高中数学第二章解析几何初步2.1.1直线的倾斜角和斜率课件
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高中数学 第二章 解析几何初步 2.直线的倾斜角和斜率课件4高一数学课件
小结 ： 1。(xiǎ正ojié)确理解直线(zhíxiàn)方程与方程的直线(zhíxiàn)概念
2。
直 线 的 倾 斜 角斜 率 K
斜 率 公 式
定 义 三 要 素 K ta n K y 2 y 1
x 2 x 1
取 值 范 围 0 ,1 8 0K , K ,
第二十二页，共二十三页。
小结 ： (xiǎojié)
1。正确理解直线方程(fāngchéng)与方程(fāngchéng)的直线概念
2。
直 线 的 倾 斜 角斜 率 K
斜 率 公 式
定 义
三 要 素 K tg
K y 2 y 1 x 2 x 1
取 值 范 围 0 ,1 8 0K , K ,
第二十一页，共二十三页。
行于y轴的直线的倾斜角不存在
（ ）X
第十三页，共二十三页。
问题(wèntí)9：经过两点的直线确定吗？
已知两点p1(x1,y1)，p2(x2,y2)，(x1≠x2）则由p1， p2确定(quèdìng)的直线的斜率为k=？
第十四页，共二十三页。
P P (1)向量(xiàng1liàn2g)
的方向是向上的.
第六页，共二十三页。
1、"直线(zhíxiàn)的方程"和"方程的直线(zhíxiàn)"的概念
y
l
y=kx+b
一一对应
P
（x，y）
O
x
问题5：若记直线(zhíxiàn)上的点集为A，一个二元一次方
程的解为坐标的点集为B，则A与B有何关系？
若 (1)AB且2） （ BA，则 A有 B。
集合(jíhé)的数学思想
（ k，b 是常数）
高中数学第二章解析几何初步2.1.1直线的倾斜角和斜率课件北师大版必修2
第二章
解析几何初步
§1 直线与直线的方程 1．1 直线的倾斜角和斜率
自主学习·新知突破
升高量 日常生活中，常用坡度(坡度＝前进量)表示倾斜程度．例如，“进 2 升 3”与
32 “进 2 升 2”比较，前者更陡一些，因为坡度2＞2.
[问题1] 对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直 线的倾斜程度？
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°＜α＜90° α＝__9_0_°__ 90°＜α＜180°
斜率(范围) __k_＝__0___ ___k_＞__0__
不存在
__k_＜__0___
(3)过两点的直线的斜率的计算公式 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中
x1≠x2)的直线的斜率公式为__k_＝_x_y22_－－__yx_11__.
________．
[思路探究] 1.直线倾斜角α的范围是什么？ 2．关于x轴对称的两条直线的倾斜角能互补吗 ？
[边听边记] (1)因为直线 l 的倾斜角为 β－15°， 所以 0°≤β－15°<180°，即 15°≤β<195°. (2)当 α1＝0°时，α2＝0°，当 0°<α1<180°时，α2＝180°－α1.
[强化拓展] (1)关于直线的倾斜角与斜率 直线的倾斜角与其斜率是刻画直线位置状态的两种基本量，决定了这条直线 相对于 x 轴正方向的倾斜程度，两者之间存在以下关系： ①所有的直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率． ②当倾斜角 0°≤α<90°时，斜率是非负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大； ③当倾斜角 90°<α<180°时，斜率是负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大．
[思路探究]
[规范解答] 根据题中的条件可画出图形，如图所示：
解析几何初步
§1 直线与直线的方程 1．1 直线的倾斜角和斜率
自主学习·新知突破
升高量 日常生活中，常用坡度(坡度＝前进量)表示倾斜程度．例如，“进 2 升 3”与
32 “进 2 升 2”比较，前者更陡一些，因为坡度2＞2.
