合肥一中数学

合集下载

安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题

A．{x∣0 x 1} C．{x∣1 x 5}
B．{x∣1 x 0} D．{x∣0 x 4}
2．已知函数 f x 2x 3x 7 ，则该函数零点所在区间为（）
A． 0,1
B． 1, 2
C． 2, 3
3．函数 f x x sin x 的图象大致为（）
cos x 2
D．3, 4
4
10．已知 f x, g x 是定义在 R 上的奇函数和偶函数，且 f x g x ex,e 2.71828 ，
试卷第 2 页，共 5 页
下列选项正确的是（）
A． g x 的最小值为 1
B． f 2x 2 f x g x
C． g x]2 f x]2 1
D． xR ，恒有 f 2x 1 f ax2 2x 的充分不必要条件为 a 4
(1)求函数 f x 在 R 上的解析式；
(2)若对任意的 x 1, ，都有不等式 f x2 m f 2x2 mx 1 0 恒成立，求实数 m
的取值范围. 20．近年来，合肥市地铁轨道交通高质量发展，成为中国内地轨道交通新星，便捷的交通为市民出行带来极大便利，刷新了市民幸福指数.春节将至，为了提升人们的乘车体验感，合肥某地铁线路准备通过调整发车时间间隔优化交通出行，已知地铁的发车时间间隔 t （单位：分钟）满足 3 t 18,t N* ，通过调研，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔 t 相关，当10 t 18时地铁可达到满载状态，载客量为 1250 人，当 3 t 10
(1)求 f x 的解析式及对称中心；
(2)先将 f x 的图象横坐标缩短为原来的 1 倍，再向右平移 π 个单位后得到 g x 的图
2
12
象，求函数
y
g

安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期教学质量检测(11月月考)数学试题(含答案)

安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期教学质量检测（11月月考）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|y=log3(x2−1)}，集合B={y|y=3−x}，则A∩B=( )A. (0,1)B. (1,2)C. (1,+∞)D. (2,+∞)2.若sinθ(sinθ+cosθ)=25，则tanθ=( )A. 2或−13B. −2或13C. 2D. −23.已知函数f(x)=a−e x1+ae x⋅cos x，则“a=1”是“函数f(x)的是奇函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.函数f(x)={ax2+e x,x≥0x3−ax2+a,x<0在R上单调，则a的取值范围是( )A. (0,1)B. (0,1]C. [0,1)D. [0,1]5.在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知▵ABC的外接圆半径为1，且a2+c2−b2=2ac,1+2sin A 1−2cos A =sin2C1+cos2C，则▵ABC的面积是( )A. 22B. 32C. 1D. 26.已知一个正整数N=a×1010(1≤a<10)，且N的15次方根仍是一个整数，则这个数15次方根为().(参考数据：lg2≈0.3,lg3≈0.48,lg5≈0.7)A. 3B. 4C. 5D. 67.已知函数f(x)=x ln x，g(x)=e x−x2+a，若∃x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)，则实数a的取值范围是( )A. (4−e2,ln4+1−e)B. [4−e2,ln4+1−e]C. (ln4+4−e2,1−e)D. [ln4+4−e2,1−e]8.已知正数x，y满足9x2−1+9y2−1=9xy，则4x2+y2的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、多选题：本题共3小题，共18分。

安徽省合肥市第一中学2024届高三最后一卷数学试题(解析版)

