剪力与弯矩
剪力与弯矩的计算方法
§7-2剪力与弯矩一、剪力和弯矩根据作用在梁上的已知载荷，求出静定梁的支座反力以后，梁横截面上的内力可利用前面讲过的“截面法”来求解，如图7-8a 所示简支梁在外力作用下处于平衡状态，现在讨论距A 支座距离为x 的m m -截面上的内力。
图7-8简支梁指定截面的剪力、弯矩计算根据截面法计算内力的基本步骤“切、代、平”，计算梁的内力的步骤为：①、首先根据静力平衡方程求支座反力Ay F 和By F ，为推导计算的一般过程，暂且用Ay F 和By F 代替。
②、用截面假想沿m m -处把梁切开为左、右两段，如图7-8b、7-8c 所示，取左段梁为脱离体，因梁原来处于平衡状态，所以被截取的左段梁也同样保持平衡状态。
从图7-8b 中可看到，左段梁上有一向上的支座反力Ay F 、向下的已知力1P 作用，要使左段梁不发生竖向移动，则在m m -截面上必定存在一个竖直方向的内力S F 与之平衡；同时，Ay F 、1P 对m m -截面形心O 点有一个力矩，会引起左段梁转动，为了使其不发生转动，在m m -截面上必须有一个力偶矩M 与之平衡，才能保持左段梁的平衡。
S F 和M 即为梁横截面上的内力，其中内力S F 使横截面有被剪开的趋势，称为剪力；力偶矩M 将使梁发生弯曲变形，称为弯矩。
由于外载荷的作用线垂直于梁的轴线，所以轴力为零，通常不予考虑。
剪力S F 和弯矩M 的大小可由左段梁的静力平衡方程来求解。
由0=∑Y 得：10Ay S F P F --=，得1S Ay F F P =-由0o M =∑得：()01=+-+-M a x P x F Ay 得()a x P x F M Ay --=1如图7-8c 所示，如果取右段梁为脱离体，同样可求得m m -截面的剪力S F 和弯矩M 。
根据作用力与反作用力原理，右段梁在m m -截面上的剪力S F 和弯矩M 与左段梁在m m -截面上的剪力S F 和弯矩M 应大小相等，方向相反。
剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
截面位置对剪力和弯矩的影响
总结词
截面位置对剪力和弯矩具有显著影响。不同的截面位置会导致剪力和弯矩的大小和方向发生变化。
详细描述
在结构分析中，截面位置是影响剪力和弯矩的重要因素之一。不同的截面位置会导致剪力和弯矩的大小和方向发 生变化，从而影响结构的整体受力性能。例如，在梁中选取不同的截面位置进行支撑或固定，会对梁的剪力和弯 矩产生显著影响。
05 剪力、弯矩与材料力学性 能的关系
材料弹性对剪力和弯矩的影响
弹性材料在剪力和弯矩作用下会发生弹性变形，变形量与外力成正比，当外力去 除后，材料能够恢复原状。
弹性材料的剪切模量和弯曲刚度决定了剪力和弯矩的大小，剪切模量越大，材料 抵抗剪切变形的能力越强；弯曲刚度越大，材料抵抗弯曲变形的能力越强。
根据绕顺时针方向观察确定，使上侧 纤维受拉时为正。
02 剪力方程与弯矩方程
剪力图与弯矩图的绘制
1
剪力图和弯矩图是表示梁上剪力和弯矩随截面位 置变化的图形。
2
这些图的绘制基于剪力方程和弯矩方程的计算结 果，通过将计算得到的剪力和弯矩值标在图中相 应的位置上，并连接成线。
3
剪力图和弯矩图的绘制有助于直观地了解梁在不 同截面位置的受力状态和应力分布情况。
弯矩
在梁或结构中，由于弯曲而产生 的力矩，表示弯曲变形的大小。
剪力与弯矩在力学中的作用
剪力
主要影响结构的剪切变形，对梁的剪切承载能力有重要影响 。
弯矩
主要影响结构的弯曲变形，对梁的弯曲承载能力有重要影响 。
剪力与弯矩的符号规定
剪力正方向
根据右手定则确定，从杆件的受压一 侧指向受拉一侧。
弯矩正方向
02
