全国高中数学联赛辅导课件竞赛辅导-解析几何(二)
全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及全部定理内容
全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容一、平面几何1、数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。
到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。
三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
4、几何不等式。
5、简单的等周问题。
了解下述定理：在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。
在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
6、几何中的运动：反射、平移、旋转。
7、复数方法、向量方法。
平面凸集、凸包及应用。
二、代数1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
2、第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。
3、ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
4、复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。
5、圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
6、一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
7、简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。
三、立体几何1、多面角，多面角的性质。
三面角、直三面角的基本性质。
2、正多面体，欧拉定理。
3、体积证法。
4、截面，会作截面、表面展开图。
四、平面解析几何1、直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
2、二元一次不等式表示的区域。
3、三角形的面积公式。
4、圆锥曲线的切线和法线。
5、圆的幂和根轴。
五、其它抽屉原理。
容斤原理。
极端原理。
集合的划分。
竞赛专题讲座解析几何
1．以知过点(0,1)的直线l 与曲线1:(0)C y x x x=+>交于两个不同点M 和N ，求曲线C 在点M 、N 处的切线的交点轨迹。
解：设,M N 的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ，曲线C 在点M 、N 处的切线分别为12,l l ，其交点P 的坐标为(,)p p x y 。
若直线l 的斜率为k ，则l 的方程为1y kx =+由方程组11y x x y kx ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得11x kx x +=+，即2(1)10k x x -+-=。
由题意知，该方程在(0,)+∞上有两个相异的实根12,x x ，故1k ≠，且121214(1)0(1)130(2)11410(3)1k x x k k x x k ⎧⎪=+->⎪⎪+=>⇒<<⎨-⎪⎪=>⎪-⎩对1y x x=+求导，得1''221111,1x x y y x x ==-=-则，2'2211x x y x ==-。
于是，直线1l 的方程为 11211(1)()y y x x x -=--，即1121111()(1)()y x x x x x -+=--， 化简后得到直线1l 的方程为：21112(1)(4)y x x x =-+，同理可求得直线2l 的方程为：22212(1)(5)y x x x =-+，(4)(5)-得：2221121122()0p x x x x x -+-=，因为12x x ≠，故有：12122(6)p x x x x x =+， 将(2),(3)两式代入(6)式得2p x =(4)(5)+得：22121211112(2())2()(7)p p y x x x x x =-+++，其中121212111x x x x x x ++== 2222121212122222221212121212()2112()12(1)21x x x x x x x x k k x x x x x x x x x x ++-++===-=--=-代入(7)得：2(32)2p p y k x =-+，而2p x =，得42p y k =-，又由314k <<得： 522p y <<，即点P 的轨迹为(2,2)，5(2,)2两点间的线段（不含端点）。
高中数学竞赛专题讲座 解析几何
高中数学竞赛专题讲座解析几何高中数学竞赛专题讲座-解析几何高中数学竞赛专题讲座——解析几何一、选择题部分x2y2？？1在任意点P，使椭圆C（H为垂直底脚）的右引导线的垂直线pH为1。
（训练试题）穿过椭圆C:，将pH延伸到点Q，使| HQ |=32λ| pH |（λ≥1） .当P点在椭圆C上移动时，q点轨迹的偏心范围为a．(0,（）3] 3b。
（33，]32c.[3,1）3D.（3,1）2HP？1？Pq1？解：设P（x1，Y1），q（x，y）。
由于右侧的准直方程为x=3，h点的坐标为（3，y） HQ=λPH，所以3(1??)?x?[x?3(1??)]2y2x??1所以由定比分点公式，可得：?，代入椭圆方程，得q点轨迹为??1，所以离心率?223y1?ye=3.2.223?? 1.23? [，1）。
因此，选择c.233？2（2022年的南昌）。