合肥一中2024届高三最后一卷数学试题（考试时间：150分钟满分：120分）注意事项：1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名､准考证号和座位号后两位.2.答题时､每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整､笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上答题无效.4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交.第I 卷（选择题）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量()()2,3,1,3a b ==-，则2a b -=（）A.2 B.3C.4D.5【答案】D 【解析】【分析】根据向量坐标进行线性运算，再由模长公式即可求解.【详解】()()()22,32,64,3,25a b a b -=--=--== ，故选：D.2.已知复数z 满足()1i 2i z ⋅+=-，则z =（）A.13i 22+B.13i 22-C.13i22-- D.13i22-+【答案】A 【解析】【分析】根据题设求出z ，从而求出z 的值.【详解】由题知，()()()()2i 1i 2i 13i 13i 1i 1i 1i 222z ----====-++-，所以13i 22z =+.故选：A.3.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为3，焦距为，则该椭圆的方程为（）A.2213x y += B.2219x y +=C.22197x y += D.2213628x y +=【答案】C 【解析】【分析】根据离心率和焦距可得3a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，进而可得2b ，即可得方程.【详解】由题意可知：232c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，可得3a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，则2927b =-=，所以该椭圆的方程为22197x y +=.故选：C.4.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3314,2S a ==，则4a =（）A.1B.23或-1 C.23-D.23-或1【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解公比，进而可求解.【详解】依题意，10a ≠，因为314,S =2312a a q ==，12112(1),a a a q ∴+==+故2610q q --=，故12q =或1,3q =-当12q =时，431a a q ==；当1,3q =-4323a a q ==-；423a ∴=-或1.故选：D5.已知α为三角形的内角，且15cos 4α-=，则sin 2α=（）A.14-+ B.14 C.38- D.354-【答案】B 【解析】【分析】利用降幂公式得到答案.【详解】因为α为三角形的内角，15cos 4α=，所以sin 2α==154+===.故选：B6.甲乙丙丁戊5名同学坐成一排参加高考调研，若甲不在两端且甲乙不相邻的不同排列方式的个数为（）A.36种B.48种C.54种D.64种【答案】A 【解析】【分析】利用间接法，先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数，结合排列数运算求解.【详解】先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数，所以总数为3211334233A A A A A 36-=种，故选：A.7.已知四棱锥P ABCD -的各顶点在同一球面上，若2224AD AB BC CD ====，PAB 为正三角形，且面PAB ⊥面ABCD ，则该球的表面积为（）A.13π3B.16πC.52π3D.20π【答案】C 【解析】【分析】作辅助线，找到球心的位置，证明O 到四棱锥所有顶点距离相等；根据勾股定理，求出球的半径，进而求出球的表面积.【详解】如图，取AD 的中点E ，取AB 的中点G ，连接EG 、PG ，在线段PG 上取一点F ，使13FG PG =，过点E 作平面ABCD 的垂线OE ，使OE FG =，连接OF ，易知四边形ABCD 是等腰梯形，ABE 、BCE 、CDE 均为等边三角形，所以2AE BE CE DE ====，因为OE ⊥平面ABCD ，所以90OEA OEB OEC OED ∠=∠=∠=∠=︒，所以OA OB OC OD ===，因为PAB 为正三角形，G 为AB 的中点，所以PG AB ⊥，又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PG ⊂平面PAB ，所以PG ⊥平面ABCD ，因为OE ⊥平面ABCD ，所以//PG OE ，即//FG OE又因为OE FG =，所以四边形OEGF 为平行四边形，所以//OF EG ，因为ABE 为正三角形，G 为AB 的中点，所以EG AB ⊥，又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，EG ⊂平面ABCD ，所以EG ⊥平面PAB ，所以OF ⊥平面PAB ，又因为F 是ABP 的外心，所以FA FB FP ==，所以OA OB OP ==，所以O 即为四棱锥外接球的球心，因为1333OE FG PG ===，2AE =，所以393R OA ====所以2239524π4π)π33S R ==⋅=，故选：C.8.过()0,M p 且倾斜角为π,π2αα⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的直线l 与曲线2:2C x py =交于,A B 两点，分别过,A B 作曲线C 的两条切线12,l l ，若12,l l 交于N ，若直线MN 的倾斜角为β.则()tan αβ-的最小值为（）A.2B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】首先画出平面图形，求出tan tan 2k k αβ'⋅=⋅=-的结论，再利用两角和与差的正切公式以及前面的结论将()tan αβ-化简为()2k k ⎛⎫-+-⎪⎝⎭的形式，由基本不等式即可求得最值.【详解】如图，设()00,N x y ，1122(,),(,)A x y B x y ，由于曲线2:2x C y p=，则x y p '=，所以在A 点的切线方程为111()x y y x x p-=-，同理在B 点的切线方程为222()x y y x x p-=-，由于N 点是两切线的交点，所以1010120202()()x y y x x px y y x x p⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，则AB l 为()000000()2xx xy y x x y y y x x p y y p p-=-⇒-=-⇒=+，且过()0,M p ，0y p ∴=-且0tan x k p α==，设2tan ,2p k k k x β''==-∴⋅=-，()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-∴-=+()21k k k k k k -⎛⎫==-+-≥ ⎪+⋅⎝⎭''当且仅当k =时“=”成立，故选：C.二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下表是某人上班的年收入（单位：万元）与上班年份的一组数据：年份x 1234567收入y2.93.33.64.44.85.25.9则下列命题正确的有（）A.年收入的均值为4.3B.年收入的方差为1.2C.年收入的上四分位数为5D.若y 与x 可用回归直线方程0.5ˆˆyx a =+来模拟，则ˆ 2.3a =【答案】AD 【解析】【分析】对于A ：根据平均数定义运算求解；对于B ：根据方差公式分析求解；对于C ：根据百分位数的定义分析求解；对于D ：根据线性回归方程必过样本中心点分析求解.【详解】对于选项A ：由题意可得：年收入的均值 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.94.37y ++++++==，故A正确；对于选项B ：由题意可得：年份x 1234567收入y2.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9()2y y - 1.9610.490.010.250.812.56所以年收入的方差21.9610.490.010.250.812.567.081.277s ++++++==≠，故В错误；对于选项C ：因为70.75 5.25⨯=，所以年收入的上四分位数为第6个数据，是5.2，故C 错误；对于选项D ：因为年份的平均数123456747++++++==x ，即样本中心点为()4,4.3，所以0.5 4.30.523ˆ4.ay x =-=-⨯=，故D 正确；故选：AD.10.已知函数()2cos sin f x x x x ωωω=-(0)>ω，则下列命题正确的有（）A.当2ω=时，5π24x =是()y f x =的一条对称轴B.若()()122f x f x -=，且12minπx x -=，则12ω=C.存在()0,1ω∈，使得()f x 的图象向左平移π6个单位得到的函数为偶函数D.若()f x 在[]0,π上恰有5个零点，则ω的范围为72,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】BD 【解析】【分析】首先对函数表达式进行化简，A 选项，将2ω=，5π24x =代入发现此处有对称中心，没有对称轴；B 选项，由题设知，π为半个周期；C 选项，对函数进行平移变换，再判断奇偶性；D 选项，求出π26x ω+的范围，再确定区间右端点π2π6ω+的范围，从而求出ω的范围.【详解】()31cos 2311π1sin2=cos 2=sin 22222262x f x x x x x ωωωωω-⎛⎫=-+-+-⎪⎝⎭对于A ，当2ω=时，()π1sin 462f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以55ππ11πsin 246622f ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5π24x =不是()y f x =的一条对称轴，故A 错误；对于B ，由题意知，2πT =，所以22π2πω=，又因为0ω>，所以12ω=，故B 正确；对于C ，()f x 向左平移π6个单位后，得到()ππ1ππ1sin 2sin 2662362g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-=++- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，假设()g x 为偶函数，则ππππ362k ω+=+，Z k ∈，解得13k ω=+，Zk ∈而(0,1)ω∈，所以假设不成立，故C 错误；对于D ，[]0,πx ∈时，πππ2,2π666x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，令()π1=sin 2062f x x ω⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则π1sin 262x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为()f x 在[]0,π上恰有5个零点，所以π25π29π2π,666ω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得72,3ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故D 正确.故选：BD.11.已知函数()()e ,ln xf xg x x ==-，则下列命题正确的有（）A.若()g x ax ≥恒成立，则1a e≤-B.若()y f x =与1y ax =-相切，则2ea =C.存在实数a 使得()y f x ax =-和()y g x ax =+有相同的最小值D.