北师大版八年级数学上册第四章 一次函数 4.4.1一次函数的图象与性质 导学案
北师大版八年级数学上册第4章 一次函数 一次函数的图象和性质
次函数的图象吗？
例1 画出一次函数 y = －2x＋1 的图象
x y = –2x+1
–2
–1
5
3
y = –2x＋1
0
1
1 –1 y
5
01 23 4 5
4
2 列表
–3
一次函数的图 象是什么？
01 23 4 5 01 23 4 5
01 23 4 5 01 23 4 5
思考：观察它们的图象有什么特点？
y y=x+2
.
.
..
.O.
.
.
.
y
.
2
=
x
-
2
x
探究归纳
观察三个函数图象的平移情况：
y y=x+2 y=x
2●
y=x-2
O2
x
●
把一次函数y = x+2，y = x-2的图象与y = x比较，发现： 1. 这三个函数的图象形状都是 直线 ，并且倾斜程度
_相__同___． 2. 函数 y = x 的图象经过原点，函数 y = x + 2 的图象与
y 随 x 的增大而增大. ① b＞0 时，直线经过第一、二、三象限；
② b＜0 时，直线经过第一、三、四象限. 当 k＜0 时，直线 y = kx＋b 从左到右逐渐下降，
y 随 x 的增大而减小. ① b＞0 时，直线经过第一、二、四象限；
② b＜0 时，直线经过第二、三、四象限.
练一练 两个一次函数 y1 ＝ ax＋b 与 y2 ＝ bx＋a，它们在
要点归纳
思考：与 x 轴的 交点坐标是什么？
b k
北师大版八年级数学上册第四章一次函数4.4一次函数的应用(教案)
今天在教授一次函数的应用这一章节时，我发现学生们对于一次函数的实际意义和如何建立数学模型感到很有兴趣。他们对于将实际问题转化为数学表达式的过程感到好奇，这也让我意识到，将数学知识与现实生活紧密结合起来，能够有效提升学生的学习积极性。
在讲授过程中，我注意到有些学生在理解斜率的物理意义时遇到了困难。我通过举例和图示来帮助他们理解，但感觉还需要在今后的教学中继续加强这一部分的讲解和练习。可能通过更多的实际案例，让学生自己探索和发现斜率在不同情境下的含义，会更加有助于他们的理解。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
在总结回顾环节，我询问了学生是否有疑问，很高兴的是，他们能够提出一些深入的问题，这表明他们真正在思考和学习。但我也意识到，可能还有部分学生因为害羞或其他原因没有提问。我需要寻找更多途径，如课后辅导、小组互助等，来确保每一个学生都能得到帮助，解决他们的困惑。
北师大版八年级数学上册第四章一次函数4.4一次函数的应用（教案）
一、教学内容
本节课选自北师大版八年级数学上册第四章一次函数的4.4节，主要内容包括：
1.利用一次函数解决实际问题，如斜率与实际意义的联系；
2.一次函数图像在坐标平面上的应用，如何从图像中获取信息；
3.通过一次函数的例子，让学生理解函数与方程的关系；
举例：在讲解斜率的实际意义时，通过具体例子（如物体的匀速运动）来说明斜率与速度的关系，帮助学生理解斜率在现实中的具体应用。在绘制图像时，指导学生通过选取点、画直线等步骤，掌握绘制一次函数图像的技巧。对于变量关系的识别，可以通过案例教学，让学生在实际问题中练习区分变量和常量。在参数估计方面，教授学生使用实际数据点和函数表达式来计算k和b的值，并进行验证。
北师大版八年级数学第四章一次函数的图象和性质
一次函数的图象和性质【学习目标】1. 理解函数图象及一次函数的概念，理解一次函数y kx b =+的图象与正比例函数y kx =的图象之间的关系；2. 能正确画出一次函数y kx b =+的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题．3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题．【要点梳理】要点一、函数图象及一次函数的定义1.函数图象的概念把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.2.一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）的函数，叫做一次函数.要点进阶：当b ＝0时，y kx b =+即y kx =，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数k ，b 的要求，一次函数也被称为线性函数.3.画函数图象的一般步骤总结归纳一下描点法画函数图象的一般步骤第一步：列表．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格． 第二步：描点．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点．第三步：连线．按照自变量由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来．要点二、一次函数的图象与性质1.函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象是一条直线 ；当b ＞0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向上平移b 个单位长度得到的；当b ＜0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向下平移|b |个单位长度得到的.2.