高二数学必修三知识点：变量间的相关关系.doc
高中数学必修三：2.3变量间的相关关系)
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
脂肪含量
这些点大致分布在一条直线附近. 2019年5月13日
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思考3：如果散点图中的点的分布，从整 体上看大致在一条直线附近，则称这两 个变量之间具有线性相关关系，这条直 线叫做回归直线.
n
n
(xi x)( yi y) xi yi nx y
b i1 n
i1 n
, a y bx
(xi x)2
xi2 nx 2
i1
i1
时，总体偏差
Q
n
(
yi
yˆi
)2
为最小，这样
i1
就得到了回归方程，这种求回归yÙ方= 程bx 的+ a
方法叫做最小二乘法.回归方程中，a，
（万元）
画出数据对应的散点图，并指出销售
价格与房屋面积这两个变量是正相关
还是负相关.
2019年5月13日
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售价
35 30 25 20 15 10 5 0
0
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50
100
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面积
150
15
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知识探究（一）：回归直线
一个变量随另一个变量的变大而变小， 散点图中的点散布在从左上角到右下角 的区域.
思考6：你能列举一些生活中的变量 成正相关或负相关的实例吗?
2019年5月13日
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高中数学人教版必修3课件2-3-1变量之间的相关关系2
跟踪练习
对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变 量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个 散点图可以判断( )
A．变量x与y正相关，u与v正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关 C．变量x与y负相关，u与v正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关 [答案] C [解析] 图(1)中的数据y随着x的增大而减小，因此变量x与变量y负相 关；图(2)中的数据随着u的增大，v也增大，因此u与v正相关．
⑤代入公式计算b^ ，a^，公式为b^ ＝i＝n1 xi2－n－x2 ，
i＝1
a^＝
y
－b^ －x.
⑥写出回归直线方程^y＝b^ x＋a^.
跟踪练习
(1)(2015·石家庄高二检测)已知回归直线的斜率的估计 值是 1.23，样本点中心(即( x ， y ))为(4,5)，则回归直线的方 程是( )
(2)两次数学考试成绩散点图如图所示，
由散点图可以看出两个变量的对应点集中在一条直线的周围，具有正 相关关系．因此，这10名学生的两次数学考试成绩具有相关关系．
[答案] (1)A
[规律总结] 两个变量x与y相关关系的判断方法： (1)散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直 观地判断；如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那 么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响． (2)表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断； (3)经验法：借助积累的经验进行分析判断． [特别提醒] 如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，那么变量 之间就有相关关系．
④表示最接近 y 与 x 之间真实关系的一条直线．
A．①②
高中数学必修3第二章：统计2.3变量间的相关关系
Y 研考点·知规律
探究悟道 点拨技法
题型一 相关关系的判断 【例 1】 河北国欣农研会的科研人员在 7 块并排、形状大小 相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量 x 对产量 y 影响的 试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg)： 施化肥量 x 15 20 25 30 35 40 45 棉花产量 y 330 345 365 405 445 450 455
D 读教材·抓基础
回扣教材 扫除盲点
课本导读
1．两个变量的线性相关 (1)在散点图中，点散布在从 左下角 到 右上角的区域，对于 两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关． (2)在散点图中，点散布在从 左上角 到 右下角的区域，两个 变量的这种相关关系称为负相关． (3)如果散点图中点的分布在整体上看大致在一条直线附近 ， 就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
() (A)她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm (B)她儿子10岁时的身高在145.83 cm以上 (C)她儿子10岁时的身高在145.83 cm左右 (D)她儿子10岁时的身高在145.83 cm以下
2.经调查知,某品牌汽车的销售量y(辆)与广告费用x(万元)之 间的回归直线方程为 yˆ =250+4x,当广告费用为50万元时,预计 汽车销售量约为 ______辆.