存在实数a 使得方程()f x x a -=与()x g x a +=有相同的根且所有的根构成等差数列【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ：原题意等价于ln xa x ≤-在()0,∞+内恒成立，令()ln ,0x h x x x=->，利用导数求其最值，结合恒成立问题分析求解；对于B ：对()y f x =求得，结合导数的几何意义列式分析可得()1ln 1a a -=-，代入2e a =检验即可；对于C ：取1a =，利用导数求最值，进而分析判断；对于D ：结合选项C 可知：()(),h x x ϕ的图象，设交点为()(),M m h m ，结合图象分析可知从左到右的三个交点的横坐标依次为ln ,,e m m m ，进而可得结果.【详解】对于选项A ，若()g x ax ≥，则ln x ax -≥，且0x >，可得ln xa x≤-，可知原题意等价于ln xa x≤-在()0,∞+内恒成立，令()ln ,0x h x x x =->，则()2ln 1x h x x ='-，令()0h x '>，解得0e x <<；令()0h x '<，解得e x >；可知()y h x =在()0,e 内单调递减，在()e,∞+内单调递增，则()()1e eh x h ≤=-，所以1a e≤-，故A 正确；对于选项B ：因为()e xf x =，则()e xf x '=，设切点为()00,ex P x ，则切线斜率()0=ex k f x '=，可得切线方程为()000ee x x y x x -=-，即()000e e 1x x y x x =+-，由题意可得()000e e 11xx a x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，整理得()1ln 1a a -=-，显然2e a =不满足上式，故B 错误；对于选项C ：例如1a =，构建()()e xh x f x x x =-=-，则()e 1xh x '=-，令()0h x '>，解得0x >；令()0h x '<，解得0x <；可知()y h x =在(),0∞-内单调递减，在()0,∞+内单调递增，可知()y h x =的最小值为()01h =；构建()()ln ,0x g x x x x x ϕ=+=-+>，则()111x x x xϕ-=-+='，令()0x ϕ'>，解得1x >；令()0x ϕ'<，解得01x <<；可知()y x ϕ=在()0,1内单调递减，在()1,∞+内单调递增，可知()y x ϕ=的最小值为()11G =，可知()y f x ax =-和()y g x ax =+有相同的最小值1，故C 正确；对于选项D ：结合选项C 可知：()(),h x x ϕ的图象大致如下：设交点为()(),M m h m ，易知01m <<，由图象可知：当直线y a =与曲线()y h x =和曲线()y x ϕ=共有三个不同的交点时，直线y a =必经过点()(),M m h m ，即()a h m =.因为()()h m m ϕ=，所以e ln m m m m -=-，即e 2ln 0m m m -+=.令()()()h x x a h m ϕ===，得e ln e x m x x x m -=-=-，解得x m =或e m x =，由01m <<得1e m m <<.所以当直线y a =与曲线()y h x =和()y x ϕ=共有三个不同的交点时，从左到右的三个交点的横坐标依次为ln ,,e m m m .因为e 2ln 0m m m -+=，即e ln 2m m m +=，所以ln ,,e m m m 成等差数列，故D 正确；故选：ACD.【点睛】关键点点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．第Ⅱ卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}220A x x x =∈--≤N∣，集合(){}22210B x x a x a a =-+++=∣，若B A ⊆，则=a __________.【答案】0或1【解析】【分析】根据题意先求集合,A B ，结合包含关系分析求解.【详解】由题意可知：{}{}{}220120,1,2A x x x x x =∈--≤=∈-≤≤=NN ∣∣，(){}{}22210,1B x x a x a a a a =-+++==+∣，因为B A ⊆，可知{}0,1B =或{}1,2B =，可得0a =或1a =.故答案为：0或1.13.过()1,2P 的直线l 被曲线2240x x y -+=所截得的线段长度为l 的方程为__________.【答案】1x =或34110x y +-=【解析】【分析】根据曲线的方程确定曲线为圆，再根据直线与圆的位置，分2种情况讨论：①当直线的斜率不存在，②当直线的斜率存在时，每种情况下先设出直线的方程，利用直线被圆所截得的线段长度，求解直线的方程可得出答案.【详解】由曲线2240x x y -+=知，该曲线为圆()2224x y -+=且圆心为()2,0，半径为2r =.当直线斜率不存在时，直线方程为1x =，此时圆心到直线的距离为1d =.根据垂径定理，直线截圆所得线段长为：l ==，满足题意.当直线的斜率存在时，设直线方程为：()12y k x =-+，即20kx y k --+=圆心到直线的距离为d =，当直线截圆所得线段长度l =根据垂径定理2222l d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得，22222⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得34k =-此时直线方程为34110x y +-=.故答案为：1x =或34110x y +-=.14.在ABC 中，设,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且,tan sin sin b c A B C ≠=+，则以下结论正确的有__________.①20,11a b c ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪+⎝⎭；②211a b c ⎛⎫∈ +⎝⎭；③2b c a +⎫∈⎪⎭；④2b c a ⎛+∈ ⎝；⑤a ∞⎫∈+⎪⎪⎭.【答案】⑤【解析】【分析】依题意可得sin sin sin cos A B C A =+，利用正弦定理将角化边得到cos ab c A=+，将上式两边平方，再由余弦定理得到2220cos a b c A+-=，最后由余弦定理及基本不等式计算可得.【详解】因为tan sin sin A B C =+，即sin sin sin cos AB C A=+，由正弦定理可得cos ab c A=+，所以22222cos a b c bc A=++，又2222cos bc A b c a +-=，所以()()22222222cos 2cos cos cos a b c A bc A b c A b c a A=++=+++-，所以()2221cos 0cos a b c A A ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，因为()0,πA ∈，所以()cos 1,1A ∈-，则1cos 0A +≠，所以2220cos a b c A+-=，()222cos a b c A =+，又b c ≠，所以222b c bc +>，所以()222222cos 2cos a b cA bc A bc a =+>=+-，所以2222b c a +>，则a >a ∞⎫∈+⎪⎪⎭.故答案为：⑤【点睛】关键点点睛：本题关键是余弦定理的灵活应用，第一次得到2220cos a b c A+-=，再由基本不等式得到()222222cos 2cos a b cA bc A bc a =+>=+-.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,P 是线段1AB 上的动点.（1）求证：平面11BDD B ⊥平面11A BC ；（2）1PB 与平面11A BC 所成的角的正弦值为3，求PB 的长.【答案】（1）证明见解析（2）PB =【解析】【分析】（1）根据题意可得111A C DD ⊥，1111AC B D ⊥，进而可证11A C ⊥平面11BDD B ，即可得结果；（2）设1B 在平面11A BC 上的射影点为E ，连接1,EP EB ，利用等体积法可得13EB =，结合线面夹角可得13EB =，进而可得结果.【小问1详解】因为1DD ⊥平面1111D C B A ，且11AC ⊂平面1111D C B A ，可得111AC DD ⊥，四边形1111D C B A 为正方形，则1111AC B D ⊥，且111111,B D DD D B D ⋂=，1DD ⊂平面11BDD B ，可得11A C ⊥平面11BDD B ，且11AC ⊂平面11A BC ，所以平面11BDD B ⊥平面11A BC .【小问2详解】设1B 在平面11A BC 上的射影点为E ，连接1,EP EB，可知11A BC V是以边长为1134A BC S =⨯=V ，因为111111B A BC B A B C V V --=，即1111222332EB ⨯=⨯⨯⨯⨯，解得1233EB =，设1PB 与平面11A BC 所成的角的大小为θ，则111233sin 3EB PB PB θ===，可得1PB =，在1BPB △中，由余弦定理得，222111π2cos 4PB BB PB BB PB =+-⨯⨯，即224PB =+-，解得PB =.16.甲和乙进行中国象棋比赛，每局甲赢的概率为0.8，甲输的概率为0.2，且每局比赛相互独立.（1）若比赛采取三局两胜制，且乙已经赢得比赛，则比赛需要的局数X 的数学期望()E X 为多少？（保留小数点后一位）（2）由于甲､乙实力悬殊，乙提出“甲赢5局之前乙赢2局，则乙胜”，求乙胜的概率.【答案】（1）2.6（2）0.34464【解析】【分析】（1）分析可知X 的可能取值为2，3，结合条件概率求()()2,3P X P X ==，进而可得期望；（2）根据题意分析乙胜的情况，结合独立事件概率乘法公式分析求解.【小问1详解】记“乙已经赢得比赛”为事件A ，则()120.20.2C 0.20.80.20.104P A =⨯+⨯⨯⨯=，由题意可知：X 的可能取值为2，3，则有：()()12C 0.20.20.80.20.2582,30.104130.10413P X P X ⨯⨯⨯⨯======，所以X 的数学期望()583423 2.6131313E X =⨯+⨯=≈.【小问2详解】由题意可知：每局乙赢的概率00.2p =，则()()()()2321110200030004000C 1C 1C 1P A p p p p p p p p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-+-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦()415000C 1p p p ⎡⎤+-⎣⎦()()()()234200000121314151p p p p p ⎡⎤=+-+-+-+-⎣⎦()()()()()22340.21210.2310.2410.2510.2⎡⎤=+-+-+-+-⎣⎦0.048.6160.34464=⨯=，所以乙胜的概率0.34464.17.()()ex af x a -=∈R .（1）若()f x 的图象在点()()00,A x f x 处的切线经过原点，求0x ；（2）对任意的[)0,x ∈+∞，有()sin f x x ≥，求a 的取值范围.【答案】（1）1（2）πln2,42∞⎛⎤-+ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）求得()ex af x -'=，得到()00ex af x -='且()00ex af x -=，根据题意，列出方程，即可求解；（2）根据题意，转化为e sin 0x a x --≥在[)0,x ∈+∞恒成立，令()e sin x ag x x -=-，当0a ≤时，符合题意；若0a >，求得()ecos x ag x x --'=，令()()h x g x '=，利用导数求得()g x '的单调性，结合()π00,02g g ⎛⎫<> '⎪⎝⎭'，得到存在唯一的0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，得出()g x 的单调性和极小值，进而求得a 的取值范围.