[问题1] 对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直 线的倾斜程度？
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°＜α＜90° α＝__9_0_°__ 90°＜α＜180°
斜率(范围) __k_＝__0___ ___k_＞__0__
不存在
__k_＜__0___
(3)过两点的直线的斜率的计算公式 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中
x1≠x2)的直线的斜率公式为__k_＝_x_y22_－－__yx_11__.
________．
[思路探究] 1.直线倾斜角α的范围是什么？ 2．关于x轴对称的两条直线的倾斜角能互补吗 ？
[边听边记] (1)因为直线 l 的倾斜角为 β－15°， 所以 0°≤β－15°<180°，即 15°≤β<195°. (2)当 α1＝0°时，α2＝0°，当 0°<α1<180°时，α2＝180°－α1.
[强化拓展] (1)关于直线的倾斜角与斜率 直线的倾斜角与其斜率是刻画直线位置状态的两种基本量，决定了这条直线 相对于 x 轴正方向的倾斜程度，两者之间存在以下关系： ①所有的直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率． ②当倾斜角 0°≤α<90°时，斜率是非负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大； ③当倾斜角 90°<α<180°时，斜率是负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大．
[思路探究]
[规范解答] 根据题中的条件可画出图形，如图所示：
高中数学必修2第2章211直线的斜率课件(31张)_1
(2)设直线 l 过坐标原点，它的倾斜角为 α，如果将直线 l 绕坐 标原点按逆时针方向旋转 45°，得到直线 l1，那么 l1 的倾斜角 为__当__0_°__≤__α_＜__1_3_5_°__时__，__倾___斜__角__为__α_＋__4_5_°__，__当__1_3_5_°__≤__α___ _＜__1_8_0_°__时__，__倾___斜__角__为__α_－__1_3_5_°________ (3)已知直线 l1 的倾斜角 α1＝15°，直线 l1 与 l2 交点为 A，直线 l1 和 l2 向上的方向之 间所成的角为 120°，如图所示，则直线 l2 的倾斜角为__1_3_5_°___． (链接教材 P79 倾斜角定义)
[解析] (1)上述说法中，⑤正确，其余均错误，原因是： ①与 x 轴垂直的直线倾斜角为 90°，但斜率不存在； ②举反例说明，120°＞30°，但 tan 120°＝－ 3＜tan 30°＝ 33； ③平行于 x 轴的直线的倾斜角为 0°； ④如果两直线的倾斜角都是 90°，那么两直线的斜率都不存在， 也就谈不上相等．
2．已知点 A(1,2)，若在坐标轴上有一点 P，使直线 PA 的倾斜 角为 135°，则点 P 的坐标为____(_3_,0_)_或__(_0_,3_)_____． 解析：由题意知 kPA＝－1，设 x 轴上点(m,0)，y 轴上点(0，n)， 由m0－－21＝n0－－12＝－1，得 m＝n＝3.
[解] 如图，由斜率公式可知 kPA＝1－1－－23＝－4，kPB＝11－－－－23＝34. 要使直线 l 与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是
(－∞，－4]∪34，＋∞.
[感悟提高] (1)本题关键是利用图形找到斜率变化的区间；画 出图形，借助图形可以看出，若直线 l 与线段 AB 有公共点， 则倾斜角应介于直线 PA，PB 的倾斜角之间，故斜率的变化范 围也随之确定． (2)借助图形，用运动变化的观点看问题，是这类题的一般解 法．本题容易把直线 l 的倾斜角介于直线 PA，PB 的倾斜角之 间与斜率介于二者之间混为一谈，得出错误答案为－4≤k≤34， 因此应注意倾斜角为 90°的“跨越”．
高中数学 2.1.1 直线的倾斜角和斜率课件 北师大版必修
(2)如图，已知 A(3,2)，B(－4,1)，C(0， －1)，求直线 AB，BC，AC 的斜率；
(3)求经过两点 A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率． [思路分析] 利用斜率公式 k＝tanα 和 k＝yx22－ －yx11(x1≠x2)来 解决．
[规范解答] (1)k1＝tan30°＝ 33，k2＝tan45°＝1. (2)直线 AB 的斜率 kAB＝－1－ 4－23＝17； 直线 BC 的斜率 kBC＝0－－1－ －14＝－42＝－12； 直线 AC 的斜率 kAC＝2－3－－01＝33＝1. (3)当 a＝3 时，斜率不存在． 当 a≠3 时，直线的斜率 k＝3－4 a.