2．回归方程 (1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的 距离的平方
和最小的方法叫最小二乘法．
(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，
^^ ^
y1)、(x2，y2)，…，(xn，yn)．其回归方程为y＝bx＋a，则
n
n
xi－ x yi－ y xiyi－n x y
高中数学必修三_2.3_变量间的相互关系
§2.3变量间的相关关系编者：1．经历用不同方法确定线性回归直线方程的过程，通过确定线性回归直线方程，知道最小二乘法的原理．学习重点：利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系。
学习难点：变量间的相关关系，利用散点图直观体会这种相关关系。
使用说明： （1）预习教材9184P P ，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成下列问题，总结规律方法；（2）用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容；预习案（20分钟）一．知识链接（1）客观事物是相互联系的,过去研究的大多数是因果关系,但实际上更多存在的是一种非因果关系.比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩,彼此是互相联系的,但不能认为数学是“因”,物理是“果”,或者反过来说.事实上数学和物理成绩都是“果”,而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度.所以说,函数关系存在着一种确定性关系,但还存在着另一种非确定性关系——相关关系.（2）某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系,随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：从表中我们能感觉到热茶的销量与气温之间存在着某种关系，它们之间的关系是什么呢？我们能否根据气温的变化预测热饮的杯数呢？为解决这个问题我们接着学习两个变量的线性相关——回归直线及其方程.组长评价： 教师评价：二．新知导学（1）作散点图的步骤和方法？（2）正、负相关的概念？（3）什么是线性相关？（4）看人体的脂肪百分比和年龄的散点图,当人的年龄增加时,体内脂肪含量到底是以什么方式增加的呢？（5）什么叫做回归直线？（6）如何求回归直线的方程？什么是最小二乘法？它有什么样的思想？探究案（30分钟）例1：我们来解决预习案中的问题，假如经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表如下：（1）画出散点图；（2）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；（3）求回归方程；（4）如果某天的气温是2 ℃，预测这天卖出的热饮杯数.解：（1）散点图如下图所示：例2：下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料.(1)请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系,如果不具有线性相关关系,说明理由；(2)如果具有线性相关关系,求出线性回归方程.（计算相应的数据之和：∑=81i ix=1 031，∑=81i iy=71.6,∑=812i ix=137 835，∑=81i ii yx =9 611.7）解：（1）在直角坐标系中画出数据的散点图,如下图.直观判断散点在一条直线附近,故具有线性相关关系．三．我的疑惑（把自己在使用过程中遇到的疑惑之处写在下面，先组内讨论尝试解决，能解决的划“√”，不能解决的划“×”）（1）（）（2）（）（3）（）（通过解决本节导学案的内容和疑惑点，归纳一下自己本节的收获，和大家交流一下，写下自己的所得）※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：15分钟 满分：30分）计分：1.下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ）A.角度和它的余弦值B.正方形边长和面积C.正ｎ边形的边数和它的内角和D.人的年龄和身高 2．三点(3,10),(7,20),(11,24)的线性回归方程是（ ） A.^y =5.75-1.75x B.^y =1.75+5.75x C.^y =1.75-5.75x D.^y =5.75+1.75x3．已知关于某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y （万元）,有如下统计资料：设y 对x 呈线性相关关系．试求：（1）线性回归方程a bx y +=∧的回归系数,a b ； （2）估计使用年限为10年时,维修费用是多少？A B C D（掌握两变量的相关性及回归直线方程）1．有关线性回归的说法中,下列不正确的是( )A.相关关系的两个变量不是因果关系B.散点图能直观地反映数据的相关程度C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系D.任一组数据都有回归方程2. 判断下图中的两个变量，具有线性相关关系的是（）3．已知两个变量x和y之间具有线性相关关系，5次试验的观测数据如下：经计算得回归方程abxy+=∧的系数b=0.575,则a等于（）A. 14.9B.13.9C. 12.9D. 14.94．线性回归直线方程abxy+=∧必过定点（）()()()()y x DyCxBA,.,0.0,.0,0.5.已知回归直线方程为：81.05.0-=∧xy，则20x=时，y的估计值为。
高中数学知识点：变量之间的相关关系
高中数学知识点：变量之间的相关关系变量与变量之间存在着两种关系：一种是函数关系，另一种是相关关系。
1．函数关系
函数关系是一种确定性关系，如y=kx+b，变量x取的每一个值，y 都有唯一确定的值和它相对应。
2．相关关系
变量间确定存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性
相关关系分为两种:
正相关和负相关
要点诠释：
对相关关系的理解应当注意以下几点：
（1）相关关系与函数关系不同.因为函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.因此，不能把相关关系等同于函数关系.
（2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系.然而，学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素——年龄.当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大.
（3）函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定的条件下
可以相互转化.例如正方形面积S与其边长x间虽然是一种确定性关系，但在每次测量边长时，由于测量误差等原因，其数值大小又表现出一种随机性.而对于具有线性关系的两个变量来说，当求得其回归直线后，我们又可以用一种确定性的关系对这两个变量间的关系进行估计.
