3、无向图的各连通分支
连通分支的定义
连通分支的定义一、引言连通分支是图论中的一个重要概念，用于描述图中的连通性。
在图中连接在一起的节点构成一个连通分支。
在本文中，我们将详细讨论连通分支的定义、性质以及如何在图中找到连通分支，旨在帮助读者更深入地了解和理解这一概念。
二、定义连通分支是指图中的节点集合，其中的任意两个节点之间都存在一条路径。
换句话说，对于连通分支中的任意两个节点，我们可以通过边来沿路径相互到达。
连通分支是图中的一个最大连通子图，因为它包含了图中所有可以通过路径相互到达的节点。
三、性质连通分支具有以下性质：1. 最大性质连通分支是一个最大连通子图，即它不包含在其他的连通分支中。
换句话说，如果我们将连通分支中的任意一个节点添加到该分支外的节点中，将会破坏连通性。
2. 无向图中的连通分支对于无向图而言，连通分支是无向图中的极大连通子图。
一个无向图可以包含多个连通分支，每个连通分支都是一个独立的连通子图。
3. 有向图中的连通分支对于有向图而言，连通分支是有向图中的极大强连通子图。
强连通子图是指其中的所有节点之间互相可达，即对于连通分支中的任意两个节点，存在一条有向路径可以从一个节点到达另一个节点。
四、寻找连通分支的算法在图中寻找连通分支的算法是一项基本的图算法，下面介绍两种常见的算法：广度优先搜索(BFS)和深度优先搜索(DFS)。
1. 广度优先搜索(BFS)广度优先搜索是一种用于遍历或搜索图中节点的算法。
它从一个起始节点开始，逐层地遍历其邻接节点，直到遍历完所有连通的节点。
在遍历过程中，我们可以记录下每个连通分支的节点。
以下是广度优先搜索的基本步骤： 1. 创建一个队列，并将起始节点放入队列中。
2. 从队列中取出一个节点，并标记为已访问。
3. 遍历该节点的所有邻接节点，并将未访问的邻接节点放入队列中。
4. 重复步骤2和步骤3，直到队列为空。
5. 如果还存在未访问的节点，重复步骤2到步骤4。
2. 深度优先搜索(DFS)深度优先搜索也是一种用于遍历或搜索图中节点的算法。
图论知识点
图论知识点摘要：图论是数学的一个分支，它研究图的性质和应用。
图由节点（或顶点）和连接这些节点的边组成。
本文将概述图论的基本概念、类型、算法以及在各种领域的应用。
1. 基本概念1.1 节点和边图由一组节点（V）和一组边（E）组成，每条边连接两个节点。
边可以是有向的（指向一个方向）或无向的（双向连接）。
1.2 路径和环路径是节点的序列，其中每对连续节点由边连接。
环是一条起点和终点相同的路径。
1.3 度数节点的度数是与该节点相连的边的数量。
对于有向图，分为入度和出度。
1.4 子图子图是原图的一部分，包含原图的一些节点和连接这些节点的边。
2. 图的类型2.1 无向图和有向图无向图的边没有方向，有向图的每条边都有一个方向。
2.2 简单图和多重图简单图是没有多重边或自环的图。
多重图中，可以有多条边连接同一对节点。
2.3 连通图和非连通图在无向图中，如果从任意节点都可以到达其他所有节点，则称该图为连通的。
有向图的连通性称为强连通性。
2.4 树树是一种特殊的连通图，其中任意两个节点之间有且仅有一条路径。
3. 图的算法3.1 最短路径算法如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法，用于在加权图中找到从单个源点到所有其他节点的最短路径。
3.2 最大流最小割定理Ford-Fulkerson算法用于解决网络流中的最大流问题。
3.3 匹配问题如匈牙利算法，用于解决二分图中的匹配问题。
4. 应用4.1 网络科学图论在网络科学中有广泛应用，如社交网络分析、互联网结构研究等。
4.2 运筹学在运筹学中，图论用于解决物流、交通网络优化等问题。
4.3 生物信息学在生物信息学中，图论用于分析蛋白质相互作用网络、基因调控网络等。
5. 结论图论是数学中一个非常重要和广泛应用的领域。
它不仅在理论上有着深刻的内涵，而且在实际应用中也发挥着关键作用。
随着科技的发展，图论在新的领域中的应用将会不断涌现。
本文提供了图论的基础知识点，包括概念、图的类型、算法和应用。
离散数学(图与树(2))
无向树的定义及其性质
