2017-2018学年中考数学《动点直角三角形》专题强化练习卷(无答案)
天津市河西区2018届中考《三角形》专项强化练习(含答案)
2018年九年级数学中考复习三角形解答题强化练习1.如图，AB=DC，AC=DB，求证：AB∥CD．2.已知点A（2m+n，2），B （1，n﹣m），当m、n分别为何值时，（1）A．B关于x轴对称；（2）A．B关于y轴对称．3.如图，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2．求证：BC=DE．4.已知：如图，AB∥CD，AD∥BC，求证：AB=CD，AD=BC．5.如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE=CF，AB∥DE，∠A=∠D．求证：AB=DE．6.如图，已知△ABC，AB=AC，AD是△ABC角平分线，EF垂直平分AC，分别交AC，AD，AB于点E，O，F.若∠CAD=20°，求∠OCD的度数.7.如图,在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG.求证：（1）AD=AG;（2）AD与AG的位置关系如何?并证明你的结论.8.如图,已知在△ABC中,∠BAC的平分线与线段BC的垂直平分线PQ相交于点P,过点P分别作PN垂直于AB于点N,PM垂直于AC于点M,BN和CM有什么数量关系？请说明理由．9.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．10.如图：AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD。
求证：BE⊥AC。
11.如图、已知∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于D，PE⊥OA于E．如果OD=4cm，求PE的长．12.如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B13.如图，在等边三角形ABC中，点M是BC边上的任意一点（不与端点重合），连接AM，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN．（1）求∠ACN的度数．（2）若点M在△ABC的边BC的延长线上，其他条件不变，则∠ACN的度数是否发生变化？（直接写出结论即可）14.如图,∠BAD=∠CAE=90o,AB=AD,AE=AC,AF⊥CF,垂足为F.（1）若AC=10,求四边形ABCD的面积；（2）求证：AC平分∠ECF；（3）求证：CE=2AF .15.在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，求∠BCE的度数；（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图2,当点D在线段BC上移动,则α，β之间有怎样的数量关系?请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α,β之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论．参考答案1.证明：∵在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SSS）．∴∠ABC=∠DCB（全等三角形的对应角相等）．∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．2.解：（1）∵点A（2m+n，2），B （1，n﹣m），A．B关于x轴对称，∴，解得；（2）∵点A（2m+n，2），B （1，n﹣m），A．B关于y轴对称，∴，解得：．3.证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC．即：∠BAC=∠DAE．在△ABC与又△ADE中，，∴△ABC≌△ADE．∴BC=DE．4.解：如图，∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC．5.证明：∵BE=CF，∴BC=EF．∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF．在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴AB=DE．6.50°7. (1)证明：∵BE⊥AC∴∠AEB＝90∴∠ABE+∠BAC＝90∵CF⊥AB∴∠AFC＝∠AFG＝90∴∠ACF+∠BAC＝90,∠G+∠BAG＝90∴∠ABE＝∠ACF∵BD＝AC,CG＝AB∴△ABD≌△GCA（SAS）∴AG＝AD2、AG⊥AD证明:∵△ABD≌△GCA∴∠BAD＝∠G∴∠GAD＝∠BAD+∠BAG＝∠G+∠BAG＝90∴AG⊥AD8.证明：如图，连接PB，PC，∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，∵P在BC的垂直平分线上，∴PC=PB，在Rt△PMC和Rt△PNB中，，∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），∴BN=CM．9.证明：∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC，∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴AE=AC，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE，即直线AD是线段CE的垂直平分线．10.证明：(1) AD为△ABC上的高，∴BDA=ADC =90.∵BF=AC,FD=CD.∴Rt△BDF≌Rt△ADC.(2)由①知∠C=∠BFD，∠CAD=∠DBF.∠BFD=∠AFE，又∠CBE=∠CAD，∴∠AEF=∠BDF.∠BDF= 90，∴BE⊥AC.11.解：过P作PF⊥OB于F，∵∠AOB=30°，OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=15°，∵PD∥OA，∴∠DPO=∠AOP=15°，∴∠BOC=∠DPO，∴PD=OD=4cm，∵∠AOB=30°，PD∥OA，∴∠BDP=30°，∴在Rt△PDF中，PF=PD=2cm，∵OC为角平分线，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE=PF，∴PE=PF=2cm．