专升本高数-第五讲 无穷小与无穷大
专升本高数知识点汇总
专升本高数知识点汇总高等数学在专升本考试中占据着重要的地位，对于许多考生来说，掌握好高数的知识点是成功升本的关键之一。
以下是为大家汇总的专升本高数知识点，希望能对大家的学习有所帮助。
一、函数与极限1、函数的概念函数是一种从一个集合（定义域）到另一个集合（值域）的对应关系。
对于定义域内的每一个输入值，都有唯一的输出值与之对应。
2、函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性和有界性。
奇函数满足 f(x) ＝ f(x)，偶函数满足 f(x) ＝ f(x)。
单调性是指函数在某个区间内是递增或递减的。
周期性函数是指存在一个非零常数 T，使得 f(x ＋ T) ＝ f(x)。
有界性则是指函数的值域在某个范围内。
3、极限的定义极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于的一个确定的值。
4、极限的计算包括利用极限的四则运算法则、两个重要极限（＼（＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x} ＝ 1\），＼（＼lim_{x ＼to ＼infty} （1 ＋＼frac{1}｛x}）＾x ＝ e\））以及等价无穷小代换来计算极限。
5、无穷小与无穷大无穷小是以零为极限的变量，无穷大是绝对值无限增大的变量。
无穷小的性质在极限计算中经常用到。
二、导数与微分1、导数的定义函数在某一点的导数是函数在该点的切线斜率。
2、导数的几何意义导数表示函数在某一点处的变化率，反映了函数图像的斜率。
3、基本导数公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。
4、导数的四则运算法则加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。
5、复合函数求导通过链式法则进行求导。
6、隐函数求导通过方程两边同时对自变量求导来求解。
7、微分的定义函数的微分等于函数的导数乘以自变量的微分。
8、微分的几何意义微分表示函数在某一点处切线的增量。
三、中值定理与导数的应用1、罗尔定理如果函数 f(x) 满足在闭区间 a,b 上连续，在开区间（a,b) 内可导，且 f(a) ＝ f(b)，那么在（a,b) 内至少存在一点ξ，使得 f'（ξ) ＝ 0 。
专升本高等数学知识点总结
专升本高等数学知识点总结高等数学作为专升本考试的一门重要科目，需要掌握的知识点相对较多。
下面是对高等数学知识点的详细总结。
一、函数与极限1.函数概念与性质：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等。
2.函数的常用性质：函数的画像、函数的基本性质、函数的运算、函数的反函数、函数的复合、函数的比较等。
3.极限的概念：极限的定义、左极限、右极限、无穷极限、函数极限等。
4.极限的性质：极限的唯一性、夹逼准则、极限的四则运算、函数极限法则等。
5.无穷小与无穷大：无穷小的定义和性质、无穷大的定义和性质。
二、导数与微分1.导数的定义：函数在一点的导数、导数的几何意义、函数的可导性等。
2.导数的计算：基本函数的导数、基本运算法则、复合函数的导数、隐函数的导数等。
3.高阶导数：导数的高阶导数、高阶导数的计算等。
4.微分：微分的定义、微分的计算、微分形式不变性等。
5.高阶导数与高阶微分的关系：高阶导数与高阶微分的计算、高阶微分的含义等。
三、积分与不定积分1.定积分的概念与性质：积分的定义、黎曼和、定积分的计算、积分中值定理等。
2.不定积分的概念与性质：不定积分的定义、不定积分的计算、定积分与不定积分之间的关系等。
3.基本积分公式：幂函数的积分、三角函数的积分、反函数的积分、特殊函数的积分等。
