2019年绵阳三诊理科数学Word版+答案解析
四川省绵阳市高中2019级第三次诊断性考试数学(理科,纯WORD版)
绵阳市高中2019级第三次诊断性考试数学（理科)本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
第I卷1至3页，第II卷3至4页。
满分150分。
考试时.间120分钟。
注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。
2. 选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5亳米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3. 考试结束后，将答题卡收回。
参考公式：如果事件A、B互斥,那么；如果事件A、B相互独立，那么；如果事件J在一次试验中发生的概率为P，那么在A7次独立重复试验中恰好发生k次的概率：第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每个小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上.1. 如果集合，，那么＝A. {-1, 0, 1 } B {-1, 1 } C. { 0 } D.2. 化简复数得A. -1 + 8iB. -1-8iC. 1-8iD. 1 + 8i3. 已知函数在点x = 2处连续，则常数a的值是A. -3B. 3C. -2D. 24. 给出如下命题：①两条相交直线在同一平面内的射影必是相交直线②如果两条直线在同一平面内的射影是平行直线，那么这两条直线平行或异面③设a ,b是直线，a是平面，若“a丄b且a丄a,则b//a其中正确命题的个数是A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A. B.C. D.6. 若m>0,n>0,点(—m，n)关于直线x + y—1 = O的对称点在直线；x—y+ 2=O 上，那么的最小值等于A. B. C. 9 D. 187. 8名志愿者分成4组到四个不同场所服务，每组2人，其中志愿者甲和志愿者乙分在同一组，则不同的分配方案有A. 2160 种B.60 种C. 2520 种D. 360 种8. 己知函数.，则下列结论错误的是D. 函数的图象的一条对称轴为E. 点（，0)是函数图象上的一个对称中心F. 函数在区间（）上的最大值为3G. 函数的图象可以由函数图象向右平移个单位得到9. 某企业生产A、B两种产品，A产品的利润为60元/件，5产品的利润为80元/件，两种产品都需要在加工车间和装配车间进行生产.每件A产品在加工车间和装配车间各需经过0.8 h和2.4 h，每件5产品在加工车间和装配车间都需经过1.6 h.在一个生产周期中，加工车间最大加工时间为240 h,装配车间最大生产时间为288 h,在销路顺畅无障碍的情况下，该企业在一个生产周期内可获得的最大利润是A. 12400 元B. 12600 元C. 12800 元D. 13000 元10. 数列{}为等差数列，其前n项和为，已知a2=-27，，若对任意n,都有成立，则k的值等于A. 7B. 8C. 9D. 1012. 考查下列四个命题：①已知直线l,二次函数的图象（抛物线）C,则“直线l与抛物线C有且只有一个公共点”是"直线l与抛物线C相切”的必要不充分条件②“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件③“”是“函数是奇函数”的充分不必要条件④“的最小正周期为6”是“函数对于任意实数X，有”的充分必要条件其中所有正确的命题是A.①②B.①③C.③④D.①②④第II卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13. 展开式的常数项是________.(用数字作答）14. 已知正三棱柱中，，M为CC1的中点，则直线BM与平面所成角的正弦值是________.15. P是双曲线右支上一点，F是双曲线的右焦点，O为坐标原点，若,且，则点P到双曲线右准线的距离是________.16. 设集合，对任意，运算“具有如下性质：(1) ； (2)； (3)给出下列命题：①②若1A,则（11)1=0;③若，且，则a = 0;④若a、b、，且，则a = c.其中正确命题的序号是________ (把你认为正确的命题的序号都填上）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分12分）在中，角A,B, C所对的边分别为a,b,c,向量,且满足(1) 求角C的大小；(2)若a—b=2, c=,求的面积.18. 〈本题满分12分〉甲、乙两同学进行投篮比赛，每一简每人各投两次球，规定进球数多者该局获胜，进球数相同则为平局.已知甲每次投进的概率为2/3乙每次投进的概率为1/2，甲、乙之间的投篮相互独立.(1)求甲、乙两同学进行一扃比赛的结果不是平局的概率；(2)设3局比赛中，甲每局进两球获胜的局数为。
四川省教考联盟2019届高三数学第三次诊断性考试试题(理科)含答案
四川省教考联盟2019届高三数学第三次诊断性考试试题理科注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，，则集合（）A. B. C. D.2.在复平面内，复数对应的点是，则复数的共轭复数（）A. B. C. D.3.从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数中偶数的个数为（）A. 7200B. 2880C. 120D. 604.已知向量，，则的最大值为（）A. 1B.C. 3D. 95.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. -1B. 0C.D. 16.几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A. 729B. 428C. 356D. 2437.下列说法中错误的是（）A. 先把高二年级的1000多学生编号为1到1000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为，然后抽取编号为，，……的学生，这样的抽样方法是系统抽样法B. 正态总体在区间和上取值的概率相等C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1D. 若一组数据1、、2、3的平均数是2，则该组数据的众数和中位数均是28.，是：上两个动点，且，，到直线：的距离分别为，，则的最大值是（）A. 3B. 4C. 5D. 69.已知四面体外接球的球心恰好在上，等腰直角三角形的斜边为2，，则这个球的表面积为（）A. B. C. D.10.已知函数的最小正周期为，其图象向左平移个单位后所得图象关于轴对称，则的单调递增区间为（）A. ，B. ，C. ，D. ，11.在数列中，已知，且对于任意的，都有，则（）A. B. C. D.12.已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为.当时，不等式.若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题：本题共4小题。
四川省绵阳市2019届高三第三次诊断性考试 理科数学 考试时间： 2019年4月21日
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．BCDAA CDBCB CA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．1 14．6π 15．2416．332 三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）由余弦定理cos C =2222a b c ab+−，且2a cos C =2b -c ， 得2a ⋅2222a b c ab+−=2b -c ， 即b 2+c 2-a 2=bc ． ……………………………………………………………3分∴ cos A =2222b c a bc +−=12． ……………………………………………………5分 ∵ A ∈(0，π)，∴ A =3π． ………………………………………………………………………6分 （2）在△ABD 中，AB =3，BDcos A =12． 由余弦定理得13=9+AD 2-3AD ，解得AD =4(负值舍去) . ………………………………………………………9分 ∵BD 为AC 边上的中线，∴D 为AC 的中点，∴ AC =2AD =8．所以S △ABC =12AB ⋅AC sin A=1382⨯⨯= ………………………12分 18．解：（1）设“这三天中转车数都不小于40”的事件为A ， 则32535023()196C P A C ==. …………………………………………………………4分其分布列为于是()228234240247254241.81055510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ………8分 设甲公司货车司机日工资为Y ，日中转车数为u ，则480Y u =+，则Y 的所有可能取值为232，236，240，244，248.则分布列为于是()232236240244248238.85105510E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.…………11分 由()()E X E Y >知，若从日工资的角度考虑，小王应该选择乙公司． …………………………12分19．解：（1）证明：过P 作PO ⊥AD ，垂足为O ，连接AO ，BO ．由∠PAD =120º，可得∠PAO =60º．∴ 在Rt △PAO 中，PO =PA sin ∠PAO =2⨯sin60º=2……………2分 ∵ ∠BAD =120º，∴ ∠BAO =60º．又PA =AB ，∠PAO =∠BAO =60º，AO =AO ，∴ △PAO ≌△BAO (SAS )，∴ BO =PO =4分∵ E ，F 分别是PA ，BD 的中点，EF =，∴ EF 是△PBD 的中位线，∴ PB =2EF=2= 可得222PB PO BO =+，所以PO ⊥BO ． …………………………………………………………………5分 ∵ AD ∩BO=O ，∴ PO ⊥平面ABCD ．又PO ⊂平面PAD ，∴ 平面PAD ⊥平面ABCD ． …………………………………………………6分（2）建立如图所示空间直角坐标系O -xyz .A (0，1，0)，P (0，0，，B(0，0)，D (0，3，0)，∴ E (0，32，)，F(，32，0) ． ……………………………………7分 平面ABCD 的一个法向量为n 1=(0，0，1) ． ………………………………8分 设平面ACE 的法向量为n 2=(x ，y ，z ) ．又AE =(0，12，)，AF=(，12，0)， 由2200AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n得102102y x y ⎧=⎪⎪+=，， 令x =1，得y =-3，z =1.∴平面ACE 的一个法向量为n 2=(1，-3，1) ． …………………………10分 设锐二面角E -AC -D 的平面角大小为θ，则cos θ=|cos ＜n 1，n 2＞|=|1212n n n n ⋅|=5， ∴锐二面角E -AC -D的余弦值为． ……………………………………12分 20．解：（1）∵焦距为，PB BA =，∴ 522=c ，且点B 为线段AP 的中点．∵ 点P (0，)，A (a ，0)，∴ PA =2PB，(2a B ．∴由题意得c =222314a a b+=．① ……………………………………2分 又222a b c =+，即225a b =+．②联立①②解得 2249b a ==，．∴ 椭圆E 的方程为22194x y +=． ……………………………………………4分 （2）由题意，得PBM PAN S S ∆∆=6， ……………………………………………5分 即11sin 6sin 22PA PN APN PB PM BPM ⋅∠=⨯⋅∠， ∴ 3PN PM =，即3PN PM =．设11()M x y ，，12()N x y ，，则PM =(x 1，y 1-)，PN =(x 2，y 2-)，∴ (x 2，y 2-)=3(x 1，y 1-)，∴ x 2=3x 1，即213x x =．于是221110=3x x x x +，即22211()16=3x x x x +．①………………………………………6分 联立22194y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y，整理得072336)49(22=+++kx x k ． ………8分 由22)4(94)720k ∆−⨯+⨯>， 解得289k >． ∴ 49336221+−=+k k x x ，1227294x x k =+． ……………………………………9分 代入①，可解得 2329k =，满足289k >， ∴ 3k =±. ……………………………………………………………11分 即直线l 的斜率k =． ……………………………………………12分 21．解：（1）()ln f x x a x '=−，令()ln g x x a x =−，则()1(0)a x a g x x x x−'=−=>． ① 当a ≤0时，得()g x '>0，则g (x )在(0)+∞，上单调递增，所以g (x )在(0)+∞，上不可能有两个零点． …………………………………3分 ②当a >0时，由()g x '>0，解得x >a ；由()g x '<0，解得0<x <a ．则g (x )在(0)a ，上单调递减，在()a +∞，上单调递增．要使函数g (x )有两个零点，则g (a )=a -a ln a <0．解得a >e ． ………………………………………………………………………5分（2）由x 1，x 2是g (x )=x -a ln x=0的两个根，则2211ln ln a x x a x x =⎧⎨=⎩，， 两式相减，得2121(ln ln )a x x x x −=−， 即21212211=ln ln ln x x x x a x x x x −−=−． 要证x 1x 2<a 2，即证22112221()(ln )x x x x x x −<， ……………………………………7分 即证222212111212()(ln )=2x x x x x x x x x x −<−+． 由12x x <，得211x t x =>， 只需证21ln 2t t t<−+.……………………………………………………………9分 设21()ln 2g t t t t =−−+，则22111()ln 1=(2ln )g t t t t t t t t'=−+−+． 令1()2ln h t t t t=−+， ∴ 22211()1(1)0h t t t t'=−−=−−<， ∴ ()h t 在(1，+∞)上单调递减，∴ ()h t <h (1)=0，即()g t 在(1，+∞)为减函数，∴ ()g t <(1)g =0． 即21ln 2t t t<−+在(1，+∞)恒成立． ∴ 原不等式成立．……………………………………………………………12分22．解：（1）由题意，得2(1cos2)2cos 8sin ρθρθθ+==，即22cos 4sin ρθρθ=． …………………………………………………………2分 ∵ cos x ρθ=，sin y ρθ=．∴ x 2=4y ．即曲线C 的普通方程为x 2=4y ． …………………………………………4分（2）由题可知，直线l 与y 轴交于点F (0，1)即为抛物线C 的焦点．令|FA |=|t 1|，|FB |=|t 2|，将直线l 的参数方程cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩，代入C 的普通方程x 2=4y 中， 整理得22cos 4sin 40t t αα−−=．由题意得cos 0α≠， 根据韦达定理得1224sin cos t t αα+=，1224cos t t α−⋅=． ……………………………7分 ∴ |FA |⋅|FB |=|t 1t 2|=24cos α≥4．（当且仅当2cos 1α=时，等号成立） ∴ 当|FA |⋅|FB |取最小值时，直线l 的直角坐标方程为1y =． ……………10分23．解：（1）当x ≤-1时，()3f x x =−≥3，解得x ≤-1； ……………………1分当-1<x <12时，()2f x x =−+≥3，解得x ≤-1．与-1<x <12矛盾，舍去．…3分 当x ≥12时，()3f x x =≥3，解得x ≥1； ……………………………………4分 综上，不等式()f x ≥3的解集为(1]−∞，-∪[1+)∞，． …………………5分（2）证明：2()4222f x x x m =−++212122x x x m =−+−++ ≥2122x x m −++ ………………………………………7分≥(22)(21)x m x +−− =21m + =(1)m m ++ ………………………………………………9分 ≥1m m +−．∴ 不等式2()f x ≥1m m +−成立． ……………………………………10分。
