一元二次不等式的应用含答案(1)
(完整版)一元二次不等式的经典例题及详解
一元二次不等式专题练习例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．例2 解下列分式不等式： （1）22123+-≤-x x （2）12731422<+-+-x x x x例3 解不等式242+<-x x例4 解不等式04125622<-++-x x x x ． 例5 解不等式x xx x x <-+-+222322． 例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ． 例8 解不等式331042<--x x ．例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ． 例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式02>++a bx cx 的解集．例11 若不等式1122+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31(∞+-∞，， ，求a 、b 的值． 例12不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值． 例13解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ． 例14 解不等式x x x ->--81032．例1解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或例2（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。
(完整版)一元二次不等式的经典例题及详解
一元二次不等式专题练习例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．例2 解下列分式不等式： （1）22123+-≤-x x （2）12731422<+-+-x x x x例3 解不等式242+<-x x例4 解不等式04125622<-++-x x x x ． 例5 解不等式x xx x x <-+-+222322． 例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ． 例8 解不等式331042<--x x ．例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ． 例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式02>++a bx cx 的解集．例11 若不等式1122+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31(∞+-∞，， ，求a 、b 的值． 例12不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值． 例13解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ． 例14 解不等式x x x ->--81032．例1解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或例2（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。
一元二次不等式及其解法试题(含答案)1
一元二次不等式及其解法试题(含答案)1一元二次不等式及其解法试题(含答案)1基础达标：1．不等式x 2－ax －12a 2＜0（其中a ＜0）的解集为（ ） A ．（－3a ，4a ） B ．（4a ，－3a ） C ．（－3，－4） D ．（2a ，6a ）2221x x --+x 的取值范围是（ ）A ．1{|1}2x x x ≥≤-或B ．1{|1}2x x -≤≤C ．1{|1}2x x x ≥≤-或 D ．1{|1}2x x -≤≤3．不等式ax 2+5x+c ＞0的解集为11{|}32x x <<，则a ，c 的值为（ ） A ．a=6，c=1 B ．a=－6，c=－1 C ．a=1，c=1 D ．a=－1，c=－64．解不等式220ax bx ++>得到解集11{|}23x x -<<，那么a b +的值等于( )(A)10 (B)-10 (C)14 (D)-145．不等式x 2－ax －b ＜0的解集是{x|2＜x ＜3}，则bx 2－ax －1＞0的解集是（ ）A ．{|23}x x <<B ．11{|}32x x << C ．11{|}23x x -<<- D ．{|32}x x -<<-6．抛物线y=－x 2+5x －5上的点位于直线y=1的上方，则自变量x 的取值范围是________。
7．如果关于x 的方程x 2－(m －1)x+2－m=0的两根为正实数，则m 的取值范围是________。
8.解下列不等式(1) 14-4x 2≥x ； (2) x 2+x+1>0；(3) 2x 2+3x+4<0； （4）23620x x -+<；（5）2223x x ->--；（6）01442>+-x x ；（7）0322>-+-x x 9．已知不等式ax 2－3x+6＞4的解集为{x|x ＜1或x ＞b}。
一元二次不等式的应用 含答案
