BlackScholes期权定价模型(2)
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
标准布朗运动（维纳过程 ）
起源于物理学中对完全浸没于液体或气体中，处于大量微小 分子撞击下的的小粒子运动的描述。
设Δt代表一个小的时间间隔长度，Δz代表变量z在Δt时间 内的变化，遵循标准布朗运动的Δz具有两种特征：
特征1： z t
其中，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分 布）中取的一个随机值。
其中，dGz遵(循Gx a一 个Gt 标 12准2xG布2 b朗2)dt运 动Gx 。bdz由于a 和b都是x和t的函 数，因此函数G也遵循伊藤过程，它的漂移率为
方差率为
( G )2 b2 x
G x
a
G t
1 2
wenku.baidu.com
2G x2
b2
2020/10/7
8
证券价格的变化过程
目的：找到一个合适的随机过程表达式，来尽量准确 地描述证券价格的变动过程，同时尽量实现数学处理 上的简单性。
=T，标准差为 T 。
为何定义为：
z t而非z t
当我们需要考察任意时间长度间隔中的变量变化的情况时，独立的
正态分布，期望值和方差具有可加性，而标准差不具有可加性。这 样定义可以使方差与时间长度成比例，不受时间划分方法的影响。
相应的一个结果就是：标准差的单位变为 年
连续时间的标准布朗运动：
普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂 移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们就得到
dx a(x,t)dt b(x,t)dz
其中，z遵循一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数， 变量x的漂移率为a，方差率为b2都随时间变化。这就是伊藤 过程。
Ito引理
若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程：
基本假设：证券价格所遵循的随机过程：
dS Sdt Sdz或 dS dt dz
S
其中，S表示证券价格，μ表示证券在单位时间内以连续复利 表示的期望收益率（又称预期收益率），σ2 表示证券收益 率单位时间的方差，σ表示证券收益率单位时间的标准差， 简称证券价格的波动率（Volatility），z遵循标准布朗运动。 一般μ和σ的单位都是年。
很显然，这是一个漂移率为μS、方差率为σ2S2的伊藤过程。 也被称为几何布朗运动
2020/10/7
9
为什么证券价格可以用几何布朗运动 表示？
一般认同的“弱式效率市场假说”：
证券价格的变动历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的信 息。
马尔可夫过程：只有变量的当前值才与未来的预测有关，变量过去 的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。
求解这一方程，就得到了期权价格的解析解。
2020/10/7
2
为什么要研究证券价格所遵循的随机 过程?
期权是衍生工具，使用的是相对定价法，即相 对于证券价格的价格，因此要为期权定价首先 必须研究证券价格。
期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的 资产价格与合约执行价格之间的预期差异变化， 在现实中，资产价格总是随机变化的。需要了 解其所遵循的随机过程。
几何布朗运动的随机项来源于维纳过程dz，具有马尔可夫性质， 符合弱式假说。
投资者感兴趣的不是股票价格S，而是独立于价格的收益率。投资 者不是期望股票价格以一定的绝对价格增长，而是期望股票价格 以一定的增长率在增长。因此需要用百分比收益率代替绝对的股 票价格。
在股票价格遵循的随机过程和衍生证券价格遵循的随机过程中， Black-Scholes发现，由于它们都只受到同一种不确定性的影响，如 果通过买入和卖空一定数量的衍生证券和标的证券，建立一定的 组合，可以消除这个不确定性，从而使整个组合只获得无风险利 率。从而得到一个重要的方程： Black-Scholes微分方程。
特征2：对于任何两个不同时间间隔Δt ，Δz的值相互独立。
特征的理解
特征1： z N 0, t ;方差为t。
特征2: 马尔可夫过程：只有变量的当前值才与未来的预测有关， 变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测 无关。标准布朗运动符合马尔可夫过程，因此是马尔可夫过程 的一种特殊形式。
当Δt 0时，我们就可以得到极限的标准布朗运动 dz dt
2020/10/7
6
普通布朗运动
变量x遵循普通布朗运动： dx adt bdz
其中，a和b均为常数，z遵循标准布朗运动。 这里的a为漂移率（Drift Rate），是指单位时间内变量x均值
的变化值。
这里的b2为方差率（Variance Rate），是指单位时间的方差。 这个过程指出变量x关于时间和dz的动态过程。其中第一项
研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解 在特定时刻，变量取值的概率分布情况。
2020/10/7
3
随机过程
随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式 随时间变化的过程。
随机过程的分类
离散时间、离散变量 离散时间、连续变量 连续时间、离散变量 连续时间、连续变量
2020/10/7
4
几种随机过程
adt为确定项，它意味着x的期望漂移率是每单位时间为a。 第二项bdz是随机项，它表明对x的动态过程添加的噪音。这 种噪音是由维纳过程的b倍给出的。
可以发现，任意时间长度后，x值的变化都具有正态 分布特征，其均值为aT，标准差为 ,方差为b2T.