一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象与性质：3. k 、b 对一次函数y kx b =+的图象和性质的影响：k 决定直线y kx b =+从左向右的趋势，b 决定它与y 轴交点的位置，k 、b 一起决定直线y kx b=+经过的象限．4. 两条直线1l ：11y k x b =+和2l ：22y k x b =+的位置关系可由其系数确定：（1）12k k ≠⇔1l 与2l 相交； （2）12k k =，且12b b ≠⇔1l 与2l 平行；要点三、待定系数法求一次函数解析式一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）中有两个待定系数k ，b ，需要两个独立条件确定两个关于k ，b 的方程，这两个条件通常为两个点或两对x ，y 的值.要点进阶：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数y kx b =+中有k 和b 两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k 和b 为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 要点四、分段函数对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.要点进阶：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.【典型例题】类型一、待定系数法求函数的解析式例1、如图，过A 点的一次函数的图象与正比例函数y=2x 的图象相交于点B ．（1）求该一次函数的解析式；（2）判定点C （4，﹣2）是否在该函数图象上？说明理由；（3）若该一次函数的图象与x 轴交于D 点，求△BOD 的面积．举一反三：【变式1】一次函数交y 轴于点A （0，3），与两轴围成的三角形面积等于6，求一次函数解析式.【变式2】在平面直角坐标系xOy 中，已知两点(1,0)A -，(2,3)B -，在y 轴上求作一点P ，使AP ＋BP 最短，并求出点P 的坐标.类型二、一次函数图象的应用例2、李明骑自行车去上学途中，经过先上坡后下坡的一条路段，在这段路上所走的路程s (米)与时间t (分钟)之间的函数关系如图所示．根据图象，解答下列问题：(1)求李明上坡时所走的路程1s (米)与时间t (分钟)之间的函数关系式和下坡时所走的路程2s (米)与时间t (分钟)之间的函数关系式；(2)若李明放学后按原路返回，且往返过程中，上坡的速度相同，下坡的速度也相同，问李明返回时走这段路所用的时间为多少分钟?类型三、一次函数的性质例3、已知一次函数y=kx +b ﹣x 的图象与x 轴的正半轴相交，且函数值y 随自变量x 的增大而增大，则k ，b 的取值情况为（ ）A ．k ＞1，b ＜0B ．k ＞1，b ＞0C ．k ＞0，b ＞0D ．k ＞0，b ＜0举一反三：【变式1】直线1l ：=+y kx b 与直线2l ：=+y bx k 在同一坐标系中的大致位置是（ ）．A ．B ．C ．D ．【变式2】已知直线y 1=x ，，的图象如图，若无论x 取何值，y 总取y 1、y 2、y 3中的最小值，则y 的最大值为 ．类型四、一次函数综合例4、已知一次函数(0)y kx b k =+≠的图象过点(11)P ，，与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且3OA OB =，求点A 的坐标．【巩固练习】一.选择题1. 如果一次函数当自变量x 的取值范围是13x -<<时，函数值y 的取值范围是26y -<<，那么此函数的解析式是（ ）．A ．2y x =B ．24y x =-+C ．2y x =或24y x =-+D ．2y x =-或24y x =-2.正比例函数y=kx （k≠0）的函数值y 随x 的增大而减小，则一次函数y=kx ﹣k 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．设0＜k ＜2，关于x 的一次函数y=kx+2（1-x ），当1≤x ≤2时的最大值是（ ）A ．2k -2B ．k -1C ．kD ．k +14．下列说法正确的是（ ）A ．直线y kx k =+必经过点（－1，0）B ．若点1P （1x ，1y ）和2P （2x ，2y ）在直线y kx b =+（k ＜0）上，且1x ＞2x ，那么1y ＞2yC ．若直线y kx b =+经过点A （m ，－1），B （1，m ），当m ＜－1时，该直线不经过第二象限D ．若一次函数()212y m x m =-++的图象与y 轴交点纵坐标是3，则m ＝±15．如图所示，直线1l ：y ax b =+和2l ：y bx a =-在同一坐标系中的图象大致是（ ）6. 如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形．设穿过的时间为t ，大正方形内除去小正方形部分的面积为S （阴影部分），那么S 与t 的大致图象应为（ ）二.填空题7．