【小问1详解】由函数()e x af x -=，可得()e x af x -'=，所以()00ex af x -='且()00ex af x -=，即切线的斜率为0e x a -，切点为()00e,x aA x -因为()f x 的图象在点()()00,A x f x 处的切线经过原点，可得000e 0ex a x ax ---=-，解得01x =.【小问2详解】任意的[)0,x ∈+∞，有()sin f x x ≥，即e sin 0x a x --≥在[)0,x ∈+∞恒成立，令()[)esi ,0,n x ag x x x -=∈-+∞，若0a ≤，则0x a -≥，可得e 1x a -≥，所以()e sin 1sin 0x ag x x x -=-≥-≥，符合题意；若0a >，可得()ecos x ag x x --'=，令()()h x g x '=，则()e sin x a h x x -+'=，当0πx ≤≤时，()0h x '>，()g x '在[]0,π递增，而()π2π0e 10,e02a ag g --⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭''，所以，存在唯一的[]0π0,0,π2x ⎛⎫∈⊆ ⎪⎝⎭，使得()000e cos 0x ag x x --'==，所以，当00x x <<时，()0g x '<，()g x 在()00,x 递减，当0πx x <<时，()0g x '>，()g x 在区间()0,πx 递增，故当0x x =，函数()g x 取得极小值()00000e sin cos sin 0x ag x x x x -=-=-≥，所以0π04x <≤，此时，00lncos x a x -=，可得00πlncos ln 42a x x =-≤-，即πln2042a <≤+；当πx >时，()πln 2142e sin e1e1e 10x x ax ag x x ---=-≥-≥-≥->，因而πln2042a <≤+，符合题意，综上所述，实数a 的取值范围是求πln2,42∞⎛⎤-+ ⎥⎝⎦.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．18.已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上焦点为(，下顶点为A，渐近线方程是y =，过20,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭点的直线交双曲线上支于,P Q 两点，,AP AQ 分别交直线23y =于,M N 两点，O 为坐标原点.（1）求C 的方程；（2）求证：,,,M N O A 四点共圆；（3）求（2）中的圆的半径r 的取值范围.【答案】（1）22142-=y x （2）证明见解析（3）5.3⎛ ⎝【解析】【分析】（1）根据题意得到关于,,a b c 的方程组，解出即可；（2）方法一：设直线2:3PQ y kx =+，联立双曲线方程得到韦达定理式，求出11836M x x y =+，22836N x x y =+，最后计算并证明出BO BA BM BN =即可；方法二：转化为证明出1OM AN k k =，同法一设线联立得到韦达定理式，再整体代入计算出1OM AN k k =即可；（3）设圆心为T ，计算出(),1T k -，根据r =k 的范围即可.【小问1详解】由题，222ac a b c b==+=，解得224,2a b ==，所以C 的方程为22142-=y x .【小问2详解】（方法一）设()()11222,,,,:3P x y Q x y PQ y kx =+，代入22142-=y x ，化简整理得()224322039k x kx -+-=，有()22212201632Δ420990k k k x x ⎧-≠⎪⎪⎛⎫=--->⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎩，解得21629k <<，且()()1212222243243239,223292k k x x x x k k kk -+====----，112:2y AP y x x +=-，令23y =得11836M x x y =+，同理22836N x x y =+，()()1212121288643636922x x x x BM BN y y y y =⨯=++++()()()121221212126464864922939x x x x y y k x x k x x ==+++++()()()22223292641632846499399232k k k k k k -==⋅+⋅+--，22162339BO BA ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，则BO BA BM BN =，所以,,,M N O A 四点共圆.（方法二）设,OM AN 的倾斜角分别为,αβ.由对称性，不妨设PQ 的斜率0k >，此时,αβ均为锐角，所以,,,M N O A 四点共圆πAOM ANM ∠∠⇔+=，ππ2αβ⎛⎫⇔++= ⎪⎝⎭ππ,,0,22αβαβ⎛⎫⇔+=∈ ⎪⎝⎭tan tan 1αβ⇔=1OM AN k k ⇔=设()()11222,,,,:3P x y Q x y PQ y kx =+，代入22142-=y x ，化简整理得()224322039k x kx -+-=，有()22212201632Δ420,990k k k x x ⎧-≠⎪⎪⎛⎫=--->⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎩解得21629k <<，()()121222324,9232kx x x x k k =-+=---，112:2y AP y x x +=-，令23y =得11836M x x y =+，同理22836N x x y =+，121222,4OM AN AQ y y k k k x x ++===()21212121212121288864223339444OM ANkx kx k x x k x x y y k k x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭=⋅==()()()2222328464399232132492kk k k k k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+-+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎣⎦所以,,,M N O A 四点共圆.【小问3详解】设圆心为T ，则1T y =-，121212124448823636333M N T x x x x x x x y y kx kx ⎛⎫⎪+==+=+ ⎪++ ⎪++⎝⎭()()()()()()221212221212223284822392324438643284643339399232kk kx x x x k k k k k x x k x x k k k k⋅+⋅++--==⋅=+++⋅+⋅+--，(),1T k ∴-，因为21629k <<，则5.3r ⎛= ⎝【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法得到韦达定理式，然后利用四点共圆的充要条件代入计算证明即可，第三问的关键是得到圆心坐标，从而得到r =19.给定自然数n 且2n ≥，设12,,,n x x x 均为正数，1ni i x T ==∑（T 为常数），11n i ni i nx x T x T x -==--∑.如果函数()f x 在区间I 上恒有()0f x ''>，则称函数()f x 为凸函数.凸函数()f x 具有性质：()1111n n i i i i f x f x n n ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑.（1）判断()1xf x x=-，()0,1x ∈是否为凸函数，并证明；（2）设()1,2,,ii x y i n T == ，证明：111111n ny y n -≤---；（3）求nnx T x -的最小值.【答案】（1）()f x 在()0,1上为凸函数，证明见解析（2）证明见解析（3）()5128221nn --.【解析】【分析】（1）对()f x 求导之后，再求二阶导数，证明()0f x ''>即可得出结论；（2）根据凸函数的性质得，()11111111n n i i i i f y f y n n --==⎛⎫≥ ⎪--⎝⎭∑∑；将11n i n i i nx x T x T x -==--∑中的分子、分母同时除以T ，得到()111n ni i n y f y y -==-∑；加上1111n ni i n n i i y y y y -===-=-∑∑，利用以上条件得到一个关于n y 与n 的不等式，变形后即可得出结论.（3）设i i x y T=，将n n x T x -转化为1n n y y -，判断其单调性，将问题转化为求n y 的最小值；利用（2）的结论，求出n y 的最小值，代入1n ny y -即可得出答案.【小问1详解】()f x 在()0,1上为凸函数.证明：由题知，()22(1(1)())(11)x f x x x x ==-'----，所以()43(1)(11)2()2f x x x x =-'=--'，因为()0,1x ∈，所以10x ->，()0f x ''>，所以()f x 在()0,1上为凸函数.【小问2详解】证明：因为i i x y T =()1,2,,i n = ，所以11111n n n i i i i i i x T y x TT T =======∑∑∑，由题知11n i n i i n x x T x T x -==--∑，分子分母同时除以T ，得1111i n n i n i x x TT x x T T -==--∑，所以1111n i n i i n y y y y -==--∑，即()111n n i i n y f y y -==-∑，根据凸函数的性质得，()11111111n n i i i i f y f y n n --==⎛⎫≥ ⎪--⎝⎭∑∑，所以111111111111n i n i n n i i y y n n y y n -=-=-⋅≥----∑∑，又因为1111n n i i n n i i y y yy -===-=-∑∑，所以1(11111))111(11(11)n n n n n n y y y n n y n y y n ⋅---⋅≥=------⋅--，两边同时乘以n 1-，得(1)(111()1)n n n n y n y y n y --≥----，因为()1,2,,i x n T i <= ，所以(0,1)i i x y T =∈，又因为2n ≥，所以(1)(1011(1))n n n n y n y y n y --≥>----，两边同时取倒数，得11(11(1))1)(111n n n n n y n y y n y y n ----≤=-----，所以111111n n y y n -≤---，即111111n n y y n -≤---.【小问3详解】设i i x y T =()1,2,,i n = ，则n n x y T =，且()0,1n y ∈，所以11111n n n n n n n x x y T x T x y y T ===-----，随n y 增大而增大，由（2）知，111111n n y y n -≤---，所以()2111n n n n y y y n n y -⋅--≤--，所以()2(34)210n n y n n y n --+-≤-，当2n =时，120n y -+≤，12n y ≥，所以1111n n n x T x y =-≥--，当且仅当1212y y ==时，等号成立，当3n ≥时，()()3451283451282222n n n y n n ---+≤≤--，所以1n n n n x y T x y =≥--22(5128)(34)(24)4128n n n n nn n--++-+-=-+()22288(22412821n n n nn n n-+-+--==-+-，当且仅当()()121151281221nny ny y yn n n--=====---时，等号成立，当2n=时，最小值为1，满足上式，所以nnxT x-的最小值是()5128221nn--.【点睛】关键点点睛：第2问的关键是将条件中x转化为y，紧紧围绕凸函数的性质来做文章；第3问关键是将nnxT x-转化为1nnyy-，利用第2问的结论，求出ny的最小值.。