课时作业17 一元二次不等式的应用时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．不等式(1－|x |)(1＋x )>0的解集为( ) A ．{x |x <1} B ．{x |x <－1} C ．{x |－1<x <1} D ．{x |x <－1或－1<x <1} 【答案】 D【解析】 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0且x ≠1(1－x )(1＋x )>0，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0且x ≠－1(1＋x )(1＋x )>0. 即0≤x <1或x <0且x ≠－1.∴x <1且x ≠－1，故选D.2．如果方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是( )A ．(－2，2)B ．(－2,0)C ．(－2,1)D ．(0,1)【答案】 D【解析】 令f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋m 2－2，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)<0f (－1)<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2<0m 2－m <0，∴0<m <1. 3．已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (0,8)【解析】 不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，即Δ＝(－a )2－8a <0，∴0<a <8，即a 的取值范围是(0,8)．4．解不等式：(1)(x ＋2)(x ＋1)(x －1)(x －2)≤0. (2)3x －5x 2＋2x －3≤2. 【分析】 (1)本题考查高次不等式的解法．应用等价转化的方法显得较繁琐，可利用数轴标根法来解．(2)考查分式不等式的解法．给出的不等式并非分式不等式的标准形式，要通过移项、通分的办法将其化为标准形式再解．【解析】 (1)设y ＝(x ＋2)(x ＋1)(x －1)(x －2)，则y ＝0的根分别是－2，－1,1,2，将其分别标在数轴上，其画出示意图如下：∴不等式的解集是{x |－2≤x ≤－1或1≤x ≤2}． (2)原不等式等价变形为3x －5x 2＋2x －3－2≤0，即－2x 2－x ＋1x 2＋2x －3≤0，即2x 2＋x －1x 2＋2x －3≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧(2x 2＋x －1)(x 2＋2x －3)≥0，x 2＋2x －3≠0， 即等价变形为⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(x ＋1)(x ＋3)(x －1)≥0，x ≠－3且x ≠1.画出示意图如下：可得原不等式的解集为 {x |x <－3或－1≤x ≤12或x >1}．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分) 1．不等式x －3x ＋2<0的解集为( )A ．{x |－2<x <3}B ．{x |x <－2}C ．{x |x <－2或x >3}D ．{x |x >3}【答案】 A【解析】 不等式x －3x ＋2<0可转化为(x ＋2)(x －3)<0，解得－2<x <3.2．不等式(x 2－4x －5)(x 2＋4)<0的解集为( ) A ．{x |0<x <5} B ．{x |－1<x <5} C ．{x |－1<x <0} D ．{x |x <－1或x >5} 【答案】 B【解析】 原不等式等价于x 2－4x －5<0.3．不等式x ＋ax 2＋4x ＋3≥0的解集为{x |－3<x <－1或x ≥2}，则a的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12 【答案】 B【解析】 原不等式可化为x ＋a(x ＋1)(x ＋3)≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋a )(x ＋1)(x ＋3)≥0(x ＋1)(x ＋3)≠0，由题意得对应方程的根为－3，－1，2，∴a ＝－2.4．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．－4≤a ≤4B ．－4<a <4C ．a ≥4或a ≤－4D ．a <－4或a >4【答案】 D【解析】 不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16>0，∴a <－4或a >4，故选D.5．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是( )A ．[－3，12] B ．[－12，3] C ．[12，1)∪(1,3] D ．[－12，1)∪(1,3]【答案】 D【解析】 ∵(x －1)2>0，由x ＋5(x －1)2≥2可得：x ＋5≥2(x －1)2，且x ≠1. ∴2x 2－5x －3≤0且x ≠1，∴－12≤x ≤3且x ≠1. ∴不等式的解集是[－12，1)∪(1,3]． 6．不等式x ＋2x －1>－2的解集是( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(－1,1)∪(1，＋∞)【答案】 B【解析】 不等式移项通分，得x (x －1)＋2－(－2)(x －1)x －1>0，整理得x (x ＋1)x －1>0，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －1>0，x (x ＋1)>0(1)，或⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0，x (x ＋1)<0(2)，解(1)得，x >1；解(2)得，－1<x <0. 所以不等式的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(0，12]恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3【答案】 C【解析】 x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(0，12]恒成立，等价于a ≥－x －1x 时对一切x ∈(0，12]恒成立．