若函数21||3122y m x x m ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭为正比例函数，则m 的值为________；若此函数为一次函数，则m 的值为________．8. 已知一次函数2y x a =-与3y x b =-的图像交于x 轴上原点外的一点，则a b＝______.9. 直线()42y m x m =+++，它的解析式中m 为整数，又知它不经过第二象限，则此时m＝ .10.若点M （k ﹣1，k +1）关于y 轴的对称点在第四象限内，则一次函数y=（k ﹣1）x +k 的图象不经过第 象限．11.已知直线122y x=-与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P（m，－1）为坐标系内一动点，若△ABP面积为1，则m的值为____________________________.12.已知直线y=kx+b经过点（5，0），且与坐标轴所围成的三角形的面积为20，则该直线的表达式为．三.解答题13.在平面直角坐标系xOy中，将直线kxy=沿y轴向上平移2个单位后得到直线l，已知l经过点A（－4, 0）．（1）求直线l的解析式；（2）设直线l与y轴交于点B，点P在坐标轴上，△ABP与△ABO的面积之间满足12ABP ABOS S∆∆=, 求P的坐标．14. 已知点A（4，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=5，0为坐标原点，设△OPA的面积为S．（1）求S关于x的函数解析式；（2）求x的取值范围；（3）当S=4时，求P点的坐标．15. 如图，在长方形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，点P沿边按A—B－C—D的方向运动到点D（但不与A、D两点重合）．求△APD的面积y（2cm）与点P所行的路程x（cm）之间的函数关系式．。
北师大版八年级数学上册第四章一次函数4.3一次函数的图象第2课时一次函数的图象和性质教学课件
随堂练习
1．一次函数y＝kx＋b(b≠0)的图象是经过点 线．
和(－bk ，0)的一条直
练习1：一次函数y＝2x－4与x轴的交点坐标是
，与y轴的交点坐标
是
．
2 ． 一 般 地 ， y ＝ kx ＋ b 的 性 质 是 ： k>0 ， y 随 x 的 ____ 而 ____ ； k<0 ， y 随 x 的
在上一课的学习中，我们学会了正比例函数图象 的画法，分为三个步骤．
①列表
②描点
③连线
那么你能用同样的方法画出一次函数的图象 吗？
一、新课引入
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
函数y=x的图象经过原点，函数y=x+2的图象与y轴交于点
，即它可以看作由直线y=x向 平移
把一次函数y=x+2,y=x-2的图象与y=x比较，发现：
解：(1)由题意得1-2m>0，解得 (2)由题意得1-2m≠0且m-1<0，即 (3)由题意得1-2m<0且m-1<0，解得
m1 2
m 1且m 1 2
1 m 1 2
课堂小结
图象 一次函数函数 的图象和性质
性质
与y轴的交点是（0，b， b>0时，经过一、二、三象限； 当k>0 ，b<0时，经过一、三、四象限； 当k<0 ，b>0时，经过 一、二、四象限； 当k<0 ，b<0时，经过二、三、四象限.
例1：画出一次函数y=－2x＋1的图象
x y=－2x+1
–2
–1
5
3
y=－2x＋1
北师大版初中数学八年级上册第四章 一次函数4.1 函数 课件
的热力学温度T是多少？
（2）给定一个大于-273 ℃的t值，你都能求出相应的T
值吗？
探究新知
4.1 函数/
探究新知
（1）当t分别为-43 ℃， -27 ℃，0 ℃，18 ℃时，相应的
热力学温度T是多少？
解：当t为-43℃时， T= -43+273=230（℃）;
当t为-27℃时， T= -27+273=246（℃）;
课堂小结
4.1 函数/
概念：函数在某个变化过程中，如果有两 个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值， y都有唯一确定的值与它对应，那么x是自变 量，y是x的函数.
函数
函数的关系式：三种表示方法
自变量的取值范围 函数值
1.使函数解析式有意义 2.符合实际意义
课后作业
作业 内容
4.1 函数/
教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习
系的是 ① ② ③ ．
提示：判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一 个变量确定时，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应.
巩固练习
4.1 函数/
变式训练
下列式子中的y是x的函数吗？为什么？若y不是x的函数，怎
样改变，才能使y是x的函数？
（1）y 2x 3
（2）y
x
1 1
（3） y x 2
素养目标
4.1 函数/
3. 经历对具体实例的研究过程,进一步发展抽象 思维能力.
2. 了解函数的三种表达方式，并会用含有一个 变量的代数式表示另一个变量. 1. 理解函数及其相关概念，并能判断两个变 量之间的关系是不是函数关系.