如果抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，焦点在直线3x-4y=12上，抛物线方程是（d）a．y??12x2b.y？12倍22c．y??16x2d.y？16x23．（2021年江苏）已知抛物线y?2px，o是坐标原点，f是焦点，p是抛物线上的点，使得△pof是直角三角形，那么这样的点P股（b）a．0个b．2个c、 4 d.6x2y24．（2006天津）已知一条直线l与双曲线2?2?1（b?a?0）的两支分别相交于p、q两点，o为原点，当阿博普？OQ，双曲线中心到直线L的距离d等于（a）aba．b．2222b?ab?a5．(2021全国)方程abb2？a2b2？a2c.d。
ababx2sin2?sin3?y2cos2?cos3?1表示的曲线是（）a．焦点在x轴上的椭圆b．焦点在x轴上的双曲线c、聚焦于Y轴D的椭圆。
聚焦于Y轴的双曲解：？2.3.0 2? 2.3.2.cos（？2）？cos（3？），222?? sin2？sin3。
又0?2,?3??,?cos2?0,cos3?0,?cos2?cos3?0,222? 32? 3.罪？？(?) 2242? 3.2.3.罪恶（？）？方程式02424表示的曲线是椭圆(sin2sin3)(cos2cos3)22sin2.2.323.0罪？0 2222? 33? 3.244? (?) 风格0.即sin2?sin3?cos2?cos3.?曲线表示焦点在y轴上的椭圆，选c。
第9讲 解析几何 第二课时 讲练课件(共72张PPT) 2021届高考(理科)数学二轮复习
x2＝2py (p>0)
x2＝－2py (p>0)
图形
顶点
(0，0)
对称轴
x轴
y轴
焦点 准线
Fp2，0 x＝－p2
F－p2，0 x＝p2
F0，p2 y＝－p2
F0，－p2 y＝p2
第8页
ห้องสมุดไป่ตู้
二、常见方法结论 1．双曲线 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b. (2)若 P 是双曲线右支上一点，F1，F2 分别为双曲线的左、右 焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. (3) 同 支 的 焦 点 弦 中 最 短 的 为 通 径 ( 过 焦 点 且 垂 直 于 实 轴 的 弦)，其长为2ab2；异支的弦中最短的为实轴，其长为 2a.
原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分
别为 M，N.若△OMN 为直角三角形，则|MN|＝( B )
3 A.2
B．3
C．2 3
D．4
第21页
【解析】 因为双曲线x32－y2＝1 的渐近线方程为 y＝± 33x，
所以∠MON＝60°.不妨设过点
F
的直线与直线
y＝
3 3x
第32页
(4)(2020·武汉中学第二次质检)已知 F 为抛物线 C：y2＝4x 的
焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A，B
两点，直线 l2 与 C 交于 D，E 两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( A )
A．16
B．14
C．12
D．10
第33页
【分析】 根据 l1⊥l2，要使|AB|＋|DE|最小，则 A 与 D，B 与 E 关于 x 轴对称，即直线 l2 的斜率为 1 时，取得最小值．
解析几何竞赛辅导
若不允许共线。 如图，在正三角形 ABC 的内切圆上任取一点 P ，使得
向量 PA ， PB ， PC ， PO 不共线便满足要求。
A
O P B C
( PA + PB ) ⋅ ( PC + PO )
= OA + OB + 2 PO ⋅ OC + 2 PO
( (
)(
)
2 2
= 2 PO − OC ⋅ 2 PO + OC = 4 PO − OC = 0
XF1 ( x, y ) + YF2 ( x, y ) = 0
共轭方向： a11 XX ′ + a12 ( XY ′ + X ′ ) + a22YY ′ = 0 Y 主方向：即共轭又垂直的方向
⎛ a11 ⎜ ⎝ a12
a12 ⎞ ⎛ X ⎞ ⎛X ⎞ ⎟⎜ ⎟ = λ ⎜ ⎟ a22 ⎠ ⎝ Y ⎠ ⎝Y ⎠
r (u, v) = ( x(u , v), y (u , v), z (u , v))
求点运动所成的曲线方程， ( x(t ), y (t ), z (t )) 求点运动所成的曲面方程， ( x(u , v), y (u , v), z (u , v)) 求空间直线运动所成的曲面方程， 直线： ( At + x0 , Bt + y0 , Ct + z0 ) ，参数 s 直线族：( A( s )t + x0 ( s ), B ( s )t + y0 ( s ), C ( s )t + z0 ( s ) )
三、空间的直线和平面 平面方程，直线方程，相互位置关系，平面束。 直线
x − x0 y − y0 z − z0 和 = = X Y Z
高中数学竞赛讲义(全套)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
全国高中数学联赛分类汇编 专题 解析几何
1、（2000一试3）已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是 （ ） (A)33 (B) 233 (C) 33 (D) 633、（2002一试2）若实数x, y 满足(x+5)2+(y12)2=142，则x 2+y 2的最小值为( )(A ) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 【答案】B【解析】利用圆的知识结合数形结合分析解答，22x y +表示圆上的点（x,y ）到原点的距离。