• 2．若直线x＝3的倾斜角为α，则α( )
• A．等于0°
B．等于45°
• C．等于90° D．不存在
• [答案] C
• [解析] ∵x＝3的斜率不存在，∴α＝90°，选C.
3．已知点 A(－1， 3)，B(1,3 3)，则直线 AB 的倾斜角是
() A．60°
B．30°
C．120°
D．150°
• [答案] A
[解析] k＝31－3－－13 ＝ 3，则直线 AB 的倾斜角是 60°.
• 4．正三角形的一条高线在y轴上，则三边所在直线的倾斜角 分别为__________．
• [答案] 0°，60°，120°
• [解析] 根据正三角形(高线、中线、角平分线)合一的性质 可知两条腰所在直线的倾斜角分别为60°和120°，底边所 在直线与x轴平行或重合，故倾斜角为0°.
• 直线的倾斜角和斜率的关系
a 为何值时，过点 A(2a,3)，B(2，－1)的直线的 倾斜角是锐角？钝角？直角？
• [思路分析] 根据倾斜角与斜率的关系解决本题．若直线的 倾斜角是锐角，则k>0，若为钝角，则k<0，若为直角，则 斜率不存在．
(3)求经过两点 A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率． [思路分析] 利用斜率公式 k＝tanα 和 k＝yx22－ －yx11(x1≠x2)来 解决．
[规范解答] (1)k1＝tan30°＝ 33，k2＝tan45°＝1. (2)直线 AB 的斜率 kAB＝－1－ 4－23＝17； 直线 BC 的斜率 kBC＝0－－1－ －14＝－42＝－12； 直线 AC 的斜率 kAC＝2－3－－01＝33＝1. (3)当 a＝3 时，斜率不存在． 当 a≠3 时，直线的斜率 k＝3－4 a.
• 2．若直线x＝3的倾斜角为α，则α( )
• A．等于0°
B．等于45°
• C．等于90° D．不存在
• [答案] C
• [解析] ∵x＝3的斜率不存在，∴α＝90°，选C.
3．已知点 A(－1， 3)，B(1,3 3)，则直线 AB 的倾斜角是
() A．60°
B．30°
C．120°
D．150°
• [答案] A
[解析] k＝31－3－－13 ＝ 3，则直线 AB 的倾斜角是 60°.
• 4．正三角形的一条高线在y轴上，则三边所在直线的倾斜角 分别为__________．
• [答案] 0°，60°，120°
• [解析] 根据正三角形(高线、中线、角平分线)合一的性质 可知两条腰所在直线的倾斜角分别为60°和120°，底边所 在直线与x轴平行或重合，故倾斜角为0°.
• 直线的倾斜角和斜率的关系
a 为何值时，过点 A(2a,3)，B(2，－1)的直线的 倾斜角是锐角？钝角？直角？
• [思路分析] 根据倾斜角与斜率的关系解决本题．若直线的 倾斜角是锐角，则k>0，若为钝角，则k<0，若为直角，则 斜率不存在．
2.1.1倾斜角与斜率课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
1.5
• 当90°<<180°时, k<0,
1
且k随的增大而增大.