探究新知
知引识入点新1知 函数及相关概念
4.1 函数/
北师大版数学八年级上4第四单元《一次函数》全章导学案附单元测试卷
北师大版数学八年级上第4单元《一次函数》导学案附单元测试卷4.1 函数4.2 一次函数与正比例函数4.3 一次函数的图象第1课时正比例函数的图象和性质第2课时一次函数的图象和性质4.4 一次函数的应用第1课时确定一次函数的表达式第2课时单个一次函数图象的应用第3课时两个一次函数图象的应用单元测试北师大版数学八年级上导学案第四章一次函数4.1 函数学习目标：1．掌握函数的概念，以及函数的三种表示方法；2．会判断两个变量之间是否是函数关系。
学习过程第一环节：创设情境、导入新课内容：展示一些与学生实际生活有关的图片，如心电图片，天气随时间的变化图片，抛掷铅球球形成的轨迹，k线图等，提请学生思考问题。
内容：问题1.你去过游乐园吗？你坐过摩天轮吗？你能描述一下坐摩天轮的感觉吗？当人坐在摩天轮上时，人的高度随时间在变化，那么变化有规律吗？摩天轮上一点的高度h与旋转时间t之间有一定的关系，右图就反映了时间t(分）与摩天轮上一点的高度h（米)之间的关系.你能从上图观察出，有几个变化的量吗？当t分别取3，6，10时，相应的h是多少？给定一个t值，你都能找到相应的h值吗？问题2.在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行S米，一般地有经验公式2300vs ，其中v表示刹车前汽车的速度（单位：千米/时）.（1）公式中有几个变化的量？计算当v分别为50，60，100时，相应的滑行距离s是多少？（2）给定一个v值，你都能求出相应的s值吗？问题3.如图，搭一个正方形需要4根火柴棒，按图中方式，动手做一做，完成下表：表格中有几个变量？按图中方式搭100个正方形，需要多少根火柴棒?若搭n 个正方形，需要多少根火柴棒?第三环节：概念的抽象（7分钟，得到定义，学生理解知识） 内容：1．学生思考以上三个问题的共同点，进而揭示出函数的概念：2．函数概念中的两个关键词：两个变量,一个x 值确定一个y 值，它们是判断函数关系的关键。
3．思考三个情境呈现形式的不同（依次以图像、代数表达式、表格的形式反映两个变量之间的关系），得出函数常用的三种表示方法： （1） ； （2） ； （3） 。
八年级数学上册第四章一次函数4.3一次函数的图象第1课时正比例函数的图象和性质学案(新版)北师大版
4.3一次函数的图象第 1 课时正比率函数的图象和性质一、学习目标1、理解函数图象的观点。
2、经历作图过程，初步认识作函数图象的一般步骤。
3、理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系。
4、能较娴熟作出一次函数的图象。
二、能力目标1、已知分析式作函数的图象，培育学生数形联合的意识和能力。
2、在研究活动中发展学生的合作意识和能力。
三、感情目标1、经历作图过程，归纳总结作函数图象的一般步骤，发展学生的总结归纳能力。
2、增强新旧知识的联系，促使学生新的认知构造的建构。
四、学习要点1、能娴熟地作出一次函数的图象。
2、归纳作函数图象的一般步骤。
3、理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系。
五、学习过程1、新课导入上节课我们学习了一次函数及正比率函数的观点, 正比率函数与一次函数的关系, 并能根据已知信息列出x 与 y 的函数关系式 , 本节课我们研究一下一次函数的图象及性质。
2、讲解新课（ 1）函数图象的观点把一个函数的自变量x 与对应的因变量y 的值作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，全部这些点构成的图形叫做该函数的图象。
假定在代数表达式y=2x 中，自变量x 取 1 时，对应的因变量y=2，则我们可在直角坐标系内描出表示（1，2）的点，再给x 的另一个值，对应又一个y，又可知道直角坐标系内描出另一个点，全部这些点构成的图形叫该函数y=2x 的图象，由此看来，函数图象是知足函数表达式的全部点的会合。
（ 2）作一次函数的象例 1：作出一次函数 y=2x+1 的象解：列表：x⋯-2-1012⋯y=2x+1⋯-3-1135⋯描点：以表中各作点的坐，在直角坐系内描出相的点。
：把些点挨次接起来，获得y=2x+1 的象（如6-4 ），它是一条直。
小：从才作的状况来一下作一次函数象有哪些步：（ 1）列表；（ 2）描点；（ 3）。
做一做（1）作出一次函数 y=-2x+5 的象，（2）在所作的象上取几个点，找出它的横坐和坐，并它能否足关系式 y=-2x+5 。
2024年北师大版八年级上册第四章 一次函数第四章 一次函数