设f (x )＝－x －1x .∵f (x )在(0，12]上单调递增， ∴f (x )max ＝f (12)＝－52. ∴a ≥－52.∴a 的最小值为－52，故选C.8．定义运算：a *b ＝a ·(2－b )，若不等式(x －m )*(x ＋m )<1对任意实数x 都成立，则( )A ．－1<m <0B ．0<m <2C ．－32<m <12D ．－12<m <32【答案】 B【解析】 因为a *b ＝a ·(2－b )，所以(x －m )*(x ＋m )＝(x －m )·(2－x －m )＝－(x －m )[x －(2－m )]，所以(x －m )*(x ＋m )<1可化为x 2－2x －m 2＋2m ＋1>0，令x 2－2x －m 2＋2m ＋1＝0，所以Δ＝4＋4(m 2－2m －1)＝4(m 2－2m )<0，即0<m <2，故选B.二、填空题(每小题10分，共20分) 9．不等式x －2x 2－1<0的解集为________．【答案】 {x |x <－1或1<x <2}【解析】 因为不等式x －2x 2－1<0等价于(x ＋1)(x －1)·(x －2)<0，所以该不等式的解集是{x |x <－1或1<x <2}．10．函数f (x )＝kx 2－6kx ＋(k ＋8)的定义域为R ，则实数k 的取值范围为________．【答案】 [0,1]【解析】 kx 2－6kx ＋(k ＋8)≥0恒成立， 当k ＝0时，满足．当k ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝(－6k )2－4k (k ＋8)≤0⇒0<k ≤1. ∴0≤k ≤1.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．若不等式x 2－8x ＋20mx 2＋2(m ＋1)x ＋9m ＋4>0对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围．【解析】 ∵x 2－8x ＋20＝(x －4)2＋4＞0∴要使不等式x 2－8x ＋20mx 2＋2(m ＋1)x ＋9m ＋4＞0对任意实数x 恒成立，只要mx 2＋2(m ＋1)x ＋9m ＋4＞0对于任意实数x 恒成立．①当m ＝0时，2x ＋4＞0，x ＞－2，此时原不等式对于x ＞－2的实数x 成立，∴m ＝0不符合题意．②当m ≠0时，要使不等式对任意实数x 恒成立，须⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0Δ＜0解得：m ＞14.∴m 的取值范围是{m |m ＞14}．12．实数m 取何范围的值时，方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的两根满足：(1)都是正数；(2)都在(0,2)内．【解析】 (1)设方程的两根为x 1，x 2，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－10m ＋9≥0x 1＋x 2＝3－m ＞0x 1·x 2＝m ＞0，解得m 的取值范围是(0,1]．(2)设f (x )＝x 2＋(m －3)x ＋m ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－10m ＋9≥0f (0)＝m ＞00＜3－m 2＜2f (2)＝3m －2＞0，解得m 的取值范围是(23，1]。
一元二次不等式的应用题(附答案)
一分配问题1。
把若干颗花生分给若干只猴子。
如果每只猴子分3颗，就剩下8颗;如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子虽分到了花生，但不足5颗.问猴子有多少只,花生有多少颗？2.把一些书分给几个学生，如果每人分3本,那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本。
问这些书有多少本？学生有多少人？3.某中学为八年级寄宿学生安排宿舍,如果每间4人，那么有20人无法安排,如果每间8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。
4。
一群女生住若干家间宿舍，每间住4人，剩下19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满.⑴如果有x间宿舍，那么可以列出关于x的不等式组：⑵可能有多少间宿舍、多少名学生？你得到几个解？它符合题意吗？二速度、时间问题1 爆破施工时,导火索燃烧的速度是0。
8cm/s，人跑开的速度是5m/s,为了使点火的战士在施工时能跑到100m以外的安全地区，导火索至少需要多长？2。
王凯家到学校2。
1千米,现在需要在18分钟内走完这段路。
已知王凯步行速度为90米/ 分，跑步速度为210米/分,问王凯至少需要跑几分钟？3.抗洪抢险,向险段运送物资,共有120公里原路程，需要1小时送到,前半小时已经走了50公里后，后半小时速度多大才能保证及时送到？三工程问题1。
一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方,现在要比原计划至少提前两天完成，则以后平均每天至少要比原计划多完成多少方土？2.用每分钟抽1。
1吨水的A型抽水机来抽池水，半小时可以抽完；如果改用B型抽水机，估计20分钟到22分可以抽完.B型抽水机比A型抽水机每分钟约多抽多少吨水？3。
某工人计划在15天里加工408个零件，最初三天中每天加工24个，问以后每天至少要加工多少个零件,才能在规定的时间内超额完成任务?1。
商场购进某种商品m件，每件按进价加价30元售出全部商品的65％,然后再降价10%，这样每件仍可获利18元，又售出全部商品的25%.（1）试求该商品的进价和第一次的售价；（2)为了确保这批商品总的利润率不低于25%，剩余商品的售价应不低于多少元？2。
一元二次不等式及其解法(一)
1
2
(-2) × -
=- ,
1
2
即
= ,
5
= ,
2
= 1.