4.定积分的应用：曲边梯形的面积、旋转体的体积、定积分的几何应用等。
四、级数与幂级数1.数列与级数：数列的概念与性质、收敛与发散、常见数列的性质等。
2.级数的概念与性质：级数的概念、部分和、级数的性质、级数收敛性的判别法等。
3.幂级数的概念与性质：幂级数的收敛域、幂级数的性质、幂级数的运算等。
4.泰勒展开与幂级数展开：泰勒展开的定义、泰勒级数、幂级数展开的计算等。
五、多元函数与方程1.多元函数的概念与性质：多元函数的定义、多元函数的极限、多元函数的连续性等。
2.偏导数与全微分：偏导数的定义、全微分的定义、全微分近似计算等。
3.导数与梯度：偏导数与方向导数、梯度的定义和性质、梯度的运算等。
无穷大与无穷小
无穷大与无穷小无穷大和无穷小是数学中常常提到的概念。
它们在数学的各个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍无穷大和无穷小的定义、性质以及一些常见的例子。
无穷大是指在数列或函数中，当自变量趋向于某个特定的值时，函数或数列的绝对值无限增大的情况。
换句话说，无穷大是指某个数在数轴上无限远离原点的时候。
在数学符号表示中，我们常用符号∞来表示无穷大。
当一个数a的绝对值大于任意实数M时，我们可以说这个数a是无穷大，表示为|a|>M或者a→∞。
无穷大在解析几何、极限理论、微积分等数学分支中都起着重要的作用。
在解析几何中，无穷大可以用来描述平行线的情况。
在极限理论和微积分中，无穷大常常用于研究函数的极限和趋势。
与无穷大相对应的是无穷小。
无穷小是指当自变量趋向于某个特定的值时，函数或数列的绝对值逐渐趋于零。
换句话说，无穷小可以理解为比任何实数都小的数。
在数学符号表示中，我们常用符号ε来表示无穷小。
当一个数a的绝对值小于任意正实数ε时，我们可以说这个数a是无穷小，表示为|a|<ε或者a→0。
无穷小在微积分和函数论等领域中得到广泛应用。
在微积分中，无穷小常用于描述函数的变化趋势、导数和积分的定义。
在函数论中，无穷小可以用于衡量一个函数在某个点的连续性和可导性。
下面我们来看几个具体的例子。
例子1：考虑函数f(x)=1/x，当x趋向于0时，函数f(x)的值趋近于正无穷大。
这可以用极限表示为lim(x→0)1/x=∞。
例子2：考虑函数g(x)=1/x，当x趋向于正无穷大时，函数g(x)的值趋近于0。
这可以用极限表示为lim(x→∞)1/x=0。
例子3：考虑数列an=1/n，当n趋向于正无穷大时，数列an的值逐渐趋近于0。
这可以用极限表示为lim(n→∞)1/n=0。
通过以上例子，我们可以看出无穷大和无穷小是两个相关但又不同的概念。
无穷大描述的是函数或数列绝对值的无限增大，而无穷小描述的是函数或数列绝对值的逐渐趋近于零。
高等数学无穷小与无穷大
n
0
k ,
1, 2,
记：
3, n
，则对每个 k
n
k
n
，则有
k 1
有
n
lim n lim k n lim
n
n k 1
n
1 n 2
2 n2
k n2
n n2
lim
n
1
2
n2
n
lim n
n n 1 2n 2
lim n
1 2
1
1 n
1 2
0,
故无穷多个无穷小的和未必是无穷小。
ux M, x X
M
X
O
M
x u x x x 0
若 ( x )当 x → 时为无穷小，u( x )当| x |大于某正数 X 时有界，则 u( x )( x)当 x → 时为无穷小。
例：证明函数
f x
x sin
1 x
是
x → 0 时的无穷小。
利用无穷小的性质进行证明
因为 lim x lim x 0 ,
x
例：根据定义证明：当
x→0
时，y
1 2x x
是无穷大。
又问， x 只要满足什么条件，就能使 y >10 4 ？
按定义证明当 x → 0 时，给定函 数是无穷大，就是对任意给定的正数 M ，
要设法说明存在正数 ，使得当 0 < |x - 0 |= |x |< 时有
y
1 2x x
M.