一、单元学习主题本单元是“数与代数”领域“函数”主题中的“一次函数”.二、单元学习内容分析1.课标分析《标准2022》指出初中阶段数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题,是学生理解数学符号,以及感悟用数学符号表达事物的性质、关系和规律的关键内容,是学生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用数学语言表达现实世界的重要载体.《标准2022》对一次函数的学习要求是:结合具体情境体会一次函数的意义,能根据已知条件确定一次函数的表达式;会运用待定系数法确定一次函数的表达式;能画出一次函数的图象,根据图象和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况;理解正比例函数;体会一次函数与二元一次方程的关系,进一步发展建模意识;能用一次函数解决简单实际问题,发展应用意识.函数的教学,要通过对现实问题中变量的分析,建立两个变量之间变化的依赖关系,让学生理解用函数表达变化关系的实际意义;要引导学生借助平面直角坐标系中的描点,理解函数图象与表达式的对应关系,理解函数与对应的方程、不等式的关系,增强几何直观;会用函数表达现实世界事物的简单规律;注重学生对必要的数学语言和符号的理解与准确应用.运用数学语言和符号去理解、描述现实世界中问题的变化规律,是本章学习的主要目的之一.要在现实情境中鼓励学生运用自己的语言进行描述和交流,进而逐步学习和掌握规范的数学语言,增强符号感.经历用数学的语言表达现实世界的过程,提升学生学习数学的兴趣,进一步发展应用意识.2.本单元教学内容分析北师大版教材八年级上册第四章“一次函数”,本章包括四个小节:4.1函数;4.2一次函数与正比例函数;4.3一次函数的图象;4.4一次函数的应用.函数学习在中学数学中占据重要地位,既是教学的重点,也是教学的难点.本章是学生第一次接触函数,是后续学习反比例函数、二次函数的基础.函数的概念和函数的图象贯穿整个函数的教学,是学习函数的重点,同时函数概念中体现出的变化与对应的思想、数形结合思想是决定函数学习是否顺利的关键.一次函数是学生接触的第一类函数,在教学中, 一般利用函数图象归纳函数性质,利用函数性质和图象来解决问题,这种从特殊到一般再回到特殊的研究方法是研究函数的基本方法.函数是数学中重要的基本概念之一,它揭示了现实世界中数量关系之间相互依存和变化的实质,是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型.本章是学习函数的入门,也是进一步学习的基础.教材通过具体的实例引入一次函数的概念,并通过练习巩固对一次函数意义的认识;通过让学生动手操作,让学生认识到一次函数的图象是一条直线,从而得出两点法作一次函数图象;通过具体的取值结合函数的图象,让学生逐步得出一次函数的性质,体会一次函数在实际生活中的应用.教材注重让学生参与知识的形成过程,自始至终都采用让学生动手尝试、交流、归纳的方式,鼓励学生通过观察、猜想、验证,主动获取知识,真正体会到函数是反映现实世界的有效数学模型.一次函数是初中学生将要学习的各类函数中最简单的一种函数,它反映了函数的特点及函数的思维方式、研究方法和应用模式,因此学好一次函数是学好其他函数的基础.研究一次函数离不开对图象特征的研究.数形结合是学习一次函数时必须体现的一种重要思想.要通过设置较多实际问题的一次函数图象,让学生观察、自己描点画图、研究变量的变化规律,探讨函数中的数与形的对应关系,逐步掌握解决一次函数问题的技能.由于一次函数在现实生活中有着广泛的应用,因此,在具体的教学过程中,可以利用生活中的素材加深学生对函数现实意义的理解,促进其函数建模、数形结合等重要数学思想方法的形成,加强对知识之间内在联系的认识,体会函数观点的统领作用,也可以利用所学的函数知识解决现实生活中的一些问题.三、单元学情分析本单元内容是北师大版教材数学八年级上册第四章一次函数,本单元是在学习了实数、平面直角坐标系的基础上学习的,学生对数形结合思想有了一定的认识,它为本章的学习作了铺垫,一次函数的学习又为后续函数的学习作了铺垫,因此本章内容起着承上启下的作用.本单元让学生进一步认识用图象法表示函数关系,并开始学习一类最基本的函数——一次函数.学习一次函数,意味着从常量数学进入变量数学的学习.学生的思维要随之改变,这是对学生思维能力的考验,也是对数学认识的一次飞跃.学生在学习一次函数的过程中,对简单问题往往能根据课堂所学的概念知识,画出相应的函数图象解决,看不出学生对一次函数的理解程度.但随着时间的推移,随着问题情境复杂化,他们就会表现出对一次函数知识理解深度不够,停留在感性认识多些,理性认识少些,对一次函数表达式的直接应用多些,对表达式与图象间的内在联系运用薄弱些,需要多练、多探、多问、多总结经验.学生在学习过程中遇到困难主要有:复杂问题情景化转移到一次函数图象;结合题意理解一次函数所表达的信息;结合题意将图象信息转换为数量关系.因此,本单元教学应注意数形结合,需要多练、多问、多总结.四、单元学习目标1.经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程,体会函数的模型思想,进一步发展符号意识.2.经历一次函数的图象及其性质的探索过程,在合作与交流活动中发展合作交流的意识和能力.3.初步理解函数的概念,在实际背景中感受自变量取值范围的意义.4.能画一次函数的图象,经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程,发展应用意识,体会数形结合的思想.六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况.层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.自主性原则:学生可以根据自己的学习能力自主选择,每课时留下拓展性练习或自主编写自己的易错题类型.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.。
