安徽省合肥一中2020-2021学年高二上学期10月段考数学(理)试题 PDF版含答案
2020-2021学年安徽省名校高二上学期期中联考数学(理)试题(解析版)
2020-2021学年安徽省名校高二上学期期中联考数学（理）试题一、单选题1．若集合{03}M xx =<≤∣，{}220N x x x =+->∣，则()RM N ⋂=（ ）A ．(0,1]B ．(0,3]C ．(0,2]D ．(-2,1]【答案】A【分析】先求出集合N ，进一步求出RN ，再求交集.【详解】因为{01}M xx =<≤∣，{}220{2N x x x x x =+->=<-∣∣或1}x >， {}21RN x x =-≤≤∣，所以()(]{01}0,1RM N x x ⋂=<≤=∣.故选：A2．正项等比数列{}n a 满足：241a a =，313S =，则其公比是（ ） A ．14B ．1C ．12D ．13【答案】D【分析】根据241a a =，由2243a a a =，解得31a =，再根据313S =求解.【详解】因为正项等比数列{}n a 满足241a a =，由于2243a a a =，所以231a =，31a =，211a q =.因为313S =， 所以1q ≠.由()()31231111a q S a q q q-==++-得22131q q q =++，即21210q q --=，解得13q =，或14q =-（舍去）.故选：D3．秦九韶是我国南宋时期的数学家，在他所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，给出如图所示的秦九韶算法程序框图，若输入n ，x 的值分别为5，2，则输出v 的值是（ ）A ．259B ．130C ．65D ．32【答案】B【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的v 的值. 【详解】模拟程序的运行，可得5n =，2x =，1v =，4i =满足条件0i ≥，执行循环体，1246v =⨯+=，3i =； 满足条件0i ≥，执行循环体，62315v =⨯+=，2i =； 满足条件0i ≥，执行循环体，152232v =⨯+=，1i =； 满足条件0i ≥，执行循环体，322165v =⨯+=，0i =； 满足条件0i ≥，执行循环体，6520130v =⨯+=，1i =-； 不满足条件0i ≥，退出循环，输出v 的值为130v =． 故选：B ．【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 4．已知x ，y 的取值如下表所示： x 2 3 4 5 y2.23.85.5m若y 与x 线性相关，且回归直线方程为ˆ 1.460.61y x =-，则表格中实数m 的值为（ ）A ．7.69B ．7.5C ．6.69D ．6.5【答案】D【分析】先求得样本数据中的x ，y 的平均值，根据回归直线方程过样本中心点，可得选项.【详解】因为2345742x +++==， 2.2 3.8 5.511.544m my +++++==，所以11.571.460.6142m +=⨯-，解得 6.5m =. 故选：D.5．如图是一个几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（ ）A ．33π+B ．32π+C ．332πD ．334π【答案】C【分析】根据几何体的三视图得到该几何体是底面半径为1，母线长为2的半圆锥，结合侧面积公式和圆、三角形的面积公式，即可求求解.【详解】根据几何体的三视图，可得该几何体是底面半径为1，母线长为2的半圆锥， 如图所示，其中1,2OA SA ==，可得3SO =，因此其表面积为221113321212322242S πππ=⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯=+. 故选：C.6．已知向量a ，b 满足：||3a =，||1a b -=，且()0a a b ⋅-=，则b 的模等于（ ） A 2 B ．2C 3D ．3【答案】B【分析】由()0a a b ⋅-=可得2a a b =⋅，再将||1a b -=平方，化简可得答案. 【详解】由2()0a a b a a b ⋅-=⇒=⋅， 所以2222||()2a b a b a a b b -=-=-⋅+22231a b b =-+=-+=，可得2||4b =，因此||2b =. 故选：B.【点睛】向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b ；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =. 7．平面α与平面β所成的二面角为θ，直线AB平面a ，且与二面角的棱l 所成的角为γ，与平面β所成的角为δ，则θ，γ，δ满足关系式（ ） A ．sin sin sin δθγ=⋅B ．cos cos cos θγδ=⋅C ．222sin sin sin θγδ=+D ．222cos cos cos θγδ=+【答案】A【分析】作出图示如下图所示，根据线面角、二面角的定义得出θ，γ，δ所表示的角，再由锐角三角函数的定义得出各角的正弦和余弦的表示，代入选项验证可得选项. 【详解】设直线AB 交棱l 于点B ，过点A 作AH ⊥面β，过点H 作CH ⊥棱l ，连接AC ，则AH ⊥棱l ，所以棱l ⊥面ACH ，所以棱l AC ⊥，所以ACH θ∠=，ABC γ∠=，ABH δ∠=，所以sin ,sin ,sin AH AH ACAB AC ABδθγ===，所以sin sin sin AH AH ACAB AC AB δθγ==⋅=⋅成立，故A 正确； cos ,cos ,cos BH CH BCAB AC AB δθγ===，所以cos cos cos CH BH BCAC AB AB θγδ=≠⋅=⋅，故B 不正确；sin ,sin ,sin AH AH ACAB AC ABδθγ===，所以222222222sin +sin sin AH AC AH AC AB ABθγδ=≠=+，故C 不正确； cos ,cos ,cos BH CH BCAB AC ABδθγ===，所以222222222cos +cos cos CH BC BH AC AB ABθγδ=≠=+，故D 不正确； 故选：A.8．已知函数()sin()(0)f x x ωω=>在区间,123ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，在区间5,312ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，则ω=（ ） A ．362k -，k ∈N B ．362k +，k ∈N C ．32D ．3【答案】C【分析】由题意知，当3x π=时，函数()f x 取得最大值，可求得362k ω=+，k ∈N .再由函数的单调区间得出不等式组，解之可得选项.【详解】由题意知，当3x π=时，函数()f x 取得最大值，所以232k ππωπ⋅=+，k Z ∈.得362k ω=+，k ∈N . 因为()f x 在区间,123ππ⎛⎤-⎥⎝⎦上递增，在5,312ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，所以312πππω≥+且5123πππω≥-， 解得1205ω<≤.因此32ω=.故选：C.9．在ABC 中，()cos24,cos66AB =︒︒，()2cos69,2cos21AC =︒︒，则ABC 的面积为（ ）A ．BC ．2D 【答案】C【分析】根据()cos24,cos66AB =︒︒，()2cos69,2cos21AC =︒︒，求得||1AB =，||2AC =，2AB AC ⋅=，再利用 cos AB AC AB AC A ⋅=⋅=cos A ，sin A ，代入三角形面积公式1||sin 2ABCS AB AC A =||求解. 【详解】因为()cos24,cos66AB =︒︒，()2cos69,2cos21AC =︒︒， 所以||1AB =，||2AC =，2cos 24cos692cos66cos 212cos 45AB AC ︒︒︒︒︒⋅=+==.所以cos AB AC AB AC A ⋅=⋅=所以cos A =sin A =.所以ABC 的面积为1||sin 22ABCS AB AC A =||=. 故选：C10．在等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中最大的是（ ） A ．21S B ．20SC ．19SD ．18S【答案】B【分析】设等差数列的公差为d .由已知得()()1137512a d a d +=+，可得关系1392a d =-.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项. 【详解】设等差数列的公差为d .由81335a a =得，()()1137512a d a d +=+，整理得，1392a d =-. 又10a >，所以0d <，因此222120(20)2002222n d d d dS n a n n dn n d ⎛⎫=+-=-=-- ⎪⎝⎭， 所以20S 最大. 故选：B.11．若关于x 的不等式4142x a x +≥-对任意2x >恒成立，则正实数a 的最大值是（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】A【分析】将原问题化为min 414(2)184422x x a x ax a -⎡⎤+≥⇔++≥⎢⎥--⎣⎦，根据基本不等式求得最值可得选项.【详解】因为2x >，所以20x ->， 所以min 414(2)184(2)18444222x x x a x a x a ax a --⎡⎤+≥⇔++≥⇔++≥⎢⎥---⎣⎦，而4(2)12x a x -+≥=-4(2)12x a x -=-时，取等号.84a≥，解得04a <≤.