要说明这样的 存在，最直接的办法就是将 找出
为体会证明方法，考虑以三个无穷小的情形证明。
根据无穷小的定义进行证明
证明 x → x0 时的情形。
设 lim x 0, lim x 0, lim x 0,
无穷小与无穷大
3．函数极限与无穷小的关系
在自变量的某一变化过程中，函数 f (x)以 A为极限的充要 条件是 f (x) 可以表示为极限A与一个无穷小 的和，即
lim f (x) A f (x) A α
二 无穷大 1．无穷大的概念
定义2 在自变量的变化过程中，绝对值无限增大的变量X称为无穷 大量，简称无穷大，记作 lim X 。
lim arcsin 4x lim 4x 2 x0 ln(1 2x) x0 2x
（3）因为当 x 0 时，1 cos x ～ 1 x2，ex2 1～ x2 ，所以 2
1 cos x
lim
x0
ex2 1
lim x0
1 x2 2 x2
1 2
高等数学
x 1
1 时， x 1 为无穷小。
（2）因为 lim( 2x 1) ，所以当 x 时，2x 1 为无穷小。
x
（3）因为 lim 2x ，所以当 x 时，2x 为无穷小。 x
（4）因为lim x
1 4
x
，所以当
x
时，
1 4
x
为无穷小。
例5 【银行存款】假设某人在银行存入10 000元，银行的年利率 为 ，试分析存款时间越长，本利和如何变化？ 解
如果变量 X 取正值无限增大，则称变量 X为正无穷大，记作 lim X ；如果变量 X 取负值而绝对值无限增大，则称变量X为负 无穷大，记作 lim X 。
例4 讨论自变量x在怎样的变化过程中，下列函数为无穷大：
（1）
y
1 x 1
（2）y 2x 1（3）y 2x
（4）y
1 4
x
解
（1）因为 lim 1 ，所以当 x1 x 1
轻松理解数学中的无穷大与无穷小
轻松理解数学中的无穷大与无穷小无穷大与无穷小是数学中的重要概念，它们在数学分析、微积分等领域中起着至关重要的作用。
本文将以轻松易懂的方式解释数学中的无穷大与无穷小，并探讨它们的性质与应用。
1. 无穷大的定义与性质在数学中，无穷大是指趋向于正无穷或负无穷的数。
我们用符号∞表示正无穷，用符号-∞表示负无穷。
无穷大具有以下性质：1) 任何有限数与无穷大相加、相乘或相除，结果仍为无穷大；2) 无穷大与无穷大相加、相乘或相除的结果无法确定，可以是无穷大、有限数或不存在。
例如，考虑数列{1, 2, 3, ...}，它的每一项都比前一项大1。
当n趋向于无穷大时，数列的项也趋向于无穷大。
这意味着数列{1, 2, 3, ...}中的每一项都可以被认为是无穷大。
2. 无穷小的定义与性质与无穷大相对应的是无穷小。
无穷小是指趋向于零的数，通常用符号ε表示。
无穷小具有以下性质：1) 任何有限数与无穷小相加、相乘或相除，结果仍为无穷小；2) 无穷小与无穷小相加、相乘或相除的结果无法确定，可以是无穷小、有限数或不存在。
举个例子，考虑数列{1/n}，其中n为正整数。
当n趋向于无穷大时，数列的每一项都趋向于零。
这意味着数列{1/n}中的每一项都可以被认为是无穷小。
3. 无穷大与无穷小的关系无穷大和无穷小是相对的概念。
当一个数趋向于无穷大时，它的倒数趋向于零。
换句话说，无穷大与无穷小是互为倒数。
这一性质在数学分析中有着重要的应用。
例如，考虑函数f(x) = 1/x，其中x为实数。
当x趋向于正无穷时，函数f(x)趋向于零；当x趋向于零时，函数f(x)趋向于正无穷。
这说明函数f(x)中的无穷大与无穷小是互为倒数的关系。
4. 无穷大与无穷小的应用无穷大与无穷小在微积分中有着广泛的应用。
它们常用于描述函数的极限行为、导数和积分等。
在求极限的过程中，我们经常需要使用无穷大与无穷小的概念。
例如，当我们计算函数在某一点的极限时，可以利用无穷小的性质来简化计算。
无穷小和无穷大
（2） 如果 lim C 0 那么就说β与α是同阶无穷小；
如果 lim 1 那么就说β与α是等价无穷小，
记作
（3）
如果
lim k
C
0, k
0
那么就说β是α的k阶无穷小；
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
二、无穷大
（一）无穷大的概念 （二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
定理 在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，
那么
f
1 (x
)
为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，
y
o
x
二、无穷大
（一）无穷大的概念 （二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
二、无穷大
（一）无穷大的概念 （二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
性质1 同一过程中的有界函数与无穷大之和 仍为该过程中的无穷大.
性质2 某过程中的有限个无穷大的乘积 仍为该过程中的无穷大.
