高中数学必修四之知识讲解_平面向量的数量积_基础

平面向量的数量积【学习目标】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； 【要点梳理】要点一： 平面向量的数量积1. 平面向量数量积(内积)的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量cos a b θ叫a 与b 的数量积，记作a b ⋅，即有()cos 0a b a b θθπ⋅=≤≤.并规定0与任何向量的数量积为0.2.一向量在另一向量方向上的投影：cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 要点诠释：1. 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.(2)两个向量的数量积称为内积，写成a b ⋅；今后要学到两个向量的外积a b ⨯，而a b ⋅是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.(3)在实数中，若0a ≠，且0a b ⋅=，则0b =；但是在数量积中，若0a ≠，且0a b ⋅=，不能推出0b =.因为其中cos θ有可能为0.2. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ=0︒时投影为b ；当θ=180︒时投影为b -.要点二：平面向量数量积的几何意义数量积a b ⋅表示a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影cos b θ的乘积，这是a b ⋅的几何意义．图（1）（2）（3）所示分别是两向量,a b 夹角为锐角、钝角、直角时向量b 在向量a 方向上的投影的情形，其中1||cos OB b θ=，它的意义是，向量b 在向量a 方向上的投影是向量1OB 的数量，即11||aOB OB a =⋅．事实上，当θ为锐角时，由于cos 0θ>，所以10OB >；当θ为钝角时，由于cos 0θ<，所以10OB <；当090θ=时，由于cos 0θ=，所以10OB =，此时O 与1B 重合；当00θ=时，由于cos 1θ=，所以1||OB b =；当0180θ=时，由于cos 1θ=-，所以1||OB b =-．要点三：平面向量数量积的性质设a 与b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1.cos e a a e a θ⋅=⋅= 2.0a b a b ⊥⇔⋅=3.当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-. 特别的2a a a ⋅=或a a a =⋅4.cos a b a bθ⋅=5.a b a b ⋅≤要点四：向量数量积的运算律 1.交换律：a b b a ⋅=⋅2.数乘结合律：()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅3.分配律：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅要点诠释：1.已知实数a 、b 、c(b≠0)，则ab=bc ⇒a=c.但是a b b c ⋅=⋅⇒a c =；2.在实数中，有(a ⋅b)c=a(b ⋅c)，但是()()a b c a b c ⋅≠⋅显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.要点五：向量数量积的坐标表示1.已知两个非零向量11(,)a x y =，22(,)b x y =，1212a b x x y y ⋅=+2.设(,)a x y =，则222||a x y =+或2||a x =+3.如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么||(a x =-平面内两点间的距离公式).要点六：向量在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件1122//(0)(,)(,)a b a b b x y x y λλ→→→→→→⇔=≠⇔=(2)证明垂直问题，常用垂直的充要条件121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=(3)求夹角问题．由向量a ，b 数量积可知，若它们的夹角为θ，则||||cos a b a b θ⋅=， 利用2cos a b a bx θ⋅==⋅+(4)求线段的长度，可以利用2a a =或12(P P x =【典型例题】类型一：平面向量数量积的概念例1．已知a 、b 、c 是三个非零向量，则下列命题中正确的个数为（ ）①a ·b =±|a |·|b |⇔a ∥b ；②a 、b 反向⇔a ·b =－|a |·|b |；③a ⊥b ⇔|a +b |=|a －b |；④|a |=|b |⇔|a ·c |=|b ·c |．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】（1）∵a ·b =|a | |b|cos θ，∴由a ·b =±|a | |b |及a 、b 为非零向量可得cos θ=±1，∴θ=0或π，∴a ∥b ，且以上各步均可逆，故叙述①是正确的．（2）若a 、b 反向，则a 、b 的夹角为π，∴a ·b =|a | |b |cos π=―|a | |b |且以上各步均可逆，故叙述②是正确的．（3）当a ⊥b 时，将向量a 、b 的起点确定在同一点，则以向量a 、b 为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长相等，即有|a +b |=|a ―b |．反过来，若|a +b |=|a ―b |，则以a 、b 为邻边的四边形为矩形，∴a ⊥b ，故叙述③是正确的．