12.证明:延长AC至E,使CE=CD,连接ED∵AB=AC+CD∴AE=AB∵AD平分∠CAB∴∠EAD=∠BAD∴AE=AB∠EAD=∠BAD AD=AD ∴△ADE≌△ADB∴∠E=∠B且∠ACD=∠E+∠CDE,CE=CD∴∠ACD=∠E+∠CDE=2∠E=2∠B即∠C=2∠B13.14.（1）解：∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD∴∠BAC=∠EAD，在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（SAS），∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD，（2）证明：∵△ACE是等腰直角三角形，∴∠ACE=∠AEC=45°，由△ABC≌△ADE得：∠ACB=∠AEC=45°，∴∠ACB=∠ACE，∴AC平分∠ECF；（3）证明：过点A作AG⊥CG，垂足为点G，∵AC平分∠ECF，AF⊥CB，∴AF=AG，又∵AC=AE，∴∠CAG=∠EAG=45°，∴∠CAG=∠EAG=∠ACE=∠AEC=45°，∴CG=AG=GE，∴CE=2AG，∴CE=2AF．15.。
2017-2018学年中考数学《动点直角三角形》强化练习卷(无答案)
2017-2018学年中考数学《动点直角三角形》强化练习卷（无答案）将平行四边形ABCD 分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点P .点P 为直线l 上方抛物线上一动点，设点P 的横坐标为t .（1）求抛物线的解析式；（2）当何值时，t 的面积最大?并求最大值的立方根； （3）是否存在点P 使PAE ∆为直角三角形?若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由.4. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22++=bx axy 过点)0,2(-A ，，与y 轴交于点C .（1）求抛物线22++=bx axy 的函数表达式； （2）若点D 在抛物线22++=bx axy 的对称轴上，求ACD ∆的周长的最小值； （3）在抛物线22++=bx axy 的对称轴上是否存在点P ，使ACP ∆是直角三角形？若存在，直接写出点P 的坐标，若不存在，请说明理由. 5.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形12OA A 的直角边1OA 在y 轴的正半轴上，且1121OA A A ==，以2OA 为直角边作第二个等腰直角三角形23OA A ，以3OA 为直角边作第三个等腰直角三角形20172018OA A ，则点2017A 的坐标为 ． 6.如图，顺次连接腰长为2 的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n 个小三角形的面积为 ．7.如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣1x2+bx+c的3图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A 出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．（1）填空：b=，c=；（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；，0），线段PQ的中点为（4）如图②，点N的坐标为（﹣32H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．8.如图，ABC∆是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且6=，点D从点O出发，沿OM的方向以1/cm s的速度运动，OA cm当D不与点A重合是，将ACD∆绕点C逆时针方向旋转060得到∆，连接DE.BCE（1）求证：CDE∆是等边三角形；（2）当610t<<时，的BDE∆周长是否存在最小值？若存在，求出BDE的最小周长；若不存在，请说明理由.（3）当点D在射线OM上运动时，是否存在以,,D E B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.9.如图，抛物线与x轴交于A,B两点(点B 在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD 交y轴于点E。
2017-2018学年中考数学压轴题分类练习动点特殊四边形专题
动点特殊四边形专题1.探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：12PP =他还利用图2证明了线段P 1P 2的中点P （x ，y ）P 的坐标公式：122x x x +=，122y y y +=．（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；运用：（2）①已知点M （2，﹣1），N （﹣3，5），则线段MN 长度为 ；②直接写出以点A （2，2），B （﹣2，0），C （3，﹣1），D 为顶点的平行四边形顶点D 的坐 标： ； 拓展：（3）如图3，点P （2，n ）在函数43y x =（x ≥0）的图象OL 与x 轴正半轴夹角的平分线上，请在OL 、x 轴上分别找出点E 、F ，使△PEF 的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．2.如图，矩形OABC 的两边在坐标轴上，点A 的坐标为（10，0），抛物线24y ax bx =++过点B ，C 两点，且与x 轴的一个交点为D （﹣2，0），点P 是线段CB 上的动点，设CP =t （0＜t ＜10）． （1）请直接写出B 、C 两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P 作PE ⊥BC ，交抛物线于点E ，连接BE ，当t 为何值时，∠PBE =∠OCD ？