正实数a 的最大值是4. 故选：A.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.12．已知函数,01()11,10(1)x xf xxf x≤<⎧⎪=⎨--<<⎪+⎩，()()4g x f x mx m=--，其中m是非零的实数，若函数()g x在区间(1,1)-内有且仅有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．1,(0,1)5⎛⎫-∞-⋃⎪⎝⎭B．1(,1),5⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭C．1(,1)0,5⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭D．1,(1,)5⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭【答案】C【分析】先求得分段函数的解析式，函数()g x零点等价于函数()y f x=的图象与直线4y mx m=+公共点，做出图像，数形结合，即可求得答案.【详解】当10x-<<时，011x<+<，满足上支范围，所以()11f x x+=+，所以,01()11,101x xf xxx≤<⎧⎪=⎨--<<⎪+⎩，作函数()y f x=的图象，如图所示.函数()g x零点的个数等价于函数()y f x=的图象与直线4y mx m=+公共点的个数. 当直线4y mx m=+过点(1,1)时，15m=，所以当15m<<时，直线4y mx m=+与函数()y f x=图象有两个公共点.当直线4y mx m=+与曲线111yx=-+（10x-<<）相交时，联立4111y mx m y x =+⎧⎪⎨=-⎪+⎩消去y 得，24(51)0mx m x m -++=， 因此22(51)160m m ∆=+->且510m +<时，解得1m <-.综上知，实数m 的取值范围是1(,1)0,5⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本题的关键是根据x 的范围，先求得函数解析式，做出图像，再将零点问题转化为图像交点问题，易错点为，4y mx m =+可以与函数两支都有交点，也可以与函数111y x =-+单支产生交点，需分别检验和计算，属中档题.二、填空题13．已知直线l 经过点(1,2)P -，且垂直于直线2310x y ，则直线l 的方程是________.【答案】3270x y -+=【分析】根据题意，设直线l 的方程是320x y c -+=，代入点(1,2)P -，求得c 的值，即可求解.【详解】由题意，所求直线l 垂直于直线2310x y ， 设直线l 的方程是320x y c -+=，又由直线l 过点(1,2)P -，代入可得340c --+=，解得7c =， 故l 的方程是3270x y -+=.【点睛】1、与直线220(0)Ax By C A B ++=+≠平行的直线方程可0()Ax By n n c ++=≠；2. 与直线220(0)Ax By C A B ++=+≠垂直的直线方程可0Bx Ay M -+=。
安徽省合肥市第一中学2020学年高二数学上学期段一考试(月考)试题 文(含解析)
合肥一中2020学年第一学期高二年级段一考试数学（文科）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 将直角三角形绕它的一个直角边所在的直线旋转一周，形成的几何体一定是（）A. 圆锥B. 圆柱C. 圆台D. 以上均不正确【答案】A【解析】由棱锥的定义可知：将直角三角形绕它的一个直角边所在的直线旋转一周，形成的几何体一定是圆锥.本题选择A选项.2. 由斜二测画法得到：①相等的线段和角在直观图中仍然相等；②正方形在直观图中是矩形；③等腰三角形在直观图中仍然是等腰三角形；④平行四边形的直观图仍然是平行四边形．上述结论正确的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】逐一考查所给的说法：①相等的线段平行时在直观图中仍然相等，原说法错误；②正方形在直观图中是平行四边形，不是矩形，原说法错误；③等腰三角形在直观图中不是等腰三角形，原说法错误；④平行四边形的直观图仍然是平行四边形，原说法正确．综上可得上述结论正确的个数是1个.本题选择B选项.3. 下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（）A. ①③B. ②④C. ②③D. ①④【答案】D【解析】在①中，由正方体性质得到平面MNP与AB所在平面平行，∴AB∥平面MNP，故①成立；②若下底面中心为O，则NO∥AB，NO∩面MNP=N，∴AB与面MNP不平行，故②不成立；③过P作与AB平行的直线PO，则PO与平面MNP相交，∴AB与面MNP不平行，故③不成立；在④中，AB与PN平行，∴AB平面MNP，故④成立.综上所述，答案为①④.本题选择D选项.4. 在正方体中，异面直线与所成的角为（）A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°【答案】C【解析】如图所示，由正方体的性质可知，则异面直线与所成的角即，结合正方体的性质可知，综上可得异面直线与所成的角为45°.本题选择C选项.点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．5. 如图，在四面体中，若直线和相交，则它们的交点一定（）A. 在直线上B. 在直线上C. 在直线上D. 都不对【答案】A【解析】依题意有：由于交点在上，故在平面上，同理由于交点在上，故在平面上，故交点在这两个平面的交线上.6. 在正方体中，为棱的中点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意结合射影定理逐一考查所给选项：在平面上的射影为，若，则，该结论明显不成立，选出A错误；在平面上的射影为，若，则，该结论明显不成立，选出B 错误；在平面上的射影为，若，则，该结论明显不成立，选出C 错误；在平面上的射影为，若，则，该结论明显成立，选出D正确；本题选择D选项.7. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知1丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，则该楔体的体积为（）A. 13000立方尺B. 12000立方尺C. 11000立方尺D. 10000立方尺【答案】D【解析】解：由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，体积为立方尺，本题选择A选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．8. 设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】B【解析】试题分析: 若，则与可能斜交，可能垂直，所以选项A不正确；若，则与平行或异面，所以选项C不正确；若，则平行或相交或异面，所以选项D不正确．故选B．考点：直线、平面的位置关系．【思路点睛】在A中，若为内的任意一条直线，则由直线与平面垂直的定义可知；在C中，若在过直线的平面内，则由线面平行的性质定理可知；在D中，若，则由线面垂直的性质定理可知.本题主要考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面的位置关系的判断和空间想象能力，属于中档题．9. 在棱长为1的正方体中，是棱的中点，是侧面内（包括边）的动点，且平面，沿运动，将点所在的几何体削去，则剩余几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图所示，分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，则∵A1M∥D1E,A1M⊄平面D1AE,D1E⊂平面D1AE,∴A1M∥平面D1AE.同理可得MN∥平面D1AE，∵A1M、MN是平面A1MN内的相交直线,∴平面A1MN∥平面D1AE，由此结合A1F∥平面D1AE,可得直线A1F⊂平面A1MN，即点F的轨迹是线段MN，∴，∴将B1点所在的几何体削去,剩余几何体的体积为，本题选择B选项.10. 在空间四边形中，分别为上的点，且，又分别是的中点，则（）A. 平面，且四边形是平行四边形B. 平面，且四边形是平行四边形C. 平面，且四边形是梯形D. 平面，且四边形是梯形【答案】C【解析】如图，由条件知,EF∥BD,EF=BD,GH∥BD,且HG=BD；∴EF∥HG,且EF=HG；∴四边形EFGH为梯形；EF∥BD，EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD；∴EF∥平面BCD；若EH∥平面ADC,则EH∥FG，显然EH不平行FG；∴EH不平行平面ADC；∴选项C正确。
安徽名校2020-2021学年高二上学期期中联考数学(理)试题
试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。 写在试卷、草稿纸和
答题卡上的非答题区域均无效。
4. 考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
中,角
A,B,C
的对边分别是
a,b,c,且向量
m
=
(
a-c,
b 2
)
和向量
n
=
(
a2+c,b -
3 a)互
相垂直.
(1)求角 C 的大小;
3 (2) 若△ABC 外接圆的半径是 1,面积是 2 ,求△ABC 的周长.