1
所以不等式 ax2-bx+c>0 即 2x2-5x+2<0,解得 <x<2.
2
1
故不等式 ax -bx+c>0 的解集为 | < x < 2 .
2
2
课堂导学
课前预学
【当堂检测】
1
1
3
2
1.若不等式 ax2+5x+c>0 的解集为 | < x <
(3)由图象得出不等式的解集.
课堂导学
课前预学
解下列不等式:
(1)2x2-3x-2>0;(2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0;(4)x2-2x+2>0.
方法指导
先求出对应一元二次方程的解,再结合对应的二次函数的图象写出不等式的
解集.
解析
1
(1)方程 2x -3x-2=0 的解是 x1=- ,x2=2.
不等式 x(2-x)>3 的解集为⌀.
课前预学
课堂导学
3.解关于 x 的不等式 x2+(1-a)x-a<0.
解析
方程 x2+(1-a)x-a=0 的解为 x1=-1,x2=a,函数 y=x2+(1-a)x-a 的图象开口向上.
当 a<-1 时,原不等式的解集为{x|a<x<-1};
当 a=-1 时,原不等式的解集为⌀;
一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案)
一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案)一元二次不等式及其解法1.一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax>b(a≠0)的形式。
当a>0时，解集为x>b/a；当a<0时，解集为x<b/a。
2.一元二次不等式及其解法1) 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。
2) 使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的解集。
3) 一元二次不等式的解：对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0(a>0)，我们可以先求出其对应的一元二次方程ax^2+bx+c=0的解集，然后根据一元二次函数的图像，判断不等式的解集。
3.分式不等式解法对于分式不等式f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0，我们可以先化为标准型，即将右边化为0，左边化为分母的符号，然后将分式不等式转化为整式不等式求解。
对于分式不等式f(x)/g(x)≥0或f(x)/g(x)≤0，我们可以先求出f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0的解集，然后根据分式函数的图像判断不等式的解集。
例题1：已知集合A={x|x^2-2x-3≥0}，B={x|-2≤x＜2}，则A∩B＝[-2,-1]。
例题2：设f(x)=x^2+bx+1且f(-1)=f(3)，则f(x)>0的解集为{x|x≠1，x∈R}。
例题3：已知-2<x/11<1/2，则x的取值范围是-22<x<11.解：首先求出方程2x2－8x－4＝0的解为x1＝－1，x2＝2.根据题意，不等式在(1，4)内有解，即在x1和x2之间有解，则2x2－8x－4－a的图像必定开口向上，且在x1和x2处有两个零点。
又因为a>0时，图像整体上移，不可能在(1，4)内有解，故a<0.又因为当a＝－4时，2x2－8x－4＝0在(1，4)内有解，故a的取值范围是a<－4.故选A.1) 给定不等式 $2x^2-8x-4-a>0$ 在区间 $(1,4)$ 内有解，即$a<2x^2-8x-4$ 在区间 $(1,4)$ 内有解。
一元二次不等式(含答案)
一元二次不等式1.一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式.当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为.2.一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式.(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________.(3)一元二次不等式的解：函数与不等式Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a无实根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集①②Rax2＋bx＋c＜(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅③3.分式不等式解法(1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f（x）g（x）的形式.