沪教版(上海)数学八年级第二学期-22.8 (1)平面向量的加法 课件
三个向量相加
由向量加法的交换律和结合律，可知三 个向量相加，运算时可先将其中任意两
个 向向量量相相加加，，三所个得 向的 量和a向、b量 、再c与相第加三，个
可表示为 a b c 。
巩固练习，课堂反馈
1、选择题： 下列关于零向量的说法正确的是
（） （A）零向量没有长度； （B）零向量没有方向； （C）零向量平行于任何向量； （D）零向量不平行于任何向量。
提出问题
长度、面积、体积这些量，在确定 度量单位以后，它们只有大小，可以用 一个数来表示。这些量中的同一类量， 都可以进行加减运算，实际上也就是实 数的加减运算。而向量不仅有大小，还 有方向，两个向量可以相加吗？
创设情境
小明从A地出发，向东行走5千米 到达B地，再向北又走了5千米到达C 地，那么小明这时在A地的什么方向 上？到A AC
CB BA CA
AB BC CA 0 BC AB CA 0
AB BC BA BC
2、如图，已知平行四边形ABCD，在图中作出下列两个 向量的和向量：
（1）AB+BD AB+CA
（2）CA+BD
∴a+b=AB+BC=AC
∴AD＝BC
得AD∥BC、AD＝BC
∴四边形ABCD是平行四边形
D C
分层作业，课外延伸
必做题：练习册22.8（1） 选做题：已知，如图，四边形ABCD是
平行四边形，点E、F在对角线BD所在 的直线上，BE=DF。 求证：四边形AECF是平行四边形。
1、求不平行的两个向量的和向量
如图，已知向量 量的和向量
a
b
，怎样求这两个向
B bC
a
A.
a+b
作法：[1]在平面内任取一点A，作AB= a
[2]过B作 BC= b
[3]则向量AC=a ＋ b。
2、求平行的两个向量的和向量
试一试：已知向量 a 、b ,求: a + b
平行向量
. (1) a b
同向
.
A
B
C
(2) a
b.
反向
.
C
A
B
例题巩固，寻找规律
例题1 如右图，已知 a与b ， 求作： （1） a＋b ; （2） b＋a ．
b
a
a
a
b
b
Bb
a+b=AB+BC=AC
C
a
a
A
b
D
b+a=AD+DC=AC
a+b=b+a
向量的加法满足交换律．
例题巩固，寻找规律
、例题2 如右图，已知向量，求 作：(a b) c ； a (b c)
a+b C A
a
b
B A
C b aB
c D
a
b
AB
C
a
C
bA
B
已知：四边形ABCD中，AC与BD交与点O， AO＝OC，BO＝OD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：作向量AO、OC、BO、OD
A
∵AO＝OC、BO＝OD
又 AO与OC同向、BO与OD同向
O
∴AO＝OC、BO＝OD
B
∵AO＋OD=AD, BO+OC＝BC
沪教版(上海)数学八年级第二学期-22章小结 《平面向量及其加减运算复习》 教案
课题：《平面向量及其加减运算复习》教学目标:1．在理解向量相关概念的基础上，进一步掌握相等向量、相反向量、平行向量的概念；2．熟练掌握平面向量加法、减法的三角形法则，多个向量相加的多边形法则，加法的平行四边形法则；并能熟练用画图的方法求和向量和差向量；3.能运用向量的方法解决某些简单的几何问题，体会“数形结合”思想.核心素养：通过复习培养学生分析问题、解决问题的能力教学重点:进一步掌握平面向量相加减的作图方法，并会熟练应用教学难点：熟练应用向量相加减的法则解决较复杂问题教学环节教学过程设计意图一、复习知识点一、向量相关概念的复习1、课前练习练习1：如图,D、E、F顺次是等边△ABC的边AB,BC,AC的中点，则在A、B、C、D、E、F六个点中任意两点为起点和终点的向量中（1）写出与DE相等的向量；（2）写出与DF互为相反向量的向量；（3）写出与DF平行的向量；（4）与DE模相等的向量有多少个？（5）若2,AB=则DE=；=+CEBE .2、回顾向量的相关概念：通过课前练习来复习归纳平面向量的有关概念，并突出需要注意的知识点。
练习巩固（3）()BDACCDAB---4.复习向量加法的交换律和结合律5.练习5.如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD边上的中点，记bADaDE==,用含ba,的式子表示BEEA,6.练习6：如图，已知四边形AECF是平行四边形，E、F在BD上，并且BE=FD，求证:四边形ABCD是平行四边形.提问：除了用几何证明方法解决外，能否用向量的方法来证明?向量加、减法法则和运算律化简算式建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题，强化“数形结合思想”二、课堂小结1.本节课复习了平面向量的哪些内容？2.通过这节课的学习，谈谈你对每一题的收获和疑惑？通过对所学知识的小结，培养学生的概括，总结能力，同时可以对本节课知识梳理。
