复变函数第5章答案

第五章 留 数
一、选择题： 1．D 注：孤立奇点类型的判定方法：（1）定义 计算洛朗展开式，观察其中负幂项的多少 （2）计算极限 )(lim z f z z 0
→根据极限的取值情况
本题只有利用定义判断：1
1
sin
)1(--z z 在1=z 的去心邻域δ<-<10z 内的罗朗级数 11sin )1(--z z )!()()(1211111
20
+⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+∞
=∑n z z n n n 有无穷多负幂项 2． C 注：留数定义计算 为的去心邻域内洛朗级数
在点0k z z f )(∑∞
==0
1
n n n
k k z a
z
z z f )( 负一次幂项的系数 11--=k a c 3．A
4． A 注：留数定义计算 为去心邻域内的洛朗级数在点i e
z i
z -12
()∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=0
0202021
2
11211n n
n n
n n
n n
i
z n i z i n i z i i z n i z i z n i z i i z e
z !!)(!)(!)每一部分中负一次幂项的系数 分别为 131
-,,!
i ，因此=-],[Re 1
2i e z s i z i +-65
5． C 根据留数定理易得 6． C 根据留数定理
=⎰=1
21sin z dz z z ],sin [Re 0122
z z s i π 留数],sin [Re 012
z
z s 的计算按照留数定义处理为!
31
- 二、填空题
1．设0=z 为函数2
2z z sin -的m 级零点，那么=m 4 ．
注：m 级零点的判定方法：（1）级零点的重根，则的为方程m z f z m z f z )()(000= （2）求导数
00≠)()(z f m ，阶数低的导数值均为零
本题根据方法二，求导数判定即可 2．设函数}1
exp{)(2
2
z z z f +
=，则=]0),([Re z f s 0 注：洛朗展开式：()
∑∑
∞
=∞
=⎪⎭⎫
⎝⎛+=⋅=+=0
20
21
22112
2n n
n n z z n z
n z e e z z z f !!}exp{)( 其中必不含有z 的奇数次幂项，所以，由留数定义 =]0),([Re z f s 0
3．设5
cos 1)(z
z z f -=
，则=]0),([Re z f s 241
． 注：留数定义 5
cos 1)(z
z
z f -=
在点0的去心邻域内的罗朗级数为 5
252111z n z z z z f n n
n
∑∞
=--=-=!)
(cos )( 负一次幂项的系数 !411
=-c 4．积分
=⎰=1
13
z z
dz e z
12
i
π ． 注：根据留数定理即可。

三、计算积分：
本题要点：孤立奇点类型的判定；m 级极点的判定；m 级零点的判定；留数定理；留数计算的准则----具体可参见课件！！！ ⎰=
-4
1211z dz z z
z )(sin )
(．
解：被积函数的唯一孤立奇点1=z 在积分曲线的外部，根据留数定理 ，
014
12=-⎰=
z dz z z
z )(sin
⎰=-23
31
2z dz z z )
()
( 解：被积函数
)
(z z -31
3有两个孤立奇点 =1z 0，=2z 3 ，
∞=-→)
(lim
z z i
z z 31
3
它们分别为极点 ，进一步，根据零点与极点的关系，可判定 =1z 0为被积函数
)(z z -313的三级极点，=2
z 3为被积函数 )
(z z -31
3的一级极点 但只有=1z 0在积分曲线的内部，根据留数定理
],)([Re )
(0312313
23z z s i dz z z z -=-⎰=π 根据规则II ，得271
0313
=-],)
([
Re z z s ],)([Re )
(031
2313
23z z s i dz z z z -=-⎰=π=272i π ⎰=2
3z dz z z
sin )
( 解：被积函数
z
z
sin 的唯一孤立奇点z=0, 10
=→z
z
z sin lim
，所以 z=0,为被积函数的 可去奇点 z=0,在积分曲线的内部，根据留数定理
],sin [Re sin 022
z z
s i dz z z z π=⎰= 因为 z=0,为被积函数的 可去奇点，00=],sin [
Re z
z
s
所以
],sin [Re sin 022
z z
s i dz z z z π=⎰==0 ⎰=--102
634z dz z z z
)
()(sin )
( 解：被积函数有二级极点z=3，一级极点z=6 并且二者均在积分曲线的内部，所以， 由留数定理得
]},)()(sin [Re ],)()(sin [{Re )
()(sin 6633632632
2102--+--=--⎰=z z z
s z z z s i dz z z z z π 分别根据规则II ，I ，得
96
6366633913316331136326222
32sin )()(sin )(lim ]},)()(sin [Re ;sin cos ])
()(sin )[(lim !],)()(sin [
Re =
---=----=---=--→→z z z z z z z s z z z z dz d z z z s z z
}sin sin cos {)
()(sin 691391331263102
+--=--⎰=i dz z z z z π θθ
πd ⎰
+20
351
5sin )(
解：取变量代换 θ
i e z =
233223
51351
1
1
1
20
π
θθ
π
=++=-+=
+⎰⎰⎰
==-dz i z i z iz dz
i
z z d z z ))((sin ⎰=-23
36z dz z z z
)
(sin )(=i z z z s i ππ920323=-],)(sin [Re。