（3）点Q 是x 轴上的动点，过点P 作PM ∥BQ ，交CQ 于点M ，作PN ∥CQ ，交BQ 于点N ，当四边形PMQN 为正方形时，请求出t 的值．3.如图，抛物线212y x bx c =-++ 与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，点B 坐标为（6，0），点C 坐标为（0，6），点D 是抛物线的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为E ，连接BD ．（1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）点F 是抛物线上的动点，当∠FBA =∠BDE 时，求点F 的坐标；（3）若点M 是抛物线上的动点，过点M 作MN ∥x 轴与抛物线交于点N ，点P 在x 轴上，点Q 在坐标平面内，以线段MN 为对角线作正方形MPNQ ，请写出点Q 的坐标．4. 如图，已知抛物线2y ax c =+过点()2,2-，()4,5，过定点()0,2F 的直线:2l y kx =+与抛物线交于A ，B 两点，点B 在点A 的右侧，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C . (1)求抛物线的解析式；(2)当点B 在抛物线上运动时，判断线段BF 与BC 的数量关系(>、<、=)，并证明你的判断； (3)P 为y 轴上一点，以,,,B C F P 为顶点的四边形是菱形，设点()0,P m ，求自然数m 的值；(4)若1k =，在直线l 下方的抛物线上是否存在点Q ，使得QBF △的面积最大，若存在，求出点Q 的坐标及QBF △的最大面积，若不存在，请说明理由.5.如图，抛物线23y ax bx =+-经过点()2,3A -，与x 轴负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且3OC OB =. （1）求抛物线的解析式；（2）点D 在y 轴上，且BDO BAC ∠=∠，求点D 的坐标；（3）点M 在抛物线上，点N 在抛物线的对称轴上，是否存在以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在。
2018年中考压轴题(动点问题) 精品
2018压轴题-动点问题1、（2018包头）如图，已知ABC△中，10AB AC==厘米，8BC=厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD△与CQP△是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD△与CQP△全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC△三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC△的哪条边上相遇？2、（2018齐齐哈尔）直线364y x=-+与坐标轴分别交于A B、两点，动点P Q、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出A B、两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ△的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当485S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．3（2018深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？4（2018哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．5（2018河北）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C 出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C 时，请直接．．写出t的值．6（2018河南））如图，在Rt ABC°，°，2BC=．点ACB B∠=∠=△中，9060O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE AB∥交直线l于点E，设直线l的旋转角为α．（1）①当α=度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为；②当α=度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为；α=°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．（2）当90（备用图）7（2018济南）如图，在梯形ABCD 中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值． （3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．8（2018江西）如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.CMA D E BF C图4（备用）ADE BF C图5（备用）A D E BF C图1 图2A D EBF C PNM 图3A D EBFCPN M（第25题）9（2018兰州）如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C →D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．10（2018临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD∠的是正方形，点E是边BC的中点．90∠=，且EF交正方形外角DCGAEF平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．11（2018天津）已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．（Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；（Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标．