4、（2002一试4）直线134=+yx 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有( )(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个【答案】B5、（2003一试2）设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是（）A. B. C. D.【答案】B6、（2003一试3）过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于（）(A)163(B)83(C)1633 (D) 8 3【答案】A【解析】抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB所在直线方程为y=3x，弦的中点在y=pk=43上，即AB中点为(43，43)，中垂线方程为y=－33(x－43)+43，令y=0，得点P的坐标为163．∴PF=163．选A．7、（2004一试2）已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ≠∅，则b 的取值范围是 ( )A ．[－62，62]B ．(－62，62)C ．(－233，233]D ．[－233，233] 【答案】A【解析】点(0，b )在椭圆内或椭圆上，⇒2b 2≤3，⇒b ∈[－62，62]．选A ．8、（2005一试5）方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线 【答案】C9、（2007一试5）设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（ ）【答案】A【解析】设圆O 1和圆O 2的半径分别是r 1、r 2，|O 1O 2|=2c ，则一般地，圆P 的圆心轨迹是焦点为O 1、O 2，且离心率分别是212r r c +和||221r r c -的圆锥曲线（当r 1=r 2时，O 1O 2的中垂线是轨迹的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆）。
高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(二)
高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(二) 高中数学竞赛讲义（十）──直线与圆的方程一、基础知识1．解析几何的研究对象是曲线与方程。
解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系，即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射，则方程叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。
如x22=1是以原点为圆心的单位圆的方程。
2．求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的点的集合；(3)用坐标表示条件，列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上，且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。
3．直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x轴正方向所成的小于1800的正角，叫做它的倾斜角。
规定平行于x 轴的直线的倾斜角为00，倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。
根据直线上一点及斜率可求直线方程。
4．直线方程的几种形式：（1）一般式：0；（2）点斜式：0(0)；（3）斜截式：；（4）截距式：；（5）两点式：；（6）法线式方程：θθ（其中θ为法线倾斜角，为原点到直线的距离）；（7）参数式：（其中θ为该直线倾斜角），t的几何意义是定点P0（x0, y0）到动点P（x, y）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号，若P0P方向向上则取正，否则取负）。
5．到角与夹角：若直线l1, l2的斜率分别为k1, k2，将l1绕它们的交点逆时针旋转到与l2重合所转过的最小正角叫l1到l2的角；l1与l2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。
若记到角为θ，夹角为α，则θα=.6．平行与垂直：若直线l1与l2的斜率分别为k1, k2。
且两者不重合，则l12的充要条件是k12；l1l2的充要条件是k1k21。
7．两点P1(x1, y1)与P2(x2, y2)间的距离公式：1P2。
8．点P(x0, y0)到直线l: 0的距离公式：。
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6
思考二:(欣赏几个二次曲线的课外结论) 思考二:(欣赏几个二次曲线的课外结论) 欣赏几个二次曲线的课外结论 x2 y2 1.过不在椭圆 2 + 2 = 1 上的任意一点 P 作两条直线 1. 过不在椭圆 a b l1 , l2 分别交椭圆于 A,B 和 C,D 四点 ,若 l1 , l2 的倾斜角为 四点, 求证:A,B,C,D 四点共圆. α , β ,且 α + β = π ,求证:A,B,C,D 四点共圆. 2.过已知二次曲线的弦 2. 过已知二次曲线的弦 PQ 的中点 O 任作两弦 AB、CD 求证: 求证:过 A,B,C,D 的任意二次曲线被直线 PQ 所截得的线 点所平分. 段均被 O 点所平分 . 说明:著名的蝴蝶定理是这一结论的特例) 蝴蝶定理是这一结论的特例 (说明:著名的 蝴蝶定理是这一结论的特例) 3.设有等轴双曲线 3. 设有等轴双曲线 C1 : x 2 − y 2 = a 2 , C2 为一半径 r 的圆 且 C 2与C1 交于四点 P , Q,R, S . 求证: 求证: OP 2 + OQ2 + OR 2 + OS 2 = 4r 2
竞赛辅导─解析几何( 竞赛辅导─解析几何(二)
(圆锥曲线) 圆锥曲线)
引入
思考一
思考二
思考三
1
竞赛辅导─解析几何( 竞赛辅导─解析几何(二) 辅导 几何
(圆锥曲 线)
知识点见教程 这里的问题一个很大的特点那就是 需要较强的计算能力, 需要较强的计算能力,教程中有许多例题 等待大家去挑战. 等待大家去挑战 . 我们今天的课也主要是感受一下这 里的思考, 同时也介绍一些方法 也介绍一些方法, 里的思考 , 同时 也介绍一些方法 ,希望能 起到抛砖引玉的作用. 起到抛砖引玉的作用.