2
2π 3
π 3
0.5
2
0.5
o
2
π 3
x
2
2π
π
3
由于正切函数的单调性，倾斜角不
4π5πLeabharlann 2π7π8π
同3的直线3 ，斜率也不3同。因3 此我们可
以利用斜率表示倾斜角不等于90°的
1
直线相对于x轴的倾斜程度，进而表示
1.5
直线的方向。
x
P1(x1, y1)
= 1,
y2 x2
y1 x1
=(1,
k)
其中k是直线P1 P2的斜率.
若直线l的斜率为k, 它的一个方向向量的坐标为( x, y), 则k y . x
典例解析
课本P54
例1 如图示, 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断这些
新知探究 (1) 已知直线l经过O(0, 0), P( 3,1), 与O, P的坐标有什么关系?
如图, 向量OP ( 3,1), 且直线OP的倾斜角为 .
由正切函数的定义, 有
y
tan 1 3
33 即 tan 1 0 3
30 3
P( 3 ,1)
α
O
x
新知探究
(2) 类似地,如果直线l经过P1(1,1), P2( 2,0),与P1, P2的坐标又有什么关系?
一般地, 如图, 当向量P1P2的方向向上时, P1P2 ( x2 x1, y2 y1 ),平移
向量P1P2到OP, 则点P的坐标为( x2 x1, y2 y1 ), 且直线OP的倾斜角也是.
高中数学2.1 直线的倾斜角与斜率优秀课件
本节首先探索确定直线位置的几何要素。
倾斜角 斜率
已知直线 l 经过点 P ，直线 l 的位置能够确定吗？
两点确定一条直线，
过一点 可以作无数条直线 l 1 ，l 2 ，l 3 ，…
y
l3
l4
l2
P
l1
O
x
这些直线区别在那里呢？
它们的倾斜程度不同
怎样描述直线的倾斜程度呢？
怎样描述直线的倾斜程度呢？
k:0
y
0
P
0
O
x
: 2
k 随 的增大而增大
k:0 k(,)
1、完成下面的表格1，并分析直线的倾斜角不同时， 直线的斜率取值是否也不同，在此根底上总结斜率的意义。 表1：
0 30 45 60 90 120 135 150
3
k
0
3
1
3 不存在 3
1
3 3
0
0
2、根据三角函数的相关知识，思考当倾斜角在[0，180〕 内变化时，斜率k如何变化？
1， 1 ，2及 3 的直线 l 1 ，l 2 ，l 3 及 l 4 。
课堂小结
这节课我们学习了什么？
直线的倾斜角 直线的斜率
定义 它们之间的关系 过两点的直线的斜率公式
作业：教材P86 练习 1，2，3。
0
2
2
2
[0 , ) 不存在
(,0)
K随x增大 不存在
而增大
K随x 增大 而增大
思考
我们在几何的学习知道：两点确定一条直线， 那么直线上不重合的两点直线的斜率能确定吗？
已知给定两点 P1( x1 , y1 )，P2( x2 , y2 )，x1 x 2 ，
倾斜角 斜率
已知直线 l 经过点 P ，直线 l 的位置能够确定吗？
两点确定一条直线，
过一点 可以作无数条直线 l 1 ，l 2 ，l 3 ，…
y
l3
l4
l2
P
l1
O
x
这些直线区别在那里呢？
它们的倾斜程度不同
怎样描述直线的倾斜程度呢？
怎样描述直线的倾斜程度呢？
k:0
y
0
P
0
O
x
: 2
k 随 的增大而增大
k:0 k(,)
1、完成下面的表格1，并分析直线的倾斜角不同时， 直线的斜率取值是否也不同，在此根底上总结斜率的意义。 表1：
0 30 45 60 90 120 135 150
3
k
0
3
1
3 不存在 3
1
3 3
0
0
2、根据三角函数的相关知识，思考当倾斜角在[0，180〕 内变化时，斜率k如何变化？
1， 1 ，2及 3 的直线 l 1 ，l 2 ，l 3 及 l 4 。
课堂小结
这节课我们学习了什么？
直线的倾斜角 直线的斜率
定义 它们之间的关系 过两点的直线的斜率公式
作业：教材P86 练习 1，2，3。
0
2
2
2
[0 , ) 不存在
(,0)
K随x增大 不存在
而增大
K随x 增大 而增大
思考
我们在几何的学习知道：两点确定一条直线， 那么直线上不重合的两点直线的斜率能确定吗？
已知给定两点 P1( x1 , y1 )，P2( x2 , y2 )，x1 x 2 ，