四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学(理)试题(解析版)
2019年四川省绵阳市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合M ={x |1≤x ＜3}，N ={1，2}，则M ∩N =（ ）A. {1}B. {1,2}C. 0D. [1,2]2. i 为虚数单位，复数z 满足z （1+i ）=i ，则|z |=（ ）A. 12B. √22C. 1D. √23. 中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的已套指数体系．如图所示的折线图是2017年和2018年的中国仓储指数走势情况．根据该折线图，下列结论中不正确的是（ ）A. 2018年1月至4月的仓储指数比2017年同期波动性更大B. 这两年的最大仓储指数都出现在4月份C. 2018年全年仓储指数平均值明显低于2017年D. 2018年各仓储指数的中位数与2017年备月仓储指数中位数差异明显4. 已知变量x ，y 满足{x ≥0|y|≤1x +y −2≤0，则x 2+y 2的最大值为（ ）A. 10B. 5C. 4D. 25. 将函数f(x)=sin(2x +π6)的图象向左平移π6个单位，得到函数g （x ）的图象，则g （x ）的解析式为（ ）A. g(x)=cos2xB. g(x)=−cos2xC. g(x)=sin2xD. g(x)=sin(2x +π3)6. 已知{a n }是正项等比数列，且a 1a 8=4a 5，a 4与2a 6的等差中项为18，则a 5=（ ）A. 2B. 4C. 8D. 167. 函数f （x ）=x ln|x |的大致图象是（ ）A.B.C.D.8. 已知一个封闭的长方体容器中装有两个大小相同的铁球，若该长方体容器的三个相邻侧面的面积分别为6，8，12，则铁球的直径最大只能为（ ）A. √3B. 2C. √5D. 49. 已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的两个焦点分别为F 1，F 2，以原点O 为圆心，OF 1为半径作圆，与双曲线E 相交，若顺次连接这些交点和F 1，F 2恰好构成一个正六边形，则双曲线E 的离心率为（ ）A. √3B. 2C. √3+1D. 310. 在（1+2x -x ）5的展开式中，x 2项的系数为（ ）A. −50B. −30C. 30D. 5011. 若x ，y ，z ∈R +，且3x =4y =12z ，x+y z∈（n ，n +1），n ∈N ，则n 的值是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 512. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，若在以线段AB 为直径的圆上存在两点M 、N ，在直线l ：x +y +a =0上存在一点Q ，使得∠MQN =90°，则实数a 的取值范围为（ ）A. [−13,3]B. [−3,1]C. [−3.13]D. [−13.13]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f （x ）={f(x −4),x ≥32x−1,−1≤x<3,，则f （9）=______．14. 已知向量a ⃗ =（sin2α，1），b ⃗ =（cosα，1），若a ⃗ ∥b ⃗ ，0＜α＜π2，则α=______．15.在《九章算术》中有称为“羡除”的五面体体积的求法．现有一个类似于“羡除”的有三条棱互相平行的五面体，其三视图如图所示，财该五面体的体积为______．16.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=3，且S n+1+S n-1=2n+2S n（n≥2），若，λ（S n-a n）+λ+7≥（2-λ）n对任意n∈N*都成立，则实数λ）的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a、b、c，且2a cos C=2b-c．（1）求角A的大小；（2）若AB=3，AC边上的中线SD的长为√13，求△ABC的面积．18.甲、乙两家物流公司都需要进行货物中转，由于业务量扩大，现向社会招聘货车司机，其日工资方案如下：甲公司，底薪80元，司机毎中转一车货物另计4元：乙公司无底薪，中转40车货物以内（含40车）的部分司机每车计6元，超出40车的部分司机每车计7元．假设同一物流公司的司机一填中转车数相同，现从这两家公司各随机选取一名货车司机，并分别记录其50天的中转车数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数101510105乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数51010205（1）现从记录甲公司的50天货物中转车数中随机抽取3天的中转车数，求这3填中转车数都不小于40的概率；（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司货车司机日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望E（X）；②小王打算到甲、乙两家物流公司中的一家应聘，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底而ABCD是菱形，且PA=AD=2，∠PAD=∠BAD=120°，E，F分别为PD，BD的中点，且EF=√62．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）求锐二面角E-AC-D的余弦值．20.已知A焦距为2√5的椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右顶点，点P（0，2√3），直线PA交椭圆E 于点B，PB⃗⃗⃗⃗⃗ =PA⃗⃗⃗⃗⃗ ．（1）求椭圆E的方程；（2）设过点P且斜率为k的直线l与椭圆E交于M、N两点（W在P、N之间），若四边形MNAB的面积是△PMB面积的5倍．求直线l的斜率k．21.已知函数f(x)=12x2−axlnx+ax+2(a∈R)有两个不同的极值点x1，x2，且x1＜x2．（1）求实数a的取值范围；（2）求证：x1x2＜a2．22.在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ（1+cos2θ）=8sinθ．（1）求曲线C的普通方程；x=tcosα,(t为参数直线l与y轴交于点F与曲线C的交点为A，B，当（2）直线l的参数方程为{y=1+tsinα|FA|•|FB|取最小值时，求直线l的直角坐标方程．23.已知函数f（x）=|2x-1|+|x+m|．（l）当m=l时，解不等式f（x）≥3；（2）证明：对任意x∈R，2f（x）≥|m+1|-|m|．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合M={x|1≤x＜3}，N={1，2}，∴M∩N={1，2}．故选：B．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=i ，，故选：B．直接利用复数的模的运算法则化简求解即可．本题考查复数的模的求法，考查计算能力．3.【答案】D【解析】解：通过图象可看出，选项A，B，C的结论都正确；∴选项D的结论错误．故选：D．通过图象可看出，2018年1月至4月的图象变化较2017年同期要大，从而判断出选项A的结论正确；由图象看出这两年的最大仓储指数都在4月份，从而判断B的结论正确；2018年的图象基本在2017年的下边，从而得出选项C的结论正确，从而错误的结论只能是D．考查折线统计图的概念，以及读图的能力．4.【答案】A【解析】解：作出变量x，y满足，所对应的可行域（如图阴影部分），由解得A（3，-1）而z=x2+y2表示可行域内的点到原点距离的平方，数形结合可得最大距离为OA==，z=x2+y2的最大值为：10．故选：A．作出可行域，z=x2+y2表示可行域内的点到原点距离的平方，数形结合可得．本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．5.【答案】A【解析】解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移个单位，得到g（x）的解析式为g（x）=sin（2x++）=sin（2x+）=cos2x，故选：A．由题意利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1a8=4a5，a4与2a6的等差中项为18，∴a12q7=4a1q4，a4+2a6=36即a1（q3+2q5）=36，解得a1=，q=2，则a5=16．故选：C．设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，由a1a8=4a5，a4与2a6的等差中项为18，可得a12q7=4a1q4，a4+2a6=36，解得a1，q，再利用等比数列的通项公式求解即可．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：f（-x）=-xln|x|=-f（x），∴f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D；当x＞0时，f（x）=xlnx，∴当x＞1时，f（x）＞0，当0＜x＜1时，f（x）＜0，故选：A．根据f（x）的对称性，函数值的符号进行判断．本题考查了函数图象判断，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：∵长方体容器的三个相邻侧面的面积分别为6，8，12，∴设长方体的长，宽，高分别为：a，b，c，则ab=6，ac=8，bc=12，∴ab×ac×bc=6×8×12=576，∴（abc）2=242，解得：V长方体=abc=24．∴a=2，b=3，c=4，则长方体如图：长方体一分为二，两个铁球最大直径为2，否则不可能放进长方体中．故选：B．设长方体的长，宽，高分别为：a，b，c，则由已知可得ab=6，ac=8，bc=12，可求V长方体=abc=24，进而可得a=2，b=3，c=4，由题意长方体一分为二，两个铁球最大直径为2，否则不可能放进长方体中，由此得解．本题主要考查了长方体体积的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：∵以c为半径的圆与双曲线的四个交点及F1、F2恰好构成正六边形的六个顶点∴该正六边形的边长为c，则2a=（-1）c则双曲线的离心率e====+1故选：C．由已知中，以O为圆心，以c为半径的圆与双曲线的四个交点及F1、F2恰好构成正六边形的六个顶点，易求出该正六边形的边长及不相邻两个顶点之间的距离，进而求出2a的值，代入离心率表达式e=即可得到答案．本题考查的知识点是双曲线的简单性质，其中根据已知条件，计算出a值，是解答本题的关键．10.【答案】B【解析】解：（1+-x）5表示5个因式（1+-x）的乘积，在这5个因式中，有2个因式都选-x，其余的3个因式都选1，相乘可得含x2 的项；或者有3个因式选-x，有1个因式选，1个因式选1，相乘可得含x2 的项，故x2项的系数为+（-••2）=-30，故选：B．由条件利用二项式定理，分类讨论求得（1+-x）5的展开式中，x2项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：令3x=4y=12z=k＞1．则x=，y=，z=．∴===++2∈（4，5）=（n，n+1），n∈N，则n=4．故选：C．令3x=4y=12z=k＞1．可得x=，y=，z=．代入，化简整理即可得出．本题考查了对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.【答案】A【解析】解：过点F（1，0）且斜率为1的直线方程为：y=x-1．联立⇒x2-6x+1=0∴AB的中点坐标为（3，2）AB=x1+x2+p=8所以以线段AB为直径的圆圆D：（x-3）2+（y-2）2=16，圆心D为：（3，2），半径为r=4，∵在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得∠PMQ=90°，∴在直线l上存在一点M，使得M到C（3，2）的距离等于r=4，∴只需C（3，2）到直线l的距离小于或等于4，∴⇒-13≤a≤3，故选：A．求得圆的方程，由切线的对称性和圆的知识将问题转化为圆心D（3，2）到直线l的距离小于或等于4，再由点到直线的距离公式得到关于a的不等式求解．本题考查直线和圆的位置关系，由题意得到圆心到直线的距离小于或等于4是解决问题的关键，属中档题13.【答案】1【解析】解：根据题意，f（x）=，则f（9）=f（5）=f（1）=2×1-1=1；故答案为：1．根据题意，由函数的解析式可得f（9）=f（5）=f（1），进而计算可得答案．本题考查分段函数解析式求值问题，属于基础题．14.【答案】π6【解析】解：向量=（sin2α，1），=（cosα，1），若∥，则sin2α-cosα=0，即2sinαcosα=cosα；又0＜α＜，∴cosα≠0，∴sinα=，∴α=．故答案为：．由平面向量的共线定理与坐标表示，利用三角恒等变换求出α的值．