(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f（x）g（x）＞0⇔f(x)g(x)＞0；f（x）g（x）＜0⇔f(x)g(x)＜0；f（x）g（x）≥0⇔x）g（x）≥0，（x）≠0；f（x）g（x）≤0⇔x）g（x）≤0，（x）≠0.已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝()A.[－2，－1]B.[－1，2)C.[－1，1]D.[1，2)解：∵A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x＜2}，∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1].故选A.设f(x)＝x2＋bx＋1且f(－1)＝f(3)，则f(x)>0的解集为()A.{x|x∈R}B.{x|x≠1，x∈R}C.{x|x≥1}D.{x|x≤1}解：f(－1)＝1－b＋1＝2－b，f(3)＝9＋3b＋1＝10＋3b，由f(－1)＝f(3)，得2－b＝10＋3b，解出b＝－2，代入原函数，f(x)>0即x2－2x＋1>0，x的取值范围是x≠1.故选B.已知－12<1x<2，则x的取值范围是()A.－2<x <0或0<x <12B.－12<x <2C.x <－12或x >2D.x <－2或x >12解：当x >0时，x >12；当x <0时，x <－2.所以x 的取值范围是x <－2或x >12，故选D.不等式1－2xx ＋1＞0的解集是.解：不等式1－2x x ＋1>0等价于(1－2x )(x ＋1)＞0x ＋1)＜0，所以－1＜x ＜12.|－1＜x ＜12，x ∈若一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为________.解：显然k ≠0.若k ＞0，则只须(2x 2＋x )max ＜38k ，解得k ∈∅；若k ＜0，则只须38k ＜(2x 2＋x )min ，解得k ∈(－3，0).故k 的取值范围是(－3，0).故填(－3，0).类型一一元一次不等式的解法已知关于x 的不等式(a ＋b )x ＋2a －3b ＜0求关于x 的不等式(a －3b )x ＋b －2a ＞0的解集.解：由(a ＋b )x ＜3b －2a ∞a ＋b ＞0，且3b －2a a ＋b＝－13，从而a ＝2b ，则a ＋b ＝3b ＞0，即b ＞0，将a ＝2b 代入(a －3b )x ＋b －2a ＞0，得－bx －3b ＞0，x ＜－3，故所求解集为(－∞，－3).点拨：一般地，一元一次不等式都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式.挖掘隐含条件a ＋b ＞0且3b －2a a ＋b ＝－13是解本题的关键.解关于x 的不等式：(m 2－4)x ＜m ＋2.解：(1)当m 2－4＝0即m ＝－2或m ＝2时，①当m ＝－2时，原不等式的解集为∅，不符合②当m ＝2时，原不等式的解集为R ,符合(2)当m 2－4＞0即m ＜－2或m ＞2时，x ＜1m －2.(3)当m 2－4＜0即－2＜m ＜2时，x ＞1m －2.类型二一元二次不等式的解法解下列不等式：(1)x 2－7x ＋12＞0;(2)－x 2－2x ＋3≥0；(3)x 2－2x ＋1＜0;(4)x 2－2x ＋2＞0.解：(1){x |x ＜3或x ＞4}.(2){x |－3≤x ≤1}.(3)∅.(4)因为Δ＜0，可得原不等式的解集为R .已知函数f (x )x ＋1，x ＜0，－1，x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是()A.{x |－1≤x ≤2－1}B.{x |x ≤1}C.{x |x ≤2－1}D.{x |－2－1≤x ≤2－1}解：由题意得不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1等价于①＋1＜0，＋（x ＋1）[－（x ＋1）＋1]≤1＋1≥0，＋（x ＋1）[（x ＋1）－1]≤1，解不等式组①得x＜－1；解不等式组②得－1≤x≤2－1.故原不等式的解集是{x|x≤2－1}.故选C.类型三二次不等式、二次函数及二次方程的关系已知关于x的不等式x2－bx＋c≤0的解集是{x|－5≤x≤1}，求实数b，c的值.解：∵不等式x2－bx＋c≤0的解集是{x|－5≤x≤1}，∴x1＝－5，x2＝1是x2－bx＋c＝0的两个实数根，5＋1＝b，5×1＝c，＝－4，＝－5.已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求不等式cx2－bx＋a＞0的解集.解：∵不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，∴a＜0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得－ba＝2＋3，2×3，.＝－5a，＝6a，＜0.代入不等式cx2－bx＋a＞0，得6ax2＋5ax＋a>0(a＜0).即6x2＋5x＋1＜|－12＜x类型四含有参数的一元二次不等式解关于x的不等式：mx2－(m＋1)x＋1＜0.