二、无穷大
（一）无穷大的概念 （二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
仍为该过程中的无穷小？
例
x2, x , 3x 都是 x 0 中的无穷小.
lim x2 lim x 0
x x0
x0
lim x 1 x0 3x 3
定义
设α,β是同一过程中的两个无穷小，且α≠0
（1）
如果
lim
0
那么就说β是比α高阶的无穷小，
无穷大与无穷小的关系定理
无穷大与无穷小的关系定理
无穷大与无穷小是数学中极为重要的概念，它们在分析学、微积分、数论等领域中被广泛运用。
无穷大和无穷小是相对的，它们之间存在一定的关系，本文将介绍无穷大与无穷小的关系定理。
首先，我们来定义无穷大和无穷小。
无穷大是指当自变量趋近于某个数时，函数值趋近于正无穷或负无穷的函数。
无穷小是指当自变量趋近于某个数时，函数值趋近于0的函数。
这里需要注意的是，无穷大和无穷小并不是一种具体的数，而是一种趋近的状态。
1.乘积关系定理
如果$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=+\infty$，$\lim\limits_{x\to
x_0}g(x)=a(a\neq 0)$，那么$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)g(x)=+\infty$；
这个定理的含义是，无穷大和有限数相乘的结果还是无穷大。
而无穷大和无穷小相乘的结果趋近于0。
无穷小和有限数相乘的结果还是无穷小。
这个定理的含义是，当一个函数的极限趋近于0，而除数的极限趋近于无穷大时，被除数的极限趋近于0。
当一个函数的极限存在且不为0，而除数的极限趋近于无穷大时，被除数的极限趋近于被除数的极限乘以无穷大。
这个情况也可以理解为当一个函数在无穷远处变化非常缓慢并趋近于某个有限数时，它就相当于是某个数乘以无穷大的大小。
通过上述三个定理，我们可以看出无穷大和无穷小之间存在一定的关系。
在实际问题中，我们可以通过这些定理帮助我们求解复杂的极限问题。
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lim
lim
o
lim 1
o
1
因此 ~ .
必要性：设 ~ ，则
lim
lim
1
lim
1
0
因此 o ,即 o
定理5
设
~ 1，
~
1，且
lim
1 1
存在，则lim
lim 1 . 1
证
lim
lim
1
1 1
1
lim lim 1 lim 1 lim 1
考察例子：当x 0时函数x与sin 1 的乘积x sin 1 的变化趋势.
x
x
lim x 0 x是当x 0时的无穷小.
x0
sin 1 1 sin 1 是有界函数.
x
x
当x 0时, x sin 1 是有界函数sin 1 与无穷小 x 的乘积.
x
x
0 x sin 1 x sin 1 x
例如 f (x) 1 是当x 0时的无穷大,记作lim 1 .
x
x0 x
f (x) ex是当x 时的无穷大,记作 lim ex +. x
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
例如
lim f (x) ，或 lim f (x) .
x x0 ( x )
x x0 ( x )
lim 1 , x x0
例
求
lim
x
x4 x3
5
解
因为 lim x
x3 x4
5
lim
x
1 x
5 x4
0
所以根据无穷大量与无穷小量的关系有
lim
x
x4 x3
5
例 求 lim( n 1 n) n
证 lim( n 1 n) lim ( n 1 n)( n 1 n)
n
n
n1 n
lim (n 1) n lim
反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是这个
函数的极限。即
lim
x x0
f (x)
A
f (x)
A (是当x
x0时的无穷小).
例 当x 时,将函数f (x) 2x 3 表示成其极限值与一个
x
无穷小之和的形式.
解
f (x) 2x 3 2 3 ,
x
x
f
(
x)
2
3 x
无穷小量与无穷大量
1、无穷小量
2、无穷大量
3、无穷小量与无穷大量的关系
1. 无穷小量 定义1 极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小.
例如 lim(1 )2 0 ( 1)2是当n 时im 1 0 1 是当x 时的无穷小;
x x
x
lim(1 x) 0 1 x是当x 1时的无穷小.
1
n n 1 n n n 1 n
由于lim( n 1 n)
n
故 lim
1
0
n n 1 n
即lim( n 1 n) 0 n
无穷小量的比较
虽然知道两个无穷小的和、差、积仍然是无穷小，
但是两个无穷小的商，却出现不同的情况。例如：
x1 2x 2
x3 1
0. 1 0. 01 0. 001 … → 0 0. 2 0. 02 0. 002 … → 0 0. 001 0. 000001 0. 000000001 … → 0
n
n2
2 n2
3 n2
100 n2
)
解
原式=
lim
n
1
2
3 n2
100
lim
n
5050 n2
0
思考
无限 个 无穷小的代数和仍是无穷小吗？
•••
例
1
lim(
n
n
2
2 n2
3 n2
n 1 n2 )
(n 1)(n 2)
解 原式= lim n
2 n2
lim 1 (1 1)(1 2) 1 .
n 2
n
n2
lim x3 0, x0 2x
lim
x0
2x x3
,
lim 2x 2. x0 x
定义1 设和都是在同一自变量的变化过程中的无穷小，
且 0.