bT
2020/10/7
7
Ito过程和Ito引理
伊藤过程（Ito Process）：
Black-Scholes期权定价模型
2020/10/7
1
Black-Scholes期权定价模型的基本思路
期权是标的资产的衍生工具，其价格波动的来源就是标的资产价 格的变化，期权价格受到标的资产价格的影响。
标的资产价格的变化过程是一个随机过程。因此，期权价格变化 也是一个相应的随机过程。
金融学家发现，股票价格的变化可以用Ito过程来描述。而数学家 Ito发现的Ito引理可以从股票价格的Ito过程推导出衍生证券价格所 遵循的随机过程。
2020/10/7
5
标准布朗运动（续）
考察变量z在一段较长时间T中的变化情形：
z（T）－z(0)表示变量z在T中的变化量
又可被看作是在N个长度为Δt的小时间间隔中z的变化总量，其中
N=T/ Δt 。
N
很显然，这是n个相互独立的正态分布的和：z(T ) z(0) i t
i 1
因此，z（T）-z（0）也具有正态分布特征，其均值为0，方差为N Δt
起源于物理学中对完全浸没于液体或气体中，处于大量微小 分子撞击下的的小粒子运动的描述。
设Δt代表一个小的时间间隔长度，Δz代表变量z在Δt时间 内的变化，遵循标准布朗运动的Δz具有两种特征：
特征1： z t
其中，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分 布）中取的一个随机值。
其中，dGz遵(循Gx a一 个Gt 标 12准2xG布2 b朗2)dt运 动Gx 。bdz由于a 和b都是x和t的函 数，因此函数G也遵循伊藤过程，它的漂移率为
方差率为
( G )2 b2 x
G x
a
G t
1 2
wenku.baidu.com
2G x2
b2
2020/10/7
8
证券价格的变化过程
目的：找到一个合适的随机过程表达式，来尽量准确 地描述证券价格的变动过程，同时尽量实现数学处理 上的简单性。
=T，标准差为 T 。
为何定义为：
z t而非z t
当我们需要考察任意时间长度间隔中的变量变化的情况时，独立的
正态分布，期望值和方差具有可加性，而标准差不具有可加性。这 样定义可以使方差与时间长度成比例，不受时间划分方法的影响。
相应的一个结果就是：标准差的单位变为 年
连续时间的标准布朗运动：
普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂 移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们就得到
dx a(x,t)dt b(x,t)dz
其中，z遵循一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数， 变量x的漂移率为a，方差率为b2都随时间变化。这就是伊藤 过程。
Ito引理
若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程：
基本假设：证券价格所遵循的随机过程：
dS Sdt Sdz或 dS dt dz
S
其中，S表示证券价格，μ表示证券在单位时间内以连续复利 表示的期望收益率（又称预期收益率），σ2 表示证券收益 率单位时间的方差，σ表示证券收益率单位时间的标准差， 简称证券价格的波动率（Volatility），z遵循标准布朗运动。 一般μ和σ的单位都是年。
很显然，这是一个漂移率为μS、方差率为σ2S2的伊藤过程。 也被称为几何布朗运动
2020/10/7
9
为什么证券价格可以用几何布朗运动 表示？
一般认同的“弱式效率市场假说”：
证券价格的变动历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的信 息。
马尔可夫过程：只有变量的当前值才与未来的预测有关，变量过去 的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。
求解这一方程，就得到了期权价格的解析解。
2020/10/7
2
为什么要研究证券价格所遵循的随机 过程?