（4）当|a |=|b |，但a 与c 的夹角和b 与c 的夹角不等时，就有|a ·c |≠|b ·c |，反过来的由|a ·c |=|b ·c |也推不出|a |=|b |．故叙述④是不正确的．综上所述，在四个叙述中，前3个是正确的，而第4个是不正确的．【总结升华】需对以上四个叙述逐一判断，依据有两条，一是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则．举一反三：【变式1】如果a ·b =a ·c ，且a ≠0，那么（ ）A ．b =cB ．b =λcC ．b ⊥cD ．b 、c 在a 方向上的投影相等 【答案】D类型二：平面向量数量积的运算例2．已知|a |=4，|b |=5，当（1）a ∥b ，（2）a ⊥b ，（3）a 与b 的夹角为30°时，分别求a 与b 的数量积．【思路点拨】 已知向量|a |与|b |，求a ·b ，只需确定其夹角θ． 【解析】（1）当a ∥b 时，有θ=0°和θ=180°两种可能．若a 与b 同向，则θ=0°，a ·b =|a | |b|cos0°=4×5×1=20；若a 与b 反向，则θ=180°，a ·b =|a | |b |cos180°=4×5×(―1)=―20． （2）当a ⊥b 时，θ=90°，a ·b =|a | |b |cos90°=0．（3）当a 与b 的夹角为30°时，a ·b =|a | |b |cos30°=4×5= 【总结升华】（1）在表示向量的数量积时，a 与b 之间必须用实心圆“·”来连接，而不能用“×”连接，也不能省略．（2）求平面向量数量积的步骤是：①求a 与b 的夹角θ，θ∈[0°，180°]．②分别求|a |和|b |．③求它们的数量积，即a ·b =|a | |b |·cos θ． 举一反三：【变式1】已知|a |=5，|b |=4，〈a ，b 〉=3π，求（a +b ）·a . 【答案】35 【解析】（a +b ）·a =2||||||cos3a a ab a a b π⋅+⋅=+=35例3．（1）若|a |=4，a ·b =6，求b 在a 方向上的投影；（2）已知|a |=6，e 为单位向量，当它们之间的夹角θ分别等于60°、90°、120°时，求出a 在e 方向上的正投影，并画图说明．【答案】（1）32（2）略 【解析】 （1）∵a ·b =|a | |b |cos θ=6，又|a |=4， ∴4|b |cos θ=6，∴3||cos 2b θ=． （2）a 在e 方向上的投影为|a |·cos θ．如上图所示，当θ=60°时，a 在e 方向上的正投影的数量为|a |·cos60°=3； 当θ=90°时，a 在e 方向上的投影的数量为|a |·cos90°=0； 当θ=120°时，a 在e 方向上的正投影的数量为|a |·cos120°=－3．【总结升华】 要注意a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影不是不同的． 类型三：平面向量模的问题例4．（2015春 甘肃临夏州期末）已知向量a ，b 的夹角为60°，且||2a =，||1b =， （1）求a b ⋅； （2）求||a b +．【答案】（1）1；（2）||7a b +=【解析】（1）1||||cos602112a b a b ⋅=︒=⨯⨯= （2）2222||()2a b a b a a b b +=+=+⋅+ =4+2×1+1=7 所以||7a b +=举一反三：【高清课堂：平面向量的数量积395485 例4】【变式1】已知||2,||5,3a b a b ==⋅=-，求||,||a b a b -+．【解析】222()2425635a b a ab b -=-+=++=，||35a b ∴-=同理，||23a b +=【变式2】（2016 广西钦州月考）设向量,a b 满足||||1a b ==及|32|7a b -=（1）求,a b 的夹角大小； （2）求|3|a b +的值．【答案】（1）3π；（2【解析】（1）设a 与b 夹角为θ， ∵向量,a b 满足||||1a b ==及|32|7a b -=，∴2294127a b a b +-⋅=， ∴9×1+4×1－12×1×1×cosθ=7， ∴1cos 2θ=． 又θ∈[0，π]，∴a 与b 夹角为3π． （2）∵22|3|9691a b a b a b +=++⋅=⨯+=．类型四：向量垂直（或夹角）问题例5．已知,a b 是两个非零向量，同时满足a b a b ==-，求a a b +与的夹角. 【思路点拨】利用2cos a b a bx θ⋅==⋅+求出两个向量的夹角．【解析】法一：将a b a b ==-两边平方得221122a b a b ⋅==， 2223a b a a b b a ∴+=+⋅+= 则2221()32cos 3a aa ab a a b a a b a a b a a+⋅++⋅====++⋅θ， 故a a b +与的夹角为30°. 法二： 数形结合法如图，,,a b a b -构成一个等边三角形，向量a b + 是向量a 与向量b 夹角的角平分线，所以向量a 与向量a b +所成的夹角为30°．【总结升华】注意两个向量夹角共起点，灵活应用两个向量夹角的两种求法. 举一反三：【变式1】（2015 山东高密市月考）已知||4a =，||3b =，(23)(2)61a b a b -⋅+=， （1）求a 与b 的夹角θ；（2）若(1,2)c =，且a c⊥，试求a ． 【答案】（1）θ=120°；（2）85()55a =-或(,)55-．【解析】（1）∵22(23)(2)443a b a b a a b b -⋅+=-⋅- 416443cos 3961θ=⨯-⨯⨯⨯-⨯=， ∴1cos 2θ=-， ∴θ=120°．（2）设(,)a x y =，则222420x y x y ⎧+=⎨+=⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以，85(55a =-或(55-． 