(5)=>(6).首先证明G是连通图.否则,设G1,G2是G的两 个连通分支.v1和v2分别是G1与G2中的一个顶点. 在G 中加边(v1,v2)不形成回路,这与已知条件矛盾.若G中存 在边e=(u,v),G-e仍连通.说明在G-e中存在u到v的通 路. 此通路与e构成G中回路,这与G中无回路矛盾. (6)=>(1).只需证明G中无回路.若G中含回路C.在C上 删除一边e后,G-e连通,这与(6)中条件矛盾. • 除了由定理6.1.1.给出的树的充分必要条件外,树还有 下述重要的必要条件. 定理6.1.2 设T=<V,E>是非平凡的无向树,则T至少有两 片树叶. 证明: 设T是非平凡树,有n个顶点m条边.由树的定义易知, 非平凡的树中,每个顶点的度数均大于等于1.设G中有k
无向树的定义及其性质
所得6棵非同构的树如图所示:
(2)画出所有非同构的无向树不是件易事,但当n较小时 还是不难画出的. 本题是7阶非同构无向树度数分配方 案中的一种,它有3个2度顶点,1个3度顶点,3个1度顶点, 3度顶点与1个2度顶点相邻;与2个2度顶点相邻;与3个2 度顶点相邻,所得3棵树显然非同构, 所以共有3棵非同 构的树:
生成树与基本回路和基本割集
树枝.称这样的回路为基本回路.定义如下： 定义6.1.3 设G是m条边的n阶连通图,T是G的一棵生成树, T的m-n+1条弦为e1,e2,…,em-n+1.G中仅含T的一条弦 er(1 ≤r≤m-n+1)的回路Cr称作对应弦er的基本回路.{C1,C2, …,Cm-n+1}称作对应生成树T的基本回路系统. • 在例6.1.3中,树②对应弦e1的基本回路是e1e4e2e3;对 应弦e6的基本回路是e6e4e5. 基本回路系统 为:{e1e4e2e3, e6e4e5}. 树③的基本回路系统是{e3e1e4e2, e6e4e5}. • 一般,G的不同生成树的基本回路可能不同,但基本回路 的个数是相同的,都等于m-n+1. • 再看例6.1.3图②,{e5,e6},{e4,e1,e6},{e2,e1},{e3,e1}
3图的连通性
• 设G=<V,E>为无向图，对于任意的 v∈V， 为无向图， 为无向图 对于任意的u, ∈ ， 是连通的， 若u和v是连通的，则称 v之间长度最短的通 和 是连通的 则称u, 之间长度最短的通 路为u, 之间的短程线 短程线的长度为u, 之间的短程线， 路为 v之间的短程线，短程线的长度为 v 距离， 之间的距离 记为d(u, v)。规定当 和v不连 。规定当u和 不连 之间的距离，记为 通时， 通时，d(u, v) = ∞ 。 • 在无向图 中，任何两点之间的距离最大值 在无向图G中 称为G的直径，记为d(G)。 称为 的直径，记为 。 在下图中， 【例】在下图中，d(2, 6)=2，d(2, 7)=3，而d(G) ， ， = 4正是图中的最大距离 正是图中的最大距离d(1, 7)。 正是图中的最大距离 。
存在一条通路， 到vj (vi≠vj)存在一条通路，则从 i到vj存在一条长 存在一条通路 则从v 度不大于n 的通路 的通路。 度不大于 −1的通路。 设在一个具有n个顶点的图中存在一条长度 证明 设在一个具有 个顶点的图中存在一条长度 的通路v 其中v 为m的通路 0v1…vm，其中 0=vi，vm=vj。 的通路 若m ≤n − 1，则存在所求的通路； ，则存在所求的通路； 若m >n − 1，则通路上的顶点数 +1 >n，因 ，则通路上的顶点数m ， 为图中只有n 个顶点，所以必然有m 为图中只有 个顶点，所以必然有 +1 − n个顶点 个顶点 在通路中重复出现，即存在回路。 在通路中重复出现，即存在回路。在通路中去掉 的通路， 回路所得到的仍然是从v 回路所得到的仍然是从 i到v j的通路，且长度至少 比原通路少1。重复以上过程， 比原通路少 。重复以上过程，将通路中的所有回 路去掉，必然可得到一条长度不多于n 的通路。 路去掉，必然可得到一条长度不多于 − 1的通路。 的通路
任务8.1 认知图
谢谢，精品课件
资料搜集
任务8.1
项目8 图论
• 任务8.1 • 任务8.2 • 任务8.3 • 任务8.4
认知图 用矩阵表示图 认知欧拉图与哈密顿图 求最优树
Konigsberg七桥问题 如图，能否从某个桥出发，走过所 有的桥，但每座桥只经过一次？
D
？
？
A
B
D
A
B
C
Байду номын сангаас
C
D3
A
3
B
5
C 3
E，称 vi 邻接到 vj ， vj邻接于 vi .还称 vi 是 ek 的始点，vj 是 ek的终点.
