322<-+kx kx 对于]3,1[∈x 恒成立,那么k 的取值范围是.归纳：假设在不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于不等号的两边，那么可将恒成立问题转化成函数的最值(或上、下界)问题求解。
3.2 一元二次不等式及其解法 第2课时 课件(人教A版必修5)
人
教
A
第三章
不等式
迁移变式1
若x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1恒成立，则a的取
值范围是________．
人
教
A
第三章
不等式
解：原不等式可化为(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0， 当 a＋2＝0，即 a＝－2 时， 4x－3≥0 不恒成立， 当 a＋2≠0，即 a≠－2 时，
a＋2>0 Δ＝16－4a＋2a－1≤0
第三章
不等式
第2课时
一元二次不等式解法的应用
人
教
A
第三章
不等式
人
教
A
第三章
不等式
人
教
A
第三章
不等式
1．若ax2＋bx＋c≥0的解集是空集，则二次函数f(x)＝ax2＋bx
＋c的图象开口向 下 ，且与x轴 没有 交点．
2．若ax2 ＋bx＋c>0的解集是实数集R，则二次函数f(x)＝ax2 ＋bx＋c的图象开口向 上 ，且二次三项式的判别式Δ < 0.
人
教
A
人
教
A
第三章
不等式
1．下列不等式中，解集是R的是 A．x2＋2x＋1>0 1x C．(3) ＋1>0 B. x2>0 1 1 D. x－2<x
(
)
人
教
A
第三章
不等式
解析：∵x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，∴A不正确； ∵ x2＝|x|≥0，∴B不正确； 1x 1x ∵(3) >0，∴(3) ＋1>1>0(x∈R)，故C正确 ； 1 1 x－2<x⇒x>0或x<0，∴D不正确，故选C.
高一数学一元二次不等式及其解法2
课堂练习
2. 某台风中心从A处以20km/h的速 度向东北方向移动，离台风中心 30km以内(含30km)的地区为危险区. 城市B在A处的正东方向40km处，那 么城市B处于台风危险区内的持续时 间是几小时？ C 持续时间是1小时.
A B
课堂小结
1.解决一元二次不等式的应用性问 题，关键在于构造一元二次不等式 模型.其基本思路是：将题中的某个 主变量设为x→用x表示其他相关变 量→根据题中的不等关系列出不等 式→解不等式得结论.
小结作业
2.解一元二次不等式的应用性问题 时，要注意结果必须有实际意义， 并对问题作出相应回答.
布置作业
P80习题3.2A组：1，5，6. B组: 4.
；东森注册 东森注册 ；
开控制着十二天干仙阵,开始探向了这团佛门神念."轰轰轰."佛门神念虽然被困住,可哪里会这么容易就范,还在不断の挣扎,发出震天动地の力量,惊得整个孤独之城都在不断の碎裂.十二天干仙阵,已经将它给困在方圆壹千里の范围内了,仙阵无法再进行压缩了,因为之前の阵眼布置の较 多,现在这是最小の范围了.控制起来也是最难の,万壹能量被突破了,就有可能被这团魂识给冲出来.不过好在根汉还有几大神器,九龙珠环,黑铁,寒冰王座,血炉,以及至尊剑,还有他の清风神剑,都在这里围着这团魂识.这几大神器,也个个不弱,等级最低の要属清风神剑.而其它の几件神兵, 最差の应该也是至尊之兵,所以这团魂识纵然强可媲美准至尊,但还是弱了壹截,被这几大神器の神威给压得死死の.虽然还能反抗,不时の发出壹阵阵狂怒,却还是无法挣开,逃不出去了."你不是有两大神树吗,将神树放出来,这东西马上就乖了."小紫倩想到了根汉乾坤世界中の两大神树,那 东西可是佛家神树,只要放出来,这团魂识肯定就老实了."对呀."根汉这才想起
高中数学北师大版必修5《第3章22.2一元二次不等式的应用》课件
)
(3)应用穿针引线法解不等式(x＋2)2(x－3)＞0，可得其解集为
(2,3)．( )
[答案] (1)× (2)× (2)×
36
[提示] (1)错误，不等式3xx＋＋15＞2 与xx＋ ＋31＞0 同解； (2)错误，xx－ ＋12≤0 与(x－1)(x＋2)≤0 且 x＋2≠0 同解； (3)错误，(x＋2)2(x－3)＞0 的解集为(3，＋∞)．
31
2．(变结论)例 3 的条件不变，若存在 x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5 恒 成立，求 m 的取值范围．
[解] 不等式 f(x)＜－m＋5 可化为 mx2－mx－1＜－m＋5， 即 m(x2－x＋1)＜6，由于 x2－x＋1＝x－122＋34＞0，故原不等式 等价于 m＜x2－6x＋1. 当 x∈[1,3]时，x2－x＋1∈[1,7]，故x2－6x＋1∈67，6，由题意可 知 m＜6.