本题考查了平面向量的共线定理与应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是基础题．15.【答案】24【解析】解：根据几何体得三视图，转换为几何体为：所以：=24故答案为：24首先把几何体的三视图转换为几何体，进一步利用割补法求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，割补法在几何体的体积运算中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．16.【答案】−52【解析】解：数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=3，且S n+1+S n-1=2n+2S n（n≥2），所以：，故：，所以：，，…，，则：，故：，=，所以：-（1+1+1+…+1），=，=2n+1-n-2，所以：，故：λ（S n-a n）+λ+7≥（2-λ）n对任意n∈N*都成立，则：，即：当n=1时，（S n-a n）min=0，即：λ+7≥2-λ，所以：，故：λ的最小值为．故答案为：首先求出数列的通项公式，进一步求出数列的和，再利用函数的恒成立问题的应用求出λ的取值范围，最后求出最小值．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和的应用，函数的恒成立问题的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．17.【答案】（本题满分为12分）解：（1）∵2a cos C=2b-c，由正弦定理可得：sin A cos C+12sin C=sin B，∴sin B=sin（A+C）=sin A cos C+cos A sin C．∴12sin C=cos A sin C，∵sin C≠0，∴cos A=12，∴由A∈（0，π），可得角A=π3；…6分（2）在△ABD中，AB=3，BD=√13，cos A=12，由余弦定理可得：13=9+AD2-3AD，解得：AD=4（负值舍去），…9分∵BD为AC边上的中线，∴D为AC的中点，∴AC=2AD=8，∴S△ABC=12AB•AC•sin A=12×3×8×√32=6√3．…12分【解析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简方程，即可求角A的余弦值，得到A的值；（2）在△ABD 中，由余弦定理可得3AD 的值，进而求得AC=2AD=8，利用三角形的面积公式即可计算得解．本题考查正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在三角形的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．18.【答案】解：（1）设“这三天中转车数都不小于40”的事件为A ，则P （A ）=C 253C 503=23196．（2）设乙公司货车司机中转货车数为t ， 则X ={7t −40,t >406t,t≤40，则X 的所有取值分别为228，234，240，247，254， 其分布列为： 日工资 228 234 240 247 254 概率P110151525110∴E （X ）=228×110+234×15+240×15+247×25+254×110=241.8． 设甲公司货车司机日工资为Y ，日中转车数为μ，则Y =4μ+80， 则Y 的所有可能取值为232，236，240，244，248， 则分布列为： 日工资 232 236 240 244 248 概率P153101515110E （Y ）=232×15+236×310+240×15+244×15+248×110=238.8．由E （X ）＞E （Y ），知：若从日工资的角度考虑，小王应该选择乙公司． 【解析】（1）设“这三天中转车数都不小于40”的事件为A ，利用古典概型、排列组合知识能求出这3天中转车数都不小于40的概率．（2）设乙公司货车司机中转货车数为t ，则X 的所有取值分别为228，234，240，247，254，求出其分布列和E （X ）；设甲公司货车司机日工资为Y ，日中转车数为μ，则Y=4μ+80，则Y 的所有可能取值为232，236，240，244，248，求出其分布列和E （Y ），由E （X ）＞E （Y ），从日工资的角度考虑，小王应该选择乙公司．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查推理推论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.【答案】证明：（1）过P 作PO ⊥AD ，垂足为O ，连结AO ，BO ，由∠PAD =120°，得∠PAO =60°，∴在Rt △PAO 中，PO =PA sin ∠PAO =2sin60°=2×√32=√3， ∵∠BAO =120°，∴∠BAO =60°，AO =AO ， ∴△PAO ≌△BAO ，∴BO =PO =√3，∵E ，F 分别是PA ，BD 的中点，EF =√62，∴EF 是△PBD 的中位线，∴PB =2EF =2×√62=√6， ∴PB 2=PO 2+BO 2，∴PO ⊥BO ， ∵AD ∩BO =O ，∴PO ⊥平面ABCD ，又PO ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ．解：（2）以O 为原点，OB 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系， A （0，1，0），P （0，0，√3），B （√3，0，0），D （0，3，0），∴E （0，32，√32），F （√32，32，0），AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，12，√32），AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =（√32，12，0）， 平面ABCD 的一个法向量n⃗ =（0，0，1）， 设平面ACE 的法向量m⃗⃗⃗ =（x ，y ，z ）， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12y +√32z =0m⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x +12y =0，取x =1，得m⃗⃗⃗ =（1，-√3，1）， 设锐二面角的平面角的大小为θ，则cosθ=|cos ＜m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√55， ∴锐二面角E -AC -D 的余弦值为√55．【解析】（1）过P 作PO ⊥AD ，垂足为O ，连结AO ，BO ，推导出PO=PAsin ∠PAO=，∠BAO=60°，AO=AO ，从而△PAO ≌△BAO ，进而BO=PO=，推导出PO ⊥BO ，从而PO ⊥平面ABCD ，由此能证明平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）以O 为原点，OB 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出锐二面角E-AC-D 的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理推论证能力、运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（1）由题意，得焦距2c =2√5，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴2c =2√5，且点B 为线段AP 的中点， ∵点P （0，2√3），A （a ，0）， ∴PA =2PB ，B （a2，√3）， 点B （a2，√3）在椭圆E 上， ∴c =√5，且a 24a 2+3b 2=1，①，又a 2=b 2+c 2，即a 2=b 2+5，②， 联立①②解得b 2=4，a 2=b 2+c 2=9， ∴椭圆E 的方程为x 29+y 24=1．（2）由题可得S △PAN =6S △PBM ，即12|PA |•|PN |•sin ∠APN =6×12|PB |•|PM |•sin ∠BPM ， ∴|PN |=3|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），于是PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x 1，y 1-2√3），PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x 2，y 2-2√3）， ∴（x 1，y 1-2√3）=3（x 2，y 2-2√3）， ∴x 1=3x 2，即x 2x 1=3，于是x 2x 1+x 1x 2=103，即(x 1+x 2)2x 1x 2=163，①，联立{y =kx +2√3x 29+y 24=1，消去y ，整理得（9k 2+4）x 2+36√3kx +72=0，由△=（36√3k ）2-4×（9k 2+4）×72＞0，解得k 2＞89， ∴x 1+x 2=-36√3k9k 2+4，x 1x 2=729k 2+4， 代入①可解得k 2=329，满足k 2＞89，∴k =±4√23，即直线l 的斜率k =±4√23．【解析】（1）根据题意可得c=，再根据点B 在椭圆上，以及a 2=b 2+c 2，即可求出b 2=4，a 2=9，可得椭圆方程，（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），根据题意可得，可得x 1=3x 2，即=3，再根据韦达定理，即可求出k 的值．本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，突出考查了数形结合和等价转化等数学思想方法，属于中档题．21.【答案】解：（1）∵函数f(x)=12x 2−axlnx +ax +2(a ∈R)，∴x ＞0，f ′（x ）=x -a ln x ，∵函数f(x)=12x 2−axlnx +ax +2(a ∈R)有两个不同的极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2． ∴f ′（x ）=x -a ln x =0有两个不等根， 令g （x ）=x -a ln x ，则g′(x)=1−a x =x−ax，（x ＞0），①当a ≤0时，得g ′（x ）＞0，则g （x ）在（0，+∞）上单调递增， ∴g （x ）在（0，+∞）上不可能有两个零点．②当a ＞0时，由g ′（x ）＞0，解得x ＞a ，由g ′（x ）＜0，解得0＜x ＜a ， 则g （x ）在（0，a ）上单调递减，在（a ，+∞）上单调递增， 要使函数g （x ）有两个零点，则g （a ）=a -a lna ＜0， 解得a ＞e ，∴实数a 的取值范围是（e ，+∞）． 证明：（2）由x 1，x 2是g （x ）=x -a ln x =0的两个根， 则{alnx 1=x 1alnx 2=x 2，两式相减，得a （ln x 2-ln x 1）=x 2-x 1），即a =x 1−x 1lnx 2−lnx 1，即证x 1x 2＜(x 2−x 1)2(ln x2x 1)2，即证（ln x 2x 1）＜（x 2−x 1ln x 2x 1）=x 2x 1−2+x 1x 2，由x 1＜x 2，得x 2x 1=t ＞1，只需证ln 2t -t -1t +2，设g （t ）=ln 2t -t -1t +2，则g ′（t ）=2t lnt −1+1t 2=1t (2lnt −t +1t )， 令h （t ）=2ln t -t +1t ，∴h ′（t ）=2t −1−1t 2=-（1t −1）2＜0， ∴h （t ）在（1，+∞）上单调递减，∴h （t ）＜h （1）=0， ∴g ′（t ）＜0，即g （t ）在（1，+∞）上是减函数，∴g （t ）＜g （1）=0，即ln 2t ＜t -2+1t 在（1，+∞）上恒成立，∴x 1x 2＜a 2． 【解析】（1）推导出f′（x ）=x-alnx=0有两个不等根，令g （x ）=x-alnx ，则=，（x ＞0），根据a≤0，a ＞0分类讨论，结合导数的性质能求出实数a 的取值范围． （2）由x 1，x 2是g （x ）=x-alnx=0的两个根，得到a=，证（ln）＜（）=，由x 1＜x 2，令=t ＞1，只需证ln 2t-t-，设g （t ）=ln 2t-t-，则g′（t ）==，利用导数性质能证明x 1x 2＜a 2．本题考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，考查导数性质、函数的单调性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类讨论与整合能力，是难题． 22.【答案】解：（1）由题意得ρ（1+cos2θ）=8sinθ，得2ρcos 2θ=8sinθ，得ρ2cos 2θ=4ρsinθ，∵x =ρcosθ，y =ρsinθ，∴x 2=4y ， 即曲线C 的普通方程为x 2=4y ．（2）由题意可知，直线l 与y 轴交于点F （0，1）即为抛物线C 的焦点， 令|FA |=|t 1|，|FB |=|t 2|，将直线l 的参数方程{y =1+tsinαx=tcosα代入C 的普通方程x 2=4y 中， 整理得t 2cos 2α-4t sinα-4=0， 由题意得cosα≠0，根据韦达定理得：t 1+t 2=4sinαcos 2α，t 1t 2=−4cos 2α，∴|FA ||FB |=|t 1||t 2|=|t 1t 2|=4cos 2α≥4，（当且仅当cos 2α=1时，等号成立）， ∴当|FA |•|FB |取得最小值时，直线l 的直角坐标方程为y =1． 【解析】（1）由题意得ρ（1+cos2θ）=8sinθ，得2ρcos 2θ=8sinθ，得ρ2cos 2θ=4ρsinθ，∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴x 2=4y ，（2）根据韦达定理和参数的几何意义可得． 本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题． 23.【答案】解：（1）当m =1时，f （x ）=|2x -1|+|x +1|，①当x ≤-1时，f （x ）=-3x ≥3，解得x ≤-1，②当-1＜x ＜12时，f （x ）=-x +2≥3，解得x ≤-1，与-1＜x ＜12矛盾，舍去， ③当x ≥12时，f （x ）=3x ≥3，解得x ≥1，综上，不等式f （x ）＜3的解集为{x |x ≤-1或x ≥1}；证明（2）：2f （x ）=|4x -2|+|2x +2m |=|2x -1|+|2x -1|+|2x +2m |≥|2x -1|+|2x +2m |≥|2x +2m -2x +1|=|2m +1|=|（m +1）+m |≥|m +1|-|m |，∴对任意x ∈R ，2f （x ）≥|m +1|-|m |． 【解析】（1）m=1时函数f （x ）=|2x-1|+|x+1|，利用分段讨论法去掉绝对值，解对应的不等式即可； （2）根据绝对值三角不等式即可证明．本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．。
