一元二次不等式解法以及应用专题

一元二次不等式
一元二次不等式：含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式不等式
题型一、解一元二次不等式
1.一元二次不等式的解法（大于取两边，小于取中间）
(1)通过对不等式的变形，使不等式右边为0，左边二次项系数为正 (2)对不等式的左边进行因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式;
(3)求出相应一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实数根; (4)画出对应的二次函数的简图 (5)根据图象写出不等式的解集
例1. ;
例2.
2532<--x x
263-2≤+x x 091242>+-x x 01062>-+-x x 02322>--x x 0532>+-x x
题型二、含参数的一元二次不等式及其解法
|
1.解含参数的不等式时，应对参数进行讨论
(1)以二次项系数是否为0进行讨论，以确定不等式是否为元二次不等式
(2)转化为标准形式(即右边为0，左边二次项的系数为正数)后，再对判别式与0的大小作为分类标准进行讨论;
(3)如果判别式大于0，但对应方程的两实根的大小还不能确定，此时，再以两实数根大小为分类标准进行讨论
2.含参数的不等式的解题步骤
(1)将二次项系数转化为正数
(2)判断对应的二次方程是否有根(如果可以直接分解因式，此步可省去)
(3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异实根，要分析两根的大小)
注意
1.当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0这决定了不等式是否为二次不等式
￥
2.含参数的一元二次不等式的讨论顺序为:(1)二次项系数;(2)判别式;(3)若有实数根，两实数根的大小顺序
3.对参数的讨论还应注意以下几个方面:(1)对参数分类时，要目标明确，讨论时要不重不漏;(2)最后结果要分类回答，切不可取并集，解集为空集时，也是其中一类，不要随便丢掉
4.并不是所有含有参数的不等式都要进行分类讨论
例1. 解关于x 的不等式：05622<--a ax x 例2. >
例3.
解关于x 的不等式：
)(322>++-a x a a x
变式练习：1.解关于x 的不等式：x x a 2)1(2≥+
2. 解关于x 的不等式：01)1(2<++-x a ax
题型三、三个“二次”的应用
方法规律：
给出了一元二次不等式的解集，则可知a 的符号和
02=++c bx ax 的两实根，由根与系数的关系可知
a ，
b ，
c 之间
的关系 (1)
?
(2)
如果不等式02>++c bx ax 的解集为{}e x d x <<，则说明a ＜0，
e
x d x ==21,分别为方程
2=++c bx ax 的两根；若解集为
{}e x d x x ><或，
则说明a>0,e x d x ==21
,分别为02=++c bx ax 的两根
(3) 如果不等式的解集为02<++c bx ax {}e x d x <<，则说明a>0，
e x d x ==21,分别为02=++c bx ax 的两根，若解集为{}e
x d x x ><或，
则说明a<0,e x d x ==21,分别为02=++c bx ax 的两根
例1. 已知不等式{}21022><>+-x x x bx ax 或的解集为，求a,b 的值
例2. 若不等式
{}
的解集。

求不等式或的解集为032,43022≥--+≥-≤≤++b c ax bx x x x c bx ax
？
题型四、一元二次方程根的分布
（两根与k 的大小比较）
>
分布情况
两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即
k x k x >>21,
一个根小于k ，一个大于
k 即
21x k x <<
大致图象（
>a ） |
得出的结论
()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪>⎪⎩ ()0
20
b k a f k ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f
大
致图象（
<a ）
k
k
k
一元二次方程的两根与k 的大小比较主要结论：
ac b 42-=∆
的大小与k a
b
2-
()的大小与0k f
》
例1. 已知方程的取值范围求实数的两根都大于m m mx x ,201222=+-+
例2. 已知二次方程
的取值范围，求的两个根都小于m 102)12(2=+--+m x m mx
|
题型五、两根分布与区间),n
m
（的关系
（根在区间上的分布）分
布情况两根都在()n
m,内
两根有且仅有一根在()n
m,内
（图象有两种情况，只画了一种）
一根在()n
m,内，另一根在()q
p,
内，q
p
n
m<
<
<
大
致
图
象
（
>
a
）
|
得
出的结
论
()
()
2
f m
f n
b
m n
a
∆>
⎧
⎪
>
⎪
⎪
>
⎨
⎪
⎪<-<
⎪⎩
()()0<
⋅n
f
m
f
()
()
()
()
f m
f n
f p
f q
⎧>
⎪
<
⎪
⎨
<
⎪
⎪>
⎩
或
()()
()()
f m f n
f p f q
<
⎧⎪
⎨
<
⎪⎩
大
致图象
（
0 < a
）
得
出的结论
()()0002f m f n b m n
a ∆>⎧⎪
<⎪⎪
<⎨⎪⎪<-<⎪⎩
!
()()0<⋅n f m f
()()()()0000
f
m f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩
或()()()()0
0f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩
综合结论（不讨论
a
）
——————
()()0<⋅n f m f
()()()()⎪⎩⎪
⎨
⎧<<0
q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧
12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是
（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0
f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩
%
例1. 若关于x 的方程
的取值范围，求实数，一个跟小于的两根，一个根大于k k x kx 11023222=---
例2. 求实数m 的取值范围，使关于x 的方程
062)1(22=++-+m x m x
（1）有两个实根，且一个比2大，一个比2小 （2）有两个实根βα，，且满足410<<<<βα
变式练习：
1、已知二次方程()()2
21210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

]
2、已知二次函数()()()2
22433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，
一个小于1，求实数m 的取值范围。

题型六、可化为一元二次不等式的不等式的解法 1. 分式不等式 2. 高次不等式
例1. 解不等式：
0)12)(22>--+x x x （ 例2. 解不等式0)248)(1)(32(2≤+---+x x x x 例3. 解分式不等式：01312≥+-x x 32
31x 5≤-+x
'
14
1335
322
2≥+---x x x x
题型七、一元二次不等式的恒成立 一元二次不等式恒成立问题的解法：
（1）分离参数法：把所求参数与自变量分离，转化为求具体函数的最值问题。

（2）不等式组法:借助二次函数的图像性质，列不等式组
\
例1．已知不等式x 2-2ax+2>0对R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围。

例2．对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。

（
例3:若-3<x<1时，不等式（1-a ）x 2-4x+6>0恒成立，求a 的取值范围。

变式练习：1.已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

2.（1）已知不等式(1)21x m x -<-对()0,3x ∈恒成立，求实数m 的取值范围。

（2）已知不等式(1)21x m x -<-对()0,3m ∈恒成立，求实数x 的取值范围。

3. 已知a ax x x f -++=3)(2，若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围.。