材料强度越高，抵抗剪力和弯矩等外力的能力越强， 所能承受的剪力和弯矩越大。
梁的剪力和弯矩概念讲解(剪力图弯矩图,含例题)
6kN
1
2
q 2kN m
3
4
5
B
1 2 3 4 5
2m
A
3m
C
3m
FA 13kN
FB 5kN
例题
4.5
为使在锯开处两端面的开裂最小，应使锯口处的 弯矩为零，木料放在两只锯木架上，一只锯木架 放置在木料的一端，试问另一只锯木架放置何处 才能使木料锯口处的弯矩为零。
q
B
A
C
D
MD 0
MD 0
※
剪力和弯矩的计算规则
梁任意横截面上的剪力，等于作用在该截面左边 （或右边）梁上所有横向外力的代数和。截面左 边向上的外力(右边向下的外力)使截面产生正的 剪力，反之相反。【左上右下为正，反之为负】 梁任意横截面上的弯矩，等于作用在该截面左 边（或右边）所有外力（包括外力偶）对该截面 形心之矩的代数和。截面左边（或右边）向上的 外力使截面产生正弯矩，反之相反。【左顺右逆 为正，反之为负】
2m
FB 2kN 1m
7
kN
3 3
x 1.56
2 2
kNm
2.44
2
例题
4.12
4kN m
6kN
2kN m
4.5
4.5
1m
1m
2m
5.5
kN 1.5
5.5
4
8.5 7
kNm
例题
4.13
80 kN m
A
160 kN
D E
40kN m
B
40 kN
F
C
310 kN 2m
120
30
190
D
FD
MA
剪力图和弯矩图
2 括号里的不等式说明对应的内力方程所使用的区段。
FS(x)qx (0xl) M(x)1qx2 (0xl)
2 剪力图为一斜直线
FS(0) 0 FS(l) ql
弯矩图为二次抛物线
M (0) 0 M ( l 2 ) 1 ql 2
8 M ( l ) 1 ql 2
绘剪力图和弯矩图的基本方法：首先分别写出梁 的剪力方程和弯矩方程，然后根据它们作图。
Fs(x)
o
x
o
x
Fs 图的坐标系
M(x) M 图的坐标系
不论在截面的 左侧 或 右侧 向上的外力均将引起 正值 的弯矩，而向下 的外力则引起 负值 的弯矩。
例题：图示简支梁 ，在全梁上受集度为 q 的均布荷载作用。 试作此梁的剪力图和弯矩图。
FS 称为 剪力
y
FA
m
C
A
xm
FS x
由平衡方程
a
P
m
m C0
MFAx0
A
B
m
可得 M = FAx
x
内力偶 M 称为 弯矩
y
FA
m FS
C
x
A
xm
M
结论
a
P
m
梁在弯曲变形时，
横截面上的内力有
A
B
两个，即，
m x
剪力 FS 弯矩 M
y
FA
m FS
C
x
A
xm
M
取右段梁为研究对象。
y
FA
m FS
-
FS FS
dx
（2）弯矩符号 横截面上的弯矩使考虑的脱离体下边受拉，上边受压时为 正 。
剪力图和弯矩图(基础)
轴，。
以表(a)(c)（1）（2） （3）≤ (4) 以剪力图是平行于轴的直线。
段的剪力为正，故剪力图在轴上方；段剪力为负，故剪力图在轴之下，如图8-12(b )所示。
由式（2）与式（4）可知，弯矩都是的一次方程，所以弯矩图是两段斜直线。
根据式（2）、（4）确定三点，， ，由这三点分别作出段与段的弯矩图，如图8-12(c )。
例8-4 简支梁受集度为的均布载荷作用，如图8-13(a )所示，作此梁的剪力图和弯矩图。
图8-13解 （1）求支反力 由载荷与支反力的对称性可知两个支反力相.即（2）列出剪力方程和弯矩方程 以梁左端为坐标原点，选取坐标系如图所示。