合肥市第一中学2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题+解析

安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________三、填空题四、解答题(1)若运动场面积为3200m(2)若运动场与通道占地总面积为22．已知函数()2xf xx +=+ (1)判断并根据定义证明函数参考答案：函数()y f x m =-的图象与个交点，由图可知，134m ≤，故实数m 的最大值为故答案为：134.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，解题的关键就是求出函数的解析式，由此作出函数的图象，利用数形结合思想求解17．(1){}15A B x x ⋂=-<<因为A B ，则有323m m -≤-⎧⎨≥⎩，解得3m ≥；综上所述，实数m 的取值范围是[)3,+∞．19．(1)()3f x x=(2)()3232,0,0x x x g x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩【分析】（1）根据幂函数的定义得到方程，解出m 值，再检验即可；（2）根据奇函数的性质求解解析式即可.【详解】（1）因为()f x 为幂函数，所以2571m m -+=，解得2m =或3m =．当2m =时，()2f x x =是偶函数，不是奇函数﹔当3m =时，()3f x x =是奇函数，所以3m =．故()f x 的解析式()3f x x =．（2）由（1）得，当0x ≥时，()()232g x f x x x x =-=-，对于0x <，则0x ->，()()()3232g x x x x x -=---=--，又因为函数()g x 是定义在R 上的偶函数，所以()()g x g x -=，所以()()320g x x x x =--<，所以函数()g x 的解析式()3232,0,0x x x g x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩．20．(1)答案见解析(2)[)2,+∞【分析】（1）选①为不等式有解问题，选②为不等式恒成立问题，都可以转化化二次函数在闭区间上的最值问题处理；（2）将函数()F x 分段化简函数解析式.分为0,0x x ≥<两段转化为二次函数求解单调区间即可.【详解】（1）由()0f x >，得240x x a -+>，即24a x x >-+，。

2024年合肥市第一中学高三数学第一学期期末综合测试试题含解析

2024年合肥市第一中学高三数学第一学期期末综合测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（）A ．1-B ．2C ．7D ．82．已知函数()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<的图象有一个横坐标为3π的交点，若函数()g x 的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0,2]π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是( )A ．2935,2424⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．2935,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2935,2424⎛⎫⎪⎝⎭ D ．2935,2424⎛⎤⎥⎝⎦3．已知i 为虚数单位，实数,x y 满足(2)x i i y i +=-，则||x yi -= ( ) A ．1BCD4．将函数()sin(2)3f x x π=-()x R ∈的图象分别向右平移3π个单位长度与向左平移n (n >0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则n 的最小值为( ) A ．3π B ．23π C ．2π D ．π5．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（） A ．–10B ．14-C ．–18D ．–206．已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则38f π⎛⎫=⎪⎝⎭（）A ．264- B ．264+ C ．624- D ．622+ 7．某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照[)70,80，[)80,90，[]90,100分组，绘成频率分布直方图如下：嘉宾 A BC D EF评分969596 89 9798嘉宾评分的平均数为1x ，场内外的观众评分的平均数为2x ，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为x ，则下列选项正确的是（） A ．122x x x +=B ．122x x x +>C ．122x x x +<D ．12122x x x x x +>>>8．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（） A ．43B ．916C ．34D ．1699．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，A B 、是抛物线上两个不同的点，若||||8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（） A ．5B ．3C ．32D ．210．已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{2，4}，B ＝{3，4}，则()()UU A B ＝（）A ．{3，5，6}B ．{1，5，6}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，5，6}11．已知向量11,,2a b m ⎛⎫==⎪⎝⎭，若()()a b a b +⊥-，则实数m 的值为（） A ．12B ．32C ．12±D ．32±12．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1CC ，1DD 的中点，则异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为（） A ．14B ．154C ．265D ．15二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届合肥市第一中学高三六校第一次联考数学试卷含解析

2025届合肥市第一中学高三六校第一次联考数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知b a bc a 0.2121()2,log 0.2,===，则,,a b c 的大小关系是（） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<2．下图所示函数图象经过何种变换可以得到sin 2y x =的图象（）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 3．在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为钝角三角形”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a β⊂，b αβ=，则“//a α”是“//a b ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．给出下列三个命题：①“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”的否定；②在ABC 中，“30B ︒>”是“3cos B <的充要条件； ③将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象．其中假命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．36．已知抛物线2:4C y x =和点()2,0D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断：①直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-； ②//AE y 轴；③以BE 为直径的圆与抛物线准线相切. 其中，所有正确判断的序号是（） A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③7．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表：黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年D ．早于公元前6000年8．在区间[]1,1-上随机取一个实数k ，使直线()3y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（）A ．12B ．14C ．22D ．249．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．10．在直三棱柱111ABC A B C -中，己知AB BC ⊥，2AB BC ==，122CC =，则异面直线1AC 与11A B 所成的角为（） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒11．设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点若双曲线上存在点P ，使1260F PF ∠=︒，且122PF PF =，则双曲线的离心率为（） A ．3B ．2C ．5D ．612．已知l 为抛物线24x y =的准线，抛物线上的点M 到l 的距离为d ，点P 的坐标为()4,1，则MP d +的最小值是（） A ．17B ．4C ．2D ．117+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

安徽省合肥市合肥第一中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题

安徽省合肥市合肥第一中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________四、解答题17．“一切为了每位学生的发展”是新课程改革的核心理念．新高考取消文理分科，采用选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．新高考模式下，学生是否选择物理为高考考试科目对大学专业选择有着非常重要的意义．某校为了解高一年级600名学生物理科目的学习情况，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按照[4050)，，[5060)，，[6070)，，[7080)，，[8090)，，[90100]，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．(1)求这600名学生中物理测试成绩在[5060)，内的频数，并且补全这个频率分布直方图；(2)学校建议本次物理测试成绩不低于a 分的学生选择物理为高考考试科目，若学校希21．已知锐角ABC V 的三个内角满足sin sin B C =222(sin sin sin )tan B C A A +-．(1)求角A 的大小；(2)若ABC V 的外接圆的圆心是O ，半径是1，求()OA AB AC ×+uuu r uuu r uuu r 的取值范围．22．在多面体ABCDE 中，BC BA =，//DE BC ，^AE 平面BCDE ，2BC DE =，F 为AB 的中点.(1)求证：//EF 平面ACD ；(2)若EA EB CD ==，求二面角B AD E --的平面角正弦值的大小.【分析】由线面垂直的判定定理和性质定理可判断A ；连接11B C C B 、相交于点O ，可得四边形ADEO 为平行四边形，//DE AO ，再由线面平行的判定定理可判断B ；由B 选项知AB与DE 所成角即AB 与AO 所成角为BAO Ð或其补角，求出AO BO 、，在ABO V 中由余弦定理得cos BAO Ð，再求出sin BAO Ð可判断C ；由1C AB △、1C CB △均为直角三角形可得点O 是三棱锥1C ABC -的外接球的球心，求出外接球的半径可判断D.【详解】对于A ，在堑堵111ABC A B C -中，1CC ^平面ABC ，、、AC BC AB Ì平面ABC ，所以1CC AC ⊥，1CC BC ^，1CC AB ^，所以1C AC V 、1C CB △均为直角三角形，因为AB AC ^，所以ABC V 为直角三角形，且1CC AC C =I ，1CC AC Ì、平面1ACC ，所以AB ^平面1ACC ，1AC Ì平面1ACC ，所以1AB AC ^，所以1ABC V 为直角三角形，所以四面体1C ABC -为鳖臑，故A 错误；对于B ，如图，连接11B C C B 、相交于点O ，所以点O 为1C B 的中点，连接、EO AO ，设1O O x =，则()221664x x +=-+，解得2x =，所以2222420R =+=，所以三棱锥P BCD -外接球的表面积为24π80πR =，故答案为：80π【点睛】关键点点睛：此题考查多面体外接球问题，考查球的表面积公式的应用，解题的关键是根据题意找出棱锥外接球的球心的位置，从而可求出球的半径，考查空间想象能力和计算能力，属于难题.17．(1)频数为90，作图见解析(2)66.7a »【分析】（1）根据频率分布直方图的小矩形面积之和为1求得成绩在[5060)，内的频率，再求频数，然后根据数据补全的频率分布直方图如图；（2）根据恰有65％的学生选择物理为高考考试科目，先确定a 所在区间，再求解.【详解】（1）解：由频率分布直方图可知，成绩在[5060)，内的频率为:110(0.0100.0150.0300.0250.005)0.15-´++++=，,PA PD PE AD =\^，又60DAB Ð=,PE BE Ì平面PBE ，,PE BE E AD =\I答案第241页，共22页。