(
] [
)
1
上一点, 4.( 4.(教程 P333 第 12 题) P 为等轴双曲线 x2 − y 2 = a2 上一点, F1 , F2 为
PF1 + PF2 它的左、右焦点， 的取值范围. 它的左、右焦点 ，试求 的取值范围. PO
( 2, 2
2
2
5.( 5.( 教 程 P341 第 5 题 ) 已 知 动 点 P( x, y) 满 足 二 次 方 程 3 此二次曲线的离心率为_______. 10 x − 2 xy − 2 y + 1 = 0 ,此二次曲线的离心率为_______.
提示
4
1.用直线的参数方程来计算分析 , 1. 用直线的参数方程来计算分析, 用直线的参数方程来计算分析 巧用参数的几何意义. 巧用参数的几何意义. 2.恰当建立直角坐标系 设二次曲线一般形式来分析, 设二次曲线一般形式来分析, 并恰当运用二次曲线系方程形式. 并恰当运用二次曲线系方程形式.
标准方 线方 3. 设 圆 的 标准 方 程 和 双 曲 线 方 程 联立消 去 x ,得四次方程 ,运用韦达 不定理 不定理计算.
4
2.( 2.(教程 P324 第 14 题)已知点 A(0, 2) 和抛物线 y 2 = x + 4 上两点 B, C 的纵坐标的取值范围． 使得 AB ⊥ BC ，求点 C 的纵坐标的取值范围． −∞,0 ∪ 4, +∞ x2 的两个焦点, 3.(教程 P332 第 7 题) F1 , F2 是椭圆 + y2 = 1 的两个焦点, P 是椭圆 4 上任意一点, 的最小值是_______. 上任意一点,则 PF1 ⋅ PF2 的最小值是_______.
2
思考一:(挑战教程中的几个问题) 思考一:(挑战教程中的几个问题) 挑战教程中的几个问题
y2 1.( 1.(教程 P323 第 9 题) 过双典线 x2 − = 1 的右焦点作直线 l 交双曲线 2 两点, 于 A,B 两点 ,若实数 λ 使得 AB = λ 的直线 l 恰有 3 条, 则 λ = __.
5
思考三 挑战两个最值) 思考三:(挑战两个最值) 1.椭圆 为常数) 1. 椭圆 x 2 + 4 y 2 = a 2 ( a 为常数) 的一条切线交 x , y 轴于 A, B 两点, 的最小值为( ) 两点,则 S△ AOB 的最小值为(
D
( A)a
2
2 2 ( B) a 2
ห้องสมุดไป่ตู้
(C )2a
2
1 2 a 2
设切线时可运用替换法则 运用 替
x2 y2 2. 已 知 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) 是 椭 圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 上 a b 的两个动点, 为坐标原点, 的两个动点, O 为坐标原点, 且 OA ⊥ OB , 求线段 AB 长的最 小值. 小值. 2ab a 2 + b 2