19. (12 分) 已知圆 C:x2 +y2 = 1 和直线 l:y = kx-1( k∈R) . 4 (1)若直线 l 与圆 C 相交,求 k 的取值范围; (2) 若 k = 1,点 P 是直线 l 上一个动点,过点 P 作圆 C 的两条切线 PM、PN,切点分别是 M、N,
ìïïx>0
b) 落在不等式组íy>0 表示的平面区域内的事件记为 A,则事件 A 的概率是
.
îïïx+y≤4
15. 设函数 f( x)= 2 cos2x+2
3 sinxcosx+m,当
x∈[0,
π 2
]时
f( x) 的值域为[
1 2
,
7 2
],则实数
m
的值
是
.
16. 在平行四边形 ABCD 中,AB⊥BD,4·AB2 +2·BD2 = 1,将此平行四边形沿对角线 BD 折叠,使平
安徽省合肥市肥东县高级中学2020-2021学年高二上学期期中数学(理)试题
2020-2021学年高二年级第一学期期中考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线12:l y x =与直线2:0l ax by c ++=（0abc ≠）相互垂直，当,,a b c 成等差数列时，直线12,l l 与y 轴围成的三角形的面积S =（ ） A. 920B.910C.95D.23A直线l 1：y=2x 与直线l 2：ax+by+c=0（abc≠0）相互垂直，∴2×（-)ab=-1，化为b=2a ． 当a ，b ，c 成等差数列时，2b=a+c ．∴b=2a ，c=3a ． 由ax+by+c=0（abc≠0），令x=0，解得y=-c b 联立20y x ax by c =⎧⎨++=⎩解得x=2ca b -+直线l 1，l 2与y轴围成的三角形的面积S=211992225220c c a a b b a a --⨯⨯=⨯=+⨯ 故选A 点睛：本题考查了直线垂直与斜率之间的关系、等差数列的性质、三角形面积计算公式，注意计算的准确性，属于中档题． 点睛：2. 若圆222210x y x y ++++=的面积被直线10ax by ++=（0a >，0b >）平分，则ab 的最大值是（ ） A. 116B.14C. 4D. 16B圆222210x y x y ++++=的圆心为()11--， 有题意可得()100a b a b +=>>，， 即有2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭当且仅当a b =时，取得最大值14故答案选B3. 若执行如图的程序框图，则输出的a 值是（ ）A. 2B. 13-C. 32-D. 2-C模拟运行程序框图，注意变量的周期性，即可得解. 模拟运行该程序：2a =，1i =，2016i ≥不成立；11123a =-=-+，2i =，2016i ≥不成立； 131213a =-=--，3i =，2016i ≥不成立； 12312a =-=-，4i =，2016i ≥不成立；可得周期为3， 则13a =-，2015i =，2016i ≥不成立；32a =-，2016i =，2016i ≥成立，输出32-.故选：C.4. 连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为,m n ，记t m n =+，则下列说法正确的是( )A. 事件“12t =”的概率为121B. 事件“t 是奇数”与“m n =”互为对立事件C. 事件“2t =”与“3t ≠”互为互斥事件D. 事件“832t mn ><且”的概率为14D对于A,1266t ==+,则概率为1116636⨯=,选项错误; 对于B, “t 是奇数”即向上的点数为奇数与偶数之和,其对立事件为都是奇数或都是偶数,选项错误;对于C,事件“2t =”包含在“3t ≠”中,不为互斥事件,选项错误;对于D, 事件“832t mn 且><”的点数有: ()()()()()()()()()3,6,4,5,4,6,5,4,5,5,5,6,6,3,6,4,6,5,共9种,故概率为91664=⨯,选项正确; 综上可得,选D.点睛:事件A 和B 的交集为空,A 与B 就是互斥事件,也可以描述为:不可能同时发生的事件,则事件A 与事件B 互斥,从集合的角度即A B =∅;若A 交B 为不可能事件,A 并B 为必然事件,那么事件A 与事件B 互为对立事件,即事件A 与事件B 在一次试验中有且仅有一个发生,其定义为:其中必有一个发生的两个互斥事件为对立事件.5. 随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面四种说法正确的是（ ）．①1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个 ②第二季度与第一季度相比，空气合格天数的比重下降了 ③8月是空气质量最好的一个月 ④6月的空气质量最差 A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④A在A 中，1月至8月空气合格天数超过20谈的月份有：1月，2月，6月，7月，8月， 共5个，故A 正确；在B 中，第一季度合格天数的比重为2226190.8462312931++≈++；第二季度合格天气的比重为1913250.6263303130++≈++，所以第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了，所以B 是正确的；在C 中，8月空气质量合格天气达到30天，是空气质量最好的一个月，所以是正确的； 在D 中，5月空气质量合格天气只有13天，5月份的空气质量最差，所以是错误的， 综上，故选A .6. 设定点()10,3F -、()20,3F ，动点P 满足()1290PF PF a a a+=+>，则点P 的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 线段C. 不存在D. 椭圆或线段D当0a >时，由均值不等式的结论有：96a a +≥=，当且仅当3a =时等号成立. 当96a a +=时，点P 的轨迹表示线段12F F , 当1296a F F a+>=时，点P 的轨迹表示以12F F 为焦点的椭圆,本题选择D 选项.点睛：椭圆定义中的常数必须大于12F F ，在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”. 7. 设命题:0p x ∀>，2log 23x x <+，则p ⌝为（ ） A. 0x ∀>，2log 23x x ≥+ B. 0x ∃>，2log 23x x ≥+ C. 0x ∃>，2log 23x x <+ D. 0x ∀<，2log 23x x ≥+B 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到答案.因为全称量词的否定是存在量词，2log 23x x <+的否定是2log 23x x ≥+. 所以p ⌝：0x ∃>，2log 23x x ≥+.故选：B 本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.8. 某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为,a b ，则椭圆22221x y a b +=的离心率2e >的概率是( ) A. 118B.536 C. 16D. 13C224,2c e a b a b a ==>>>1,3,4,5,6;2,5,6b a b a ====共6种情况61366p == 9. 已知两圆C 1：（x -4）2+y 2=169，C 2：（x +4）2+y 2=9.动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是（ ）A. 2216448x y -=B. 2214864x y +=C. 2214864x y -=D. 2216448x y +=D由两圆外切和内切，得出圆心距与两圆的半径和差的关系，设出动圆的半径r ，消去r ，再由圆锥曲线的定义，可得动圆的圆心M 的轨迹，进一步求出其方程. 设动圆的圆心(),M x y ，半径为r圆M 与圆1C :()224169x y -+=内切，与C 2：()2249x y ++=外切. 所以1213,3MC r MC r =-=+.1212+168MC MC C C =>=由椭圆的定义，M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴为16的椭圆. 则8,4a c ==，所以2228448b =-=动圆的圆心M 的轨迹方程为：2216448x y +=故选：D 本题考查两圆的位置关系以及判断方法和动点的轨迹方程，椭圆的定义，属于中档题.10. 设P 为椭圆22194x y +=上的一点，12,F F 是该椭圆的两个焦点，若12:2:1PF PF =，则12PF F ∆的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5C试题分析：由椭圆定义知126PF PF +=，又12:2:1PF PF =，所以124,2PF PF ==，又12F F =2221212PF PF F F +=，所以12PF F ∆的面积为121142422PF PF ⋅=⨯⨯=.故选C.考点：椭圆的定义.11. 设椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是( ) A. 13B.23C.12D.14A设点(),B x y ，则(),C x y --，AC 中点为,22a x y M -⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据BFM 三点共线得到3a c =，得到答案.设点(),B x y ，则(),C x y --，(),0A a ，(),0F c ，则AC 中点为,22a x y M -⎛⎫-⎪⎝⎭， BFM 三点共线，故22yy y a x x c x +=---，化简得到3a c =，故13e =.