一、必做题：1.练习册：P62 第13 题及P63 第3题2.判断：EABEFCD三、布置作业（1）平行向量的方向一定相同。
沪教版(上海)数学八年级第二学期-22.8 平面向量的加法 教案
课题名称: §22.8 平面向量的加法执教教师:授课班级：学科：数学课堂对话：课堂对话是教师教与学生学之间的重要媒介，课堂中有效的对话是促进课堂效率的有力手段。
在日常的课堂中，师生的课堂对话主要以教师为主，教师的教学语言远远超过学生的语言，学生处于较为被动的状态，而关注课堂对话首先应该关注师生的互动比重，应该以学生为主导，把更多的话语权交给学生，引导学生更多的参与课堂对话以及思考，更多倾听学生的回应。
其次课堂对话结构多以“教师提问”“学生回答”的一对一模式进行，师生互动，生生互动则较少，缺乏有效的对话，应注重多种课堂对话，调动更多学生的参与。
最后，教师的提问方式也是课堂对话的重点，生成性、开放性的问题则能够更多的调动起学生的参与，有助于提升课堂效率。
提升课堂对话水平，是课堂从“教师主导课堂”走向“师生对话课堂”，从“被动学习”到“主动探索”的重要手段。
教材分析：本章节是有关平面向量加法的内容，以直观认识、操作体验、能算会画作为要求。
课堂例题从实际生活出发，依托生活经验，为学生理解做好铺垫。
本节课程作为向量运算的第一节课时，其重点在于让学生对于向量的运算有较为直观的认识和对向量加法的操作体验。
通过向量的加法让学生进一步明白数量与向量的根本性区别，也为学生进一步学习数学和物理打下基础。
学情分析：本班学生共有35人。
其中个别学生为较优秀学生，对于新知识的理解和领悟能力较强，对于新知识的探索较为积极，对于平行向量相关的知识有一定的认知，对平行向量的相关概念较为熟悉，且能够较为熟练的完成向量的作图。
其中一半同学为中等生，对于新知识的理解和领悟能力较薄弱，学习较为被动，对于平面向量的概念有一定认识，在平面向量的学习中需要老师去引起他们的注意和兴趣。
最后部分学生为后进生，在认知方面和理解方面较为缓慢，对于学习的兴趣较为缺乏，需要老师营造较为活跃的课堂气氛，使这部分学生也能融入其中参与学习。
教学目标：1、通过从实际问题出发，经历引进向量加法的过程，初步掌握向量加法的三角形法则，会用作图的方法求两个向量的和向量.2、知道零向量的特征，会写零向量的表示.3、通过对向量加法法则的验证，知道向量的加法满足交换律和结合律，会利用它们进行向量运算.教学重点难点：重点：向量加法的三角形法则.难点：向量加法的中“合”的理解.教学过程：一、引入问题1：向量和“长度、面积、体积”等数量的区别是什么？练习1：如图，四边形ABCD为平行四边形.（1）图中与相等的向量，与相反的向量.（2）图中与BC平行的向量.问题2：平面向量的运算是否也类似于数与式的运算，是否也遵循类似的运算法则规律？二、新授问题1：我校在今日组织了一次定向越野活动，其中第一小组从起点O出发到达A点，再从A点出发到达B点.第二小组从起点O出发直接到达B点.问：从O点到A点如何用向量表示？从A点到B点如何用向量表示？问：两个向量的起点和终点各是什么？问：从O地到B地还可以怎样移动？师：从O地到A地，从A地到B地的两次的位置移动与从O地到B地的一次位置移动结果相同，那么在平面向量中，我们把定义为与的和向量. 表示为：+=问：当两个向量做加法时，它们的位置摆放有什么特点？问：这两个向量的和向量的位置摆放有什么特点？平面向量加法的三角形法则：1、首尾相接（第一个向量、第二个向量）2、第一个向量的起点为起点第二个向量的终点为终点（和向量）练习1 已知向量→a和→b，求作→a+→b，→b+→a问：两个向量是否首尾相接？如何使两个向量首尾相接？问：平移前后的向量有什么联系？作图步骤：1、平面上取点O2、作a OA =，b AB =3、以点O 为起点，B 为终点画有向线段OB操作：模仿老师的作图步骤，完成→→+a b 的和向量.问：如果以A 为起点，→→+a b 的和向量如何表示？问：向量OB 和向量AD 的是什么关系？ 加法交换律：→→+b a =→→+a b练习2 若c b a ∥∥，求作b a +，c a +师：对于平行向量，我们仍旧使用三角形法则求和向量.