【数学】2.1.1 直线倾斜角和斜率 课件(北师大必修2)
思考?日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
如图3.1-3，日常生活中，我们经常用“升高量与前进量 的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即
D
C 升
设直线的倾斜程度为K
AB k AC AC BD k AD AD
tan
tan
A
前进量
高 量
B
1、直线斜率的定义：
我们把一条直线的倾斜角 用小写字母 k 表示，即：
直线BC的斜率 kBC 直线CA的斜率 kCA
0 (8) 8 2
C
∵ k AB 0 ∴直线AB的倾斜角为零度角。 ∵ kBC 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角。 ∵ kCA 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角
2 (2) 4 1 40 4
三、小结：
1、直线的倾斜角定义及其范围： 180 0 2、直线的斜率定义： k tan a (a 90 ) 3、斜率k与倾斜角 之间的关系：
3 tan30 3
a 0 k tan0 0
当a 90时 k ?
y
o
x
思考：当直线与 x 轴垂直时， 直线的倾斜角是多少？
a 90 tana(不存在)
即k不存在
3、探究：由两点确定的直线的 斜率 k tan
锐角
y
y2
y1
能不能构造 一个直角三 如图，当α为锐角时， 角形去求？ P2 ( x2 , y2 )
P1 P1
P2
思考？
1、当直线平行于y轴，或与y轴重合时， k不存在 上述公式还适用吗？为什么？
90 , tan90 (不存在)
直线的倾斜角与斜率PPT课件
(1) 与两点的顺序无关; (2) 公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两
点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角 (3) 当x1=x2时,公式不适用,此时α=900
Y
.p
00 900 Y K>0
. 900 1800
p
K<0
O
X
O
X
（1）
（2）
Y
. K不存在 Y
p 90o
.p
K=0
1 2
钝角
O
x
kCA
1 2 03
1
锐角
C
（2）k [1,+) (-,- 1]
2
例题分析
例2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率
分别为1，-1，2和-3的直线 l1, l2 , l3及l4 。
y
l3
l1
A3 (1,2) A1 (1,1)
O
x
A2 (1,-1)
Al44 (l12,-3)
例2 从 M(2, 2 )射出一条光线,经过 x轴反射
直线
圆
圆
直线
3.1.1 直线的倾斜角与斜率
y
A
1．由一点能否确定一条直线吗？
2．观察并回答问题：
1
B
CO
1x
在图中，直线 AB，AC 都经过哪一点？
它们相对于 x 轴的倾斜程度相同吗？
直线的倾斜角定义 一般地，平面直角坐标系内，直线向上
的方向与 x 轴正方向所成的最小正角 叫做
这条直线的倾斜角．
已知直线的倾斜角，求对应的斜率 k ：
（＝0；
（2）＝30；
（3）＝135；
（4）＝120．
如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率
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自主学习·新知突破
数学 必修2
第二章 解析几何初步
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合作探究·课堂互动
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升高量 日常生活中，常用坡度(坡度＝前进量)表示倾斜程度．例如，“进 2 升 3”与
32 “进 2 升 2”比较，前者更陡一些，因为坡度2＞2.