期权是衍生工具，使用的是相对定价法，即相 对于证券价格的价格，因此要为期权定价首先 必须研究证券价格。
期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的 资产价格与合约执行价格之间的预期差异变化， 在现实中，资产价格总是随机变化的。需要了 解其所遵循的随机过程。
几何布朗运动的随机项来源于维纳过程dz，具有马尔可夫性质， 符合弱式假说。
投资者感兴趣的不是股票价格S，而是独立于价格的收益率。投资 者不是期望股票价格以一定的绝对价格增长，而是期望股票价格 以一定的增长率在增长。因此需要用百分比收益率代替绝对的股 票价格。
在股票价格遵循的随机过程和衍生证券价格遵循的随机过程中， Black-Scholes发现，由于它们都只受到同一种不确定性的影响，如 果通过买入和卖空一定数量的衍生证券和标的证券，建立一定的 组合，可以消除这个不确定性，从而使整个组合只获得无风险利 率。从而得到一个重要的方程： Black-Scholes微分方程。
特征2：对于任何两个不同时间间隔Δt ，Δz的值相互独立。
特征的理解
特征1： z N 0, t ;方差为t。
特征2: 马尔可夫过程：只有变量的当前值才与未来的预测有关， 变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测 无关。标准布朗运动符合马尔可夫过程，因此是马尔可夫过程 的一种特殊形式。
当Δt 0时，我们就可以得到极限的标准布朗运动 dz dt
2020/10/7
6
普通布朗运动
变量x遵循普通布朗运动： dx adt bdz
其中，a和b均为常数，z遵循标准布朗运动。 这里的a为漂移率（Drift Rate），是指单位时间内变量x均值
的变化值。
这里的b2为方差率（Variance Rate），是指单位时间的方差。 这个过程指出变量x关于时间和dz的动态过程。其中第一项
研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解 在特定时刻，变量取值的概率分布情况。
2020/10/7
3
随机过程
随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式 随时间变化的过程。
随机过程的分类
离散时间、离散变量 离散时间、连续变量 连续时间、离散变量 连续时间、连续变量
2020/10/7
4
几种随机过程
adt为确定项，它意味着x的期望漂移率是每单位时间为a。 第二项bdz是随机项，它表明对x的动态过程添加的噪音。这 种噪音是由维纳过程的b倍给出的。
可以发现，任意时间长度后，x值的变化都具有正态 分布特征，其均值为aT，标准差为 ,方差为b2T.
bT
2020/10/7
7
Ito过程和Ito引理
伊藤过程（Ito Process）：
Black-Scholes期权定价模型
2020/10/7
1
Black-Scholes期权定价模型的基本思路
期权是标的资产的衍生工具，其价格波动的来源就是标的资产价 格的变化，期权价格受到标的资产价格的影响。
标的资产价格的变化过程是一个随机过程。因此，期权价格变化 也是一个相应的随机过程。
金融学家发现，股票价格的变化可以用Ito过程来描述。而数学家 Ito发现的Ito引理可以从股票价格的Ito过程推导出衍生证券价格所 遵循的随机过程。
2020/10/7
5
标准布朗运动（续）
考察变量z在一段较长时间T中的变化情形：
z（T）－z(0)表示变量z在T中的变化量
又可被看作是在N个长度为Δt的小时间间隔中z的变化总量，其中
N=T/ Δt 。
N
很显然，这是n个相互独立的正态分布的和：z(T ) z(0) i t
i 1
因此，z（T）-z（0）也具有正态分布特征，其均值为0，方差为N Δt