3．散点图
将收集到的两个变量的统计数据分别作为横、纵坐标，在直角坐标系中描点，这样的图叫做散点图。
通过散点图可初步判断两个变量之间是否具有相关关系，她反映了各数据的密切程度。
人教版高二数学必修3知识点整理：变量间的相关关系
一、變數間的相關關係1.常見的兩變數之間的關係有兩類：一類是函數關係，另一類是相關關係;與函數關係不同，相關關係是一種非確定性關係.2.從散點圖上看，點分佈在從左下角到右上角的區域內，兩個變數的這種相關關係稱為正相關，點分佈在左上角到右下角的區域內，兩個變數的相關關係為負相關.二、兩個變數的線性相關1.從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致分佈在通過散點圖中心的一條直線附近，稱兩個變數之間具有線性相關關係，這條直線叫回歸直線.當r>0時，表明兩個變數正相關;當r<0時，表明兩個變數負相關.r的絕對值越接近於1，表明兩個變數的線性相關性越強.r的絕對值越接近於0時，表明兩個變數之間幾乎不存在線性相關關係.通常|r|大於0.75時，認為兩個變數有很強的線性相關性.三、解題方法1.相關關係的判斷方法一是利用散點圖直觀判斷，二是利用相關係數作出判斷.2.對於由散點圖作出相關性判斷時，若散點圖呈帶狀且區域較窄，說明兩個變數有一定的線性相關性，若呈曲線型也是有相關性.3.由相關係數r判斷時|r|越趨近於1相關性越強.【同步練習題】1.(2014•銀川模擬)為了解兒子身高與其父親身高的關係，隨機抽取5對父子的身高數據如下：父親身高x(cm)174176176176178；兒子身高y(cm)175175176177177，則y對x的線性回歸方程為()A.y^=x-1B.y^=x+1C.y^=88+12xD.y^=176解析：因為x=174+176+176+176+1785=176，y=175+175+176+177+1775=176，又y對x的線性回歸方程表示的直線恒過點(x，y)，所以將(176,176)代入A、B、C、D中檢驗知選C.答案：C2.(2014•衡陽聯考)已知x與y之間的一組數據：x0123ym35.57已求得關於y與x的線性回歸方程y^=2.1x+0.85，則m的值為()A.1B.0.85C.0.7D.0.5解析：回歸直線*樣本中心點(1.5，y)，故y=4，m+3+5.5+7=16，得m=0.5.答案：D3.有甲、乙兩個班級進行數學考試，按照大於等於85分為優秀，85分以下為非優秀統計成績，得到如下所示的列聯表：優秀非優秀總計甲班10b乙班c30總計105已知在全部105人中隨機抽取1人，成績優秀的概率為27，則下列說法正確的是()A.列聯表中c的值為30，b的值為35B.列聯表中c的值為15，b的值為50C.根據列聯表中的數據，若按95%的可靠性要求，能認為“成績與班級有關系”D.根據列聯表中的數據，若按95%的可靠性要求，不能認為“成績與班級有關系”解析：由題意知，成績優秀的學生數是30，成績非優秀的學生數是75，所以c=20，b=45，選項A、B錯誤.根據列聯表中的數據，得到K2=105×10×30-20×45255×50×30×75≈6.109>3.841，因此有95%的把握認為“成績與班級有關系”.答案：C4.在吸煙與患肺病這兩個分類變數的計算中，下列說法正確的是()①若K2的觀測值滿足K2≥6.635，我們有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系，那麼在100個吸煙的人中必有99人患有肺病;②從獨立性檢驗可知有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系時，我們說某人吸煙，那麼他有99%的可能患有肺病;③從統計量中得知有95%的把握認為吸煙與患肺病有關系，是指有5%的可能性使得推斷出現錯誤.A.①B.①③C.③D.②解析：①推斷在100人吸煙的人中必有99人患有肺病，說法錯誤，排除A，B;③正確.答案：C5.調查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)，調查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關關係，並由調查數據得到y對x的回歸直線方程：y^=0.254x+0.321.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加________萬元.解析：解法一：特殊值法.令x1=1得y^1=0.254+0.321.令x2=1+1=2得y^2=2×0.254+0.321.y^2-y^1=0.254.解法二：由y^1=0.254x1+0.321，y^2=0.254(x1+1)+0.321，則y^2-y^1=0.254. 答案：0.254。
高中数学必修三第二章《随机抽样》2.3.1变量之间的相关关系-2.3.2两个变量的线性相关
跟踪训练1 下表是某地的年降雨量与年平均气温的统计表，判断两者是 否具有相关关系，求线性回归方程有意义吗？ 解答
年平均气温(℃) 12.51 12.74 12.64 13.69 13.33 12.84 13.05 年降雨量(mm) 748 542 507 813 574 701 432
命题角度2 函数关系与相关关系的区别与联系 例2 下列关系中，是相关关系的是__②__④____. 答案 解析 ①正方形的边长与面积之间的关系； ②农作物的产量与施肥量之间的关系； ③人的身高与年龄之间的关系； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系.