故选：A. 本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，根据三点共线得到3a c =是解题的关键.12. 下列结论错误的是（ ）A. 命题“若p ，则q ”与命题“若q ⌝，则p ⌝”互为逆否命题B. 命题[]:0,1,1xp x e e ∀∈≤≤（e 是自然对数的底数），命题2:,10q x R x x ∃∈++<，则p q ∨为真C. “22am bm <”是“a b <”成立的必要不充分条件D. 若p q ∨为假命题，则,p q 均为假命题 C对于A 选项：根据逆否命题的概念可判断；对于B 选项：由x y e =是增函数，可判断命题p 正确，再由复合命题的真假可判断；对于C 选项：当0m =时，不能由“a b <”推出“22am bm <”，可判断； 对于D 选项：由复合命题p q ∨的真假可判断． 对于A 选项：根据逆否命题的概念知A 正确；对于B 选项：由于x y e =是增函数，因此当[]0,1x ∈时，01x e e e ≤≤，即1x e e ≤≤，所以命题p 正确，因此不论命题q 是否正确，命题“p q ∨”为真命题，故B 正确；对于C 选项：由“22am bm <”能推出“a b <”，而当0m =时，不能由“a b <”推出“22am bm <”，所以“22am bm <”是“a b <”成立的充分不必要条件，故C 不正确． 对于D 选项：由复合命题p q ∨的真假判断可知D 选项正确． 故选：C ． 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13. 若圆22:()(2)4(0)C x a y a -+-=>被直线:30l x y -+=截得的弦长为则a =__________．由题意利用弦长公式可得弦心距1d ==，再由点到直线的距离公式可得1d =∴=解得a =，或1a =（舍去）．14. 袋中有20个大小相同的球,其中标号为0的有10个,标号为(1,2,3,4)n n =的有n 个.现从袋中任取一球,ξ表示所取球的标号.若2,()1a E ηξη=-=,则()D η的值为_____.11根据题意得出随机变量ξ的分布列：()01234220102052E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ，∵2,()1a E ηξη=-= ，∴3122a =⨯- ，即a=2，∴22,()1E ηξη=-= ，22222131113331311()234222021022020524D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，∵11()4()4114D D ηξ==⨯= . 故答案11.15. 椭圆22221x y a b+=（a >0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过2F 作倾斜角为120的直线与椭圆的一个交点为M ，若1MF 垂直于2MF ，则椭圆的离心率为_______．1试题分析：由题意可知在12Rt F MF ∆中，斜边122F F c =， 1260F F M ︒∠=，可得21,MF c MF ==，由椭圆的定义可得)2121a MF MF c =+=，所以离心率 1c e a===．考点：1椭圆的定义；2椭圆的简单几何性质． 16. 下列命题中，假命题的序号有__________．（1）“1a =-”是“函数2()1()f x x x a x R =+++∈为偶函数”的充要条件；（2）“直线l 垂直平面a 内无数条直线”是“直线l 垂直平面a ”的充分条件； （3）若0xy =，则||||0x y +=；（4）若2000:,220p x R x x ∃∈++≤，则2:,220p x R x x ⌝∀∈++>.（2）（3）（1）若“函数2()1()f x x x a x R =+++∈为偶函数”，则()()f x f x -=，即2211x x a x x a +++=+-++，则1(1)x a x a ++=-+，平方得22222(1)(1)2(1)(1)x a x a x a x a ++++=-+++， 即2(1)2(1)a x a x +=-+，则4(1)0a +=，即1a =-，则“1a =-”是“函数2()1()f x x x a x R =+++∈为偶函数”的充要条件；正确；（2）“直线l 垂直平面α内无数条直线”则“直线l 垂直平面α”不一定成立，故（2）错误； （3）当0,1x y ==时，满足0xy =，但||||0x y +=不成立，故（3）错误； （4）若p ：2,220x x x ∃∈++≤R ，则p ⌝：2,220x x x ∀∈++>R 正确．故答案为（2）（3）三、解答题(共6小题 ,共70分)17. 已知直线:(1)(23)60m a x a y a -++-+=，:230n x y -+=.（1）当0a =时，直线l 过m 与n 的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l 的方程； （2）若坐标原点O 到直线m的距离为m 与n 的位置关系.（1）370x y -=或120x y -+=；（2）//m n 或m n ⊥试题分析：（1）联立360230.x y x y -++=⎧⎨-+=⎩，解得m 与n 的交点为（-21，-9），当直线l 过原点时，直线l 的方程为370x y -=；当直线l 不过原点时，设l 的方程为1x yb b+=-，将（-21，-9）代入得12b =-，解得所求直线方程（2）设原点O 到直线m 的距离为d ，则d ==14a =-或73a =-，分情况根据斜率关系判断两直线的位置关系; 试题解析：解：（1）联立360230.x y x y -++=⎧⎨-+=⎩，解得21,9,x y =-⎧⎨=-⎩即m 与n 的交点为（-21，-9）.当直线l 过原点时，直线l 的方程为370x y -=； 当直线l 不过原点时，设l 的方程为1x yb b+=-，将（-21，-9）代入得12b =-， 所以直线l 的方程为120x y -+=，故满足条件的直线l 方程为370x y -=或120x y -+=. （2）设原点O 到直线m 的距离为d ，则d ==14a =-或73a =-，当14a =-时，直线m 的方程为250x y --=，此时//m n ；当73a =-时，直线m 的方程为250x y +-=，此时m n ⊥.18. 某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表：（1）求关于的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，当价格35x =元/kg 时，日需求量y 的预测值为多少？参考公式：线性归回方程： ˆy bx a =+ ，其中()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑ ， a y bx =-（1）ˆ0.3214.4y x =-+；（2）3.2kg.（1）计算出x 、y ，然后再算出()521i i x x =-∑及()()51i i i x x y y =--∑，代入公式可得b 、a ，即可得解；（2）将35x =代入线性回归方程即可得解. （1）由题意，()11015202530205x =++++=，()1111086585y =++++=， 则()()()522222211050510250i i x x =-=-+-+++=∑，()()51iii x x y y =--=∑()()()10352005210380-⨯+-⨯+⨯+⨯-+⨯-=-，()()()51521800.32250iii i i x x y y b x x ==---===--∑∑，80.322014.4a y bx =-=+⨯=， 故所求线性回归方程为ˆ0.3214.4yx =-+； （2）由（1）知当35x =时，0.323514.3ˆ4.2y=-⨯+=， 故当价格35x =元/kg 时，日需求量y 的预测值为3.2kg . 19. 已知()||f x x =，()1g x x =-．（1）若x 是从区间[]3,4-上任取的一个实数，2y =，求满足()()1f x g y ≥+的概率．（2）若x 、y 都是从区间[]0,4上任取的一个实数，求满足22()()1f x g y +≤的概率．（1）37P =（2）32π试题分析：（1）本题属于线段型的几何概型，根据线段长度的比值求解．（2）本题属于面积型的几何概型，根据几何图形的面积的比求解．试题解析：（1）由()()1f x g y ≥+知11x y y ≥-+=， 所以2x ≥，因为34x -≤≤，即所有基本事件构成的线段长度为7.设“满足()()1f x g y ≥+”为事件A ，则事件A 包含的基本事件构成的线段长度为3， 由几何概型概率公式得()37P A =. 所以满足()()1f x g y ≥+的概率为37P =． （2）由()()221f x g y +≤知()22||11x y +-≤，得()2211x y +-≤，因为04x ≤≤，04y ≤≤，故所有基本事件构成的平面区域的面积为为16.设“满足()()221f x g y +≤”为事件B ，则事件B 包含的基本事件构成的区域的面积为21122ππ⋅⋅=， 由几何概型概率公式得2()1632P B ππ==． 所以满足()()221f x g y +≤的概率为32P π=． 点睛：几何概型的两种类型(1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时．(2)面积型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．20. 设命题21:01c p c -<-，命题q ：关于x 不等式()221x x c +->的解集为R . （1）若命题q 为真命题，求实数c 的取值范围；（2）若命题p 或q 是真命题， p 且q 是假命题，求实数c 的取值范围.