解：(1)m＝0时，不等式为－(x－1)＜0，得x－1＞0，不等式的解集为{x|x＞1}；(2)当m≠0时，不等式为x－1)＜0.①当m＜0x－1)＞0，∵1m＜1|x＜1m或x＞②当m＞0x－1)＜0.(Ⅰ)若1m＜1即m＞1|1m＜x＜(Ⅱ)若1m＞1即0＜m＜1|1＜x(Ⅲ)若1m＝1即m＝1时，不等式的解集为∅.点拨：当x2的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对m≠0与m＝0进行讨论，这是第一层次；第二层次：x2的系数正负(不等号方向)的不确定性，对m＜0与m＞0进行讨论；第三层次：1m与1大小的不确定性，对m＜1、m＞1与m＝1进行讨论.解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).解：不等式整理为ax2＋(a－2)x－2≥0，当a＝0时，解集为(－∞，－1].当a≠0时，ax2＋(a－2)x－2＝0的两根为－1，2a，所以当a＞0时，解集为(－∞，－1]∪2a，＋当－2＜a＜0时，解集为2a，－1；当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}；当a＜－2时，解集为－1，2a.类型五分式不等式的解法(1)解不等式x －12x ＋1≤1.解：x －12x ＋1≤1⇔x －12x ＋1－1≤0⇔－x －22x ＋1≤0⇔x ＋22x ＋1≥0.x ＋22x ＋1≥0⇔x ＋2）（2x ＋1）≥0，x ＋1≠0.得{xx ＞－12或x ≤－2}.※(2)不等式x －2x 2＋3x ＋2＞0的解集是.解：x －2x 2＋3x ＋2＞0⇔x －2（x ＋2）（x ＋1）＞0⇔(x －2)(x ＋2)(x ＋1)＞0，数轴标根得{x |－2＜x ＜－1或x ＞2}，故填{x|－2＜x ＜－1或x ＞2}.点拨：分式不等式可以先转化为简单的高次不等式，再利用数轴标根法写出不等式的解集，如果该不等式有等号，则要注意分式的分母不能为零.※用“数轴标根法”解不等式的步骤：(1)移项：使得右端为0(注意：一定要保证x 的最高次幂的项的系数为正数).(2)求根：就是求出不等式所对应的方程的所有根..(3)标根：在数轴上按从左到右(由小到大)依次标出各根(不需标出准确位置，只需标出相对位置即可).(4)画穿根线：从数轴“最右根”的右上方向左下方画线，穿过此根，再往左上方穿过“次右根”，一上一下依次穿过各根,“奇穿偶不穿”来记忆.(5)写出不等式的解集：若不等号为“＞”，则取数轴上方穿根线以内的范围；若不等号为“＜”，则取数轴下方穿根线以内的范围；若不等式中含有“＝”号，写解集时要考虑分母不能为零.(1)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B |x －2x≤A ∩B ＝()A.{x |－1≤x ＜0}B.{x |0＜x ≤1}C.{x |0≤x ≤2}D.{x |0≤x ≤1}解：易知A ＝{x |－1≤x ≤1}，B （x －2）≤0，≠0的解集，求出B ＝{x |0＜x ≤2}，所以A ∩B＝{x |0＜x ≤1}.故选B.(2)不等式x －12x ＋1≤0的解集为()－12，1 B.－12，1[1，＋∞)－∞，－12∪[1，＋∞)解：x －12x ＋1≤0x －1）（2x ＋1）≤0，x ＋1≠0得－12<x ≤1.故选A.类型六和一元二次不等式有关的恒成立问题(1)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ，12成立，则a 的最小值为()A.0B.－2C.－52D.－3解：不等式可化为ax ≥－x 2－1，由于x ，12，∴a ≥∵f (x )＝x ＋1x ，12上是减函数，x max＝－52.∴a ≥－52.(2)已知对于任意的a ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是()A.1＜x ＜3B.x ＜1或x ＞3C.1＜x ＜2D.x ＜1或x ＞2解：记g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，a ∈[－1，1]（1）＞0，（－1）＞02－3x ＋2＞0，2－5x ＋6＞0⇒x ＜1或x ＞3，故选B.点拨：对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于x 的二次不等式转换为关于a 的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调性，求出x 的取值范围.对于满足|a |≤2的所有实数a ，求使不等式x 2＋ax ＋1＞2x ＋a 成立的x 的取值范围.解：原不等式转化为(x －1)a ＋x 2－2x ＋1＞0，设f (a )＝(x －1)a ＋x 2－2x ＋1，则f (a )在[－2，2]上恒大于0，故有：2）＞0，2）＞02－4x ＋3＞0，2－1＞0＞3或x ＜1，＞1或x ＜－1.∴x ＜－1或x ＞3.类型七二次方程根的讨论若方程2ax 2－x －1＝0在(0，1)内有且仅有一解，则a 的取值范围是()A.a <－1B.a >1C.－1<a <1D.0≤a <1解法一：令f (x )＝2ax 2－x －1，则f (0)·f (1)＜0，即－1×(2a －2)＜0，解得a ＞1.解法二：当a ＝0时，x ＝－1，不合题意，故排除C ，D ；当a ＝－2时，方程可化为4x 2＋x ＋1＝0，而Δ＝1－16＜0，无实根，故a ＝－2不适合，排除A.故选B.。