北师大版八年级数学上册第四章 一次函数 4.3.2 一次函数的图象与性质 导学案
北师大版八年级数学上册第四章 一次函数 4.3.2 一次函数的图象与性质 导学案 核心知识提要1．一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)的图象是一条与y 轴相交于点(0，b)的直线；正比例函数y ＝kx(k≠0)的图象是一条过原点的直线．2．一次函数y ＝kx ＋b 的图象是直线，因此，当作一次函数图象时，只要确定两个点作直线就可以了，一次函数y ＝kx ＋b 的图象也称为直线y ＝kx ＋b.3．在一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)中，当k>0时，y 的值随x 值的增大而增大，当k<0时，y 的值随x 值的增大而减小．精讲精练【例1】 如图，在平面直角坐标系中画出函数y ＝－3x ＋4的图象，根据图象解答下列问题：(1)图象与x 轴交于点(43，0)，与y 轴交于点(0，4)； (2)函数的图象经过第一、二、四象限，y 随x 的增大而减小；(3)求函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积．解：设函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为S ，则S ＝12×4×43＝83.【跟踪训练1】 若b ＞0，则一次函数y ＝－x ＋b 的图象大致是(C)A B C D【跟踪训练2】 给出下列函数：①y＝－3x ＋2；②y ＝5x ；③y＝2x ＋1；④y＝－12x.其中符合条件“当x>1时，函数值y 随自变量x 的增大而增大”的是(D)A ．①③B ．③④C ．②④D ．②③【例2】 (1)将直线y ＝2x 向上平移2个单位长度，则平移后直线的函数关系式是y ＝2x ＋2；(2)将直线y ＝－2x ＋1沿x 轴向左平移2个单位长度，再沿y 轴向下平移3个单位长度所得直线的函数关系式为y ＝－2x －6；(3)已知直线y ＝kx ＋b(k≠0)与直线y ＝－3x 平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则b ＝6或－6．(1)直线y ＝kx ＋b 向上平移n(n ＞0)个单位长度得到直线y ＝kx ＋b ＋n ，向下平移n(n ＞0)个单位长度得到直线y ＝kx ＋b －n ，简记为“上加下减”．(2)直线y ＝kx ＋b 向左平移m(m ＞0)个单位长度得到直线y ＝k(x ＋m)＋b ，向右平移m(m ＞0)个单位长度得到直线y ＝k(x －m)＋b ，简记为“左加右减”．(3)直线y ＝k 1x ＋b 1和直线y ＝k 2x ＋b 2平行⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2.【跟踪训练3】 在平面直角坐标系中，将函数y ＝3x 的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x 轴的交点坐标为(B)A ．(2，0)B ．(－2，0)C ．(6，0)D ．(－6，0)【跟踪训练4】 已知直线y ＝－2x ＋5，将其向右平移1个单位长度后与两坐标轴围成的三角形面积为494．【例3】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝－12x ＋5的图象l 1分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，正比例函数的图象l 2与l 1交于点C(m ，4)．(1)求m 的值及l 2的表达式；(2)求S △AOC －S △BOC 的值．解：(1)把C(m ，4)代入一次函数y ＝－12x ＋5， 得4＝－12m ＋5. 解得m ＝2.所以C(2，4)．设l 2的表达式为y ＝ax ，则4＝2a ，解得a ＝2.所以l 2的表达式为y ＝2x.(2)过点C 作CD⊥AO 于点D ，CE ⊥BO 于点E ，则CD ＝4，CE ＝2.在y ＝－12x ＋5中，令x ＝0，则y ＝5； 令y ＝0，则x ＝10.所以A(10，0)，B(0，5)．所以AO ＝10，BO ＝5.所以S △AOC －S △BOC ＝12×10×4－12×5×2 ＝20－5＝15.【跟踪训练5】 如图，直线y ＝2x ＋3与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B.(1)求A ，B 两点的坐标；(2)过点B 作直线BP 与x 轴相交于点P ，且使AP ＝2OA ，求△BOP 的面积．