矩形薄板的几种解法

弹力小结矩形薄板的几种解法矩形薄板的几种解法一：纳维解法四边简支的矩形薄板，如图，当并无支座沉陷时，其边界条件为()00x ω==, 2200x x ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭。

()0x aω==， 220x ax ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭。

()0y ω==， 2200y y ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭。

纳维把挠度ω的表达式取为如下的重三角级数：11sinsin nmn m n m x n yA a bππω∞===∑∑， （a ）其中m 和n 都是任意正整数。

显然，上列的边界条件都能满足。

将式（a ）代入弹性曲面微分方程 ，得到为了求出系数mn A ，须将式（b ）右边的q 展为与左边同样的重三角级数即411sinsinnmn m n m x n y q D C a bπππ∞===∑∑。

（c ） 现在来求出式（c ）中的系数mn C 。

将式（c ）左右两边都乘以sin i xaπ，其中的i 为任意正整数，然后对x 积分，从0到a ，注意sinsin am x i y dx a aππ=⎰，， 就得到1sinsin2ainn i y an yq dx Ca bππ∞==∑⎰。

()0y bω==220y by ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭22242211sin sin b nm n m n m x n y D q a b a bπππ∞==⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑∑。

（）y再将此式的左右两边都乘以sin j x aπ，其中的j 也是任意正整数，然后对y 积分，从0到b ，注意sin sin bon y j y dy b b ππ=⎰，jb ， j就得到因为i 和j 式任意正整数，可以分别换为m 和n ，所以上式可以换写为sinsin 4a bmnm x n y abq dxdy C a b ππ=⎰⎰解出mn C ，代入式（c ）,得到q 的展式。

（13-25）与式（b ）对比，即得当薄板受均布荷载时，q 成为常量0q ，式（d ）积分式成为()()000000002sinsin =q sin sin 1cos 1cos a ba b m x n y q dxdya bm x n yq dx dya b q ab m n mnπππππππ=--⎰⎰⎰⎰于是由式（d ）得到()()022262241cos 1cos mn mnq m n A m n D ab πππ--=⎛⎫+ ⎪⎝⎭或()222622161,3,5,;1,3,5,mn mnq A m n m n D ab π===⎛⎫+ ⎪⎝⎭。

代入式（a ），即得挠度的表达式00sin sin 4a b iji x j y ab q dxdy C a b ππ=⎰⎰0011sin sin sin sin 4a b m n ab m x n y m x n y q q dxdy a b a b ππππ∞∞==⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦∑∑⎰⎰02224224sin sin =abmnm x n y q dxdy a b A m n abD a b πππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰0026221,3,5,1,3,5,22sinsin 16m n n x m yq q a bDm n mn ab ππωπ∞∞===⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑∑由此可以用公式()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫∇∂∂-=∇∂∂-=∂∂∂--==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂-=,,,1,`,22222222222w x D F w x D F y x wD M M x w y w D M y w x w D M Sx Sx yz xy y x μμμ求得内力。

当薄板在任意一点（ξη，）受集中荷载F 时，可以用微分面积dxdy 上的均布荷载Fdxdy来代替分布荷载q 。

于是，式（d ）中的q 除了在（ξη，）处的微分面积上等于Fdxdy以外其余各处都等于零。

因此，式（d ）成为2224222224224sin sin 4sinsin mn F m n A dxdydxdy a b m n abD a b Fm n a bm n abD ab πξπηππξπηπ=⎛⎫+⎪⎝⎭=⎛⎫+⎪⎝⎭。

代入式（a ），即得挠度的表达式24221122sinsin 4sin sin m n m n Fm x n y a b abDa b m n a b πξπηππωπ∞∞===⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑∑，值得指出：当x 及y 分别等于ξ及η时，各个内力的级数表达式都不收敛（这是可以预见的，因为在集中荷载作用处，应力是无限大的，从而内力也是无限大），但挠度的级数表达式（e ）仍然收敛于有限打的确定值。

显然，如果在式（e ）中命x 和y 等于常量而把ξ和η当做变量，并取1F =，则该式的将成为（,x y ）点的挠度的影响函数，它表明单位横向荷载在薄板上移动时，该点的挠度变化率。

同样。

在由式（e ）对x 及y 求导而得到的内力表达式中，命x 和y 等于常量并取1F =，则各该表达式将成为在（,x y ）点的各该内力的影响函数。

本节中所述的解法，它的优点是：不论荷载如何，级数的运算都比较简单。

它的缺点是只适用于四边简支的矩形薄板，而且简支边不能受力矩荷载，也不能有沉陷引起的挠度。

它的另一个缺点是级数解答收敛很慢，在计算内力时，有时要计算很多项，才能达到工程上所需的精度。

二：莱维解法对于有两个对边被简支的矩形薄板，可以直接应用下面所述的莱维解法。

设图13-18所示的矩形薄板具有两个简支边0x =及x a =，其余两边/2y b =±式任意边，承受任意横向荷载q 。

莱维把挠度ω的表达式取为如下的单三角级数：1sinmm m x Yaπω∞==∑其中m Y 是的任意函数，而m 为任意正整数。

极易看出，级数（a ）能满足0x =及x a =两边的边界条件。

因此，只需选择函数m Y ，使式（a ）能满足弹性曲面的微分方程，即：4/q D ω∇= （b ） 图13-8并在/2y b =±的两边上满足边界条件。

将式（a ）代入（b ），得24424212sin m m m d Y d Y m m m x q dy a dy a a D πππ∞=⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑。