安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题(含答案)

合肥一中2023~2024学年度高二下学期期末联考数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名､准考证号和座位号后两位.2.答题时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整､笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上答题无效.4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交.一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知命题，命题，则（）A.命题､命题都是真命题B.命题的否定､命题都是真命题C.命题､命题的否定都是真命题D.命题的否定､命题的否定都是真命题2.给定两个随机变量和的5组数据如下表所示，利用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则（）1234524478A.时的残差为-1B.时的残差为1C.时的残差为-0.9D.时的残差为0.93.若质点运动的位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系是），那么该质点在时的瞬时速度和从到这两秒内的平均速度分别为（）A. B. C. D.:,11p x x ∀∈+>R 2:0,10q x x x ∃>-+=p q p q p q p q x y y x 5ˆˆ1.yx a =+xy0.5,3ˆax ==0.5,3ˆax ==0.4,3ˆax ==0.4,3ˆax ==A S m t s ()2(1S t t t=-≥t =3s 1s t =3s t =22,39-22,3922,93-22,934.子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.对于实数，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则6.在二项式的展开式中，二项式系数的和为64，把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项（未知数的指数为奇数的项）都互不相邻的概率为（）A.B. C. D.7.现有10名学生参加某项测试，可能有学生不合格，从中抽取3名学生成绩查看，记这3名学生中不合格人数为，已知，则本次测试的不合格率为（）A. B. C. D.8.已知，则的取值范围是（）A.B. C. D.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选择对的得部分分，有选错的得0分.）9.下列说法中正确的是（）A.若，且，则B.设，若，则C.已知随机变量的方差为，则D.若，则当时概率最大10.已知且，下列等式正确的有（）,,,a b c d a b >11a b a>-,a b c d <<ac bd>0a b c >>>b c a c a b >--1a b >>11a b a b+>+n⎛⎝x 135161427ξ()21140P ξ==10%20%30%40%1,,,,13a b c d ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦222222a b c d ab bc cd+++++52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦[)2,∞+()0,1N ξ~(1)P p ξ>=1(10)2P p ξ-<=-…(),B n p ξ~()()30,20E D ξξ==90n =X ()D X ()()2323D X D X -=-()10,0.8X B ~8X =*,m n ∈N 1n m ≥>A.B.C.D.11.设函数，则下列说法正确的是（）A.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是B.若函数有3个零点，则实数的取值范围是C.设函数的3个零点分别是，则的取值范围是D.存在实数，使函数在内有最小值三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.全集，则__________.13.已知，函数有两个不同极值点，则__________.14.从一列数中抽取两项，剩余的项分成三组，每组中数的个数均大于零且是3的倍数，则有__________种不同的取法.（答案用表示）四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明证明､过程或演算步骤.）15.（13分）（1）解关于的不等式：.（2）关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.16.（15分）为了研究合肥市某高中学生是否喜欢篮球和学生性别的关联性，调查了该中学所有学生，得到如下等高堆积条形图：11A A m m n n m --=12111A A A n nn n n n n +-+--=3333202134520232024C C C C C ++++= ()()()22212C C C C n n nnnn+++= ()222,0e ,0x x ax a x f x a x ⎧---<=⎨-≥⎩()f x R a (],0∞-()f x a ()2,∞+()f x ()123123,,x x x x x x <<12313x x x +-1,4ln23∞⎛⎫--- ⎪⎝⎭a ()f x ()1,1-[](),4,8,0,6U A B ===R ()U A B ⋂=ð0a >()2322a f x ax x =-+12,x x ()()12f x f x +=()12332,,,,3,m a a a a m m +≥∈Z ,(132)i j a a i j m <<<+()()()1211211232,,,,,,,,,,,i i i j j j m a a a a a a a a a -++-+++ ,i j a a m x ()210x a x a -++≥x 230x ax -+≥[]1,2x ∈a从所有学生中获取容量为100的样本，由样本数据整理得到如下列联表：男生女生合计喜欢351550不喜欢252550合计6040100（1）根据样本数据，依据的独立性检验，能否认为该中学学生是否喜欢篮球和学生性别有关联？与所有学生的等高堆积条形图得到的结论是否一致？试解释其中原因.（2）将样本列联表中所有数据扩大为原来的2倍，依据的独立性检验，与原样本数据得到的结论是否一致？试解释其中原因参考公式：其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.82817.（15分）对于一个函数和一个点，定义，若存在，使是的最小值，则称点是函数到点的“最近点”.（1）对于和点，求点，使得点是到点的“最近点”.（2）对于，请判断是否存在一个点，它是到点的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直，若存在，求出点；若不存在，说明理由.18.（17分）某商场回馈消费者，举办活动，规则如下：每5位消费者组成一组，每人从三个字母中随机抽取一个，抽取相同字母最少的人每人获得300元奖励.（例如：5人中2人选人选人选，则选择的人获奖；5人中3人选人选人选，则选择和的人均获奖；如中有一个或两个字母没人选择，则无人获奖）（1）若甲和乙在同一组，求甲获奖的前提下，乙获奖的概率；0.01α=0.01α=()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++)n a b c d =+++αx α()f x (),M a b ()()22()()s x x a f x b =-+-()()00,P x f x ()0s x ()s x P ()f x M ()1(0)f x x x=>()0,0M P P ()f x M ()()ln ,0,1f x x M =P ()f x M MP ()f x P P ,,A B C ,2A ,1B C C ,1A ,1B C B C ,,A B C（2）设每组5人中获奖人数为随机变量，求的分布列和数学期望；（3）商家提供方案2：将三个字母改为和两个字母，其余规则不变，获奖的每个人奖励200元.作为消费者，站在每组5人获取总奖金的数学期望的角度分析，你是否选择方案2？19.（17分）函数.（1）求函数的单调区间；（2）已知函数，当函数的切线的斜率为负数时，求在轴上的截距的取值范围；（3）设，若是函数在上的极值点，求证：.合肥一中2023~2024学年度高二下学期期末联考数学参芳答案一.单选题1.【答案】D【解析】对于命题，当时，，故是假命题，则的否定为真命题，对于命题，故是假命题，的否定是真命题，综上可得，的否定和的否定都是真命题.故选D.2.【答案】A 【解析】由已知，因为点在回归直线上，X X ,,A B C A B ()e xf x x=()f x ()()xg x f x =()y g x =l l x ()()2sin x f x x ϕ=-x a =()x ϕ()π,0-()02a ϕ<<p 1x =-101x +=<p p ,Δ0q <q q p q 12345244783,555x y ++++++++====(),x y 5ˆˆ1.yx a =+所以，所以时残差为.故选：A.3.【答案】D【解析】，所以.即该质点在时的瞬时速度为；从到这两秒内的平均速度为；故选：D.4.【答案】B【解析】由题意“工欲善其事，必先利其器.”指工匠要想要做好活儿，一定先要把工具整治得锐利精良.从逻辑角度理解，如果工匠做好活了，说明肯定是有锐利精良的工具；反过来如果有锐利精良的工具，不能得出一定能做好活儿.故选：B.5.【答案】D【解析】对于选项A ，若时，，则错误.对于选项B ，若，当，则，则B 错误.对于选项C ，若取，则，故错误.对于选项D ，因为函数在上单调递增，故D 正确.故选：D.6.【答案】A【解析】在二项式展开式中，二项式系数的和为，所以.则即，通项公式为，故展开式共有7项，当时，展开式为奇次项，把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项都互不相邻，即把其它的3个偶次项先任意排，再把这4个奇次项插入其中的4个空中，方法共有种，ˆ0.5a=3x =()4341ˆ5y-=-=-()()()223Δ3Δ23Δ3ΔΔΔ33ΔS t S S t ttt t -++-+===+0022limlim 3(3)9t t S t t ∆→∆→∆==∆+∆3t s =291t s =3t s =()()312313S S -=-1,1a b ==-11a b a<-A ,a b c d <<1,1,2,3a b c d =-===ac bd <3,2,1a b c ===1b c a c a b==--1y x x=+()1,∞+n⎛ ⎝62642n ==6n =n ⎛ ⎝6⎛- ⎝6316C (2)(1),0,1,2,,6r r r rr T x r --+=⋅-⋅= 0,2,4,6r =3434A A故奇次项都互不相邻的概率为，故选：A.7.【答案】C【解析】设10名学生中有名不合格，从中抽取3人，其中不合格人数为，由，得，化简得，解得，即本次测试的不合格率为.故选：C.8.【答案】【解析】因为，当且仅当时等号成立.，由对勾函数性质，所以，则，同理则，故的取值范围是.故选：B.二､多选题9.【答案】ABD【解析】对于选项A ，若，则A 正确.对于选项，设，则，解得，则B 正确.对于选项C ，，故C 错误.