解：(1)因为y ＝2x ＋3，所以当y ＝0时，x ＝－32. 当x ＝0时，y ＝3.所以A(－32，0)，B(0，3)． (2)当点P 在点A 左侧时，AP ＝2OA ＝3，则P(－92，0)． 所以S △BOP ＝12×3×92＝274； 当P 在点A 右侧时，AP ＝2OA ＝3，则P(32，0)， 所以S △BOP ＝12×3×32＝94.课堂巩固训练1．在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象如图所示，则k 和b 的取值范围是(C)A ．k ＞0，b ＞0B ．k ＞0，b ＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜02．下列有关一次函数y＝－3x＋2的说法中，错误的是(B)A．y的值随着x增大而减小B．当x＞0时，y＞2C．函数图象与y轴的交点坐标为(0，2)D．函数图象经过第一、二、四象限3．A(3，y1)，B(1，y2)是直线y＝kx＋3(k＞0)上的两点，则y1＞y2(填“＞”或“＜)．4．如图，将直线OA向上平移3个单位长度，则平移后的直线的表达式为y＝2x＋3．5．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象经过第一、三、四象限，则直线y＝kbx－k不经过第一象限．6．如图，已知一次函数y＝kx＋3的图象经过点A(4，0)，与y轴交于点B.(1)求k的值；(2)画出该函数的图象；(3)点P是该函数图象上一个动点，连接OP，求OP的最小值．解：(1)因为一次函数y＝kx＋3的图象经过点(4，0)．所以4k＋3＝0.所以k ＝－34. (2)如图所示．(3)过点O 作OP⊥AB 于点P ，此时OP 的值最小， 因为A(4，0)，B(0，3)，所以AB ＝5.因为12OA·OB＝12AB·OP， 所以3×4＝5OP.所以OP ＝125. 所以OP 的最小值是125.。
北师大版八年级上册第四章一次函数复习教案
-分类讨论和转化与化归思想的运用：在解决一次函数相关问题时，如何进行分类讨论和转化。
-难点解析：学生在遇到多条件问题时，不知道如何分类讨论，或者在转化过程中出现错误。
-举例：讨论一次函数在x取不同值时，函数值的变化情况，以及如何将不等式问题转化为方程问题求解。
北师大版八年级上册第四章一次函数复习教案核心素养目标：
1.培养学生运用数学语言描述一次函数的概念、性质和应用能力，提高数学表达与交流素养。
2.培养学生通过数形结合思想，观察、分析一次函数图像，培养直观想象与逻辑推理素养。
3.培养学生运用一次函数知识解决实际问题，增强数学建模与问题解决素养。
4.培养学生在解决一次函数相关问题时，能够灵活运用分类讨论和转化与化归思想，提高数学运算与数据分析素养。
北师大版八年级上册第四章一次函数复习教案
一、教学内容
北师大版八年级上册第四章一次函数复习教案：
1.一次函数的定义与性质
-一次函数的定义
-一次函数图像的特点
-一次函数的增减性
2.一次函数的表示方法
-解析式表示
-图像表示
-表格表示
3.一次函数的应用
-求解线性方程
-求解线性不等式
-实际问题中的应用
4.函数图像的绘制
-利用解析式绘制图像
-利用表格绘制图像
-图像的平移与伸缩
5.一次函数与方程、不等式的关系
-一次函数与一元一次方程的关系
-一次函数与一元一次不等式的关系
-实际问题中的转化与应用
6.综合习题与拓展
-各类题数与其他数学知识的联系与运用
二、核心素养目标
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北师大版八年级数学上册第四章 一次函数 4.4.1一次函数的图象与性质 导学案 核心知识提要
1．正比例函数表达式的一般形式为y ＝kx(k≠0)；一次函数表达式的一般形式为y ＝kx ＋b(k≠0)．
2．一次函数的图象是直线；确定一次函数的表达式需要2个条件． 3．待定系数法求函数表达式的步骤： (1)设函数表达式；
(2)根据已知条件列出有关方程(组)； (3)解方程(组)；
(4)把求出的k ，b 的值代回到表达式中即可． 精讲精练
【例1】 如图所示，直线l 与两坐标轴的交点坐标分别是A(－3，0)，B(0，4)． (1)求直线l 所对应的函数表达式； (2)若点C(a ，12)在直线l 上，求a 的值；
(3)若将直线l 向右平移3个单位长度，试求平移后的直线的表达式． 解：(1)设函数表达式为y ＝kx ＋b ，
将A(－3，0)，B(0，4)两点代入，
得⎩
⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝0，b ＝4，
解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝43，
b ＝4.
所以函数表达式为y ＝4
3x ＋4.
(2)因为点C(a ，12)在直线l 上， 所以4
3
a ＋4＝12.所以a ＝6.
(3)因为将直线l 向右平移3个单位长度， 所以y ＝4
3
(x －3)＋4.
所以平移后的直线的表达式为y ＝4
3x.