（1）当q 为真时，58c >；（2）c 的取值范围是[)15,1,28⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦． 试题分析：()1命题q 为真命题，即不等式()221x x c +->的解集为R ，利用判别式求出实数c 的取值范围；()2根据题意得命题p ，q 有且仅有一个为真命题，分别讨论p 真q 假与p 假q 真，即可得出实数c 的取值范围．解析：（1）当q 为真时，∵不等式()221x x c +->的解集为R ，∴当x ∈R 时，()()2241410x c x c --+->恒成立.∴()()22414410c c ∆=--⋅-<，∴850c -+< ∴当q 为真时，58c > （2）当p 为真时， ∵2101c c -<-，∴当p 为真时，112c <<； 当q 为真时，58c >， 由题设，命题p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，p 真q 假可得，1528c <≤ p 假q 真可得1c ≥ 综上可得1528c <≤或1c ≥ 则c 的取值范围是[)15,1,28⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦.21. 在平面直角坐标系xOy 中，已知()(),3,03,0A B -，动点M 满足1MA MB ⋅=，记动点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）若直线:4l y kx =+与C 交于,P Q 两点，且6PQ =，求k 的值.（1）2210x y +=（2）k =分析：（1）设点M 的坐标为(),x y ，由平面向量数量积的坐标运算法则结合题意可得C 的方程为2210x y +=.（2）由（1）知C 为圆心是()0,0的圆，利用点到直线距离公式结合圆的弦长公1=，解得k =详解：（1）设点M 的坐标为(),x y ，则()()3,,3,MA x y MB x y =---=--，所以2291MA MB x y ⋅=-+=，即2210x y +=，所以C 的方程为2210x y +=.（2）由（1）知C 为圆心是()0,0的圆，设()0,0到直线l 的距离为d，则d =因为6PQ ==，所以1d =，1=，解得k =点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．22. 已知圆22:4O x y +=恰好经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点和两个顶点.（1）求椭圆C 的方程；（2）经过原点的直线l (不与坐标轴重合)交椭圆C 于,A B 两点，AM x ⊥轴，垂足为M ，连接BM 并延长BM 交椭圆C 于N ，证明：以线段BN 为直径的圆经过点A .（1）22184x y +=；（2）见解析 试题分析：（1）由224x y +=恰好经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点和两个顶点可得2b c ==，a ==从而可得椭圆C 的方程；（2）设直线l 的斜率为k ，可得线BM 的斜率为2k ，BM 的方程为()02k y x x =-，与椭圆方程联立，利用韦达定理求得N 的坐标，可得直线AN 的斜率为1k -，即得AN AB ⊥，以线段BN 为直径的圆一定经过点A . 试题解析：（1）由题意可知，2b c ==，a ==，所以椭圆C 的方程为22184x y +=. （2）证明：设直线l 的斜率为()0k k ≠，()()000,0A x y x ≠，在直线l 的方程为y kx =， ()()000,,,0B x y M x --.直线BM 的斜率为0000222y kx k x x --==--，所以直线BM 的方程为()02k y x x =-， 联立()2201842x y k y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得()222220022160k x k x x k x +-+-=， 记,B N 横坐标分別为()(),,,B B N N x y x y .由韦达定理知:200222B N N k x x x x x k +=-+=+, 所以200222N k x x x k =++，于是2022N k x y k =+， 所以直线AN 的斜率为2002020021222N N k x kx y y k k x x x kk --+==--+，因为11kk⎛⎫⨯-=-⎪⎝⎭.所以AN AB⊥，所以以线段BN为直径的圆一定经过点A.。
安徽省合肥一中2020-2021学年高二上学期10月段考数学(理)答案
合肥一中2020-2021学年高二年级第一学期段一考试(理)时间：120分钟 满分：150一、选择题：（每小题5分，共60分）.BBDDC ACDBC DC二、填空题：（每小题5分，共20分）.13．3π (60︒也可以) 14．1315 16．①④三、解答题：（每小题分，共分）.17．表面积38, 体积12π-由三视图可以看出该几何体为一个长方体从中间挖掉了一个圆柱，长方体表面积为2(433141)38⨯⨯+⨯+⨯=，圆柱的侧面积为2π，上下两个底面积和为2π，所以该几何体的表面积为382238ππ+-=.18．(1) 连接BD ，记BD 与AC 交于点O ，则O 为BD 的中点， //EO PB 易知又,EO AEC PB AEC ⊂⊄面面 //.PB AEC ∴平面（2） 因为 ,C ADE E ADC V V --= 而1132E ADC ADC V S PA -∆=⋅=PA ∴=又PA ABCD ⊥平面，PCA ∴∠即为PC 与底面所成角由于 PA AC ==4PCA π∴∠=19.（1）26ADE S a ∆=； （2）P 为AE 中点时DP ⊥面ACC A ''，如图所示，取AE 中点P ，AC 中点Q ，连接PQ ､DP 、BQ ，因为P 、Q 分别为AE 、AC 中点，所以PQ CE ∥，//BD QP 且BD =QP ，则四边形BDPQ 为平行四边形，所以//DP BQ ，由正棱柱知：AA '⊥面ABC ，因为BQ ⊂平面ABC ，所以AA BQ '⊥，又AC BQ ⊥，AC ⊂平面ACC A ''，AA '⊂平面ACC A ''，所以BQ ⊥面ACC A ''，由//DP BQ 得DP ⊥面ACC A ''；20．（1）∵DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，∴//DE AF ，∴//AF 平面DCE ， ∵ABCD 是正方形，//AB CD ，∴//AB 平面DCE ，∵AB AF A ⋂=，AB ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，∴平面//ABF 平面DCE .（2）假设存在一点G ，过G 作//MG BF 交EC 于M ，连接,BG BM ，()1331133213332322ABCDEF B ADEF B CDEV V V --+⨯⨯=+=⨯⨯+⨯⨯=，设EG t =，则21392144GFBME B EFG B EGM V V V --=+=⨯=， 设M 到ED 的距离为h ，则331h EM t EC ==-，32h t =，234EGM S t ∆= ∴2131393334324t t ⨯⨯+⨯⨯=，解得1t =，即存在点G 且1EG =满足条件.21．（1）连接,AC BD 交于O ，因为BC BA =，11B BA B BC ∠=∠，11B B BB =，所以11B BC B BA ∆≅∆，故11B A B C = 又因为O 为菱形对角线交点，即是线段AC 的中点，所以1B O AC ⊥又四边形ABCD 为菱形，故AC BD ⊥而1B OBD O =，所以AC ⊥平面1BDB方法二：因为11B BA B BC ∠=∠，所以点1B 在平面ABCD 内的射影O 在为ABC ∠的平分线，又四边形ABCD 为菱形，故BD 为ABC ∠的平分线，则O ∈直线BD故平面1BDB ⊥平面ABCD ，而平面1BDB 平面ABCD BD =， 又四边形ABCD 为菱形，故AC BD ⊥,所以AC ⊥平面1BDB（2）延长1111,,,AA BB CC DD 交于点P ，平面1BDB 即为平面BDP ，平面1ACC 即平面ACP过1B 做1B H OP ⊥，易证得1B H ⊥平面ACP ，故11B A H∠即为直线11A B 与平面1ACC 所成角（若研究直线AB 与平面1ACC 所成角的正弦值则线段等比例扩大2倍结果不变）因为四棱台1111ABCD A B C D -中1122AB A B ==，所以111A B =，6BP = 由菱形有2AB BC ==，且∠ABC =3π，所以23BD =，作PG BD ⊥，因为16B BD π∠=，则33BG =，3PG =，所以2221PO BG PG =+=， 则cos BPO ∠2621==⨯⨯221，7sin BPO ∠=，137B H =， 故1111137sin B H B A H B A ∠==.22． 解：（1）∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∴A 1A ∥CC 1∥BB 1，∵AA 1⊥BC ，∴CC 1⊥BC ， ∵A 1B ⊥BB 1，∴A 1B ⊥CC 1，∵BC∩BA 1=B ，∴CC 1⊥平面BA 1C ，A 1C ⊂平面BA 1C ∴A 1C ⊥CC 1；（2）作AO ⊥B 于O ，连结A 1O ，由（1）可知∠AA 1O=90°，∵AB=2，AC=，BC=，∴AB ⊥AC ， ∴AO=， 设A 1A=h ，A 1O==，∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积V===，当h 2=，即h=时，即AA 1=时棱柱的体积最大，最大值为：．。