ADFC GE 图1ADF C GE 图2 ADFC GE B图312（2018太原）问题解决 如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AMBN 的值．类比归纳在图（1）中，若13CE CD =，则AM BN 的值等于 ；若14CE CD =，则AMBN 的值等于 ；若1CE CD n =（n 为整数），则AMBN的值等于 ．（用含n 的式子表示） 联系拓广如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，则AMBN的值等于 ．（用含m n ，的式子表示）方法指导： 为了求得AMBN 的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2图（2）N A BCDEFM 图（1） A B CDEFMN。
2017-2018年中考数学专题复习题 三角形(含解析)
2017-2018年中考数学专题复习题：三角形一、选择题1.如图，是的外接圆，的半径为3，，则弧BC的长是A.B.C.D.2.如图所示，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，，，▱ABCD的周长A. 11B. 13C. 16D. 223.如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知，现添加以下的哪个条件仍不能判定≌A.B.C.D.4.下列各组数能构成勾股数的是A. 2，，B. 12，16，20C. ，，D. ，，5.在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当的周长最小时，P点的位置在A. 的重心处B. AD的中点处C. A点处D. D点处6.已知a，b，c是的三条边长，化简的结果为A. B. C. 2c D. 07.如图，直线AB、CD交于点O，，，OB平分，则下列结论：图中，的余角有四个；的补角有2个；为的角平分线；其中正确的是A.B.C.D.8.如图，在中，，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，若：：1，则为A.B.C.D.9.下列说法中，不正确的是全等形的面积相等；形状相同的两个三角形是全等三角形；全等三角形的对应边，对应角相等；若两个三角形全等，则其中一个三角形一定是由另一个三角形旋转得到的．A. 与B. 与C. 与D. 与10.正方形ABCD的边长为1，其面积记为，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，按此规律继续下去，则的值为A. B. C. D.二、填空题11.已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程的根，则该等腰三角形的周长为______ ．12.如图，D是的边BC上任意一点，E、F分别是线段AD、CE的中点若的面积为m，则的面积为______ ．13.法国艾菲尔铁塔的塔身是由许多三角形构成的，设计师这样做是利用了三角形的______ 性14.如图，已知等边的边长为8，P是内一点，，，，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，则 ______ ．15.如图，，AD、BD、CD分别平分的外角、内角、外角以下结论：；；；平分；．其中正确的结论有______填序号16.如图，在中，，AD是的平分线，，则CD： ______ ．17.在中，边AB与BC的中点分别是D，E，连接AE，CD交于点连接BG交边AC于点若，，，则线段FC的长度是______．18.如图，在中，，，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若，，则 ______ cm．19.如图，点P是等边内一点，连接PA，PB，PC，PA：PB：：4：5，以AC为边作≌，连接，则有以下结论：是等边三角形；是直角三角形；；其中一定正确的是______ 把所有正确答案的序号都填在横线上如图所示，以的斜边BC为一边在的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果，，那么______．三、计算题20.如图是屋架设计图的一部分，其中，点D是斜梁AB的中点，BC、DE垂直于横梁AC，，则立柱BC，DE要多长？21.如图，在中，BD平分，作图：作BC边的垂直平分线分别交BC，BD于点E，用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法；在的条件下，连接CF，若，，求的度数．22.在中，，，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且．求证：≌；若，求度数．23.如图，在等腰中，，以AB为直径作交边BC于点D，过点D作交AC于点E，延长ED交AB的延长线于点F．求证：DE是的切线；若，，求BF的长．答案和解析【答案】1. B2. D3. D4. B5. A6. D7. C8. C9. D10. B11. 19或21或2312.13. 稳定14. 815.16. 1：或：17. 418. 719.20. 1621. 解：，，，、DE垂直于横梁AC，，又D是AB的中点，，答：立柱BC要4m，DE要2m．22. 解：边的垂直平分线EF如图所示；平分，，，垂直平分BC，，，在中，，，．23. 证明：，，在和中，，≌；，，，，，≌，，．24. 证明：连接OD，，，，，，，又，，是的切线；解：，∽，，即，解得，．。
中考—动点产生的相似三角形、等腰三角形、直角三角形、平行四边形问题 含答案