四川省绵阳市高中2019届高三第一次诊断性考试数学(理)试题(解析版)
四川省绵阳市高中2019届高三第一次诊断性考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合0，1，，集合，则A. B. C. 1， D.【答案】B【解析】解：集合0，1，，集合，．故选：B．先分别求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.已知向量，，若，则A. 2B.C. 1D.【答案】B【解析】解：；；．故选：B．根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值．考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．3.若点是角的终边上一点，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：点是角的终边上一点，，，则，故选：A．利用任意角的三角函数的定义求得、的值，再利用二倍角的正弦公式求得的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题4.若a，，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，当时，；当时，，．所以无论b取何值都有，故选：B．分2种情况去绝对值可知，所以无论b取何值都有．本题考查了不等式的基本性质，属基础题．5.已知命题p：，使得；命题q：，，则下列命题为真命题的是A. B. ￢ C. ￢￢ D.【答案】D【解析】解：命题p：，使得，，，命题p为假命题，命题q：，，是真命题，为假命题，￢为假命题，￢￢为假命题，真命题，故选：D．先判断p，q的真假，再利用复合命题真假性的判定方法得出选项．本题考查符合命题真假性的判断一般化为组成符合命题的基本命题真假性考查逻辑推理，运算求解能力．6.函数的定义域为A. B.C. D.【答案】C【解析】解：由题意得：，解得；，，故选：C．根据二次根式以及三角函数的性质求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查三角函数以及二次根式的性质，是一道基础题．7.若函数，则不等式的解集是A. B.C. D.【答案】B【解析】解：函数，则不等式，可得：，可得，，解得．不等式的解集是：．故选：B．利用分段函数，得到分段不等式，求解即可．本题考查分段函数的应用，不等式的解法，考查计算能力．8.已知点A，B，C在函数的图象上，如图，若，则A. 1B.C.D.【答案】D【解析】解：在中，设，则，由射影定理可得：，即：，可得：，解得：，或舍去，可得：，由函数图象可得：，解得：．故选：D．在中，设，则，由射影定理，勾股定理可得，解得x的值，可求函数的周期，利用周期公式即可计算得解．本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，考查了射影定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．9.“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】解：设，，时，，在上单调递增，时，，在上单调递减，又，，即，即，推不出，“”是“”的充分不必要条件．故选：A．设，，在上单调递增，在上单调递减，，，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．本题考查了函数的单调性，导数的应用，简易逻辑的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.若，，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，，，，故选：D．根据指数函数的单调性即可判断．本题考查了指数幂的图象和性质，属于基础题11.2018年9月24日，英国数学家阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和，记，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由于时，，可得，时，，可得，排除D；由，排除A；由，排除B，故选：C．由时，，由裂项相消求和和不等式的性质可得，排除D，再由前几项的和，即可排除A，B，得到结论．本题考查数列不等式的证明，注意运用放缩法和排除法，考查化简运算能力，属于中档题．12.设是函数的导函数，且，为自然对数的底数，则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设，，，在R上递增，不等式即为，，即，．，，，，故选：C．构造函数，求出导数，判断在R上递增原不等式等价为，运用单调性，可得，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集．本题考查导数的运用：求单调性，考查构造法的运用，以及单调性的运用，对数不等式的解法，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知变量x，y满足约束条件，则的最大值是______．【答案】7【解析】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：作直线：把直线向上平移可得过点时最小当，时，取最大值7，故答案为7．先画出满足约束条件的平面区域，然后求出目标函数取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键．14.已知函数，若，则______．【答案】【解析】解：根据题意，函数，则，则，则有，又由，则；故答案为：．根据题意，由函数的解析式可得的解析式，进而可得，即可得，结合的值，计算可得答案．本题考查函数的奇偶性的应用，涉及函数值的计算，属于基础题．15.若直线与函数的图象相切，则a的值为______．【答案】2【解析】解：，设切点是，故，，由题意得：，解得：，故答案为：2．求出函数的导数，设出切点坐标，得到关于a的方程组，解出即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的导数以及对应思想，是一道常规题．16.已知矩形ABCD的边长，，点P，Q分别在边BC，CD上，且，则的最小值为______．【答案】【解析】解：设，则，，则，，，，，即最小值故答案为：设，则，分别由解直角三角形可得AQ，AP的长，再由向量的数量积的定义，结合三角函数的恒等变化公式，以及余弦函数的最值，即可得到所求最小值．本题考查了向量的几何运算和向量的数量积和三角函数的性质，属于中档题三、解答题（本大题共7小题）17.已知等差数列的公差大于0，且，分别是等比数列的前三项．求数列的通项公式；记数列的前n项和，若，求n的取值范围．【答案】解：设等差数列的公差为，由，得，又，，是等比数列的前三项，，即，化简得，联立：解得，．．，，是等比数列的前三项，等比数列的公比为3，首项为3．等比数列的前n项和．由，得，化简得，解得，．【解析】利用等差数列与等比数列的通项公式，求出数列的首项与公差，然后求出通项公式．求出等比数列的和，列出不等式，推出结果即可．本题考查等差数列以及等比数列的求和，考查转化首项以及计算能力．18.已知函数，将函数的图象向右平移个单位，再向下平移2个单位，得到函数的图象．求的解析式；求在上的单调递减区间及值域．【答案】解：，将函数的图象向右平移个单位，再向下平移2个单位，得到的图象，即．由，可得．当，即时，函数单调递减．在上单调递减区间为．当，即时，单调递增，的增区间为．在上单调递增，在上单调递减，．又，，即在上的值域为．【解析】利用三角恒等变换化简得解析式，再利用函数的图象变换规律，求出的解析式．利用正弦函数的单调性，求得在上的单调递减区间，再利用正弦函数的定义域和值域，求得在上的值域．本题主要考查三角恒等变换，函数的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于中档题．19.在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且．求的值；若，求面积的最大值．【答案】解：，，由正弦定理得，由余弦定理得，化简得，．因为，由知，由余弦定理得，根据重要不等式有，即，当且仅当时“”成立，．由，得，且，的面积．，．．的面积S的最大值为．【解析】利用正弦定理与余弦定理转化求解即可．利用余弦定理求出bc，然后转化求解三角形的面积即可．本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．20.设函数．讨论函数的单调性；若函数在区间上的最小值是4，求a的值．【答案】解：．当时，0'/>，在R上单调递增；当时，0'/>解得，由解得．综上所述：当时，函数在R上单调递增；当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减．由知，当时，函数在R上单调递增，函数在上的最小值为，即，矛盾．当时，由得是函数在R上的极小值点．当即时，函数在上单调递增，则函数的最小值为，即，符合条件．当即时，函数在上单调递减，则函数的最小值为即，矛盾．当即时，函数在上单调递减，函数在上单调递增，则函数的最小值为即．令，则，在上单调递减，而，在上没有零点，即当时，方程无解．综上，实数a的值为．【解析】求出函数的导数通过a的讨论，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可．由知，当时，函数在R上单调递增，当，当，当求出即令，则，转化求解即可．本题考查函数的导数，利用函数的单调性以及函数的极值，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．21.设函数．当时，求函数的极值；若关于x的方程有唯一解，且，，求n的值．【答案】解：的定义域为．当时，则，令，则．即在上单调递减，又，故时，0'/>，在上单调递增，时，，在上单调递减．所以函数有极大值，无极小值．由，令，则，所以在上单调递减，即在上单调递减．又时，；时，，故存在使得．当时，，在上单调递减．又有唯一解，则必有．由消去a得．令，则．故当时，，在上单调递减，当时，0'/>，在上单调递增．由，，得存在，使得即．又关于x的方程有唯一解，且，，．故．【解析】求出的定义域，当时，，利用函数的导数，通过构造，则转化求解函数的单调区间月极值即可．由，令，则，利用函数的单调性，函数的零点转化求解即可得到．本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查发现问题解决问题的能力．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的中点P到坐标原点O的距离．【答案】解：直线l的参数方程为为参数，将代入，整理得，所以直线l的普通方程为．由得，将，代入，得，即曲线C的直角坐标方程为．设A，B的参数分别为，．将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得：，化简得，由韦达定理得：，于是．设，则则．所以点P到原点O的距离为．【解析】直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．利用的结论，进一步利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.已知函数．当时，解不等式；若关于x的不等式的解集包含，求m的取值范围．【答案】解：当时，，由解得，综合得；当时，，由解得，综合得；当时，，由解得，综合得．所以的解集是．的解集包含，当时，恒成立原式可变为，即，即在上恒成立，显然当时，取得最小值10，即m的取值范围是．【解析】通过x讨论去掉绝对值符号，求解不等式的解集即可．题目转化为当时，恒成立，即，转化求解即可．本题考查不等式的解法，绝对值的几何意义，考查转化思想以及计算能力．。
2019年5月四川省绵阳市高2019届高2016级高三下学期第三次诊断性考试理科数学试题解析
四川省绵阳市高2016级高三下学期第三次诊断性考试理科数学试题解析一、选择题（本大题共12小题,共60.0分）1.已知集合M={x |1≤x ＜3},N={1,2},则M ∩N=（ ） A.{}1B.{}1,2C.ϕD.[]1,2【参考答案】B 【试题解析】根据集合交集的定义可得所求结果．【详细解答】∵{}{}13,1,2M x x N =≤<=,∴{}2,1=N M ． 故选B ．2.i 为虚数单位,复数z 满足z （1+i ）=i ,则|z|=（ ）A.12C.1【参考答案】B 【试题解析】试题分析：由(1)z i i +=得1z i i=+,所以12i z i ===+,故答案为B ． 3.中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的已套指数体系．如图所示的折线图是2017年和2018年的中国仓储指数走势情况．根据该折线图,下列结论中不正确的是（ ）A.2018年1月至4月的仓储指数比2017年同期波动性更大B.这两年的最大仓储指数都出现在4月份C.2018年全年仓储指数平均值明显低于2017年D.2018年各仓储指数的中位数与2017年各仓储指数中位数差异明显 【参考答案】D【试题解析】根据折线图逐一验证各选项.【详细解答】通过图象可看出,2018年1月至4月的仓储指数比2017年同期波动性更大, 这两年的最大仓储指数都出现在4月份, 2018年全年仓储指数平均值明显低于2017年,所以选项A,B,C的结论都正确；2018年各仓储指数的中位数与2017年各仓储指数中位数基本在52%,∴选项D的结论错误．故选：D．4.已知变量x,y满足x0y1x y20≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩,则x2+y2的最大值为（）A.10B.5C.4D.2【参考答案】A【试题解析】先作可行域,再根据目标函数表示可行域内的点到原点距离的平方,结合图象确定最大值取法,计算即得结果.【详细解答】作出变量x,y满足120xyx y≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩,所对应的可行域（如图阴影部分）,由201x yy+-=⎧⎨=-⎩解得A（3,-1）而z=x2+y2表示可行域内的点到原点距离的平方,数形结合可得最大距离为=z=x2+y2的最大值为：10．故选：A．5.将函数()πf x sin 2x 6⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位,得到函数g （x ）的图象,则g （x ）的解析式为（ ） A.()g x cos2x = B.()g x cos2x =-C.()g x sin2x =D.()πg x sin 2x 3⎛⎫=+⎪⎝⎭【参考答案】A 【试题解析】根据三角函数图象平移变换的规律可得所求的解析式．【详细解答】将函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位后所得图象对应的解析式为sin[2()]sin(2)cos 2662y x x x πππ=++=+=．故选A ．6.已知{a n }是正项等比数列,且a 1a 8=4a 5,a 4与2a 6的等差中项为18,则a 5=（ ） A.2B.4C.8D.16【参考答案】C 【试题解析】 分析】根据条件列关于首项与公比的方程组,解得首项与公比,再根据等比数列通项公式得结果. 