例6．已知a 、b 都是非零向量，且a +3b 与7a ―5b 垂直，a ―4b 与7a ―2b 垂直．求a 与b 的夹角α．【思路点拨】由题意知，()()3750a b a b +⋅-=， ()()472a b a b -⋅-=0，解得|a |=|b |． 【解析】∵a +3b 与7a ―5b 垂直， ∴(a +3b )·(7a －5b )=0． ∵a ―4b 与7a ―2b 垂直， ∴(a ―4b )·(7a ―2b )=0．于是有2222716150 73080 a a b b a a b b ⎧+⋅-=⎪⎨⎪-⋅+=⎩①②由①－②得 2a ·b =b 2． ③ 将③代入①得 a 2=b 2， ∴|a |=|b |．∴22||1cos 2||||2||a b b a b b α⋅===． ∵0°≤α≤180°，∴α=60°．【总结升华】 正确理解和把握向量数量积性质的运用，以及向量夹角的范围，由2a ·b =b 2，不能得出2a =b ，同样由a 2=b 2，也不能得出a =b 或a =－b ．举一反三：【变式1】已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向a +b 与向量k a －b 垂直，则k=________．【答案】1【变式2】设非零向量,,,a b c d ，满足()()d a c b a b c =-，求证：a d ⊥ 【证明】[()()]()()()a d a a c b a b c a c a b a b c a =-=- ()()()()0a c a b a c a b =-=a d ∴⊥类型五：平面向量数量积的坐标表示及运算例7．已知向量a 与b 同向，b =（1，2），a ·b =10． （1）求向量a 的坐标；（2）若c =（2，－1）．求（b ·c ）·a ． 【解析】 （1）∵a 与b 同向，又b =（1，2）， ∴设a =λb ，则a =（λ，2λ）．又∵a ·b =10，∴1·λ+2·2λ=10，解得λ=2＞0． ∵λ=2符合a 与b 同向的条件，∴a =（2，4）． （2）∵b ·c =1×2+2×(－1)=0，∴（b ·c ）·a =0． 【总结升华】（1）注意本题由a 与b 共线且同向的设法及验证；（2）通过本题可以看出（b ·c ）·a =0，（a ·b ）·c =10×（2，―1）=（20，―10），显然（b ·c ）·a ≠（a ·b ）·c ，即向量运算结合律一般不成立．举一反三：【变式1】已知向量(3,1)a =-和(1,3)b =，若a ·c =b ·c 的向量c 的坐标． 【解析】 设c =（x ，y ），则(3,1)(,)a c x yy ⋅=-⋅=-，(1,3)(,)b c x y x ⋅=⋅=+，由a ·c =b ·c及||2c =，得222y xx y -=+=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 所以311,22c ⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭或311,22c ⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭．【总结升华】涉及向量数量积的坐标运算的问题，关键是熟练掌握数量积的坐标运算公式以及相关的模长公式和夹角公式，在这个过程中还要熟练运用方程的思想；值得注意的是，对于一些向量数量积坐标运算的问题，有时考虑其几何意义可使问题快速获解．例8．已知三个点A （2，1），B （3，2），D （―1，4）． （1）求证：AB ⊥AD ；（2）要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标以及矩形ABCD 两对角线所夹锐角的余弦值． 【思路点拨】（1）先用坐标把两条直线用向量表示来，然后利用向量数量积等于零证明．（2）利用向量相等求出C 点的坐标，利用2cos a b a bx θ⋅==⋅+求出两条对角线的夹角．【答案】（1）略（2）45【解析】（1）∵A （2，1），B （3，2），D （－1，4）， ∴(1,1)AB =，(3,3)AD =-． 又∵1(3)130AB AD ⋅=⨯-+⨯=， ∴AB AD ⊥，即AB ⊥AD ．（2）∵AB AD ⊥，四边形ABCD 为矩形，∴AB DC =． 设C 点坐标为（x ，y ），则由(1,1)AB =，(1,4)DC x y =+-，得1141x y +=⎧⎨-=⎩，即05x y =⎧⎨=⎩．∴C 点坐标为（0，5）．从而(2,4)AC =-，(4,2)BD =-，且||25AC =||25BD =．8816AC BD ⋅=+=，设AC 与BD 的夹角为θ，则164cos 205||||AC BD AC BD θ⋅===⋅，∴求得矩形的两条对角线所夹锐角的余弦值为45． 【总结升华】在求两向量夹角的余弦值时，要注意根据题意选取向量的方向． 举一反三：【变式1】已知a =（1，1），b =（0，―2）当k 为何值时， （1）k a ―b 与a +b 共线；（2）k a ―b 与a +b 的夹角为120°．【解析】∵a =（1，1），b =（0，―2），k a ―b =k （1，1）―（0，―2）=（k ，k+2）．a +b =（1，1）+（0，―2）=（1，―1）．（1）∵k a －b 与a +b 共线，∴k+2―(―k)=0．∴k=－1．（2）∵2||ka b k -=+2||1(a b +=+=，(k a ―b )·(a +b )=(k ，k+2)·(1，―1)=k ―k ―2=―2，而k a ―b 与a +b 的夹角为120°， ∴()()cos120||||ka b a b ka b a b -⋅+︒=-+，即12-=化简，整理得k 2+2k ―2=0，解之得1k =-±。