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益 y 与实际电价 x 的函 数关系式；
(2)设 k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益 比上年度至少增长 20%?
19
[解] (1)设下调后的电价为 x 元/千瓦时，依题意知，用电量增至 x－k0.4＋a，电力部门的收益为 y＝x－k0.4＋a(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)．
5
思考：(1)解一元二次不等式可以用穿针引线法吗？ [提示] 可以 (2)应用穿针引线法解高次不等式 f(x)＞0，对 f(x)的最高次项的系 数有什么要求吗？ [提示] 把 f(x)最高次项的系数化为正数．
6
1．不等式43xx＋－21>0 的解集是(
)
A．xx>13或x<－12
B．x－12<x<13
人教a版必修5学案：3.2一元二次不等式及其解法(含答案)
3.2 一元二次不等式及其解法材拓展1．一元一次不等式通过同解变形，一元一次不等式可化为：ax >b .若a >0，则其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >b a .若a <0，则其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <b a .若a ＝0，b <0，解集为R ；b ≥0，解集为∅. 2．三个“二次”的关系通过同解变形，一元二次不等式可化为：ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)． 不妨设方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1、x 2且x 1<x 2.从函数观点来看，一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集，就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在x 轴上方部分的点的横坐标x 的集合；ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集，就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在x 轴下方部分的点的横坐标x 的集合．从方程观点来看，一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值．3．简单的高次不等式的解法——数轴穿根法数轴穿根法来源于实数积的符号法则，例如要解不等式(x －1)(x －2)(x －3)>0.我们可以列表如下：x 的区间x <1 1<x <2 2<x <3 x >3 x －1 － ＋ ＋ ＋ x －2 － － ＋ ＋ x －3 － － － ＋(x －3)(x －2)·(x －1) － ＋ － ＋把表格的信息“浓缩”在数轴得：据此，可写出不等式(x －1)(x －2)(x －3)>0的解集是{x |1<x <2或x >3}． 一般地，利用数轴穿根法解一元高次不等式的步骤是：(1)化成形如p (x )＝(x －x 1)(x －x 2)…(x －x n )>0 (或<0)的标准形式； (2)将每个因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每个点画曲线； (3)奇次根依次穿过，偶次根穿而不过(即不要改变符号)；(4)根据曲线显现出的p (x )的符号变化规律，标出p (x )的正值区间和负值区间； (5)写出不等式的解集，并检验零点是否在解集内． 4．分式不等式的解法 (1)f (x )g (x )>0⇔f (x )·g (x )>0. (2)f (x )g (x )<0⇔f (x )·g (x )<0. (3)f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≥0g (x )≠0. (4)f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≤0g (x )≠0. 注意：解不等式时，一般情况下不要在两边约去相同的因式．例如：解不等式：2x ＋1x －3>2x ＋13x －2.解 原不等式⇔2x ＋1x －3－2x ＋13x －2>0⇔(2x ＋1)2(x －3)(3x －2)>0⇔⎝⎛⎭⎫x ＋122(x －3)⎝⎛⎭⎫x －23>0⇔x <－12或－12<x <23或x >3.∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，23∪(3，＋∞)．5．恒成立问题(1)f (x )≥a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )min ≥a ，x ∈D 恒成立； f (x )≤a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )max ≤a ，x ∈D 恒成立；(2)ax 2＋bx ＋c >0恒成立⇔⎩⎨⎧ a >0Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c >0ax 2＋bx ＋c <0恒成立⇔⎩⎨⎧ a <0Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c <0. 