对于选项D ，因为，则；343477A A 1A 35P ==n ξ()21140P ξ==1210310C C 21C 40n n-=()()109637n n n --=⨯⨯3n =3100%30%10⨯=B2222222222222222a b c d a b b c c d ab bc cdab bc cd ab bc cd ab bc cd++++++++++==++++++…a b c d ===1,,13a b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦103b a a b +…()22310ab a b +…()()222233,1010bc b c cd c d ++……()222222222222222210332210a b c d a b c d ab bc cd a b c d ++++++=+++++ (2222)22a b c d ab bc cd+++++102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦()12(1)10,1,(10)22P N P p ξξξ->~-<==-…B (),B n p ξ~()()()30120E np D np p ξξ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩9013n p =⎧⎪⎨=⎪⎩()()234D X D X -=()10,0.8X B ~()1010C 0.80.2kkkP x k -==⋅因为，若，则当时，，当时，，即，所以当时概率最大，故D 正确.故选：ABD.10.【答案】BD【解析】对于选项A ，，则A 错误.对于选项B ，，所以，则B 正确.对于选项，故C错误.对于选项D ，考虑二项式展开式的前的系数是，又因为的前的系数可看成，故D 正确.故选：BD.11.【答案】BC【解析】对于选项A ，若函数在上单调递增，则，即，即，则A 错误.对于选项B ，令，当时，，若函数有3个零点，则需有一个零点，则；当时，得，若函数有3个零点，则需有两个不等的负实根，则，解得.故若函数有3个零点，则的取值范围是，则B 正确.()()1191010101C 0.80.2404C 0.80.21k k k k k k P x k k P x k k ++--=+⋅-===⋅+404391815k k k -=⇒=<+7k ≤()()1P x k P x k =+>=8k ≥()()1P x k P x k =+<=(1)(2)(7)(8)(9)(10)P x P x P x P x P x P x =<=<<=<=>=>= 8X =()()()()111!!A A !11!mm n n n n n n n m n m ---==⋅=-⎡⎤---⎣⎦()()()121211A A 1!!!11!,A 1!!n nn n n n n n n n n n n nn n n +-+--=+-=+-=⋅=-=⋅12111A A A n n n n n n n +-+--=33334333433420203452023445202355202320242024C,C C C C C C C C C C C C C ++++=++++=+++=== 2(1)n x +n x 2C nn 2(1)(1)(1)n n n x x x +=+⋅+n x 0011C C C C C C n n n n n n n n ⋅+⋅++⋅ ()f x R 20221aa a a-⎧-=-≥⎪-⎨⎪-≤-⎩01a a ≤⎧⎨≥-⎩[]1,0a ∈-()0f x =0x ≥e x a =()f x e x a =1a ≥0x <2220x ax a ---=()f x 2220x ax a ++=2Δ(2)42020a a a ⎧=-⋅>⎨>⎩2a >()f x a ()2,∞+对于选项，设函数的3个零点分别是，则，得，令则，则在上单调递减，当趋近于时，趋近于负无穷大，则函数的取值范围为即的取值范围是，故C 正确.对于选项D ，当时，函数是开口向下的二次函数，故函数只能在两边端点处取得最小值；当时，函数单调递增，故；要使函数在内有最小值，即，即，故无解，所以不存在，故错误.故选：BC.三､填空题12.【答案】解析：，所以13.【答案】4.解析：由三次函数对称性可知.答案：4.（24年全国1卷18题第2问思路）另解：解得所以14.答案：.解析：设三组中的数的个数分别为则，所以C ()f x ()123123,,x x x x x x <<3122e x x x aa +=-⎧⎨=⎩123112ln 33x x x a a +-=--()()12ln ,2,3g x x x x ∞=--∈+()161233x g x x x--=--='()g x ()2,∞+()max 1()24ln23g x g ==--x ∞+()g x ()g x 1,4ln23∞⎛⎫---⎪⎝⎭12313x x x +-1,4ln23∞⎛⎫--- ⎪⎝⎭0x <()2122f x x ax a =---()1f x 0x ≥()2e xf x a =-()2min 2()01f x f a ==-()f x ()1,1-()()11111021f af a a ⎧-=-≥-⎪⎨=-≥-⎪⎩21a a ≥⎧⎨≤-⎩a a []6,8][()U ,06,B ∞∞=-⋃+ð()[]U 6,8A B ⋂=ð()()124f x f x +=()22302a f x ax '=-=12x x ==()()124f x f x f f ⎛+=+= ⎝213122m m -+()3,3,3,,x y z x y z +∈N 333232x y z m +++=+x y z m++=隔板法可得.（24年全国1卷19题第3问思路）四､解答题15.解析：（1）因为解得当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.（2）易知在上有解，所以..因为，所以.所以.答案：16.解析：（1）零假设为：是否喜欢篮球和学生性别没有关联..根据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即该高中学生是否喜欢篮球和学生性别没有关联.5分不一致.原因是根据全面调查数据作判断，其结论是确定且准确的.而根据样本数据作判断，会因为随机性导致样本数据不具代表性，从而不能得出与全面调查一致的结论..（2）将样本列联表中所有数据扩大为原来的2倍，经计算：.根据独立性检验，可以推断该高中学生是否喜欢篮球和学生性别有关联与原样本数据得到的结论不一致，样本变大为原来的2倍，相当于样本量变大为原来的2倍，导致推断结论发生了变化.17.解析：（1），当且仅当时，等号成立，所以当时，点是到点的“最近点”；.（2）；所以()()2211213C 1222m m m m m ---==-+()210x a x a -++=12, 1.x a x ==1a >][(),1,a ∞∞-⋃+1a =R 1a <][(),1,a ∞∞-⋃+233x a x x x+≤=+[]1,2x ∈max 3a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭[]1,2x ∈34x x+≤4a ≤4a ≤0H ()()()()220.01() 4.167 6.635n ad bc x a b c d a c b d χ-=≈<=++++0.01α=0H 0H ()()()()220.01()8.333 6.635n ad bc x a b c d a c b d χ-=≈>=++++0.01α=()2212,(0)s x x x x=+≥>1x =()1,1P P ()f x M ()22(ln 1),(0)s x x x x =+->()2222ln ;x xs x x-+=⋅⋅'记，则在上单调递增，因为，所以在单调递减，在单调递增，所以，即点是到点的“最近点”.切点为，则在点处的切线的斜率为1，所以直线与在点处的切线垂直，当且仅当取时，它是到点的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直.18.解析：（1）设甲获奖为事件A ，乙获奖为事件B..（2）的可能取值为所以的分布列为：01的数学期望（3）选择方案1获取奖金总额的数学期望为设选择方案2获奖人数为的可能取值为.则方案2获奖人数的数学期望.()21ln ,(0)h x x x x =-+>()h x ()0,∞+()10h =()s x ()0,1()1,∞+()()1s x s ≥()1,0P ()f x M ()1,0P ()f x P l 10101MP k -==--MP ()f x P ()1,0P ()f x M MP ()f x P ()()()332133443322A 1A C 7C A A A n AB P B n A ===+∣X 0,1,2⋅⋅()23131535335C A C A C 9303243P X ++===()()121133545433222255C C C C A A A A 90601;2;32433243P X P X ======X XP 932439024360243X ()93906070012.24324324381E X =⨯+⨯+⨯= 707000300.8127⨯=,Y Y 0,1,2()()()1222252522555C A C A A 210200;1;2;232232232P Y P Y P Y =========()210202501232323216E Y =⨯+⨯+⨯=选择方案2获取奖金总额的数学期望为.因为.所以选择方案2.19.解析：（1）的定义域为.得到.所以在单调递增，在和单调递减.（2）因为，所以设切点坐标为，则切线方程为因为曲线的切线的斜率为负数，所以，解得或.在切线方程中，令，得，解得令，则或，可得.即在轴上的截距的取值范围为.（3）因为.则当时，.故在上单调递减.当时，令则所以在上单调递减，因为，25625200162⨯=6257000227>()f x {}0x x ≠∣()()22e 1e e 0x x x x x f x x x'--===1x =()f x ()1,∞+(),0∞-()0,1()2e x x g x =()2222e e 2,.e ex x x x x x x x g x x '--==∈R ()0200,e x x x -()002200002e .e x x x x y x x x ---=-()y g x =020020ex x x -<00x <02x >0y =()002200002e ex x x x x x x ---=-20000022 3.22x x x x x x -==-++-- 02t x =-23(2x t t t=++<-0)t >()),03x ∞∞⎡∈-⋃++⎣l x ()),03∞∞⎡-⋃++⎣()e 2sin x x x x ϕ=-()()221e 2cos .x x x x x xϕ--'=π,02x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭()0x ϕ'<()x ϕπ,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ππ,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭()()21e 2cos x h x x x x =--()()2e 4cos 2sin e 4cos 2sin 0,x x h x x x x x x x x x x '=-+=-+<()h x ππ,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭()ππ0,02h h ⎛⎫->-< ⎪⎝⎭所以在上有唯一零点.即在上有唯一零点当时，，即，当时，，即，所以时取最大值.所以，即得证.()h x ππ,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭()x ϕππ,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.x a =()π,x a ∈-()0h x >()0x ϕ'>(),0x a ∈()0h x <()0x ϕ'<x a =()x ϕ()()π2π22πe 1πe 0,2sin 2sin 22πe a a a a a a ϕϕϕ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭>-=>=-<-< ⎪⎝⎭()02a ϕ<<。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