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课时作业17 一元二次不等式的应用时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．不等式(1－|x |)(1＋x )>0的解集为( ) A ．{x |x <1} B ．{x |x <－1} C ．{x |－1<x <1} D ．{x |x <－1或－1<x <1} 【答案】 D【解析】 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0且x ≠11－x 1＋x >0，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0且x ≠－11＋x 1＋x >0.即0≤x <1或x <0且x ≠－1.∴x <1且x ≠－1，故选D. 2．如果方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是( )A ．(－2，2)B ．(－2,0)C ．(－2,1)D ．(0,1)【答案】 D【解析】 令f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋m 2－2，则⎩⎪⎨⎪⎧f 1<0f －1<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2<0m 2－m <0，∴0<m <1.3．已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (0,8)【解析】 不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，即Δ＝(－a )2－8a <0，∴0<a <8，即a 的取值范围是(0,8)．4．解不等式：(1)(x ＋2)(x ＋1)(x －1)(x －2)≤0. (2)3x －5x 2＋2x －3≤2. 【分析】 (1)本题考查高次不等式的解法．应用等价转化的方法显得较繁琐，可利用数轴标根法来解．(2)考查分式不等式的解法．给出的不等式并非分式不等式的标准形式，要通过移项、通分的办法将其化为标准形式再解．【解析】 (1)设y ＝(x ＋2)(x ＋1)(x －1)(x －2)，则y ＝0的根分别是－2，－1,1,2，将其分别标在数轴上，其画出示意图如下：∴不等式的解集是{x |－2≤x ≤－1或1≤x ≤2}． (2)原不等式等价变形为3x －5x 2＋2x －3－2≤0，即－2x 2－x ＋1x 2＋2x －3≤0，即2x 2＋x －1x 2＋2x －3≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋x －1x 2＋2x －3≥0，x 2＋2x －3≠0，即等价变形为⎩⎪⎨⎪⎧2x －1x ＋1x ＋3x －1≥0，x ≠－3且x ≠1.画出示意图如下：可得原不等式的解集为{x |x <－3或－1≤x ≤12或x >1}．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．不等式x －3x ＋2<0的解集为( )A ．{x |－2<x <3}B ．{x |x <－2}C ．{x |x <－2或x >3}D ．{x |x >3}【答案】 A【解析】 不等式x －3x ＋2<0可转化为(x ＋2)(x －3)<0，解得－2<x <3.2．不等式(x 2－4x －5)(x 2＋4)<0的解集为( ) A ．{x |0<x <5} B ．{x |－1<x <5} C ．{x |－1<x <0} D ．{x |x <－1或x >5}【答案】 B【解析】 原不等式等价于x 2－4x －5<0. 3．不等式x ＋ax 2＋4x ＋3≥0的解集为{x |－3<x <－1或x ≥2}，则a的值为( )A ．2B ．－2D ．－12【答案】 B【解析】 原不等式可化为x ＋ax ＋1x ＋3≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a x ＋1x ＋3≥0x ＋1x ＋3≠0，由题意得对应方程的根为－3，－1，2，∴a ＝－2.4．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．－4≤a ≤4B ．－4<a <4C ．a ≥4或a ≤－4D ．a <－4或a >4【答案】 D【解析】 不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16>0，∴a <－4或a >4，故选D.5．