【详细解答】设正项等比数列{a n }的公比为q ＞0,∵a 1a 8=4a 5,a 4与2a 6的等差中项为18,∴a 12q 7=4a 1q 4,a 4+2a 6=36即a 1（q 3+2q 5）=36,解得a 1=12,q =2,则a 5= a 1q 4=8． 故选：C ．7.函数f （x ）=xln|x|的大致图象是（ ）A. B. C. D.【参考答案】A 【试题解析】∵函数ln f x x x =（） ,可得()()f x f x -=- , ()f x 是奇函数,其图象关于原点对称,排除C,D ；当0x >时,()'ln 1f x x =+ ,令()'0f x > 得：1x e >,得出函数()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数,排除B,故选A. 8.已知一个封闭的长方体容器中装有两个大小相同的铁球,若该长方体容器的三个相邻侧面的面积分别为6,8,12,则铁球的直径最大只能为（ ）B.2D.4【参考答案】B 【试题解析】根据题意求出长方体的三条棱的长度,最长棱的一半即为球的直径的最大值． 【详细解答】设长方体三条棱的长分别为,,a b c ,由题意得6812ab bc ac =⎧⎪=⎨⎪=⎩,解得324a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．再结合题意可得,铁球的直径最大只能为2． 故选B ．9.已知双曲线E ：2222x y 1a b-=（a ＞b ＞0）的两个焦点分别为F 1,F 2,以原点O 为圆心,OF 1为半径作圆,与双曲线E 相交,若顺次连接这些交点和F 1,F 2恰好构成一个正六边形,则双曲线E 的离心率为（ ）B.21D.3【参考答案】C【试题解析】设双曲线和圆在第一象限的交点为P ,根据正六边形可得点P 的坐标,然后再根据点P 在双曲线上得到,,a b c 间的关系式,于是可得离心率．【详细解答】由题意得,以原点O 为圆心的圆的半径为1||OF c =． 设双曲线和圆在第一象限的交点为),(y x P ,由正六边形的几何性质可得,22c x y ==,∴点P 的坐标为(2c． 又点P 在双曲线22221x y a b-=上,∴22223144c c a b-=, 整理得4224840c a c a -+=,∴42840e e -+=,解得3242+=e 或24e =- 又1e >, ∴3242+=e , ∴13+=e ． 故选C ．10.在521x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中,2x 项的系数为（ ） A.50- B.30-C.30D.50【参考答案】B 【试题解析】根据多项式展开式确定含2x 的项组成情况,再根据乘法计数原理与加法计数原理求结果.【详细解答】521x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭表示5个因式21x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的乘积,在这5个因式中, 有2个因式都选x -,其余的3个因式都选1,相乘可得含2x 的项； 或者有3个因式选x -,有1个因式选1x,1个因式选1,相乘可得含2x 的项, 故2x 项的系数为()231552230C C C +-⋅⋅=-, 故选：B ．11.若x ,y ,z ∈R +,且3x =4y =12z ,x yz+∈（n ,n+1）,n ∈N ,则n 的值是（ ） A.2B.3C.4D.5【参考答案】C 【试题解析】设3412x y z t ===,用t 表示出,,x y z ,然后根据对数的运算性质和换底公式进行变形求解可得zyx +所在的范围,进而得到答案．【详细解答】设32)4(11x y zt t =>==,则3412log ,log ,log x t y t z t ===,∴34343434121212log log log log log 12log 122log 4log 3log log log t t t tx y z t t t++==+=+=++． ∵341log 42,0log 31<<<<, ∴341log 4log 33<+<；又34log 4log 32+>=, ∴344log 4log 35<+<,即(4,5)x yz+∈． ∴4n =． 故选C ．12.已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ,过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于A 、B 两点,若在以线段AB 为直径的圆上存在两点M 、N ,在直线l ：x+y+a=0上存在一点Q ,使得∠MQN=90°,则实数a 的取值范围为（ ） A.[]13,3-B.[]3,1-C.[]3.13-D.[]13.13-【参考答案】A 【试题解析】 【分析】先联立直线与抛物线,根据抛物线定义以及韦达定理得线段AB 中点以及弦长,即得圆方程,再根据直线l 与圆位置关系列不等式,解得结果.【详细解答】过点F （1,0）且斜率为1的直线方程为：1y x =-．联立2216104y x x x y x=-⎧⇒-+=⎨=⎩ ∴AB 的中点坐标为（3,2）,|AB |=x 1+x 2+p=8,所以以线段AB 为直径的圆圆D ：22(3)(2)16x y -+-=,圆心D 为：（3,2）,半径为r=4, ∵在圆C 上存在两点M ,N ,在直线l 上存在一点Q ,使得∠MQN =90°, ∴在直线l 上存在一点Q ,使得Q 到C （3,2=,∴只需C （3,2）到直线l 的距离小于或等于,133a ≤⇒-≤≤ 故选：A ．二、填空题（本大题共4小题,共20.0分）13.函数21,13()(4),3x x f x f x x --≤<⎧=⎨-≥⎩,则(9)f = ______．【参考答案】1 【试题解析】根据自变量范围代入对应解析式,即得结果. 【详细解答】根据题意,21,13()(4),3x x f x f x x --≤<⎧=⎨-≥⎩,则(9)(5)(1)2111f f f ===⨯-=；故答案为：1．14.已知向量a =（sin2α,1）,b =（cos α,1）,若a ∥b , π02α<<,则=α______． 【参考答案】6π 【试题解析】先根据向量平行坐标关系得sin2α-cosα=0,再根据二倍角正弦公式化简得sinα=12,解得结果. 【详细解答】向量a =（sin2α,1）,b =（cosα,1）, 若a ∥b ,则sin2α-cosα=0, 即2sinαcosα=cosα； 又π02α<<,∴cosα≠0,∴sinα=12,∴6πα=． 故答案为：6π． 15.在《九章算术》中有称为“羡除”的五面体体积的求法．现有一个类似于“羡除”的有三条棱互相平行的五面体,其三视图如图所示,财该五面体的体积为______．【参考答案】24. 【试题解析】由三视图得到五面体的直观图,然后根据几何体的结构特征,利用分割的方法求得其体积． 【详细解答】由三视图可得,该几何体为如下图所示的五面体ABCEFD ,其中,底面ABC 为直角三角形,且90,4,3BAC AB AC ∠=︒==,侧棱,,DB EC FA 与底面垂直,且2,5DB EC FA ===．过点D 作,DH BC DG BA ∥∥,交,EC FA 分别于,H G ,则棱柱ABC DHG -为直棱柱,四棱锥D EFGH -的底面为矩形EFGH ,高为BA ． 所以211(43)2342423ABC DHG D EFGH ABCEFD V V V --=+=⨯⨯⨯+⨯⨯=五面体． 故答案为：24．16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,1a =1,2a =3,且1122,(2)nn n n S S S n +-+=+≥,若()7(2)n n n S a λλλ-++≥-对任意*N n ∈都成立,则实数λ的最小值为______．【参考答案】52- 【试题解析】先根据和项与通项关系得12nn n a a +-=,再利用叠加法得n a ,利用分组求和法得n S , 【详细解答】数列{}n a 的前n 项和为n S ,1a =1,2a =3,且1122,(2)nn n n S S S n +-+=+≥, 所以：112n n n n n S S S S +--=+-,故：12(2)nn n a a n +-=≥,因为1212a a -=,所以12(1)n n n a a n +-=≥所以：112n n n a a ---=, 2112212,,2n n n a a a a ----=⋯-= ,则：1211222n n a a --=++⋯+,故：11211222121n n n n a --=++⋯+==--, 所以：1232222nn S n =+++⋯-+=()22121n n ---122n n +=--,所以：21nn n S a n -=--,因为()7(2)n n n S a λλλ-++≥-对任意*N n ∈都成立,所以max 27()2nn λ-≥ 设272n n n c -=则111252792222n n n nn n n nc c +++----=-= 当4n ≤时n n c c >+1,当5n ≥时1n n c c +<,因此1234567c c c c c c c <<<<><>即5332c λ≥=故λ的最小值为323． 故答案：323 三、解答题（本大题共7小题,共82.0分）17.已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对边分别为a 、b 、c ,且2a cosC=2b-c ． （1）求角A 的大小；（2）若AB=3,AC 边上的中线SD 的长为13,求△ABC 的面积．【参考答案】（1）A=π3；（2）【试题解析】（1）先根据正弦定理化边为角,再利用三角形内角关系以及两角和正弦公式化简得cosA=12,即得结果,（2）根据余弦定理求AD ,再根据三角形面积公式得结果.【详细解答】（1）∵2a cosC=2b-c ,由正弦定理可得：sinAcosC+12sinC=sinB , ∴sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC ．∴12sinC=cosAsinC ,∵sinC≠0,∴cosA=12, ∴由A ∈（0,π）,可得角A=π3；（2）在△ABD 中,AB=3,BD=13,cosA=12,由余弦定理可得：13=9+AD 2-3AD ,解得：AD=4（负值舍去）,∵BD 为AC 边上的中线,∴D 为AC 的中点,∴AC=2AD=8,∴S △ABC =12AB•AC•sinA=1382⨯⨯=63． 18.甲、乙两家物流公司都需要进行货物中转,由于业务量扩大,现向社会招聘货车司机,其日工资方案如下：甲公司,底薪80元,司机毎中转一车货物另计4元：乙公司无底薪,中转40车货物以内（含40车）的部分司机每车计6元,超出40车的部分司机每车计7元．假设同一物流公司的司机一填中转车数相同,现从这两家公司各随机选取一名货车司机,并分别记录其50天的中转车数,得到如下频数表： 甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表（1）现从记录甲公司的50天货物中转车数中随机抽取3天的中转车数,求这3天中转车数都不小于40的概率；（2）若将频率视为概率,回答下列两个问题：①记乙公司货车司机日工资为X （单位：元）,求X 的分布列和数学期望E （X ）；②小王打算到甲、乙两家物流公司中的一家应聘,如果仅从日工资的角度考虑,请利用所学的统计学知识为小王作出选择,并说明理由． 【参考答案】（1）23196；（2）①见解析,②若从日工资的角度考虑,小王应该选择乙公司 【试题解析】（1）根据古典概型概率公式以及组合数求结果,（2）①先确定随机变量,再分别求对应概率,最后根据数学期望公式得期望,②先求甲公司日工资数学期望,再与①期望比较大小即得结果【详细解答】（1）设“这三天中转车数都不小于40”的事件为A ,则P （A ）=325350C C =23196． （2）①设乙公司货车司机中转货车数为t ,则X=6t,t 407t 40,t 40≤⎧⎨->⎩,则X 的所有取值分别为228,234,240,247,254,其分布列为：∴E （X ）=228×101+234×15+240×15+247×25+254×101=241.8．②设甲公司货车司机日工资为Y ,日中转车数为μ,则Y=4μ+80, 则Y 的所有可能取值为232,236,240,244,248,则分布列为：E （Y ）=131123223624024451055⨯+⨯+⨯+⨯+248×101=238.8． 由E （X ）＞E （Y ）,知：若从日工资的角度考虑,小王应该选择乙公司．19.如图,在四棱锥P-ABCD 中,底而ABCD 是菱形,且PA=AD=2,∠PAD=∠BAD=120°,E ,F 分别为PD ,BD 的中点,且EF =．（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）求锐二面角E-AC-D的余弦值．【参考答案】（1）见解析；（2【试题解析】（1）先过P作PO⊥AD,再通过平几知识计算得PO⊥BO,利用线面垂直判定定理得PO⊥平面ABCD,再根据面面垂直判定定理得结果,（2）先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,列方程组解得平面ACE 的一个法向量,根据向量数量积得向量夹角,最后根据二面角与向量夹角关系得结果.【详细解答】（1）过P作PO⊥AD,垂足为O,连结AO,BO,由∠PAD=120°,得∠PAO=60°,∴在Rt△PAO中,PO=PAsin∠PAO=2sin60°3,∵∠BAO=120°,∴∠BAO=60°,AO=AO,∴△PAO≌△BAO,∴BO=PO=3,∵E,F分别是PA,BD的中点,,∴EF是△PBD的中位线,∴=,∴PB2=PO2+BO2,∴PO⊥BO,∵AD∩BO=O,∴PO⊥平面ABCD,又PO⊂平面PAD,∴平面PAD⊥平面ABCD．（2）以O为原点,OB为x轴,OD为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系, A（0,1,0）,P（0,0,3）,B（3,0,0）,D（0,3,0）,∴E（0,32,F32，）,AE=（0,12,AF=12,0）,易得平面ABCD的一个法向量m=（0,0,1）,设平面ACE的法向量=（x,y,z）,则1AE y0231AF y022nn⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩,取x=1,得n=（1,-3,1）,设锐二面角的平面角的大小为θ,则cosθ=|cos ＜,m n ＞|=m n m n⋅⋅=∴锐二面角E-AC-D的余弦值为520.已知A 为焦距为E ：2222x y 1ba +=（a ＞b ＞0）的右顶点,点P （0,,直线PA 交椭圆E于点B ,PB BA =． （1）求椭圆E 的方程；（2）设过点P 且斜率为k 的直线l 与椭圆E 交于M 、N 两点（M 在P 、N 之间）,若四边形MNAB 的面积是△PMB 面积的5倍．求直线l 的斜率k ．