(1)如果lim 0,就说是比高阶的无穷小,记作 ( );
(2)如果lim ,就说是比低阶的无穷小;
(3)如果lim C(C 0),就说与是同阶的无穷小;
（7）1 cos x
x ; （6）ex 1 x ;
x2 .
（8）1 x 1 ~ x
2
例1. 求极限lim tan3x . x0 sin5x
解
tan 3x lim x0 sin 5x
tan 3x ~ 3x,sin 5x ~ 5x lim 3x x0 5x
3. 5
例2.求极限lim 1 cosx.
x0 xsin2x
(4)
1 cos x
lim
x0
x2
lim
x0
2 sin2 x2
x 2
lim
x0
sin x
x 2
2
1,
2
2
2
当x 0 时,1 cos x与 x2 是等价无穷小.
2
即1 cos x x2 (x 0). 2
例.试证明当x 0时,(1) arcsin x ~ x,(2) 1 x 1 ~ 1 x.
x1
注意 （1）函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋向。
（2）无穷小是变量, 不能与很小的数混淆。
(3) 常数中，只有“0”可以看作无穷小.
例1 下列函数在自变量怎样变化时是无穷小？
(1) y x 2; (2) y 1 ;
(3) y 2x ;
x3 (4) y cos x.
解 (1) lim(x 2) 0, 当x 2时, y x 2为无穷小. x2
x
x
当x 0时,上式左右两端的函数的极限都等于零,即
lim 0 0,
x0
lim x sin 1 0
x0
x
lim x 0.
x0
x sin 1 仍是无穷小. x
性质2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小. (常数是有界） 推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小（. 无穷小也是有界）
(2)
lim
x0
1 1
x x
1
lim
x0
(
1 x 1)( 1 x 1) 1 x( 1 x 1)
2
2
lim 2x
x0 x( 1 x 1)
lim 2 1 x0 1 x 1
1 x 1 ~ 1 x (x 0). 2
定理4 与是等价无穷小量的充分必要条件是 o
证 充分性：设 o ，则
特别地，当C=1时，则与是等价无穷小,记作 .
例 比较下列无穷小的阶数的高低：
(1)
x
时,
无穷小
1 x2
与
4 x3
.
(2) x 3时,无穷小 x2 9与x 3.
(3)x 0时,无穷小 tan2 x与x.
(4)x 0时,无穷小1 cos x与 x2 .
1
2
解
(1)
lim x2 lim x , x 4 x 4
.
lim 3 0. x x
2、无穷大量
y
1
1
y
x
o
x
y
y ex
x o
当x 0时,函数f (x) 1 的绝对值无限制的增大. x
当x 时,函数f (x) ex的绝对值无限制的增大.
定义2
如果当x x0 (或x )时,函数f (x)的绝对值无限增大,
则函数f (x)叫作当x x0 (或x )时的无穷大.
例2.用无穷小的性质说明下列函数是无穷小：
(1) y 4x3 2x2 x (x 0);
(2)
y
sin 2x x2
(x
).
解 (1) 当x 0 时,x是无穷小. (推论1、推论2、性质1)
(2)
lim
x
1 x2
0,
sin 2x 1.
( 性质2 )
定理1 具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；
x3
当x
时,
1 x2
是比
4 x3
低阶的无穷小.
(2)
lim x2 9 lim(x 3) 6,
x3 x 3 x3
当x 3时,x2 -9与x 3是同阶的无穷小.
(3)
lim tan2 x lim(sin x sin x 1 ) 0,
x0 x
x0 x
cos2 x
当x 0时,tan2 x是比 x 高阶的无穷小.
1
1
1
综上所述，求两个无穷小量商的极限时，分子和分母都
可用等价无穷小量来替代，因此，如果用等价无穷小量
来求解极限，可大大减化求极限的步骤.
当 x 0 时，等价无穷小：
（1）sin x x ;
(2) arcsin x x ;
（3）tan x x ;
（4）arctan x x ;
（5）ln(1 x)
x0
x3
解
tan x sin x
lim
x0
x3
sin x sin x
lim
x0
c os x x3
sin x(1 cos x)
lim x0
x3 cos x
sin x x,1 cos x x2 2 lim
x x2 2
lim 1 1 .
x0 x3 cos x
x0 2 cos x 2