距原点为的任意横截面上的剪力和弯矩分别为x C l x AC x BC x x 0=x 0)(=x M a x =l Fabx M =)(l x =0)(=x M AC BC AB q A x解 （1）求支反力 由静力平衡方程，得（2）列剪力方程和弯矩方程 由于集中力作用在处，全梁内力不能用一个方程来表示，故以为界，分两段列出内力方程段0＜≤ (1)0≤＜ (2)段 ≤＜ (3)≤≤(4) （3） 画剪力图和弯矩图 由式（1）、（3）画出剪力图，见图8-14(b )；由式（2）（4）画出弯矩图，见图8-14(c )。
二、弯矩、剪力与分布载荷集度之间的微分关系在例8-4中，若将的表达式对取导数，就得到剪力。
若再将的∑=0)(x M A ∑=0)(x M B m C C AC l mF x F A Q ==)(x a xl m x F x M A ==)(x a BC l mF x F A Q ==)(a x l mx l mm x F x M A -=-=)(a x l )(x M x )(x F Q )(x F Q表达式对取导数，则得到载荷集度。
这里所得到的结果，并不是偶然的。
实际上，在载荷集度、剪力和弯矩之间存在着普遍的微分关系。
现从一般情况出发加以论证。
第四章梁的内力——剪力和弯矩
图4-4 梁的类型
这三种梁的共同特点是支座反力仅有三个，可由静力平衡 条件全部求得，故也称为静定梁。
§4.2 梁的内力——剪力和弯矩
2.1 截面法求梁的内力
求梁任一截面内力采用截面法 。
P m
A n
YA ()
QM
c
P
YA
M
c
() Q
()
在切开的截面m-n上必
B
然存在两个内力分量： YB 内力Q和内力偶矩M。
P
A
(a)
B C
YA
YA
解 （1）求支座反力
pb
l
(b)
由
MB 0
求图 得YA
Pbpla l
由
M A (c)0
求图 得YB
Pa l
pab
l
图4-10 例题4-3图
（2）分段列剪力方程和弯矩方程
由于C处作用有集中力P，AC和CB两段梁的剪力方程和弯 矩方程并不相同。因此，必须分别列出各段的剪力方程和 弯矩方程：
二阶导数的几何意义是图形斜率的变化率即图形的凸凹 向。弯矩图上一点处的凸凹方向可由梁上该点处荷载集
度q(x)符号来决定。
表4-1 梁的荷载，剪力图，弯矩图相互关系
荷
q=0
载 （无分布荷载梁段）
q>0 q<0
（均布荷载梁段）
集中力 作用处（ 点）
P C
集中力偶 作用处（ 点）
m C
Q图
水平线
M图
（3）支座简化——主要简化为以下三种典型支座：
（a）活动铰支座（或辊轴支座），这种支座只限制梁在 沿垂直于支承平面方向的位移，其支座反力过铰心且垂直 于支承面，用YA表示。
剪力和弯矩
剪 力和弯矩
∑Y＝0 FA FS = 0
得
FS = FA
FS称为剪力。
目录
弯曲内力\剪力和弯矩
因剪力FS与支座反力FA组成一力偶，故在横截面m—m上必然 还存在一个内力偶与之平衡。设此内力偶的矩为M，则由平衡方程
∑MO＝0 M FAx = 0
得
M = FAx
这里的矩心O是横截面m—m的形心。这个内力偶矩M称为弯矩，它 的矩矢垂直于梁的纵向对称面。
目录
力学
FA =FB =10kN
目录
弯曲内力\剪力和弯矩
2）求横截面1—1上的剪力和弯矩。取左段梁为研究对象，并 设截面上的剪力FS1和弯矩M1均为正（如图）。列出平衡方程
∑Y＝0 FA FS1= 0
得
FS1=FA=10 kN
∑MO＝0 M1FA1 m =0
得
M1=FA1 m =10 kN 1 m =10 kNm
如果取右段梁为研究对象，则同样可求得
横截面m—m上的剪力FS和弯矩M（如图）， 且数值与上述结果相等，只是方向相反。
为了使无论取左段梁还是取右段梁得到的同一横截面上的FS和 M不仅大小相等，而且正负号一致，根据变形来规定FS、M的正负 号：
目录
弯曲内力\剪力和弯矩 1)剪力的正负号。梁截面上的剪力对所取梁段内任一点的矩为