【参考答案】（1）2x 9+2y 4=1；（2）k=±3【试题解析】（1）先根据条件得B 点坐标,代入椭圆方程,再与焦距联立方程组解得,,a b （2）根据面积关系得PN 3PM =,联立直线方程与椭圆方程,利用韦达定理建立等量关系解得斜率. 【详细解答】（1）由题意,得焦距∴∵PB BA =,所以点B 为线段AP 的中点, 因为点P （0,23）,A （a ,0）, ∴B （2a,3）, 因为点B （2a ,3）在椭圆E 上,∴224a a +23b=1,即b 2=4,a 2=b 2+c 2=9,∴椭圆E 的方程为2x 9+2y 4=1． （2）由题可得S △PAN =6S △PBM ,即12|PA |•|PN|•sin ∠APN=6×12|PB|•|PM|•sin ∠BPM , ∴|PN|=3||,∴PN 3PM =,设M （x 1,y 1）,N （x 2,y 2）, 于是PM =（x 1,y 1-23）,PN =（x 2,y 2-23）, ∴3（x 1,y 1-23）=（x 2,y 2-23）,∴x 2=3 x 1,即21x x =3,于是21x x +21x x =103,即21212(x x )x x +=316,①,联立22y kx x y 194⎧=+⎪⎨+=⎪⎩,消去y ,整理得（9k 2+4）x 2+363kx+72=0,由△=（363k ）2-4×（9k 2+4）×72＞0,解得k 2＞89, ∴x 1+x 2,x 1x 2=2729k 4+, 代入①可解得k 2=329,满足k 2＞89,∴,即直线l 的斜率．21.已知函数()()21f x x axlnx ax 2a R 2=-++∈有两个不同的极值点x 1,x 2,且x 1＜x 2． （1）求实数a 的取值范围； （2）求证：x 1x 2＜a 2．【参考答案】（1）（e ,+∞）；（2）见解析 【试题解析】（1）先求导数,再根据导函数有两个不同的零点,确定实数a 所需满足的条件,解得结果,（2）先根据极值点解得a ,再代入化简不等式x 1x 2＜a 2,设21x x t =,构造一元函数,利用导数研究函数单调性,最后构造单调性证明不等式.【详细解答】（1）∵函数()()21f x x xlnx x 2R 2a a a =-++∈,∴x ＞0,f′（x ）=x-a lnx , ∵函数()()21f x x xlnx x 2R 2a a a =-++∈有两个不同的极值点x 1,x 2,且x 1＜x 2． ∴f′（x ）=x-a lnx=0有两个不等根, 令g （x ）=x-a lnx ,则()g'x 1x a =-=x xa -,（x ＞0）, ①当a ≤0时,得g′（x ）＞0,则g （x ）在（0,+∞）上单调递增, ∴g （x ）在（0,+∞）上不可能有两个零点．②当a ＞0时,由g′（x ）＞0,解得x ＞a ,由g′（x ）＜0,解得0＜x ＜a , 则g （x ）（0,a ）上单调递减,在（a ,+∞）上单调递增,要使函数g （x ）有两个零点,则g （a ）=a -a ln a ＜0, 解得a ＞e ,∴实数a 的取值范围是（e ,+∞）． （2）由x 1,x 2是g （x ）=x-a lnx=0的两个根,则2211lnx x lnx x a a =⎧⎨=⎩,两式相减,得a （lnx 2-lnx 1）=x 2-x 1）,即a =2121x x lnx lnx --,即证x 1x 2＜221221(x x )x (ln )x -, 即证22221121x (x x )(ln )x x x -<=2112x x 2x x -+, 由x 1＜x 2,得21x x =t ＞1,只需证ln 2t-t-120t+<, 设g （t ）=ln 2t-t-12t +,则g′（t ）=221lnt 1t t -+=112lnt t t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,令h （t ）=2lnt-t+t1,∴h′（t ）=2211t t --=-（11t -）2＜0,∴h （t ）在（1,+∞）上单调递减,∴h （t ）＜h （1）=0,∴g′（t ）＜0,即g （t ）在（1,+∞）上是减函数,∴g （t ）＜g （1）=0,即ln 2t ＜t-2+t1在（1,+∞）上恒成立,∴x 1x 2＜a 2．22.在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ（1+cos2θ）=8sinθ．（1）求曲线C 的普通方程； （2）直线l 的参数方程为x tcos αy 1tsin α=⎧⎨=+⎩,t 为参数直线l 与y 轴交于点F 与曲线C 的交点为A ,B ,当|FA|•|FB|取最小值时,求直线l 的直角坐标方程． 【参考答案】（1）x 2=4y ；（2）y=1 【试题解析】（1）根据x=ρcosθ,y=ρsinθ将极坐标方程化为普通方程,（2）将直线参数方程代入抛物线方程,利用韦达定理以及参数几何意义求|FA|•|FB|,最后根据三角函数有界性确定最值,解得结果.【详细解答】（1）由题意得ρ（1+cos2θ）=8sinθ,得2ρcos 2θ=8sinθ,得ρ2cos 2θ=4ρsinθ, ∵x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴x 2=4y ,即曲线C 的普通方程为x 2=4y ．（2）由题意可知,直线l 与y 轴交于点F （0,1）即为抛物线C 的焦点,令|FA|=|t 1|,|FB|=|t 2|,将直线l 的参数方程x tcos αy 1tsin α=⎧⎨=+⎩代入C 的普通方程x 2=4y 中,整理得t 2cos 2α-4tsinα-4=0,由题意得cosα≠0,根据韦达定理得：t 1+t 2=24sin αcos α,t 1t 2=24cos α-, ∴|FA||FB|=|t 1||t 2|=|t 1t 2|=24cos α≥4,（当且仅当cos 2α=1时,等号成立）, ∴当|FA|•|FB|取得最小值时,直线l 的直角坐标方程为y=1． 23.已知函数f （x ）=|2x-1|+|x+m|． （l ）当m=l 时,解不等式f （x ）≥3；（2）证明：对任意x ∈R ,2f （x ）≥|m+1|-|m|． 【参考答案】（1）{x|x ≤-1或x ≥1}；（2）见解析 【试题解析】（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组,分别求解,最后求并集,（2）根据绝对值三角不等式放缩论证.【详细解答】（1）当m=1时,f（x）=|2x-1|+|x+1|, ①当x≤-1时,f（x）=-3x≥3,解得x≤-1,②当-1＜x＜12时,f（x）=-x+2≥3,解得x≤-1,与-1＜x＜12矛盾,舍去,③当x≥12时,f（x）=3x≥3,解得x≥1,综上,不等式f（x）＜3的解集为{x|x≤-1或x≥1}；（2）2f（x）=|4x-2|+|2x+2m|=|2x-1|+|2x-1|+|2x+2m|≥|2x-1|+|2x+2m|≥|2x+2m-2x+1| =|2m+1|=|（m+1）+m|≥|m+1|-|m|,∴对任意x∈R,2f（x）≥|m+1|-|m|．。
2019届四川省绵阳市高中高三第一次诊断性考试(理)数学试题(解析版)
【答案】C
【解析】
由题意，可知 ，利用放缩法和极限，即可得到答案.
【详解】
由题意，可知 ，
所以
，
当 且 时， ，且 ，
所以 ，故选C.
【点睛】
本题主要考查了数列思想的应用问题，其中解答中，认真审题，利用 进行合理放缩，再利用极限求解是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及放缩思想的应用，属于中档试题.
【详解】
解：（I）设等差数列 的公差为 （ ）,
由 ，得 ，
又∵ ， ， 是等比数列 的前三项，
∴ ，
即 ，化简得 ，
联立 解得 ， .
∴ .
（II）∵ ， ， 是等比数列 的前三项，
∴等比数列 的公比为3，首项为3.
∴等比数列 的前 项和 .
由 ，得 ，化简得 ，
解得 ， .
【点睛】
在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
【点睛】
本题主要考查了复合命题的真假判定及应用，其中解答中根据题意，正确判定命题 为假命题， 为真命题，再利用复合命题的真值表判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
6．函数 的定义域为（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
由函数 ，根据解析式有意义得到 ，再根据三角函数的图象与性质，即可求解.
四川省绵阳市2019-2020学年中考三诊数学试题含解析
四川省绵阳市2019-2020学年中考三诊数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断,树尖B恰好碰到地面,经测量AB=2m,则树高为（）米A．5B．3C．5+1 D．32．如图所示的几何体，它的左视图与俯视图都正确的是（）A．B．C．D．3．如图，在△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，错误的结论是（）．A．AD AEDB EC=B．AB ACAD AE=C．AC ECAB DB=D．AD DEDB BC=4．若分式242xx-+的值为0，则x的值为（）A．-2 B．0 C．2 D．±2 5．下列图案中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6．-5的相反数是（）A．5 B．15C5D．15-7．下列运算正确的是（）A．x3+x3=2x6B．x6÷x2=x3C．（﹣3x3）2=2x6D．x2•x﹣3=x﹣1为（ ）．A ．16B ．12C ．13D ．239．下面运算结果为6a 的是( )A ．33a a +B ．82a a ÷C ．23•a aD ．()32a -10．如图，在⊙O 中，弦BC ＝1，点A 是圆上一点，且∠BAC ＝30°，则»BC的长是( )A ．πB ．13π C ．12π D ．16π 11．在正方体的表面上画有如图1中所示的粗线，图2是其展开图的示意图，但只在A 面上画有粗线，那么将图1中剩余两个面中的粗线画入图2中，画法正确的是( )A ．B ．C ．D ．12．有15位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前8位同学进入决赛．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这15位同学的（ ）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，点P 是边长为2的正方形ABCD 的对角线BD 上的动点，过点P 分别作PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥DC 于点F ，连接AP 并延长，交射线BC 于点H ，交射线DC 于点M ，连接EF 交AH 于点G ，当点P 在BD 上运动时（不包括B 、D 两点），以下结论：①MF=MC ；②AH ⊥EF ；③AP 2=PM•PH ； ④EF 的最小值是2．其中正确的是________．（把你认为正确结论的序号都填上）14．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要_____cm ．15．我国自主研发的某型号手机处理器采用10 nm 工艺，已知1 nm=0.000000001 m ，则10 nm 用科学记数法可表示为_____m ．16．分解因式：2x 2﹣8xy+8y 2= ．17．计算2(32) 的结果等于______________________.18．8的算术平方根是_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，已知∠AOB 与点M 、N 求作一点P ，使点P 到边OA 、OB 的距离相等，且PM=PN （保留作图痕迹，不写作法）20．（6分）在直角坐标系中，过原点O 及点A （8，0），C （0，6）作矩形OABC 、连结OB ，点D 为OB 的中点，点E 是线段AB 上的动点，连结DE ，作DF ⊥DE ，交OA 于点F ，连结EF ．已知点E 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB 上移动，设移动时间为t 秒．如图1，当t=3时，求DF 的长．如图2，当点E 在线段AB 上移动的过程中，∠DEF 的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan ∠DEF 的值．连结AD ，当AD 将△DEF 分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t 的值．21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE 的三个顶点分别是C （3，0），D （3，4），E （0，4）．点A 在DE 上，以A 为顶点的抛物线过点C ，且对称轴x ＝1交x 轴于点B ．连接EC ，AC ．点P ，Q 为动点，设运动时间为t 秒．（1）求抛物线的解析式．（2）在图①中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE 上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？（3）在图②中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？22．（8分）徐州至北京的高铁里程约为700km，甲、乙两人从徐州出发，分别乘坐“徐州号”高铁A与“复兴号”高铁B前往北京．已知A车的平均速度比B车的平均速度慢80km/h，A车的行驶时间比B车的行驶时间多40%，两车的行驶时间分别为多少？23．（8分）如图1，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，经过点B的直线交y轴于点E（0，2）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图2，过点A作BE的平行线交抛物线于另一点D，点P是抛物线上位于线段AD下方的一个动点，连结PA，EA，ED，PD，求四边形EAPD面积的最大值；（3）如图3，连结AC，将△AOC绕点O逆时针方向旋转，记旋转中的三角形为△A′OC′，在旋转过程中，直线OC′与直线BE交于点Q，若△BOQ为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．24．（10分）计算：23182sin60(1)2-︒⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭解不等式组3(1)45513x xxx--⎧⎪-⎨->⎪⎩…，并写出它的所有整数解．25．（10分）在平面直角坐标系中，已知直线y＝﹣x+4和点M(3，2)(2)将直线y＝﹣x+4沿y轴平移，当它经过M关于坐标轴的对称点时，求平移的距离；(3)另一条直线y＝kx+b经过点M且与直线y＝﹣x+4交点的横坐标为n，当y＝kx+b随x的增大而增大时，则n取值范围是_____．26．（12分）如图，已知△ABC，请用尺规作图，使得圆心到△ABC各边距离相等（保留作图痕迹，不写作法）．27．