(9)边与边的相邻：若 ek 和 el 至少有一个公共端点，则称 ek 与 el 相邻.
(10)平行边：若在无向图中，关联一对顶点的无向边多于1条，称这 些边为平行边.平行边的条数称为重数.
若在有向图中，关联一对顶点的有向边多于1条，并且有向边的 始点和终点相同，称这些边为平行边.
n
deg(vi ) 2m.
i 1
即，顶点度数之和等于边数之和的两倍．
定理2 在任何无向图中，度数为奇数的结点必定是偶数个.
(15)有向图中的度： 设 D = < V, E > 为有向图，以顶点v 为 始点的边的条数称为 v 的出度，记作 d +(v ).
以顶点 v 为终点的边的条数称为 v 的入度，记作 d- (v ).
（2）支撑子图
若 H 是 G 的子图且V (H) = V(G) ，则称 H 是G的支撑子图（或 生成子图).
（3）诱导子图
设图 H = < V′，E′> 是 图 G=<V ，E >的子图．若对任意结 点 u 和 v，如果 (u，v)∈ E ，有(u，v)∈E′，则 H 由 V′ 唯一 地确定，并称 H 是结点集合 V′ 的点诱导子图，记作 G(V′)；如 果 H无孤立结点，且由 E′ 所唯一确定，则称 H 是边集 E′ 的边 诱导子图，记为G(E′)．
图的连通性
图的连通性一、求一个图的连通分支1 设图G=（V，E）是一个无向图，G的一个连通分支是一个最大的连通子图，即一个连通分支是不包含在任何更大的连通子图中。
2 对DFS稍作改变，就可用来求无向图的连通分支。
从任意一点出发，作DFS，则就可找出在同一个分支中的其它顶点和边。
3 算法3.4：DFS（深度优先搜索）G=（V，E）是一个图或有向图，v∈V。
从顶点v开始搜索，其中S是一个栈，初始为空，栈顶用top来表示。
算法：访问，标志并让v进栈while S 非空do〖while有一个邻接于top而未作标记的顶点 w do【访问，标记以及w进栈;】出栈S〗4“有一个邻接于top而未作标记的顶点 w”可用链接表来实现，而且每次寻找邻接于top而未作标记的顶点 w时，无必要从头开始寻找，只要记住上次寻找时的位置便可，故链表中每一个单元只被访问过一次。
故算法在最坏情况下复杂性最多也只是θ(n+e)。
算法3.6 CONNECTED COMPONETNTS（连通分支）输入：G=（V，E）是一个用连接表表示的图。
假设V为{1，2，…，n}。
输出：MARK个连通分支中的边表，而且对每个顶点加上编号来指明顶点是在哪一个分支中。
注：一个MARK数组用于对顶点编号，PTR是一个数组（有个项），使PTR指向的邻接表中下一个顶点，而搜索将从开始，下一次力图从分叉出去。
算法：for v←1 to n do【MARK(v)←0; PTR(v) ←ADJLIST(v);】j←1 [j用于对一个分支中顶点编号]for v←1 to n do〖if MARK(v)=0 then do【output 第j个分支的标题;DFS(v,j);j←j+1;】〗DFS(v,j)算法：MARK(v)←j;v进栈;while S 非空do〖while PTR(top)≠∧ do【w←VTX(PTR(top));OUTPUT(top,w); []PTR(top) ←LINK(PTR(top));If MARK(w)=0 then do〖MARK(w) ←jw进栈；〗】出栈S〗最坏情况下复杂性可能是θ(n+m)二、深度优先生成森林1概念树边：对一个有向图进行深度优先搜索，在这个过程中，如果某条边所到达的顶点是未被访问过的，则称这条边为树边。
图论path的概念
图论path的概念图论（Graph Theory）是研究图的组合结构和定量特性的数学分支学科。
在图论中，Path是指由边依次连接起来的一系列节点，这些节点间没有重复，也没有形成环的情况。
Path是图中最基本的概念之一，研究Path的性质和算法在图论中具有重要意义。
一、Path的定义和类型Path是由边依次连接起来的一系列节点,这些节点间没有重复，也没有形成环的情况，它是一条单向路线。
路径起始点和终点的节点分别被称之为起点和终点。