安徽省名校2020_2021学年第一学期期中联考高二理科数学(含答案)
高二第一学期期中检测理科数学参考答案题号123456789101112答案A DB DC B A C C B A C 1.【解析】因为{}{}{}1202,102>-<=>-+=≤<=x x x x x x N x x M 或,=N C R {},12≤≤-x x 所以{}10)(≤<=x x N C M R (]1,0=.2.【解析】因为正项等比数列{}n a 满足142=a a ，由于2342a a a =，所以1,1,121323===q a a a .因为133=S ，所以1q ≠.由)1(1)1(21313q q a q q a S ++=--=得,,11322q q q ++=即01122=--q q ，解得31=q ，或41-=q （舍去）.3.【解析】初始值2,5==x n ，程序运行过程如下表所示1v =；6421=+⨯=v ；15326=+⨯=v ；322215=+⨯=v ；651232=+⨯=v ；1300265=+⨯=v .1i =-，跳出循环，输出.130=v 4.【解析】因为2745432=+++=x ，,45.1145.58.32.2m m y +=++++=所以61.02746.145.11-⨯=+m ，解得.5.6=m 5.【解析】该几何体是底面半径为1，母线长为2的半圆锥，因此其表面积为.323243121212212122+=⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯πππ6.【解析】由⇒=-⋅0)(b a a b a a ⋅=22222)(b b a a b a +⋅-=-=-,13222=+-=+-=b b a .27.【解析】特值法，当βα⊥时，D C B ,,,0cos =θ均不成立.8.【解析】由题意知，当3π=x 时，函数()f x 取得最大值，所以.,223Z k k ∈+=⋅ππωπ解得.,236N k k ∈+=ω因为)(x f 在区间⎦⎤ ⎝⎛-3,12ππ上递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡125,3ππ上递减，所以123ππωπ+≥且3125ππωπ-≥，解得.5120≤<ω因此23=ω.9.,1,2.245cos 221cos 66cos 269cos 24cos 2==+=⋅ AC AB所以.22sin ,22cos ,2==⋅=A A A AC AB 于是ABC ∆.22=A 10.【解析】设等差数列的公差为.d 由13853a a =得,)12(5)7(311d a d a +=+,整理得,.2391d a -=因此d n d dn n d n d a n d S n 200)20(22022(22212--=-=-+=,20S 最大.11.【解析】4214≥-+x a x 4821)2(4≥+-+-⇔a x a x 4821)2(4min ≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-⇔a x a x 即,484≥+⇔aa 解得40≤<a .12.【解析】001()1111x x x f x x <<<⎧⎪=⎨--⎪+⎩≤， ，.作函数()y f x =的图象，如图所示.函数()g x 零点的个数⇔函数()y f x =的图象与直线4y mx m =+公共点的个数.当直线4y mx m =+过点(11)，时，15m =,,所以当510<<m 时,直线4y mx m =+与函数()y f x =图象有两个公共点.当直线4y mx m =+与曲线111y x =-+（01x <<-）相交时，联立⎪⎩⎪⎨⎧-+=+=1114x y m mx y 消去y 得，0)15(42=++-m x m mx 因此016)15(22>-+=∆m m 且015<+m 时，解得.1-<m 综上知，实数m 的取值范围是51,0()1,( --∞.13.【答案】.0723=+-y x 【解析】设直线l 的方程是.023=+-c y x 将2,1=-=y x 代入得，,043=+--c 所以7=c .故l 的方程是.0723=+-y x 14.【答案】61【解析】因抛掷一颗骰子有6种结果，所以抛掷两颗骰子有3666=⨯种不同结果.点),(b a S 在不等式所表示的区域内，有如下几种情况：当1=a 时，=b １，2，3;当2=a 时，=b 1，2;当3=a 时，1=b .共有(1,1)，（1,2），(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)六个点落在条件区域内，故61366)(==A P .15.【答案】21【解析】因为m x x x x f ++=cos sin 32cos 2)(2162sin(22sin 32cos 1+++=+++=m x m x x π.]2,0[π∈x ，∴]1,21[62sin(67626-∈+≤+≤ππππx x ，则.∴]3,[1)62sin(2)(m m m x x f +∈+++=π.由=+]3,[m m 27,21[得,且27321=+=m m 故21=m .16.【答案】.242π【解析】如图，因为平面BDC ⊥平面ABD ，所以AB ⊥平面BDC ，CD ⊥平面ABD ，得.AD CD BC AB ⊥⊥，取AC 的中点O ，则OD OC OB OA ===.于是外接球的球心是O ，12OA AC =，2214OA AC =.而.21)24(2122222222=+=+=+=BD AB BD AB BC AB AC 所以半径.4221==AC OA 于是外接球的体积为.24242(343ππ=17.【解析】（1）由频率分布直方图可知,月用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5=0.04.同理，在[0.5,1),[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]等组的频率分别为0.08，0.21，0.25,0.06，0.04,0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)=2×0.5×a，解得a=0.30.………………………………………………………………4分（2）由(1)知,100位居民月均水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02=0.12.由以上样本的频率分布,可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12=36000(人).………………………………………………………6分(3)设中位数为x 吨.因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25=0.73＞0.5，而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21=0.48＜0.5,所以2≤x＜2.5.由0.50×(x－2)=0.5－0.48,解得x=2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.…………………………………10分18.【解析】(1)因为n m ,互相垂直,所以0)3(22)(=-⋅++⋅-=⋅a b b c a c a n m ,……………………………………2分即2223b ab c a -=-，ab c b a 3222=-+.…………………………………4分由余弦定理得，=C cos .23232222==-+ab ab ab c b a 因为π<<C 0,所以6π=C .…………………………………………………6分（2）因为,236sin 21==∆πab S ABC 所以32=ab .……………………………8分ab c b a 3222=-+就是ab b a 3)6sin 2(222=-+π,即ab ab b a 312)(2=--+,因此347123)(2+=++=+ab ab b a ,32+=+b a .…………………11分故ABC ∆的周长是33+=++c b a .…………………………………………12分19.【解析】（1）直线1-=kx y 就是,01=--y kx 圆C 的圆心是),0,0(C 半径是21.由题意得，圆心)0,0(C 到直线l 的距离是21112<+k ，……………………………2分解得3-<k 或.3>k 故k 的取值范围是).,3()3,(+∞--∞ ………………5分（2）当1=k 时，直线l 与圆C 相离.设点P 的坐标是),(00y x ，则直线MN 的方程是4100=+y y x x .………………………………………………7分因为点P 在直线1-=x y 上，所以100-=x y .代入4100=+y y x x 中，得到,41)1(00=-+y x x x 即.0)41()(0=+-+y x y x ……9分由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+0)41(0y y x 得，.4141⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==y x 故直线MN 恒过一个定点).41,41(-…………………………………………………12分20.【解析】（1）因为AC=BC ，D 是AB 的中点，所以CD AB ⊥.又VC ⊥底面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以VC AB ⊥.………………………2分而,C CD VC = 所以⊥AB 平面.VCD 又AB ⊂平面VAB ，所以平面VAB ⊥平面VCD .…………………………………5分（2）过点D 在平面ABC 内作DF CE ⊥于F ，则由题意知DF ⊥平面VCE.连接VF ，于是DVF ∠就是直线VD 与平面VCE 所成的角.…………………………7分在t R VFD ∆中，DF VD =.