（12分）( 19﹣4sin31°+（2115﹣π）1﹣（﹣3）2（2）先化简，再求值：1﹣2222244x y x yx y x xy y--÷+++，其中x、y满足|x﹣2|+（2x﹣y﹣3）2=1．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】由题意可知，AC=1，AB=2，∠CAB=90°据勾股定理则2222125AC AB+=+；∴AC+BC=（5m.答：树高为（5故选C.2．D试题分析：该几何体的左视图是边长分别为圆的半径和直径的矩形，俯视图是边长分别为圆的直径和半径的矩形，故答案选D ．考点：D.3．D【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质进行分析可得出结论.【详解】由DE ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，并可得：AD AE DB EC =，AB AC AD AE =，AC EC AB DB=，故A ，B ，C 正确；D 错误； 故选D ．【点睛】考点：1.平行线分线段成比例；2.相似三角形的判定与性质．4．C【解析】由题意可知：24020x x ＝⎧-⎨+≠⎩， 解得：x=2，故选C.5．B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念解答．【详解】A ．不是轴对称图形，是中心对称图形；B ．是轴对称图形，是中心对称图形；C ．不是轴对称图形，也不是中心对称图形；D ．是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．由相反数的定义：“只有符号不同的两个数互为相反数”可知-5的相反数是5.故选A.7．D【解析】分析：根据合并同类项法则，同底数幂相除，积的乘方的性质，同底数幂相乘的性质，逐一判断即可. 详解：根据合并同类项法则，可知x 3+x 3=2x 3，故不正确；根据同底数幂相除，底数不变指数相加，可知a 6÷a 2＝a 4，故不正确； 根据积的乘方，等于各个因式分别乘方，可知(－3a 3)2＝9a 6，故不正确；根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，可得x 2•x ﹣3=x ﹣1，故正确.故选D.点睛：此题主要考查了整式的相关运算，是一道综合性题目，熟练应用整式的相关性质和运算法则是解题关键.8．B【解析】【分析】朝上的数字为偶数的有3种可能，再根据概率公式即可计算.【详解】依题意得P （朝上一面的数字是偶数）=31=62故选B.【点睛】此题主要考查概率的计算，解题的关键是熟知概率公式进行求解.9．B【解析】【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的除法、同底数幂的乘法及幂的乘方逐一计算即可判断．【详解】 A .3332a a a += ，此选项不符合题意；B .826a a a ÷=，此选项符合题意；C .235a a a ⋅=，此选项不符合题意；D .236()a a -=-，此选项不符合题意；本题考查了整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂的除法、同底数幂的乘法及幂的乘方．10．B【解析】【分析】连接OB，OC．首先证明△OBC是等边三角形，再利用弧长公式计算即可．【详解】解：连接OB，OC．∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝OC＝BC＝1，∴»BC的长＝6011803ππ⋅⋅=，故选B．【点睛】考查弧长公式，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．11．A【解析】【详解】解：可把A、B、C、D选项折叠，能够复原（1）图的只有A．故选A．12．B【解析】【分析】由中位数的概念，即最中间一个或两个数据的平均数；可知15人成绩的中位数是第8名的成绩．根据题意可得：参赛选手要想知道自己是否能进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．解：由于15个人中，第8名的成绩是中位数，故小方同学知道了自己的分数后，想知道自己能否进入决赛，还需知道这十五位同学的分数的中位数．故选B ．【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．②③④【解析】【分析】①可用特殊值法证明，当P 为BD 的中点时，0MC =，可见MF MC ≠.②可连接PC ，交EF 于点O ，先根据SAS 证明ADP CDP ≅V V ，得到DAP DCP ∠=∠，根据矩形的性质可得DCP CFE ∠=∠，故DAP CFE ∠=∠，又因为90DAP AMD ∠+∠=︒，故90CFE AMD ∠+∠=︒，故AH EF ⊥.③先证明CPM HPC V :V ，得到PC PM HP PC=，再根据ADP CDP ≅V V ，得到AP PC =，代换可得. ④根据EF PC AP ==，可知当AP 取最小值时，EF 也取最小值，根据点到直线的距离也就是垂线段最短可得，当AP BD ⊥时，EF 取最小值，再通过计算可得.【详解】解：①错误.当P 为BD 的中点时，0MC =，可见MF MC ≠；②正确.如图，连接PC ，交EF 于点O ，Q 45AD CD ADP CDP DP DP =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()ADP CDP SAS ≅V VQ PF CD ⊥，PE BC ⊥，90BCD ∠=︒，∴四边形PECF 为矩形，∴OF OC =，∴DCP CFE ∠=∠，∴DAP CFE ∠=∠，Q 90DAP AMD ∠+∠=︒，∴90CFE AMD ∠+∠=︒，∴90FGM ∠=︒，∴AH EF ⊥.③正确.Q //AD BH ，∴H DAP ∠=∠，Q ADP CDP ≅V V ，∴DAP DCP ∠=∠，∴H DCP ∠=∠，又Q CPH MPC ∠=∠，∴CPM HPC V :V ， ∴PC PM HP PC=， Q AP PC =， ∴AP PM HP AP=， ∴2AP PM PH =g .④正确.Q ()ADP CDP SAS ≅V V 且四边形PECF 为矩形，∴EF PC AP ==，∴当AP BD ⊥时，EF 取最小值，此时sin 4522AP AB =︒=⨯=g故EF .故答案为：②③④.【点睛】本题是动点问题，综合考查了矩形、正方形的性质，全等三角形与相似三角形的性质与判定，线段的最值14．1【解析】【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【详解】解：将长方体展开，连接A、B′，∵AA′=1+3+1+3=8（cm），A′B′=6cm，根据两点之间线段最短，AB′=2286+=1cm．故答案为1．考点：平面展开-最短路径问题．15．1×10﹣1【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：10nm用科学记数法可表示为1×10-1m，故答案为1×10-1．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．16．1（x﹣1y）1【解析】试题分析：1x1﹣8xy+8y1=1（x1﹣4xy+4y1）=1（x﹣1y）1．故答案为：1（x﹣1y）1．考点：提公因式法与公式法的综合运用+17．743【解析】根据完全平方式可求解,完全平方式为()2222a b a ab b ±=±+【详解】2223232322743（）（）+=+⨯⨯+=+ 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，完全平方式的正确运用是解题关键18．22.【解析】试题分析：本题主要考查的是算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键．依据算术平方根的定义回答即可．由算术平方根的定义可知：8的算术平方根是8，∵8=22，∴8的算术平方根是22．故答案为22．考点：算术平方根.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．见解析【解析】【分析】作∠AOB 的角平分线和线段MN 的垂直平分线，它们的交点即是要求作的点P.【详解】解：①作∠AOB 的平分线OE ，②作线段MN 的垂直平分线GH ，GH 交OE 于点P ．点P 即为所求．【点睛】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的尺规作法，熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的的作图步骤是解答本题的关键.20．（1）3；（2）∠DEF 的大小不变，tan ∠DEF=34；（3）7541或7517． 【解析】（1）当t=3时，点E为AB的中点，∵A（8，0），C（0，6），∴OA=8，OC=6，∵点D为OB的中点，∴DE∥OA，DE=12OA=4，∵四边形OABC是矩形，∴OA⊥AB，∴DE⊥AB，∴∠OAB=∠DEA=90°，又∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°，∴四边形DFAE是矩形，∴DF=AE=3；（2）∠DEF的大小不变；理由如下：作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，如图2所示：∵四边形OABC是矩形，∴OA⊥AB，∴四边形DMAN是矩形，∴∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，∴BD BNDO NA=,BD AMDO OM=，∵点D为OB的中点，∴M、N分别是OA、AB的中点，∴DM=12AB=3，DN=12OA=4，∵∠EDF=90°，∴∠FDM=∠EDN，又∵∠DMF=∠DNE=90°，∴△DMF∽△DNE，∴3 4DF DMDE DN==，∵∠EDF=90°，∴tan∠DEF=34DFDE=；（3）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分，设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；①当点E到达中点之前时，如图3所示，NE=3﹣t，由△DMF∽△DNE得：MF=34（3﹣t），∴AF=4+MF=﹣34t+254，∵点G为EF的三等分点，∴G（37112t+，23t），设直线AD的解析式为y=kx+b，把A（8，0），D（4，3）代入得：8043k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：346kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AD的解析式为y=﹣34x+6，把G（37112t+，23t）代入得：t=7541；②当点E越过中点之后，如图4所示，NE=t﹣3，由△DMF∽△DNE得：MF=34（t﹣3），∴AF=4﹣MF=﹣34t+254，∵点G为EF的三等分点，∴G（3236t+，13t），代入直线AD的解析式y=﹣34x+6得：t=7517；综上所述，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，t的值为7541或7517.考点：四边形综合题.21．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）当t＝1511或t＝913时，△PCQ为直角三角形；（3）当t＝2时，△ACQ的面积最大，最大值是1．【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴与矩形的性质可得点A的坐标，根据待定系数法可得抛物线的解析式；（2）先根据勾股定理可得CE，再分两种情况：当∠QPC＝90°时；当∠PQC＝90°时；讨论可得△PCQ 为直角三角形时t的值；（3）根据待定系数法可得直线AC的解析式，根据S△ACQ＝S△AFQ+S△CPQ可得S△ACQ＝1FQ AD2⋅＝﹣14（t﹣2）2+1，依此即可求解．【详解】解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝1，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4），点A在DE上，∴点A坐标为（1，4），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，把C（3，0）代入抛物线的解析式，可得a（3﹣1）2+4＝0，解得a＝﹣1．故抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3；（2）依题意有：OC ＝3，OE ＝4，∴CE 5，当∠QPC ＝90°时，∵cos ∠QPC ＝=PC OC CQ CE， ∴3325-=t t ，解得t ＝1511； 当∠PQC ＝90°时，∵cos ∠QCP ＝=CQ OC CP CE， ∴2335=-t t ，解得t ＝913． ∴当t ＝1511或 t ＝913时，△PCQ 为直角三角形； （3）∵A （1，4），C （3，0），设直线AC 的解析式为y ＝kx+b ，则有：k b 43k b 0+=⎧⎨+=⎩，解得26k b =-⎧⎨=⎩．故直线AC 的解析式为y ＝﹣2x+2． ∵P （1，4﹣t ），将y ＝4﹣t 代入y ＝﹣2x+2中，得x ＝1+2t ， ∴Q 点的横坐标为1+2t ，将x ＝1+2t 代入y ＝﹣（x ﹣1）2+4 中，得y ＝4﹣24t ． ∴Q 点的纵坐标为4﹣24t ， ∴QF ＝（4﹣24t ）﹣（4﹣t ）＝t ﹣24t ， ∴S △ACQ ＝S △AFQ +S △CFQ ＝12FQ•AG+12FQ•DG ， ＝12FQ （AG+DG ）， ＝12FQ•AD ， ＝12×2（t ﹣24t ）， ＝﹣14（t ﹣2）2+1， ∴当t ＝2时，△ACQ 的面积最大，最大值是1．【点睛】考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：抛物线的对称轴，矩形的性质，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，勾股定理，锐角三角函数，三角形面积，二次函数的最值，方程思想以及分类思想的运用．22．A 车行驶的时间为3.1小时，B 车行驶的时间为2.1小时．【解析】【分析】设B 车行驶的时间为t 小时，则A 车行驶的时间为1.4t 小时，根据题意得：700t ﹣7001.4t =80，解分式方程即可，注意验根.【详解】解：设B 车行驶的时间为t 小时，则A 车行驶的时间为1.4t 小时， 根据题意得：700t ﹣7001.4t=80， 解得：t=2.1，经检验，t=2.1是原分式方程的解，且符合题意，∴1.4t=3.1．答：A 车行驶的时间为3.1小时，B 车行驶的时间为2.1小时．【点睛】本题考核知识点：列分式方程解应用题.解题关键点：根据题意找出数量关系，列出方程.23．（1）y=12x 2﹣32x ﹣2；（2）9；（3）Q 坐标为（﹣121655，）或（4）或（2，1）或（，）． 