问：作图的步骤是怎么样的？问：第一个向量的终点和第二个向量的起点是哪个点？问：和向量的起点和终点是哪两个点？问题：如果和是相反的向量，那么和向量的起点和终点是什么样的位置关系？问：向量的大小是多少？向量的方向？师：我们把长度为零，方向为任意方向（不确定）的向量称为零向量 可记做：)(=-+任意向量都有：=+；=+练习3 完成下列填空=+BC AB )1( __________)4(+=BC=+CD AC )2( =++→→BC AB OA ))(5(=+OC BO )3( =++→)()6(BC AB OA问：首尾相接的两个向量，第一个向量和第二个向量的字母表示有什么特征？ 问：和向量的字母表示有什么特征？问：问题（5）（6）的结果是什么关系？类比加法的结合律可以得出什么结论？ 向量加法的结合律：)()(→→→→→→++=++c b a c b a思考：多个向量相加遵循什么样的规律呢？三、小结这节课我们学习了什么？谈谈你的收获和感想.四、课后作业1、练习册22.8（1）对应内容思考：向量的减法是否也可以使用三角形法则？为什么？。
沪教课标版八年级下册数学：22.8 平面向量的加法
a b
c
C
b aB
c D
A
(a+b)+c=(AB+BC)+CD= AC+CD =AD
a+(b+c)=AB+(BC+CD)= AB+BD =AD
∴ (a+b)+c=a+(b+c)
向量的加法满足结合律
巩固练习1：
(1) (2) (3) (4) (5)
巩固练习2： 如图，已知平行四边形ABCD，对角线 AC,BD相交于点O,求：
例1：如图，已知向量 a 与 b ，
求作: b+a
向量的加法满足
b
交换律：a+b=b+a
a
B
B
a
C
b b
O
A
a
O
则：a + b = OB
A
则：b + a = AC
例2、已知向量a 、b 、c ， 求作：（1） (a+b)+c （2）a+(b+c)
a
c
b
例2、已知向量a 、b 、c ， 求作：（1） (a+b)+c （2） a+(b+c)
（1） AB BD ____
AB CA ______
（2） AB AD __________
(3) AD CO __________
巩固练习3：
如图，已知平行四边形ABCD，对角线AC,BD相交
于点O, 在图中作出
F
E
A
D
B C
∴ CA+BD =CE=BF
作业
基础练习：练习册 22.8（1） 拓展练习：已知：四边形ABCD，AC与 BD交与点O，AO＝OC，BO＝OD． 求证：四边形ABCD是平行四边形．
沪教版(上海)数学八年级第二学期-22.8 平面向量的加法(一) 课件
北 东
20 2 海里
北 东
A 20海里
C
20海里
B
C
A
B
向量AB和 BC合在一起是向量AC，这时AC称为向 量AB和BC的和向量
表示为 ： AB + BC = AC
求两个向量的和的运算叫做向量的加法
已知向量 a 和b ，如何求两个向量的和？
AB + BC = AC
当两个位置向量首尾相接时，它们的 和向量就是“首尾相接首尾连”
C G
E
F
A
B
EF + FG =EG
当两个位置向量不是首尾相接时
a 和 b 不平行时，
三角形法则
a
b
a+b
B
O
Ab
①任取一点，平移第一个向量
②以第一个向量的终点为起点，平移第二个向量
③首尾相接首尾连，画出它们的和向量
a∥ b 时 a bab来自OAB
a + b = OA+ AB= OB
首尾相接首尾连
当 a 和b 互为相反量时，作 OA= a AB= b ，这时点B和点O的位置关系 怎样？这时，a，b 的和是什么？
零向量 一般地，我们把长度为零的向量叫做零向量 记作 0 规定：零向量的方向是可以任意的
|0 | =0
a + (- a )=0 a +0=a 0+ a = a 可类比数字“0”的特征进行记忆
八年级第二学期数学
22.8 平面向量的加法(一)
1.什么是向量？
2. 什么是相等向量？相反向量？平行向量？
3. 如图：梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC 上，DE∥AB。如果把图中线段都画成有向线 段，那么在这些有向线段表示的向量中，指出：
22.8平面向量的加法课件
结果是____A_C____
A 上海
AB+BC = AC
和向量
台北 C B 香港
平面向量的加法
定义：求两个向量的和向量的运算，叫做向量的加法 ．
向量加法的三角形法则
a b
a+b
C
A.
