2019年北京市朝阳区二模试题数学【理科】试题及答案

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数

2018．5

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合{230}A x x =∈-≥R ，集合2{320}B x x x =∈-+

B =

（A ）32x x ⎧⎫≥

⎨⎬⎩⎭ （B ）322x x ⎧⎫

≤<⎨⎬⎩⎭

（C ）{}

12x x << （D ）322x

x ⎧⎫

<<⎨⎬⎩⎭

（2）如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是

（A ）33log log a b < （B ）1

1()()4

4

a

b

> （C ）

11

a b

< （D ）22a b < （3）执行如右图所示的程序框图．若输出的结果为2，则输入的正整

数a 的可能取值的集合是 （A ）{}1,2,3,4,5 （B ）{}1,2,3,4,5,6 （C ）{}2,3,4,5 （D ）{}2,3,4,5,6

（4）已知函数()π

()sin (0,0,)2

f x A x A ωϕωϕ=+>><的

部分图象如图所示，则ϕ=

（A ）π6

- （B ）6π

（C ）π

3

- （D ）π3

（5）已知命题p ：复数1i

i

z +=在复平面内所对应的点位于第四象限；命题q ：0x ∃>，cos x x =，则下列

（A ）()()p q ⌝∧⌝ （B ）()p q ⌝∧ （C ）()p q ∧⌝ （D ）p q ∧

π

3π122

-2

O y x

开始 i =0 结束

i =i +1

a >13

输出i 是

否

a =2a +3 输入a

（6）若双曲线2

2

2

1(0)y x b b

-

=>的一条渐近线与圆22

(2)1x y +-=至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是

（A ）(1,2] （B ）[2,)+∞ （C

） （D

）)+∞ （7）某工厂分别生产甲、乙两种产品1箱时所需要的煤、电以及获得的纯利润如下表所示．

若生产甲、乙两种产品可使用的煤不超过120吨，电不超过60千度，则可获得的最大纯利润和是 （A ）60万元 （B ）80万元 （C ）90万元 （D ）100万元

（8）如图放置的边长为1的正△PMN 沿边长为3的正方形ABCD 的各边内侧逆时针方向

滚动．当△PMN 沿正方形各边滚动一周后，回到初始位 置时，点P 的轨迹长度是 （A ）

83π （B ）163

π

（C ）4π （D ）5π

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．

（9）已知平面向量a ，b 满足1=a ，2=b ，a 与b 的夹角为60︒，则2+=a b ____． （10）5

(12)x -的展开式中3

x 项的系数为___．（用数字表示）

（11）如图，AB 为圆O 的直径，2AB =,过圆O 上一点M 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点C ，过点M

作MD AB ⊥于点D ，若D 是OB 中点，则AC BC ⋅=_____．

（12）由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是 ；表面积是 ．

（13）已知数列

{}n a 的前n 项和

为n S ，且满足

24()

n n S a n *=-∈N

A （第11题图）

2

侧视图

正视图

B

A

，则n a = ；

数列2{log }n a 的前n 项和为 ．

（14）若存在正实数M ，对于任意(1,)x ∈+∞，都有()f x M ≤，则称函数()f x 在(1,)+∞ 上是有界函数．下

列函数

①1()1f x x =

-； ②2()1x f x x =+； ③ln ()x f x x

=； ④()sin f x x x =， 其中“在(1,)+∞上是有界函数”的序号为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分）

在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3

A 2π

=

，3b =，△ABC

． （Ⅰ）求边a 的长； （Ⅱ）求cos2B 的值．

（16）（本小题满分13分）

某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，

[)90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计

从全市高中学生中任意选取一人，其参 加社区服务时间不少于90小时的概率；

（Ⅱ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．

（17）（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为PA ，

BD 中点，2PA PD AD ===．

（Ⅰ）求证：EF ∥平面PBC ； （Ⅱ）求二面角E DF A --的余弦值； （Ⅲ）在棱PC 上是否存在一点G ，使

服务时间/小时

O C

D

P E