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第二章 解析几何初步
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第二章 解析几何初步
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合作探究·课堂互动
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斜率的概念及斜率公式
(1)斜率的概念 斜率 k 是直线倾斜角 α 的_正__切__值___，通常把__ta_n__α___叫作直线的斜率． (2)斜率与倾斜角的关系
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第二章
解析几何初步
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§1 直线与直线的方程 1．1 直线的倾斜角和斜率
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图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°＜α＜90° α＝__9_0_°__ 90°＜α＜180°
斜率(范围) __k_＝__0___ ___k_＞__0__
不存在
__k_＜__0___
(3)过两点的直线的斜率的计算公式 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中
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1．理解直线的倾斜角与斜率的概念． 2．掌握倾斜角与斜率的对应关系． 3．掌握过两点的直线的斜率公式．
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确定直线位置的几何条件
在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的_一__个__点___ 和这条直线的_方__向__．
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第二章 解析几何初步
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[自主练习]
1．有下列说法：
①任何一条直线都有唯一的倾斜角；
②任何一条直线都有唯一的斜率；
③倾斜角为 90°的直线不存在；
④倾斜角为 0°的直线只有一条．
其中正确的有( )
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
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解析： 由倾斜角定义知①正确；③④不正确；由斜率定义知倾斜角为 90° 的直线斜率不存在，故②不正确．
答案： B
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3 2．(2015·台州高一检测)直线 l 的倾斜角是斜率为 3 的直线的倾斜角的 2 倍，
x1≠x2)的直线的斜率公式为__k_＝_x_y22_－－__yx_11__.
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[强化拓展] (1)关于直线的倾斜角与斜率 直线的倾斜角与其斜率是刻画直线位置状态的两种基本量，决定了这条直线 相对于 x 轴正方向的倾斜程度，两者之间存在以下关系： ①所有的直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率． ②当倾斜角 0°≤α<90°时，斜率是非负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大； ③当倾斜角 90°<α<180°时，斜率是负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大．
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[强化拓展] (1)直线的倾斜角是一个几何概念，它只是从“形”的角度刻画平面直角坐标 系内一条直线的倾斜程度． (2)平面直角坐标系中每一条直线都有唯一确定的倾斜角，而且倾斜程度相同 的直线其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不等．
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(2)关于过两点的直线的斜率公式 ①斜率公式与 P1，P2 两点的位置无关(即在直线 l 上任取两点 P1、P2，其斜率 均不变)，而与两点相应坐标的差的顺序有关． ②斜率计算公式反映了直线倾斜角同斜率间的对应关系．运用斜率公式的前 提条件是“x1≠x2”，也就是直线不与 x 轴垂直，而当直线与 x 轴垂直时，直线 的倾斜角为 90°，其斜率不存在． ③利用斜率可以求直线上的点的坐标，反之也可以由斜率及有关点的坐标来 确定相关的参数．
则点 P 的坐标为________．
解析：
xy－－35＝2， 设 P(x，y)，则y－2 7
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直线的倾斜角的概念和范围
(1)直线 l 的倾斜角的概念 在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴_相__交___的直线 l，把 x 轴(正方向)按 _逆__时__针___方__向__绕着交点旋转到和直线 l 重合所成的角，叫作直线 l 的倾斜角．当 直线 l 和 x 轴平行时，它的倾斜角为__0_°_. (2)直线 l 的倾斜角的范围 当直线 l 和 x 轴平行时，它的倾斜角为 0°.倾斜角通常用_α__表示，其取值范 围为_0_°__≤__α_＜__1_8_0_°___.
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[问题1] 对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直 线的倾斜程度？
[提示] 可以． [问题2] 由上图中坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角 坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？ [提示] 可以．
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则 l 的斜率为( )
A．1ห้องสมุดไป่ตู้
B． 3
23 C. 3
解析：
D．－ 3 3 ∵tan α＝ 3 ，0°≤α<180°，
∴α＝30°，∴2α＝60°，∴k＝tan 2α＝ 3.故选 B. 答案： B
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7 3．已知点 M(5,3)和点 N(－3,2)，若直线 PM 和 PN 的斜率分别为 2 和－4，