6．一元二次方程根的分布我们以ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)为例，借助开口方向向上的二次函数的图象给出根的分布的充要条件.根的分布 二次函数的图象 充要条件x 1<k <x 2f (k )<0x 1<x 2<k⎩⎨⎧ f (k )>0－b2a <k Δ>0k <x 1<x 2⎩⎨⎧f (k )>0－b 2a >k Δ>0k 1<x 1 <x 2<k 2⎩⎨⎧f (k 1)>0f (k 2)>0k 1<－b 2a <k 2Δ>0k 1<x 1<k 2 <x 2<k 3⎩⎪⎨⎪⎧f (k 1)>0f (k 2)<0f (k 3)>0法突破一、分式不等式的解法方法链接：解分式不等式通常是移项通分再求解，切忌随意去分母(仅在分母恒大于零时可以去分母)．例1 解不等式：x 2＋2x －23＋2x －x 2≥x .解 原不等式⇔x 2＋2x －23＋2x －x 2－x ≥0⇔x 3－x 2－x －23＋2x －x 2≥0⇔(x 3－2x 2)＋(x 2－x －2)3＋2x －x 2≥0⇔(x －2)x 2＋(x －2)(x ＋1)x 2－2x －3≤0⇔(x －2)(x 2＋x ＋1)(x －3)(x ＋1)≤0⇔x －2(x ＋1)(x －3)≤0. 由图可知，原不等式的解集为{x |x <－1或2≤x <3}．二、含参数不等式的解法方法链接：对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行分类讨论，即要产生一个划分参数的标准．例2 解不等式：(x －k )(x ＋3)x ＋2<x ＋1 (k ∈R )．解 原不等式⇔kx ＋3k ＋2x ＋2>0⇔(x ＋2)(kx ＋3k ＋2)>0当k ＝0时，原不等式解集为{x |x >－2}； 当k >0时，(kx ＋3k ＋2)(x ＋2)>0，变形为⎝⎛⎭⎫x ＋3k ＋2k (x ＋2)>0.∵3k ＋2k ＝3＋2k >3>2，∴－3k ＋2k<－2.∴x <－3k ＋2k 或x >－2.故解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－2或x <－3k ＋2k . 当k <0时，原不等式⇔(x ＋2)⎝⎛⎭⎫x ＋3k ＋2k <0由(－2)－⎝⎛⎭⎫－3k ＋2k ＝k ＋2k .∴当－2<k <0时，k ＋2k <0，－2<－3k ＋2k ，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－3k ＋2k ； 当k ＝－2时，－3k ＋2k＝－2，原不等式⇔(x ＋2)2<0不等式的解集为∅；当k <－2时，k ＋2k >0，－2>－3k ＋2k .不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3k ＋2k <x <－2.综上所述，当k ＝0时，不等式的解集为{x |x >－2}； 当k >0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－3k ＋2k 或x >－2；当－2<k <0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－3k ＋2k ；当k ＝－2时，不等式的解集为∅； 当k <－2时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3k ＋2k <x <－2.三、恒成立问题的解法方法链接：在含参数的恒成立不等式问题中，参数(“客”)和未知数(“主”)是相互牵制、相互依赖的关系，在这里是已知参数a (“客”)的取值范围，反过来求x (“主”)的取值范围，若能转换“主”与“客”两者在问题中的地位：视参数a 为“主”，未知数x 为“客”，则关于x 的一元二次不等式就立即转化为关于a 的一元一次不等式，运用反“客”为“主”的方法，使问题迎刃而解．例3 已知不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围； (2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围．分析 题中不等式含有两个字母x ，p ，由(1)的条件可知，应视p 为变量，x 为常量，再求x 的范围；由(2)的条件可知，应视x 为变量，p 为常量，再求p 的范围．解 (1)不等式化为：(x －1)p ＋x 2－2x ＋1>0， 令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，则f (p )的图象是一条直线．又因为|p |≤2，所以－2≤p ≤2，于是得：⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)>0，f (2)>0.即⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)·(－2)＋x 2－2x ＋1>0，(x －1)·2＋x 2－2x ＋1>0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x 2－1>0. ∴x >3或x <－1. 故x 的取值范围是x >3或x <－1.(2)不等式可化为(x －1)p >－x 2＋2x －1， ∵2≤x ≤4，∴x －1>0.∴p >－x 2＋2x －1x －1＝1－x .由于不等式当2≤x ≤4时恒成立，所以p >(1－x )max .而2≤x ≤4，所以(1－x )max ＝－1， 于是p >－1.故p 的取值范围是p >－1. 四、一元二次方程根的分布 方法链接：一元二次方程根的分布一般要借助一元二次函数的图象加以分析，准确找到限制根的分布的充要条件．常常从以下几个关键点去限制，①判别式，②对称轴，③根所在区间端点函数值的符号．例4 已知关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围．解 设f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，根据题意，画出示意图由图分析可得，m 满足不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2m ＋1<0f (－1)＝2>0f (1)＝4m ＋2<0f (2)＝6m ＋5>0解得：－56<m <－12.五、一元二次不等式的实际应用 方法链接：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，解出不等式后还应注意变量应具有的“实际含义”．例5 国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m 吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点．即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x 个百分点，收购量能增加2x 个百分点．试确定x 的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.分析对比项 调整前 调整后税率 8% (8－x )%收购量 m (吨) (1＋2x %)m (吨)税收总收入 2 400m ×8%2 400(1＋2x %)m×(8－x)%解 设税率调低后的“税收总收入”为y 元． y ＝2 400m (1＋2x %)·(8－x )%＝－1225m (x 2＋42x －400) (0<x ≤8)．依题意，y ≥2 400m ×8%×78%即：－1225m (x 2＋42x －400)≥2 400m ×8%×78%整理得x 2＋42x －88≤0，解得－44≤x ≤2. 根据x 的实际意义，知0<x ≤8， 所以0<x ≤2为所求．区突破1．忽略判别式的适用范围而致错例1 若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围． [错解] 不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0， 对x ∈R 恒成立．⇔{ a －Δ<0 ⇔{ a(a －2)2－4(a －2)(－4)<0 ⇔－2<a <2.[点拨] 当a －2＝0时，原不等式不是一元二次不等式，不能应用根的判别式，应当单独检验不等式是否成立．[正解] 当a －2＝0，即a ＝2时，原不等式为－4<0，所以a ＝2时成立． 当a －2≠0时，由题意得{ a －Δ<0， 即{ a(a －2)2－4(a －2)(－4)<0， 解得－2<a <2.综上所述，可知－2<a ≤2. 温馨点评 在中学阶段，“判别式”是与“二次”联系在一起的，对于一元一次不等式不能应用判别式法来判断．在处理形如ax 2＋bx ＋c 的问题时，要注意对x 2系数的讨论．2．混淆“定义域为R ”与“值域为R ”的区别而致错例2 若函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ，求a 的取值范围． [错解1] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴ax 2－2x ＋a >0对x ∈R 恒成立．∴{ aΔ<0， 即{ a－4a 2<0，∴a >1. [错解2] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴代数式ax 2－2x ＋a 能取遍一切正值． ∴Δ＝4－4a 2≥0， ∴－1≤a ≤1.[点拨] 上述解法1把值域为R 误解为定义域为R ；解法2虽然理解题意，解题方向正确，但是忽略了a <0时，代数式ax 2－2x ＋a 不可能取到所有正数，从而也是错误的．[正解] 当a ＝0时，y ＝lg(－2x )值域为R ， a ＝0适合．当a ≠0时，ax 2－2x ＋a ＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a 2＋⎝⎛⎭⎫a －1a 为使y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ， 代数式ax 2－2x ＋a 应取到所有正数．所以a 应满足⎩⎨⎧a a －1a ≤0，解得0<a ≤1. 