具体来说，Path可分为以下两种类型：1. 简单Path：简单Path是指除起点和终点外，Path上的所有其他节点都只经过一次的Path。
简单Path可以含有重复的边（两个节点之间的边可能会被反复经过），但是不允许有重复的节点。
2. 回路（Circuit）：回路是指Path的起点和终点都是同一个节点的Path。
回路允许经过相同的节点或边，但是相同的边不能重复经过。
二、Path的性质Path作为图论中的基本概念之一，具有以下重要性质：1. 长度：Path的长度是指连接起点和终点之间经过的边数。
2. 相交：在同一张图上，两个不同的Path可以重叠，但是它们不能穿过彼此，也就是说两条Path不能通过完全相同的节点和边同时连接起点和终点。
3. 连通：在一个无向图中，如果两个节点之间存在一条Path，那么这两个节点就是连通的。
特别地，如果一幅无向图中，每一个节点都可以通过Path到达所有其他节点，则该图是连通的。
4. 路径的存在性：对于无向图和有向图来说，两个节点之间存在Path的充分必要条件就是它们连通，即起点和终点之间必须存在通路。
三、Path的算法Path是许多图论算法的基础，也是许多实际问题中需要解决的问题。
在图论算法中, Path算法是指通过搜索、遍历等方式寻找连接两个节点之间的Path的算法。
常用的Path算法有以下几种：1. 深度优先搜索（DFS）：深度优先搜索算法是图论算法中用于遍历或搜索图形和树的一种算法。
《离散数学》第6章 图的基本概念
E ' E )。
生成子图—— G ' G 且 V ' V 。
导出子图 ——非空 V ' V ，以 V ' 为顶点集， 以两端均在 V ' 中的边的全体为边集的 G 的 子图，称 V ' 的导出子图。 ——非空 E ' E ，以 E ' 为边集，以
E ' 中边关联的顶点的全体为顶点集的 G 的子
0 vi与ek 不关联 无向图关联的次数 1 vi与ek 关联1次 2 v 与e 关联2次(e 为环) i k k
1 vi为ek的始点 有向图关联的次数 0 vi与ek 不关联 1 v 为e 的终点 (无环) i k
点的相邻——两点间有边，称此两点相邻 相邻 边的相邻——两边有公共端点，称此两边相邻
孤立点——无边关联的点。 环——一条边关联的两个顶点重合，称此边 为环 (即两顶点重合的边)。 悬挂点——只有一条边与其关联的点，所
对应的边叫悬挂边。
(3) 平行边——关联于同一对顶点的若干条边 称为平行边。平行边的条数称为重数。 多重图——含有平行边的图。
简单图——不含平行边和环的图。
如例1的(1)中，
第六章 图的基本概念 第一节 无向图及有向图
内容：有向图，无向图的基本概念。
重点：1、有向图，无向图的定义， 2、图中顶点，边，关联与相邻，顶点 度数等基本概念，
3、各顶点度数与边数的关系
d (v ) 2m 及推论，
i 1 i
n
4、简单图，完全图，子图， 补图的概念， 5、图的同构的定义。
一、图的概念。 1、定义。 无序积 A & B (a, b) a A b B 无向图 G V , E E V & V ， E 中元素为无向边，简称边。 有向图 D V , E E V V ， E 中元素为有向边，简称边。
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3、无向图的各连通分支
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3.求解无向图的各连通分支
输入：
第一行为图的节点数n（节点编号0至n-1，0<n<=10）
从第二行开始列出图的边，-1表示输入结束
输出：
输出每个连通分支的广度优先搜索序列（从连通分支的最小编号开始），不同分支以最小编号递增顺序列出
sample：
input:
8
0 5
5 2
4 5
5 6
6 2
3 7
0 2
-1
output：
0-5-2-4-6
1
3-7
解题：这题是WA样例2，3，因为按照样例的解法就是这样wa，并不是bfs的问题。
改正方法：将每一个点的邻接点按从小到大的顺序先排一下序，如样例，0的邻接点本该为5，2排完序后该为2，5.
这样，样例的正确答案为：
0-2-5-6-4（好像是这个）
1
3-7。