不等式x ＋5x －12≥2的解集是( )A ．[－3，12]B ．[－12，3]C ．[12，1)∪(1,3]D ．[－12，1)∪(1,3]【答案】 D【解析】 ∵(x －1)2>0， 由x ＋5x －12≥2可得：x ＋5≥2(x －1)2，且x ≠1.∴2x 2－5x －3≤0且x ≠1，∴－12≤x ≤3且x ≠1.∴不等式的解集是[－12，1)∪(1,3]．6．不等式x ＋2x －1>－2的解集是( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(－1,1)∪(1，＋∞)【答案】 B 【解析】不等式移项通分，得x x －1＋2－－2x －1x －1>0，整理得x x ＋1x －1>0，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，x x ＋1>0(1)，或⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0，x x ＋1<0(2)，解(1)得，x >1；解(2)得，－1<x <0. 所以不等式的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(0，12]恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3【答案】 C【解析】 x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(0，12]恒成立，等价于a ≥－x －1x 时对一切x ∈(0，12]恒成立．设f (x )＝－x －1x.∵f (x )在(0，12]上单调递增，∴f (x )max ＝f (12)＝－52.∴a ≥－52.∴a 的最小值为－52，故选C.8．定义运算：a *b ＝a ·(2－b )，若不等式(x －m )*(x ＋m )<1对任意实数x 都成立，则( )A ．－1<m <0B ．0<m <2C ．－32<m <12D ．－12<m <32【答案】 B【解析】 因为a *b ＝a ·(2－b )，所以(x －m )*(x ＋m )＝(x －m )·(2－x －m )＝－(x －m )[x －(2－m )]，所以(x －m )*(x ＋m )<1可化为x 2－2x －m 2＋2m ＋1>0，令x 2－2x －m 2＋2m ＋1＝0，所以Δ＝4＋4(m 2－2m －1)＝4(m 2－2m )<0，即0<m <2，故选B.二、填空题(每小题10分，共20分)9．不等式x －2x 2－1<0的解集为________．【答案】 {x |x <－1或1<x <2}【解析】 因为不等式x －2x 2－1<0等价于(x ＋1)(x －1)·(x －2)<0，所以该不等式的解集是{x |x <－1或1<x <2}．10．函数f (x )＝kx 2－6kx ＋k ＋8的定义域为R ，则实数k的取值范围为________．【答案】 [0,1]【解析】 kx 2－6kx ＋(k ＋8)≥0恒成立，当k ＝0时，满足．当k ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝－6k2－4k k ＋8≤0⇒0<k ≤1.∴0≤k ≤1.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．若不等式x 2－8x ＋20mx 2＋2m ＋1x ＋9m ＋4>0对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围．【解析】 ∵x 2－8x ＋20＝(x －4)2＋4＞0∴要使不等式x 2－8x ＋20mx 2＋2m ＋1x ＋9m ＋4＞0对任意实数x 恒成立，只要mx 2＋2(m ＋1)x ＋9m ＋4＞0对于任意实数x 恒成立．①当m ＝0时，2x ＋4＞0，x ＞－2，此时原不等式对于x ＞－2的实数x 成立，∴m ＝0不符合题意．②当m ≠0时，要使不等式对任意实数x 恒成立，须⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0Δ＜0解得：m ＞14.∴m 的取值范围是{m |m ＞14}．12．实数m 取何范围的值时，方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的两根满足：(1)都是正数；(2)都在(0,2)内．【解析】 (1)设方程的两根为x 1，x 2，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－10m ＋9≥0x 1＋x 2＝3－m ＞0x 1·x 2＝m ＞0，解得m 的取值范围是(0,1]．(2)设f (x )＝x 2＋(m －3)x ＋m ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－10m ＋9≥0f 0＝m ＞00＜3－m 2＜2f 2＝3m －2＞0，解得m 的取值范围是(23，1]。