a
b
B
∴a+b=AB+BC=AC
试一试：已知向量 a 、b ,求: a + b
. (1) a b行向量
同向
B
∵AO＋OD=AD, BO+OC＝BC
∴AD＝BC
得AD∥BC、AD＝BC
∴四边形ABCD是平行四边形
D C
（2）CA+BD
E
A
D
A
D
B
C
∴ AB+BD =AD ∴ AB+CA
= CA+AB =CB
B
C
∴ CA+BD =CE
3．填空： （1）AB+BC+CA=___A_C__+_C_A___=_0______
（2）AB+BC+BA=__A_C_+_B__A_=_B__A_+_A__C__=_BC
（3）CB+AD+BA=__C_D_______________
∴a+b=AB+BC=AC
a+b C A
a
b
B A
C b aB
c D
a
b
AB
C
a
C
bA
B
已知：四边形ABCD中，AC与BD交与点O， AO＝OC，BO＝OD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
沪教版(上海)数学八年级第二学期-22.7 平面向量 课件
B●
2、有向线段AB 和 BA 一样吗？ 终点
3、有向线段BC可表示为___B_C___
B●
●C
10cm
有向线段有__起_点___、__方__向__、__长__度__三个要素。
看图回答问题： 1、请用语句表示点A关于点O 的相对位置。
OA
60°
5cm
O●
答：点A在点O的 北偏东60°方 向，相距5cm
内容小结：
1、规定了方向的线段叫做有向线段，有向线段有起点、 方向，长度三个要素。
2、既有大小，又有方向的量叫做向量。“两个 点的相对位置差”、“平移”都是向量。 3、向量可以用有向线段表示，有向线段的长度就表示向 量的长度，有向线段的方向就表示向量的方向
4、相等向量，相反向量，平行向量的概念
思考：
● A 用“方向”和“距离大小”来描 述两个点的相对位置，所表达的 意义是这两个点的“相对位置差”
2、能否用有向线段表示点A关 于点O的相对位置差，为什么？
A
3、△ABC向南偏东30°方向平移
4cm，到△A’B’C’处，能否用有向
B
线段描述这个平移？为什么？
AA’
BB’
C
CC’ ′
′
′
上面对于“两个点的相对位置差”和“平移”的都要用 “大小”和“方向”描述，在物理中_力_、__速__度_、__位_移__等__ 要用“大小”和“方向”描述
沪教版(上海)数学八年级第二学期-22.7 平面向量 课件
§22.7 平面向量
生活中的问题:
一位来上海观光的游客要去外滩黄浦公园， 但在西藏路上迷路了，分别向小张和小王问 路。小张说：“离这儿不是很远，大概走 2000米多一点。”小王说：“从这里向南走 大约200米到第一百货公司，再向东走2000 米就到黄浦公园了。”如果你是那位游客， 你能从谁的回答中找到黄浦公园？为什么？
● A 用“方向”和“距离大小”来描 述两个点的相对位置，所表达的 意义是这两个点的“相对位置差”
2、能否用有向
3、△ABC向南偏东30°方向平移
4cm，到△A’B’C’处，能否用有向
B
线段描述这个平移？为什么？
AA’
BB’
C
CC’ ′
′
′
上面对于“两个点的相对位置差”和“平移”的都要用 “大小”和“方向”描述，在物理中_力_、__速__度_、__位_移__等__ 要用“大小”和“方向”描述
D
C
H
G
A
B
E
F
⑴ 用符号表示各个向量
答：向量 AB BC DC DA 向量 EF FG HG EH
⑵ 每个四边形的对边上的两个向量，它们的方向是 相同还是相反？它们的长度是否相等？
D
C
H
G
A
B
E
F
方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量 记向作量DDCC=和ABAB 方向相同，长度相等
向量 DA 和 BC 方向相反，长度相等 方记方向向向作向量量相相DHEA反同HG=且或和和-长相BCFE度反GF相的方 方等两向向的个相既两向同不个量，相向叫长同量做度也叫平不不做行相相互向等反为量，相长反度的不向相量等
既有大小,又有方向的量叫做向量。
沪教版(上海)数学八年级第二学期-22.8 平面向量的加法 教案
22.8平面向量的加法（第1课时）教学任务教学目标：1.经历引进向量加法的过程,初步掌握向量加法的三角形法则,会用作图的方法求两个向量的和向量；2.知道零向量的意义及特性;知道向量加法满足交换律与结合律，会利用它们进行向量运算；3.通过向量加法与实数加法的类比，发展数学观念，领会类比、化归的数学思想方法及从一般到特殊的思维策略。
教学重点: 掌握向量加法的三角形法则,会用作图的方法求两个向量的和向量。
教学难点： 向量加法的三角形法则及其几何意义。