合肥一中2014冲刺高考最后一卷
理科数学试题
一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数1(2i ω=-
+为虚数单位),则4ω等于
A.1
B.12-
C.12
D.12 2.已知双曲线的渐近线方程为20x y ±=,则该双曲线的离心率为
3.已知随机变量(5,9)X N ,随机变量3
2
X η-=,且2(,)N ημδ,则 A.1,1μδ== B.11,3
μδ== C.71,3μδ== D.43,9
μδ== 4.已知,x y 满足不等式组40
x y e x y ⎧≥⎨-≥⎩,则2y x x +的取值范围是 A.[1,4] B.[21,9]e +
C.[3,21]e +
D.[1,]e
5.执行如图所示的程序框图,输出的c 值为 A.5 B.8
C.13
D.21
6.将一个边长为2的正方形ABCD 沿其对角线AC 折起,其俯视图如图所示,
此时连接顶点,B D 形成三棱锥B ACD -,则其正(主)视图的面积为
A.2
D.1
7.对于任意实数,[]x x 表示不超过x 的最大整数,那么“[][]x y =”是“||1x y -<”的( )条件
A.充分而不必要
B.必要而不充分
C.充要
D.既不充分又不必要
8.已知函数(),[1,3]y f x x =∈-的图象如图所示,
令1()(),(1,3]x g x f t dt x -=
∈-⎰,则()g x 的图象是
9.合肥一中第二十二届校园文化艺术节在2014年12月开幕,在其中一个场馆中,由吉他社,口琴社各表演两个节目,国学社表演一个节目,要求同社团的节目不相邻,节目单排法的种数是
A.72
B.60
C.48
D.24
10.定义在R 上的奇函数()f x 的最小正周期为10,在区间(0,5)内仅(1)0f =,那么函数
(3)5
x f -在区间[100,200]-的零点个数是 A.24 B.25 C.26 D.28
二、本大题共5小题,每小题5分,共25分,请将答案填在答题卡的相应位置.
12.某社区有500户家庭,其中高收入家庭125户,中等收入家庭280户,低收入家庭95户,为了调查社会购买力的某项指标,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为若干户的样本,若高收入家庭抽取了25户,则低收入家庭被抽取的户数为
13.数列{}n a 中,若*175,n n a a n n N ++=+∈,则1100a a +=
14.在极坐标系中,曲线1C 的方程为cos()4π
ρθ+=,曲线2C 的方程为2cos()ρπθ=-,
若点P 在曲线1C 上运动,过点P 作直线l 与曲线2C 相切于点M ,则||PM 的最小值为 15.已知平面上定点,,O A B ,向量,a OA b OB ==,且||2,||1,||7a b a b ==+=,点C 是平面上的动点,记c OC =,若(2)()0a c b c -⋅-=,给出以下命题: ①||3a b -=; ②点C 的轨迹是一个圆;
③||AC ;
④||BC . 其中正确的有 (填上你认为正确的所有命题的序号)
三、本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16(本小题满分12分)
在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c 且sin cos 1sin
2B B B +=-. (Ⅰ)求cos B 的值
(Ⅱ)若4a c +=,求ABC ∆的面积的最大值.
17(本小题满分12分)
如图,已知直角梯形ACDE 所在的平面垂直于平面,90,ABC BAC ACD ∠=∠= 60,.EAC AB AC AE ∠===,
(Ⅰ)在直线BC 上是否存在一点P ,使得//DP 平面?EAB 若存在,求出这个点,若不存在,请说明理由;
(Ⅱ)求平面EBD 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值.
18(本小题满分12分)
(Ⅰ)已知01x <<,求证:
ln 121x x x
-<+; (Ⅱ)已知k 为正常数,且0a >,曲线:kx C y e =上有两点(,),(,)ka ka P a e Q a e --,分别过点P 和Q 作曲线C 的切线,求证:两切线的交点的横坐标大于零.
19(本小题满分13分)
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且对任意*n N ∈,都有2n n S a n +=成立.
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)设1111,11n n n n n n b a a x b b ++=-=
++-,若记数列{}n x 的前n 项和为n T ,求证:122
n T n >-
.
20(本小题满分13分)
合肥一中每年五月举行校园微型博览会,在会馆入口处准备了,,A B C 三种形式的校长签名纪念卡片供参观同学抽取.
(Ⅰ)若有大量纪念卡,其中20%的A 卡,现抽取了5张,求其中A 卡的张数X 的分布列及其数学期望()E X ;(注:在总体数量特别大时,无放回抽样可以近似看作有放回抽样)
(Ⅱ)活动结束,剩余若干纪念卡,从中任意抽取1张纪念卡,得到A 卡的概率是
37
,任意抽取2张卡,没有B 卡的概率是14,求证:任意抽取2张卡,至少得到1张A 卡的概率不大于57,并指出余下的卡中那种卡最少.
21(本小题满分13分)
在一张画有直角坐标系的纸片中,作以点(1,0)M -为圆心,半径为,折叠纸片使圆周上的某一个点P 恰好与定点(1,0)N 重合,连接PM 与折痕交于点Q ,反复这样折叠得到动点Q 的集合.
(Ⅰ)求动点Q 的轨迹E 的方程;
(Ⅱ)过直线2x =上的点T 向圆22:2O x y +=作两条切线,切点分别为,A B ,若直线AB 与
(Ⅰ)中的轨迹E 相交于,C D 两点,求
||||
AB CD 的取值范围.。