综上所述，0≤a ≤1.题多解例 解不等式：lg x －1≤3－lg x . 解 方法一 lg x －1≤3－lg x⇔{ lg x －1≥－lg x ≥x －1≤(3－lg x )2 ⇔{ 1≤lg x ≤2x －7lg x ＋10≥0 ⇔{ 1≤lg x ≤x ≤2或lg x ≥5 ⇔1≤lg x ≤2⇔10≤x ≤100. 方法二 设lg x －1＝t ， 则lg x ＝t 2＋1 (t ≥0)．∴lg x －1≤3－lg x⇔{ t ≥t ≤2－t 2⇔0≤t ≤1⇔0≤lg x －1≤1 ⇔1≤lg x ≤2 ⇔10≤x ≤100.方法三 解方程lg x －1＝3－lg x ， 解得：x ＝100. 令f (x )＝lg x －1，易知f (x )在[10，＋∞)为增函数，g (x )＝3－lg x 在[10，＋∞)为减函数． 且f (100)＝g (100)＝1.为使f (x )≤g (x )， 则10≤x ≤100.方法四 令lg x ＝t ，f (t )＝t －1，g (t )＝3－t .在同一坐标系中画出它们的图象如图所示： 易知交点为(2,1)．当1≤t ≤2时，f (t )≤g (t )． 即lg x －1≤3－lg x 成立． 由1≤t ≤2，即1≤lg x ≤2， 解得：10≤x ≤100.题赏析1．(2009·江西)若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝________.解析 令y 1＝9－x 2，y 2＝k (x ＋2)－2，在同一个坐标系中作出其图象，因9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为[a ，b ]且b －a ＝2.结合图象知b ＝3，a ＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,22)．∴k ＝22＋21＋2＝ 2.答案 2赏析 本题主要考查解不等式、直线过定点问题以及数形结合的数学方法． 2．(2009·天津)设0<b <1＋a ，若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数恰有3个，则( )A ．－1<a <0B ．0<a <1C ．1<a <3D ．3<a <6解析 (x －b )2>(ax )2，(a 2－1)x 2＋2bx －b 2<0，要使x 的解集中恰有3个整数，必须有a 2－1>0.又a ＋1>0，∴a >1.不等式变形为[(a －1)x ＋b ][(a ＋1)x －b ]<0.∵a >1，b >0，∴b a －1>0,0<ba ＋1<1，∴b 1－a <x <b a ＋1， 其中含三个整数，∴－3≤b 1－a <－2,2<ba －1≤3.∴2a －2<b ≤3a －3.∴{ 3a －3≥b >0，a －2<b <a ＋1，∴{ a >1，a <3，∴1<a <3. 答案 C赏析 本题考查了一元二次不等式知识灵活地运用．。
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23.一元二次不等式的应用
教学目标班级：_____ 姓名：____________
1.掌握运用一元二次不等式解决实际问题的方法.
2.掌握简单的数学建模思想.
教学过程
运用一元二次不等式解决实际问题的一般方法：
1.寻找已知条件，搞清量与量之间的关系.
2.挖掘不等关系，建立一元二次不等式.
3.解不等式，解决问题.
例1：要在长为800m，宽600m的一块长方形地面上进行绿化，其中四周中花卉（花卉带的宽度相同），中间种草坪（如图阴影部分所示），要求草坪的面积不少于总面积的一半，求花卉带宽度x的取值范围.
练1：某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元（征税率10个百分点），计划可收购a万担.政策为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x个百分点，预测收购量可增加x2个百分点.
x
)0
(
（1）写出降税后税收y（万元）与x的函数关系式；
（2）要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2％，试确定x的取值范围.
练2：汽车在行驶中，由于该惯性，刹车后还会继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.在一个限速为40km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.事故现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m ，又知甲、乙两车型的刹车距离s （m ）与车速x （km/h ）之间分别有如下关系：201.01.0x x s +=甲，2
005.005.0x x s +=乙.问：甲、乙两车有无超速现象？
作业：某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知该商品每件售价提高1元，销售量就要减少10件.问（1）售价每件定为多少元时，才能使得每天的利润最大？
（2）售价每件定为多少元时，才能保证每天的利润不少于300元？。