一、动点产生的相似三角形问题1、 满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得21-=a ．所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ．（2）设点P 的坐标为))4)(1(21,(---x x x ．①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(21---=x x PM，x AM -=4．如果2==CO AOPM AM ，那么24)4)(1(21=----x x x ．解得5=x 不合题意．如果21==COAOPM AM ，那么214)4)(1(21=----x x x ．解得2=x ． 此时点P 的坐标为（2，1）．②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(21--=x x PM，4-=x AM ． 解方程24)4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得2=x 不合题意．③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(21--=x x PM ，x AM -=4．解方程24)4)(1(21=---x x x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意．综上所述，符合条件的 点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．图2 图3 图4（3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为221-=x y ． 设点D 的横坐标为m )41(<<m ，那么点D 的坐标为)22521,(2-+-m m m ，点E 的坐标为)221,(-m m ．所以)221()22521(2---+-=m m m DE m m 2212+-=．因此4)221(212⨯+-=∆m m S DAC m m 42+-=4)2(2+--=m ．当2=m 时，△DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）．图5 图6,2、 满分解答（1）将M (2, 2)代入1(2)()y x x m m =-+-，得124(2)m m =-⨯-．解得m ＝4． （2）当m ＝4时，2111(2)(4)2442y x x x x =-+-=-++．所以C (4, 0)，E (0, 2)．所以S △BCE ＝1162622BC OE ⋅=⨯⨯=．（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1，当H 落在线段EC 上时，BH ＋EH 最小． 设对称轴与x 轴的交点为P ，那么HP EOCP CO=． 因此234HP =．解得32HP =．所以点H 的坐标为3(1,)2． （4）①如图3，过点B 作EC 的平行线交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′．由于∠BCE ＝∠FBC ，所以当CE BC CB BF=，即2BC CE BF =⋅时，△BCE ∽△FBC ． 设点F 的坐标为1(,(2)())x x x m m -+-，由''FF EO BF CO =，得1(2)()22x x m m x m+-=+．解得x ＝m ＋2．所以F ′(m ＋2, 0)．由'CO BF CE BF =4m BF +=．所以BF =． 由2BC CE BF =⋅，得2(2)m +=整理，得0＝16．此方程无解．图2 图3 图4②如图4，作∠CBF ＝45°交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′，由于∠EBC ＝∠CBF ，所以BE BC BC BF=，即2BC BE BF =⋅时，△BCE ∽△BFC ． 在Rt △BFF ′中，由FF ′＝BF ′，得1(2)()2x x m x m+-=+．解得x ＝2m ．所以F ′(2,0)m ．所以BF ′＝2m ＋2，2)BF m =+．由2BCBE BF =⋅，得2(2)2)m m +=+．解得2m =±综合①、②，符合题意的m为2+考点伸展第（4）题也可以这样求BF 的长：在求得点F ′、F 的坐标后，根据两点间的距离公式求BF 的长．二、因动点产生的等腰三角形问题 满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (－1,0)、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －3)， 代入点C (0 ,3)，得－3a ＝3．解得a ＝－1．所以抛物线的函数关系式是y ＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3． （2）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1．当点P 落在线段BC 上时，P A ＋PC 最小，△P AC 的周长最小． 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为H ． 由BH PHBO CO=，BO ＝CO ，得PH ＝BH ＝2． 所以点P 的坐标为(1, 2)．（3）点M 的坐标为(1, 1)、、(1,)或(1,0)．设点M 的坐标为(1,m )．在△MAC 中，AC 2＝10，MC 2＝1＋(m －3)2，MA 2＝4＋m 2．①如图3，当MA ＝MC 时，MA 2＝MC 2．解方程4＋m 2＝1＋(m －3)2，得m ＝1． 此时点M 的坐标为(1, 1)．②如图4，当AM ＝AC 时，AM 2＝AC 2．解方程4＋m 2＝10，得m =此时点M 的坐标为或(1,．③如图5，当CM ＝CA 时，CM 2＝CA 2．解方程1＋(m －3)2＝10，得m ＝0或6． 当M (1, 6)时，M 、A 、C 三点共线，所以此时符合条件的点M 的坐标为(1,0)．图3 图4 图54.思路点拨1．用含m 的代数式表示表示△APD 的三边长，为解等腰三角形做好准备． 2．探求△APD 是等腰三角形，分三种情况列方程求解．3．猜想点H 的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt △OHM 的斜边长OM 是定值，以OM 为直径的圆过点H 、C ． 满分解答（1）因为PC //DB ，所以1CP PM MCBD DM MB===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-．①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得32m =（如图3）．②当P A ＝PD 时，24m +244(2)m =+-．解得43m =（如图4）或4m =（不合题意，舍去）．