又因为VD=,所以DF =.在t R DCE ∆中,可求出DE=1.故知点E 位于线段AD 的中点或线段BD 的中点.…10分三棱锥VDE C -的体积为.3222212213131=⨯⨯⨯⨯=⋅⋅A VC S CDE (12)分21.【解析】（1）令0n , 1==m 代入等式中可得,2)0(-=f ，即2-=c .………2分再令n m -=得,2)(),12()()0(2-+=++--=-n n n f n n n n f f ,所以.2)(2-+=z z z f ………………………………………………6分（2）因为直线被圆9)2()1(22=-++y x 截得的弦长为6,所以直线过圆心,有1=+b a .……………………………………………………8分于是由均值不等式得,abb a +4=94545))(41(41=+≥++=++=+a b b a b a b a b a ,当且仅当a b b a =4,即32,31==b a 时等号成立.故abb a +4的最小值是.9…………12分22.【解析】(1)当2≥n 时，.12)1(221-=--=-=-n n n S S a n n n 在2n S n =中，令1=n ，则111==S a ，满足.12-=n a n 故数列{}n a 的通项公式是.,12*∈-=N n n a n ……………………………4分（2)因为一般项)11(41121121+++++-=n n n n n n n a a a a a a a ，所以原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋅⋅⋅+-+-=+++11()11()11(4121143323221n n n n a a a a a a a a a a a a =-=++11(412121n n a a a a .)32)(12(32)32)(12(64222+++=+++n n n n n n n n ………………………8分于是)32)(12(322+++n n n n ,)2141(2λn n +≥即存在*∈N n ,使≤λ)32)(12(34++n n 成立.≤λ.454)32)(12(34max =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++n n 故实数λ的最大值是.454………………………12分。
2024-2025学年安徽省十校联考合肥一中高二上学期期中联考数学试卷(含答案)
2024-2025学年安徽省十校联考合肥一中高二上学期期中联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x +3y +2=0的倾斜角为( )A. 150°B. 120°C. 60°D. −30°2.给出下列命题，其中是真命题的是( )A. 已知向量组{a ,b ,c }是空间的一个基底，若m =a +c ，则{a ,b ,m }不是空间的一个基底．B. 若a ⊥b ，b ⊥c ，则a //c ．C. 若a ⋅b <0，则⟨a ,b⟩是钝角．D. 若对空间中任意一点O ，有OP =13OA−16OB +56OC ，则P ，A ，B ，C 四点共面．3.已知直线l 1:mx +2y−2=0与直线l 2:5x +(m +3)y−5=0，若l 1//l 2，则m =( )A. −5B. 2C. 2或−5D. 54.如图，在四面体A−BCD 中，点O 为底面三角形BCD 的重心，P 为AO 的中点，设AB =a ，AC =b ，AD =c ，则BP 在基底{a ,b ,c }下的有序实数组为( )A.(23,−13,−13) B. (−23,13,13) C.(56,−16,−16) D. (−56,16,16)5.已知圆C ：x 2+y 2−4y +3=0，一条光线从点P (2,1)射出经x 轴反射，则下列结论不正确的是( )A. 圆C 关于x 轴的对称圆的方程为x 2+y 2+4y +3=0B. 若反射光线平分圆C 的周长，则入射光线所在直线方程为3x−2y−4=0C. 若反射光线与圆C 相切于A ，与x 轴相交于点B ，则|PB |+|PA |=2D. 若反射光线与圆C 交于M ，N 两点，则▵CNM 面积的最大值为126.已知圆C 1：(x−1)2+y 2=1，圆C 2：(x−a )2+(y−b )2=4，其中a ，b ∈R ，若两圆外切，则b−3a−5的取值范围为( )A. [−247,0]B. [−125,0]C. [0,247]D. [0,125]7.阅读材料：空间直角坐标系O−xyz中，过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为n=(a,b,c)的平面α的方程为a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0；过点P(x0,y0,z0)且一个方向向量为d=(u,v,w)(uvw≠0)的直线l的方程为x−x0 u =y−y0v=z−z0w.利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为3x−5y+z−7=0，直线l是平面x−3y+7=0与4y+2z+1=0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为( )A. 1035B. 75C. 715D. 1058.在平面直角坐标系中，A(2,0)，B(3,3)，点M在圆C：(x+2)2+y2=4上运动，则|MB|+12|MA|的最小值为( )A. 6B. 5C. 4D. 3二、多选题：本题共3小题，共18分。
安徽省合肥2020-2021学年高二上学期期中考试数学试卷
2020-2021高二上学期第一学期期中考试数学（文理共卷）班级_________ 姓名__________学号___________一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图如图，则原图形的周长是A. B. C. D.2.已知直线l：，则该直线的倾斜角为A. B. C. D.3.若在直线上有一点P，它到点和的距离之和最小，则该最小值为A. B. C. D.4.已知：空间四边形ABCD如图所示，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC，CD上的点，且，，则直线FH与直线A. 平行B. 相交C. 异面D. 垂直5.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积和表面积分别为A. ，B. ，C. ，D. ，6.已知直线：和：互相平行，则实数m的值为A. B. 2 C. D. 2或47.在下列条件中，可判断平面与平行的是A. ，且B. m，n是两条异面直线，且，，，C. m，n是内的两条直线，且，D. 内存在不共线的三点到的距离相等8.已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为A. B. C. D.9.点P是直线上的动点，直线PA，PB分别与圆相切于A，B两点，则四边形为坐标原点的面积的最小值等于A. 8B. 4C. 24D. 1610.已知各棱长均为1的四面体ABCD中，E是AD的中点，直线CE，则的最小值为A. B. C. D.11.已知正方体的棱长为a，点E，F，G分别为棱AB，，的中点，下列结论中，正确结论的序号是过E，F，G三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；平面EFG；平面；二面角平面角的正切值为；四面体的体积等于．A. B. C. D.12.已知边长为2的正所在平面外有一点P，，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设直线l的斜率为k，且，则直线的倾斜角的取值范围是________．14.直线过点，它在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则此直线方程为______ ．15.已知圆关于直线对称，则的最小值是___________．16.如图，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，P是侧面内一点，若平面AEF，则线段长度的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(10分)已知一束光线经过直线和的交点M，且射到x轴上一点后被x轴反射．求点M关于x轴的对称点P的坐标求反射光线所在的直线的方程．18.(12分)已知关于的方程C：．若方程C表示圆，求m的取值范围；若圆C与圆外切，求m的值；若圆C与直线相交于两点，且，求m的值．19.(12分)如图，在斜三棱柱中，点O、E分别是、的中点，与交于点F，平面已知，．求证：平面；求与平面所成角的正弦值．20.(12分)如图1，在中，，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将沿DE折起到的位置，使，如图2．求证：平面；求证：；线段上是否存在点Q，使平面DEQ？说明理由．21.(10分)如图所示，已知在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，点D是线段BC的中点，平面平面，，．求证：平面ABC．请问在线段上是否存在点E，使得平面若存在，请说明点E的位置若不存在，请说明理由．求二面角的大小．22.如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，平面平面ABCD，二面角的大小为，，M为线段SC的中点，N为线段AB上的动点．求证：平面平面SCD；是否存在点N，使二面角的大小为，若存在，求的值，不存在说出理由．答案一、选择题BCCBD ABCAB BC二、填空题13、14、或15、9 16、三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17、（10分）已知一束光线经过直线和的交点M，且射到x轴上一点后被x轴反射．