【跟踪训练1】 (1)已知一次函数y ＝kx ＋3的图象经过点A(1，2)，则其表达式为(B) A ．y ＝－5
2x ＋3 B ．y ＝－x ＋3
C ．y ＝x ＋3
D ．y ＝1
2
x ＋3
(2)已知直线y ＝kx ＋b 经过点A(－2，0)和y 轴正半轴上的一点B ，若△ABO(O 为坐标原点)的面积为2，则b 的值为2．
【例2】 温度的计量一般有两种，世界上大部分国家都使用摄氏温度C(℃)，但美、英等国的天气预报仍然使用华氏温度F()．已知两种计量之间的关系是我们已学的某种函数关系，且两种计量的部分对应值如表．
C(℃) 0 10 20 30 40 50 F(
)
32
50
68
86
104
122
(1)判断华氏温度F()与摄氏温度C(℃)之间是何种函数关系？并求出F(
)关于
C(℃)的函数表达式；
(2)求华氏温度为0 时的摄氏温度；
(3)华氏温度的值与对应的摄氏温度的值能否相等？若能，求出相等的值；若不能，请说明理由．
解：(1)华式温度F()与摄氏温度C(℃)之间是一次函数关系． 设F()关于C(℃)的函数表达式为F ＝kC ＋b ，
依据表格中信息可得，⎩
⎪⎨⎪⎧b ＝32，
10k ＋b ＝50，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝1.8，
b ＝32.
故F()关于C(℃)的函数表达式为F ＝1.8C ＋32. (2)当F ＝0时，0＝1.8C ＋32， 解得C ＝－1609
.
答：华氏温度为0 时的摄氏温度是－160
9 ℃.
(3)令F ＝C ，则C ＝1.8C ＋32， 解得C ＝－40，
即华氏温度的值与对应的摄氏温度的值能相等，这个值是－40 ℃与－40 ．
【跟踪训练2】 已知汽车燃油箱中的油量y(升)与该汽车行驶里程数x(千米)是一次函数关系．贾老师从某汽车租赁公司租借了一款小汽车，拟去距离出发地600千米的目的地旅游(出发之前，贾老师往该汽车燃油箱内注满了60升的油量)．行驶了200千米之后，汽车燃油箱中的剩余油量为40升．
(1)求y 关于x 的函数关系式(不要求写自变量的取值范围)；
(2)当汽车燃油箱中的剩余油量为8升的时候，汽车仪表盘上的燃油指示灯就会亮起来．在燃油指示灯亮起来之前，贾老师驾驶该车可否抵达目的地？请通过计算说明．
解：(1)设y 关于x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧b ＝60，
200k ＋b ＝40，解得
⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－110，
b ＝60.
所以y关于x的函数关系式为y＝－1
10
x＋60.
(2)当y＝8时，8＝－1
10
x＋60，解得x＝520.
因为520＜600，
所以在燃油指示灯亮起来之前，贾老师驾驶该车不能抵达目的地．
课堂巩固训练
1．若点P(2，1)在过原点的一条直线上，则这条直线所对应的函数表达式为(B)
A．y＝－2x B．y＝1
2
x C．y＝2x－1 D．y＝1－2x
2．一次函数y＝kx＋b的图象与y轴的交点的纵坐标为－5，且当x＝1时，y＝－2，那么这个函数的表达式是(D)
A．y＝4x－6 B．y＝－3x－5
C．y＝－3x＋5 D．y＝3x－5
3．已知一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，且k≠0)，x与y的部分对应值如下表所示，那么k，b的值分别是(C)
A.1，1 B．1，－1 C．－1，1 D．－1，－1
4．如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点(不包括端点)，过P分别作两坐标轴的垂线，与两坐标轴围成的长方形的周长为10，则该直线的函数表达式是y＝5－x．
5．如图，直线y＝kx＋3与x轴、y轴分别相交于点E，F.点E的坐标为(－6，0)，点
P 是直线EF 上的一点．
(1)求k 的值；
(2)若△POE 的面积为6，求点P 的坐标．
解：(1)把E(－6，0)代入直线y ＝kx ＋3，得－6k ＋3＝0， 解得k ＝1
2.
(2)设P(x ，y)，
因为S △POE ＝12OE·|y|＝1
2×6×|y|＝6，
所以|y|＝2，即y ＝2或y ＝－2. 当y ＝2时，即2＝1
2x ＋3，
解得x ＝－2. 所以P(－2，2)；
当y ＝－2时，即－2＝1
2x ＋3，
解得x ＝－10. 所以P(－10，－2)．
所以点P 的坐标为(－2，2)或(－10，－2)． 课后小结
确定一次函数的表达式：
(1)由于正比例函数y＝kx(k≠0)中只有一个待定系数k，因此只要一个条件(如一对x，y的值或一个点)，就可求得k的值．
(2)一次函数y＝kx＋b中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．。