③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-．解得23m =（如图5）或2m =（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或23．图3 图4 图5（3）点H ． 三、①因动点产生的直角三角形问题5、满分解答（1）设抛物线的函数表达式为2(1)y x n =-+，代入点C (0，－3)，得4n =-．所以抛物线的函数表达式为22(1)423y x x x =--=--．（2）由223(1)(3)y x x x x =--=+-，知A (－1，0)，B (3，0)．设直线BC 的函数表达式为y kx b =+，代入点B (3，0)和点C (0，－3)，得30,3.k b b +=⎧⎨=-⎩ 解得1k =，3b =-．所以直线BC 的函数表达式为3y x =-．（3）①因为AB ＝4，所以334PQ AB ==．因为P 、Q 关于直线x ＝1对称，所以点P 的横坐标为12-．于是得到点P 的坐标为17,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点F 的坐标为70,4⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以75344FC OC OF =-=-=，522EC FC ==．进而得到51322OE OC EC =-=-=，点E 的坐标为10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．直线BC:3y x =-与抛物线的对称轴x ＝1的交点D 的坐标为（1，－2）．过点D 作DH ⊥y 轴，垂足为H ．在Rt △EDH 中，DH ＝1，13222EH OH OE =-=-=，所以tan ∠CED 23DH EH ==．②1(12)P -，25(1)2P -．图2 图3 图4②动点产生的平行四边形问题 2 满分解答(1) 因为抛物线与x 轴交于A (－4,0)、C (2,0)两点，设y ＝a (x ＋4)(x －2)．代入点B (0,－4)，求得12a =．所以抛物线的解析式为211(4)(2)422y x x x x =+-=+-． (2)如图2，直线AB 的解析式为y ＝－x －4．过点M 作x 轴的垂线交AB 于D ，那么2211(4)(4)222MD m m m m m =---+-=--．所以2142MDA MDB S S S MD OA m m ∆∆=+=⋅=--2(2)4m =-++．因此当2m =-时，S 取得最大值，最大值为4．(3) 如果以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形，那么PQ //OB ，PQ ＝OB ＝4． 设点Q 的坐标为(,)x x -，点P 的坐标为21(,4)2x x x +-．①当点P 在点Q 上方时，21(4)()42x x x +---=．解得2x =-±此时点Q 的坐标为(2-+-（如图3），或(2--+（如图4）． ②当点Q 在点P 上方时，21()(4)42x x x --+-=． 解得4x=-或0x =（与点O 重合，舍去）．此时点Q 的坐标为(－4,4) （如图5）．。
2017年中考数学压轴题(直角三角形三角形问题)
2018年中考数函数压轴题（直角三角形问题）(2月6日）
姓名：班级：
1、如图1，抛物线y=﹣x2+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上的一个动点且在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线BC于点E．
（1）求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式；
（2）求△ODE面积的最大值及相应的点E的坐标；
（3）是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（2月6日差缺补漏）
例1、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
2017中考数学压轴试题复习第一部分专题三因动点产生的直角三角形问题
图1 动感体验
图2
请打开几何画板文件名“15 益阳 21” ，拖动点 P 在抛物线 E1 上运动，可以体验到，点 P 始终是线段 OP′的中点．还可以体验到，直角三角形 QBB′有两个． 思路点拨 1． 判断点 P 是线段 OP′的中点是解决问题的突破口， 这样就可以用一个字母表示点 P、
P′的坐标．
Q 两点同时停止运动．设运动的时间为 t 秒．
（1）求二次函数的解析式； （2）如图 1，当△BPQ 为直角三角形时，求 t 的值； （3）如图 2，当 t＜2 时，延长 QP 交 y 轴于点 M，在抛物线上是否存在一点 N，使得 PQ 的中点恰为 MN 的中点，若存在，求出点 N 的坐标与 t 的值；若不存在，请说明理由．
3 4−m = ． m 1
y
轴 的 两 个 交 图4
这 个 方 程 有 两 个 解 ， 分 别 对 应 图 中 圆 与 点．
例 19
2015 年湖南省益阳市中考第 21 题
2
如图 1， 已知抛物线 E1： y＝x 经过点 A(1,m)， 以原点为顶点的抛物线 E2 经过点 B(2,2)， 点 A、B 关于 y 轴的对称点分别为点 A′、B′． （1）求 m 的值及抛物线 E2 所表示的二次函数的表达式； （2）如图 1，在第一象限内，抛物线 E1 上是否存在点 Q，使得以点 Q、B、B′为顶点的 三角形为直角三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图 2，P 为第一象限内的抛物线 E1 上与点 A 不重合的一点，连结 OP 并延长与抛 物线 E2 相交于点 P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．
2
1 2 c )． 2
1 2 c b2 2 PM P N 因为 O、P、P′三点在同一条直线上，所以 ，即 ． = = b c OM ON
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动点直角三角形专题
1.已知：如图所示，在平面直角坐标系中，
.若点
是边
上的一个动点（与
点
不重合），过点
作
交于点
.