命题角度1 判断两个变量的相关性 例1 为了研究质量对弹簧长度的影响，对6根相同的弹簧进行测量，所 得数据如下：
质量(g)
5
10
15
20
25
30
弹簧长度(cm) 7.25 8.12 8.95 9.90 10.90 11.80
判断它们是否有相关关系，若有，判断是正相关还是负相关. 解答
反思与感悟
在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手，对于散 点图，可以作出如下判断： (1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，那么就用该函数来描述变 量之间的关系，即变量之间具有函数关系； (2)如果所有的样本点都落在某一直线附近，那么变量之间就有线性相关 关系； (3)如果散点图中的点的分布几乎没有什么规律，那么这两个变量之间不 具有相关关系，即两个变量之间是相互独立的.
梳理 回归直线的方程
(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在 一条直附线近 ， 就 称 这两个变量之间具有 线性相关关系，这条直线叫做回归直线. (2)线性回归方程：对回应归的直方线程叫做回归直线的方程，简称回归方程.
人教版高中数学必修三第二章 2.3.1 变量之间的相关关系
探究：5个学生的数学和物理成绩如下表：
ABCDE 数学 80 75 70 65 60 物理 70 66 68 64 62
画出散点图，并判断它们是否有相关关系。
思考:
在学校里,老师经常对学生说:如果你的数学成 绩好,那么你的物理成绩就没有什么大问题.
这种说法有根据吗?
一. 两变量之间的关系 ①函数关系：当自变量取值一定时，因变量取值 由它唯一确定；
例:正方形面积S与其边长x之间的函数关系：S=x2
②相关关系：当自变量取值一定时，因变量的取 值带有一定的随机性；
解：
80
物理成绩
75
70
65
60
55
50
数学成绩
40
50
60
70
80
90
由散点图可见，两者之间具有相关关系。
1、下列关系属于负相关关系的是（ ） A. 父母的身高与子女的身高 B. 农作物产量与施肥的关系 C. 吸烟与健康的关系 D. 数学成绩与物理成绩的关系
2、下列图形中具有线性相关关系的是( )
⑷ 如果所有的样本点杂乱无章，几乎没有什么 规律，则这两个变量之间不具有相关关系。
总结:
变量间关系 散点图
函数关系 相关关系 线性无关
正相关与负相关
作 业： P94 习题 2.3 A组：1，2;
谢谢观看
例:一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系 。
③、相关关系与函数关系的异同点： 相同点：均是指两个变量的关系 不同点：函数关系是一种确定的关系；
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高二数学必修三知识点：变量间的相关关系
一、变量间的相关关系
1.常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系;与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系.
2.从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关.
二、两个变量的线性相关
1.从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线.
当r>0时，表明两个变量正相关;
当rr的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.
三、解题方法
1.相关关系的判断方法一是利用散点图直观判断，二是利用相关系数作出判断.
2.对于由散点图作出相关性判断时，若散点图呈带状且区域较窄，说明两个变量有一定的线性相关性，若呈曲线型也是有相关性.
3.由相关系数r判断时|r|越趋近于1相关性越强.
【同步练习题】
1.(2014银川模拟)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
父亲身高x(cm)174176176176178；儿子身高y(cm)175175176177177，则y对x的线性回归方程为( )
A.y–x-1
B.y–x+1
C.y–88+12x
D.y–176
解析：因为x=174+176+176+176+1785=176，
y=175+175+176+177+1775=176，
又y对x的线性回归方程表示的直线恒过点(x，y)，所以将(176,176)代入A、B、C、D中检验知选C.
答案：C
2.(2014衡阳联考)已知x与y之间的一组数据：
x0123
ym35.57
已求得关于y与x的线性回归方程y–2.1x+0.85，则m的值为( )
A.1
B.0.85
C.0.7
D.0.5
解析：回归直线*样本中心点(1.5，y)，故y=4，m+3+5.5+7=16，得m=0.5.
答案：D
3.有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：优秀非优秀总计
甲班10b
乙班c30
总计105
已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法正确的是
( )
A.列联表中c的值为30，b的值为35
B.列联表中c的值为15，b的值为50
C.根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”
D.根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”
解析：由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c=20，b=45，选项A、B错误.根据列联表中的数据，得到K2=105×10×30-20×45255×50×30×75≈6.109>3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”.
答案：C
4.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是( )
①若K2的观测值满足K2≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病;②从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病;③从统计量中得知有95%的把
握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误.
A.①
B.①③
C.③
D.②
解析：①推断在100人吸烟的人中必有99人患有肺病，说法错误，排除A，B;③正确.
答案：C
5.调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y–0.254x+0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元.
解析：解法一：特殊值法.
令x1=1得y =0.254+0.321.
令x2=1+1=2得y =2×0.254+0.321.
y -y =0.254.
解法二：由y =0.254x1+0.321，
y =0.254(x1+1)+0.321，则y -y =0.254.
答案：0.254。