【解析】试题分析：()1把点()()1040A B -，，，代入抛物线22y ax bx =+-，求出,a b 的值即可. ()2先用待定系数法求出直线BE 的解析式，进而求得直线AD 的解析式，设11,22G m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则213,222P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，表示出PG ,用配方法求出它的最大值， 联立方程2132221122y x x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，求出点D 的坐标，ADP S V 最大值=12D A PG x x ⨯⨯-， 进而计算四边形EAPD 面积的最大值；()3分两种情况进行讨论即可.试题解析：（1）∵()()1040A B -，，，在抛物线22y ax bx =+-上， ∴2016420,a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得123.2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴抛物线的解析式为213222y x x ．=-- （2）过点P 作PG x ⊥轴交AD 于点G ，∵()()4002B E ，，，，∴直线BE 的解析式为122y x =-+， ∵AD ∥BE ，设直线AD 的解析式为12y x b =-+， 代入()10A ，-，可得12b =-， ∴直线AD 的解析式为1122y x ，=-- 设11,22G m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则213,222P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 则()221113*********PG m m m m ⎛⎫⎛⎫=-----=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴当x=1时，PG 的值最大，最大值为2，由2132221122y x x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩， 解得10,x y =-⎧⎨=⎩ 或32.x y =⎧⎨=-⎩ ∴()3,2D -，∴ADP S V 最大值=1124422D A PG x x ⨯⨯-=⨯⨯=， 15252ADB S =⨯⨯=V ，∵AD ∥BE ，∴5ADE ADB S S ==V V ，∴S 四边形APDE 最大=S △ADP 最大+459ADB S V ．=+=（3）①如图3﹣1中，当OQ OB =时，作OT BE ⊥于T ．∵42OB OE ==，， ∴452525OE OB BE OT BE ⋅====， ∴855BT TQ == ∴55BQ = 可得1216,55Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②如图3﹣2中，当1BO BQ =时,185454.Q ⎛ ⎝⎭， 当22OQ BQ =时，()221Q ，，当3BO BQ =时，Q 385454.⎛+ ⎝⎭综上所述，满足条件点点Q 坐标为1216,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或85454，⎛ ⎝⎭或()21，或85454.⎛ ⎝⎭ 24．（1）73-（1）0，1，1. 【解析】【分析】（1）本题涉及零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值，在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果（1）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后再找出整数解即可【详解】解：（1）原式＝1﹣，＝7（1）()3145{513x xxx-≥---①＞②，解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x＞﹣1，∴不等式组的解集是：﹣1＜x≤1．故不等式组的整数解是：0，1，1．【点睛】此题考查零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值，一元一次不等式组的整数解，掌握运算法则是解题关键25．（1）点M（1，2）不在直线y=﹣x+4上，理由见解析；（2）平移的距离为1或2；（1）2＜n＜1．【解析】【分析】（1）将x=1代入y=-x+4，求出y=-1+4=1≠2，即可判断点M（1，2）不在直线y=-x+4上；（2）设直线y=-x+4沿y轴平移后的解析式为y=-x+4+b．分两种情况进行讨论：①点M（1，2）关于x 轴的对称点为点M1（1，-2）；②点M（1，2）关于y轴的对称点为点M2（-1，2）．分别求出b的值，得到平移的距离；（1）由直线y=kx+b经过点M（1，2），得到b=2-1k．由直线y=kx+b与直线y=-x+4交点的横坐标为n，得出y=kn+b=-n+4，k=23nn-+-．根据y=kx+b随x的增大而增大，得到k＞0，即23nn-+-＞0，那么①2030nn-+⎧⎨-⎩＞＞，或②2030nn-+⎧⎨-⎩＜＜，分别解不等式组即可求出n的取值范围．【详解】（1）点M不在直线y=﹣x+4上，理由如下：∵当x=1时，y=﹣1+4=1≠2，∴点M（1，2）不在直线y=﹣x+4上；（2）设直线y=﹣x+4沿y轴平移后的解析式为y=﹣x+4+b．①点M（1，2）关于x轴的对称点为点M1（1，﹣2），∵点M1（1，﹣2）在直线y=﹣x+4+b上，∴﹣2=﹣1+4+b，∴b=﹣1，即平移的距离为1；②点M（1，2）关于y轴的对称点为点M2（﹣1，2），∵点M2（﹣1，2）在直线y=﹣x+4+b上，∴2=1+4+b，∴b=﹣2，即平移的距离为2．综上所述，平移的距离为1或2；（1）∵直线y=kx+b经过点M（1，2），∴2=1k+b，b=2﹣1k．∵直线y=kx+b与直线y=﹣x+4交点的横坐标为n，∴y=kn+b=﹣n+4，∴kn+2﹣1k=﹣n+4，∴k=23nn-+-．∵y=kx+b随x的增大而增大，∴k＞0，即23nn-+-＞0，∴①2030nn-+⎧⎨-⎩＞＞，或②2030nn-+⎧⎨-⎩＜＜，不等式组①无解，不等式组②的解集为2＜n＜1．∴n的取值范围是2＜n＜1．故答案为2＜n＜1．【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，解一元一次不等式组，都是基础知识，需熟练掌握．26．见解析【解析】【分析】分别作∠ABC和∠ACB的平分线，它们的交点O满足条件．【详解】解：如图，点O为所作．【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．27． (1)-7；(2)y x y -+ ，13-. 【解析】【分析】（1）原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用乘方的意义化简，计算即可得到结果；（2）原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，利用非负数的性质求出x 与y 的值，代入计算即可求出值.【详解】(1)原式=3−4×12+1−9=−7； (2)原式=1−2x y x y -+ ⋅()()()22x y x y x y ++-=1−2x y x y ++ =2x y x y x y +--+ =−y x y+； ∵|x−2|+(2x−y−3)2=1，∴2023x x y -=⎧⎨-=⎩， 解得：x=2，y=1，当x=2,y=1时,原式=−13. 故答案为（1）-7；（2）−y x y +；−13. 【点睛】本题考查了实数的运算、非负数的性质与分式的化简求值，解题的关键是熟练的掌握实数的运算、非负数的性质与分式的化简求值的运用.。
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秘密★启用前【考试时间:2019年4月21日15:00～17:00】
绵阳市高中2016级第三次诊断性考试
数 学(理工类)
(考试时间:120分钟试卷满分:150分)
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M={x1≤x<3},N={1,2},则M∩N=
A.{1}
B.{1,2}
C.φ
D.[1,2] 2.已知i 为虚数单位,复数z 满足z(1+i)=i,则|z|=
A.2
1
B.
2
C.
2
2
D.1 3.中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的一套指数体系.如图所示的折线图是2017年和2018年的中国仓储指数走势情况.根据该折线图,下列结论中不正确的是
A.2018年1月至4月的仓储指数比2017年同期波动性更大
B.这两年的最大仓储指数都出现在4月份
C.2018年全年仓储指数平均值明显低于2017年
D.2018年各月仓储指数的中位数与2017年各月仓储指数中位数差异明显
4.已知变量x,y 满足⎪⎩
⎪⎨⎧≤-+≤≥021||0y x y x ,则2
2y x +的最大值为
A.10
B.5
C.4
D.2
5.将函数f(x)=sin(2x+6π)的图象向左平移6
π
个单位,得到函数g(x)的图象,则g(x)的解析式
为
A. g(x)=cos2x
B. g(x)=-cos2x
C. g(x)=sin2x
D.
g(x)=sin(2x+3
π
)
6.已知{n a }是正项等比数列,且5814a a a =,4a 与62a 的等差中项为18,则=5a
A.2
B.8
C.8
D.16 7.函数f(x)=xlnx 2的大致图象为
8.已知一个封闭的长方体容器中装有两个大小相同的铁球,若该长方体容器的三个相邻侧面的面积分别为6,8,12,则铁球的直径最大只能为 A.
3
B.2
C.
5 D.4
9.已知双曲线E:122
22=-b
y a x (a>0，b>0)的两个焦点分别为21,F F ,以原点O 为圆心,1
OF 为半径作圆,与双曲线E 相交,若顺次连接这些交点和F 1,F 2恰好构成一个正六边形,则双曲线E 的离心率为 A.
3
B.2
C.
13+ D.3
10.在5
)2(x x
x -+的展开式中,2x 项的系数为
A.-50
B.-30
C.30
D.50
11.若+
∈R z y x ,,,且z
y
x
1243==，2
y
x +∈(n,n+1),n∈N,则n 的值是
A.2
B.3
C.4
D.5
12.已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于A 、B 两点,若在以
线段AB 为直径的圆上存在两点M 、N ，在直线l:x+y+a=0上存在一点Q,使得∠MQN=90°,则实数a 的取值范围为
A.[-13,3]
B.[-3,3]
C.[-3,13]
D.[-13,13] 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.函数
⎩⎨
⎧≥-<≤--=3),4(,31,12)(x x f x x x f ，则=)9(f
14.已知向量a=(sin2a,1),b=(cosa,1),若2
0,//π
α<
<b a ，
则a= 15.在《九章算术》中有称为“羡除”的五面体体积的求法.现有一个类似于“羡除”的有三条棱
互相平行的五面体,其视图如右图所示,则该五面体的体积为 16.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，3,121
==a a ,且)2(221≥+=+-n S S S n n n n ，若
λ(Sn -a n )+λ+7≥(2-λ)n 对任意n∈N*都成立,则实数λ的最小值为
三、解答题:共70分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
第17-21题为必考题,每个试
题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生依据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17、(12分)
已知△ABC 的内角A,B,C 所对边分别为a,b,c,且2acosC=2b-c (1)求角A 的大小；
(2)若AB=3,AC 边上的中线BD 的长为√13,求△ABC 的面积 18.(12分)
甲、乙两家物流公司都需要进行货物中转,由于业务量扩大,现向社会招聘货车司机其日工资方案如下:甲公司,底薪80元,司机每中转一车货物另计4元;乙公司,无底薪,中转40车货物以内(含40车)的部分司机每车计6元,超出40车的部分司机每车计7元.假设同一物流公司的司机一天中转车数相同,现从这两家公司各随机选取一名货车司机,并分别记录其50天的中转车数,得到如下频数表：
甲公司货车司机中转货物车数频数表日中转车数
乙公司货车司机中转货物车数频数表日中转车数
(1)现从记录甲公司的50天货物中转车数中随机抽取3天的中转车数,求这3天中转车数都不小于40的概率；
(2)若将频率视为概率,回答下列两个问题：
①记乙公司货车司机日工资为X(单位:元),求X 的分布列和数学期望E(x) ②小王打算到甲、乙两家物流公司中的一家应聘,如果仅从日工资的角度考虑,请利用所学的统计学知识为小王作出选择,并说明理由。
19.(12分)
如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是菱形,且PA=AD=2,
∠PAD=∠BAD=120°,E,F 分别为PD,BD 的中点,且EF=2
6 (1)求证:平面PAD⊥平面ABCD (2)求锐二面角EAC-D 的余弦值.
20、已知A 是焦距为2√5的椭圆E ：122
22=+b
y a x (a>b>0)的右顶点,点P(0,2√3),直线PA 交
椭圆E 于B,BA PB =
(1)求椭圆E 的方程
(2)设过点P 且斜率为k 的直线l 与椭圆E 交于M 、N 两点(M 在P 、N 之间),若四边形MNAB 的面积是△PMB 面积的5倍,求直线l 的斜率k. 21.(12分)
已知函数
22
1)(2
++-=ax axinx x x f (a∈R)有两个不同的极值点21,x x ,且21x x <.
（1）求实数a 的取值范围； (2)求证: 22
1a x x <
(二)选考题:共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。
22.[选修44:坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线C 的极
坐标方程为θθρsin 8)2cos 1(=+ (1)求曲线C 的普通方程；
(2)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==α
α
sin 1cos t y t x （t 为参数),直线l 与y 轴交于点F,与曲线C 的交
点为A,B,当|FA|·|FB|取最小值时,求直线l 的直角坐标方程. 23.[选修45:不等式选讲](10分)
已知函数f(x)=|2x-1|+|x+m| (1)当m=1时,解不等式f(x)≥3;
(2)证明:对任意x∈R,2f(x)≥|m+1|-|m|
数学（理工类）试题第11页（共11页）。