顺时针方向转动趋势时为正，反之为负（图a）； 2) 弯矩的正负号。梁截面上的弯矩使梁段产生上部受压、下部
受拉时为正，反之为负（图b）。
目录
弯曲内力\剪力和弯矩
【例4.1】 简支梁如图所示。求横截面1—1、2—2、3—3上的 剪力和弯矩。
【解】 1）求支座反力。 由梁的平衡方程求得支座A、B处的反力为
得 M2= FA4 m F12 m =10 kN4 m10 kN 2 m=20 kNm 由计算结果知，M2为正弯矩。
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FSA = ( ∑Fi ↑) − ( ∑Fj ↓)
M A = ( ∑ M A ( Fi ) ) + ∑ M e (顺) − ( ∑ M A ( Fj ) ) − ∑ M e (逆)
§5-3 剪力与弯矩
剪力与弯矩 正负符号规定 剪力与弯矩计算 例题
1
剪力与弯矩
FS－剪力 M－弯矩
剪力－ 剪力－作用线位于所切横截面的内力 弯矩－ 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩
正负符号规定
内力的正负规定: 内力的正负规定: ①剪力FS: 剪力 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。
∑Fy = 0, FAy − F1 − FS = 0
故 FS =FAy−F 1 故 M=FAyb−F (b−a) 1
n i=1
∑MC = 0,
M + F (b − a) − FAyb = 0 1
FS =∑ Fi )一侧 (
i=1 n
M=∑ mCi )一侧 (
内力的直接求法： ★ ★ 内力的直接求法：
FS (+ ) FS (−) FS (+)
FS (−)
②弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。 弯矩 ：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。 M(+) M(+) M(–)
左上右下剪力为正， 左上右下剪力为正，左顺右逆弯矩为正
3
M(–)
剪力与弯矩计算
FS－剪力 M－弯矩
6
计算方法与步骤 假想地将梁切开， 假想地将梁切开，并任选一段为研究对象
画所选梁段的受力图， 画所选梁段的受力图，FS 与 M 宜均设为正 由 ΣFy =0 计算 FS 由 ΣMC =0 计算 M，C 为截面形心 ，
例
题
例 3-1 计算横截面 、横截面 +与 D-的剪力与弯矩。 计算横截面E 横截面A 的剪力与弯矩。
FAy = 2F
FBy = 3F
解： ：
∑F = 0, F
y
SE
+ FAy = 0
FSE =−FAy =−2F
l ME =Me −FAy⋅ =0;FAy⋅ −Me =0 ∑ 2
F A+ = −FAy = −2F S
MA+ = Me − FAy ⋅ ∆=Fl
FSD− =F
MD− =F⋅0=0 =
如果以A右侧部分为研究对象，剪力的计算公式与之相反， 如果以 右侧部分为研究对象，剪力的计算公式与之相反， 右侧部分为研究对象 而弯矩的计算公式变为减顺时针的外力矩加上逆时针的外力 矩。
5
简言之： 简言之： 1 、 梁的任一横截面上的剪力在数值上等于该截面一 左侧或右侧）所有的竖向外力（ 侧（左侧或右侧）所有的竖向外力（包括斜向外力的竖 向外力）的代数和。 向外力）的代数和。 2、 梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧 左侧或右侧）所有的外力（包括外力偶） （左侧或右侧）所有的外力（包括外力偶）对该截面形 心的力矩的代数和。 心的力矩的代数和。