（1）求点的坐标；
（2）当的周长与四边形的周长相等时，求
的长；
（3）在上是否存在点
，使得
为等腰直角三角形？若存在，请求出此时
的长；若不存在，请说
明理由.
2.如图，已知线段AB=2，MN ⊥AB 于点M ，且AM=BM ，P 是射线MN 上一动点，E ，D 分别是PA ，PB 的中点，过点A ，M ，D 的圆与BP 的另一交点C （点C 在线段BD 上），连结AC ，DE ． （1）当∠APB=28°时，求∠B 和的度数；
（2）求证：AC=AB 。
（3）在点P 的运动过程中
①当MP=4时，取四边形ACDE 一边的两端点和线段MP 上一点Q ，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q 为锐角顶点，求所有满足条件的MQ 的值；
②记AP 与圆的另一个交点为F ，将点F 绕点D 旋转90°得到点G ，当点G 恰好落在MN 上时，连结AG ，CG ，DG ，EG ，直接写出△ACG 和△DEG 的面积之比．
3.如图1，抛物线c bx ax y ++=2经过平行四边形ABCD 的顶点)30(，
A 、)01(，-
B 、)32(，D ，抛物线与x 轴的另一交点为E .经过点E 的直线l 将平行四边形ABCD 分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点P .点P 为直
线l 上方抛物线上一动点，设点P 的横坐标为t . （1）求抛物线的解析式；
（2）当何值时，t 的面积最大?并求最大值的立方根；
（3）是否存在点P 使PAE ∆为直角三角形?若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由.
4.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22
++=bx ax y 过点)0,2(-A ，，与y 轴交于点C . （1）求抛物线22
++=bx ax y 的函数表达式；
（2）若点D 在抛物线22
++=bx ax y 的对称轴上，求ACD ∆的周长的最小值；
（3）在抛物线22
++=bx ax y 的对称轴上是否存在点P ，使ACP ∆是直角三角形？若存在，直接写出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.
5.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形12OA A 的直角边1OA 在y 轴的正半轴上，且1121OA A A ==，以2OA 为直角边作第二个等腰直角三角形23OA A ，以3OA 为直角边作第三个等腰直角三角形20172018OA A ，则点2017A 的坐标为．
6.如图，顺次连接腰长为2 的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n个小三角形的面积为．
7.如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣1
3
x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为
（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．
（1）填空：b= ，c= ；
（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；
（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；
（4）如图②，点N的坐标为（﹣3
2
，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落
在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．
8.如图，ABC ∆是边长为4cm 的等边三角形，边AB 在射线OM 上，且6OA cm =，点D 从点O 出发，沿OM 的方向以1/cm s 的速度运动，当D 不与点A 重合是，将ACD ∆绕点C 逆时针方向旋转060得到BCE ∆，连接DE .
（1）求证：CDE ∆是等边三角形；
（2）当610t <<时，的BDE ∆周长是否存在最小值？若存在，求出BDE ∆的最小周长； 若不存在，请说明理由.
（3）当点D 在射线OM 上运动时，是否存在以,,D E B 为顶点的三角形是直角三角形？ 若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由.
9.如图，抛物线与x轴交于A,B两点(点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E。
（1）若为等腰直角三角形，求的值；
（2）若对任意，两点总关于原点对称，求点的坐标（用含的式子表示）；
（3）当点运动到某一位置时，恰好使得，且点为线段的中点，此时对于该抛物线上任意一点总有成立，求实数的最小值．
10.如图1，抛物线经过平行四边形的顶点、、，抛物线与轴的另一交点为.经过点的直线l将平行四边形分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点.点为直线l上方抛物线上一动点，设点的横坐标为t.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当t何值时，的面积最大?并求最大值的立方根；
（3）是否存在点使为直角三角形?若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.。