（c ）现在须将式（c ）右边的/q D 展为sin m x aπ的级数。

按照傅里叶级数展开式的法则，得12sin sin am q q m x m x dx D aD a a ππ∞=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑⎰。

与式（c ）对比，可见244242022sin a m m m dY d Y m m m x Y q dx dy a dy a aD a πππ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰ （d ） 这一常微分方程的解答可以写成cosh sinhmmmm y m y m yY A B a a aπππ=++()sinhcoshm mmm y m y m yC D f y aaaπππ++其中()m f y 是任意一个特解，可以按照式（d ）右边积分以后的结果来选择；m A 、m B 、m C 、m D 是任意常数，决定于/2y b =±两边的边界条件。

将上式代入式（a ），即得挠度w 的表达式(e)作为例题，设图13 —8中的矩形薄板是四边简支的，受有均布荷载q=q o 。

这时，微分方程（d ）的右边成为于是微分方程（d)的特解可以取为.带入式（e ），并注意薄板的挠度w 应当是y 的偶函数，因而有C m =0，D m =0，得。

（f ）应用边界条件，由式（f)得出决定A m 及B m 的联立方程+++⎢⎣⎡=∑∞=a y m C a y m a y m B a y m A m m m ππππsinh sinh cosh w 1m ()πππm Dm q dx a xm aDacos 12sinq 200-=⎰()()()πππππm Dm a q m Dm q m a y f m cos 12cos 12554004-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∞=++⎢⎣⎡=1m sinh cosh w a y m a y m B a y m A m m πππ()]a x m m Dm πππsin cos 1a q 25540-()0w 2=±=b y 0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂±=b y y w ()()...5,3,1,0sinh 2cos ,04sin cos 5540=⎪⎭⎪⎬⎫=++=++m B a a B A ha D a q B ha a A ha m m m mm m m m m m m ππ或者,（m=2,4,6.。

） 其中。

求得 A m 及B m ，得出， ；（m=1,3,5.。

）或者得出（2,4,6.。

） 将求出的系数带入式（f ），得挠度w 的最后表达式（g ）并可以从而求得内力的表达式。

最大挠度的、发生在薄板的中心。

将及代入公式（g ），即得 这个表达式中的级数收敛很快，例如，对于正方形薄板，，，得出在级数中仅取两项，就得到很精确的解答。

但是，在其他各点的挠度表达式 中，级数收敛就没有这样快。

在内力的表达式中，级数收敛得还要慢一些。

应用上面所述的莱维解法，可以求得四边简支的矩形薄板在受各种横向荷载时的解答，以及它在某一边界上受分布弯矩或发生沉陷时的解答。

三：一般解法此外在§13-5中已经给出这种薄板在某角点发生沉陷时的解答。

于是可得矩形薄板的一个一般解法，说明如下。

()⎭⎬⎫=++=+0sinh 2cos 0sinh cos m m m m m m m m m B a B A ha B a A ha a bm m 2a π=()m m m m a Dm a q a a A cosh tanh 225540π+-=m a Dm a q B cosh 25540m π=00m ==m B A ，2ax =0=y a b =2a πm m = ⎝ ⎛ ++ - ⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛ =∑ ∞ = b y a a a a m D a q m m m m m 2 cosh cosh 2 tanh 2 1 1 4 w .. 5 , 3 , 1 5 5 4 0 π ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--=∑∞=-m m m m m aa a mDa q w cosh 2tanh 2114...5,3,1521540maxπD a q o Da q w 40540max 00406.0)004.314.0(4=-=π采用结构力学中的力法。

位移法，或混合法，以四边简支的户型薄板为基 本系。

对于任一夹支边，以该边上的分布弯矩为一个未知数（具有特定系数 的级数）；对于任一自由边，以该边上的挠度为一个位置函数（具有特定系数 级数）；对于两自由边相交而又无支柱的角点，还须以该角点的沉陷为一个未 知值，应用上面所述的解答，求出夹边上的法线斜率，自由边上的分布反 力，以及二自由边交点处的集中反力（当然是用上述待定系数及未知值以及已 知荷载来表示），命夹边上的法向斜率 等于零，自由边上的分布反力等于零， 两自由边交点处的集中反力等于零，即得足够的方程来求解各个待定系数及未 知值，从而求得薄板最后的挠度，斜率 ，内力和反力。