求点M关于x轴的对称点P的坐标求反射光线所在的直线的方程．【答案】解：由得．点M关于x轴的对称点P的坐标为．易知经过点P与点N，的方程为，即．18．（12分）已知关于的方程C：．若方程C表示圆，求m的取值范围；若圆C与圆外切，求m的值；若圆C与直线相交于两点，且，求m 的值．【答案】解：方程可化为若方程C表示圆只需，所以m的范围是由知圆C的圆心为，半径为，可化为，故圆心为，半径为4．又两圆外切，所以，解得由圆的圆心半径为，过圆心C作直线l的垂线CD，D为垂足，则，又，知则，解得19．（12分）如图，在斜三棱柱中，点O、E分别是、的中点，与交于点F，平面已知，．求证：平面；求与平面所成角的正弦值．【答案】证明：，E分别是、的中点，与交于点F，，，平面平面，平面OEF，平面C.解：设点到平面的距离为d，，，，，，中，，，，，解得，设与平面所成角为，与平面所成角的正弦值为：．20．（12分）如图1，在中，，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将沿DE折起到的位置，使，如图2．求证：平面；求证：；线段上是否存在点Q，使平面DEQ？说明理由．【答案】解：，E分别为AC，AB的中点，，又平面，平面．由已知得且，，，又，平面，而平面，，又，平面BCDE，．线段上存在点Q，使平面理由如下：如图，分别取，的中点P，Q，则．，．平面DEQ即为平面DEP．由Ⅱ知平面，，又是等腰三角形底边的中点，，平面DEP，从而平面DEQ，故线段上存在点Q，使平面DEQ．21．（12分）如图所示，已知在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，点D是线段BC的中点，平面平面，，．求证：平面ABC．请问在线段上是否存在点E，使得平面若存在，请说明点E的位置若不存在，请说明理由．求二面角的大小．【答案】解：证明：因为四边形为正方形，所以．因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面ABC．当点E是线段的中点时，有平面C.理由如下：连接交于点E，连接DE．因为点E是的中点，点D是线段BC的中点，所以C.又因为平面，平面，所以平面C.因为平面ABC，所以，又因为，所以，又，AC、在平面内，所以平面，所以平面，所以，，所以是二面角的平面角．则，所以二面角的平面角为．22．（12分）如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，平面平面ABCD，二面角的大小为，，M为线段SC的中点，N为线段AB上的动点．求证：平面平面SCD；是否存在点N，使二面角的大小为，若存在，求的值，不存在说出理由．【答案】证明：平面平面ABCD，且，平面平面，平面SCD，又平面SBC，平面平面SCD；如图：平面平面ABCD，则过点S作面ABCD，交CD的延长线于点O，过O 作交AD于E，连接SE，，面SOE，则，所以为二面角的平面角的补角，则，又，两式相乘得，即，，，假设存在点N，使二面角的大小为过N作交CD于点P，过P作交DM于点Q，连接NQ，可得面NPQ，则为二面角的平面角，即，设，因为，四边形BCPN为矩形，则，，则，，解得，此时．存在点N，使二面角的大小为此时．。
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合肥一中2020—2021学年第一学期高二年级段一考试
数学试卷（理科）
时间：120分钟
满分：150分
一、选择题（每小题5分，共60分）1.下列命题中，错误的是()A.平行于同一个平面的两个平面平行B.平行于同一条直线的两个平面平行
C.一个平面与两个平行平面相交，交线平行
D.一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交
2.如图所示，三棱台111ABC A B C -中，沿面1A BC 截去三棱锥1A ABC -，则剩余部分（）
3.设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的（）
A.若l ∥α，l ∥β，则α∥β
B.若α∥β，l ∥α，则l ∥β
C.若l ⊥α，l ∥β，则α∥β
D.若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β
4.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如下图所示，则该几何体的左视图为（
）
5.用斜二侧面法表示水平放置的△ABC 的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形△A'B'C'．若点O'是斜边B'C'的中点，且A'O'=1，则原图形△ABC 的边BC 边上的高为（
）
A.1
B.2
C.22
D.2
A.三棱锥
B.四棱锥
C.三棱台
D.四棱台
6.三棱锥P ABC -的三条侧棱互相垂直，且1PA PB PC ===,则其外接球上的点到平面ABC 的距离的最大值为（）
7.若P 为两条异面直线l,m 外的任意一点，则（）A.过点P 有且仅有一条直线与l,m 都平行 B.过点P 有且仅有一条直线与l,m 都相交C.过点P 有且仅有一条直线与l,m 都垂直 D.过点P 有且仅有一条直线与l,m 都异面8.九章算术中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA 1为正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA 1为底面矩形的一遍，则这样的阳马个数是（）A.4 B.8C.12
D.16
正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1棱长为2.点M,N 分别是BC,CC 1的中点，动点P 在正方形BCC 1B 1内运动，且AMN PA //1则PA 1的长度范围为（）A.5
1,
2
B.
32
,52 C.
32
,32
D.31,
2
直三棱柱111ABC A B C -中，AB=AC=AA 1,60BAC Ð=°,则异面直线BA 1和AC 1所成角的余弦值为（）
A.
2
3 B.
4
3 C.
4
1 D.
3
1如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为π3
4
的鸡蛋放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋的最高点与蛋巢的底面的距离为（）
A.
6322+ B.
23C.
2322
+ D.
3322
+A.
233
B.
33
C.
36
D.
32
12已知三棱锥ABC P -的顶点P 在底面的射影O 为△ABC 的垂心，
若2
ABC OBC PBC
S S S ×=,
且三棱锥P ABC -的外接球半径为3，则PAB PBC PAC S S S ++的最大值为（）
A.8
B.10
C.18
D.22
二、填空题：（每小题5分，共20分）
13.有一种多面体的饰品，其表面右6个正方形和8个正三角形组成(如图)，则AB 与CD 所成的角的大小是.
14.已知圆锥的母线长度为2，一只蚂蚁从圆锥的底面圆上一点出发，绕着圆锥侧面爬行一周，再回到出发点的最短距离为2，则此圆锥的底面半径为.15.如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，动点P 在线段D 1E 上，则点P 到直线CC 1的距离的最小值为.
16.已知四面体ABCD 中，AB =CD =5，AC =BD =34，AD =BC =41，O 为其外接球球心，AO 与AB 、AC 、AD 所成的角分别为α、β、γ。
有下列结论：①该四面体的外接球的表面积为50π；②该四面体的体积为10；③γβα222cos cos cos ++=1；
④DAB CAD BAC ∠+∠+∠=180。
.
其中所有正确结论的编号为：_________.
17.（本小题满分10分）
一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积.
18.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA 底面ABCD ，E 为PD 的中点。
(1)求证：PB //平面AEC ；(2)若三棱锥C -ADE 的体积为
3
2
2，求PC 与底面ABCD 所成角的大小。
19.（12分）如图，正三棱柱'''ABC A B C -中底面边长为a ，E D 、分别在'BB 与'
CC 上，且1
,2
BD a CE a =
=。
（1）求截面ADE 的面积；
（2）AE 上是否存在一点P ,使得''?DP ACC A ^面若不存在，说明理由；若存在，指出
P 的位置。
20.（12分）如图，ABCD 是边长为a 的正方形，DE ABCD ^平面,3 3.DE AF ==（1）证明：DCE ABF 平面平面//；
（2）在DE 上是否存在一点G ,使FBG 平面将几何体ABCDEF 分成上下两部分的体积比为?11:3若存在，求出G 的位置；若不存在，说明理由；
21.（12分）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，
111111,,,22,336
ABC B BD B BA B BC AB A B B B p p
Ð=
Ð=Ð=Ð===（1）求证：1AC BDB ^直线平面；
（2）求直线11B A 与平面1ACC 所成角的正弦值。
22.（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面111,,AA BC A B BB ^^（1）求证：11;A C CC ^；
（2）若2,AB AC BC ===问1AA 为何值时，三棱柱111ABC A B C -体积最大，并
求此最大值。