教学准备教具 多媒体课件、直尺、工作单教学过程设计问题与情境师生行为设计意图活动1创设情境、提出问题 1. 通过实例让学生感知实数是可以进行加法运算的，那么平面向量可不可以相加呢？板书课题：平面向量的加法课件演示过程。
（问题的背景） 奥运火炬在国内某市传递过程中，若火炬手先从指定位置A 向东行进 100米到达指定位置B ，再由指定位置B 向北行进100米到达指定位置C 。
①观察这时火距手在A 的什么方向上？到A 的距离又是多少？感知实数的加法与向量加法的不同。
帮助学生理解和向量的含义，为向量加法的三角形法则提供感知和理解的基础。
东 北 CBA问题与情境师生行为设计意图活动2研究讨论、得出新知1．在第①题中，通过问题的设计让学生明确火距手的运动过程与方向和距离有关，不同于通常的行程问题；2．通过课件演示，可以直观地显示C相对于A的位置；3．给出向量加法的定义：求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法．4．介绍平面向量加法的三角形法则。
5．首尾相接的向量的和向量是很容易确定的，但平面中有很多向量不是首尾相接的，那么如何来确定它们的和向量呢？让学生通过作图观察来总结归纳向量的加法满足交换律。
教师在课件上演示一遍。
向量加法的交换律：ba+=ab+向量的加法运算和实数的加法运算都满足交换律，我们还知道实数的加法运算还满足结合律，那么向量的加法运算是否也满足结合律呢。
沪教版(初中二年级)八年级数学第二学期试用本：平面向量的加法_课件1
B
b
A
o·
a
OB a b
求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量 与第一个向量首尾相接，那么，以第一个向量的起点为起 点，第二个向量的终点为终点的向量就是和向量．这样的 规定叫做向量加法的三角形法则 。
1、已知向量 a 与 b ，a ∥ b ， 求 a ＋ b 。
a b a b b a
小明从A地出发向东行走5千米到达B地，再 向北又走了5千米到达C地，那么小明这时在A地 的什么方向上？到A地的距离是多少？
北 东
5 2千米
C
北
5千米
A
东
5千米
B
称 AC 为 AB 与 BC 的和向量
定义：求两个向量的和向量的运算，叫做 向量的加法
1、如图：已知向量 a 与 b ，求 a ＋ b 。
A
o·
a
A
B
b
B
o·
OB a b
OB a b
1、已知向量 a 与 b ，a ∥ b ， 求 a ＋ b 。
a a b b b a
o·
B
OB a b
ab 0
口答：请说出下列各图中的和向量，并用式子表 示。
C B
a
b
A
c
AC CB AB
ac b
如图，已知平行四边形ABCD，在图中作出下 列两个向量的和向量。 （1） AB BD
A D
（ 2）
A
AB AD
D
.
B
C
B
C
这节课你有何收获和体会？
如图，已知平行四边形ABCD，在图中作出下 列两个向量的和向量。
平面向量的加法PPT课件
力的合成与分解
通过向量加法，可以计算多个力的合 力或分力，从而解决与力相关的物理 问题。
速度和加速度的合成
在运动学中，向量加法用于计算物体 在多个方向上的速度和加速度，以解 决运动问题。
解决数学问题
向量模的计算
向量加法可以用于计算向量的模，即向量的 长度或大小。
02 向量加法的坐标表示
坐标表示的定义
总结词
坐标表示是平面向量加法中的一种重要方法，通过坐标系将向量表示为坐标形式 ，进而进行向量的加法运算。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量$overrightarrow{AB}$可以表示为从原点$O$ 到点$B$的有向线段，记作$(x_2-x_1, y_2-y_1)$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$ 分别是点$A$和点$B$的坐标。
结合律
总结词
向量加法的结合律是指向量的加法满足 结合性，即改变向量的加法括号，结果 不变。
VS
详细描述
结合律也是向量加法的基本性质之一，表 示向量加法不依赖于括号的组合方式。设 $vec{A}$、$vec{B}$和$vec{C}$为任意 三个向量，则有$(vec{A} + vec{B}) + vec{C} = vec{A} + (vec{B} + vec{C})$。
坐标表示的几何意义
总结词
坐标表示不仅将向量数量化，还揭示了向量的方向和大小。
详细描述
在坐标系中，向量的坐标表示形式不仅包含了向量的长度信 息（即模长），还包含了向量的方向信息。例如，向量$(3, 4)$和$(-3, -4)$的模长相等，但方向相反。
坐标表示的性质